Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 27 страниц)

и) Вернёмся к рис. 22 (стр. 54), где на диаграмме пространства-времени описано движение частиц и световых вспышек в двух измерениях. Покажите, что «плоскость одновременности» системы отсчёта ракеты наклонена относительно «плоскости одновременности» лабораторной системы отсчёта. Разберитесь, какую роль играет этот наклон для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси 𝑥 диаграммы пространства-времени лабораторной системы отсчёта и для факта относительности одновременности событий, происходящих в разных точках оси 𝑦 диаграммы пространства-времени лабораторной системы.

к) Рассмотрите системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта. Проверьте выводы из диаграммы на рис. 70, в частности обратный знак для эффекта относительной синхронизации часов, но один и тот же характер эффекта замедления хода времени (по сравнению со случаем ракеты, движущейся в положительном направлении оси 𝑥).

Рис. 70. Положение пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты, движущейся в отрицательном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта. ▼

49. Парадокс часов. II – подробный пример ¹)

¹) Е. Lowry, American Journal of Physics, 31, 59 (1963).

Вернувшись из своего 14-летнего путешествия, Пётр (см. упражнение 27) ещё достаточно, молод для того, чтобы взяться за изучение теории относительности. Но чем больше он ей занимается, тем сильнее запутывается. Поскольку как он, так и его брат Павел находились в относительном движении друг относительно друга, то оба должны наблюдать замедление хода часов друг друга. Будучи вложено в уста Павла, это простое утверждение позволяет без труда понять, почему часы Петра, как и процесс старения организма Петра, шли замедленно, так что Пётр оказался моложе своего брата-близнеца после возвращения. Но ведь если это утверждение справедливо,– рассуждает Пётр,– то почему не я, когда я провожу исследование, обнаруживаю, что часы Павла идут замедленно? Как же это он смог постареть сильнее, чем я? Вопрос: как разрешить затруднения Петра?

Решение. По мере того как Пётр, обуреваемый сомнениями, всё глубже изучал теорию, он обнаруживал, что такие слова, как «наблюдатель» и «наблюдаемый интервал времени», не сводятся к тем простым понятиям, к которым он сводил их первоначально. Он не думал раньше о том, как он мог бы непосредственно день за днём контролировать процесс старения Павла, остававшегося на Земле, используя для этого радиопередачи или иные способы. Пётр обнаружил, что, хотя эта процедура и выполнима, её анализ отнюдь не прост. Он обнаружил, что в теории относительности «наблюдателя» следует понимать как целую систему стержней и хронометров, движущуюся с постоянной скоростью – в данном случае с той же, с какой сам Пётр удаляется от Земли (β_𝑟=24/25=0,96). Эта непрерывная цепочка часов («часы Петра и система отсчёта Петра») всё время пролетает мимо Земли. Каждые часы, пролетая мимо Павла, регистрируют: 1) показания часов Павла и 2) свои собственные показания и положение. Когда мы говорим скороговоркой, что «Пётр наблюдает Павла», это значит, что Пётр собирает когда-то позднее все эти зарегистрированные данные.

«Ну, и что же? – спрашивает сам себя Пётр на этом этапе.– Я так или иначе знаю, что показания часов Павла изменяются между каждыми двумя последующими регистрациями только на √1-β_𝑟=7/25 той величины, на которую изменяются показания моих часов. Значит, именно Павел должен был оказаться моложе в конце путешествия, а не я. Но вы посмотрите только, как он поседел! Значит, я в чём-то ошибаюсь...».

Мысленно перебирая вновь этапы своего путешествия, Пётр не мог не вспомнить того момента, когда он перестал удаляться от Земли и когда началось его возвращение. «Я остановился; я начал двигаться назад, но...– внезапно спросил он сам себя,– но моя инерциальная система отсчёта?! Как могла полететь назад инерциальная система?» И он начал придирчиво разбираться в этом вопросе. Для него стала ясной необходимость признать, что использовавшаяся в первой части его путешествия система отсчёта (и, в частности, его сетка часов, регистрировавшая информацию в течение всех семи лет удаления от Земли) должна была продолжать своё стремительное движение, подобно потоку машин на автостраде, когда всего один автомобиль разворачивается и направляется назад. При возвращении домой Петра сопровождал другой поток часов – вторая инерциальная система отсчёта. Все семь лет обратного пути рядом с ним летели одни и те же часы этого второго потока. Когда эти часы приняли эстафету, на них было поставлено время (7 лет), которое показывали улетевшие часы. И они показали 14 лет в тот момент, когда Пётр вновь встретил Павла.

