Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 3 (всего у книги 27 страниц)
Подобно Майкельсону и Морли, Кеннеди и Торндайк использовали в качестве движущейся системы отсчёта Землю. Они пытались обнаружить хоть какое-нибудь изменение величины скорости распространения света по замкнутому пути, когда Земля в разное время года двигалась в различных направлениях вокруг Солнца. Их результат был отрицательным, и из степени его точности можно заключить, что нет никакого изменения величины скорости света, по крайней мере большего 2 м/сек, когда свет распространяется по замкнутому пути в двух системах отсчёта, движущихся с относительной скоростью 60 км/сек (удвоенная скорость движения Земли по орбите; см. упражнение 34). В эксперименте Кеннеди – Торндайка эталоном длины было плечо самого интерферометра – цельный кусок плавленого кварца, находящегося в вакууме при температуре, постоянной с точностью около одной тысячной градуса. В качестве эталона времени был взят собственный период колебаний, связанный с зелёной линией в спектре атома ртути. Единственной и важнейшей трудностью в этом эксперименте, проводившемся в Пасадене (Калифорния), было поддержание постоянных условий в течение ряда месяцев, тогда как в опыте Майкельсона – Морли в Кливленде (Огайо) каждая серия сравнений (в разных направлениях) могла проводиться за один день. В этом же состояло и различие между обоими экспериментами. Их результаты сопоставлены в табл. 4 на следующей странице.
Таблица 4.
Современные критерии для решения вопроса: «Различна ли скорость света на замкнутом пути в разных системах отсчёта?»
ДВЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА
Первая система отсчёта
Земля при её движении в одном направлении относительно Солнца, например в январе
Вторая система отсчёта
Земля при её движении в противоположном направлении (по отношению к неподвижным звёздам) в июле
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТОВ
Результаты опыта Майкельсона – Морли
Первоначальный вариант
Ни в какой системе отсчёта наблюдатели (может быть
один и тот же
наблюдатель на Земле, повторяющий свой опыт спустя 6 месяцев) не могут заметить разницы в скорости света на замкнутом пути в любых двух взаимно перпендикулярных направлениях, большей чем
¹
/
₆
скорости движения Земли по орбите
Модернизированный вариант
Ни в какой системе отсчёта наблюдатели не могут заметить разницы в скорости света на замкнутом пути в любых двух взаимно перпендикулярных направлениях, большей чем 3% скорости движения Земли по орбите
Результаты эксперимента Кеннеди – Торндайка
Скорость света на замкнутом пути одинакова в любой из определённых выше «сезонных» систем отсчёта с точностью приблизительно до 2
м/сек
ИСТОЛКОВАНИЕ ОПЫТНЫХ ФАКТОВ
Модернизированный вариант опыта Майкельсона – Морли
Скорость Земли по ее орбите вокруг Солнца равна
30
км/сек
= 1/10 000 скорости света
Тогда
разница
в величине скорости света на замкнутом пути,
измеренной в двух взаимно перпендикулярных направлениях,
меньше 3/100 от 1/10 000 скорости света,
т.е. меньше 3/1 000 000 скорости света.
Итак,
принцип относительности
подтверждается этим модернизированным вариантом опыта с точностью
3 : 1 000 000
Эксперимент Кеннеди – Торндайка
Разница
в величине скорости света на замкнутом пути, измеренной в двух системах отсчета,
меньше приблизительно 2
м/сек
,
т.е. меньше 1/100 000 000 скорости света
Итак,
принцип относительности
подтверждается этим экспериментом с точностью
1 : 100 000 000
Хотя ни один из этих экспериментов не обладал чувствительностью экспериментов Этвёша и Дикке (3 : 1011), их результаты тем не менее изумительно точно подтвердили принцип относительности. К тому же планируется повысить чувствительность эксперимента Кеннеди—Торндайка1). Такое повышение чувствительности очень важно. Ведь принятие метра в качестве единицы времени имеет смысл, лишь если свет проходит один метр длины за одно и то же время во всех системах отсчёта. Равенство скорости света в системе отсчёта ракеты и в лабораторной системе допускает простой способ сравнения часов в этих системах (разд. 5). Возможность такого сравнения решающим образом зависит от отрицательного результата эксперимента Кеннеди – Торндайка.
