Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 27 страниц)

Рис. 48. Схема интерферометра Майкельсона – Морли, установленного на вращающейся мраморной плите.

е) Конструкция собственно интерферометра Майкельсона – Морли схематически представлена на рис. 48. Почти монохроматический свет (содержащий лишь одну частоту) входит в прибор через линзу 𝑎. Часть его отражается полупрозрачным посеребрённым зеркалом 𝑏, а часть продолжает распространяться до зеркала 𝑑. Оба получившихся луча многократно отражаются взад и вперёд, пока они не доходят соответственно до зеркал 𝑒 и 𝑒₁, которые направляют их назад, и оба луча в конце концов снова попадают на зеркало 𝑏. На этом последнем зеркале часть каждого луча вместе с частью другого, объединяясь, направляется в телескоп 𝑓. Прозрачная стеклянная пластина 𝑐, размеры которой совпадают с размерами полупрозрачного зеркала 𝑏, включена для того, чтобы каждый луч прошёл одно и то же число раз (а именно три) сквозь данную толщу стекла на своём пути к телескопу 𝑓.

Предположим, что длины взаимно перпендикулярных путей в точности одинаковы, а вся установка покоится относительно эфира. Тогда монохроматический свет, разделённый зеркалом 𝑏 на два луча, при некоторой разности фаз между ними вернётся к зеркалу 𝑏 с той же самой разностью фаз. В этом случае световые волны, входящие в телескоп 𝑓, будут складываться, и поле зрения мы увидим ярко освещённым. Если бы, напротив, один из лучей отстал во времени на величину, соответствующую половине периода колебаний этого света, то он пришёл бы вновь к зеркалу 𝑏 на эти полпериода позже другого луча; волны, входящие в телескоп, вычитались бы друг из друга, и поле зрения оказалось бы тёмным. Если бы относительное запаздывание луча составило целый период, то поле зрения в телескопе снова было бы ярко освещено, и так далее. Чему равен промежуток времени, соответствующий одному периоду колебаний световой волны? Майкельсон и Морли пользовались спектральной линией натрия с длиной волны 5890 ангстрем (Å) (Å=10⁻¹⁰ м). Ввиду равенств νλ=𝑐 и ν=1/𝑇 видно, что период для этой спектральной линии натрия равен примерно 2⋅10⁻¹⁵ сек.

Но ведь невозможно «выключить» предполагаемый эфирный ветер, отъюстировать установку и после этого вновь «включить» этот эфирный ветер. Вместо этого Майкельсон и Морли пустили свой интерферометр плавать в бассейне, наполненном ртутью, и медленно вращали его вокруг центра, как грампластинку, непрерывно наблюдая яркость поля зрения телескопа (рис. 48). В этом случае, если свет на каком-то пути тратит больше времени при некоторой данной ориентации установки, то при её повороте на 90° такой же задержке во времени подвергнется свет, идущий по другому пути. Значит, полное изменение запаздывания света, когда он распространяется по двум разным путям, должно быть при повороте интерферометра вдвое больше того, что мы вычислили бы с помощью формулы в примере (в).

Усовершенствовав свой метод, Майкельсон и Морли сумели доказать, что изменение времени распространения света по двум путям при повороте установки соответствовало менее чем ¹/₁₀₀ сдвига от одного потемнения поля зрения телескопа до следующего потемнения. Покажите, что этот вывод свидетельствует о том, что движение эфира у поверхности Земли (если оно вообще имеет место) происходит со скоростью менее ¹/₆ скорости движения Земли по её орбите. Для того чтобы исключить возможность такого совпадения, что в этот момент эфир «дул» относительно Солнца с той же скоростью, с какой движется по своей орбите Земля, они повторяли свой опыт каждые три месяца – и каждый раз с отрицательным результатом.

ж) Опровергает ли сам по себе опыт Майкельсона – Морли теорию распространения света в эфире? Можно ли так видоизменить эту теорию, чтобы она пришла в согласие с результатами этого опыта? Как это сделать? Какой новый опыт можно было бы привлечь для проверки такой модифицированной теории? ▼

34*. Эксперимент Кеннеди – Торндайка ¹)

¹) Сообщение об оригинальной постановке эксперимента можно найти в статье R. J. Кеnnedy, Е.М. Thorndike, Physical Review, 42, 400 (1932). Место эксперимента в логической структуре теории относительности проанализировано в работе Н. P. Rоbеrtsоn, Reviews of Modern Physics, 21, 378 (1949).

