Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 14 (всего у книги 27 страниц)
13. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНЕРГИИ И МАССЫ ПОКОЯ
Масса покоя конечного состояния системы при неупругом соударении больше, чем масса покоя начального состояния
Полный импульс всех частиц системы сохраняется при столкновении; сохраняется и их полная энергия (сумма энергий покоя и кинетических энергий). Этим принципом мы руководствовались, изучая столкновения частиц. Но будет ли верным придерживаться этого принципа, перейдя от упругих столкновений к неупругим? Пусть пластилиновый шарик с большой скоростью налетает на другой пластилиновый шарик, покоящийся на поверхности катка. При столкновении они слипаются и вместе скользят по льду. Мы с готовностью примем, что к такому столкновению применим закон сохранения импульса, но есть ли основания думать, что здесь имеет смысл применять и закон сохранения энергии? При таком столкновении часть энергии превратится в теплоту, а другая часть первоначальной энергии превратится во вращательную энергию крутящейся вокруг своего центра масс гантели, образованной слипшимися шариками. Как описать адекватно этот более сложный случай, если при характеристике системы мы ограничимся лишь двумя величинами, 𝐸 и 𝑝, связанными между собой элементарной формулой 𝐸²-𝑝²=𝑚²?
Ответ: следует признать, что масса покоя конечного состояния системы превышает сумму масс покоя объектов до столкновения. Это – новое утверждение физики пространства-времени, которого не знала и о котором вообще не могла догадываться ньютоновская механика. Возрастание массы покоя измеряет как раз ту энергию, которая перешла в теплоту и в энергию вращения, а также в прочие формы внутреннего возбуждения конечного состояния системы. Если не учитывать того изменения массы покоя, которое происходит при многих столкновениях, мы столкнёмся с кажущимися нарушениями закона сохранения энергии, либо закона сохранения импульса, либо обоих этих законов.
Как производить учёт этого изменения массы покоя? В примере с двумя пластилиновыми шарами следует применить:
1) закон сохранения энергии
𝐸конечная = 𝐸начальная = 𝐸₁ + 𝑚₂ ;
2) закон сохранения импульса
𝑝конечный = 𝑝начальный = 𝑝₁ + 𝑝₂ = 𝑝₁
и 3) соотношение
(𝑚конечная)² = (𝐸конечная)² – (𝑝конечный)² .
Мы получим тогда
(
𝑚
конечная
)
²
=
(
𝐸₁
+
𝑚₂
)
²
–
𝑝₁²
=
=
𝐸₁²
+
2𝐸₁𝑚₂
+
𝑚₂²
–
𝑝₁²
=
=(
𝐸₁²
–
𝑝₁²
)+
2𝐸₁𝑚₂
+
𝑚₂²
=
=
𝑚₁²
+2(
𝑚₁
+
𝑇₁
)
𝑚₂
+
𝑚₂²
=
=
(𝑚₁+𝑚₂)²
+
2𝑇₁𝑚₂
.
(92)
Законы сохранения справедливы во всех случаях столкновений – упругих, неупругих и сверхупругих
Очевидно, что масса покоя объединившихся шаров больше, чем сумма масс покоя первоначальных объектов 1 и 2. Кроме того, эта добавочная масса покоя тем больше, чем больше кинетическая энергия соударения 𝑇. Из этого примера мы заключаем, что законы сохранения энергии и импульса в равной мере справедливы (и равно полезны) как при упругих, так и при неупругих столкновениях.
Как же реализуется это неожиданное «бесплатное приложение» к законам сохранения? Что оно говорит нам об эквивалентности энергии и массы покоя? Эти вопросы требуют более детального обсуждения.
«Энергия сохраняется в каждой системе отсчета, если импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчета, так и в системе ракеты». При доказательстве этой теоремы на основании уравнений (79) и (80) не имело значения, один ли объект получался в результате столкновения, или разлетались тысячи осколков, или между двумя частицами происходило упругое соударение. Физика знает множество реакций, при которых изменяется число частиц. Одной из самых драматических является рождение пары электронов, один из которых имеет отрицательный, а другой – положительный заряд (электрон и позитрон), когда в пустом пространстве сталкиваются два носителя энергии, например при столкновении двух электронов:
𝑒⁻
(быстрый)
+
𝑒⁺
(покоящийся)
=
𝑒⁻
+
𝑒⁻
+
𝑒⁻
+
𝑒⁺
.