1) Т.S. Jasеja, A. Javan, J. Murray, С. Н. Townes, Physical Review, 133, А1221 (1964). Подробный анализ экспериментальных оснований частной теории относительности см. в статье Робертсона «Сравнение постулатов и наблюдений в частной теории относительности», Н. P. Robertson, Reviews of Modern Physics, 21, 378 (1949).
Структура пространства-времени приводит к тому, что Станфордский ускоритель стоит 300 миллионов долларов
В 1905 г. принцип относительности был явной ересью, открытым вызовом интуиции и восприятию природы в рамках «здравого смысла», свойственных большинству тогдашних физиков. Потребовались долгие годы, чтобы привыкнуть к нелепой на первый взгляд мысли о том, что некоторая конкретная скорость обладает одной и той же величиной, в какой бы из двух перекрывающихся и движущихся относительно друг друга инерциальных систем отсчёта её ни измеряли. Теперь принцип относительности применяется ежедневно во множестве областей физики, и там он непрерывно и строго проверяется. Например, Станфордский линейный ускоритель электронов (приблизительная стоимость 300 миллионов долларов) должен иметь длину в 2 мили для того, чтобы разгонять электроны до скорости, почти равной скорости света (разница в скоростях всего лишь 8 : 10¹¹). Если бы были справедливы доэйнштейновские, ньютоновские законы механики, то для такого ускорения было бы достаточно» длины менее чем в один дюйм (см. упражнение 55)!
4. КООРДИНАТЫ СОБЫТИЯ
Почему мы используем координаты?
Для студента-физика инерциальная система отсчёта представляет собой то же, что сетка линий с севера на юг и с востока на запад на местности для землемера. Землемер изучает положение объектов в пространстве. Студент-физик изучает положение событий в пространстве и во времени. Дневной и ночной землемеры могли отказаться от использования координат в направлениях север – юг и восток – запад и попросту измерять расстояния между каждыми двумя городскими воротами, хотя сначала они даже не подозревали о существовании такой величины, как расстояние. Подобным же образом мы могли бы в этой главе ограничиться при определении положений событий в пространстве-времени измерением интервалов между любыми двумя событиями, не рассматривая по отдельности «пространственных» и «временной» координат 2). Однако следует начать с положения физики до 1905 г., совершенно не опираясь на понятие интервала. Это понятие само привлечёт наше внимание подобно тому, как понятие расстояния привлекла к себе внимание землемера. Так, два человека измеряли координаты в направлениях север – юг и восток – запад в двух разных системах координат, и лишь позднее они заметили взаимосвязь между совсем разными числами в своих записях («инвариантность расстояния»). Мы начнём подобным же образом с пространственных и временных координат событий в лабораторной системе отсчёта и с пространственных и временных координат тех же событий в системе отсчёта ракеты. И тогда у нас будут солидные основания для вывода о тождественном равенстве друг другу интервала между двумя событиями, вычисленного из лабораторных координат, и интервала между теми же двумя событиями, вычисленного из совсем других чисел – значений координат, полученных при измерениях в системе отсчёта ракеты («инвариантность интервала»).
2) Такой подход сформулирован Робертом Ф. Марцке и Джоном А. Уилером в сборнике Gravitation and Relativity, eds. H.-Y. Chiu and W. F. Hofmann, W. A. Benjamin, New York, 1964. (Имеется русский перевод: Гравитация и относительность, под ред. X. Цзю и В. Гофмана, изд-во «Мир», М., 1965, стр. 107.– Прим. перев.)
Определение понятия события
В геодезии основным понятием является место. В физике основное понятие – событие. Событие характеризуется не только местом, но и моментом времени, в который оно произошло. Вот примеры событий: испускание частицы или световой вспышки (взрывы); отражение или поглощение частиц или световых вспышек; столкновения и почти столкновения, именуемые совпадениями.
Как определить место и время, где и когда происходит событие в данной инерциальной системе отсчёта? Представим себе, что мы построили тело отсчёта, собрав из метровых стержней кубическую решётку, вроде того подобия «шведских стенок», которые стоят на детских площадках (рис. 9).
Рис. 9. Решётка из метровых стержней и часов. Опорные часы выделены.
