Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 10 (всего у книги 27 страниц)
40*. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности. Область, в которой обе теории совпадают друг с другом с точностью до 1 %
Рис. 53. Изображение симметричного упругого рассеяния в лабораторной системе отсчёта. (Обратите внимание на разную штриховку кадров в лабораторной системе отсчёта и системе отсчёта ракеты!).
Пусть протон 𝐴 подвергается упругому столкновению с протоном 𝐵, первоначально находившимся в покое. Результат такого столкновения невозможно предсказать, так как мы не указали, насколько протоны сблизились при столкновении (а от этого зависит исход). При большинстве столкновений протон 𝐴 отклонится от первоначального пути лишь на малый угол α𝐴, а протон 𝐵 при этом ощутит лишь слабый толчок в сторону под углом α𝐵 (относительно направления движения протона 𝐴), близким к 90°. Но может произойти и очень тесное сближение протонов, когда почти вся энергия передаётся протону 𝐵, и он вылетает под весьма малым углом α𝐵 к направлению «вперёд» (первоначальному пути 𝐴). Промежуточными случаями по отношению к этим двум крайностям являются происходящие время от времени столкновения с «симметричным рассеянием», когда обе (тождественные) частицы разлетаются с одинаковыми скоростями в направлениях, образующих равные углы, α𝐴=α𝐵=α/2, с направлением «вперёд» (рис. 53). Вопрос: чему равен угол отклонения частиц при симметричном рассеянии? Обсуждение. По механике Ньютона полный угол разлёта одинаковых частиц равен 90° при всяком упругом столкновении (будь то симметричное рассеяние или нет!). То, что этот угол при столкновениях быстрых частиц оказывается менее 90°, есть одно из самых интересных и доказательных предсказаний теории относительности. На рис. 54б дана фотография «медленного» столкновения, при котором, в согласии с теорией Ньютона, угол разлёта равен 90°. Напротив, на рис. 54а представлен случай «быстрого» столкновения, при котором угол разлёта частиц явно меньше 90°. Этот факт означает, что отличие угла разлёта от 90° даёт хороший критерий отклонения законов движения от ньютоновских. Рассмотрим, например, такой вопрос: ниже какого значения должна быть скорость частицы в подобном опыте по рассеянию, для того чтобы величина угла разлёта частиц отклонялась от 90° менее чем на ¹/₁₀₀ радиана? Решение этой задачи значительно упрощается, если подойти к случаю описанного выше симметричного рассеяния, выбрав систему отсчёта таким образом, чтобы можно было максимально воспользоваться соображениями симметрии. Сядем для этого в ракету и полетим направо как раз с такой скоростью, которая равна компоненте «вперёд» скорости каждой из частиц после рассеяния. Тогда при наблюдении с этой ракеты частицы 𝐴 и 𝐵 не будут испытывать движения в направлении движения ракеты после столкновения. Что же касается боковых компонент скорости частиц 𝐴 и 𝐵 (в направлениях вверх и вниз), то заметим, что эти скорости были равны по абсолютной величине и противоположны по направлению в лабораторной системе отсчёта. Но ведь такая симметрия скоростей не может измениться, если мы наблюдаем теперь столкновение с ракеты, летящей вправо. Поэтому и при наблюдении в системе отсчёта ракеты скорости частиц 𝐴 и 𝐵 после столкновения будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Это тот вывод № 1, которым мы обязаны соображениям симметрии. Вывод № 2 из соображений симметрии также может быть получен при анализе столкновения в системе отсчёта ракеты. Он гласит, что в этой системе до столкновения скорости частиц 𝐴 и 𝐵 также были равны по абсолютной величине и противоположны по направлению. Почему? Какое противоречие ожидало бы нас, если бы эти скорости не были равными? – Да просто нарушилась бы сама симметрия, что легко усмотреть из следующего.
Рис. 54а. Сделанная в камере Вильсона фотография релятивистского и почти симметричного рассеяния, когда первоначально один электрон двигался, а другой покоился.