Такой процесс называется неупругим, так как кинетическая энергия превращается в массу покоя. Существуют также сверхупругие процессы, при которых часть массы покоя объекта (законсервированная внутренняя энергия) превращается в энергию кинетическую:
⎛
⎜
⎝
Медленный
электрон
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Атом, содержащий
энергию
внутреннего
возбуждения
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
=
⎛
⎜
⎝
«Разрядившийся»
атом
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
Быстрый
электрон
⎞
⎟
⎠
.
Наконец, происходят процессы распада, когда одна частица превращается в две частицы с меньшей суммарной массой покоя:
𝐾⁺
→
π⁺
+
π⁰
;
положительный 𝐾-мезон (масса 967 масс электрона) распадается за 10⁻⁸ сек на положительный пи-мезон (масса 273 массы электрона) и нейтральный пи-мезон (масса 264 массы электрона).
Все усложнения, происходящие в теории вследствие изменения числа частиц, никоим образом не сказываются на справедливости законов сохранения импульса и энергии. К счастью, продукты реакции и частицы, вступающие в реакции, вместе с их энергиями и импульсами, могут быть определены и исследованы независимо от того, является ли упругой или неупругой реакция, которая только что произошла с ними или которая должна вскоре произойти. Каждая частица всегда несёт с собой свой 4-вектор энергии-импульса. При этом она не знает о том, предстоит ли ей испытать упругое или неупругое столкновение. Она неизбежно должна всегда располагать всей бухгалтерией, необходимой для возможного упругого столкновения. Поэтому независимо от того, предстоит ли упругое или неупругое столкновение, до этого столкновения импульс и энергия каждой частицы являются вполне определёнными. Следовательно, определёнными являются и полные импульс и энергия всей системы до столкновения. Подобным же образом известны полные импульс и энергия и после столкновения. Поэтому можно говорить об изменении (если таковое происходит) полных энергии и импульса в ходе столкновения. Это изменение при упругом столкновении равно нулю. Изменение энергии отсутствует также и в неупругих столкновениях ввиду того, что изменение полного импульса равно нулю как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты; порука тому – наши прежние рассуждения [см. уравнения (79) и (80)]. Мы никогда не имели никаких серьёзных оснований для сомнения в том, что импульс, а значит, и энергия сохраняются в неупругих соударениях.
Что можно сказать теперь о подтверждении законов сохранения импульса и энергии в неупругих процессах данными наблюдений? Импульс и энергия были определены таким образом, чтобы они сохранялись при простейших упругих столкновениях. Поэтому уже невозможно изменить их определения с тем, чтобы привести в соответствие с более широким кругом процессов столкновения. Значит, либо измеренные в любых экспериментах изменения импульса и энергии равны нулю, и тогда законы сохранения импульса и энергии образуют фундаментальный принцип, либо изменение импульса и энергии отлично от нуля, и в этом случае данные опыта привели бы к революции, опрокинув принципы теории относительности. Результаты наблюдений показывают, что изменение равно нулю. Такая проверка повторяется ежедневно и ежечасно в ходе постоянной регистрации столкновений частиц высоких энергий в лабораториях всего мира.
Мы располагаем бесчисленными данными наблюдений, подтверждающими выполнение законов сохранения
Анализ экспериментов по проверке законов сохранения и обсуждение нашего опыта в их истолковании см. в упражнениях 90—100.
Энергия, высвобождающаяся при сгорании угля или газа, при взрыве динамита, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако, если перевести её величину на язык эквивалентной массы, мы обнаруживаем, что перешедшая в энергию часть массы не составляет и 10⁻⁹ от полной величины массы покоя (см., например, упражнение 63), а такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью приборов, которыми мы сейчас располагаем. Поэтому в поисках той области, где было бы возможно досконально проверить законы сохранения, мы вынуждены обращаться к миру физики элементарных частиц и к миру ядерной физики.
Таблица 11.
Сколько проверок геометрии Эвклида и геометрии Лоренца производится каждый год?
