Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 12 (всего у книги 27 страниц)
2. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ
10. ВВЕДЕНИЕ. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ, ВЫРАЖЕННЫЕ В ЕДИНИЦАХ МАССЫ
Физика изучает материю, её движение и те силы, которые вызывают это движение. Как связаны между собой сила и движение? В этом кратком вступлении нет нужды заниматься систематизацией сил – электрических, магнитных и прочих. Напротив, стоящая перед нами задача является ещё более насущной. Как можно вообще узнать, действует ли какая бы то ни было сила на частицу? А если сила на неё действует, то чем в поведении мировой линии этой частицы характеризуется наличие силы? И наконец, как можно измерить величину такой силы по изменениям энергии и импульса частицы?
Изменение импульса одного объекта как признак его взаимодействия с другим объектом
Чтобы разобраться в сущности понятия «силы», попытайтесь представить себе, как можно было бы обойтись без него! Наиболее очевидное применение «силы» состоит в том, чтобы объяснить, почему частица ускоряет или замедляет своё движение. Пробная частица в отсутствие действующих на неё сил просто по определению не ускоряется и не замедляется. По отношению к инерциальной системе отсчёта она сохраняет своё состояние покоя или движения с постоянной скоростью. Она «прочерчивает» прямую мировую линию. На рис. 79 такая мировая линия изображена для частного случая частицы, движущейся в направлении оси 𝑥. Напротив, на рис. 80 дана мировая линия частицы, которая, очевидно, изменяет свою скорость и поэтому должна быть подвержена действию силы. Никто и никогда не наблюдал, чтобы изменение скорости происходило без определённой причины, и обычно это – столкновение с соседними частицами либо сила, обусловленная удалённой частицей. Поэтому силу можно охарактеризовать как форму взаимодействия (рис. 81). Эта мысль подкрепляется ещё более следующими двумя соображениями: 1) Если присутствие 𝐴 вызывает изменение скорости 𝐵, то присутствие 𝐵 также вызывает изменение скорости 𝐴. 2) Когда взаимодействие прекращается, а частицы удаляются друг от друга, происшедшее изменение импульса одной из них равно по модулю и противоположно по направлению изменению импульса другой. Поэтому вместо того, чтобы говорить о силах, действующих между частицами, мы можем говорить об изменении их импульсов. И уж явно усложнённым подходом был бы учёт сразу и импульса, и силы в рамках теории относительности. Поэтому мы будем говорить лишь об одном импульсе.
Рис. 79. Мировая линия частицы, на которую не действует никаких сил.
Рис. 80. Мировая линия частицы, на которую действует сила.
Рис. 81. Мировые линии двух взаимодействующих частиц.
Как следует определить импульс? Первые исследователи, развивавшие ньютоновскую механику, определяли импульс как произведение массы частицы на её скорость. Определённый таким образом импульс хорош тем, что сохраняется при соударениях частиц малой энергии. Однако опыт показал, что импульс, определённый по ньютоновскому рецепту как произведение массы на скорость, не сохраняется, когда сталкивающиеся частицы обладают большими скоростями. Итак, перед нами стоит выбор – отказаться либо от ньютоновского определения импульса, либо от закона сохранения этой величины. Закон сохранения импульса стал для нас настолько существенным, что мы примем за фундаментальный именно его. Мы будем исходить из закона сохранения импульса, а уж отсюда выводить выражение для импульса, определённого как векторная величина, сохраняющаяся во всех системах отсчёта.
