Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 27 страниц)

9. ПАРАМЕТР СКОРОСТИ

Аддитивность углов подсказывает возможность определения аддитивного параметра скорости

Всё ли исчерпано? Мы выяснили, как перейти от компонент взаимной удалённости событий, известных в одной системе отсчёта, к аналогичным компонентам в другой системе отсчёта. Короче, мы записали ковариантный закон, связывающий компоненты в разных системах, как для преобразования Лоренца («преобразование в плоскости 𝑥, 𝑡), так и для поворота («преобразование в плоскости 𝑥, 𝑡). В первом случае формулы содержат параметр β_𝑟 (относительную скорость систем), а во втором – параметр 𝑆_𝑟 (относительный наклон осей). Однако ни один из этих параметров не позволяет ещё получить самое простое описание взаимоотношения рассматриваемых систем координат. Было бы желательно заменить как β_𝑟, так и 𝑆_𝑟 более естественными параметрами. Оказывается, найти такой более удобный способ описания движения и поворота систем можно. Лучшей характеристикой поворота является угол. Аналогично самой удобной характеристикой движения систем вместо скорости является некоторый параметр скорости θ, который ещё должен быть найден. Лучше всего можно понять смысл и значение этого параметра скорости при описании относительного движения систем отсчёта, если сначала выяснить, почему угол – более удобный параметр, чем наклон при описании поворота.

Ответ таков: потому что углы аддитивны, а наклоны – нет. Что означает это утверждение? Взглянем на рис. 26. Вектор 𝑂𝐴 имеет наклон относительно оси 𝑦'. Этот наклон можно описать величиной 𝑆' (отношением числа единиц длины в направлении оси 𝑥, приходящегося на единицу расстояния в направлении оси 𝑦'). В данном случае мы имеем

𝑆'

=

2

9

.

Вместе с тем вектор 𝑂𝐴 имеет наклон к оси 𝑦, равный

𝑆

=

7

6

,

а ось 𝑦' в свою очередь обладает относительно оси 𝑦 наклоном

𝑆

_𝑟

=

3

4

.

Вопрос: выполняется ли следующий закон для наклонов:

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑂𝐴

относительно

оси 𝑦

⎞

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑂𝐴

относительно

оси 𝑦'

⎞

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑦'

относительно

оси 𝑦

⎞

⎟

⎟

⎠

?

Наклоны в эвклидовой геометрии не аддитивны

Проверка («экспериментальная математика»):

7

6

=

2

9

+

3

4

?

42

36

=

8

36

+

27

36

?

42

=

8

+

27

=

35

?!

Неверно!

Вывод: наклоны не аддитивны! Вопрос: раз наклоны не аддитивны, т.е. 𝑆 не равняется сумме 𝑆' и 𝑆_𝑟, то как же найти правильно наклон 𝑆 из наклонов 𝑆' и 𝑆_𝑟? Ответ:

(по определению наклона)

⎛

⎜

⎜

⎝

Наклон 𝑂𝐴

относительно

оси 𝑦

⎞

⎟

⎟

⎠

=

𝑆

=

Δ𝑥

Δ𝑦

=

[из (19)]

=

(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+𝑆_𝑟⋅(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑦'

–𝑆_𝑟(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+(1+𝑆_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑦'

=

[сокращение числителя и

знаменателя на

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

]

=

Δ𝑥'+𝑆_𝑟Δ𝑦'

–𝑆_𝑟Δ𝑥'+Δ𝑦'

=

(деление числителя и знаменателя на

Δ

𝑦'

)

=

(Δ𝑥'/Δ𝑦')+𝑆_𝑟

–𝑆_𝑟(Δ𝑥'/Δ𝑦')+1

.

Окончательный вывод:

𝑆

=

𝑆'+𝑆_𝑟

1-𝑆'𝑆_𝑟

.

(20)

Иными словами, наклоны 𝑆' и 𝑆_𝑟 могут считаться аддитивными, лишь если произведением 𝑆'•𝑆_𝑟 стоящим в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с единицей.

