Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 17 (всего у книги 27 страниц)
𝑚
=
𝐸
.
Как можно подтвердить ещё идею переноса массы сгустком излучения? Мы уже знаем, что масса покоя фотона равна нулю вследствие соотношения
(Масса покоя)
²
=
(Энергия)
²
–
(Импульс)
²
=
0
Рис. 107. Излучение приводит к переносу массы покоя из точки в точку, несмотря на то что масса покоя самого излучения равна нулю!
(вернитесь к анализу в этом упражнении, а также в предыдущем; см., кроме того, разд. 12). Далее, то, что верно для индивидуального фотона, остаётся верным и для сгустка излучения, состоящего из множества фотонов: энергия и импульс по абсолютной величине равны друг другу, так что масса покоя излучения с необходимостью равна нулю. Нет ли противоречия в самой основе наших рассуждений, когда мы говорим, что масса покоя сгустка равна нулю, и тут же добавляем, что этот сгусток с энергией 𝐸 переносит массу 𝑚=𝐸 из одного места в другое? Источником трудности является смешение двух совершенно различных понятий: 1) энергии – временной компоненты 4-вектора энергии-импульса и 2) массы покоя – абсолютной величины этого вектора. Когда система делится на две части (распространяющееся вправо излучение и получивший отдачу влево ящик), компоненты 4-векторов энергии-импульса излучения и ящика в сумме тождественно равны соответствующим компонентам первоначального 4-вектора энергии-импульса системы до генерации излучения (рис. 107). Но при этом абсолютные величины 4-векторов (а масса покоя и есть абсолютная величина!) не аддитивны. Работая в эвклидовой геометрии, никто ведь не требует, чтобы длина одной стороны треугольника была равна сумме длин двух других его сторон. То же самое верно и в лоренцевой геометрии. Масса покоя системы (𝑀) не может приниматься равной сумме масс покоя излучения (равной нулю) и ящика, получившего отдачу (меньшей, чем 𝑀). Но компоненты 4-векторов энергии-импульса аддитивны, например
⎛
⎜
⎝
Энергия
системы
⎞
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
Энергия
излучения
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎝
Энергия ящика,
получившего
отдачу
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Мы видим отсюда, что энергия ящика, получившего отдачу, равна 𝑀-𝐸. Уменьшилась не только энергия ящика, когда излучение отделилось от его стенки, уменьшилась также его масса покоя (см. укоротившуюся длину 4-вектора на диаграмме). Значит, излучение унесло часть массы покоя стенки ящика, хотя само это излучение и не имеет массы покоя. Результат,
⎛
⎜
⎝
Масса покоя
системы
⎞
⎟
⎠
≠
⎛
⎜
⎝
Масса покоя
излучения
(нуль)
⎞
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Масса покоя
ящика,
получившего
отдачу
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
в геометрии пространства-времени настолько же естествен, как и неравенство 5≠3+4 в эвклидовой геометрии.
Как же обстоит дело с гравитационным притяжением, действующим со стороны нашей системы на некий пробный объект? Конечно, перераспределение масс, когда излучение распространяется слева направо, приводит к изменению такого притяжения. Но пусть пробный объект находится от системы на расстоянии 𝑟, столь значительном, что подобное перераспределение пренебрежимо мало влияет на характер притяжения. Иными словами, пусть притяжение пробного объекта единичной массы определяется только той полной массой системы 𝑀, которая фигурирует в ньютоновской формуле тяготения:
⎛
⎜
⎝
Сила, действующая
на единичную массу
⎞
⎟
⎠
=
𝐺𝑀
𝑟²
.
Если так, то не ощутит ли наш удалённый приёмник мгновенного уменьшения силы гравитационного притяжения в тот момент, когда излучение распространяется через ящик? Разве масса покоя излучения не равна нулю, тогда как масса покоя ящика, испытавшего отдачу, стала меньше первоначальной массы покоя 𝑀 системы? Не стала ли, таким образом, полная тяготеющая масса меньше, чем вначале, вследствие протекающего процесса переноса? Нет! Масса покоя системы – и мы повторим это – не равна сумме масс покоя её отдельных частей. Вместо этого она равна абсолютной величине полного 4-вектора энергии-импульса системы. Но ни полный импульс системы (равный в нашем случае нулю!), ни её полная энергия ни в какой момент времени не изменяются: ведь наша система изолирована. Поэтому не меняется и абсолютная величина 𝑀 полного 4-вектора энергии-импульса (рис. 107). А это в конце концов значит, что не изменяется и гравитационное притяжение.