Проверки эвклидовой геометрии
Проверки лоренцевой геометрии
42 000
геодезистов (согласно статистическим данным США за 1963 г.), каждый из которых производит по 20 съёмок в год, определяя при каждой по
𝑛
вершин ограничивающего многоугольника, измеряя внутренний угол при каждой вершине, складывая углы и сравнивая полученную сумму с величиной (
𝑛-2
)
⋅180°
, предсказываемой эвклидовой геометрией
50 ускорителей элементарных частиц (ориентировочно), дающих частицы с энергией выше 100
Мэв
, каждый из которых работает по 100 дней в году и каждый регистрирует по 200 столкновений в день, в которых должны были бы чувствоваться отклонения от релятивистских законов сохранения
Результат
:
800 000
проверок в год, каждая с относительной точностью
1⋅10⁻⁴
или выше
Результат
:
1 000 000
проверок в год, каждая с относительной точностью
1⋅10⁻⁴
или выше
В ядерной физике многие объекты исследования живут лишь очень короткое время. Нелегко точно определить значения масс таких короткоживущих частиц с помощью обычных масс-спектрометров. Вместо этого их массы определяются с помощью законов сохранения импульса и энергии, применяемых к процессам столкновений или превращений частиц, массы одной или более из которых нам уже известны. Уже при таких расчётах можно проверять законы сохранения, так как интересующая нас частица часто образуется в ходе нескольких различных реакций. Однако для того, чтобы непосредственно проверить равенство энергии, выделяющейся при превращениях, и энергии, вычисляемой по изменению величины массы покоя, лучше обратиться к миру ядерной физики. Там величина массы определяется непосредственно и с высокой степенью точности как для стабильных ядер, так и для некоторых нестабильных.
Ядерная физика предоставляет особенно благоприятные возможности для точной проверки законов сохранения
Возможности точного сравнения величины выделяющейся энергии и изменения массы наиболее благоприятны в случае лёгких ядер, так как при этом изменение массы в ходе рядовой ядерной реакции составляет более значительную часть полной массы и, следовательно, может быть более точно определено, чем в случае тяжёлых ядер. Мы рассмотрим поэтому реакцию между двумя самыми лёгкими атомными ядрами,– ту реакцию, которая к тому же имеет громадное значение в наш ядерный век:
⎛
⎜
⎝
Быстрый
дейтрон
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
Покоящийся
дейтрон
⎞
⎟
⎠
↗
↘
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Протон
с очень
высокой
энергией
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Ядро
трития с
высокой
энергией
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Нейтрон
с очень
высокой
энергией
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Ядро
гелия-3 с
высокой
энергией
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
или
𝙷²
(быстрый)
+
𝙷²
↗
↘
𝙷¹
+
𝙷³
𝑛
+
𝙷𝚎³
(93)
Обе альтернативные реакции, описываемые схемой (93), происходят со сравнимыми частотами при взрыве водородной бомбы (или «термоядерного оружия»). Они приводят к высвобождению значительной энергии, что характерно для устройств, использующих дейтерий («тяжёлый водород» 𝙷²). Кинетическая энергия продуктов такой термоядерной реакции в сотни раз превышает кинетическую энергию первоначальных дейтронов.
Масса ядра трития, определённая из законов сохранения, согласуется с его массой, измеренной с помощью спектрометра
Реакция, приводящая к возникновению ядра трития [первая из двух альтернативных реакций (93)], служит наиболее точным самостоятельным методом проверки законов сохранения, какой только возможно найти в физике вообще. Реализация этого метода возможна потому, что с помощью масс-спектрометра удаётся независимым образом точно определять массы покоя всех частиц, принимающих участие в этой реакции (дейтрона, протона и ядра трития).
Но массу покоя нейтрона невозможно определить независимым образом столь же точно. Поэтому мы не концентрируем внимания на второй реакции (93), приводящей к образованию нейтрона. Она непригодна для проведения наиболее точных проверок эквивалентности массы и энергии. Нейтрон – нестабильная частица (со средним временем жизни около 17 мин), а что важнее всего, он безразличен к воздействию электрического и магнитного полей в масс-спектрометре (электрически нейтрален!). Такая безразличность является препятствием для прецизионного независимого определения массы нейтрона.
Допустим, что мы сосредоточили бы здесь своё внимание не на ядре трития, а на нейтроне. На что могли бы мы надеяться, не располагая независимо определённым точным значением массы нейтрона? Нам пришлось бы отказаться от попыток проверки законов сохранения, и вместо этого мы могли бы использовать законы сохранения для определения массы нейтрона с относительной точностью около 10⁻⁵. Что же может гарантировать нам, что законы сохранения дают в применении ко второй реакции средство для надёжного определения массы нейтрона? Дело в том, что законы сохранения, если применить их к первой реакции, дают такое значение массы ядра трития, что оно согласуется с данными масс-спектрометрии даже лучше, чем до 10⁻⁵ своей величины. (См. на стр. 166—167 «Анализ реакции 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³»). Как эта последняя проверка законов сохранения, обладающая наивысшей точностью, так и множество других экспериментов в прочих областях физики, проводимых с несколько меньшей прецизионностью, убедительно говорят о полноценности принципа сохранения.