Возвращавшаяся цепочка часов пролетала мимо Земли все эти семь лет. Одни за другими они регистрировали свои собственные показания и показания часов Павла. Отпечатанные этими последними часами регистрационные карточки ложились всё более и более высокой кучей у ног Павла. И на протяжении всех этих семи лет возвращения карточки показывали, что часы Павла регистрируют лишь 7/25 проходящего времени. А 7/25 от семи лет – это 1,96 года.

Рис. 71. Как Пётр проводит учёт процесса старения Павла.

В период удаления Петра (отрезок 𝑂𝑇 на диаграмме) его часы показали, что прошло семь лет. Его сопровождала цепочка синхронизированных часов, каждые из которых дали сигнал конца седьмого года полёта в соответствующем пункте «линии одновременности» 𝐴𝑇, отметив это на своей регистрационной карточке. Те часы системы отсчёта Петра, которые дали этот сигнал в мировой точке 𝐴, зафиксировали, что там часы Павла показали лишь 1,96 года («замедление хода часов, наблюдаемое из движущейся системы отсчёта») На обратном пути Петра сопровождала другая цепочка синхронизированных часов («вторая инерциальная система отсчёта»). Каждые из них на линии одновременности 𝐵𝑇 показывали время 7 лет. Те часы, которые двигались вместе с Петром, отсчитали на мировой линии 𝑇𝐶 ещё семь лет, так что последний год был четырнадцатым годом путешествия Петра, в конце которого он встретился с Павлом в мировой точке 𝐶. На участке 𝐵𝐶, когда часы в связанной с Петром системе отсчёта показали, что прошло 7 лет, Павел снова состарился лишь на 1,96 года (снова «замедление хода часов, наблюдаемое из движущейся системы отсчёта»). Но учёт, проделанный до сих пор из двух инерциальных систем Петра, ещё не полон. Ни в одной из этих систем не учтён отрезок 𝐴𝐵, также соответствующий прошедшему времени. Этот отрезок составляет 46,08 года («поправка на изменение линии одновременности» для двух систем отсчёта Петра – удаляющейся и возращающейся вместе с ним). Итак, замедление хода часов Павла, наблюдаемое двумя системами хронографов Петра, никак не помешает Петру вернуться к Павлу более молодым, чем окажется этот последний.

«Что за чертовщина в этих рассуждениях? – возопил тут Пётр.– Теперь получается, что Павел должен был постареть на 1,96 года за время моего путешествия туда и на 1,96 года за время моего путешествия обратно, т.е. в общем на 3,92 года. И при этом я знаю, что я постарел на 14 лет, и я знаю, что он постарел ещё больше на самом деле! Что же я упустил из виду?» При этом он нарисовал диаграмму пространства-времени (рис. 71), и вот тут-то разрешилось его противоречие – он заметил, что до сих пор не учитывал отрезка времени 𝐴𝐵. Пётр обнаружил, что учёт этого времени соответствует поправке, необходимой при переходе между системами одновременности в удаляющейся и возвращающейся системах отсчёта. Отдельный расчёт, базирующийся на выводах из упражнения 11, даёт для этого отрезка времени значение в 46,08 года. Такую поправку следует добавить к времени, прошедшему у Павла, которое было измерено двумя последовательными системами хронографов Петра. Тогда Пётр смог окончательно вычислить возраст Павла (включая 21 год – возраст последнего к началу путешествия):

21+1,96+46,08+1,96

=

71 год.

Сам же он мог радоваться своей относительной молодости:

21+14

=

35 лет.

(без поправки на то время, которое понадобилось ему, чтобы разобраться в теории относительности!).