Во всём этом анализе была, однако, одна небольшая подтасовка: ящик в действительности не может двигаться как твёрдое тело. Если бы он мог так двигаться, то информация об отделении излучения от левой стенки могла бы быть получена по наблюдению движения противоположной – правой – стенки задолго до прихода к ней самого излучения, т.е. эта информация была бы передана с большей скоростью, чем распространяется свет! На самом же деле толчок отдачи, вызванный генерацией излучения, распространяется по боковым стенкам ящика в виде волны колебания, т.е. со скоростью звука, и эта волна достигает противоположного конца намного позднее, чем туда приходит излучение. Тем временем акт поглощения излучения в правом конце ящика возбуждает другую волну колебания, которая движется назад по боковым стенкам ящика. Добавить к нашей задаче исследование колебаний ящика значило бы усложнить анализ, но не изменить сколько-нибудь существенно полученные выше выводы.
68*. Устойчивость фотона
Покажите, что изолированный фотон не может раздробиться на два фотона, распространяющихся в направлениях, не совпадающих с направлением распространения первоначального фотона. (Указание. Используйте законы сохранения импульса и энергии и тот факт, что третья сторона треугольника короче, чем сумма двух других сторон. О каком треугольнике идёт речь?) ▼
69*. Давление света
а) Вычислите полную силу, с которой действует луч одноваттного фонарика.
б) Основываясь на значении солнечной постоянной (1,4 квт/м²; см. упражнение 62), вычислите величину давления солнечного света на спутник Земли. Рассмотрите как отражающие, так и поглощающие поверхности, а также «реальные» поверхности (с частичным поглощением). Почему несуществен цвет падающего света?
в) Частицы, размеры которых меньше некоторых критических, могут быть вытолкнуты из солнечной системы давлением солнечного света. Критические размеры определяются равенством выталкивающей силы и силы гравитационного притяжения частиц Солнцем. Оцените эти размеры, сделав все необходимые предположения. Перечислите в своём ответе сделанные предположения. Зависят ли полученные критические размеры от расстояния частиц от Солнца? ▼
70*. Эффект Комптона
Рис. 108. Комптоновское рассеяние фотона на электроне.
Рис. 109. Диаграмма сохранения импульса при комптоновском рассеянии. Вспомните закон косинусов: 𝑃² = 𝑝² + 𝑝² – 2𝑝𝑝 cos φ .
В 1923 г. Артур Комптон показал, что рассеянные на свободных электронах рентгеновские лучи (фотоны) имеют после рассеяния меньшую энергию, чем до рассеяния 1). Этот эксперимент расценивается многими как самое ценное достижение физического опыта 20-х годов. Рассмотрим столкновение фотона с энергией 𝐸ф и электрона, который первоначально покоился; определим энергию фотона после рассеяния под углом φ к направлению своего падения. Угол φ носит название угла рассеяния. Мы примем следующие обозначения:
1) A. H. Compton, Physical Review, 22, 411 (1923).
До рассеяния
После рассеяния
Электрон
𝐸, 𝑃
𝐸
,
𝑃
Фотон
𝐸
ф
,
𝑝
𝐸
ф
,
𝑝
Не пользуйтесь в своих рассуждениях ни ℎ, ни ν, ни β, ни θ, ни λ, а только одними законами сохранения импульса и энергии да уравнениями
𝐸²
–
𝑃²
=
𝑚²
для электрона,
𝐸
ф
²
–
𝑝²
=
0
для фотона.
Начертите график выраженной в единицах энергии покоя электрона энергии рассеянного фотона в функции угла рассеяния φ для того случая, когда энергия падающего фотона вдвое превышает энергию покоя электрона (2⋅0,511 Мэв).
Рис. 110. Результаты эксперимента Комптона, в котором фотоны рассеивались на электронах в графитовой мишени.
При расположении детектора на всех углах, кроме φ=0, наблюдаются фотоны, рассеянные с потерей энергии (электроны испытывают отдачу), наряду с теми фотонами, которые почти или вообще не потеряли энергии (отдачу испытывает система электрон + атом как целое)
Собственно, опыты Комптона показали, что некоторые фотоны рассеиваются без заметного изменения энергии (рис. 110). Это были фотоны, рассеивавшиеся на электронах, связь которых в атоме оказалась настолько крепкой, что отдача передавалась атому как целому. Покажите, что для фотонов, рассеивающихся на крепко связанных в атомах средней массы [например, 10⋅2000⋅(масса электрона)] электронах, изменение энергии пренебрежимо мало. ▼
71*. Измерение энергии фотона
Рис. 111. Измерение энергии фотона.