Решётка из часов
Закрепим в каждом узле этой решётки часы. Часы могут быть любой конструкции, но они проградуированы в метрах времени. Возможность такой градуировки обсуждалась в разд. 1, когда мы заставляли световую вспышку бегать, отражаясь между двумя зеркалами, отстоящими друг от друга на полметра. Мы говорили, что такие часы издают «тик-так» каждый раз, когда свет возвращается к первому зеркалу. Между соседними «тик-так» свет проходит замкнутый путь 1 м, и мы условились называть полученную таким образом единицу времени 1 метром светового времени или, проще, 1 метром времени. В обычных единицах скорость света имеет измеренную величину 𝑐=2,997925⋅10⁸ м/сек. Путь 1 м свет проходит за время, равное 1 метр/с = 3,335640⋅10⁻⁹ сек. Значит, 1 метр светового времени равен 3,335640⋅10⁻⁹ секунд или около 3,3 наносекунд, если говорить на языке электроники сверхвысоких частот. Итак, мы полагаем, что все часы решётки, какова бы ни была их конструкция, проградуированы в метрах светового времени.
Синхронизация часов решётки
Каким образом синхронизировать друг с другом разные часы в решётке? Это можно сделать так: примем одни из этих часов за стандартные и перенесём в них начало системы координат 𝑥, 𝑦, 𝑧. Начнём на этих опорных часах отсчёт времени с 𝑡=0 и пошлём из них в этот момент световой сигнал во всех направлениях. Будем называть такой сигнал также опорным. Когда опорный сигнал достигает часов, находящихся на расстоянии 5 м, мы считаем, что эти часы должны показывать 5 метров светового времени. Пусть тогда находящийся при них ассистент ещё до начала эксперимента поставит стрелки этих часов на 5 метров времени, установит их в 5 м расстояния от опорных часов и запустит, лишь когда до него дойдёт опорный сигнал. Когда все приставленные к часам решётки ассистенты проделают аналогичную процедуру, т.е. каждый поставит стрелки своих часов на время в метрах, равное своему расстоянию от опорных часов, и запустит их, когда до него дойдёт опорный сигнал, то часы решётки будут синхронизированы между собой.
Возможны и другие способы синхронизации часов. Например, можно установить по опорным часам в начале координат переносные часы, а затем пронести их по решётке и поставить по ним остальные часы. Эта процедура, однако, предполагает передвижение часов. Мы увидим позже, что движущиеся часы обладают другой скоростью хода, если её контролировать с помощью часов решётки, чем часы, оставленные в покое в начале координат. Переносные часы даже перестанут согласоваться с этими последними, когда мы вернём их снова в начало координат! (См. парадокс часов; упражнение 27). Правда, следя за тем, чтобы скорость движения переносных часов составляла лишь весьма малую долю скорости света, мы почти избавимся от этой ошибки, и второй метод синхронизации по своему результату будет очень близок к первому методу, стандартному. Более того, ошибку можно сделать сколь угодно малой, если передвигать переносные часы достаточна медленно.
Использование решётки для измерения всех 4 координат событий
Решётка с синхронизированными часами может использоваться для определения положения в пространстве и времени любого события. За положение события в пространстве принимается положение часов, ближайших к этому событию. Его положение во времени принимается равным времени, которое при этом показывают часы, ближайшие к событию. Итак, координаты события – это набор 4 чисел: 3 из них характеризуют положение в пространстве часов, ближайших к этому событию, а четвёртое равно времени (в метрах), когда по этим часам произошло это событие. Если часы установил предусмотрительный экспериментатор, то это хронографы, и каждый из них может отметить возникновение события (например, приход светового сигнала или частицы). Каждый из них отпечатывает на карточке сущность явления, его время и положение часов. Затем эти карточки можно собрать со всех часов и проанализировать – возможно, на электронной машине.