Приведённые рассуждения не претендуют на то, чтобы их считали простейшим способом вычисления возраста близнецов. Проще всего – это вернуться к рассуждениям Павла, изложенным в упражнении 27. В них достаточно рассматривать одну-единственную инерциальную систему отсчёта, а именно ту, в начале пространственных координат которой расположен Павел. Новые рассуждения иллюстрируют лишь, как любой корректный путь расчёта приводит к одному и тому же корректному результату.

3. ВИНЕГРЕТ

50. Сокращение или поворот ¹)?

¹) Более подробный анализ этой проблемы, а также ссылки на литературу можно найти в книге Edwin F. Taylor, Introductory Mechanics, John Wiley and Sons, New York, 1963, p. 346.

Рассмотрим куб, покоящийся в системе отсчёта ракеты, каждое ребро которого в этой системе имеет длину 1 м. В лабораторной системе отсчёта этот куб подвергается лоренцеву сокращению, как показано на рис. 72. Обнаружить такое лоренцево сокращение можно, например, определяя положение четырёх часов, которые покоятся в лабораторной системе отсчёта и синхронизированы в ней, причём четыре угла куба, 𝐸, 𝐹, 𝐺 и 𝐻 совпадают с соответствующими часами, когда все четверо часов показывают одно и то же время. При этом процесс наблюдения не осложняется учётом времени, которое требуется свету, чтобы пройти пути от разных углов куба. Рассмотрим теперь другой способ наблюдения!

Рис. 72. Положение глаза наблюдателя, визуально исследующего пролетающий мимо него «куб».

Встанем в лабораторной системе отсчёта и будем смотреть на куб одним глазом в то время, когда куб пролетает перед нами (рис. 72). Что мы видим в каждый данный момент времени? – Тот свет, который приходит в наш глаз в этот момент, даже если этот свет вышел из разных углов куба в разное время. Значит, то, что человек наблюдает визуально, может быть совсем иным, чем то, что он наблюдает с помощью часовой сети. Если мы смотрим на куб снизу, то расстояние 𝐺𝑂 равно расстоянию 𝐻𝑂, так что свет, одновременно вышедший из точек 𝐺 и 𝐻, одновременно достигнет и глаза 𝑂. Поэтому, глядя на куб снизу, мы увидим лоренцево сокращение дна куба.

а) Свет из точки 𝐸, приходящий в 𝑂 одновременно со светом из 𝐺, должен быть испущен из 𝐸 раньше, чем свет из 𝐺. Насколько раньше? Какой путь пройдёт куб за это время? Чему равно расстояние 𝑥 на рис. 73?

Рис. 73. Что видит наблюдатель, смотря снизу вверх.

б) Предположим, что некто решил истолковать видимую проекцию куба на рис. 73 как его поворот, а не лоренцево сокращение. Найдите выражение, описывающее угол такого кажущегося поворота φ не подвергнутого сокращению куба на рис. 74. Исследуйте это выражение в двух предельных случаях: β→0 и β→1.

Рис. 74. Как этот наблюдатель может истолковать свои визуальные наблюдения (проекцию рис. 73).

в) Соответствует ли выражение «на самом деле» реальному положению вещей в следующих высказываниях:

1) Наблюдатель в системе отсчёта ракеты говорит: «Мой куб на самом деле не подвергся ни повороту, ни сокращению».

2) Наблюдатель, пользующийся часовой сеткой лабораторной системы отсчёта, говорит: «Этот куб на самом деле подвергся лоренцеву сокращению, а не повороту».

3) Зритель, визуально проводящий наблюдения в лабораторной системе отсчёта, утверждает: «Куб на самом деле повернулся, а не претерпел лоренцево сокращение».