Пусть некий данный радиоактивный источник испускает фотоны высокой энергии (рентгеновские лучи), характерной для соответствующих радиоактивных ядер. Поэтому точные измерения энергии часто могут быть использованы для выяснения состава даже мельчайшего образца. В установке, схема которой дана на рис. 111, регистрируются лишь такие события, когда срабатывание счётчика 𝐴 (попадание в него электрона) сопровождается срабатыванием счётчика 𝐵 (попадание рассеянного фотона). Чему равна энергия падающих фотонов, детектируемых таким способом (в единицах энергии покоя электрона)? ▼
72*. Энергия и частота фотона
В 1900 г. Макс Планк открыл, что свет частоты ν (число колебаний в секунду) с необходимостью следует признать состоящим из квантов (выражение Планка) или фотонов (более позднее выражение Эйнштейна), каждый из которых обладает энергией 𝐸=ℎν/𝑐² (выраженной здесь в единицах массы), где ℎ – универсальный коэффициент пропорциональности, именуемый постоянной Планка. Но как может быть правильной формула Планка, если, как мы теперь знаем, не только 𝐸, но и ν зависит от выбора системы отсчёта, в которой мы наблюдаем свет?
а) Как изменяется энергия фотона при преобразовании Лоренца? Возьмём фотон с энергией 𝐸 (и импульсом 𝑝=𝐸, движущийся в положительном направлении оси х в лабораторной системе отсчёта. Требуется с помощью закона преобразования 4-вектора энергии-импульса найти выражение для энергии 𝐸' этого фотона в системе отсчёта ракеты через одни только величины 𝐸 и θ𝑟.
б) Определите, как изменяется частота света ν при преобразовании Лоренца. Говоря конкретнее, пусть отрезок синусоиды («серия вспышек») света распространяется в положительном направлении оси 𝑥 так что в течение одного метра светового времени мимо начала лабораторной системы отсчёта проходит ν/𝑐 горбов волны. Имеется в виду, что нулевой или «опорный» горб (или вспышка) проходит мимо начала в нулевой момент времени и что начало системы отсчёта ракеты совпадает с началом лабораторной системы в этот же момент. Требуется показать, что координата 𝑥 горба № 𝑛 связана с моментом наблюдения (в метрах) соотношением
𝑛
=
ν
𝑐
(𝑡-𝑥)
.
На том же основании в системе отсчёта ракеты получается соотношение
𝑛
=
ν'
𝑐
(𝑡'-𝑥')
.
Выразите последнюю формулу через лабораторные координаты, пользуясь преобразованием Лоренца (введя параметр относительной скорости θ𝑟). Насколько можно, упростите полученное выражение, пользуясь формулой
ch θ
±
sh θ
=
𝑒
±θ
из табл. 8, где 𝑒 – основание натуральных логарифмов: 𝑒=2,718281… Сравните полученное выражение для 𝑛 с формулой для 𝑛 в лабораторной системе отсчёта и, пользуясь тем, что обе формулы зависят от 𝑥 и 𝑡, найдите простое выражение для ν' через ν и θ𝑟.
в) Сравните выводы, полученные вами в пунктах (а) и (б). Покажите, что в случае света, распространяющегося в направлении относительного движения двух систем отсчёта, преобразование энергии фотона при переходе между этими системами совпадает с аналогичным преобразованием частоты световой волны. Этот вывод справедлив для произвольного направления распространения света (см. упражнение 75). Итак, если мы связали фотоны со световой волной в одной системе отсчёта, эта связь сохранится во всех других системах. Из теории относительности не следует определённого численного значения постоянной Планка ℎ в формуле, связывающей энергию (в единицах массы) и частоту; 𝐸=(ℎ/𝑐²) ν. Из опыта следует, что постоянная Планка ℎ равна 6,63⋅10⁻³⁴ дж⋅сек 1). Покажите, что, если энергия измеряется в обычных единицах, связь между энергией и частотой принимает вид
𝐸
обычн
=
ℎν
(энергия в обычных единицах).