Начальная скорость первого электрона около β=0,97. Угол между треками разлетающихся электронов много меньше, чем предсказывавшиеся ньютоновской механикой 90°. Искривление треков электронов как заряженных частиц вызвано присутствием магнитного поля, с помощью которого определялись импульсы электронов.
Рис. 546. Фотография нерелятивистского симметричного упругого рассеяния, когда первоначально один протон двигался, а другой покоился. Начальная скорость первого протона около β=0,1. Угол между треками разлетающихся протонов равен 90° в согласии с ньютоновской механикой.
Схема скоростей в системе отсчёта ракеты после столкновения характеризуется симметрией между правым и левым направлениями. Иными словами, глядя на частицы, разлетающиеся после столкновения, невозможно сказать, из каких направлений пришли эти частицы в точку соударения. С равным успехом частица 𝐴 могла прийти слева, а 𝐵 – справа, или частица 𝐴 – справа, а 𝐵 – слева (например, наблюдатель мог обойти арену и посмотреть с другой стороны). Но ведь участвующие в столкновении частицы тождественны друг другу, и ничего не должно измениться, если их взаимно переименовать.
Рис. 55. Изображение симметричного упругого рассеяния в системе отсчёта ракеты (ср. с рис. 53). Была выбрана скорость ракеты, при которой горизонтальные компоненты скоростей частиц после столкновения равны нулю.
Рис. 56. Так рассеяние изображалось бы в системе отсчёта ракеты, если бы частицы 𝐴 и 𝐵 до рассеяния обладали неравными скоростями. (Ошибочное предположение).
Рис. 57. Рисунок 56 (в системе отсчёта ракеты), если его рассматривать на просвет.
Рис. 58. Рисунок 57 (в системе отсчёта ракеты), если поменять местами обозначения 𝐴 и 𝐵 для тождественных частиц.
Заметим теперь, что на рис. 56 и 58 мы имеем две разные начальные ситуации, приведшие к одному и тому же исходу (см. рис. 53). Более того, эти начальные ситуации отличаются друг от друга лишь тем, что путём некоторого увеличения скорости ракеты, с которой проводятся наблюдения, ситуация на рис. 56 переходит в ситуацию на рис. 58. Но результат столкновения, начальная ситуация которого изображена на рис. 56, уже не будет сохранять вида результата столкновения, начавшегося, как на рис. 58, если мы так ускорим движение наблюдателя. Значит, в нашем первоначальном предположении, что рис. 56 и рис. 58 различны, содержится противоречие, и, чтобы его избежать, необходимо признать, что в системе отсчёта ракеты частицы 𝐴 и 𝐵 имели до столкновения одинаковые скорости, как это и изображено на рис. 55.
Но скорости частиц 𝐴 и 𝐵 были попарно равны не только до (и после) столкновения,– величина скорости каждой из них при столкновении вообще не изменилась. Если бы это было не так, то возникла бы следующая трудность. (Третье использование соображений симметрии – теперь уже не симметрии в пространстве, а симметрии во времени!) Снимем кинофильм об этом столкновении частиц, проявим его и отпечатаем, а затем просмотрим в обратном направлении. Если прежде частицы теряли скорость при столкновении, то теперь они будут приобретать её. Такое различие двух направлений течения времени – типичный признак так называемых необратимых процессов, например: 1) переноса тепла от нагретого объекта к охлаждённому; 2) старения живого организма; 3) разбивания яйца или 4) неупругого столкновения. Но ведь мы ограничивались здесь рассмотрением лишь упругих столкновений! Значит, мы должны говорить теперь только о таких процессах, которые являются обратимыми, а обратимость определяется следующим образом:
Обратимым называется такой процесс, в ходе которого оба направления времени невозможно отличить друг от друга, если рассматривать кинохронику этого процесса, пропуская фильм через проектор в любом направлении.
Так как столкновение двух протонов является упругим, все четыре скорости, изображённые на рис. 59, одинаковы.
Рис. 59. Завершение анализа, основанного на соображениях симметрии. В системе отсчёта ракеты, где горизонтальные компоненты скоростей частиц после столкновения равны нулю, абсолютные значения всех скоростей как до, так и после столкновения одинаковы.