Как сформулировать в одной или двух фразах корректное высказывание, которое показало бы каждому из этих наблюдателей, что его партнёры должны были прийти к иным заключениям, чем он? ▼

51**. Парадокс часов. III

Можно ли улететь в место, удалённое на 7000 световых лет, и вернуться назад, постарев не более чем на 40 лет? «Да!»– к такому выводу пришёл инженер в правлении некой большой авиационной фирмы в своём последнем отчёте. Он рассмотрел путешественника, подвергающегося постоянному ускорению 1 𝑔 (или такому же торможению, в зависимости от этапа полёта; см. диаграмму пространства-времени на рис. 75). Верен ли его вывод при сделанных им предположениях? (Ради простоты, ограничьтесь анализом первого этапа путешествия, когда действует двигатель 𝐴, т.е. первыми десятью годами во времени астронавта, а затем удвойте пройденное при этом расстояние, чтобы узнать, какой путь проделан до самой дальней точки, достигнутой в путешествии).

Рис. 75. Мировая линия ракеты, движущейся по замкнутому пути с постоянным ускорением или торможением.

а) Ускорение не равно 𝑔=9,8 м/сек² относительно лабораторной системы отсчёта. Если бы оно было таким, то во сколько раз быстрее света двигался бы космический корабль к концу десятилетнего полёта? (1 год = 31,6⋅10⁶ сек). Если мы определяем ускорение не по отношению к лабораторной системе отсчёта, то по отношению к чему же мы его определяем? Обсуждение. Взглянем на медицинские весы, на которых стоит астронавт. Двигатели корабля пусть будут давать такую тягу, чтобы весы всё время показывали правильный вес. При этих условиях астронавт всё время подвергался ускорению 𝑔=9,8 м/сек² по отношению к такому космическому кораблю, который: 1) был бы мгновенно сопутствующим первому, так чтобы их скорости в этот момент совпадали, однако 2) не подвергался бы ускорению и поэтому 3) мог бы быть принят за инерциальную (мгновенную) систему отсчёта, ускорение относительно которой равняется 𝑔 (Начиная с этого места, мы переходим от 𝑔, выраженного в м/сек², к 𝑔*=𝑔/𝑐², выраженному в метрах пути за квадрат метров времени).

Рис. 76. Регистрация ускоренного движения ракеты в лабораторной системе отсчёта.

б) Какую скорость разовьёт космический корабль за данный промежуток времени? Но мы сразу же подвергнем этот вопрос критике и перефразируем его. Дело в том, что скорость β – недостаточно простая для исследования величина. Простым является параметр скорости θ, и его простота состоит в аддитивности. Смысл же аддитивности в том, что, если параметр скорости космического корабля на рис. 76 относительно воображаемой мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта меняется от 0 до 𝑑θ за время 𝑑τ по часам астронавта, то параметр скорости этого корабля по отношению к лабораторной системе отсчёта за тот же промежуток времени по часам астронавта изменится от своего первоначального значения θ до значения θ+𝑑θ. Свяжем теперь величину 𝑑θ с ускорением 𝑔* в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В этой системе

𝑔*

𝑑τ

=

𝑑β

th 𝑑θ

≈

𝑑θ

,

так что

𝑑θ

=

𝑔*

𝑑τ

.

(64)

По прошествии каждого интервала времени 𝑑τ по часам астронавта происходит соответствующее увеличение параметра скорости космического корабля на 𝑑θ=𝑔*𝑑τ. Полная величина параметра скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта просто-напросто равна сумме всех этих последовательных увеличений параметра скорости. Пусть вначале космический корабль покоился. Тогда его параметр скорости линейно возрастал пропорционально величине истёкшего времени по часам астронавта согласно уравнению

θ

=

𝑔*τ

.

(65)

Так определяется параметр скорости θ космического корабля в лабораторной системе отсчёта в любой момент времени 𝑥 в системе отсчёта астронавта.

в) Какое расстояние в лабораторной системе отсчёта 𝑥 покрывает космический корабль за данный промежуток времени τ в системе отсчёта астронавта? В каждый момент скорость космического корабля в лабораторной системе отсчёта связана с его параметром скорости уравнением 𝑑𝑥/𝑑𝑡=th θ, так что расстояние 𝑑𝑥, пройденное за лабораторное время 𝑑𝑡 равно

𝑑𝑥=th θ 𝑑𝑡.

