Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 24 (всего у книги 27 страниц)
53. Парадокс метрового стержня
Соударения не произойдёт. Конечно, в системе отсчёта ракеты стержень не подвергается лоренцеву сокращению, но ведь там движущаяся вверх пластинка наклонена – её правый край приподнят. В сущности можно рассматривать рис. 77 как изображение отверстия в пластинке! Правый край этого отверстия вплотную проскальзывает перед самым «носом» горизонтального метрового стержня, а левый край отверстия – сразу вслед за «хвостом» метрового стержня. Так метровый стержень при всей своей стандартной длине точь-в-точь «помещается» в подвергнувшемся сокращению отверстии, повёрнутом под углом. ▲
54. Тонкий человек на решётке
Вот ключ к решению этого упражнения. На свете не существует таких вещей, как «жёсткий» метровый стержень или «жёсткий» мост. Пусть длинный мост имеет опоры только на своих концах. Быстро уберём из-под него правую опору, и правый конец моста сразу же начнёт падать. Но середина моста ещё не начнёт! Ведь она не «знает» ещё об исчезновении правой опоры. Стоящий посередине моста человек ощущает под своими ногами его металл таким же устойчивым, как прежде. Падение начнётся здесь с определённым опозданием, и время задержки определяется сроком, за который упругое колебание проходит через металл от правого конца моста до места, где стоит человек. Аналогично обстоит дело и с метровым стержнем. Конечно, его жёсткость можно повысить, делая его из улучшенных материалов,– при этом увеличится скорость распространения в нем упругих колебаний, так что сократится время задержки, после которого середина стержня начнёт падать. Но возможности улучшения материала стержня не беспредельны: скорость распространения упругих волн никогда не может превысить скорости света. Время задержки не может стать меньше времени распространения света.
Вера в существование абсолютно жёстких предметов – вредное заблуждение, и отказ от него позволяет разобраться, например, в такой, казалось бы, парадоксальной ситуации. Пусть метровый стержень сначала покоится, лёжа на узкой полке в ракете, а затем полка резко откидывается вниз и стержень начинает падать с ускорением силы тяжести. В системе ракеты стержень падает «синхронно» на всём своём протяжении, но в лабораторной системе это будет не так: там ракета мчится вправо – параллельно ориентации полки – с огромной скоростью. Поэтому в лабораторной системе отсчёта сначала начинает падать правый конец метрового стержня, когда левый его конец всё ещё продолжает лежать на полке. В этой системе наблюдается, что стержень искривлён (и он искривлён там на самом деле), что, конечно, не противоречит релятивистски сформулированному понятию «жёсткости»! Итак, стержень может быть прямым в одной системе отсчёта и искривлённым – в другой.
Нам ясна теперь сущность этого кажущегося парадокса, и мы знаем, что метровый стержень упадёт в отверстие. В лабораторной системе отсчёта этот вывод напрашивался сам собой: метровый стержень там был укорочен до длины, много меньшей метра, и ему ничего не стоило провалиться в отверстие. В системе отсчёта ракеты, напротив, отверстие сократилось до размеров, намного меньших метра, тогда как метровый стержень приобрёл свою полную длину. При этом, однако, мы должны были признать, что метровый стержень не был – и не мог быть в принципе – абсолютно жёстким, его правый конец выгнулся вниз, этот конец погрузился в отверстие, а за ним туда нырнул и весь стержень. ▲
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ. 2
55. Быстрые электроны
а) Энергия, приобретаемая на 1 м пути, равна
40⋅10³ Мэв
3⋅10³ м
≃
13
Мэв
/
м
.
Если бы выполнялись законы механики Ньютона, то энергия электрона, движущегося со скоростью света, была бы равна
1
2
𝑚𝑐²
=
1
2
(0,511
Мэв
)
≈
1
4
Мэв
(по Ньютону)
,
и эта энергия была бы достигнута на дистанции
1/4 Мэв
13 Мэв/м
=
1
52
м
≈
2
см
!
б) Согласно формуле (107), полученной во введении к этим упражнениям,
1-β
≈
𝑚²
2𝐸²
,
если
β
≈
1
.
Здесь величины 𝑚 и 𝐸 выражены в одних и тех же единицах. Так как нас интересует их отношение, то выбор единиц (если они одинаковы для обеих величин!) не играет роли. Тогда, используя единицы Мэв, получим
1-β
≈
(1/2 Мэв)²
2⋅(4⋅10⁴ Мэв)²
≈
1
128
⋅
10⁻⁸
<
10⁻¹⁰
.