Импульс определяется так, чтобы он сохранялся
Требование, чтобы импульс сохранялся во всех системах отсчёта, будет использовано в этой главе трижды, и всякий раз обращение к нему будет производить революцию в нашем понимании природы. В следующем параграфе это требование будет использовано при анализе в двух измерениях лобового упругого столкновения шаров, и в результате мы выведем релятивистское выражение для импульса частицы. В разд. 12 мы выведем релятивистское выражение для энергии частицы, исходя из требования сохранения при столкновении частиц в одномерном случае. В разд. 13 мы применим требование сохранения к случаю неупругого столкновения частиц для того, чтобы вывести закон эквивалентности энергии и массы покоя. Может возникнуть вопрос: как же закон сохранения импульса может представлять какую-либо ценность, если и импульс, и энергия определены именно так, чтобы они сохранялись? Этот вопрос приводит нас к самой сущности физических законов и физической теории 1). Чтобы на него ответить, рассмотрим объект, который, катаясь, подобно бильярдному шару, сталкивается с различными телами. Рассматривая первые столкновения, мы найдём (или определим) с помощью закона сохранения неизвестные импульсы отдельных объектов. Но при последующих столкновениях положение изменится. Ведь мы уже будем знать значения импульса участвующих в этих столкновениях тел! И теперь закон сохранения импульса будет выполняться уже не по определению, а в силу глубинных законов природы. Все физические законы и физические теории обладают именно этим глубоким и тонким свойством, а именно они одновременно и дают нам определение требующихся понятий, и позволяют нам сделать выводы, следующие из их использования. И наоборот, если у нас нет объектов, которыми занимается теория, для которых выводится закон или формулируется принцип, то само их отсутствие лишает нас возможности применять или даже формулировать физические понятия. Как безнадёжно устарел лозунг старой теории: «Не начинай исследования, не сформулировав понятий!». Истинно творческая сущность любого продвижения вперёд в человеческом познании состоит в том, что теория, понятие, закон и метод измерения, навеки неотъемлемые друг от друга, возникают в неразрывном единстве друг с другом.
1) См. Henri Poincaré, The Foundations of Science, translated by G. B. Halsted, Science Press, Lancaster, Pennsylvania, 1946, p. 310, 333.
Многочисленные примеры подтверждают, что законы сохранения – это не порочный круг утверждений
Таким образом, физика даёт способ установить гармонию в опытных фактах. Для того чтобы установить закон сохранения, недостаточно какого-то одного эксперимента. Их должно быть по меньшей мере два; в первом мы находим определение сохраняющейся величины, а второй проверяет, действительно ли эта величина сохраняется. В этой главе мы займёмся экспериментами первого типа, т.е. необходимыми для формулирования определений величин. Проверка же работы этих определений – процесс, протекающий ежедневно и ежечасно в ходе постоянного развития экспериментальной физики.
В механике Ньютона импульс частицы определяется как произведение массы на скорость. В гл. 1 мы измеряли скорость β в метрах расстояния, пройденного за метр светового времени. При таком определении скорости ньютоновское выражение для импульса имеет вид игр. Здесь не утверждается ничего нового об импульсе (и это не релятивистское выражение для импульса!), лишь подчёркивается, что время измеряется в метрах. Но когда время измеряется в метрах, импульс имеет размерность массы. Для того чтобы перейти к обычным единицам (например, кг⋅м/сек), требуется лишь домножить этот импульс на коэффициент перевода 𝑐 (скорость света), чтобы перейти от β к 𝑣, так что
⎛
⎜
⎝
Ньютоновский импульс
в обычных единицах
⎞
⎟
⎠
=
𝑚β𝑐
=
𝑚𝑣
.
Импульс и энергию удобнее всего выражать в единицах массы
Подобным же образом в ньютоновской механике кинетическая энергия частицы определяется как произведение массы на квадрат скорости, разделенное на два. Взяв скорость β, измеряемую в м/м, получим ньютоновское выражение для кинетической энергии в виде ½𝑚β². Здесь не утверждается ничего нового об энергии (и это не релятивистское выражение для энергии!), лишь подчеркивается, что время измеряется в метрах. Но когда время измеряется в метрах, энергия имеет размерность массы; и энергия, и импульс обладают одной и той же размерностью. Для того чтобы перейти к обычным единицам (например, джоулям), требуется лишь домножить эту энергию на коэффициент перевода 𝑐² (квадрат скорости света), чтобы перейти от β² к 𝑧, так что
⎛
⎜
⎜
⎝
Ньютоновская
кинетическая энергия
в обычных единицах
⎞
⎟
⎟
⎠
=
1
2
𝑚β²𝑐²
=
1
2
𝑚𝑣²
.