(115)
1) Более привычны единицы – грамм, сантиметр и секунда, в которых 𝑐=3⋅10¹⁰ см/сек, ℎ=6,63⋅10⁻²⁷ эрг⋅сек, а 𝑔=980 см/сек². – Прим. перев.
г) Покажите, что формула, описывающая эффект Комптона (упражнение 70), принимает при этом вид
ν
=
ν
.
1
+
ℎν
(1-cos φ)
𝑚𝑐²
(116)
Идея о том, что рассеянная (переизлучённая) волна обладает пониженной частотой, когда электрон получает электрический удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века. ▼
73*. Гравитационное красное смещение
Следующие две задачи предполагают некоторое знакомство с определёнными элементарными фактами теории тяготения:
I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой 𝑚₁ притягивает объект с массой 𝑚₂ (также малый либо сферически симметричный) с силой 𝐹=𝐺𝑚₁𝑚₂/𝑟². Здесь 𝑟 – расстояние между центрами этих объектов, а 𝐺 – ньютоновская гравитационная постоянная:
𝐺
=
6,67⋅10⁻¹¹
м
³
/
сек
²⋅
кг
=
6,67⋅10⁻⁸
см
³
/
сек
²⋅
г
.
II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки 𝑟 в точку 𝑟+𝑑𝑟 против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы 𝑚, равна
𝐺𝑚
=
𝑑𝑟
𝑟²
.
Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как
𝑑𝑊
=
𝐺𝑚
𝑐²
⋅
𝑑𝑟
𝑟²
=
𝑚*
⋅
𝑑𝑟
𝑟²
(117)
(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).
III. В этой формуле первый сомножитель, 𝑚*=𝐺𝑚/𝑐², имеет очевидный смысл – это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (𝑚=5,983⋅10²⁴ кг) равна в единицах длины 𝑚Земля*=4,44⋅10⁻³ м тогда как масса Солнца (𝑚=1,987⋅10³⁰ кг) равна 𝑚Солнце*=1,47⋅10³ м.
IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии 𝑟 от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна
𝑊
=
𝑚*
𝑟
(118)
из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть
𝑔*
=
𝐺𝑚З
𝑐²
⋅
1
𝑟З²
=
𝑚З*
𝑟З²
есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус 𝑟З), выраженное в м/м².
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?
в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту 𝑧 в однородном гравитационном поле 𝑔*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией 𝐸=𝑇. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой ν состоит из фотонов энергии 𝐸=ℎν/𝑐² (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты:
Δν
ν
=-
𝑔*𝑧
(однородное гравитационное поле).
г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы 𝑀 (кг) или 𝑀* (м) и радиуса 𝑟. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой
Δν
ν
=-
𝑀*
𝑟
.
(119)
Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца. ▼
74*. Плотность спутника Сириуса
Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) – самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (𝑚≈2⋅10³⁰ кг, 𝑚*≈1,5⋅10³ м).
Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7⋅10⁻⁴ от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов. ▼
Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
75. Формулы Допплера
Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости 𝑥𝑦 в направлении, образующем угол φ с осью 𝑥, так что он обладает компонентами импульса 𝑝 𝑥=𝑝 cos φ, 𝑝 𝑦=𝑝 sin φ и 𝑝 𝑧=0.
а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение 𝐸²-𝑝²=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией 𝐸',
𝐸'
=
𝐸 ch θ
𝑟
⋅
(1-β
𝑟
cos φ)
,
(120)
и движется в направлении, образующем с осью 𝑥' угол φ', причём
cos φ'
=
cos φ-β𝑟
1-β𝑟 cos φ
.
(121)
б) Найдите обратные уравнения, выражающие 𝐸 и cos φ через 𝐸', cos φ' и β𝑟. Сравните эти обратные уравнения с полученными в упражнении 22 («эффект прожектора»).
в) Если частота света в лабораторной системе отсчёта равна ν, то чему равна частота этого света ν' в системе отсчёта ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релятивистского эффекта Допплера (упражнение 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчёта покоится источник фотонов? ▼
76. Распад π⁰-мезона; подробный пример
Нейтральный пи-мезон (π⁰-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчёта в направлении оси 𝑥 и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчёта ракеты, где мезон покоится, эти фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦'. Определите энергии фотонов в системе отсчёта ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчёта.