Скорость этих электронов отличается от скорости света менее чем на десятимиллиардную часть последней. При состязании на скорость полёта между такими электронами и световой вспышкой на дистанции 1000 км=10⁹ мм свет опередит электроны всего лишь на
(1-β) 10⁹
мм
<
10⁻¹⁰⋅10⁹
мм
=
0,1
мм
.
в) Множитель, характеризующий лоренцево сокращение, равен при этом
1
ch θ
=
𝑚
𝐸
=
0,5 Мэв
40⋅10³ Мэв
=
1,2⋅10⁻⁵
,
так что сократившаяся длина «3000-метровой» трубы при измерении в системе отсчёта ракеты составляет всего
(3⋅10³
м
)⋅1,2⋅10⁻⁵
≈
4⋅10⁻²
м
=
4
см
.
▲
56. Космические лучи
а) Коэффициент, характеризующий замедление времени, определяется формулой (44) из упражнения 10, так что
Δ
𝑡'
=
Δ𝑡
ch θ𝑟
=
Δ
𝑡
𝑚
𝐸
=
Δ
𝑡
⋅
10⁹ эв
10²⁰ эв
,
так что для интервала времени, равного
Δ
𝑡
≈
(10⁵
лет
)
(3⋅10⁷
сек
/
год
)
,
найдём
Δ
𝑡'
=
10⁵⋅3⋅10⁷⋅10⁻¹¹
сек
=
30
сек
.
Пока за свои 30 сек космический путешественник успевает пересечь Галактику, на Земле проходит сто тысячелетий!
б) Коэффициент, характеризующий лоренцево сокращение Галактики, определяется по формуле (38) из упражнения 9 и равен
10⁵ св. лет
10⁻¹⁵ м
=
(10⁵ лет)(3⋅10⁷ сек/год)(3⋅10⁸ м/сек)
10⁻¹⁵ м
=
=
9⋅10²⁰ м
10⁻¹⁵ м
≈
10³⁶
=
ch
θ
𝑟
=
𝑚
𝐸
.
Чтобы протон приобрёл необходимую скорость, ему необходимо придать энергию, равную в единицах массы
𝑇
=
𝐸
–
𝑚
=
10³⁶𝑚
–
𝑚
≈
10³⁶𝑚
≈
≈
10³⁶𝑚
⋅
10³⁶⋅10⁻²⁷
кг
≈
10⁹
кг
,
иначе говоря, потребуется превратить в энергию около одного миллиона тонн массы, чтобы разогнать этот протон! ▲
57. Границы ньютоновской механики
а) Ответ также указан в конце книги!
б) Согласно формуле без номера, находящейся на стр. 155 между формулами (81) и (82), из разложения бинома Ньютона следует разложение по степеням β и для релятивистской энергии:
𝐸
=
𝑚
+
𝑚
β²
2
+
3
8
𝑚β⁴
+
…,
откуда
𝑇
=
𝐸
–
𝑚
=
𝑚
β²
2
+
3
8
𝑚β⁴
+
…
.
Здесь первый член справа – обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии. Сравнивая с ним следующий член, найдём, что поправка порядка 10⁻² к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при
⎡
⎢
⎣
𝑚β²
+
3
𝑚β⁴
⎤
⎥
⎦
–
𝑚β²
2
8
2
=
10⁻²
,
𝑚β²/2
т.е. когда
β²
=
4
3
⋅
10⁻²
.
Это и есть граница ньютоновской механики; сравните её с другими «границами», найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1. При такой скорости отношение кинетической энергии к энергии покоя равно
𝑚β²
2
⋅
𝑚⁻¹
=
β²
2
=
2
3
⋅
10⁻²
.
В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе применимости ньютоновской механики, равна
𝑇
𝑝
=
2
3
⋅
10⁻²
𝑚
𝑝
≈
2
3
⋅
10⁻²
Бэв
=
2
3
⋅
10⁻²⋅10⁹
эв
=
2
3
⋅
10⁷
эв
≈
7
Мэв
.
В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна
𝑇
𝑒
=
2
3
⋅
10⁻²
𝑚
𝑒
≈
2
3
10⁻²⋅10⁶
эв
≈
3
кэв
.
▲
58. Релятивистская ракета
а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как
-
𝑚
sh
θ
выбр
+
𝑀₂sh (𝑑θ)
=
0,
𝑚
ch
θ
выбр
+
𝑀₂ch (𝑑θ)
=
𝑀₁.
Перенесите вторые слагаемые из левых частей обеих формул вправо, разделите соответствующие части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения
sh θвыбр
ch θвыбр
=
th
θ
выбр
=
β
выбр
,
sh (𝑑θ)
≈
𝑑θ
,
ch (𝑑θ)
≈
1
.
