Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 18 (всего у книги 27 страниц)
Открытие Мёссбауэром процессов «без отдачи» сделало, таким образом, возможным распоряжаться источниками излучения, частота которых имеет фантастически узкий разброс порядка 3⋅10⁻¹³. В одном из следующих упражнений (в 87) говорится о применении для регулируемого изменения относительной эффективной частоты источника излучения, приёмника или обоих вместе на величины порядка 10⁻¹³, вызванные движением (допплеровское смещение). Какие применения может найти излучение строго определённой частоты? Их множество. Эффект Мёссбауэра является, например, основой важных новых методов в физике твёрдого тела, молекулярной физике и биофизике. Можно обнаружить изменения естественной частоты излучения ядер 𝙵𝚎⁵⁷, обусловленные влиянием других соседних атомов или внешними магнитными полями, и изучить таким образом взаимодействие между атомами железа и окружающим его веществом кристалла (пример: различие частот излучения 𝙵𝚎⁵⁷ в железном образце и в кристаллической решётке карбида железа); изучить взаимодействие между атомом железа в молекуле с остальной частью последней (пример: сдвиг частоты 𝙵𝚎⁵⁷ для атомов железа, связанных в молекулах гемоглобина). ▼
86**. Резонансное рассеяние
Ядра железа 𝙵𝚎⁵⁷ в основном (нормальном) состоянии поглощают гамма-лучи с резонансной энергией 14,4 кэв значительно сильнее, чем гамма-лучи с несколько иными энергиями. Поглощаемая при этом энергия переходит во внутреннюю энергию ядер, переводя 𝙵𝚎⁵⁷ в «возбуждённое состояние». По истечении некоторого времени такие возбуждённые ядра вновь излучают гамма-лучи в некотором случайном направлении и вновь возвращаются в основное состояние. Итак, гамма-лучи, поглотившись из первоначального направленного пучка, испускаются вновь во всех направлениях. Поэтому число гамма-квантов, прошедших сквозь тонкую пластинку, содержащую 𝙵𝚎⁵⁷, будет при резонансной энергии 14,4 кэв меньше, чем при любых соседних значениях энергии. Такой процесс называют резонансным рассеянием. Покажите, что при попадании гамма-кванта с резонансной энергией 𝐸₀ в первоначально покоившийся свободный атом железа этот гамма-квант не может быть поглощён его ядром, так как тогда не могут выполняться одновременно закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Покажите, что оба закона сохранения выполняются, если атом железа принадлежит кристаллу с массой 1 г и поглощает резонансный гамма-квант в ходе процесса без отдачи, когда импульс падающего гамма-кванта распределяется по всему кристаллу. («Выполняются»? Для импульса – да, для энергии – нет. Однако относительное несоответствие энергий, эквивалентное относительному несоответствию частот, меньше 3⋅10⁻¹³, т.е. достаточно мало, чтобы ядро атома железа «не заметило» этого несоответствия и поэтому поглотило падающий гамма-квант). ▼
87**. Измерение допплеровского смещения по резонансному рассеянию
Рис. 115. Резонансное рассеяние фотонов.