Вспомним, что соответствующие промежутки времени по часам астронавта 𝑑𝑥 представляются как более длинные промежутки 𝑑𝑡 в лабораторной системе отсчёта (замедление хода времени), и между ними существует связь

𝑑𝑡=ch θ 𝑑τ.

Отсюда расстояние в лабораторной системе отсчёта 𝑑𝑥, пройденное за время 𝑑τ по часам астронавта, равно

𝑑𝑥

=

th θ

ch θ

𝑑τ

=

sh θ

𝑑τ

.

Подставляя сюда выражение θ=𝑔*τ из пункта (б), найдём

𝑑𝑥

=

sh(𝑔*τ)

𝑑τ

.

Просуммируем (проинтегрируем) все эти малые перемещения 𝑑𝑥, начиная с момента «нуль» во времени астронавта и до конечного момента по этому времени; мы получим

𝑥

=

1

𝑔*

[ch(𝑔*τ)-1]

.

(66)

Так выражается расстояние 𝑥 в лабораторной системе отсчёта, покрытое космическим кораблём за любое данное время τ в системе отсчёта астронавта.

г) Переведём 𝑔* (в м/м²) в 𝑔=𝑔*𝑐² (в м/сек²) и τ (в м) в τ_сек=τ/𝑐 (в сек) в формуле (66). Выясним, был ли прав инженер, заключив в своём отчёте о возможности полёта, упомянутого в начале этого упражнения (1 год 31,6⋅10⁶ сек). ▼

52*. Наклонный стержень

Рис. 77а. Метровый стержень движется перпендикулярно самому себе (наблюдение в лабораторной системе отсчёта).

Рис. 77б. Движение метрового стержня, наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.

Метровый стержень, параллельный оси 𝑥, движется в положительном направлении оси 𝑦 в лабораторной системе отсчёта со скоростью β^𝑦. В системе отсчёта ракеты этот стержень несколько наклонён вверх в положительном направлении оси 𝑥'. Объясните, почему это так, причём сначала не пользуясь уравнениями. Пусть центр метрового стержня проходит через точку 𝑥=𝑦=𝑥'=𝑦'=0 в момент 𝑡=𝑡'=0, как это изображено на рис. 77а и 776. Вычислите затем величину угла θ', образованного метровым стержнем и осью 𝑥' в системе отсчёта ракеты. Обсуждение. Где и когда пересекает правый конец метрового стержня ось 𝑥 с точки зрения лабораторной системы отсчёта? Где и когда пересекает правый конец метрового стержня эту ось с точки зрения системы отсчёта ракеты? Экспериментально наблюдаемая томасовская прецессия электрона в атоме (см. упражнение 103) может быть объяснена тем же самым путём, что и явление наклона метрового стержня. ▼

53*. Парадокс метрового стержня ¹)

¹) См. R. Shaw, American Journal of Physics, 30, 72 (1962).

Замечание. До того как приступать к упражнению 53, следует разобраться в упражнении 52.

Метровый стержень, параллельный оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта, движется в ней по направлению к началу координат со скоростью β_𝑟. Очень тонкая пластинка, параллельная плоскости 𝑥𝑦 в лабораторной системе отсчёта, движется в ней вверх в направлении оси 𝑦 со скоростью β^𝑦. В пластинке имеется круглое отверстие диаметром 1 м, в центре которого проходит ось 𝑦. Центр метрового стержня оказывается в начале пространственных координат лабораторной системы отсчёта в тот момент, когда движущаяся вверх пластинка достигает плоскости 𝑦=0. Так как метровый стержень претерпел лоренцево сокращение в лабораторной системе отсчёта, то он без труда проходит сквозь отверстие в пластинке. Поэтому в ходе движения метрового стержня и пластинки между ними не произойдёт соударения. Однако кто-нибудь может выдвинуть возражение против этого вывода и аргументировать его следующим образом: в системе отсчёта ракеты, где метровый стержень покоится, он не подвергнут сокращению, но зато в этой системе лоренцево сокращение испытывает отверстие в пластине. Поэтому невозможно, чтобы сохраняющий свою полную длину метровый стержень прошёл через сжавшееся отверстие в пластинке. Таким образом, соударение между метровым стержнем и пластинкой неизбежно. Разрешите этот парадокс, используя ответ, полученный в предыдущем упражнении. Ответьте без всяких оговорок на вопрос: произойдёт соударение метрового стержня с пластинкой или нет?