Целью постановки опыта Майкельсона – Морли было обнаружение любого возможного движения Земли относительно гипотетической жидкости, эфира,– той среды, в которой свет, как предполагалось, распространяется со специфической для него скоростью 𝑐. Но такого относительного движения Земли и эфира обнаружить не удалось. Результаты этого опыта отчасти сыграли впоследствии свою роль в ниспровержении понятия эфира. Согласно современным взглядам, для распространения света вообще не требуется никакой среды.

Какое значение имеет отрицательный результат опыта Майкельсона – Морли для нас, людей, не признающих теории эфира как среды, в которой распространяется свет? Просто-напросто: 1) Скорость света по замкнутому пути, измеренная на Земле, одинакова во всех направлениях, т.е. скорость света изотропна. 2) Скорость света изотропна не только тогда, когда Земля при движении вокруг Солнца летит в одном каком-то направлении, например, в январе (назовём этот случай движения «лабораторной системой отсчёта»), но и когда Земля движется в противоположном направлении в июле (уйдя вокруг Солнца в противоположную часть своей орбиты; назовём Землю в этот период её движения «системой отсчёта ракеты»). 3) Обобщение этого вывода на любые пары инерциальных систем, находящихся в движении относительно друг друга, приводит к утверждению, что скорость света на замкнутом пути изотропна как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты.

Полученный вывод оставляет без ответа один важный вопрос, а именно: обладает ли скорость света, распространяющегося по замкнутому пути, которая изотропна как в лабораторной системе, так и в системе отсчёта ракеты, ещё и одинаковым численным значением в обеих этих системах отсчёта? Предположение о том, что эта скорость численно одна и та же во всех инерциальных системах отсчёта, является центральным фактом при доказательстве инвариантности интервала (разд. 5). Но верно ли это предположение?

а) Эксперимент для проверки предположения о равенстве скорости света, распространяющегося по замкнутому пути, в двух движущихся относительно друг друга инерциальных системах отсчёта был предпринят в 1932 г. Роем Дж. Кеннеди и Эдуардом М. Торндайком. В этом эксперименте был применён интерферометр, плечи которого были не равны друг другу (рис. 49). Допустим, что разность длин плеч этого интерферометра равна Δ𝑙 Покажите, что световой импульс, поступающий в установку, затрачивает для обхода замкнутого пути по длинному плечу на 2Δ𝑙/𝑐 больше времени, чем для обхода замкнутого пути по короткому плечу. Использованная Кеннеди и Торндайком разность длин Δ𝑙 равнялась приблизительно 16 см. Чему равна приблизительно разность во времени, за которое свет завершает обход двух неодинаковых замкнутых путей в этом интерферометре?

Рис. 49. Схематическое изображение установки, использованной в эксперименте Кеннеди – Торндайка.

Детали этого интерферометра помечены теми же буквами, что и соответствующие детали интерферометра Майкельсона – Морли в упражнении 33. Экспериментаторы остановились на больших размерах плеч прибора с тем, чтобы обеспечить его оптическую и механическую стабильность. Интерферометр смонтирован на плите из кварца, который почти не изменяет своих размеров при колебаниях температуры. Кроме того, он помещён в вакуумную камеру, так что колебания атмосферного давления не отражаются на длине оптического пути в плечах интерферометра (разным значениям давления воздуха соответствует несколько различная величина скорости света!). Вакуумная камера окружена камерой, наполненной водой, температура которой поддерживалась постоянной с точностью до ±0,001°C. Вся эта установка была помещена в небольшой тёмной комнате (не изображённой на рисунке), где температура поддерживалась постоянной с точностью до нескольких сотых градуса. Эта тёмная комната в свою очередь была окружена большей тёмной комнатой, где температура поддерживалась постоянной с точностью до нескольких десятых градуса. Размеры всей установки в целом можно охарактеризовать тем, что разность длин двух плеч интерферометра (то есть отрезков 𝑏𝑒 и 𝑏𝑒₁ равна 16 см.