В экспериментальной установке, изображённой на рис. 115, источник, содержащий возбуждённые ядра 𝙵𝚎⁵⁷, испускает (наряду с прочими формами излучения) гамма-кванты с энергией 𝐸₀ без отдачи. Поглотитель, содержащий ядра 𝙵𝚎⁵⁷ в основном состоянии, поглощает часть этих гамма-квантов также в процессе без отдачи, вновь испуская их затем во всех направлениях. Поэтому счётчик гамма-лучей, расположенный, как это изображено на рисунке, зарегистрирует уменьшение потока гамма-квантов в случае поглотителя, содержащего 𝙵𝚎⁵⁷ в основном состоянии, по сравнению со случаем поглотителя без таких ядер 𝙵𝚎⁵⁷ Пусть теперь источник движется в сторону поглотителя со скоростью β. Какой должна быть его скорость, чтобы на поглотитель попадали гамма-лучи с частотой, относительный сдвиг которой равен 3⋅10⁻¹³, что соответствует широте резонансной линии? Выразите ответ в см/сек. Увеличится или уменьшится число зарегистрированных счётчиком гамма-квантов при этих условиях? Что произойдёт с этим числом, если источник будет удаляться от поглотителя с той же скоростью? Сделайте примерный чертёж зависимости числа зарегистрированных гамма-квантов от скорости источника. Позволяет ли этот метод измерять абсолютную скорость источника в нарушение принципа относительности? ▼
88**. Проверка эффекта гравитационного красного смещения с помощью эффекта Мёссбауэра
Гамма-квант с энергией 14,4 кэв, испущенный ядром 𝙵𝚎⁵⁷ без отдачи, летит вертикально вверх в однородном гравитационном поле. Чему будет равно относительное уменьшение энергии этого фотона при подъёме его на высоту 𝑧 (упражнение 73)? С какой скоростью и в каком направлении должен двигаться расположенный на такой высоте поглотитель, содержащий 𝙵𝚎⁵⁷, чтобы этот гамма-квант мог быть рассеян им без отдачи? Вычислите, чему равна такая скорость при высоте 22,5 м. Постройте чертёж зависимости числа зарегистрированных в единицу времени гамма-квантов от скорости движения поглотителя в двух предположениях: а) существования гравитационного красного смещения и б) отсутствия гравитационного красного смещения. В эксперименте, произведённом Паундом и Ребкой 1), из очень большого числа показаний счётчика фотонов был получен после статистического анализа результат: относительный сдвиг частоты при данных условиях Δν/ν₀=(2,56±0,26)⋅10⁻¹⁵.
1) R. V. Роund, G. A. Rеbka, Physical Review Letters, 4, 337(1960).
▼
89**. Проверка парадокса часов с помощью эффекта Мёссбауэра
История с Петром, оставившим своего брата-близнеца Павла в земной лаборатории, улетевшим с огромной скоростью и обнаружившим по возвращении, что Павел стал старше его, так противоречит нашему житейскому опыту, что для нас будет полной неожиданностью узнать, что такой опыт уже проделан, а предсказания теории полностью подтвердились! Чалмерс Шервин заметил, что в качестве близнецов можно взять два одинаковых атома железа с тем же успехом, как два живых существа 2). Пусть один из этих атомов всё время покоится, а другой движется по замкнутому пути, совершая, возможно, несколько кругов. Относительное различие в старении атомов-близнецов будет одним и тем же после миллиона кругов, как и после одного круга, но тогда его будет легче измерить. Как же заставить второй атом проделать множество круговых путешествий? Включим его в горячий кусок железа, где он будет колебаться взад и вперёд вокруг положения равновесия (тепловое возбуждение!). Как теперь измерить разницу в темпах старения? В истории с Петром и Павлом можно считать число праздничных хлопушек, которые каждый из них взрывал в свои дни рождения в период, пока они были разлучены друг с другом. В эксперименте с атомами железа сравнивается не число вспышек хлопушек между моментами расставания и встречи, а частота фотонов, испущенных в процессах без отдачи, т.е. фактически число «тик-так», сосчитанных двумя тождественными ядерными часами в течение одной лабораторной секунды. Иными словами, сравнивались эффективные частоты ВНУТРЕННИХ ядерных колебаний (не путать с колебаниями взад и вперёд атома железа как целого!) для наблюдаемых в лаборатории: а) покоящегося ядра железа и б) ядра железа в горячем образце.
2) Chalmers Shеrwin, Physical Review, 120, 17 (1960).
Покоящееся ядро железа получить трудно. Поэтому в реальном эксперименте сравнивались эффективные внутренние ядерные частоты, не для (а) и (б), а для (б) и (б'): двух кристаллов железа при разных температурах 𝑇 и 𝑇+Δ𝑇. Паунд и Ребка 1), произведя измерения, нашли, что более тёплый образец (Δ𝑇=1°𝐊) обладает относительным изменением эффективной частоты
1) R. V. Роund, G. A. Rеbka, Physical Review Letters, 4, 274 (1960).
Δν
ν
=
(-2,09±0,24)
⋅
10⁻¹⁵
(меньшее число колебаний; меньшее число «тик-так»; меньшее число дней рождения; замедление старения!).