Шаг решётки зависит от масштабов изучаемых физических явлений
Почему решётка строилась из стержней, каждый из которых был длиной 1 метр? По выданной часами карточке мы не сможем в этом случае установить, произошло ли зафиксированное событие на 0,4 м левее часов или, например, на 0,2 м правее их. Местоположение события будет неопределённым с точностью до заметной доли метра. Время события также будет известно лишь с точностью до заметной доли метра светового времени. Но такой точности вполне достаточно при наблюдении прохождения ракеты. Её куда более чем достаточно, если мы измеряем положение планет на орбитах,– было бы даже разумным увеличить шаг решётки с м до сотен метров. Но ни шаг в 100 м, ни шаг в 1 м не пригодны для решётки, с помощью которой мы изучаем траектории частиц, полученных на мощном ускорителе. Здесь уместнее считать на сантиметры или миллиметры. Итак, положение события в пространстве и во времени можно найти с любой требуемой степенью точности, построив решётку, обладающую достаточно малым шагом.
Определение понятия «наблюдатель»
В теории относительности часто идёт речь о «наблюдателе». Где он расположен? В каком-то одном месте или сразу во всём пространстве? Слово «наблюдатель» – это сокращение, которым обозначается вся система часов-хронографов, связанных с данной инерциальной системой отсчёта. Ни один реальный наблюдатель не справился бы в одиночку с обязанностями того «идеального наблюдателя», которого мы используем при анализе теории относительности. Поэтому лучше представлять себе наблюдателя как человека, совершающего обход всех порученных ему хронографов и собирающего на них свои перфорированные карточки. Таков смысл фразы «наблюдатель обнаруживает то-то и то-то», которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Показания часов характеризуют движение частицы сквозь решётку
Движение частицы сквозь решётку обнаруживается с помощью часов: каждые часы, мимо которых пролетает частица, отпечатывают как время её пролёта, так и пространственную координату этого события. Как охарактеризовать числами «путь» (мировую линию) частицы? Для этого следует вдоль мировой линии проставить координаты событий. По разностям координат последовательных событий находится скорость частицы. Такая скорость 𝑣 обычно измеряется в метрах в секунду (м/сек). Однако, когда время измеряется в метрах светового времени, скорость должна быть выражена в метрах пути, пройденного за 1 метр времени. Во избежание недоразумений мы будем обозначать скорость, измеренную в м/м, греческой буквой «бета» (β). Световой сигнал проходит 1 м пути за 1 м светового времени, т.е βсвет=1 Скорости частиц, измеренные в м/м, представляют собой отношения их скоростей в м/сек к скорости света; иными словами, β=𝑣/𝑐. Здесь, как и далее, через 𝑐 обозначена скорость света.
Проверка инерциальности системы отсчёта, образованной данной решёткой
По движению пробных частиц сквозь решётку часов, а говоря точнее, по регистрациям совпадений, отпечатанным нашими хронографами, мы можем выяснить, представляет ли собой эта решётка инерциальную систему отсчёта. Если зарегистрировано, что: а) пробная частица (с некоторой заданной точностью) последовательно проходит мимо часов, расположенных на прямой линии; б) скорость β пробной частицы, вычисленная по этим же записям, постоянна (вновь с некоторой заданной степенью точности) и в) такие выводы получаются для стольких мировых линий пробных частиц, сколько их сможет проследить в данной области пространства и времени самый трудолюбивый наблюдатель, то эта решётка часов образует в данной области пространства-времени инерциальную систему отсчёта.
Лабораторная система отсчёта и система ракеты при совпадении 𝑥-осей
Мы снова описали движение пробных частиц относительно конкретной системы отсчёта с целью определить, является ли данная система инерциальной. Одни и те же пробные частицы, а в случае их столкновений одни и те же акты соударения могут быть описаны как по отношению к одной инерциальной системе отсчёта, так и по отношению к другой. Пусть две системы отсчёта реализуются двумя разными решётками из метровых стержней и часов, так что одна система движется относительно другой равномерно, а оси 𝑥 обеих систем совпадают. Назовём одну из этих систем отсчёта лабораторной, а другую, движущуюся относительно первой в положительном направлении оси 𝑥, – системой отсчёта ракеты (рис. 10 и 11). Ракета летит с выключенным двигателем с постоянной скоростью относительно лаборатории. Пусть решётки ракеты и лаборатории перекрываются в том смысле, что имеется область пространства, общая для обеих систем отсчёта (как это описано в разд 3 и показано на рис. 8). В этой общей области пространства-времени движутся пробные частицы. По их движению, зарегистрированному часами данного наблюдателя, этот наблюдатель удостоверяется в том, что его система отсчёта инерциальна; пусть это имеет место для наблюдателей в обеих системах отсчёта.