Решение. В системе отсчёта ракеты π⁰-мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в противоположных направлениях в той системе отсчёта, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов 𝐸'=𝑝'). Таким образом, в системе отсчёта ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, 𝐸'=𝑚/2. Кроме того, эти фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦' (φ=±90°, так что cos '=0).
Энергия и направление вылета каждого из фотонов в лабораторной системе отсчёта могут быть найдены по формулам, полученным в упражнении 75:
𝐸
=
𝐸' ch θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos φ')
,
cos φ
=
cos φ'+β𝑟
1+β𝑟 cos φ'
.
Прежде всего необходимо найти величины θ𝑟, и β𝑟. Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона в лабораторной системе отсчёта до его распада была равна массе покоя; тогда
𝐸
π
≡
𝑚 ch θ
𝑟
≡
𝑇
+
𝑚
=
2𝑚
,
откуда
ch θ
𝑟
=
1
√1-β𝑟²
=
2
,
так что
β
𝑟
=
√3
2
.
Подставьте теперь эти данные и величину 𝐸'=𝑚/2 в уравнения преобразования, и вы получите
𝐸
=
𝑚
,
cos φ
=
β
𝑟
=
√3
2
,
так что φ=30°. Величину энергии можно было бы найти непосредственно по симметрии распада и по равенству полной энергии мезона до распада 2𝑚. Выводы подытожены на рис. 112. Проверьте, что в лабораторной системе отсчёта импульс сохраняется, как и энергия.
Рис. 112. Решение задачи о распаде π⁰-мезона.
77. Полёт неоновой лампочки
Неоновая лампочка, которая в своей системе покоя изотропно во всех направлениях излучает красный свет, приближается к наблюдателю с очень большого расстояния, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, по прямолинейному пути, отстоящему от наблюдателя на расстоянии 𝑙 по перпендикуляру. С течением времени изменяются как цвет излучения, так и число фотонов, приходящих к наблюдателю от лампочки. Качественно опишите эти изменения на различных этапах движения. Рассмотрите как эффект Допплера, так и «эффект прожектора» (упражнения 75 и 22). ▼
78. Физик и светофор
Физика задержали за то, что он поехал на красный свет. На суде он заявил, что приближался к перекрёстку на скорости, при которой красный свет казался ему зелёным. Судья, получивший в своё время физическое образование, обвинил тогда физика в превышении предельной скорости и присудил его к уплате одного доллара за превышение местного предела скорости 20 миль/час на каждую милю в час. Чему равна сумма штрафа? Примите длину волны зелёного света равной 5300 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м), а длину волны красного света – 6500 Å. Учтите, что свет распространялся в отрицательном направлении оси 𝑥 (φ=φ'=π). ▼
79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца
Солнце совершает один оборот вокруг своей оси за 24,7 суток. Радиус Солнца составляет около 7,0⋅10⁸ м. Вычислите величину допплеровского смещения, которое должно наблюдаться для света с длиной волны 5000 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м) на одном из краёв диска Солнца вблизи его экватора. Происходит ли это смещение в стороны красного или синего конца видимого спектра? Сравните величину смещения Допплера с величиной гравитационного красного смещения для поверхности Солнца (упражнение 73). ▼
80. Расширяющаяся Вселенная. (Вспомните упражнение 6)
а) Производится спектрометрическое исследование света, приходящего от далёкой галактики. Спектральную линию с длиной волны 7300 Å удаётся отождествить (по её положению в общей картине линий) со спектральной линией водорода, обладающей для излучения водорода в условиях лаборатории длиной волны 4870 Å. Если изменение длины волны обусловлено эффектом Допплера, то с какой скоростью должна двигаться относительно Земли исследуемая галактика? Заметьте, что свет распространяется в направлении, противоположном направлению движения галактики (φ=φ'=π).
б) Полученные независимым путём данные говорят о том, что исследуемая галактика находится от нас на расстоянии 5 миллиардов световых лет. Оцените время, прошедшее с момента, когда эта галактика отделилась от нашей Галактики (Млечного Пути), приняв для простоты, что в прошлом скорость удаления была всегда постоянной (не замедлялась под действием взаимного притяжения галактик). Астроном Эдвин Хаббл обнаружил в 1929 г. 1), что это время (обратная которому величина носит название постоянной Хаббла, так что его можно называть хаббловским временем) приблизительно одинаково для всех галактик, расстояния до которых и скорости которых удалось измерить. Отсюда возникло представление о расширяющейся Вселенной 2). Приведёт ли к увеличению или уменьшению в оценке времени, прошедшего с начала расширения, учёт влияния тяготения в прошлом, приводящий к замедлению этого расширения?