Эти выводы весьма просты и ёмки. Всё рассуждение, приводящее к данному заключению, тоже может быть выражено просто и ёмко – тремя словами; «из соображений симметрии». Опираясь подобным образом на соображения симметрии, мы упрощаем исследование громадного множества физических задач.
Пока что наши рассуждения, основывавшиеся на соображениях симметрии, в равной мере относились как к ньютоновской, так и к релятивистской механике. Различия проявляются, когда мы переходим от полностью завершённой диаграммы в системе отсчёта ракеты к исходной диаграмме в лабораторной системе отсчёта. В механике Ньютона сложение скоростей осуществляется по векторному правилу. Поэтому, чтобы найти скорости частиц 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта после столкновения, нам оставалось лишь добавить к горизонтальной компоненте их скоростей скорость движения ракеты β𝑟 (см. рис. 60). Тогда очевидно, что угол разлёта частиц в механике Ньютона всегда равен 90° – независимо от их скоростей. Но в теории относительности это не так!
Рис. 60. Исследование скоростей частиц в лабораторной системе отсчёта после столкновения в ньютоновской (нерелятивистской) теории.
Покажите, что налетающий протон может обладать скоростями вплоть до β=²/₇, и тем не менее угол между скоростями 𝑣𝐴 и 𝑣𝐵 при симметричном рассеянии будет отличаться от 90° (своего значения в теории Ньютона) не более чем на 0,01 рад. Иными словами, покажите, что ньютоновская механика с хорошей точностью описывает столкновение частицы, летящей со скоростью (²/₇)𝑐, с покоящейся частицей (или столкновение двух частиц, летящих со скоростями (²/₇)𝑐 каждая). При этом вам могут пригодиться выводы из упражнения 20. ▼
41*. Примеры предельных переходов к механике Ньютона
Примем в качестве приблизительного верхнего предела применимости механики Ньютона скорость частиц β=¹/₇ (см. упражнение 39). Заполните клетки в нижеследующей таблице по аналогии с верхней графой, которую мы уже заполнили.
Пример движения
β
Корректно ли в этом примере использование механики Ньютона
?
Спутник, обращающийся вокруг Земли со скоростью 30 000
км/час
1/36 000
Да, так как
β<1/7
Земля, обращающаяся вокруг Солнца по орбите со скоростью 30
км/сек
Электрон, обращающийся вокруг протона (атом водорода) по орбите с минимальным радиусом. (Указание. Скорость электрона при его движении на основной орбите атома с атомным номером 𝑍, где 𝑍 – число протонов в ядре, выведена для случая малых скоростей в упражнении 101 гл. 2 и равна
𝑣
=
𝑍
137
⋅
𝑐;
для водорода 𝑍=1).
Электрон на основной орбите атома золота
𝑍=79
Электрон, движущийся с кинетической энергией 5000
эв
. (
Указание
: 1 эв =
1,6⋅10⁻¹⁹
дж
. Проведите оценку, исходя из ньютоновского выражения для кинетической энергии).
Протон или нейтрон, движущийся с кинетической энергией 10
Мэв
(миллионов электронвольт) в атомном ядре
▼
Е. ФИЗИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ. НОВЫЕ ФАКТЫ
42. Замедление времени для μ-мезона – подробный пример
Мю-мезоны (μ-мезоны) – элементарные частицы, образующиеся при некоторых ядерных реакциях. Если взять некоторое число этих мезонов, то через 1,5 микросекунды (мксек) (время измеряется в той системе отсчёта, в которой μ-мезоны покоятся) половина из них распадается на другие элементарные частицы. Половина оставшихся μ-мезонов распадается в следующие 1,5 мксек и т.д.
а) Рассмотрим (μ-мезоны, образовавшиеся при бомбардировке атомных ядер атмосферных газов космическими лучами на высоте 60 км над поверхностью Земли. Пусть эти μ-мезоны летят вертикально вниз со скоростью, близкой к скорости света. Приблизительно за сколько времени они достигнут поверхности Земли (время измеряется наблюдателем, покоящимся относительно Земли)? В случае если бы не происходило замедления хода времени, какая (приблизительно) часть общего числа мезонов, образовавшихся на высоте 60 км, достигла бы поверхности Земли, ещё не претерпев распада?