Рис. 10. Лабораторная система отсчёта и система ракеты. Соответствующие им решётки были наложены друг на друга секунду назад.
Рис. 11. Лабораторная система отсчёта (слева) п система ракеты (справа) —дальнейшая схематизация рис. 10. В обеих системах заштрихованы центральные опорные часы.
Наблюдатели в лаборатории и на ракете фиксируют одно и то же событие
Взорвём хлопушку. Её взрыв будет зарегистрирован ближайшими к нему часами лабораторной решётки; он будет также зарегистрирован ближайшими к месту взрыва часами решётки ракеты. Как связаны между собой записи о координатах взрыва у часов-хронографов в лаборатории и на ракете? Частично на этот вопрос сразу же отвечает принцип относительности: в записях часов в лаборатории и на ракете будет указано одно и то же значение координаты 𝑦. Для доказательства предположим, что часы-хронограф на ракете снабжены кистью, смоченной в краске, и делают отметки на лабораторной решётке при своём движении. Это изображено на рис. 12 для случая, когда 𝑦=1 м. Эти отметки на лабораторной решётке служат для нахождения лабораторной координаты 𝑦, соответствующей 𝑦=1 у часов на ракете. Эти отметки ложатся на лабораторные часы с 𝑦=1, не выше и не ниже их. Ведь если бы краска ложилась на стержни решётки ниже лабораторных часов с 𝑦=1, то оба наблюдателя заключили бы, что часы на ракете с 𝑦=1 прошли «ниже» лабораторных часов с 𝑦=1. Цепочка отметок краской сделала бы этот факт очевидным для всех. Аналогично, если бы эти отметки ложились на стержни выше лабораторных часов с 𝑦=1, то оба наблюдателя заключили бы, что часы на ракете с 𝑦=1 прошли «над» лабораторными часами с 𝑦=1. В обоих случаях имелась бы возможность экспериментально отличить друг от друга эти две системы отсчёта. Но ведь отличить эти системы друг от друга с помощью какого-либо другого эксперимента было невозможно – в принципе относительности содержится утверждение, что такого экспериментально находимого различия между инерциальными системами отсчёта вообще не может быть. Отсюда мы заключаем, что отличить эти две системы отсчёта невозможно и с помощью этого эксперимента. Поэтому координата 𝑦 любого события, и в том числе взрыва, с которого мы начали этот абзац, будет одной и той же как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе.
Рис. 12. Доказательство того, что координата 𝑦 любого события одинакова в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты.
Координата 𝑦 события одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты
Из аналогичных доводов следует, что и координата 𝑧 любого события одинакова как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Заметим, что обе эти координаты события – и 𝑦, и 𝑧 – отсчитываются в направлении, перпендикулярном направлению относительного движения наших систем отсчёта.
Координата 𝑧 события одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты
Тот факт, что длины, измеренные поперёк направления относительного движения систем отсчёта, одинаковы, сразу же даёт возможность сравнивать ход часов в обеих решётках. Пусть световая вспышка бегает, отражаясь между двумя зеркалами, установленными в системе отсчёта ракеты на опорных часах и на часах, расположенных в точке с координатой 𝑦=1 точно над опорными часами. Такая вспышка будет возвращаться в исходную точку через 2 м светового времени системы ракеты. Траекторию этого светового луча можно проследить и в лабораторной системе вверх до того же самого значения координаты 𝑦 и снова вниз до опорных часов. Учитывая, что скорость света в обеих системах одинакова, можно вычислить лабораторное время, соответствующее времени распространения света по двухметровому замкнутому пути в системе отсчёта ракеты. В следующем параграфе этот расчёт приведёт к заключению об инвариантности интервала.
5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА
Какая мера характеризует относительное расположение событий 𝐴 и 𝐵 и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта?
Расстояние между двумя городскими воротами определяется по значениям разностей координат 𝑥 этих ворот и по значениям разностей их координат 𝑦. Как определить аналогичную физическую величину – пространственно-временной интервал между двумя событиями? Между какими двумя событиями определяется такой интервал?