1) Е. Hubble, Proс. U. S. National Acad. Sci., 15, 168 (1929).
2) Дальнейшие подробности см., например, в книге Hermann Bondi, Cosmology, Cambridge University Press, Second Edition, 1960. [Теоретически возможность расширяющейся модели Вселенной была предсказана еще в 1921 г. А. А. Фридманом; см. его работы, перепечатанные в Успехах физических наук, 86, № 3 (1963).– Прим. перев.]
▼
81*. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера 3)
3) Е. Feenberg, American Journal of Physics, 27, 190 (1959).
Проблема парадокса часов (см. упражнения 27 и 49) может быть изящно разрешена с помощью учёта эффекта Допплера. Вспомним, что Павел оставался на Земле, тогда как Пётр летал с огромной скоростью β𝑟 до далёкой звезды и обратно на Землю. Пусть они оба наблюдали удалённую переменную звезду, яркость которой попеременно ослабевает и увеличивается с частотой ν в системе отсчёта Земли (ν' в системе отсчёта ракеты). Предположим, что расстояние до этой переменной звезды намного превышает длину пути Петра, а направление на неё в системе отсчёта Земли перпендикулярно направлению движения Петра. Оба наблюдателя зарегистрируют одно и то же общее число пульсаций переменной в течение всего путешествия Петра от его вылета до возвращения. Исходя из этого факта и из формулы для допплеровского смещения (упражнение 75)
ν'
=
ν ch θ
𝑟
⋅
(1-β
𝑟
cos φ)
(122)
при данном угле наблюдения φ= 90° в лабораторной системе отсчёта, проверьте утверждение, что к концу путешествия, описанного в упражнении 27, Пётр постареет всего на 14 лет, тогда как Павел – на все 50. ▼
82*. «Не превышайте скорости»
На автостраде установлен стационарный радиолокатор, сдвиг частоты луча которого, отражённого от едущей навстречу ему машины, используется для измерения скорости её. Одна из таких установок, используемых полицией в штате Нью-Джерси, работает на частоте 2455 Мгц. Насколько сдвигается частота отражённого луча, если приближающаяся к радиолокатору машина имеет скорость 80 миль/час (1 миля/час = 0,447 м/сек). (Произведите приближённый расчёт, предполагая, что автомашина служит источником той же частоты, какой обладает излучение, падающее на неё в её системе покоя. Для того чтобы решить эту задачу, необходимо произвести два преобразования: от системы отсчёта автострады к системе отсчёта машины, а затем от системы отсчёта машины вновь к системе отсчёта автострады). Допустим, что радиолокационная установка способна различать скорости, разность между которыми составляет не менее 10 миль/час. Какое относительное изменение частоты может зарегистрировать эта установка? ▼
83*. Допплеровское уширение спектральных линий
Средняя кинетическая энергия атома газа при температуре 𝑇°𝐊 (шкала Кельвина) равна ³/₂⋅𝑘𝑇 (Константа 𝑘 называется постоянной Больцмана и равна 1,38⋅10⁻²³ дж/град). Определите относительное изменение частоты, обусловленное допплеровским смещением, которое будет наблюдаться в излучении атомов газа при температуре 𝑇. Используйте в качестве приближения для малых скоростей ньютонову механику. Будет ли наблюдаемая частота больше или меньше вследствие эффекта Допплера? Это явление – причина того, почему любая данная спектральная линия газа, возбуждённого электрическим разрядом, состоит из узкой полосы частот вокруг некоторой центральной частоты. Оно называется допплеровским уширением спектральных линий. ▼
84*. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя
а) Свободная частица, первоначально покоившаяся и обладавшая массой покоя 𝑚, излучает фотон с энергией 𝐸. Эта частица (её масса покоя стала равна 𝑚) испытывает отдачу, и её параметр скорости становится равен θ (рис. 113).
Рис. 113. Отдача, испытываемая частицей при испускании фотона.