Чтобы было проще понять этот эксперимент, возвратимся к идее покоящегося атома железа и атома-близнеца, подвергнутого тепловому возбуждению при температуре 𝑇. Предскажите относительное уменьшение числа внутренних колебаний в горячем образце за лабораторную секунду и сравните предсказание с данными опыта.
Рис. 116. Сравнение хода покоящихся ядерных часов с ходом ядерных часов, совершающих тепловое движение.
Обсуждение. На рис. 116 дано сравнение числа эффективных «тик-так» двух «внутренних ядерных часов» за интервал лабораторного времени 𝑑𝑡. Имейте в виду, что скорость атомов при тепловом возбуждении составляет около 10⁻⁵ от скорости света. Как можно приближённо представить коэффициент расхождения частот 1-√1-β²? Насколько уменьшается число «тик-так» горячего атома по сравнению с холодным, приходящееся на интервал лабораторного времени 𝑑𝑡? Покажите, что накапливающийся дефект числа «тик-так» для горячего атома составляет в 1 сек
ν₀
⎛
⎜
⎝
β²
2
⎞
⎟
⎠
средн
(1
сек
)
,
где через (β²)средн обозначена «средняя квадратичная величина скорости атома» (в единицах скорости света). Заметьте, что средняя кинетическая энергия теплового возбуждения горячего атома железа (масса 𝑚𝙵𝚎=57𝑚протон) Даётся классической кинетической теорией газов в виде
1
2
𝑚
𝙵𝚎
(β²)
средн
²
=
3
2
𝑘𝑇
.
Здесь 𝑘 – постоянная Больцмана – множитель перехода между двумя единицами энергии, градусами и джоулями (или градусами и эргами); 𝑘=1,38⋅10⁻²³ дж/град (𝑘=1,38⋅10⁻¹⁶ эрг/град). Как согласуется результат эксперимента Паунда и Ребки с результатом вашего исчисления? ▼
Д. СТОЛКНОВЕНИЯ
90. Симметричное упругое столкновение
При упругом столкновении частицы с массой 𝑚 и кинетической энергией 𝑇 с частицей той же массы, находившейся в состоянии покоя, направления скоростей частиц после столкновения образуют разные углы с первоначальным направлением движения первой частицы, если энергии частиц после рассеяния различны. Однако ньютоновская механика предсказывает, что угол α между векторами скорости частиц после рассеяния всегда равен 90°. Иное предсказание делает механика теории относительности: согласно ей этот угол должен быть меньше 90° (см. упражнение 40). Вопрос: насколько меньше 90° должен быть угол α в простейшем случае симметричного упругого столкновения, когда частицы после рассеяния обладают одинаковыми энергиями и разлетаются под одинаковыми углами к первоначальному направлению движения первой частицы (рис. 117)? Определите угол, исходя лишь из законов сохранения импульса и энергии в релятивистской форме.
Рис. 117. Симметричное упругое столкновение тождественных частиц.
Обсуждение. Чему равна полная энергия системы до столкновения? Какой должна быть поэтому полная энергия каждой из двух частиц после столкновения? Чему должен быть поэтому равен импульс частицы? (См. введение к упражнениям на стр. 179, где сказано о взаимосвязи между импульсом и энергией и о том, почему следует избегать всякого упоминания или использования скорости в задачах, относящихся лишь к импульсу и энергии). Каков был начальный импульс системы? Покажите, что искомый угол определяется выражением
cos²
α
2
=
𝑇+2𝑚
𝑇+4𝑚
.
Отсюда с помощью тригонометрического тождества
cos²
α
2
=
1
2
(1+cos α)
получите выражение
cos α
=
𝑇
𝑇+4𝑚
.
(124)
Чему равен полный угол α: 1) для ньютоновского упругого столкновения при малой скорости и 2) для ультрарелятивистского столкновения с очень большой величиной 𝑇? ▼
91. Давид и Голиаф – подробный пример
Какой минимальной кинетической энергией должен обладать электрон для того, чтобы передать половину своей кинетической энергии первоначально покоившемуся протону при упругом лобовом соударении? Проведите свои вычисления таким образом, чтобы в конце концов прийти к одному-единственному уравнению, решая которое можно (и должно) определить одну безразмерную неизвестную величину 𝑇𝑒/𝑚𝑝, где 𝑇𝑒 – кинетическая энергия налетающего электрона, а 𝑚𝑝 – масса покоя протона. Определите величину 𝑇𝑒,обычн в Мэв, приближённо принимая 𝑚𝑝 𝑐²≈1000 Мэв. (Если вы будете решать это уравнение приближённо, дайте оценку погрешности).