б) Представим довольно сложную ситуацию, имеющую место при реальных экспериментах, в виде идеализированной схемы, в общем ей равнозначной. Пусть все мезоны образуются на одной и той же высоте (60 км); пусть все они обладают одинаковой скоростью; пусть они летят вертикально вниз; наконец, пусть ¹/₈ от их общего числа достигает уровня моря, не успев распасться. Вопрос: что может быть причиной такого большого расхождения между предсказанием в п. (а) и приведёнными данными наблюдений? Насколько отличается при этом скорость данных μ-мезонов от скорости света? 1)
1) Существует кинофильм, посвящённый этому эксперименту. См. статью «Измерение релятивистского эффекта замедления хода времени с помощью μ-мезонов», David Н. Frisch, James Н. Smith, American Journal of Physics, 31, 342 (May, 1963). Оригинальный эксперимент был описан в статье В. Rossi, D. В. Hall, Physical Review, 59, 223 (1941).
Решение: Рассматриваемые μ-мезоны летят со скоростью, близкой к скорости света. Поэтому они проходят 60 км примерно за
60⋅10³ м
3⋅10⁸ м/сек
=
2⋅10⁻⁴
сек
.
«Половинное время жизни» (период полураспада) μ-мезонов в той системе отсчёта, где они покоятся, равно 1,6⋅10⁻⁶ сек. Если бы замедления хода времени не было, время полёта мезонов до поверхности Земли равнялось бы 2⋅10⁻⁴/1,6⋅10⁻⁶=133 периодам полураспада. По прошествии каждого периода полураспада число μ-мезонов уменьшается вдвое, так что после 133 периодов должна была бы остаться «в живых» лишь
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
…
=
⎛
⎜
⎝
1
2
⎞¹³³
⎟
⎠
≈
10⁻⁴⁰
часть их первоначального числа. На самом же деле осталось ¹/₈=(¹/₂)³, как показал эксперимент в п. (б). Значит, в системе отсчёта ракеты, в которой μ-мезоны покоятся, прошло время, равное лишь 3 периодам полураспада:
Δ
𝑡'
=
3⋅
(
1,5⋅10⁻⁶
сек
)
⋅
(
3⋅10⁸
м/сек
)
=
=
1,35⋅10³
м
.
Путь, пройденный мезоном в системе, связанной с ним самим, естественно, равен нулю:
Δ𝑥'=0.
Поэтому интервал собственного времени между событием «образование мезонов» и событием «достижение ими поверхности Земли» равен
Δ
τ
=
√
(
Δ
𝑡')²-(
Δ
𝑥')²
=
1,35⋅10³
м
.
Но численное значение этого интервала одинаково как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе самих мезонов; поэтому
Δ
τ
=
√
(
Δ
𝑡)²-(
Δ
𝑥)²
=
1,35⋅10³
м
или
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
Δ𝑥
β
⎞²
⎟
⎠
–
(
Δ
𝑥)²
⎤½
⎥
⎦
=
1,35⋅10³
м
.
(61)
Нам известен тот путь, который прошли мезоны в лабораторной системе отсчёта: Δ𝑥=6⋅10⁴ м. Тогда мы можем найти и скорость β по формуле (61). Возводя обе части этой формулы в квадрат и деля их на (Δ𝑥)², получим
1
β²
–1
=
⎛
⎜
⎝
1,35⋅10³
6⋅10⁴
⎞²
⎟
⎠
,
или
1-β²
β²
=
5,06⋅10⁻⁴
.
Очевидно, что β мало отличается от единицы. Поэтому примем
1-β²
=
(1+β)
(1-β)
≈
2(1-β)
,
откуда
1-β²
β²
≈
2(1-β)
β²
≈
2(1-β)
≈
5⋅10⁻⁴
или
1-β
≈
2,5⋅10⁻⁴
Эта малая величина, стоящая в правой стороне полученного равенства, и определяет отличие скорости μ-мезонов от скорости света.