Сформулируйте законы сохранения таким образом, чтобы в них не фигурировала ни скорость, ни параметр скорости. Рассмотрите тот случай, когда относительное изменение массы покоя в процессе излучения намного меньше единицы. Покажите, что энергия фотона равна 𝐸₀=𝑚-𝑚. Покажите также, что в общем случае
𝐸
=
𝐸₀
⎛
⎜
⎝
1
–
𝐸₀
2𝑚
⎞
⎟
⎠
или
𝐸-𝐸₀
𝐸₀
=
Δ𝐸
𝐸₀
=-
𝐸₀
2𝑚
.
(123)
б) Покажите, что такое изменение энергии в области видимого света (𝐸₀,обычн ≈3 эв), излучаемого атомами газа (𝑚𝑐≈10⋅10⁹ эв), намного меньше, чем обусловленное эффектом Допплера, вследствие теплового движения атомов (упражнение 83) даже при таких низких температурах, как комнатные (𝑘𝑇≈1/40 эв). ▼
85*. Эффект Мёссбауэра
а) Свободный атом железа 𝙵𝚎⁵⁷, образовавшийся в так называемом «возбуждённом состоянии» при радиоактивном распаде кобальта 𝙲𝚘⁵⁷, при переходе в «нормальное состояние» атома 𝙵𝚎⁵⁷ излучает из ядра гамма-квант (фотон высокой энергии) с энергией 14,4 кэв. Чему будет равно относительное изменение энергии гамма-кванта, вызванное эффектом отдачи атома? Масса атома 𝙵𝚎⁵⁷ составляет около 57 масс протона.
б) В 1958 г. 29-летний P. Л. Мёссбауэр сделал важное открытие, что не все излучаемые гамма-кванты испытывают такой сдвиг частоты 1). Исходя из квантовой механики, он доказал теоретически, подтвердив свой вывод экспериментальной проверкой, что когда атомы железа включены в твёрдое тело (поскольку атомы железа образовались при радиоактивном распаде атомов кобальта, первоначально включённых в это твёрдое тело), значительная часть этих атомов железа не испытывает отдачи, свойственной свободным атомам в момент излучения. Напротив, они ведут себя так, как если бы их жёстко связали с покоящимся твёрдым телом. Импульс отдачи передаётся при этом всему телу как целому. Но масса тела превышает массу отдельного атома на много порядков (степеней 10), и в этом случае мы имеем явление, названное процессом без отдачи. (Излучение фотонов ядрами атомов, связанных в твёрдом теле, не сопровождающееся эффектом отдачи, напоминает один из фактов, обнаруженных Комптоном, а именно что некоторые из фотонов, рассеянных крепко связанными в атоме электронами, приобретают очень малое изменение энергии, так как атом испытывает отдачу как единое целое; см. упражнение 70). Для гамма-лучей, испускаемых в процессах без отдачи, в упражнении 84 в качестве 𝑚 следует взять массу всего куска металла, в которой заключены атомы железа. Если эту массу принять равной 1 г, чему будет равен относительный сдвиг частоты гамма-кванта в процессе «без отдачи»?
1) За это открытие немецкий учёный был удостоен Нобелевской премии 1961 г.; подробности см. в статье S. DeBenedetti, The Mössbauer Effect, Scientific American, 202, 72 (April, 1960).
Рис. 114. Естественная ширина линии для фотона, испущенного ядром 𝙵𝚎⁵⁷.
в) Испущенные возбуждёнными ядрами 𝙵𝚎⁵⁷ гамма-лучи не состоят из квантов, несущих в точности одну и ту же энергию; их энергии сосредоточены в узком диапазоне (это же касается и их частот), обусловливающем естественную ширину линии. Практически из тысячи или более фотонов можно выделить несколько классов. Любой данный фотон принадлежит к тому или другому классу в зависимости от того, в каком из многих равных по ширине интервалов лежит его частота. Число фотонов в каждом классе как функция частоты изображается графически и образует колоколообразную кривую (рис. 114). Ширина этой кривой на высоте половины её максимума обозначается через Δν. Для гамма-квантов, излучаемых 𝙵𝚎⁵⁷ и обладающих энергией 14,4 кэв, отношение Δν/ν₀ весьма мало и равно 3⋅10⁻¹³. Чему равна естественная ширина линии Δν излучения ядер 𝙵𝚎⁵⁷ в герцах? Сравните естественную относительную ширину линии с относительным сдвигом частоты, вызываемым отдачей свободного атома железа. Сравните её также с относительным сдвигом частоты гамма-лучей в процессе без отдачи.