б) Кеннеди и Торндайк в действительности использовали не импульс света, а непрерывный монохроматический свет, колебания волн которого обладали периодом 𝑇=1,820⋅10⁻¹⁵ сек (λ=5461 Å), излучавшийся атомами ртути. Определите, сколькими периодами позже «приходил к финишу» свет по длинному плечу интерферометра, чем по короткому плечу? (Разность периодов обозначим через 𝑛). Если это число периодов оказывалось целым, то суперпозиция лучей, приходящих по обоим плечам, приводила к сложению волн, и экспериментаторы видели ярко освещённое поле зрения телескопа. Наоборот, если это число периодов оказывалось полуцелым, то волны, приходящие по обоим плечам, взаимно вычитались, гасились, и экспериментаторы видели тёмное поле зрения телескопа.

в) Но Земля всё время движется по своей орбите вокруг Солнца. Каждые шесть месяцев её скорость движения относительно неподвижных звёзд изменяет свой знак. Будет ли и в такой новой системе отсчёта скорость распространения света по замкнутому пути иметь ту же самую численную величину 𝑐, что и в исходной системе отсчёта? Ответ на вопрос (б), касающийся этой исходной системы отсчёта, можно переписать в виде

𝑐

=

2

𝑛

Δ𝑙

𝑇

.

(54)

Здесь Δ𝑙 – разность длин плеч интерферометра, 𝑇 – величина периода волн, испускаемых светящимися атомами, а 𝑛 – число периодов, на которое различаются моменты возвращения света по длинному и короткому путям. Предположим теперь, что в ходе обращения Земли вокруг Солнца в поле зрения нашего телескопа не обнаруживается изменения яркости (например, перехода от света к темноте). Это значит, что наблюдаемая величина 𝑛 неизменна. Что можно было бы заключить из этого гипотетического результата о численном значении 𝑐 скорости света? Укажите, какие стандарты длины и времени были привлечены для вывода этого результата (54). Наибольшей стабильностью в сохранении своих размеров из всех известных материалов обладает кварц. Самый надёжный механизм для измерения времени, который мы можем построить на Земле,– это атомные стандарты времени.

г) Для того чтобы осуществить эксперимент, описанный в предыдущих пунктах, Кеннеди и Торндайк должны были обеспечить безупречную работу своего интерферометра в течение полугода непрерывных наблюдений яркости поля зрения телескопа. Но столь длительные непрерывные наблюдения были невозможны, так что на самом деле продолжительность их наблюдений колебалась от восьми дней до одного месяца. С интервалами в три месяца имело место по нескольку таких периодов наблюдения. Данные, полученные по этим наблюдениям, дали возможность Кеннеди и Торндайку установить, что за срок непрерывных наблюдений в течение 6 месяцев число периодов 𝑛 относительного отставания одного луча от другого смогло бы составить лишь менее чем 3/1000 одного периода. Возьмите дифференциал выражения (54) для того, чтобы определить наибольшее относительное изменение скорости света по замкнутому пути в двух разных системах отсчёта, которое могло бы согласоваться с данной оценкой изменения 𝑑𝑐/𝑐 (здесь первая система отсчёта —«лабораторная», и вторая, система отсчёта ракеты,– просто сама наша планета, взятая в два момента, разделённые шестью месяцами времени; относительная скорость движения этих двух систем равна удвоенной скорости движения Земли по её орбите – 2⋅30 км/сек).