Пусть событие 𝐴 – акт излучения световой вспышки. Пусть событие 𝐵 – акт приёма этой вспышки после того, как она была отражена другим объектом. Эти два акта можно назвать парой событий. Нас не интересуют сами по себе ни свет, ни отражающий его объект. Однако анализ траектории светового луча в пространстве-времени позволяет легко и быстро найти величину (тот самый интервал), которая связана с этой парой событий и значение которой одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.
Событие 𝐴 – акт излучения вспышки
Событие 𝐵 – акт приёма вспышки
Событие 𝐴 – лампа даёт вспышку. Её свет распространяется к отражателю 𝑅 (рис. 13), от которого он снова идёт вниз. Событие 𝐵 – приём вспышки. Рассмотрим теперь подробности согласно рис. 13.
а) Путь светового луча, наблюдаемый в лабораторной системе отсчёта.
б) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета ракеты.
в) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета сверхракеты.
Рис. 13. Испускание, отражение и приём опорной вспышки (приём происходит в начале координат в системе отсчёта ракеты).
Подробности о координатах событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты
Лампа даёт вспышку в лабораторной системе в нулевой момент времени в начале системы координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 (на рисунке заштриховано). Пролёт ракеты мимо этого места приурочен к такому времени, что и для ракеты вспышка имеет место также в начале координат (заштриховано снова) и в нулевой момент. Подытожим данные о координатах события 𝐴 (акт излучения):
𝑥
𝐴
=0,
𝑦
𝐴
=0,
𝑡
𝐴
=0,
(в лабораторной системе),
𝑥
𝐴
́ =0,
𝑦
𝐴
́ =0,
𝑡
𝐴
́ =0,
(в системе ракеты).
Отражатель укреплён на часах ракеты на расстоянии 1 м прямо над началом координат.
В системе ракеты приём вспышки осуществляется в том же месте, где произошло её излучение. Свет вспышки прошёл замкнутый путь длиной 2 м, и на этот путь потребовалось 2 м светового времени. Поэтому координаты события 𝐵 (акт приёма вспышки) в системе отсчёта ракеты равны:
𝑥
𝐵
́ =0,
𝑦
𝐵
́ =0,
𝑧
𝐵
́ =2
м
.
Более содержательны не абсолютные значения координат, а разности координат событий 𝐴 и 𝐵:
Δ
𝑥
́
=
𝑥
𝐵
́ -𝑥
𝐴
́
=
0,
Δ
𝑦
́
=
𝑦
𝐵
́ -𝑦
𝐴
́
=
0,
Δ
𝑡
́
=
𝑡
𝐵
́ -𝑡
𝐴
́
=
2
м
.
В лабораторной системе отсчёта приём вспышки происходит не в начале координат, а на расстоянии Δ𝑥 вправо от него. Если скорость ракеты велика, то велико и расстояние Δ𝑥; если скорость мала, то мало и Δ𝑥. (На рисунке это расстояние равно 1 м, однако дальнейшие расчёты справедливы для любого расстояния). В лабораторной системе отсчёта свет распространяется по гипотенузам двух прямоугольных треугольников, основание каждого из которых равно Δ𝑥/2, а высота 1 м. Полная длина пути поэтому получается равной
2
√
1+(
Δ
𝑥/2)²
Вспомним теперь, что скорость света одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты (что хотя и неправдоподобно, но является законом природы!). Поэтому разность времён акта излучения и акта приёма вспышки в лабораторной системе отсчёта выражается такой же формулой
Δ
𝑡
=
𝑡
𝐵
–
𝑡
𝐴
=
2
√
1+(
Δ
𝑥/2)²
(4)
(в метрах светового времени).
Промежуток времени между событиями 𝐴 и 𝐵 неодинаков для наблюдателей в лаборатории и на ракете
Почему этот промежуток времени превышает 2 м? Дело в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника на рис. 13,а больше, чем его высота. Поэтому невозможно избежать заключения о том, что промежуток времени между актами излучения и приёма вспышки неодинаков в двух инерциальных системах отсчёта.
Таблица 5.