Мы будем обозначать импульс (𝑝) и кинетическую энергию (𝑇), выраженные в единицах массы, без дополнительных значков. Итак, в ньютоновском пределе малых скоростей
𝑝
=
𝑚β
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎛
⎜
⎝
малые скорости,
размерность массы
⎞
⎟.
⎠
𝑇
=
1
2
𝑚β²
(67)
При этом мы снабдим обозначения для импульса и энергии в обычных единицах индексом «обычн», подчёркнуто громоздким, чтобы вызвать неприязнь к использованию обычных единиц. Тогда в ньютоновском пределе малых скоростей
𝑝
обычн
=
𝑚𝑣
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎛
⎜
⎝
малые скорости,
обычные единицы
⎞
⎟.
⎠
𝑇
обычн
=
1
2
𝑚𝑣²
(68)
В этой главе мы выведем релятивистские выражения для энергии и импульса в единицах массы. Энергия и импульс, выраженные в единицах массы, могут быть просто переведены в величины обычной размерности путём умножения соответственно на 𝑐 и 𝑐². Эти результаты подытожены (в обеих системах единиц) на внутренней стороне обложки книги.
11. ИМПУЛЬС
Из соображений симметрии следует, что импульс параллелен скорости
Много ли можно узнать об импульсе, не обращаясь к эксперименту, а просто из сведений, которыми мы располагаем о структуре пространства-времени? В частности, если вообще существует для каждой частицы такая векторная величина, которую мы называем «импульс», причём сумма этих величин для всех частиц при взаимодействиях последних сохраняется, то как должен импульс любой частицы зависеть от её скорости? Так как импульс – величина векторная, нам следует прежде всего выяснить направление этого вектора для данной частицы и уже затем найти зависимость его модуля от её скорости. Начнём с обоснования того, что вектор импульса частицы ориентирован по направлению её движения. Этот вывод можно получить из соображений симметрии – мощного метода физического анализа – следующим образом. В инерциальной системе отсчёта пространство одинаково во всех направлениях, так что мы называем его изотропным. Раз это так, то одним-единственным направлением, связанным с движением прямолинейно летящей частицы, может быть лишь то направление, в котором происходит это движение. Если бы вектор импульса частицы не был направлен в точности по её движению, а составлял, скажем, угол 30° с направлением движения частицы, то существовало бы громадное множество векторов, все повёрнутые на 30° по отношению к направлению движения и совершенно равноправные, каждый из которых мог бы изображать импульс. Но ведь пространство изотропно! Поэтому мы не могли бы предпочесть ни одного из этих векторов остальным. Но, однако, мы предположили, что импульс определяется однозначно как по своему модулю, так и по направлению, если задана скорость. Значит, мы столкнулись с противоречием, от которого можно избавиться, лишь приняв, что вектор импульса должен лежать вдоль направления движения частицы. Но это значит, что можно выбрать его как параллельным, так и антипараллельным этому направлению, и мы произвольно выбираем направление вектора импульса, совпадающее с направлением скорости частицы 1). Итак, можно окончательно сказать, что вектор импульса частицы совпадает по направлению с её скоростью.
1) Мы могли бы, конечно, выбрать направление вектора импульса частицы противоположным (антипараллельным) направлению ее движения. Такой выбор соответствовал бы симметрии данной задачи и не приводил бы ни к каким физическим противоречиям, если его распространить на все частицы. В таком случае импульсы отдельных частиц и полный импульс системы обладали бы направлениями, противоположными направлениям соответствующих импульсов, определенных выше. Однако по традиции мы ориентируем вектор импульса частицы в том же направлении, какое имеет ее скорость.