Вы получите требуемые соотношения.
б) Когда параметр скорости мал, β=θ, так что
𝑣
=
β𝑐
≈
β
выбр
𝑐
ln
𝑀₁
𝑀
=
𝑣
выбр
ln
𝑀₁
𝑀
,
что и требовалось показать.
в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что 𝑚+𝑀₂=𝑀₁ так как для того, чтобы получить 𝑀₁, нужно сложить 𝑚 и 𝑀₂, предварительно умноженные на коэффициенты, много большие единицы. Рассматриваемый здесь процесс – это «обращённое неупругое столкновение»: в неупругих столкновениях кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую энергию ракеты и продуктов сгорания топлива.
г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (𝑀₁/𝑀→∞) и при самых высоких скоростях выброса (βвыбр→1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:
β
=
th θ
→
1
при
θ
=
β
выбр
ln
𝑀₁
𝑀
→
∞
.
д) Вернёмся к выражению закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). При очень большой скорости выброса величина ch θвыбр стремится к бесконечности, и чтобы закон сохранения не нарушался при конечных значениях 𝑀₂ и 𝑀₁, величина массы выбрасываемых продуктов сгорания 𝑚 должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения.
е) Ракета, работающая на световых вспышках, не очень практична. Предположим (для грубой оценки), что лампа вместе с батарейкой обладает массой 1/2 кг и излучает пучок света мощностью 5 вт; за полчаса (около 2000 сек) излучённая энергия составит тогда 10⁴ вт⋅сек, или 10⁴ дж. Чтобы найти количество массы, перешедшей при этом в энергию, следует разделить 10⁴ дж на 𝑐² Получается приблизительно 10⁻¹³ кг – неудивительно, что наша лампа с батарейкой не становится заметно легче после работы!
Отношение масс для такой «ракеты» составляет
1
2
кг
×
⎛
⎜
⎝
1
2
кг
–
10⁻¹³
кг
⎞
⎟
⎠
,
или приблизительно 1+2⋅10⁻¹³. Чтобы вычислить скорость, приобретённую при этом первоначально покоившейся лампой [формула (110)], нужно найти натуральный логарифм числа 1+2⋅10⁻¹³; логарифм единицы равен нулю, и вблизи этого значения натуральный логарифм возрастает так же, как и его аргумент. Иными словами, ln(1+δ)≈δ при δ≪1. Отсюда и из формулы (110) следует, что скорость, приобретённая лампой, равна
β
≈
θ
=
ln(1+2⋅10⁻¹³)
≈
2⋅10⁻¹³
или
𝑣
=
𝑐β
=
6⋅10⁻⁵
м
/
сек
.
Быстро бы прогорела та пиротехническая компания, которая выпускала бы ракеты весом по полкило, «летающие» с такой скоростью! Причина того, что лампа способна развить лишь такую ничтожную скорость, выясняется при обсуждении, предложенном в тексте упражнения. Дело в том, что «шлак», остающийся при реакции – использованные батареи,– ускоряется здесь вместе с ракетой. Напротив, химическая ракета практичнее, так как выбрасывает свой шлак через сопло. Существует ряд «бесшлаковых» реакций для элементарных частиц, и в случае исходных частиц с отличными от нуля массами покоя потенциально важны реакции типа
(Частица)
+
(Античастица)
→
Излучение.
В качестве пары частица – античастица здесь могут фигурировать, например, электрон и позитрон или протон и антипротон. Ещё практичнее взять электрически нейтральные вещество и антивещество (атомы антиводорода, антижелеза и пр.) и хранить их в отдельных местах. Однако по развитию техники мы ещё очень далеки от возможности производить такие количества антивещества, которые требовались бы для ускорения ракет путём превращения в излучение частиц и античастиц при их аннигиляции в двигателе ракеты или непосредственно за её кормой. В упражнении 104 рассмотрены трудности, с которыми столкнутся проектировщики межзвёздных полётов, когда удастся преодолеть эту техническую трудность.
ж) Когда коэффициент, характеризующий замедление времени, равен 10, это значит, что ch θ=10. Из «способов быстрой оценки для простых смертных» в табл. 8 можно заключить, что при θ≫1 имеет место ch θ≈𝑒θ. Если θ=0, то 𝑒θ≈20, а ch θ≈10, что и требовалось. Если принцип ускорения ракеты основан на полном превращении массы в излучение (без шлака!), то из формулы (110) следует
𝑀₁
=
(Масса при старте)
=
𝑀
⎛
⎜
⎝
Масса после достижения
⎞
⎟
⎠
требуемой скорости
=
𝑒
θ
≈
20
=
⎛
⎜
⎝
Удвоенный коэффициент
замедления времени
⎞
⎟
⎠
.