Историческая справка. Во времена, когда в 1887 г. был проделан опыт Майкельсона – Морли, никто ещё не был готов к восприятию той идеи, что законы физики (не исключая и самой величины скорости света) одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. С точки зрения стандартного в наши дни эйнштейновского подхода просто очевидно, что и опыт Майкельсона – Морли, и эксперимент Кеннеди – Торндайка должны были привести к негативному результату. Но когда Кеннеди и Торндайк предприняли в 1932 г. свои измерения, кроме теории Эйнштейна продолжали ещё обсуждаться две её альтернативы – назовём их теориями 𝐴 и 𝐵. В этих обеих неэйнштейновских теориях принимались старые представления о некотором абсолютном пространстве, или «эфире», в котором свет распространяется со скоростью 𝑐. И теория 𝐴, и теория 𝐵 объясняли отсутствие сдвига интерференционных полос в опыте Майкельсона – Морли, утверждая, что всё, что движется со скоростью 𝑣 относительно «абсолютного пространства», сокращает свою пространственную длину в направлении движения до величины, равной этой старой длине, помноженной на √1-(𝑣²/𝑐²) («гипотеза сокращения Лоренца – Фитцджеральда»). Разница между этими двумя теориями состояла в подходе к влиянию «движения сквозь абсолютное пространство» на скорость хода часов. Теория 𝐴 отвергала возможность такого эффекта, а согласно теории 𝐵, величина 1 секунды на стандартных часах, движущихся через абсолютное пространство со скоростью 𝑣, должна была становиться равной √1-(𝑣²/𝑐²) секунды. В теории 𝐵 величина отношения Δ𝑙/𝑇 не должна была зависеть от скорости движения часов, и она предсказывала негативный результат эксперимента Кеннеди – Торндайка, что он и дал в действительности («сложное объяснение простого эффекта»). Согласно теории 𝐴, отношение Δ𝑙/𝑇 в выражении (54) должно было умножиться на величину √1-(𝑣₁²/𝑐²) в то время года, когда «скорость Земли относительно абсолютного пространства» равна 𝑣₁ и на величину √1-(𝑣₂²/𝑐²) в то время года, когда эта скорость равна 𝑣₂. Поэтому интерференционные полосы должны были бы сдвигаться между двумя моментами года (соответствующими скоростям 𝑣₁=𝑣_орбит+𝑣_Солнце и 𝑣₂=𝑣_орбит-𝑣_Солнце если бы только по чистой случайности Солнце не было «в покое относительно абсолютного пространства»– случайности настолько маловероятной, что её невозможно было бы рассматривать как причину наблюдаемого негативного результата эксперимента. Итак, эксперимент Кеннеди – Торндайка заставил отвергнуть теорию 𝐴 (признававшую лишь сокращение длин), но оставил допустимой теорию 𝐵 (сокращение длин плюс замедление времени), равно как и намного более простую теорию Эйнштейна, утверждающую равноправность всех инерциальных систем отсчёта.

«Степень чувствительности» эксперимента Кеннеди – Торндайка зависит от того, о какой теории идёт речь. С точки зрения теории 𝐴 наблюдения могут обнаружить «скорость Солнца относительно абсолютного пространства», если она не менее 15 км/сек (именно так оценивали чувствительность своего опыта сами Кеннеди и Торндайк в своей статье). С точки зрения же теории Эйнштейна эти наблюдения показали, что скорость распространения света по замкнутому пути имеет одинаковую численную величину (с ошибкой около 2 м/сек) в двух инерциальных системах отсчёта, скорость относительного движения которых составляет 60 км/сек. ▼

35*. Эксперимент Дикке ¹)

¹) См. R. Н. Diсkе, The Eotvos Experiment, Scientific American, 205, 84 (December 1961), а также P. G. Rоll, R. Кrоtkоv, R. H. Diсke, Annals of Physics, 26, 442 (1964). Первая из этих статей представляет собой популярный обзор, написанный ещё в начале проведения эксперимента. Вторая статья сообщает окончательные результаты эксперимента и тем более интересна, что в ней описаны те тонкие предосторожности, которые потребовалось предпринять для обеспечения исчерпывающего учёта всех привходящих влияний, могущих подействовать на течение опыта.