Нахождение зависимости импульса от скорости на основании закона сохранения импульса
Итак, мы знаем уже, как направлен вектор импульса частицы. Вторым этапом исследования будет определение абсолютной величины (модуля) этого вектора. Это можно сделать, потребовав, чтобы полный импульс сохранялся при упругих столкновениях. Вместе со свойством инвариантности интервала в лоренцевой геометрии это требование окажется достаточным для того, чтобы показать, что ньютоновское выражение для импульса
𝑝
=
𝑚β
(=𝑚 th θ)
=
𝑚⋅
⎛
⎜
⎝
Смещение за
единицу времени
⎞
⎟
⎠
должно быть заменено релятивистской формулой
𝑝
=
𝑚 sh θ
=
𝑚β
√1-β²
=
=
𝑚⋅
⎛
⎜
⎝
Смещение за
единицу собственного времени
⎞
⎟
⎠
(69)
Если скорость β мала (т.е. мал параметр θ), точное релятивистское выражение (69) приближённо совпадает с ньютоновским выражением.
При соответствующем выборе системы отсчёта полный импульс до столкновения равен нулю
Рис. 82. Скользящее упругое столкновение, наблюдаемое в системе отсчёта, которая движется таким образом, что оба шара имеют до столкновения одинаковые скорости, но движутся во взаимно противоположных направлениях.
Рассуждения, приведённые в тексте, показывают, что после упругого столкновения оба шара движутся вновь с их первоначальными скоростями, а направления их движения снова взаимно противоположны, если их наблюдать в той же системе отсчёта.
Возьмём в качестве сталкивающихся объектов два одинаковых шара 𝐴 и 𝐵 и предположим, что между ними происходит не лобовое (редкое) столкновение, а скользящее (типичное). Всегда можно найти систему отсчёта, движущуюся с такой скоростью, что скорости шаров до столкновения равны и противоположны по направлению (рис. 82). В этой системе отсчёта полный импульс двух одинаковых шаров равен нулю.
Заключение о равенстве нулю полного импульса следует из таких соображений симметрии: допустим, что полный импульс в этой симметричной по скоростям системе отсчёта отличен от нуля. Тогда, как мы сейчас увидим, возникает противоречие. Если другие два шара начинают двигаться в точности так же, как 𝐴 и 𝐵 на рис. 82, причём они отличаются лишь тем, что на место шара 𝐴 помещён шар 𝐵, а на место 𝐵 – 𝐴, ситуация не может измениться. Поэтому полный импульс должен остаться тем же самым как по величине, так и по направлению, что и полный импульс системы на рис. 82 (мы не изобразили его там, потому что на самом деле он равен нулю!). Но ведь изображение нового столкновения можно получить, если рассматривать рис. 82, повернув книгу вверх ногами (поворот на 180° в её собственной плоскости). А это приводит к изменению направления полного импульса на обратное. Следовательно, полный вектор импульса не должен изменяться при повороте на 180°! Это противоречие исчезает, лишь если полный вектор импульса по модулю равен нулю. Итак, до столкновения две тождественные частицы обладают равными и противоположно направленными импульсами.
Что же произойдёт после столкновения? Шары должны и тогда двигаться во взаимно противоположных направлениях с равными скоростями. Если бы это было не так, то сумма их импульсов не была бы равна нулю и полный импульс не сохранялся бы при соударении в нарушение принятого требования. Ограничимся (лишь временно) анализом соударений, являющихся упругими по следующему определению. Если просматривать кинофильм, изображающий процесс столкновения, в обратном порядке, то в этом процессе не произойдёт никаких изменений, кроме того, что частица 𝐴 стала двигаться теперь справа налево, а частица 𝐵 – слева направо, тогда как раньше всё было наоборот, В этом смысле упругое соударение – это такое соударение, которое обратимо. Если изображённое на рис. 82 соударение является в этом смысле упругим, то каждый шар изменяет лишь направление своего движения, но не абсолютную величину скорости (не считая момента удара), и в результате эффект соударения сводится к простому повороту векторов скорости обеих частиц. В этой системе отсчёта можно выбрать направления осей 𝑥 и 𝑦 таким образом, что 𝑥-компоненты скоростей обеих частиц не изменятся при столкновении, тогда как их 𝑦-компоненты просто изменят знак.