Необходимо сделать оговорку о тех единицах, в которых проведены расчёты на стр. 166—167. В принципе было бы естественно выразить все значения энергии и импульса в килограммах по аналогии с предыдущими расчётами в этой главе. Однако для этого пришлось бы перевести все величины, измеренные с помощью масс-спектрометра, из «атомных единиц массы» (АЕМ – новая шкала, выбранная в 1961 г., когда перешли от 𝙾¹⁶=16,000 к 𝙲¹²=12,000) в килограммы, одновременно переведя значения кинетической энергии, измеряемые физиками-ядерщиками в электронвольтах, в килограммы. Удобнее выражать энергию в единицах АЕМ, избегая расчётов, в ходе которых АЕМ переводятся в килограммы. К тому же все используемые нами формулы справедливы при любом выборе единиц для массы-энергии, лишь бы только эти единицы последовательно использовались от начала и до конца. Но тогда будет нужно перейти от электронвольт к АЕМ. Как это сделать? К счастью, для этого нет необходимости знать число килограммов, содержащихся в 1 АЕМ, или, что то же, не надо знать, сколько атомов содержится в одном грамм-атоме (число Авогадро 𝑁=(6,02252±0,00028)⋅10²³). Та неопределённость, с которой в настоящее время известна эта величина (10⁻⁵), повлияла бы на все наши выводы, если бы мы захотели совершить переход к килограммам. Множитель перехода от электронвольт к АЕМ вычислен на стр. 168.
АНАЛИЗ 1) РЕАКЦИИ 𝙷² (БЫСТРЫЙ) +𝙷²→𝙷¹+𝙷³
1) Приведённые здесь экспериментальные данные были опубликованы в статье Е.N. Strait, D.М. Van Patter, W.W. Buechner, A. Sperduto, Physical Review, 81, 747 (1951). Авторы выражают признательность Бюхнеру и Спердуто за дополнительную информацию и за обсуждение последовательной интерпретации этих данных.
Законы сохранения импульса и энергии:
𝐸₂
+
𝑚₂
=
𝐸
₁
+
𝐸
₃
(сохранение энергии),
(94)
𝑝₂
𝑥
+
0
=
0
+
𝑝
₃
𝑥
⎛
⎜
⎜
⎝
сохранение
компоненты 𝑥
импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
(95)
0
+
0
=
𝑝
₁
𝑦
+
𝑝
₃
𝑦
⎛
⎜
⎜
⎝
сохранение
компоненты 𝑦
импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
(96)
0
+
0
=
0
+
𝑝
₃
𝑦
⎛
⎜
⎜
⎝
сохранение
компоненты 𝑧
импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
(97)
Нижние индексы указывают здесь массовое число изотопа, а черта над символом означает, что эта величина взята после реакции.
Любое из четырёх уравнений (94) – (97) может рассматриваться как независимый источник информации о ядре трития – либо относительно его энергии, либо о соответствующей компоненте его импульса. Но нас интересует не вся совокупность этой информации – мы хотим найти одну простую характеристику ядра трития, не совпадающую ни с одной из этих четырёх величин, а именно его массу покоя. К счастью, эта масса покоя определяется как абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса:
𝑚₃²
=
𝐸
₃²
–
(
𝑝
₃
𝑥
)²
–
(
𝑝
₃
𝑦
)²
–
(
𝑝
₃
𝑧
)²
.
(98)
Подставим в эту формулу величины компонент из уравнений (94)—(97); мы получим тогда
𝑚₃²
=(
𝐸₂
+
𝑚₂
–
𝐸
₁
)²-(
𝑝₂
𝑥
+0-0)²-(0+0-
𝑝
₁
𝑦
)²-
-(0+0-0)²
=
=
[
𝐸
₁²-0-(
𝑝
₁
𝑦
)²-0]
+
[𝐸₂²-(𝑝₂
𝑥
)²-0-0]
+
+
𝑚₂²
–
2𝑚₂
𝐸
₁
+
2𝑚₂
𝐸
₂
–
2𝐸₂
𝐸
₁
=
=
[𝑚₁²]
+
[𝑚₂²]
+
+
𝑚₂²
–
2𝑚₂
𝐸
₁
+
2𝑚₂
𝐸
₂
–
2𝐸₂
𝐸
₁
=
=
𝑚₁²
+2
(𝑚₂+𝐸₂)
(𝑚₂-
𝐸
₁)
,
𝑚₃²
=
𝑚₁²
+2(
𝑚₂
+
𝑚₂
+
𝑇₂
)(
𝑚₂
–
𝑚₁
–
𝑇
₁
).