Аддитивны углы наклона

Рис. 28. Угол – удобная мера наклона оси 𝑦' относительно оси 𝑦. Удобство здесь в том. что углы подчиняются простому правилу сложения: θ=θ'+θ_𝑟.

Так как наклоны не аддитивны, а значит, неудобны для описания относительного поворота двух систем координат, то как же выбрать лучшую характеристику этого поворота? Ответ: взять угол между осями 𝑦 и 𝑦'. Почему? Потому что углы подчиняются простому закону сложения (рис. 28):

⎛

⎜

⎝

Угол между

𝑂𝐴 и осью 𝑦

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

Угол между

𝑂𝐴 и осью 𝑦'

⎞

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

Угол между

осями 𝑦' и 𝑦

⎞

⎟

⎠

,

или

θ

=

θ'

+

θ

_𝑟

.

(21)

Благодаря выполнению этого соотношения угол является простейшей характеристикой наклона.

Как связаны между собой новая и старая характеристики наклона – угол θ и наклон 𝑆_𝑟 оси 𝑦' относительно оси 𝑦? Ответ:

𝑆

_𝑟

=

tg θ

_𝑟

(22)

(по тригонометрическому определению функции тангенса; см. рис. 29).

Рис. 29. Связь между взаимным наклоном 𝑆_𝑟 осей 𝑦' и 𝑦 двух эвклидовых систем координат и углом θ_𝑟 между этими осями.

Закон сложения величин наклона в эвклидовой геометрии

Вопрос: как можно расшифровать закон сложения величин наклона, если исходить из того, что эти величины суть тангенсы углов? Ответ:

tg θ

=

tg (θ'+θ

_𝑟

)

=

⎛

⎜

⎝

аддитивность

углов

⎞

⎟

⎠

=

tg θ'+tg θ_𝑟

1-tg θ'•tg θ_𝑟

,

(тригонометрия)

(23)

или

𝑆

=

𝑆'+𝑆_𝑟

1-𝑆'•𝑆_𝑟

•

⎛

⎜

⎝

тангенсы заменены

на величины наклонов

⎞

⎟

⎠

Сравнивая сложный закон сложения тангенсов (величин наклона) с простым законом сложения углов (θ=θ'+θ_𝑟), мы убеждаемся в том, что угол – простейшая характеристика поворота.

Закон сложения скоростей

Рис. 30. Мировая линия пули, изображённая на диаграмме пространства-времени системы отсчёта ракеты. Пуля была выпущена вперёд по движению ракеты со скоростью β'=Δ𝑥'/Δ𝑡' в системе отсчёта ракеты.

Что же будет простейшей характеристикой движения? Во всяком случае, не сама скорость, так как она не подчиняется простому закону сложения. Определим этот закон сложения скоростей. Пусть в системе отсчёта ракеты будет в направлении вперёд по её движению выстрелена пуля со скоростью β' в этой системе (рис. 30):

β'

=

Число метров,

пройденных в

направлении оси 𝑥'

за каждый

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Метр времени 𝑡',

прошедший

по часам

на ракете

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

Δ𝑥'

Δ𝑡'

.

Относительно лаборатории ракета движется со скоростью β_𝑟. Чему равна скорость β пули относительно лаборатории, измеренная по решётке часов лабораторной системы отсчёта? Ответ: эта скорость равна

β

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Число метров,

пройденных в

направлении оси 𝑥

за каждый

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Метр времени 𝑡,

прошедший

по часам

в лаборатории

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

[преобразование Лоренца; формулы (16)]

=

(1-β_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+β_𝑟(1-β_𝑟²)⁻¹^/²•Δ𝑡'

β_𝑟(1-β_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+(1-β_𝑟²)⁻¹^/²•Δ𝑡'

=

[в числителе и знаменателе произведено

сокращение на множитель

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

]

=

Δ𝑥'+β_𝑟Δ𝑡'

β_𝑟Δ𝑥'+Δ𝑡'

=

числитель и знаменатель

разделены на

Δ

𝑡'

)

=

(Δ𝑥'/Δ𝑡')+β_𝑟

β_𝑟(Δ𝑥'/Δ𝑡')+1

.