В случае химической ракеты достижение этой же скорости (или такой же величины коэффициента замедления времени) обходится намного дороже. Скорость выброса берётся равной
β
выбр
=
4⋅10³
3⋅10⁸
=
1,33⋅10⁻⁵
,
и для неё из формулы (108) следует
ln
=
Масса при старте
Масса после набора скорости
=
=
θ
βвыбр
=
3
1,33⋅10⁻⁵
=
2,25⋅10⁵
.
Для того чтобы после разгона ракета ещё имела массу 1 т, необходима в этом случае начальная масса
𝑀₁
=
(1
т
)𝑒²²⁵ ⁰⁰⁰
=
10⁹⁷ ⁶⁰⁰
т
.
Хорошенькая ракета, если вспомнить, что масса наблюдаемой Вселенной оценивается по порядку величины в 10⁵⁰ т! ▲
59. Парадокс центра масс
а) В системе отсчёта ракеты пушечные ядра всё время движутся симметрично по отношению к центру трубы, так что центр масс этой системы ядер совпадает с центром трубы и остаётся неподвижным. Пока что никакого парадокса ещё нет.
Рис. 148
б) В лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу, производятся не одновременно (см. рис. 148, а также упражнение 11). Первое ядро вводится в левый конец трубы ещё до того, как второе ядро вводится в её правый конец, находящийся впереди по ходу движения трубы в лабораторной системе. В этой системе отсчёта скорости ядер различны, так что различны их энергии и импульсы. Как определять теперь положение «центра масс»: считать массы ядер одинаковыми или учитывать такое различие? Ясно, что в приложении к составным системам, отдельные части которых движутся с релятивистскими скоростями, возникает значительная неоднозначность в определении понятия «центр масс». Поэтому вместо того, чтобы характеризовать здесь систему отсчёта ракеты как «систему центра масс», было бы лучше назвать её «системой нулевого импульса»– это было бы более общее утверждение. Если, несмотря на различие их энергий (иногда говорят: «масс движения», см. конец табл. 13), мы придавали бы обеим сталкивающимся массам одинаковое значение, то тем самым ввели бы фактически такое понятие «центра масс», которое во избежание недоразумений было бы лучше называть «центром барионного числа». Иначе говоря, в этом случае значение тела оценивалось бы не по количеству содержащейся в нем энергии, а по числу входящих в него частиц (протонов и нейтронов, являющихся двумя разновидностями барионов, из которых построено обычное вещество). Мировая линия центра барионного числа наших двух ядер изображена на рис. 148 пунктирной линией. Её можно определить, взяв в соответствующие моменты времени положения обоих ядер и найдя для каждого момента точку, лежащую точно посередине. Найденная линия испытывает колебания, и не удаётся усмотреть связи между её видом и законами, управляющими движением ядер. Поэтому понятие центра барионного числа едва ли может быть плодотворным.
В противоположность пунктирной линии штриховая изображает мировую линию центра гравитационного притяжения, оказываемого системой двух ядер на любую далёкую массу (до того момента, когда одно из ядер соударяется с заглушкой в конце трубы). Такое представление о локализации центра гравитационного притяжения подкрепляется двумя соображениями. Во-первых, рассмотрим в системе отсчёта ракеты положение центра масс ядер; там он всё время совпадает с центром трубы в начале координат системы отсчёта ракеты. Переходя к лабораторной системе отсчёта, получим как раз нашу штриховую линию (скорость βракеты=th ракеты)– Во-вторых, найдём скорость переноса энергии (массы) вправо как сумму переносов, осуществляемых каждым ядром по отдельности. Выясним, с какой скоростью должны были бы двигаться эти ядра, если бы они были объединены, чтобы обеспечить такую же скорость переноса энергии (массы) вправо. Мы придём тогда вновь к только что полученной величине βракеты как скорости движения центра гравитационного притяжения (т.е. придём к штриховой прямой мировой линии, изображающей движение центра трубы; детали вычисления см. в конце этого анализа).