(99)
Мы воспользовались здесь соотношениями вида 𝐸=𝑚+𝑇, связывающими кинетическую и полную энергии.
Рис. 92. Доказательство того, что протоны (𝙷¹), образуемые в реакции 𝙷² (1,808 Мэв) + 𝙷² (покоящийся) → → 𝙷¹ (очень быстрый) + 𝙷³ (быстрый)
под углом 90° к направлению движения первоначального дейтрона (𝙷²), обладают энергией 3,467 Мэв. (Значение 3,467 Мэв было получено при сравнении приведённых здесь результатов с данными ряда аналогичных промеров). Число протонов, вылетающих с энергиями в интервале от 𝐸-0,1 Мэв до 𝐸+0,1 Мэв, изображено как функция 𝐸. Разброс энергий вызван конечной толщиной мишени; конечной шириной щели, выделявшей пучок; неоднородностями магнитного поля и т.д. Экспериментальная кривая взята из D.М. Van Patter, W.W. Вueсhner, Physical Review, 87, 51 (1952).
Нам известны значения всех величин в правой части уравнения (99). Таким образом, с помощью этого уравнения можно предвычислить величину массы ядра трития 𝑚₃. Численные значения масс, фигурирующих в правой части уравнения (99), находятся из опытов с масс-спектрометром и выражаются в «атомных единицах массы», АЕМ, где за основу взята масса изотопа углерода 𝙲, принятая за 12,0000…АЕМ. Эти массы равны
𝑚₂
=
2,0141019±0,0000003
АЕМ;
(100)
𝑚₁
=
1,0078252±0,0000003
АЕМ.
(101)
Кинетические энергии были измерены в опытах с ядерными реакциями (см. рис. 92):
⎛
⎜
⎝
Кинетическая энергия
первоначального дейтрона
⎞
⎟
⎠
=
𝑇
₂
=
=(
1,808±0,002
Мэв
)×
×(
1,073562⋅10⁻³
АЕМ/
Мэв
)=
=
0,001941±0,000002
АЕМ
(102)
(вывод множителя перехода от единиц Мэв к атомным единицам массы см. стр. 168);
⎛
⎜
⎝
Кинетическая энергия
полученного дейтрона
⎞
⎟
⎠
=
𝑇
₁
=
=(
3,467±0,0035
Мэв
)×
×(
1,073562⋅10⁻³
АЕМ/
Мэв
)=
=
0,003722±0,000004
АЕМ.
(103)
Подставим эти значения в равенство (99), используя лишь шесть значащих цифр соответственно точности измерений кинетической энергии. Два члена в правой части этого равенства оказываются равны
𝑚₁²
=
1,015712
АЕМ
²
2(2𝑚₂+𝑇₂)
(𝑚₂-𝑚₁-
𝑇
₁)
=
8,080881±0,00003
АЕМ
²
⎛
⎜
⎝
Сумма этих
членов
⎞
⎟
⎠
=
𝑚₃²
=
9,096593±0,00003
АЕМ
²
.
Квадратный корень этой величины и есть масса ядра трития, предсказываемая при анализе данной ядерной реакции:
𝑚₃
=
3,016056±0,000015
АЕМ.
(104)
Сравним это значение массы ядра трития со значением, измеренным с помощью масс-спектрометра 1):
𝑚₃
=
3,0160494±0,0000007
АЕМ.
(105)
Относительная разница между этими двумя результатами составляет около 2⋅10⁻⁶ и меньше, чем величина ошибки в результате, полученном при анализе опыта по ядерным реакциям. Такое точное предсказание величины массы ядра трития, исходя из релятивистских законов сохранения, представляет собой отличное подтверждение справедливости этих законов сохранения.