Решение. Эта задача сводится к алгебраическим преобразованиям, и главное в ней – избежать ненужных алгебраических преобразований! Столкновение предполагается упругим, так что электрон и протон не уничтожаются в результате его и не возникает никакого излучения. В этом случае закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии. Обозначим через 𝑇𝑒 кинетическую энергию налетающего электрона. В условии сказано, что после столкновения протон обладает половиной энергии налетающего электрона: 𝑇𝑝=𝑇𝑒/2. Поэтому и электрон уносит также половину своей первоначальной кинетической энергии: 𝑇𝑒=𝑇𝑒/2.
Столкновение является лобовым, так что все движения происходят вдоль оси 𝑥, а импульсы складываются как скаляры с учётом лишь их знаков. Электрон отскочит от протона, и поэтому его импульс после столкновения будет отрицательным. Из закона сохранения импульса следует
𝑝
𝑒
=
𝑝
𝑝
–
𝑝
𝑒
.
Чтобы связать импульс с энергией, воспользуемся общей формулой
𝐸²
–
𝑝²
=
𝑚²
,
откуда
𝑝²
=
𝐸²
–
𝑚²
=
(𝑇+𝑚)²
–
𝑚²
=
=
𝑇²
+
2𝑚𝑇
+
𝑚²
–
𝑚²
=
𝑇²
+
2𝑚𝑇
,
подчёркнутые члены взаимно уничтожаются, так что
𝑝
=
√
𝑇²+2𝑚𝑇
.
Поэтому закон сохранения импульса можно переписать в виде
√
𝑇
𝑒
²+2𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
=
⎛
⎝
𝑇
𝑝
²
+
2𝑚
𝑝
𝑇
𝑝
⎞½
⎠
–
⎛
⎝
𝑇
𝑒
²
+
2𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
⎞½
⎠
.
Подставляя сюда следствие закона сохранения энергии
𝑇
𝑝
=
𝑇
𝑒
=
𝑇𝑒
2
,
получаем
√
𝑇
𝑒
²+2𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
=
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒²
4
+
𝑚
𝑝
𝑇
𝑒
⎞½
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒²
4
+
𝑚
𝑒
𝑇
𝑒
⎞½
⎟
⎠
.
Деление этого соотношения с обеих сторон на √𝑇𝑒𝑚𝑝 даёт
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
+
2𝑚𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
⎞½
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
𝑚𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
.
Как и требовали условия задачи, в этом уравнении имеется лишь одна неизвестная величина 𝑇𝑒/𝑚𝑝. Мы решим его приближённо, исходя из того факта, что масса покоя электрона приблизительно в 2000 раз меньше массы покоя протона, т.е. 𝑚𝑒/𝑚𝑝≪1. Пренебрежём этим отношением в только что полученном выражении и найдём
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
≈
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
⎞½
⎟
⎠
–
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
,
3
2
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
𝑚𝑝
⎞½
⎟
⎠
≈
⎛
⎜
⎝
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
⎞½
⎟
⎠
.
Возводя обе стороны в квадрат, найдём
9
4
𝑇𝑒
𝑚𝑝
≈
𝑇𝑒
4𝑚𝑝
+
1
,
𝑇𝑒
𝑚𝑝
≈
1
2
.
Правильный ответ может отличаться от этого на часть или кратное величины 𝑚𝑒/𝑚𝑝=1/2000. Умножая решение с обеих сторон на 𝑚𝑝 𝑐², получим
𝑇
𝑒,
обычн
=
𝑇
𝑒
𝑐²
=
𝑚𝑝 𝑐²
2
=
1000 Мэв
2
=
500
Мэв
.
92. Абсолютно неупругое столкновение
Рис. 118. 4-вектор энергии-импульса составной частицы после абсолютно неупругого соударения.