43. Замедление времени для π⁺-мезона
Как видно из нижеследующей таблицы, в лабораторных условиях гораздо проще исследовать распад π⁺-мезонов, чем μ-мезонов:
Частица
Период полураспада
(
измеренный в системе покоя частицы
)
«
Характерная длина
» (
период полураспада, умноженный на скорость света
)
μ
–мезон
1,5⋅10⁻⁶
сек
450
м
(масса в 207 раз превышает массу электрона)
π
–мезон
18⋅10⁻⁹
сек
5,4
м
(масса в 273 раза превышает массу электрона)
Из данного числа π⁺-мезонов половина распадётся на другие элементарные частицы за 18 наносекунд [1 нсек = 10⁻⁹ сек] (если измерять время в той системе отсчёта, где π⁺-мезоны покоятся). Половина оставшихся распадётся за следующие 18 нсек и т.д. В Пенсильванско-Принстонском протонном синхротроне π⁺-мезоны получают, обстреливая пучком протонов алюминиевую мишень, помещённую внутри ускорителя. Мезоны вылетают тогда из мишени со скоростью, приближающейся к скорости света. Если бы замедления хода времени не было и не было также отсева мезонов из получающегося пучка за счёт столкновений, то чему было бы равно наибольшее расстояние от мишени, на котором половина мезонов оставалась бы ещё не распавшейся? Интересующие нас в данном эксперименте π⁺-мезоны обладают параметром скорости, соответствующим
ch θ
=
1
√1-β²
=
15.
Во сколько раз предсказываемое таким образом расстояние от мишени, на которое мезоны успевают улететь за время полураспада, увеличивается за счёт замедления хода времени, т.е. во сколько раз эффект замедления времени позволяет увеличить расстояние между регистрирующей аппаратурой и мишенью? ▼
44*. Аберрация света звёзд
Наблюдатель, быстро движущийся в один из дней года в некотором данном направлении вместе с планетой, должен, чтобы увидеть четыре далёкие звезды, направить свои телескопы так, как показано на рисунке.
Наблюдатель, быстро движущийся через полгода в противоположном направлении.
Рис. 61. Аберрация света звёзд. На обеих схемах представлена ситуация, наблюдаемая в той системе отсчёта, где Солнце покоится.
Угловое расстояние между одной далёкой звездой (𝐵) и другими далёкими звёздами (𝐴, 𝐶) меняется в зависимости от времени года, так как в течение 6 месяцев Земля изменяет свою скорость на 2⋅30 км/сек = 60 км/сек. Показать, что этот угол аберрации, обозначаемый через φ (по отношению к углам, которые регистрировал бы наблюдатель на Солнце), определяется равенством sin φ=β Здесь β – скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца. Хотя эффект аберрации света звёзд и поддаётся экспериментальному обнаружению, угол аберрации φ настолько мал, что наблюдения не смогли до настоящего времени дать здесь решающего подтверждения приведённой выше релятивистской формулы, так как теория Ньютона даёт очень близкое предсказание, а именно tg φ=β. ▼
45. Опыт Физо
Распространение света сквозь прозрачную материальную среду происходит медленнее, чем через вакуум. Обозначим скорость света в среде через β' (β'<1). Рассмотрим идеализированный случай, когда скорость β' не зависит от длины волны. Поместим среду в ракету, летящую со скоростью β𝑟 вправо относительно лабораторной системы отсчёта, и направим в эту среду пучок света, распространяющийся также вправо. Исходя из закона сложения скоростей, найдём величину скорости света β в лабораторной системе отсчёта. Требуется показать, что при малых относительных скоростях ракеты и лабораторной системы отсчёта скорость света в лабораторной системе приближённо даётся выражением
β
≈
β'
+
β[1-(β')²]
.
(62)
Это выражение для скорости было проверено Физо, который воспользовался водой, текущей в противоположных направлениях в двух плечах интерферометра, подобного (но не тождественного) интерферометру Майкельсона и Морли (см. упражнение 33) 1).