Разности координат событий приёма и посылки сигнала
Лабораторная система
отсчёта
Система отсчёта
ракеты
𝑥
приём
–𝑥
излуч
=
Δ
𝑥
𝑥
приём
'-𝑥
излуч
'=
Δ
𝑥'
=0
𝑡приём-𝑡излуч=Δ𝑡=
=2√1+(Δ𝑥/2)²
𝑡
приём
'-𝑡
излуч
'=
Δ
𝑥'
=2
м
В табл. 5 сведены разности как пространственных, так и временной координат событий 𝐴 и 𝐵. Промежуток времени различен в разных инерциальных системах отсчёта; различен и промежуток, разделяющий события в пространстве,– картина аналогична той, когда разности координат Δ𝑥 и Δ𝑦 для двух городских ворот были разными для дневного и ночного землемеров! Но для этих землемеров существовала комбинация координат (квадрат расстояния между воротами), одинаковая для них обоих:
(Расстояние)
²
=
(
Δ
𝑥
)
²
+
(
Δ
𝑦
)
²
=
(
Δ
𝑥'
)
²
+
(
Δ
𝑦'
)
²
.
Есть ли подобная комбинация координат наших двух событий, которая была бы одинаковой в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты? Ответ на этот вопрос: да! Квадрат интервала
(Интервал)
²
=
(
Δ
𝑡
)
²
–
(
Δ
𝑥
)
²
=
(
Δ
𝑡'
)
²
–
(
Δ
𝑥'
)
²
=
(2
м
)
²
(5)
– именно такая величина, как можно проверить путём непосредственной подстановки величин, фигурирующих в табл. 5.
Интервал между между событиями 𝐴 и 𝐵 имеет одну и ту же величину как для наблюдателя в лаборатории, так и на ракете
Взятая нами для исследования двух событий система отсчёта ракеты является довольно-таки специальной, так как и акт излучения, и акт приёма сигнала происходят в ней в одной и той же точке. На рис. 13, в изображён путь отражённого луча в системе отсчёта второй ракеты (система «сверхракеты»), движущейся относительно лабораторной системы отсчёта ещё быстрее, чем первая ракета. В системе этой второй ракеты разность координат 𝑥 двух событий – актов излучения и приёма вспышки (дважды штрихованные величины) 𝑥𝐵ʺ=𝑥𝐴ʺ-Δ𝑥ʺ – отрицательна, ибо акт приёма осуществляется в этой системе отсчёта на отрицательной оси 𝑥. Тем не менее (-Δ𝑥ʺ)²=(Δ𝑥ʺ)² и к тому же можно использовать свойства прямоугольных треугольников на рис. 13, в, из всего этого следует, что полная длина пути светового луча в системе отсчёта второй ракеты даётся выражением 2√1+(Δ𝑥ʺ/2)², которое имеет тот же вид, что и в лабораторной системе. Величина скорости света в системе отсчёта второй ракеты должна быть равна 𝑐, как и в системе первой ракеты. Отсюда найдём время, прошедшее между актами излучения и приёма вспышки:
𝑡
𝐵
ʺ-𝑡
𝐴
ʺ
=
Δ
𝑡ʺ
=
2√
1+(
Δ
𝑥ʺ/2)²
.
Следовательно,
(
Δ
𝑡ʺ)²
–
(
Δ
𝑥ʺ)²
=
(2
м
)
²
,
так что вообще
(
Δ
𝑡)²
–
(
Δ
𝑥)²
=
(
Δ
𝑡')²
–
(
Δ
𝑥')²
=
(
Δ
𝑡ʺ)²
–
(
Δ
𝑥ʺ)²
=
(2
м
)
²
.
(6)
Интервал 𝐴𝐵 имеет одну и ту же величину в системах всех ракет!
Забудем теперь о посланной вспышке, отражателе и о возвращении этой вспышки. Ведь это лишь средства для достижения цели. Они помогли выяснить, какая величина имеет одно и то же значение в различных системах отсчёта. Теперь сосредоточим внимание на этой величине – интервале, оставив в стороне подробности её вывода.
Что одинаково в двух инерциальных системах отсчёта?
Что в них почти одинаково?
Что различной?