На первоначально покоившуюся свободную частицу массы 𝑚₁ налетает вторая частица с кинетической энергией 𝑇 и другой массой покоя 𝑚₁. При столкновении частицы слипаются и в дальнейшем движутся вместе. Чему равна масса покоя 𝑚 составной частицы после столкновения? При каких условиях масса покоя составной частицы сводится к ньютоновской величине 𝑚=𝑚₁+𝑚₂? Какой может быть с точки зрения этих условий максимальная величина кинетической энергии 𝑇 налетающей частицы, когда ньютоновский подход приблизительно справедлив? Обсуждение. Чему равен импульс системы до столкновения? Чему равен он после столкновения? Какие величины, изображённые на рис. 118, известны, а какие требуется определить, если дан импульс системы? Применима ли теорема Пифагора к «гипотенузе» этого «треугольника»? ▼
93*. Порождение частиц протонами
Ускорители для получения частиц высоких энергий строятся, в частности, для того, чтобы создавать в больших количествах для исследовательских целей некоторые из частиц с коротким временем жизни, которые в обычных условиях попадают в лаборатории лишь случайно как результат воздействия космических лучей. В процессе их порождения часть кинетической энергии частиц высокой энергии, полученных в ускорителе, превращается в массу покоя этих новых частиц. В 1955 г. Сегре с сотрудниками получил в Калифорнийском университете, Беркли, антипротоны (частицы той же массы, что протоны, но с отрицательным зарядом), бомбардируя пучком протонов покоящуюся мишень, содержащую водород (протоны) 1). Ряд законов сохранения, действующих в физике элементарных частиц (сохранение заряда, сохранение числа барионов – тяжёлых частиц), требует одновременного создания вместе с антипротоном и обычного протона. Таким образом,налетающий протон и протон мишени должны сохраниться после столкновения, но плюс к этому возникает протон-антипротонная пара. Вопрос: чему равна та минимальная кинетическая энергия налетающего протона, которая способна вызвать образование пары? Эту минимальную кинетическую энергию называют пороговой энергией.
1) O. Chamberlain, E. Segrè, C. Wiegand, T. Ypsilantis, Phisical Review, 100, 947, (1955).
Рис. 119. Ошибочная диаграмма порогового порождения протон-антипротонной пары в лабораторной системе отсчёта.
а) Первый (некорректный) подход. Проанализируем столкновение, изображённое на рис. 119, когда вся кинетическая энергия налетающего протона превращается в массу покоя, и все четыре присутствующие в конце процесса частицы покоятся. Удовлетворяет ли эта реакция одновременно закону сохранения энергии и закону сохранения импульса?
Рис. 120. Правильная диаграмма порогового порождения протон-антипротонной пары в системе отсчёта ракеты.
б) Второй подход . Найдите систему отсчёта, в которой все четыре частицы конечного состояния могут покоиться, но процесс совместим с законом сохранения импульса. Обсуждение. Система отсчёта, в которой полный импульс равен нулю, называется системой центра масс 1). В системе центра масс столкновение протекает так, как это изображено на рис. 120. Полная энергия сталкивающихся протонов может быть взята меньшей в том случае, когда все четыре частицы конечного состояния покоятся, чем когда эти четыре частицы разлетаются друг от друга. Почему? (Рассмотрите столкновение в системе центра масс. Пренебрегите электрическим взаимодействием между частицами, так как его роль ничтожно мала при интересующих нас здесь высоких энергиях).
1) Авторы употребляют здесь изобретённый ими термин система центра импульса, что конечно, соответствует их стремлению развить новую терминологию и связано с отказом пользоваться понятием «масса покоя», однако едва ли он сможет укорениться. Вероятно, было бы лучше говорить о системе нулевого импульса; в переводе был восстановлен традиционный термин «система центра масс».– Прим. перев.
Рис. 121. Правильная диаграмма порогового порождения протон-антипротонной пары в системе отсчёта ракеты.