1) Приведённые ниже спектрометрические величины для масс были определены по работе F. Еverling, L.А. König, J.Н.Е. Мattauch, А. Н. Wapstra, Nuclear Phys., 25, 177 (1961). Вместо этого можно было бы взять значения масс из стандартных таблиц масс ядер, однако значения масс, приведённые в этих таблицах, представляют собой «наилучший компромисс» между разного рода данными, включая не только результаты опытов по масс-спектрометрии, но анализ ядерных реакций, подобных рассматриваемой здесь нами. При составлении стандартных таблиц анализ данных, полученных при экспериментальном исследовании ядерных реакций, производится на основании релятивистских законов сохранения. Поэтому значения масс, взятые из стандартных таблиц, не могут служить для независимой проверки этих законов сохранения, которая нас здесь интересует. Это побуждает нас ограничиться пока масс-спектрометрическими значениями масс ядер. Когда же данный анализ и прочие исследования подтвердят законы сохранения, мы предпочтём основываться на данных стандартных таблиц, при составлении которых эти законы были использованы для определения наиболее надёжных значений масс, исходя из всевозможных доступных данных. В качестве стандартной таблицы можно указать: L.А. König, J.Н.Е. Мattauch, А.Н. Wарstra, Nuclear Phys., 31, 18 (1962).
Множитель перехода от электронвольт к атомным единицам массы (АЕМ)
Искомый множитель перехода использован при вычислениях, проведённых на стр. 166—167, для перевода величин наблюдаемых кинетических энергий дейтрона и ядра трития из электронвольт в АЕМ, что потребовалось в целях окончательной проверки законов сохранения.
Один электронвольт есть то количество энергии, которое необходимо, чтобы перенести одну частицу с элементарным зарядом 𝑒 через разность потенциалов 1 вольт
Что такое 1 АЕМ? Возьмём 12 г 𝙲¹², разделим на 𝑁 и получим величину массы одного атома 𝙲¹²; по определению она равна 12 АЕМ. Следовательно, 1 AEM = 1/𝑁 г
↓
↓
Умножение на
𝑁
Умножение на
𝑁
↓
↓
𝑁 электронвольт есть та энергия, которая необходима, чтобы перенести 𝑁 элементарных зарядов через разность потенциалов 1 вольт
𝑁 атомных единиц массы, выраженных в единицах массы, эквиваленты 1 г или 0,001 кг
↓
↓
т.е. та энергия, которая необходима, чтобы перенести 1 моль электричества через разность потенциалов 1 вольт
а выраженные в единицах энергии эквиваленты 𝑚𝑐²=(0,001 кг) ⋅[(2,997925±0,000003)⋅10⁸ м/сек]²
↓
↓
или та энергия, которая необходима, чтобы перенести количество электричества, равное фарадееву электрохимическому эквиваленту (96487,0±1,6 кулон), через разность потенциалов 1 вольт: 96487,0±1,6 джоулей
т.е. эквивалентны (8,987554±0,000009)⋅10¹³ джоулей
↓
↓
Это 𝑁 электронвольт
Это 𝑁 атомных единиц массы
↘
↙
следовательно, 1 электронвольт эквивалентен
96487,0±1,6
(8,987554±0,000009)⋅10¹³
или (1,073562±0,000017)⋅10⁻⁹ АЕМ (относительная ошибка равна 1,6⋅10⁻⁵)
↓
т.е. 1 АЕМ эквивалентна (0,931478±0,000015)⋅10³ Мэв
В этих вычислениях масса ядра трития выступает как вывод, полученный при анализе законов сохранения, сопоставленный и подтверждённый методами масс-спектроскопии. Этот пример подтверждения физики пространства-времени впечатляет, и после него невозможно уже сомневаться в том, что энергия массы покоя способна превращаться в кинетическую энергию.
Тем не менее всё ещё может быть непонятным, как это такой простой принцип смог породить столь сложное равенство, как (99), которое мы применили для вывода массы ядра трития. Почему мы не взяли просто определённые спектрометрическим путём массы реагентов, такие же массы продуктов реакции и не сравнили их с балансом кинетической энергии при этом превращении? Что могло бы быть проще этого?!