Всё было бы очень просто и сводилось бы к приведённым рассуждениям, если бы не было самой трубы, а ядра после своего столкновения в мировой точке 𝑃 (где они фактически меняются ролями) навсегда разлетелись бы в противоположные стороны. Тогда, конечно, соответствующий ядрам центр гравитационного притяжения навсегда стал бы двигаться по штриховой линии. Но в тот момент, когда первое ядро ударяется в мировой точке 𝑄 с левой заглушкой трубы, оно изменяет направление своего движения на обратное, и оба ядра с этого момента летят вправо. Значит, на некоторый срок скорость переноса энергии (массы) должна возрасти по сравнению с тем, что было получено ранее. Этот срок кончается в момент, соответствующий событию 𝑅, когда скорость переноса возвращается к своему прежнему значению, так что после 𝑅 вновь можно утверждать, что энергия (масса) объединённой системы ядро 1 + ядро 2 движется вправо со скоростью системы отсчёта ракеты βракеты (штриховая линия, проходящая через мировую точку 𝑆 предстоящего столкновения ядер).
Итак, парадокс состоит в том, что в промежуток времени от 𝑡𝑄 до 𝑡𝑅 должен был бы происходить ускоренный перенос энергии (массы) вправо и следовало бы ожидать, что за это время эффективный центр притяжения системы ядер будет ускоренно сдвигаться вправо, а когда он снова приобретёт свою исходную скорость, следовало бы ожидать, что его мировая линия станет проходить несколько правее прежней штриховой линии. Однако такого сдвига не зафиксировано. Как же совместить ускоренный перенос энергии (массы) вправо с тем фактом, что центр притяжения продолжает двигаться по прежней прямой мировой линии?
Рис. 149.
Чтобы найти ответ, рассмотрим такой пример. Пусть некий бездельник подпирает заднюю стенку надстройки на пароме. Тогда он совершает работу, «двигая» стенку, мощностью 𝐹𝑣, если давит своим плечом на неё с силой 𝐹 и движется со скоростью 𝑣. Но в этом нет его заслуги, так как палуба, расходуя такую же мощность, совершает работу над ним. Иначе говоря, мощность 𝐹𝑣 втекает в него через ноги и такая же мощность вытекает из его плеча. Мощность – скорость переноса энергии, и на релятивистском языке её нужно понимать как скорость переноса энергии и массы. Хотя наш бездельник (вопреки своим принципам) невольно совершает перенос энергии (массы), его центр тяжести движется нисколько не быстрее, чем если бы он стоял по стойке «смирно». Аналогичное происходит и с системой двух ядер: не ограничиваясь переносом вправо энергии (массы) с такой скоростью, что их центр притяжения движется по штриховой линии, ядра испытывают через определённые промежутки времени толчки со стороны левой заглушки трубы и переносят эти импульсы правой заглушке (это аналогично постоянному переносу энергии через нашего бездельника, только теперь сила действует прерывисто). Дополнительный перенос энергии (массы), происходящий при этом, вообще не приводит к дополнительному смещению центра притяжения 1).
1) При соударении с заглушкой в конце трубы каждое ядро обменивается с ней импульсом и приводит её, таким образом, в движение. Даже в системе отсчёта ракеты, где соударения в противоположных концах трубы происходят одновременно, импульсы, переданные трубе, не сразу взаимно уничтожаются ввиду конечной скорости распространения акустической волны: хотя суммарный переданный импульс равен нулю, труба должна сначала некоторое время (симметрично) колебаться, и эти колебания, конечно, переносят энергию. В лабораторной системе отсчёта такая симметрия нарушается в силу относительности одновременности, и для полного анализа переноса энергии (массы) здесь следовало бы учесть поток, распространяющийся по самой трубе. Полезно обратить внимание на то, что «неподвижно закреплённая» труба соответствует бесконечно большой массе по крайней мере заглушек, в противном случае ядра не сохраняли бы абсолютной величины своих импульсов. Но в таком случае можно пренебречь энергией, переносимой акустическими волнами, если рассматривать центр гравитационного притяжения всей системы в целом (правда, при этом было бы логично пренебречь и массами самих ядер!). Читатель видит отсюда, что ситуация, имеющая место между моментами 𝑡𝑄 и 𝑡𝑅, описана авторами неполно; ему было бы полезно обдумать вопрос о том, как изменится задача в случае разных масс заглушек и разной степени жёсткости трубы (в обеих системах отсчёта). Разумеется, анализ следует проводить качественно.– Прим. перев.
в) Центр гравитационного притяжения системы труба + ядра движется вправо с постоянной скоростью βракеты в лабораторной системе отсчёта.