Окончательно

β

=

β'+β_𝑟

1+β'β_𝑟

(24)

(закон сложения скоростей). Иными словами, скорости не аддитивны. Лишь в предельном случае, когда скорости малы, две скорости β' и β_𝑟 могут рассматриваться как аддитивные (с определённой степенью точности), если в знаменателе закона (24) произведением β'β_𝑟 можно пренебречь по сравнению с единицей (с той же самой степенью точности, например 1:10 или 1:10⁶). Пример неаддитивности скоростей: пусть в момент выстрела ракета обладает скоростью, равной ¾ скорости света; пусть пуля движется относительно ракеты со скоростью, равной ¾ скорости света. Чему будет равна скорость пули относительно лаборатории? Ответ: не ¾+¾=1,5 скорости света, а

β

=

¾+¾

1+(¾)•(¾)

=

³/₂

²⁵/₁₆

=

24

25

=

0,96

(в метрах лабораторного расстояния за метр светового времени по лабораторным часам). Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей (24) гарантирует, что никакой объект не может быть приведён в движение со скоростью света.

Определим параметр скорости таким образом, чтобы он был аддитивным!

Выяснив, что скорость сама по себе не аддитивна, мы предлагаем найти новую меру движения —«параметр скорости» θ, который должен быть аддитивным, т.е.

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Параметр

скорости пули

относительно

лаборатории

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Параметр

скорости пули

относительно

ракеты

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Параметр

скорости ракеты

относительно

лаборатории

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

или

θ

=

θ'

+

θ

_𝑟

.

(25)

Смысл этого параметра θ будет совершенно иным, чем смысл угла, описывающего поворот. Ни ка какой диаграмме параметр скорости нельзя изобразить в виде обычного угла, и вот по какой простой причине. Расстояния между точками на листе бумаги подчиняются законам эвклидовой геометрии. Напротив, интервалы между событиями в физическом мире определяются лоренцевой геометрией пространства-времени. Но если невозможно запечатлеть движущиеся пули и идущие часы на листе бумаги, то это никоим образом не лишает реальности указанные функционирующие объекты. Так и невозможность изобразить на листе бумаги аддитивность параметра скорости θ не сможет нас смутить, но скорее заставит взглянуть на действительный мир быстрых частиц и физики высокой энергии с тем, чтобы увидеть там активное проявление закона сложения параметра скорости. Этот закон сложения параметра скорости, θ=θ'+θ_𝑟, во всех отношениях столь же реален, как и закон сложения углов поворота.

Скорость равна тангенсу гиперболическому от параметра скорости

Как же связаны между собой скорость β и параметр скорости θ? Соответствующая формула аналогична формуле, выражающей связь между наклоном и углом наклона (через тангенс угла), и имеет вид

β

=

th θ

.

(26)

Обозначение th означает «тангенс гиперболический». Функция гиперболического тангенса, как и гиперболических синуса и косинуса (sh θ и ch θ), причём th θ=sh θ/ch θ, обычны в математическом анализе. Таблицы всех этих трёх функций можно найти в любом хорошем математическом справочнике. Их формальное определение дано в табл. 8. Тем не менее нам нет необходимости обращаться к этой таблице и к справочникам; ведь всё, что нам требуется знать о функции th θ, можно без труда получить уже из её определения. А определяется она следующими двумя свойствами:

а) Эта функция должна правильно описывать закон сложения скоростей. Тогда из соотношения

β

=

β'+β_𝑟

1+β'β_𝑟

и требования аддитивности θ=θ'+θ_𝑟 мы получаем закон сложения

th θ

=

th(θ'+θ

_𝑟

)

=

th θ+th θ_𝑟

1+th θ'•th θ_𝑟

(27)

[см. определение (26)].

б) При малых скоростях параметр θ должен переходить в обычную характеристику движения – скорость β. Это требование означает, что функция th θ должна становиться сколь угодно близка к θ при стремлении θ к нулю. Вспомним, что обычный тангенс обычного угла стремится по величине к этому углу в пределе малых углов, если углы измеряются в радианах. Если измерять углы в градусах, то следует ввести поправочный множитель π/180°. Здесь подобным же образом было бы можно измерять параметр скорости и в единицах, аналогичных градусам и минутам, но проще всего те единицы, при которых

th θ

—⟶

малые θ

θ.