Рис. 78. Сможет ли метровый стержень пройти без соударения сквозь отверстие диаметром 1 м?

▼

54**. Тонкий человек на решётке ¹)

¹) W. Rindler, American Journal of Physics, 29, 365 (1961).

Некто имеет обыкновение ходить крайне быстро – настолько быстро, что релятивистское сокращение длин делает его очень тонким. Когда он идёт по улице, ему нужно пройти по канализационной решётке. Человек, стоящий рядом с решёткой, не сомневается, что быстро идущий тонкий человек провалится в отверстие решётки. Однако с точки зрения быстрого ходока он сам обладает обычными размерами, а релятивистское сокращение претерпевает решётка. Для него отверстия в решётке много уже, чем для спокойно стоящего человека, и, конечно, он не думает о возможности провалиться. Кто же здесь прав? Ответ связан с относительностью свойства жёсткости.

Идеализируем эту задачу: пусть метровый стержень скользит вдоль самого себя по гладкому столу. Пусть на пути этого стержня имеется отверстие шириной 1 м. Если лоренцево сокращение уменьшает длины в 10 раз, то в системе отсчёта стола (лаборатория) стержень имеет в длину 10 см и явно провалится в метровое отверстие. Предположим, что в лабораторной системе отсчёта метровый стержень движется настолько быстро, что в ходе падения в отверстие сохраняет горизонтальную ориентацию (наклона в лабораторной системе нет). Запишите в лабораторной системе отсчёта уравнение движения нижнего края метрового стержня, приняв, что 𝑡=𝑡'=0 в тот момент, когда задний конец метрового стержня пересекает край отверстия, вступая в него. При малых значениях вертикальной составляющей скорости стержень будет падать с обычным ускорением 𝑔. В системе отсчёта метрового стержня (ракеты) этот стержень имеет длину 1 м, тогда как отверстие подверглось лоренцеву сокращению в 10 раз. Теперь ширина отверстия 10 см, и стержень никак не может упасть в него. Произведите преобразование, переведя уравнения движения из лабораторной системы в систему отсчёта ракеты, и покажите, что стержень «перегнётся» в этой последней системе через край отверстия, иначе говоря, он не будет жёстким (твёрдым). Упадёт ли в конце концов стержень в отверстие в обеих системах отсчёта? Будет ли стержень на самом деле твёрдым или деформируемым в ходе этого опыта? Можно ли найти какие-либо физические характеристики этого стержня (например, степень его гибкости или сжимаемости), исходя из того описания его движения, которое даёт нам теория относительности? ▼

54а. Измерение скорости стандартного объекта одиночным наблюдателем – подробный пример ¹)

¹ Упражнение добавлено переводчиком – Прим. ред.

Построение системы отсчёта при помощи решётки с часами – почти всегда умозрительная операция. Более того, мы вынуждены описывать множество объектов и происходящие с ними процессы, не приходя с этими объектами в прямой контакт. Так, например, астрономические наблюдения дают информацию о чрезвычайно далёких звёздах и галактиках, которые не только нам никогда не удастся посетить (см. упражнение 104), но даже луч радиолокатора, посланный из Солнечной системы, не смог бы вернуться к нам за исторически разумные сроки, отразившись от этих удалённых объектов (мы уже не говорим об интенсивности отражённого луча). Всё человечество в астрономических масштабах – это одна мировая линия (двойная планетная система Земля – Луна не более чем типографская точка, если изобразить на листе бумаги Солнечную систему). Поэтому рассмотрим такого одиночного наблюдателя, получающего всю возможную информацию из внешнего мира через приходящий к нему, независимо от его воли, свет – через световой конус прошлого . Понятие одновременности для такого наблюдателя представляет лишь академический интерес, гораздо важнее для него понятие «одновременно наблюдаемого». Один из кинематических эффектов, проявляющихся при наблюдениях с помощью светового конуса прошлого, рассмотрен в упражнении 50. Здесь мы рассмотрим вопрос о том, чему равна «одновременно наблюдаемая» скорость объекта, летящего вдоль луча зрения наблюдателя.