а) Высота пизанской «Падающей башни» составляет около 55 м. Галилей пишет: «Скорости падения в воздухе шаров из золота, свинца, меди, порфира и прочих тяжёлых веществ различаются настолько мало, что при падении с высоты 100 локтей (около 46 м) шар из золота наверняка не обгонит шара из меди более чем на 4 пальца. Проведя это наблюдение, я пришёл к выводу, что в среде, где исключено всякое сопротивление, все тела падали бы с одинаковой скоростью» ²). Приняв «4 пальца» равными 7 см, найдите наибольшее относительное различие ускорения силы тяжести Δ𝑔/𝑔 для шаров из золота и меди, соответствующее результатам опытов Галилея. Результат новейшего эксперимента Дикке: это отношение не превышает 3⋅10⁻¹¹. Приняв, что это отношение даётся таким новейшим результатом, вычислите, насколько разойдутся при своём падении с вершины 46-метровой вышки в вакууме одновременно брошенные два таких шара, когда первый из них достигнет поверхности Земли. С какой высоты при тех же условиях нужно было бы сбросить шары из разных веществ, чтобы при падении в вакууме в однородном гравитационном поле с напряжённостью 10 м/сек² они разошлись один от другого на расстояние в 1 мм? Сравните эту высоту с расстоянием между Землёй и Луной (3,8⋅10⁸ м), и вы увидите, почему эксперимент Дикке не мог состоять в сбрасывании шаров!

²) Галилео Галилей, Диалоги о двух новых науках. Соч., т. I, ГТТИ, М.– Л.„ 1934.

Рис. 50. Массивный шар, помещённый вблизи груза, вызывает статическое отклонение отвеса от вертикали.

б) Гиря отвеса массы 𝑚 подвешена на конце длинной нити, закреплённой на потолке герметически закрытой комнаты (рис. 50). Шар очень большой массы, помещённый сбоку от этой комнаты, действует на груз с силой гравитационного происхождения 𝑚𝑔_𝑠 направленной по горизонтали. Здесь 𝑔_𝑠=𝐺𝑀/𝑅², 𝑀 – масса шара, а 𝑅 – расстояние между грузом отвеса и центром шара. Эта горизонтальная сила вызывает статическое отклонение нити отвеса от вертикали на малый угол ε. (Аналогичный пример из практики: на севере Индии масса Гималайских гор приводит к небольшому отклонению линии отвеса, что затрудняет прецизионные геодезические промеры). Переместим теперь массивный шар так, чтобы он оказался у противоположной стены комнаты (рис. 51), и тогда статическое отклонение нити подвеса от вертикали, сохранив ту же величину угла, изменит своё направление на противоположное. Но ведь угол ε чрезвычайно мал (массив Гималаев вызывает отклонение нити подвеса всего на 5 дуговых секунд, т.е. на 0,0014°!). Однако, если всё время перемещать массивный шар вокруг герметически закрытой комнаты, наблюдатель в комнате сможет измерить обусловленное им гравитационное поле – для этого ему нужно со всё большей и большей степенью точности измерять полный угол, на который изменяется отклонение нити подвеса, 2ε=2 sin ε. Выведите уравнение, необходимое для вычисления величины 𝑔_𝑠 с помощью этого угла.

Рис. 51. Расположение шара по другую сторону отвеса приводит к статическому отклонению его от вертикали в противоположном направлении.

в) Мы, жители Земли, располагаем огромным шаром, эффективно совершающим ежедневный обход вокруг нас каждый день. Этот шар – самое массивное тело Солнечной системы – само Солнце! Чему равняется гравитационное ускорение 𝑔_𝑠=𝐺𝑀/𝑅², обусловленное Солнцем в окрестностях Земли? (Некоторые из постоянных, которые вам понадобятся при вычислении, можно найти в конце этой книги).

г) Необходимо учесть ещё одно ускорение, которое, однако, не будет фигурировать при окончательном сравнении величины гравитационного ускорения 𝑔_𝑠 для различных веществ. Таким дополнительным ускорением будет центробежное ускорение, вызванное движением Земли вокруг Солнца. Когда ваш автомобиль поворачивает, то вас прижимает к той его стороне, которая является внешней относительно направления поворота. Эта отбрасывающая сила, именуемая центробежной фиктивной силой или центробежной силой инерции, обусловлена ускорением вашей системы отсчёта (автомобиля) относительно центра дуги поворота. Величина этой центробежной силы инерции равна 𝑚𝑣²/𝑟, где 𝑣 – скорость движения автомобиля, а 𝑟 – радиус дуги поворота. Наша Земля движется вокруг Солнца по приблизительно круговой орбите. Сила гравитационного притяжения Солнца 𝑚𝑔_𝑠 действует на груз отвеса в направлении к Солнцу, центробежная же сила инерции 𝑚𝑣²/𝑅 стремится отбросить груз в сторону от Солнца. Сравните величину «центробежного ускорения» 𝑣²/𝑅 в окрестностях Земли с вычисленной вами в пункте (в) величиной гравитационного притяжения 𝑔_𝑠, имеющего противоположное направление. Чему равно результирующее ускорение (в направлении к Солнцу или от него), действующее на частицу, летящую вместе с Землёй, если его наблюдать в (ускоренно движущейся) системе отсчёта Земли?