в) Третий подход. Из анализа второго подхода мы узнали, что наиболее эффективный перевод кинетической энергии в массу покоя, совместимый с законом сохранения импульса, имеет место, когда образующиеся частицы не разлетаются друг от друга. Значит, в лабораторной системе отсчёта все они будут двигаться вместе с одной и той же скоростью (рис. 121). Исходя теперь из этой схемы и пользуясь лишь законами сохранения импульса и энергии, выраженными в лабораторной системе отсчёта, определите пороговую кинетическую энергию 𝑇порог порождения протон-антипротонной пары. Выразите свой результат в единицах энергии покоя протона и в Бэв.
г) Чему равна энергия каждой частицы после столкновения?
д) Покажите, что пороговая энергия, найденная в пункте (в), может быть получена из результатов упражнения 92. Примите, что каждая из начальных частиц в этом упражнении обладает массой протона и что конечная масса 𝑚 равна учетверённой массе протона.
е) Почему протон-антипротонные пары могут порождаться при более низкой пороговой энергии налетающего протона, если вместо водорода в качестве мишени использовать тяжёлые ядра? ▼
94*. Порождение частиц электронами
Какова пороговая кинетическая энергия 𝑇порог налетающего электрона для процесса
(Быстрый) электрон
+
(Покоящийся) протон
→
→
Электрон
+
Антипротон
+
Два протона?
▼
95*. Фоторождение па'ры одиночным фотоном
а) Гамма-квант (фотон высокой энергии, масса покоя равна нулю) может обладать энергией, превышающей энергию покоя электрон-позитронной пары. (Вспомним, что позитрон обладает той же массой покоя, что и электрон, но положительным зарядом). Тем не менее процесс
(Гамма-квант высокой энергии)
→
→
(Электрон)
+
(Позитрон)
не может протекать в отсутствие дополнительного вещества или излучения. Докажите, что этот процесс несовместим с законами сохранения импульса и энергии, записанными в лабораторной системе отсчёта. Рассмотрите самый общий случай, когда траектории образующихся (предположительно) электрона и позитрона не образуют одинаковых углов с продолжением траектории первоначального гамма-кванта. Повторите доказательство (тогда оно станет максимально убедительным) в системе центра масс предполагаемой пары (т.е. в системе отсчёта, где полный импульс двух образующихся частиц равен нулю).
б) В присутствии дополнительного вещества гамма-квант способен породить пару электрон – позитрон. Чему равна пороговая энергия 𝑇порог, при которой гамма-квант оказывается способен вызвать часто наблюдаемый процесс
(Гамма-квант)
+
(Покоящийся электрон)
→
→
(Позитрон)
+
2 (электрона)
?
Энергия покоя электрона, как и позитрона, составляет около половины мегаэлектронвольт. ▼
96**. Фото рождение па'ры двумя фотонами
Два гамма-кванта разных энергий сталкиваются в вакууме и исчезают, порождая электрон-позитронную пару. В каком диапазоне энергий гамма-квантов и в каком диапазоне углов между направлениями их первоначального распространения может реализоваться такая реакция? ▼
97**. Аннигиляция электрон-позитронной пары
Позитрон 𝑒⁺ с кинетической энергией 𝑇 аннигилирует на мишени, содержащей практически покоящиеся в лабораторной системе отсчёта электроны 𝑒⁻
𝑒⁺
(быстрый)
+
𝑒⁻
(покоящийся)
→
Излучение.
а) В системе отсчёта центра масс (где полный импульс первоначальных частиц равен нулю) покажите, что при такой аннигиляции с необходимостью образуются как минимум два гамма-кванта (а не один).
б) Выведите формулу для энергии одного из образующихся гамма-квантов в лабораторной системе отсчёта как функции угла между направлением вылета этого гамма-кванта и направлением движения позитрона до его аннигиляции. Пусть в вашей формуле никак не фигурирует скорость или параметр скорости – оба они в этой задаче излишни.
в) Чему равны максимальная и минимальная энергии гамма-кванта, возможные в лабораторной системе отсчёта?
г) С помощью простого приближённого метода выразите результат пункта (в) в предельных случаях: 1) очень малых 𝑇 и 2) очень больших 𝑇. ▼
98*. Проверка принципа относительности
Рис. 122. Схема постановки эксперимента для проверки принципа относительности.
а) В установке, изображённой на рис. 122, регистрируются лишь те события, при которых счётчики гамма-лучей 𝐴 и 𝐵, расположенные на одинаковых расстояниях от мишени, одновременно реагируют на гамма-кванты, т.е. включены в «схему совпадений». Чему равны энергия и скорость налетающего позитрона, регистрируемого таким способом?