Назовём эти единицы «гиперболическими радианами»; они безразмерны.

Как можно найти связь между параметром скорости и скоростью из свойств (а) (аддитивность) и (б) (равенство th θ=θ для малых значений параметра скорости)?

Построение таблицы для тангенса гиперболического

Ответ. 1) Начнём со столь малого параметра скорости θ, что его th θ может быть приравнен θ с требуемой степенью точности. Примем, например,

th 0,01

=

0,01

в качестве первого шага для построения таблицы тангенса гиперболического.

2) Следующий шаг состоит в использовании закона сложения (27):

th 0,02

=

th (0,01+0,01)

=

=

th 0,01+th 0,01

1+th 0,01⋅th 0,01

=

0,01+0,01

1+0,0001

.

(28)

3) На этом этапе следует условиться о том, с какой степенью точности мы будем брать численные значения. Почему бы, например, не принять th 0,02 равным 0,02 точно так же, как мы приняли th 0,01 равным th 0,01? Однако в знаменателе формулы (28) стоит слагаемое 0,0001! Его наличие означает, что число 0,02 отличается от величины th 0,02 приблизительно на 1:10⁴. Условимся же теперь вычислять все значения th θ с точностью до 1:10⁴. Поэтому нам потребуется учесть поправку 0,0001, стоящую в знаменателе. Но если нам понадобилось учитывать такую поправку при вычислении th 0,02, почему бы не учесть её и в th 0,01? Потому что там она была бы ещё меньше. Иными словами, разница между th 0,01 и 0,01 равна величине, которой можно пренебречь, если условиться брать результаты с точностью лишь до 1:10⁴. С этой точностью мы получим в конце концов

th 0,02

=

0,020000

1,0001

=

0,019998

.

4) Найдём теперь значение th 0,04:

th 0,04

=

th (0,02+0,02)

=

=

th 0,02+th 0,02

1+th 0,02⋅th 0,02

=

2•0,019998

1+(0,019998)²

=

=

0,039980

.

Поправка в знаменателе изменяет теперь численную величину результата примерно на 4:10⁴. Тем не менее этот результат верен с точностью около 1:10⁴. Он получен на основании точной формулы (27) в применении к значениям гиперболического тангенса, которые сами были верны с точностью 1:10⁴.

5) Дальнейшие шаги при построении таблицы значений гиперболического тангенса аналогичны предыдущим. Так, зная th 0,04 и th 0,01, мы можем вычислить th 0,05=(th 0,04+0,01). Мы получим далее th 0,1; th 0,2 и th 0,4, а затем th 0,5=(th 0,4+0,1). Аналогично мы вычислим th 1, th 2 и все прочие значения th θ, которые нам потребуются. Так мы получим результаты, подытоженные на рис. 31.

Рис. 31. Связь между параметром скорости θ и самой скоростью β=th θ, получаемая непосредственно из закона сложения th(θ₁+θ₂) =

θ₁+θ₂

1+θ₁•θ₂

как это описано в тексте. Например, пусть пуля выпускается со скоростью β'=0,75 из ракеты, движущейся со скоростью β_𝑟=0,75. Требуется найти скорость пули β относительно лабораторной системы. Мы знаем, что аддитивны не скорости, а параметры скорости. По графику для точки 𝐴 находим θ'=θ_𝑟=0,973. Сложение даёт θ=θ'+θ_𝑟=1,946. Для этого значения параметра скорости находим по графику точку 𝐵 и величину скорости β=0,96. Тот же результат получен другим способом в тексте (стр. 68).