Дополнительные данные к части б)
Обозначим значения скорости и параметра скорости ядер в системе отсчёта ракеты через ±β' и ±θ'. Тогда параметры скорости в лабораторной системе отсчёта будут равны θ𝑟+θ' и θ𝑟-θ'. Скорость переноса энергии (массы) даётся выражением
Импульс
=
𝑚β₁
√1-β₁²
+
𝑚β₂
√1-β₂²
=
=
𝑚(sh θ
𝑟
ch θ'
+
ch θ
𝑟
sh θ')
+
+
𝑚(sh θ
𝑟
ch θ'
–
ch θ
𝑟
sh θ')
=
=
2𝑚
ch θ'sh θ
𝑟
.
Полная величина энергии (массы) в системе отсчёта ракеты равна
𝑚
√1-β₁²
+
𝑚
√1-β₂²
=
2𝑚
ch θ'
.
Разделив её на скорость переноса энергии (массы), найдём sh θ𝑟. Итак, параметр скорости системы ядро 1 + ядро 2 совпадает с параметром скорости ракеты θ𝑟 относительно лабораторной системы отсчёта, что и требовалось доказать. ▲
60. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) В системе отсчёта ракеты шар 𝐴 движется параллельно направлению оси 𝑦 как до, так и после столкновения (см. рис. 83). Поэтому разности координат в системе ракеты между событиями столкновения шаров и ударом шара 𝐴 о верхнюю стенку равны
Δ
𝑥'
=
0
,
Δ
𝑦'
=
Δ
𝑦
и
Δ
𝑡
.
Из формул (42) следует промежуток времени в лабораторной системе
Δ
𝑡
=
Δ
𝑥'
sh
θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
ch
θ
𝑟
=
Δ
𝑡'
ch
θ
𝑟
.
Это выражение позволяет определить 𝑦-компоненту скорости шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта через скорость этого шара в системе отсчёта ракеты β=Δ𝑦'/Δ𝑡':
(β
𝐴
𝑦
)
лаб
=
Δ𝑦
Δ𝑡
=
Δ𝑦'
Δ𝑡' ch θ𝑟
=
β
ch θ𝑟
.
б) Сравнивая рис. 83 и 84, видим, что скорость шара 𝐴 в системе отсчёта ракеты равна скорости шара 𝐵 в лабораторной системе отсчёта. Вертикальная компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе была найдена в части а) этого упражнения. Горизонтальная же компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе – это просто скорость движения этой системы относительно системы отсчёта ракеты, β𝑟. Подставляя значения компонент скорости и импульса, данные на рис. 101, в закон пропорциональности, выведенный на основании этого же рисунка (см. текст данного упражнения), получим соотношение
𝑝𝑥
2𝑚β
=
th θ𝑟
2β/ch θ𝑟
(равенство этих отношений означает, что векторы импульса и скорости имеют одинаковое направление). Отсюда и следует формула
𝑝
𝑥
=
𝑚
sh
θ
𝑟
.
▲
61. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
а) На основании двух частей рис. 102 можно непосредственно записать закон сохранения импульса в ньютоновском пределе. Из верхней киноленты, снятой в лаборатории, следует закон сохранения в лабораторной системе отсчёта. Когда же на основании нижней киноленты рис. 102, снятой из ракеты, записывается закон сохранения импульса в этой системе, то стоящая в обеих частях уравнения скорость относительного движения систем β𝑟 уничтожается, и остаётся в точности уравнение, уже полученное в лабораторной системе отсчёта. Итак, в системе отсчёта ракеты импульс автоматически сохраняется, если он сохранялся в лабораторной системе; но это верно лишь для столкновений с малыми скоростями.
б) Переходя к релятивистскому анализу, заметим, что в системе отсчёта ракеты (нижняя кинолента на рис. 103) закон сохранения импульса принимает вид
𝑚₁
sh
(θ₁-θ
𝑟
)
+
𝑚₂
sh
(θ₂-θ
𝑟
)
=
=
𝑚₁
sh
(
θ
₁-θ
𝑟
)
+
𝑚₂
sh
(
θ
₂-θ
𝑟
)
.
Воспользовавшись формулой (11) из правого столбца табл. 8, преобразуем здесь каждое из четырёх слагаемых так, чтобы получилось соотношение вида (112). У нас появятся две скобки: первая
(
𝑚₁
sh
θ₁
+
𝑚₂
sh
θ₂
–
𝑚₁
sh
θ
₁
–
𝑚₂
sh
θ
₂
)
и вторая
(
𝑚₁
ch
θ₁
+
𝑚₂
ch
θ₂
–
𝑚₁
ch
θ
₁
–
𝑚₂
ch
θ
₂
)
Каждая из них должна самостоятельно обращаться в нуль, что следует из условия задачи. Значит, должны выполняться уравнения (111) и (113). Короче говоря, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта ракеты, недостаточно его сохранения в лабораторной системе отсчёта, как это было в предельном случае малых скоростей (в ньютоновской механике), но необходимо ещё, чтобы в лабораторной системе сохранялась и энергия, что выражается уравнением (113).