Пусть стандартный предмет (например, пятикопеечная монета) равномерно и прямолинейно движется вдоль луча зрения наблюдателя. Сначала предмет летит на наблюдателя; в момент встречи наблюдатель может быстро пригнуться ²), чтобы пропустить предмет; затем предмет удаляется от наблюдателя. Так как размеры предмета стандартные, наблюдатель может по углу зрения, под которым виден предмет, определить расстояние до него. По изменению этого «одновременно наблюдаемого» расстояния со временем можно определить «одновременно наблюдаемую» скорость движения объекта.

²) Для человечества «пригнуться» было бы затруднительно.

а) Требуется показать, что эта скорость равна

β

_до

=

β

1-β

до встречи объекта с наблюдателем и

β

_после

=

β

1+β

после встречи. Здесь β – обычная скорость объекта, выраженная в единицах скорости света (так как движение происходит по лучу зрения, достаточно ограничиться её абсолютной величиной), а β —«одновременно наблюдаемая» скорость. Попутно следует обосновать возможность находить расстояние до объекта по угловым размерам.

б) Требуется наглядно показать, рассматривая движение предмета с околосветовой скоростью (в обычном смысле), почему возникает асимметрия в «одновременно наблюдаемой» скорости между случаями до и после встречи. Нельзя ли в качестве объекта взять сам свет?

Решение.

Рис. 78а.

а) Так как «одновременно наблюдаемую» скорость предмета требуется выразить через обычную скорость β, предполагается, что мы знаем больше, чем наш наблюдатель, и стоим, так сказать, над ним. Поэтому мы можем изобразить рассматриваемую ситуацию на диаграмме пространства-времени (рис. 78а), где наблюдатель покоится,– его мировая линия совпадает с осью времени. Наблюдения проводятся регулярно, через каждые Δ𝑡 метров светового времени (таким образом, речь идёт не о периодически вспыхивающем объекте, как в упражнении 6, а о постоянно светящемся). Объект движется по лучу зрения (ось 𝑥), и наблюдатель видит лишь его поперечное сечение, а так как лоренцево сокращение происходит в направлении движения объекта, видимое сечение не зависит от скорости движения. Поэтому, зная абсолютный поперечник объекта, наблюдатель по его угловым размерам без труда определит расстояние: оно равно отношению линейных размеров объекта к его угловым размерам, выраженным в радианах. Чему же соответствует это расстояние на диаграмме пространства-времени? По методу определения оно должно совпадать с расстоянием от наблюдателя до другого такого же стандартного объекта, который покоился бы относительно наблюдателя и находился в том месте, где пролетал движущийся объект в момент, когда он излучил принятый при измерении углов свет. Поперечные сечения обоих объектов, очевидно, совпадают. Иначе говоря, мировые линии вспомогательного покоящегося объекта и основного движущегося объекта должны пересекаться в мировой точке испускания светового луча, по которому производилось измерение расстояния. Итак, искомое расстояние должно быть равно расстоянию до определённого таким образом вспомогательного объекта (ведь он всё время покоится!). Это расстояние по построению равно координате 𝑥 мировой точки испускания «измерительного» луча. Проведём вычисления отдельно для наблюдений до встречи с движущимся объектом и после этой встречи.

1) До встречи. Рассматривается левая ветвь светового конуса прошлого. Её уравнение на плоскости 𝑡, 𝑥 имеет вид

𝑡

=

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

.

Здесь 𝑛=-1, -2, -3, … и уравнение описывает световой луч, проходящий через точку 𝑛Δ𝑡 на оси 𝑡. В свою очередь мировая линия движущегося объекта описывается уравнением

𝑡

=

𝑥

β

.

Исключая из этих двух уравнений 𝑡, найдём

𝑥

β

=

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

.