б) Принцип относительности (разд. 3) утверждает, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта независимо от движения источника этого света. Напротив, много лет назад В. Ритц пытался доказать, что свет, излучаемый источником вперёд по направлению его движения, распространяется быстрее, чем свет, излучённый против его движения. Если бы описанная выше установка срабатывала и в отсутствие совпадения, как было бы можно использовать измерение времени, прошедшего между попаданием гамма-квантов в счётчики 𝐴 и 𝐵, для выяснения того, какая из гипотез о поведении скорости света правильна? Результаты такого опыта изображены на рис. 123 1).
1) D. Sadeh, Phisical Review Letters, 10, 271 (April, 1693).
Рис. 123. Результаты эксперимента по проверке постоянства скорости света, выполненного Д. Саде.
Промежуток времени между регистрациями фотонов счётчиками 𝐴 и 𝐵 был измерен для множества пар таких событий. Промежутки различной длительности автоматически отводились в разные «каналы» многоканальной электронной вычислительной машины. В результате на горизонтальной оси (названной «номер канала») откладывалась относительная мера времени между попаданиями гамма-квантов в счётчики 𝐴 и 𝐵. На вертикальной оси откладывались количества пар гамма-квантов, соответствующих данному промежутку времени, разделявшему моменты их регистрации. Нижняя кривая изображает результаты эксперимента на установке, подобной изображённой на рис. 122, где на лету аннигилировали позитроны заданной энергии. Верхняя кривая была получена при перенесении счётчика 𝐴 в положение, составляющее 180° относительно счётчика 𝐵. В этом случае регистрировались только те пары гамма-квантов, для которых позитрон перед аннигиляцией останавливался (при этом лабораторная система отсчёта являлась системой центра масс, в которой фотоны испускаются в двух взаимно противоположных направлениях!). Вершины верхней и нижней кривой соответствуют одному и тому же промежутку времени, откуда видно, что свет (гамма-кванты) распространяется от мишени до счётчика 𝐴 с одинаковой скоростью независимо от того, двигался или покоился испустивший его позитрон. Если бы скорость гамма-кванта складывалась со скоростью летящего позитрона, вершина нижней кривой совпадала бы с левой пунктирной линией.
▼
99*. Отождествление частиц по трекам в пузырьковой камере
Рис. 124. На снимке в пузырьковой камере заснят распад четырёх различных π⁺-мезонов. Из книги R. D. Hill, Tracking Down Particles, W. A. Benjamin, New York, 1963.
Движущиеся заряженные частицы могут оставлять наблюдаемые визуально следы в камере Вильсона, пузырьковой камере и искровой камере, так как заряд частицы взаимодействует на расстоянии с электронами в атомах, вызывая образование ионов. Эти ионы детектируются различными способами в указанных трёх видах камер. Пузырьковые камеры заполняются жидким водородом, готовым закипеть (перегретым водородом). Возникающие при прохождении заряженных частиц высокой энергии ионы играют роль точек образования пузырьков («центров закипания»). На рис. 124 изображена картина, заснятая в пузырьковой камере. Там видно четыре разных π⁺-мезона, проникающих в камеру, которые все останавливаются в жидком водороде. Сначала происходит реакция распада π⁺-мезона на μ⁺-мезон, трек которого виден на снимке, и на нейтральную частицу, не оставляющую следа. Затем каждый μ⁺-мезон останавливается и распадается на положительный электрон (позитрон, 𝑒⁺) и две нейтральные частицы. Спиральный трек одного из позитронов, движущихся в наложенном извне магнитном поле, занимает центр фотографии.
Сосредоточим внимание на первой реакции,
π⁺
(покоящийся)
→
μ⁺
+
𝑥
,
где 𝑥 – неизвестная нейтральная частица. По радиусу кривизны трека μ⁺-мезона в магнитном поле можно найти импульс этого мезона, оказывающийся равным 𝑝μ=58,2 𝑚𝑒 в единицах массы покоя электрона.