Различие между параметром скорости и обычным углом

Из рис. 31 сразу же видны два свойства параметра скорости, никак не связанные с конкретным выбором чисел. Во-первых, наклон кривой функции th θ относительно θ стремится к единице при малых θ. Это – новое выражение того факта, что скорость β=th θ и параметр скорости θ стремятся друг к другу при стремлении θ→0. Во-вторых, когда параметр скорости стремится к бесконечно большим положительным (или отрицательным) значениям, то скорость β=th θ стремится к плюс (или минус) единице. Другими словами, допустимы любые значения параметра скорости на всём интервале значений от θ→-∞ и до θ→+∞. Различие между «гиперболическими углами» или параметром скорости, область изменения которого неограниченна, и обычными углами очевидно. Обычный угол не приводит ни к чему новому, когда он превысит конечный интервал от 0 до 2π радиан.

Параметр скорости и постоянство скорости света

Как связаны представления о параметре скорости и о законе сложения скоростей с тем элементарным физическим опытным фактом, который привёл физику к пространственно-временной точке зрения? Вот самая непосредственная из возможных связей. Из результатов наблюдений и всего того, что уже в 1905 г. было известно об электромагнитных волнах, Эйнштейн был вынужден заключить, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Это же можно сказать иначе, переводя на язык мысленных опытов: фотон, выстреленный со скоростью света из быстро движущейся ракеты, движется относительно лаборатории со скоростью, равной всё той же скорости света.

На языке параметра скорости можно сказать, что ракета обладает конечным параметром скорости θ_𝑟, тогда как величина параметра скорости фотона (β=1) бесконечна (θ'=∞; см. асимптотическую часть кривой в верхней правой части рис. 31). Прибавьте к бесконечности конечное число, и вы получите снова бесконечность в качестве суммы θ=θ'+θ_𝑟. Поэтому скорость фотона в лабораторной системе отсчёта равна β=th θ=th ∞=1, т.е. это снова скорость света. Мы замкнули круг, вновь вернувшись к идее, лежащей в основании теории относительности: скорость света имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта.

Простота описания движения с помощью параметра скорости

Мы пришли к заключению, что естественной характеристикой движения является параметр скорости, подчиняющийся простому закону сложения: θ=θ'+θ_𝑟. Но почему же наша интуиция не подсказала нам сразу идеи введения этого параметра? Почему гиперболические углы не знакомы всякому школьнику так же хорошо, как обычные углы? Ответ ка это прост. Обыденный опыт сталкивает нас со всякими углами – и большими, и малыми. Поэтому не найдётся простачка, который стал бы, складывая наклоны 𝑆'=1 (угол в 45°) и 𝑆_𝑟=1 (ещё раз 45°), утверждать, что он получит наклон, равный 𝑆=𝑆'+𝑆_𝑟=2 (т.е. угол в 63°26', что неверно!). Все знают, что правильный путь – это складывать углы (сумма в нашем примере равна 45°+ 45°=90°, чему соответствует наклон 𝑆=∞). Но обыденный опыт не сталкивает нас со скоростями, близкими к скорости света. Автомобили, реальные ракеты и реальные пули движутся со скоростями, крайне малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому и потребовалось долгое время, пока люди не узнали истинной физики пространства-времени. Но теперь, наконец, мы поняли разницу природы закона сложения скоростей [громоздкое уравнение (24)] и закона сложения параметров скорости [простое уравнение (21): θ=θ'+θ_𝑟]. Более того, те наблюдения, которые прежде обескураживали (например, равенство величины скорости света во всех системах отсчёта), стали описываться очень просто на языке параметра скорости. К тому же этот параметр, как и всё, что входит вместе с ним в пространственно-временную структуру физики, совершенно необходим. Если вы хотите описать природу физического мира такой, какая она на самом деле у этого четырёхмерного мира, то у вас нет никакого другого выбора, кроме описанных выше идей. Эта железная необходимость становится всё очевиднее по мере того, как в обиход нашей цивилизации, нашей индустрии входят электронные и ядерные установки, а вместе с ними – сверхбыстрые частицы.

Обходного пути нет! Параметр скорости – такой же простой способ для описания скорости движения, как обычный угол – для описания наклона. Но, согласившись с этим выводом, какую выгоду извлечём мы, пытаясь упростить формулы преобразования Лоренца?