а) Предполагаемый эффект утром.

б) Предполагаемый эффект вечером.

Рис. 52. Схематическое изображение эксперимента Дикке.

Различие величин гравитационного ускорения золота и алюминия, вызванного Солнцем, привело бы к изменению знака результирующего закручивающего момента от утра к вечеру. Большой алюминиевый шар обладает такой же массой, как и маленький шар из золота, имеющего более высокую плотность.

д) Какова цель проведённого обсуждения? На груз отвеса, расположенный поблизости от поверхности Земли, действуют гравитационное ускорение 𝑔_𝑠 направленное к Солнцу, и равное ему по абсолютной величине, но противоположное по направлению центробежное ускорение 𝑣²/𝑅 (от Солнца). В результате в ускоренно движущейся системе отсчёта Земли действующая на груз результирующая сила, в целом обусловленная существованием Солнца, оказывается равной нулю. Но именно так мы и строили с самого начала инерциальную систему (разд. 2), положив, что эта система отсчёта находится в состоянии свободного падения к центру гравитационного притяжения. Покоящаяся на земной поверхности частица находится в состоянии свободного падения относительно Солнца, и поэтому результирующая сила, действующая на неё со стороны последнего, просто равна нулю. Какое же тогда может иметь отношение всё это к установлению равенства гравитационного ускорения, действующего на частицы различного состава, т.е. к предмету эксперимента Дикке? Ответ. Наша цель – обнаружить разницу (если таковая имеется) в гравитационном ускорении 𝑔_𝑠, действующем со стороны Солнца на различные вещества. Предполагается, что центробежное ускорение 𝑣²/𝑅 при движении вокруг Солнца по данной круговой орбите одно и то же для всех веществ и поэтому выйдет из игры при сравнении их ускорений. Рассмотрим крутильные весы, подвешенные за центр масс на кварцевой нити (рис. 52, а). На концах лёгкого стержня длины 𝑙 две равные массы из разных веществ (например, из алюминия и из золота). Предположим теперь, что величина гравитационного ускорения 𝑔₁, действующего на золото со стороны Солнца, несколько превышает ускорение 𝑔₂, действующее на алюминий со стороны Солнца. Тогда влияние Солнца выразится в форме слабого результирующего закручивающего момента, действующего на крутильные весы. Покажите, что в случае расположения Солнца, изображённого на рис. 52, а, этот закручивающий момент действует против часовой стрелки, если смотреть сверху. Покажите также, что его абсолютная величина даётся выражением

⎛

⎜

⎝

Закручивающий

момент

⎞

⎟

⎠

=

𝑚𝑔₁

𝑙

2

–

𝑚𝑔₂

𝑙

2

=

=

𝑚(𝑔₁-𝑔₂)

𝑙

2

=

𝑚𝑔

_𝑠

Δ𝑔

𝑔_𝑠

𝑙

2

.

(55)

Предположим, что отношение Δ𝑔/𝑔_𝑠 равно максимальной величине (3⋅10⁻¹¹), не противоречащей результатам последних экспериментов, длина 𝑙 равна 0,06 м, а масса каждого груза составляет по 0,03 кг. Чему равна тогда величина результирующего закручивающего момента? Сравните эту величину с тем закручивающим моментом, который даёт бактерия (масса 10⁻¹⁵ кг), если её посадить на конец метрового стержня, уравновешенного относительно его середины в гравитационном поле Земли.