а) Пользуясь законами сохранения, найдите массу покоя нейтральной частицы (𝑚π⁺=273,2 𝑚𝑒 и 𝑚μ⁺=206,8 𝑚𝑒).
б) Что это за нейтральная частица? Обсуждение. Самой лёгкой из известных частиц с ненулевой массой покоя является электрон. Приближённый расчёт в (а) приводит к предположению, что масса покоя частицы 𝑥 равна нулю. Может быть, это фотон? Такая возможность исключается другим законом сохранения – для момента импульса. Существовавший сначала π⁺-мезон обладал моментом импульса, равным нулю. Если потребовать выполнения закона сохранения момента импульса, то следует заключить что суммарный момент частиц – продуктов реакции – равен нулю. Возникший μ⁺-мезон имеет спиновый момент импульса, равный ½ℏ=½⋅ℎ/(2π) где ℎ – постоянная Планка. Мы знаем к тому же, что спиновый момент импульса фотона равен ℏ Невозможно, чтобы два момента, соответственно равные ½ℏ и ℏ, при какой-либо их ориентации в сумме дали полный момент импульса равный нулю. Значит, частица 𝑥 не может быть фотоном. Определите, чему равен её спиновый момент импульса? Мы называем частицу 𝑥 нейтрино. Здесь вы определили два основных свойства нейтрино, даже вообще не увидев его наблюдаемых следов! ▼
100*. Накопительные кольца и встречные пучки
Рис. 125. Пристонско-станфордский эксперимент по встречным электронным пучкам.
Электроны инжектировались в каждое кольцо примерно по 10 мин. Когда оба кольца были таким образом заполнены, линейный ускоритель был отключён, и в течение 30 мин снимались данные. Потери энергии электронами, излучавшими из-за ускоренного движения по круговым орбитам, компенсировались радиоволновым методом в резонаторах радиочастотной «подкачки».
Насколько «энергичнее» окажется столкновение, если два соударяющиеся электрона движутся навстречу друг другу, по сравнению со столкновением, когда один электрон налетает на другой электрон, который покоится? Обсуждение. Когда движущаяся частица налетает на покоящуюся, то энергия, которая может пойти на порождение новых частиц, на нагрев или на иные взаимодействия, меньше, чем начальная энергия (сумма энергий покоя и кинетических энергий обеих начальных частиц). См. по этому поводу упражнение 93. Причина состоит в том, что система частиц после реакции в целом сохраняет движение «вперёд» (закон сохранения импульса!), соответствующая которому кинетическая энергия не может пойти ни на придание этим частицам скорости относительно друг друга, ни на порождение новых частиц. Поэтому значительная часть энергии, сообщаемой частицам в ускорителях, не может быть использована для изучения взаимодействий и «выбрасывается» в форме кинетической энергии продуктов столкновения. Но в системе центра масс (определённой как система отсчёта, в которой полный импульс системы взаимодействующих частиц равен нулю) равенство полного импульса нулю имеет место как до, так и после столкновения. Поэтому в системе центра масс участвующая во взаимодействии энергия равна всей полной энергии первоначальных частиц. Можно ли как-то достигнуть того, чтобы лабораторная система отсчёта стала одновременно системой центра масс? Одним из способов является постройка двух ускорителей элементарных частиц, создающих два пучка частиц, направленных «в лоб» один другому. Если энергии и массы покоя частиц в обоих пучках одинаковы, то наша лабораторная система отсчёта будет и системой центра масс, и тогда при каждом столкновении вся энергия сможет быть реализована в столкновении для взаимодействия. Но проще и дешевле можно добиться того же результата, используя всего один ускоритель плюс накопительные кольца, в которых частицы сохраняются после того, как они достигнут своей максимальной энергии (рис. 125). Магнитное поле удерживает частицы (в данном случае – электроны) на круговых орбитах. Пучок частиц впрыскивается из ускорителя таким образом, чтобы в обоих кольцах направление циркуляции частиц было взаимно противоположным. Между частицами из двух пучков происходят столкновения в точке 𝐴, где пучки пересекаются (поэтому говорят о встречных пучках). Одним из преимуществ накопительных колец является сохранение в пучках тех электронов, которые не провзаимодействовали при одной встрече, но могут принять участие в столкновении при одной из последующих.