в) Ход приведённых рассуждений в основном останется без изменения, если массы покоя разлетающихся частиц отличаются от масс частиц до соударения. При этом закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта принимает вид
𝑚₁
sh
θ₁
+
𝑚₂
sh
θ₂
=
𝑚
₁
sh
θ
₁
+
𝑚
₂
sh
θ
₂
,
а закон сохранения энергии (тоже в лабораторной системе) —
𝑚₁
ch
θ₁
+
𝑚₂
ch
θ₂
=
𝑚
₁
ch
θ
₁
+
𝑚
₂
ch
θ
₂
,
Импульс будет сохраняться и в системе отсчёта ракеты, только если выполняются оба эти закона сохранения одновременно.
Что же касается сохранения кинетической энергии, то заметим, что, вычитая в случае упругого столкновения из соответствующих сторон уравнения (113) тождество 𝑚₁+𝑚₂≡𝑚₁+𝑚₂, получим
(𝑚₁ch
θ₁-𝑚₁)
+
(𝑚₂ch
θ₂-𝑚₂)
=
(𝑚₁ch
θ
₁-𝑚₁)
+
(𝑚₂ch
θ
₂-𝑚₂)
,
𝑇₁
+
𝑇₂
=
𝑇
₁
+
𝑇
₂.
Это и есть выражение того факта, что при упругих столкновениях кинетическая энергия сохраняется. В случае неупругих столкновений, когда 𝑚₁≠𝑚₁ и 𝑚₂≠𝑚₂, сохранения кинетической энергии нет и подобного уравнения записать нельзя. Особый интерес представляют неупругие столкновения без излучения, но с переходом части кинетической энергии в массу покоя: 𝑚₁+𝑚₂>𝑚₁+𝑚₂. ▲
62. Задачи на пересчёт
а) 100 вт – это 100 дж/сек, а так как в году около 30 миллионов секунд, то 100-ваттная лампочка излучает в год энергию, равную 3⋅10⁹ дж. Это соответствует массе покоя, равной (3⋅10⁹ дж)/𝑐²=¹/₃⋅10⁻⁷ кг.
б) 10¹² квт⋅ч= 10¹⁵ вт⋅ч= 10¹⁵⋅3600 вт⋅сек= 3,6⋅10¹⁸ дж. Это соответствует массе покоя (3,6⋅10¹⁸ дж)/𝑐²=40 кг. В действительности же в энергию при этом превращается более 40 кг массы, так как производство электроэнергии неизбежно сопровождается тепловыми потерями (часть массы «уходит» в тепло): так, теряется часть теплоты при использовании химической энергии (при сжигании угля), теряется теплота, возникающая в результате трения из механической энергии (в генераторах гидростанций). Конечно, оценка зависит от того, в каких масштабах рассматривать, например, струи газов, извергаемые трубами тепловой электростанции, работающей на угле. На микроскопическом уровне можно провести деление на массу покоя отдельных молекул и на кинетическую энергию их теплового движения. Напротив, в крупных масштабах получится, что эти горячие газы имеют массу покоя, превышающую сумму масс покоя отдельных составляющих их молекул (см. замечания по поводу «ящика с нагретым газом» на стр. 176). Конечно, та же участь ожидает и большую часть благополучно генерированной «полезной» электроэнергии, ведь её поглотят и превратят в теплоту стены освещённой с её помощью комнаты и т.д. и т.п. Так часть массы покоя угля превращается в электроэнергию, а потом —снова в массу покоя там, где эта энергия потребляется. И за целый год не найти ни одного момента, когда хоть сколько-нибудь заметная часть этих 40 кг энергии существовала в форме электроэнергии.
в) Студент производит энергию со скоростью (мощностью) в 2 лошадиные силы (л. с.): 1/2 л. с. полезной мощности + 3⋅½ л. с. превращается в теплоту (2 л. с. ≈ 1500 вт). Срок, необходимый для того, чтобы превратить 1 кг массы в энергию, можно найти по формуле
1500
вт
⋅𝑡
сек
=
1
кг
⋅𝑐²
,
откуда получается 𝑡сек=6⋅10¹⁴ сек – больше десяти миллионов лет! Конечно, чтобы похудеть на 1 кг, никому не потребуется так долго крутить педали– химические процессы «горения» в организме чрезвычайно расточительны (коэффициент перевода массы в энергию невероятно мал), и удаление продуктов сгорания приводит к намного более быстрой потере массы, чем если бы она превращалась в энергию.