1) H. Fizeau, Comptes Rendus, 33, 349 (1851) В этой статье (на французском языке) дано превосходное обсуждение некоторых центральных вопросов теории относительности, и притом более чем за 50 лет до первой работы Эйнштейна. ▼
46. Черенковское излучение 2)
2) Это весьма важное как с принципиальной, так и прикладной точек зрения излучение было открыто П. А. Черенковым в 1934 г., когда он был аспирантом С. И. Вавилова и работал в лаборатории последнего; ввиду важной роли самого С. И. Вавилова в открытии черенковского излучения оно иногда называется излучением Вавилова – Черенкова. Теоретически оно было впервые истолковано и детально изучено И. Е. Таммом и И. М. Франком в 1937 г. В 1958 г. П. А. Черенков, И. Е. Тамм и И. М. Франк были удостоены Нобелевской премии по физике за открытие и исследование черенковского излучения.– Прим. перев.
Рис. 62. Нахождение черенковского угла φ.
Никто и никогда не наблюдал того, чтобы частицы двигались быстрее скорости света в вакууме. Однако в материальной среде наблюдалось движение частиц со скоростями, превышающими скорость света в этой среде. Когда заряженная частица движется в среде со скоростью, превышающей скорость света в этой среде, она создаёт когерентное световое излучение в форме конуса, ось которого совпадает с направлением движения частицы. (Вспомните подобные волны, образуемые моторным катером, мчащимся по спокойной воде!) Это излучение называется черенковским. Пусть β – скорость движения частицы в материальной среде, а β' – скорость света в этой среде. Приняв эти обозначения, воспользуйтесь рис 62 и покажите, что половинный угол раствора конуса света φ даётся выражением
cos φ
=
β'
β
.
(63)
В качестве среды возьмите оргстекло люсит, в котором β'=²/₃ Чему должна быть равна та минимальная скорость заряженной частицы, при которой она ещё производит черенковское излучение, двигаясь в люсите? Чему равен максимальный угол ₃, под которым может происходить черенковское излучение в люсите? Измерение этого угла – хороший способ определения скорости частицы 3)
3) Подробности об экспериментальном применении черенковского излучения см. в гл. 7 сборника Techniques of High Energy Physics, ed. David M. Ritson, Interscience Publishers, New York, 1961.
Рис. 63. Черенковское излучение, генерируемое пучком электронов, движущихся в воздухе при энергии 700 Мэв.
Пучок электронов намного уже, чем круг черенковского излучения, видимый на экране. Пучок генерируется слева внизу линейным ускорителем электронов Станфордского университета и выходит в воздух из вакуумной камеры через тонкую алюминиевую фольгу. Сам пучок становится видимым, как это показано на фотографии, благодаря возбуждению и ионизации молекул газов, вызываемым им при прохождении в воздухе. Наряду с таким возбуждением молекул электроны дают черенковское излучение, сосредоточенное в узком конусе, направленном по их движению. Конус света, излучённый электронами в начале пучка (его левая часть), даёт на экране светлое кольцо, образующее внешнюю часть освещённого круга. Подлетая ближе к экрану, электроны продолжают генерировать черенковское излучение всё под тем же углом, так что кольцо становится всё уже, и в целом мы имеем систему налагающихся концентрических колец света. Эти кольца от всех электронов в пучке сливаются в один сплошной круг света. Черенковский угол φ для электронов в начале пучка (наиболее удалённых от экрана) равен половине угла, под которым виден этот освещённый круг из закрытого фольгой окошечка вакуумной камеры, откуда поступают электроны. Скорость β электронов с энергией 700 Мэв отличается от единицы (скорости света) менее чем на 1/1 000 000, как это видно из формул гл. 2. Поэтому мы можем с хорошей точностью положить β. Скорость света в воздухе β' можно вычислить из величины наблюдаемого коэффициента преломления света в воздухе: 𝑛=1/β'=1,00029. Тогда черенковский угол определяется из формулы cos φ = β'/β ≈ β' = 1/𝑛 = 1/1,00029 .
Для малых углов φ можно применить разложение cos φ ≈ 1-φ²/2 = (1+2,9⋅10⁻⁴)⁻¹ = 1-2,9⋅10⁻⁴ .