Реагенты:
𝙷²
2.0141019
АЕМ
𝙷²
2.0141019
АЕМ
Сумма:
4,0282038
АЕМ
Продукты реакции:
𝙷¹
1,0078252
АЕМ
𝙷³
3,0160494
АЕМ
Сумма:
4,0238746
АЕМ
Разность:
0,0043292
АЕМ
Энергетический эквивалент:
4,0322546
Мэв
Трудность возникает лишь на следующем этапе, когда требуется определить из наблюдений полный выход кинетической энергии. Кинетическая энергия дейтрона, находившегося до реакции в движении, известна и равна 1,808 Мэв, тогда как кинетическая энергия протона после реакции равна 3,467 Мэв.
Однако при этом затруднительно измерять кинетическую энергию получающегося ядра трития, и эта энергия не измерялась. Но если неизвестна кинетическая энергия одного из продуктов реакции, то это значит, что не проводилось непосредственного измерения полного выхода кинетической энергии. Как же можно тогда сопоставить выход энергии при реакции с изменением масс покоя реагентов? Сводится ли на самом деле такое сравнение к какому-то непосредственному сопоставлению двух энергий? – Нет.
Измеряются кинетические энергии не всех частиц. Простое сравнение энергий невозможно
Можно составить ложное представление о происходящих явлениях, если думать, что они исчерпываются энергетическими переходами. При геодезической съёмке возможна столь же ошибочная концепция. Так, земельный план является многоугольником хитрой формы, наложенным на поверхность, которая не является плоской. Требуется найти длину прямолинейной границы 𝐴, а землемер измерил лишь разность координат по линии север – юг для 𝐴 и 𝐵. Если его воображение неспособно на большее, то он встанет в тупик! Подобным же образом безнадёжно определять массу ядра трития из приведённых выше данных для дейтрон-дейтронной реакции, основываясь лишь на энергиях. Необходимо учесть также баланс импульсов.
Определение массы ядра трития аналогично определению длины наклонной стороны многоугольника
Рис. 93. Определение массы ядра трития с помощью законов сохранения, рассматриваемое как геометрическая задача. Учтите: точки 𝑂, 𝐵, 𝐶 лежат в плоскости чертежа; точка 𝐴 лежит выше плоскости чертежа (𝑦-компонента импульса).
Массу ядра трития находят, пользуясь законами сохранения, подобно тому как землемер находит длину стороны многоугольника из ряда измерений на этом многоугольнике, пользуясь эвклидовой геометрией (рис. 93). Между этими двумя случаями имеется лишь одно существенное различие – в физике необходимо исходить из лоренцевой геометрии. Поэтому мы получим
(
𝑚₃
)
²
=
(
𝐸
–компонента
𝐴𝐵
)
²
–
(
𝑝
–компонента
𝐴𝐵
)
²
.
Энергетическая и импульсная компоненты стороны 𝐴𝐵 в этой формуле определяются по энергетическим и импульсным компонентам других трёх сторон многоугольника, т.е. по данным о других трёх частицах. Как найти значения 𝐸 и 𝑝 для одной из этих частиц, например для налетающего дейтрона? Ответ: с помощью процедуры, изображённой на рис. 94 и не похожей на обычно используемую при съёмках земельных планов! Предположим, что от землемера требовалось бы использовать метод, аналогичный применённому в опыте с реакцией 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³. Сделать это он мог бы, лишь воспользовавшись следующей необычной процедурой для нахождения компонент граничной прямой 𝐶𝐵 в направлениях север – юг и восток – запад (см. рис. 94, переводя его с языка физики частиц на язык геодезии!): 1) Измерение длины прямой 𝐶𝐵. 2) и 3) Измерение компоненты этого отрезка в направлении север – юг. 4) Использование теоремы Пифагора для нахождения компоненты отрезка 𝐶𝐵 в направлении восток – запад.
Рис. 94. Экспериментальное определение энергии и импульса как компонент 4-вектора энергии-импульса в опыте по соударению дейтронов, 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³. (Обозначение концов вектора через 𝐵 и 𝐶 – использование тех же обозначений, что и на рис. 93).
а – масса покоя (определённая с помощью масс-спектрометра);
б – кинетическая энергия (определяемая разностью потенциалов, через которую пропущены бомбардирующие дейтроны);
в – сумма энергии покоя и кинетической энергии (из соотношения 𝐸=𝑚+𝑇);
г – импульс (из соотношения 𝑝²=𝐸²-𝑚²).