е) С Земли мы видим, как Солнце движется по небу. По прошествии 12 час расположение Солнца станет таким, как это изображено на рис. 52, б. Покажите, что в этой новой конфигурации результирующий закручивающий момент будет иметь то же численное значение, которое вы вычислили раньше, но направлен он будет теперь уже по часовой стрелке, если смотреть сверху, т.е. прямо противоположно случаю, рассмотренному в пункте (д)! Такое изменение закручивающего момента, происходящее каждые 12 час, делает возможным зарегистрировать, пользуясь крутильными весами, малую разность Δ𝑔=𝑔₁-𝑔₂ ускорений, которым подвергаются золотой и алюминиевый образцы. Так как крутильные весы подвергаются различным вибрациям, вызванным флуктуациями, движением транспорта, движениями земной коры и пр., необходимо учитывать лишь те отклонения, которые происходят в фазе с изменением положения Солнца.

ж) Действующий на стержень закручивающий момент приводит к повороту кварцевой нити на угол θ рад по формуле

Закручивающий момент = 𝑘θ

где 𝑘 – константа жёсткости нити по отношению к закручиванию. Показать, что максимальный размах поворотов крутильных весов за время одного поворота Земли вокруг оси выражается формулой

θ

_полн

=

𝑚𝑔_𝑠𝑙

𝑘

Δ𝑔

𝑔

.

з) Реальный вариант крутильных весов Дикке состоит из золотого и алюминиевого грузов массой по 0,030 кг, укреплённых на концах спицы длиной 6⋅10⁻² м. Эта спица подвешивалась в вакууме на кварцевой нити, константа жёсткости которой по отношению к кручению равна 2⋅10⁻⁸ ньютон⋅м/радиан (н⋅м/рад). Статистическая обработка данных по угловым смещениям таких крутильных весов за продолжительные интервалы времени привела к заключению, что отношение Δ𝑔/𝑔 для пары золото – алюминий менее чем 3⋅10⁻¹¹. Какому среднему максимальному размаху поворотов за время одного обращения Земли вокруг оси соответствует эта величина? Случайные движения (флуктуации) крутильных весов, т.е. шумы, обладают намного большей амплитудой, и поэтому требуется статистическая обработка данных с помощью электронной вычислительной машины. ▼

36*. Долой теорию относительности!

Мистер Большой Скептик – человек образованный, логически мыслящий и даже окончивший школу. Но он выдвигает ряд возражений против теории относительности. Дайте же ответ на каждое возражение так, чтобы камня на камне от него не оставить, но при этом не критикуя его! Если хотите, составьте просто связный единый рассказ о том, как и почему физик приходит к релятивистскому миросозерцанию, и ответьте в этом рассказе на все возражения мистера Большого Скептика.

а) «Наблюдатель 𝐴 говорит, что часы отстают у наблюдателя 𝐵, тогда как 𝐵 говорит, что часы отстают у 𝐴. В этом – нарушение логики. Поэтому от теории относительности следует отказаться».

б) «Наблюдатель 𝐴 говорит, что метровые стержни наблюдателя 𝐵 укоротились, тогда как 𝐵 говорит, что укоротились метровые стержни наблюдателя 𝐴. В этом – нарушение логики. Поэтому от теории относительности следует отказаться».

в) «Теория относительности не допускает даже однозначного определения пространственных и временной координат. Поэтому всё, что утверждается в ней о скоростях (а значит, и о движении вообще), лишено смысла».

г) «В теории относительности постулируется, что свет распространяется с универсальной скоростью, не зависящей от того, в какой системе отсчёта мы исследуем его распространение. Этот постулат никак не может быть верным. Всякий здравомыслящий человек знает, что, полетев с большой скоростью в сторону, куда от него удаляется световой импульс, он тем самым снизит скорость удаления этого импульса от себя. Значит, свет не может обладать одной и той же скоростью для наблюдателей, движущихся друг относительно друга. Такое опровержение основного постулата подрывает в корне всю теорию относительности».

д) «Нет ни единого опытного подтверждения результатов теории относительности».

е) «Теория относительности не может предложить никакого способа описывать событие, не привлекая координат, и никакого способа говорить о координатах, не связывая себя с той или иной конкретной системой отсчёта. Но ведь физические события существуют независимо от какого бы то ни было выбора систем координат или выбора систем отсчёта. Таким образом, теория относительности со своими координатами и системами отсчёта не может дать полноценного описания этих событий».