Отсюда получим теоретическое значение черенковского угла φтеор = 2,4⋅10⁻¹ рад.
Расстояние от окошечка в вакуумной камере до экрана приблизительно равно 12 м, а радиус светового круга составляет около 26,5 см, так что наблюдаемый черенковский угол равен φэксп = 26,5/1200 = 2,2⋅10⁻¹ рад
в хорошем согласии с предсказанием теории.
▼
47*. Искривление лучей света звёзд Солнцем
Оцените степень отклонения лучей света звёзд Солнцем, исходя из простейших соображений. Обсуждение. Рассмотрим сначала упрощённый пример. Кабина лифта ширины 𝐿 начинает свободно падать из состояния покоя вблизи поверхности Земли. В момент начала падения от одной стены кабины в горизонтальном направлении к другой стене направляется узкий луч света. Свободно падающая кабина лифта реализует инерциальную систему отсчёта. Следовательно, световой луч пересечёт кабину по линии, представляющей собой прямую относительно кабины. Но относительно Земли световой луч будет падать, так как падает кабина. Значит, световой луч должен падать в гравитационном поле. Другой пример: луч света от звезды, проходя по касательной мимо земной поверхности, должен подвергнуться гравитационному отклонению (независимо и в дополнение к явлению рефракции в атмосфере). Однако срок, за который луч пробегает мимо Земли, настолько краток, что это отклонение крайне незначительно и не могло быть до сих пор обнаружено в земных условиях. Но вблизи поверхности Солнца ускорение силы тяжести много больше, чем на Земле, и достигает 275 м/сек². К тому же свет тратит много больше времени при прохождении мимо Солнца ввиду его огромного диаметра – 1,4⋅10⁹ м. Исходя из этого диаметра и из величины скорости света, определите «эффективное время падения» луча. Пользуясь полученным временем падения, вычислите полную скорость по направлению к Солнцу, приобретённую лучом за весь период гравитационного взаимодействия. [Максимальное ускорение, действующее в течение этого «эффективного времени», даёт тот же суммарный эффект (проверьте это вычислениями!), что и реально действующее ускорение, переменное по абсолютной величине и по направлению в течение всего периода прохождения луча в гравитационном поле Солнца.] Сравнивая эту поперечную скорость с продольной для светового луча, определите угол его отклонения. Строгий расчёт в частной теории относительности приводит к тому же результату. Однако общая теория относительности, созданная Эйнштейном в 1915 г., предсказала не учитывавшийся прежде эффект, связанный с изменением длин в поле тяготения и приводящий к подобию (дополнительного) преломления света в этом поле, что удваивает величину предсказанного отклонения лучей. [Наблюдаемая величина отклонения: во время солнечного затмения 1947 г.– (9,8±1,3)⋅10⁻⁶ рад; 1952 г.– (8,2±0,5)⋅10⁻⁶ рад.] ▼
Ж. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
48. Геометрическое истолкование
Постройте геометрическое истолкование преобразования Лоренца по следующей схеме:
а) Покажите, что на лабораторной диаграмме пространства-времени мировая линия начала пространственной системы координат системы отсчёта ракеты изображается прямой 𝑡' на рис. 64. Это – геометрическое место всех событий, происходящих в начале пространственных координат системы отсчёта ракеты, т.е. это ось 𝑡' системы отсчёта ракеты. Покажите, что геометрическое место событий, происходящих в точке 𝑥'=1 м в системе отсчёта ракеты,– это прямая, параллельная оси 𝑡' на рис. 64; аналогичные заключения следуют о точках 𝑥'=2, 3, 4 и т.д. метров.
Рис. 64. Положение на диаграмме пространства-времени в лабораторной системе отсчёта оси времени системы отсчёта ракеты.
б) Покажите, что наклон оси 𝑡' по отношению к оси 𝑡 на рис. 64 определяется выражением
Число метров
пройденного пути
Число метров
прошедшего времени
=
β
𝑟
=
th θ
𝑟
.