Теперь мы разобрали, как определяются компоненты векторов энергии-импульса дейтрона-мишени (на рис. 93 отрезок 𝑂𝐶), налетающего дейтрона (𝐶𝐵) и выбитого протона (𝑂𝐴). Компоненты неизвестной четвёртой стороны многоугольника (отрезок 𝐴𝐵, соответствующий ядру трития) могут быть тогда найдены путём простого комбинирования трёх других известных 4-векторов – вычисления, начинающегося магической формулой «применим законы сохранения импульса и энергии»:
𝑝
₃
𝑘
=
𝑝₂
𝑘
+
𝑝₀
𝑘
–
𝑝
₁
𝑘
(𝑘=𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)
.
Индексом «нуль» обозначен первоначально покоившийся дейтрон. «Длина» искомой четвёртой стороны многоугольника сразу же даёт требуемую массу
(𝑚₃)²
=
(
𝑝
₃
𝑡
)²
–
(
𝑝
₃
𝑥
)²
–
(
𝑝
₃
𝑦
)²
–
(
𝑝
₃
𝑧
)²
.
Использование законов сохранения всегда связано с многоугольником, построенным из 4-векторов
Проделанный анализ показывает, что определение массы ядра трития, исходя из реакции 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³, имеет в высшей степени геометрический характер. Этим примером иллюстрируется общий принцип: используя законы сохранения энергии и импульса, мы всегда говорим о многоугольнике, построенном в пространстве-времени из 4-векторов. Если не считать различия между геометриями Лоренца и Эвклида, расчёты здесь не отличаются от проводимых в геодезии, тригонометрии или любых других исследованиях треугольников и многоугольников. Из этого сравнения физики элементарных частиц и геодезии, как ни из какого иного подхода, следует полный охват ситуаций, с которыми можно столкнуться при анализе экспериментов. Нет ни одной задачи из области столкновений частиц, реакций между ними и процессов их превращений, которая не имела бы своего аналога в элементарной геометрии. В табл. 12 подобраны и обсуждены некоторые примеры таких задач и их соответствующих аналогов.
Таблица 12.
Нахождение массы, энергии или другой физической величины с помощью законов сохранения аналогично нахождению длины одной из сторон многоугольника, угла или другой геометрической величины с помощью теорем эвклидовой геометрии
Физика частицАналог в геометрии Эвклидапроцессзадача 𝐴 (быстрая) + 𝐵 (мишень) → 𝐶 (наблюдаемая) + 𝐷 (ненаблюдаемая)
Известны: 𝑚𝐴, 𝑚𝐵, 𝑚𝐶
Измеряются: 𝐸𝐴, 𝐸𝐶 и направление 𝑝𝐶 относительно 𝑝𝐴
Вычисляются: неизвестная масса 𝑚𝐷
Даны (для неправильного четырехугольника, стороны которого не компланарны): длины трёх сторон, компоненты этих трёх сторон в направлении север – юг и угол между двумя из этих сторон с точки зрения наблюдателя, который смотрит вдоль третьей стороны
Найти: длину четвёртой стороны
Фотон (с импульсом 𝑝)+ Электрон (покоящийся) → Электрон (движущийся) + Фотон (с импульсом 𝑝)
Даны: масса покоя электрона, начальный импульс (или энергия, 𝐸=𝑝) фотона и направление вылета конечного фотона
Вычислить: импульс (или энергию 𝐸=𝑝) этого фотона («эффект Комптона», см. упражнение 70)
Даны (для неправильного четырехугольника, стороны которого не компланарны): длины всех четырёх сторон, компоненты двух сторон в направлении север – юг (аналог «энергии фотона и электрона до столкновения»!) и угол между двумя из сторон («фотон до и после рассеяния») с точки зрения наблюдателя, смотрящего вдоль третьей стороны («электрон-мишень»)
Найти: компоненту одной неизвестной стороны в направлении восток – запад
₉₄𝙿𝚞²³⁹ (покоящийся) → ₅₆𝙱𝚊¹⁴⁴+₃₈𝚂𝚛⁹⁵ (спонтанный распад ядра плутония на два фрагмента)
Измеряются: скорости тяжёлого и лёгкого фрагментов в опытах по времени полёта, а также масса 𝙿𝚞²³⁹ с помощью масс-спектрометра
Найти: массы покоя обоих фрагментов
Даны: большая сторона треугольника («масса покоя плутония») и два прилежащих угла («параметры скорости θ, связанные со скоростью по формуле (β=th θ»)
Найти: две другие стороны
Тот же процесс, что в предыдущем примере
Даны: данные измерений предыдущего примера
Найти: кинетическую энергию, высвободившуюся при распаде