Поскольку теперь 𝑥 полностью определяется выбором числа 𝑛 (обычная скорость β и периодичность наблюдений Δ𝑡 считаются уже заданными), естественно принять 𝑥=𝑥_𝑛. Тогда

𝑥

_𝑛

⎛

⎜

⎝

1

β

–

1

⎞

⎟

⎠

=

𝑛

Δ

𝑡

или

𝑥

_𝑛

=

β

1-β

Δ

𝑡𝑛

.

Отсюда

Δ

𝑥

=

𝑥

_𝑛+1

–

𝑥

_𝑛

=

β

1-β

Δ

𝑡

,

и искомая «одновременно наблюдаемая» скорость до встречи равна

β

_до

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

β

1-β

,

что и требовалось получить.

2) После встречи. В этом случае берётся правая ветвь светового конуса прошлого, уравнение которой записывается в виде

𝑡

=-

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

,

Подставляя сюда 𝑡 из уравнения мировой линии стандартного объекта, получим

𝑥_𝑛

β

=-

𝑥

+

𝑛

Δ

𝑡

откуда

𝑥

_𝑛

=

β

1+β

Δ

𝑡𝑛

и

β

_после

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

β

1+β

,

т.е. искомая «одновременно наблюдаемая» скорость после встречи. Так как β<1, то очевидно, что β_после<β<β_до.

б) Исследуем поведение «одновременно наблюдаемых» скоростей при β→1:

β

_до

→∞

,

β

_после

→

1

2

.

Рис. 78б.

Рис. 78в.

На рис. 78б показано наблюдение объекта, движущегося практически со скоростью света. Мы видим, что свет приходит к наблюдателю вместе с объектом, т.е., с точки зрения одиночного наблюдателя, объект «мгновенно» пришёл из точки своего «рождения». При удалении объекта свет от него продолжает всё время поступать к наблюдателю, так как скорость распространения света не зависит от скорости движения его источника. При этом, конечно, мы не учитываем тонкостей, связанных с интенсивностью света, о которых говорилось в упражнении 22. Детализируя рис. 78б (см. рис. 78в), нетрудно получить непосредственно предельное значение «одновременно наблюдаемой» скорости после встречи. Вспомним, что эта скорость определяется как отношение изменения 𝑥-координаты точки излучения света объектом к соответствующему изменению 𝑡-координаты точки приёма этого света (момент измерения):

β

_после

=

𝑂𝑇

Δ𝑡

(см. обозначения на рис. 78в). Теперь Δ𝑡=𝑂𝑃=𝑃𝑈. Так как в пределе скорость объекта принимается равной скорости света (β=1), то

𝑂𝑅

=

β

Δ

𝑡

=

Δ

𝑡

;

отсюда и из подобия треугольников 𝑂𝑇𝑆, 𝑂𝑅𝑄, 𝑂𝑆𝑃 и 𝑂𝑄𝑈 следует

β

_после

=

𝑂𝑇

Δ𝑡

=

𝑂𝑇

𝑂𝑅

=

𝑂𝑆

𝑂𝑄

=

𝑂𝑃

𝑂𝑈

=

1

2

,

что уже было получено выше. Такой пример движения объекта с около-световой скоростью, как и всякий гротеск, делает очевидными специфические заключения: в данном случае это вывод о неодинаковом впечатлении наблюдателя о скорости приближающегося и удаляющегося объекта.

Казалось бы, в данном пределе наилучшим «объектом» был бы сам свет; это, однако, не так. Прежде всего, свет не может сам «светиться», т.е. улетающий от нас фотон в принципе не может (если он не рассеивается на некой среде) испускать фотоны в сторону или назад (см. упражнение 68), так что «одновременно наблюдаемой» скорости уходящего от нас света попросту не существует. Что же касается такой скорости приходящего к нам света, то она неинтересна, так как равна бесконечности для одиночного наблюдателя не по каким-либо физическим причинам, а по самому своему определению! Кроме того, свет нельзя назвать «стандартным объектом», так как для него нет такого понятия, как видимый поперечник, и поэтому бессмысленно определять «расстояние» до него с помощью угловых измерений.