Как меняется этот наклон β𝑟 в следующих двух случаях:
1) когда ракета движется очень медленно;
2) когда ракета летит со скоростью, очень близкой к скорости света?
в) Сделаем теперь решающий шаг! Как провести в диаграмме пространства-времени лабораторной системы отсчёта ось 𝑥' ракеты? Принцип относительности утверждает, что измеряемое значение скорости света должно быть одинаково в обеих системах отсчёта. На рис. 65 пунктиром проведена мировая линия вспышки света. Покажите, что на основании принципа относительности ось 𝑥' системы отсчёта ракеты должна подниматься вправо с тем же наклоном, с каким ось 𝑡' системы отсчёта ракеты отклоняется вправо же. Покажите, что геометрические места событий, происходящих в моменты времени 𝑡'=1, 2, 3 и т.д. метров в системе отсчёта ракеты, являются прямыми, лежащими параллельно оси 𝑥'.
Рис.65. Положение на диаграмме пространства-времени в лабораторной системе отсчёта пространственной оси системы отсчёта ракеты.
Рис. 66. Градуирование пространственной и временной осей системы отсчёта ракеты.
г) Проградуируйте оси координат системы отсчёта ракеты! Проведите гиперболу 𝑡²-𝑥²=1 (рис. 66). В той точке, где эта гипербола пересекает ось 𝑡 лабораторной системы отсчёта (где 𝑥=0), мы имеем момент времени 𝑡=1. Однако интервал 𝑡²-𝑥² инвариантен, так что при этом мы получим также (𝑡')²-(𝑥')²=1 Следовательно, в точке пересечения гиперболой оси 𝑡' системы отсчёта ракеты (где 𝑥'=0) мы имеем момент времени 𝑡'=1. Из соображений симметрии и ввиду линейности уравнений преобразования отрезок оси 𝑡' от точки 𝑡'=0 до точки 𝑡'=1 можно использовать в качестве единицы масштаба, откладываемого как вдоль оси 𝑡', так и вдоль оси 𝑥'. Тем самым схема построения завершена. Реализуйте её!
д) Покажите, что если два события одновременны в лабораторной системе отсчёта, они будут лежать на прямой, параллельной оси 𝑥 лабораторной системы на диаграмме пространства-времени (рис. 67). Покажите, что, если два события одновременны в системе отсчёта ракеты, они будут лежать на прямой, параллельной оси 𝑥 системы ракеты на диаграмме пространства-времени. Поэтому два наблюдателя не обязательно считают одновременными одни и те же пары событий. Это и есть относительная синхронизация часов.
Рис. 67. Эффект замедления хода времени.
е) Используя линии одновременности на рис. 67, покажите, что для наблюдателя в системе отсчёта ракеты часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, ещё не показывают 1 м времени, когда 𝑡'=1 м (т.е. лабораторные часы отстают). Вместе с тем для наблюдателя в лабораторной системе отсчёта часы, расположенные в начале лабораторной системы пространственных координат, уже показывают больше 1 м времени (т.е. отстают часы на ракете). Это и есть замедление хода времени.
Рис. 68. Метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе отсчёта, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из системы отсчёта ракеты.
ж) Пусть метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта, причём одним концом упирается в начало её пространственных координат (рис. 68). Если измерять его длину в лабораторной системе отсчёта, то мы получим результат типа 𝑎𝑏 на рис. 68. Измеряя его длину в системе отсчёта ракеты (т.е. регистрируя положения его концов «в один и тот же момент времени»), мы получим результат типа 𝑑𝑒 на том же рисунке. Покажите, что эти результаты измерений дают наблюдаемый эффект лоренцева сокращения в системе отсчёта ракеты. Переходя к рис. 69, покажите, что метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты и упирающийся одним концом в начало её пространственных координат, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.
Рис. 69. Метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, подвергается лоренцеву сокращению при наблюдении из лабораторной системы отсчёта.
з) Нарисуйте диаграммы пространства-времени, иллюстрирующие относительность одновременности, замедление хода времени и лоренцево сокращение длин для тех предельных случаев, когда скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта очень мала или очень велика.