г) Полное количество световой энергии, испускаемой за одну секунду Солнцем, можно подсчитать, умножив величину энергии излучения, проходящую за 1 сек через 1 м² поверхности, перпендикулярной падающим лучам вблизи Земли (т.е. солнечную постоянную), на площадь в квадратных метрах воображаемой сферы радиуса, равного радиусу орбиты Земли, с центром в Солнце. Этот радиус равен приблизительно 𝑟=150 млн. км=1,5⋅10¹¹ м, площадь же соответствующей сферы составляет
4π𝑟²
≈
3⋅10³³
м
²
.
Количество энергии в джоулях, уходящей сквозь эту воображаемую поверхность каждую секунду, равно
(1,4
дж
/
сек
⋅
м
²)
(3⋅10²³
м
²)
≈
4⋅10²³
дж
/
сек
,
что соответствует скорости потери массы Солнцем
(4⋅10²³
дж
/
сек
)/𝑐²
≈
4⋅10⁶
кг
/
сек
–
приблизительно 4000 т в 1 сек. Такова та часть массы Солнца, которая ежесекундно теряется им вследствие превращения вещества в свет. Количество массы такого же порядка излучается Солнцем в форме нейтрино. Ещё большую роль в потерях массы Солнцем играет «солнечный ветер»– непосредственное выбрасывание вещества в пространство. Земля преграждает путь этим потокам на площади, приблизительно равной
π𝑟²
Земля
≈
3⋅(6⋅10⁶
м
)²
≈
10¹⁴
м
²
,
так что на неё падает в секунду около 1,4⋅10¹⁴ дж энергии в форме солнечного света. В год это составляет примерно 4⋅10²¹ дж – почти 50 000 кг энергии (массы). Часть падающего на неё света, конечно, отражается Землёй, а ещё некоторая часть снова излучается ею в космос в других диапазонах частот.
д) Скорость каждого поезда, выраженная в метрах пути на метр светового времени, равна
β
=
𝑣
𝑐
=
45 м/сек
3⋅10⁸ м/сек
=
1,5⋅10⁻⁷
.
При этом полная кинетическая энергия очень близка к той, которую даёт теория Ньютона:
𝑇
полн
≈
𝑚β²
2
≈
(10⁶
кг
)(2⋅10⁻¹⁴)
=
2⋅10⁻⁸
кг
=
=
2⋅10⁻⁵
г
=
20
мк
.
Такова кинетическая энергия двух поездов до столкновения; она и переходит в ту добавочную массу покоя, на которую увеличивается масса поездов, рельсов и насыпи сразу же после столкновения. ▲
63. Релятивистская химия
10⁸ дж энергии соответствуют (10⁸ дж)/𝑐²≈10⁻⁹ кг. Это составляет примерно 10⁻¹⁰ от тех 9 кг воды, которые получаются при полном соединении водорода и кислорода, а самые чувствительные химические весы неспособны зарегистрировать изменение веса, менее чем в 1000 раз превышающее эту величину. ▲
64. Релятивистский осциллятор
а) Нет, инженер не сможет получить здесь сколь угодно высокой частоты. Так как скорость электрона не может быть больше скорости света, период одного колебания не удастся неограниченно уменьшать (в системе отсчёта ящика).
б) Когда напряжение возрастает вдвое, кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории также удваивается. Однако ньютоновское выражение для кинетической энергии, справедливое при малых скоростях, имеет вид ½⋅𝑚β², и поэтому скорость β увеличивается в √2=1,414… раз при удвоении величины напряжения. Во столько же раз, следовательно, увеличится при этом и частота.
в) Вывод, полученный в части б), наводит на мысль, что частота колебаний электрона увеличивается пропорционально корню квадратному из величины приложенного напряжения. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, заметим, что электрон подвергается постоянному ускорению в каждой половине ящика, причём на него действует сила, равная 𝑞𝑉₀/(𝐿/2) Здесь 𝑞 – заряд электрона, а 𝐿 – ширина ящика (равная в нашем случае 1 м). Тогда ускорение равно 𝑎=𝑞𝑉₀/(𝑚𝐿/2), а время 𝑡, необходимое для того, чтобы электрон прошёл путь от одной стенки ящика (где он покоился) до его центра, определяется из обычного уравнения равноускоренного движения, 𝑠=½⋅𝑎𝑡². В нашем случае 𝑠=𝐿/2 и 𝑡=𝑇/4 (четверть периода), тогда как 𝑎 даётся приведённым выше выражением. Отсюда