Что мы выяснили? Два события, 𝐴 и 𝐵 происходят в одном и том же месте в системе отсчёта ракеты (Δ𝑥'=0), но в разное время (Δ𝑡'=2 м). В лабораторной системе отсчёта эта же пара событий происходит в пространстве на расстоянии Δ𝑥, и, чем быстрее движется ракета, тем больше это расстояние. Этот вывод никого не удивит, и многие с полным правом скажут: «Да это же более чем очевидно!». Удивительно другое. Во-первых, промежуток времени Δ𝑡 между двумя событиями, зарегистрированный в лабораторной системе отсчёта, имеет другую величину, чем зарегистрированный в системе ракеты. Во-вторых, промежуток времени между событиями 𝐴 и 𝐵 по данным, отпечатанным соответствующими двумя хронографами в лаборатории, превышает промежуток времени между теми же двумя событиями, зарегистрированный такими же часами в ракете: Δ𝑡 ≥ Δ𝑡'. В-третьих, пропорция
Δ𝑡
Δ𝑡'
=
⎡
⎢
⎣
1
+
⎛
⎜
⎝
Δ𝑥
2
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
,
в которой оказался увеличенным промежуток времени (см. табл. 5), близка к единице (увеличение очень мало), если мало расстояние, которое прошла ракета в промежутке между событиями 𝐴 и 𝐵. Но если ракета движется очень быстро, разность Δ𝑥 очень велика и пропорция, характеризующая несоответствие двух времён, может быть громадной. В-четвёртых, несмотря на эту только что обнаруженную разницу во времени, зарегистрированном в двух разных системах отсчёта, и несмотря на давно уже известную разницу в пространственном расстоянии между событиями в разных системах отсчёта (Δ𝑥 ≠ Δ𝑥' = 0), существует тем не менее величина, действительно равная в лабораторной системе отсчёта тем же двум метрам промежутка светового времени между событиями 𝐴 и 𝐵, которые были зарегистрированы в системе отсчёта ракеты. Эта величина – интервал
(Интервал)
=
√
(
Δ
𝑡)² – (
Δ
𝑥)²
.
У ракеты может быть очень большая скорость, и тогда Δ𝑥 тоже будет очень большим. Но и Δ𝑡 в этом случае будет очень большим. Более того, величина Δ𝑡 оказывается в точности «подогнанной» к величине Δ𝑥, так что выражение (Δ𝑡)² – (Δ𝑥)² равно (2 м)² вне зависимости от того, чему именно равны порознь Δ𝑥 и Δ𝑡.
Все четыре замечательные идеи частной теории относительности иллюстрируются одной и той же диаграммой
Все перечисленные отношения можно увидеть, взглянув на рис. 13, а. Длина гипотенузы первого прямоугольного треугольника равна Δ𝑡/2 а его основание имеет длину Δ𝑥/2. Утверждение, что выражение (Δ𝑡)² – (Δ𝑥)² обладает универсальной величиной (или, иначе, что (Δ𝑡/2)² – (Δ𝑥/2)² обладает универсальной величиной), значит лишь, что высота этого прямоугольного треугольника строго фиксирована (равна на нашей диаграмме 1 м), с какой бы скоростью ни летела ракета. Но что именно лежало в основе доказательства того, что (Δ𝑡)² – (Δ𝑥)² равняется (2 м)² независимо от скорости полёта ракеты? В основе лежал принцип относительности, согласно которому законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Мы воспользовались здесь этим принципом двумя совершенно различными способами. Во-первых, мы вывели из него заключение, что длины, перпендикулярные направлению относительного движения систем, получаются одинаковыми при измерении в этих системах (лабораторной системе и системе отсчёта ракеты). В противном случае одну систему было бы можно отличить от другой по более коротким поперечным масштабам. Во-вторых, из принципа относительности мы заключили, что скорость света должна быть одинаковой как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты (этот вывод подтверждается экспериментом Кеннеди – Торндайка). А если эта скорость одинакова, то из факта большей длины траектории световой вспышки в лабораторной системе (сумма длин гипотенуз двух треугольников), чем в системе отсчёта ракеты, где свет совершает простое движение взад и вперёд (сумма высот двух треугольников: 1 м вверх и столько же вниз), мы непосредственно заключаем, что время между событиями 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе больше, чем в системе отсчёта ракеты.