У прощение эвклидова преобразования поворота путём введения угла

Для того чтобы сориентироваться в этом вопросе, рассмотрим сначала аналогичную задачу в эвклидовой геометрии на плоскости 𝑥𝑦. Станет ли формула (19), выражающая одну систему координат через другую,

Δ

𝑥

=

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

𝑆

_𝑟

•

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑦'

,

Δ

𝑦

=-

𝑆

_𝑟

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑦'

,

менее сложной, если выразить относительный наклон 𝑆_𝑟 осей 𝑦 и 𝑦' через обычный угол θ_𝑟? Ответ: коэффициенты в преобразовании поворота принимают вид

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

(1+tg²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

=

=

⎛

⎜

⎝

cos²θ_𝑟+sin²θ_𝑟

cos²θ_𝑟

⎞

⎟

⎠

⁻¹^/²

=

⎛

⎜

⎝

1

cos²θ_𝑟

⎞

⎟

⎠

⁻¹^/²

=

cos θ

_𝑟

.

и

𝑆

_𝑟

(1+𝑆

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

tg θ

_𝑟

•

cos θ

_𝑟

=

=

sin θ_𝑟

cos θ_𝑟

=

sin θ

_𝑟

.

Поэтому формулы преобразования переходят в

Δ

𝑥

=

Δ

𝑥'

•

cos θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

•

sin θ

_𝑟

,

Δ

𝑦

=-

Δ

𝑥'

•

sin θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

•

cos θ

_𝑟

,

(29)

и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.

Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости

Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:

Δ

𝑥

=

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

β

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑡'

,

Δ

𝑡

=

β

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑥'

+

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

Δ

𝑡'

.

Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость β_𝑟 через «улучшенную» характеристику движения θ_𝑟? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением

β

_𝑟

=

th θ

_𝑟

.

Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от β_𝑟 и тем самым от θ_𝑟. Эти коэффициенты равны

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

(30)

и

β

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

=

th θ

_𝑟

•

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

.

(31)

Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th θ_𝑟 для любого заданного значения θ_𝑟 (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th θ_𝑟 позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции θ_𝑟 настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

=

ch θ

_𝑟

=

=

(Косинус гиперболический

θ

_𝑟

),

th θ

_𝑟

•

(1-th²θ

_𝑟

)⁻¹

^/

²

=

sh θ

_𝑟

=

=

(Синус гиперболический

θ

_𝑟

),

Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид

Δ

𝑥

=

Δ

𝑥'

•

ch θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

•

sh θ

_𝑟

,

Δ

𝑡

=

Δ

𝑥'

•

sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

•

ch θ

_𝑟

.

(32)

Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости

Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения θ_𝑟 систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.

Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение

sh θ_𝑟

cs θ_𝑟

=

th θ

_𝑟

(33)

совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна

ch²θ

_𝑟

–

sh²θ

_𝑟

=

1

1-th²θ_𝑟

–

th²θ_𝑟

1-th²θ_𝑟

=

=

1-th²θ_𝑟

1-th²θ_𝑟

=

1.

(34)

Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:

cos²(угол)

+

sin²(угол)

=

1.

(35)

Сравнение тригонометрических и гиперболических функций¹)

¹ Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка – окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».– Прим. перев.

Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси – функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos²α+sin²α=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его 𝑥– и 𝑦– компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch²α-sh²α=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.

Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом – окружность. Пример: (3/5)²+(4/5)²=1

Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом – гипербола. Пример: (5/3)²-(4/3)²=1

Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину

Разные знаки в соотношениях cos²α+sin²α=1 и ch²θ-sh²θ=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:

(Длина)

²

=

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

=

(

Δ

𝑥'

cos θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

sin θ

_𝑟

)²

+

(-

Δ

𝑥'

sin θ

_𝑟

+

Δ

𝑦'

cos θ

_𝑟

)²

=

=

(

Δ

𝑥')²

cos²θ

_𝑟

+

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')cos θ

_𝑟

sin θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑦')²

sin²θ

_𝑟

+

+

(

Δ

𝑥')²

sin²θ

_𝑟

–

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')sin θ

_𝑟

cos θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑦')²

cos²θ

_𝑟

=

=

[(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²]

⋅

(sin²θ

_𝑟

+

cos²θ

_𝑟

)

=

=

(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²

(подчёркнутые члены сокращаются).

Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение

cos²θ

_𝑟

+

sin²θ

_𝑟

=

1

играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).

Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал

Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении

ch²θ

_𝑟

–

sh²θ

_𝑟

=

1.

Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:

⎛

⎜

⎜

⎝

Интервал

собственной

длины

⎞²

⎟

⎟

⎠

=-

⎛

⎜

⎜

⎝

Интервал

собственного

времени

⎞²

⎟

⎟

⎠

=

=

⎛

⎜

⎝

Удалённость

в пространстве

⎞²

⎟

⎠

–

⎛

⎜

⎝

Удалённость

во времени

⎞²

⎟

⎠

=

=

(

Δ

𝑥)²

–

(

Δ

𝑡)²

=

=

(

Δ

𝑥'

ch θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

sh θ

_𝑟

)²

–

(

Δ

𝑥'

sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡'

cos θ

_𝑟

)²

=

=

(

Δ

𝑥')²

ch²θ

_𝑟

+

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')ch θ

_𝑟

sh θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑡')²

sh²θ

_𝑟

–

-[

(

Δ

𝑥')²

sh²θ

_𝑟

–

2(

Δ

𝑥')(

Δ

𝑦')sh θ

_𝑟

ch θ

_𝑟

+

(

Δ

𝑡')²

ch²θ

_𝑟

]=

=

[(

Δ

𝑥')²

–

(

Δ

𝑡')²]

⋅

(ch²θ

_𝑟

–

sh²θ

_𝑟

)

=

=

(

Δ

𝑥')²

–

(

Δ

𝑡')²

.

Так мы вновь проверили (простейшим возможным способом) тот факт, что преобразование Лоренца оставляет неизменным выражение для интервала.

Обратное преобразование Лоренца

Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (𝑥', 𝑡') на язык лабораторной системы координат (𝑥, 𝑡). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем – ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от 𝑥 и 𝑡 к 𝑥' и 𝑡'? Если первый словарь соответствовал формулам

𝑥

=

𝑥'ch θ

_𝑟

+

𝑡'sh θ

_𝑟

,

𝑡

=

𝑥'sh θ

_𝑟

+

𝑡'ch θ

_𝑟

,

(36)

то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами

𝑥'

=

𝑥ch θ

_𝑟

–

𝑡sh θ

_𝑟

,

𝑡'

=-

𝑥sh θ

_𝑟

–

𝑡ch θ

_𝑟

.

(37)

Доказательство. Подставьте последние выражения для 𝑥' и 𝑡' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).

В табл. 8 формальные определения гиперболических функций и некоторые соотношения для них записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций. Здесь через 𝑒 обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,718281…, а через 𝑖 обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что 𝑖²=-1. Обычные правила сложения и умножения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих 𝑖. Угол θ берётся в обычных или гиперболических радианах, но не в градусах. Выражения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факториал» =4!=4×3×2×1=24. Чтобы разобраться в этих соотношениях, получите равенства 7—13 из определений 1—6 на обеих сторонах таблицы и качественно покажите, как из них вытекают графики на рис. 32 и 33. Особо отметьте различия в знаках в левой и правой сторонах таблицы.

Таблица 8.

Тригонометрические и гиперболические функции

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Тригонометрические функции

Гиперболические функции

1.

sin θ

=

𝑒^𝑖θ-𝑒^-𝑖θ

2𝑖

1.

sh θ

=

𝑒^θ-𝑒^-θ

2

2.

cos θ

=

𝑒^𝑖θ+𝑒^-𝑖θ

2𝑖

2.

ch θ

=

𝑒^θ+𝑒^-θ

2

3.

tg θ

=

sin θ

cos θ

3.

th θ

=

sh θ

ch θ

4.

sin θ

=

θ

–

θ³

3!

+

θ⁵

5!

–

θ⁷

7!

+…

4.

sh θ

=

θ

+

θ³

3!

+

θ⁵

5!