ж) «Теория относительности говорит лишь о том, как мы наблюдаем события, а не о том, что реально происходит. Значит, это не научная теория, так как наука имеет своим предметом объективную реальность». ▼

Д. ПРИБЛИЖЕНИЕ МАЛЫХ СКОРОСТЕЙ

37. Эвклидова аналогия – подробный пример

Пусть угол между соответствующими осями двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых (декартовых) систем, θ_𝑟, весьма мал. Пользуясь приведёнными в табл. 8 разложениями в ряды, найдите приближённый вид формул преобразования, связывающих значения координат некоторой данной точки в этих двух системах. Пренебрегите степенями θ_𝑟 выше первой.

Решение. При малых θ_𝑟 табл. 8 даёт

sin θ

_𝑟

≈

θ

_𝑟

,

cos θ

_𝑟

≈

1,

Поэтому формулы преобразования в эвклидовой геометрии, обратные формулам (29), приобретают вид

𝑥'

=

𝑥 cos θ

_𝑟

–

𝑦 sin θ

_𝑟

≈

𝑥-θ

_𝑟

𝑦

,

𝑦'

=

𝑥 sin θ

_𝑟

+

𝑦 cos θ

_𝑟

≈

θ

_𝑟

𝑥+𝑦

.

(56)

Эти приближённые формулы преобразования могут быть сделаны сколь угодно точными, для чего достаточно взять соответственно малый угол θ_𝑟.

38. Преобразование Галилея

Предположим, что величина β_𝑟 весьма мала. Тогда β_𝑟=th θ_𝑟≈θ_𝑟. Пользуясь приведёнными в табл. 8 разложениями в ряды и пренебрегая степенями θ_𝑟 выше первой, покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают вид (β_𝑟≪1)

𝑥'

=

𝑥-β

_𝑟

𝑡

(57)

и

𝑡'

=-

β

_𝑟

𝑥+𝑡

.

(58)

Теперь, исходя из обыденных нерелятивистских ньютоновских соображений, выведите формулы преобразования, связывающие между собой две системы отсчёта. Это преобразование называется преобразованием Галилея и выражается формулами

𝑥'

=

𝑥-𝑣

_𝑟

𝑡

_сек

(59)

(собственно преобразование Галилея) и

𝑡

_сек

'

=

𝑡

_сек

.

(60)

Здесь 𝑣_𝑟 – скорость относительного движения двух систем отсчёта, выраженная в метрах в секунду.

Может показаться, что формулы (57) и (58) и формулы (59) и (60) полностью противоречат друг другу. Справедливо ли это первое впечатление, а если нет, то почему? [Обсуждение. Почему в преобразовании Галилея (59) скорость 𝑣_𝑟 заменяет величину β_𝑟 из формулы (57)? Какой вид принимает формула (58), если подставить в неё величины 𝑣_𝑟 и 𝑡_сек? Как соотносятся друг с другом обыденные скорости и скорость света?] ▼

39*. Пределы применимости преобразования Галилея

Перейдите к более точному приближению в записи формул преобразования Лоренца при малых относительных скоростях, сохранив члены порядка θ_𝑟², но продолжая пренебрегать членами более высоких порядков. (Это —«второе приближение по θ_𝑟». Обратите внимание на то, что, согласно табл. 8, разложение th θ_𝑟 даже во втором порядке по θ_𝑟 даёт β_𝑟≈θ_𝑟). Покажите, что и в этом улучшенном втором приближении коэффициенты при 𝑥 и 𝑡 согласуются с соответствующими коэффициентами в формулах (57) и (58) с точностью, превышающей 1%, если скорости β_𝑟 ниже чем ¹/₇.

Если гоночный автомобиль может при постоянном ускорении с места набрать за 7 сек скорость 60 миль/час (около 27 м/сек), то за сколько дней (приблизительно) он достигнет при том же ускорении скорости β=1/7? За сколько дней можно достичь этой скорости при наивысшем ускорении, переносимом человеческим организмом в течение длительных периодов времени (около 7 𝑔, т.е. при семикратном ускорении свободного падения)? ▼