+

θ⁷

7!

+…

5.

cos θ

=

1

–

θ²

2!

+

θ⁴

4!

–

θ⁶

6!

+…

5.

ch θ

=

1

+

θ²

2!

+

θ⁴

4!

+

θ⁶

6!

+…

6.

tg θ

=

θ

+

θ³

3

+

2

15

θ⁵+…

6.

th θ

=

θ

–

θ³

3

+

2

15

θ⁵-…

СООТНОШЕНИЯ

7.

sin(-θ)

=-

sin(θ)

7.

sh(-θ)

=-

sh(θ)

8.

cos(-θ)

=

cos(θ)

8.

ch(-θ)

=

ch(θ)

9.

tg(-θ)

=-

tg(θ)

9.

th(-θ)

=-

th(θ)

10.

cos²θ

+

sin²θ

=1

10.

ch²θ

+

sh²θ

=1

11.

sin(θ₁+θ₂)

=

sin θ₁

cos θ₂

+

+

cos θ₁

sin θ₂

11.

sh(θ₁+θ₂)

=

sh θ₁

ch θ₂

+

+

ch θ₁

sh θ₂

12.

cos(θ₁+θ₂)

=

cos θ₁

cos θ₂

–

-

sin θ₁

sin θ₂

12.

ch(θ₁+θ₂)

=

ch θ₁

ch θ₂

–

-

sh θ₁

sh θ₂

13.

tg(θ₁+θ₂)

=

tg θ₁+tg θ₂

1-tg θ₁tg θ₂

13.

th(θ₁+θ₂)

=

th θ₁+th θ₂

1-th θ₁th θ₂

СПОСОБЫ БЫСТРОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОСТЫХ СМЕРТНЫХ

При малых

θ

При малых

θ

sin θ≈θ

sh θ≈θ

tg θ≈θ

th θ≈θ

Пример

:

θ=0,1

Пример

:

θ=0,1

Быстрая оценка:

Быстрая оценка:

sin θ≈0,1

sh θ≈0,1

tg θ≈0,1

th θ≈0,1

Точные значения:

Точные значения:

sin θ=0,0998

sh θ=0,1002

tg θ=0,1003

th θ=0,0997

При больших

θ

sh θ≈𝑒

^θ

/2

ch θ≈𝑒

^θ

/2

Пример

:

θ=3, 𝑒

^θ

≈20.

Быстрая оценка:

sh θ≈10

th θ≈10

Точные значения:

sh θ=10,018

th θ=10,068

Упражнения к главе 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Можно без труда проанализировать важные направления современных исследований, если опираться на теорию относительности. Такой анализ решающим образом зависит от физической интуиции, которая развивается на основе опыта. Опыт же не может быть теперь приобретён в лаборатории, так как даже простые эксперименты по теории относительности очень сложны и дороги ввиду громадной величины скорости света. Альтернативой этим простым экспериментам должны послужить следующие упражнения, в которых обсуждаются разнообразные следствия структуры пространства-времени. Эта структура вновь и вновь проявляется, когда мы обсуждаем разные вопросы:

парадоксы;

загадки;

выводы соотношений;

практические приложения;

оценки эффектов;

их точный расчёт;

трудности интерпретации.

Эта глава содержит все необходимые формальные данные для того, чтобы найти ответ в каждом упражнении, однако лучший путь развития интуиции (практического понимания явлений) – это работа без поспешности. Поэтому вы убедитесь, что лучше всего продолжать возвращаться к этим упражнениям, даже когда эта книга будет для вас пройденным этапом. Те, кто хочет пройти основной материал за возможно кратчайшее время, могут ограничиться упражнениями, названия которых напечатаны курсивом в помещённом ниже списке.

Математические преобразования при решении этих упражнений очень кратки, и лишь немногие расчёты займут в записи более пяти строк. Но с другой стороны, упражнения потребуют времени на «разжёвывание». Меньше всего времени отнимут упражнения, не помеченные звёздочкой; труднее упражнения с одной звёздочкой; упражнения же, помеченные двумя звёздочками, предназначены для студентов старших курсов и аспирантов.