Описание столкновения в трех разных системах отсчета
Рис. 83. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.
Нас интересует анализ 𝑦-компоненты полного импульса и сохранение этой компоненты при таком столкновении. Для этого проще всего рассмотреть столкновение в такой системе отсчета, где шар 𝐴 движется только в направлении оси 𝑦. Это система отсчета ракеты, летящей вправо по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной 𝑥-компоненте скорости шара 𝐴. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 83. Имеется также система отсчета, в которой шар 𝐵 движется только в направлении оси 𝑦. Это лабораторная система отсчета, движущаяся влево по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной 𝑥-компоненте скорости шара 𝐵. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 84.
Рис. 84. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в лабораторной системе отсчёта.
Мы стремимся узнать всё, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из данных ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью. Для этих целей анализ скользящего соударения подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью не только до соударения, но и после него (частица 𝐵 на рис. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле 𝑝=𝑚β как до, так и после соударения. Исходя из этого, легко определить изменение импульса медленной частицы (𝐵) в процессе соударения, что позволит нам найти изменение импульса и даже самый импульс быстрой частицы (𝐴). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретённый частицей 𝐵 импульс вдвое превышает величину её импульса до соударения, так что
1
2
⋅
⎛
⎜
⎝
Изменение
импульса 𝐵
⎞
⎟
⎠
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑𝑡
.
Импульс пропорционален величине перемещения частицы за единицу собственного времени
Частица 𝐴 передаёт часть импульса частице 𝐵, но не за счёт изменения абсолютной величины своего импульса, а за счёт изменения направления своего вектора импульса. Иными словами, переданный импульс составляет меньшую и известную нам сторону треугольника импульсов. Другие две (равные друг другу) стороны этого треугольника являются бóльшими и неизвестны нам. Однако мы знаем, чему равны как длинные, так и короткая стороны подобного треугольника – треугольника перемещений. Из пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников мы сразу же получаем (см. рис. 85) выражение для импульса быстро движущейся частицы 𝐴:
𝒑=𝑚
𝑑𝒓
𝑑τ
=𝑚
⎛
⎜
⎝
Перемещение за единицу
собственного времени
⎞
⎟
⎠
.
(70)
Компоненты этого вектора по отдельности 1) равны:
𝑝
𝑥
=
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
,
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
(71)
в лабораторной системе отсчёта.
1) Почему не 𝑝𝑥 а 𝑝𝑥? В четырёхмерной геометрии пространства-времени в отличие от эвклидовой геометрии пространства существенно расположение индекса (см. подробности относительно стандартных обозначений в примечании на стр. 157).
В системе отсчёта ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (71) с той лишь разницей, что в них фигурируют 𝑑𝑥', 𝑑𝑦' и 𝑑𝑧' – компоненты перемещения, измеренные в системе отсчёта ракеты. Интервал собственного времени 𝑑τ' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных измерений («инвариантность интервала»). Поэтому излишне различать 𝑑τ и 𝑑τ'. Кроме того, величина 𝑑𝑦' (в системе отсчёта ракеты) равна величине 𝑑𝑦 (в лабораторной системе отсчёта), а также 𝑑𝑧=𝑑𝑧' Следовательно, компоненты импульса
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
и
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
,
перпендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной системы отсчёта, не зависят от скорости этого движения.
Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧) путём умножения на величину 𝑚/Δτ, одинаковую во всех инерциальных системах отсчёта!
Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса
Из исследования импульса, проделанного на рис. 85, ясно, что величина 𝑚 – это масса в том смысле, в каком её понимают в ньютоновской механике. Поэтому 𝑚 есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Всё различие между релятивистской формулой для импульса (например, 𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑τ) и соответствующей ньютоновской формулой (𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑𝑡) сводится поэтому к различию между собственным и лабораторным временем, а не к различию в 𝑚 при этих двух описаниях природы. В некоторых прежних изложениях теории относительности ньютоновское выражение для импульса (𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑𝑡) исправлялось не путём простой замены 𝑑𝑡 на 𝑑τ, принятой сейчас, а путём введения «массы движения», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например:
𝑝
𝑥
⎛
⎜
⎝
релятивистская
величина
⎞
⎟
⎠
=
𝑚
движения
⋅
𝑑𝑥
𝑑τ
.
Эта масса движения должна тогда быть равна
𝑚
движения
=
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
=
𝑚
√1-β²
.
(72)
Такое обозначение ещё можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего использовать величины, одинаковые во всех системах отсчёта, такие, как 𝑚 и 𝑑τ. Этот факт сейчас получает всё более широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не зависящую от скорости величину 𝑚.
Рис. 85. Вывод релятивистского выражения для импульса из закона сохранения импульса в случае скользящего соударения.
Частица 𝐵 движется настолько медленно, что ньютоновское выражение для импульса представляет собой сколь угодно хорошее приближение для её импульса: (Импульс)=𝑚⋅Δ𝑦𝐵/Δ𝑡𝐵 Здесь Δ𝑡𝐵 – время, за которое частица 𝐵 пролетает расстояние Δ𝑦𝐵 от нижней границы рисунка до точки соударения. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно близко к собственному времени полёта Δτ𝐵 по той же причине, а именно потому, что скорость 𝐵 может быть выбрана сколь угодно малой. (Пример: при β=0,01 относительное различие величин Δτ и Δ𝑡 составляет 5⋅10⁻⁵). Поэтому импульс 𝐵 можно записать как 𝑚⋅Δ𝑦𝐵/Δτ𝐵. Зная величину импульса 𝐵, можно найти величину импульса 𝑝𝐴 частицы 𝐴, сравнивая изображённые здесь диаграммы для импульса и для перемещения 𝐴 (правило подобных треугольников). Для частицы 𝐴 𝑦-компонента перемещения может быть сделана равной 𝑦-компоненте перемещения частицы 𝐵 (симметричное расположение «пола» и «потолка», о которые ударяются соответственно 𝐴 и 𝐵): Δ𝑦𝐴=Δ𝑦𝐵=Δ𝑦. Промежуток собственного времени между моментами соударения и удара об пол (потолок) также один и тот же для 𝐴 и 𝐵: Δτ𝐴=Δτ𝐵.
Доказательство 1) Движение частицы 𝐴 в системе отсчёта ракеты совпадает с движением частицы 𝐵 в лабораторной системе отсчёта (ср. рис. 83 и 84). Поэтому собственные времена полёта равны одно другому: (Δτ𝐴)система ракеты = (Δτ𝐵)лабораторная система.
2) Но собственное время между двумя событиями (столкновение и удар) одинаково во всех системах отсчёта, т.е. (Δτ𝐴)лабораторная ракеты = (Δτ𝐴)система ракеты.
3) Следовательно, (Δτ𝐴)лабораторная ракеты = (Δτ𝐵)лабораторная система.
что и требовалось доказать. Конечно, лабораторные часы показывают совершенно разные продолжительности полётов частиц 𝐴 и 𝐵, если 𝐴 обладает скоростью, близкой к скорости света: (Δ𝑡𝐴)²лабораторная ракеты = = (Δτ𝐴)²лабораторная ракеты + (Δ𝑥𝐴)²лабораторная ракеты ≫ ≫ (Δτ𝐴)²лабораторная ракеты = = (Δτ𝐵)²лабораторная ракеты = (Δ𝑡𝐵)²лабораторная ракеты .
Поэтому импульс частицы 𝐴 в конце концов выражается непосредственно через величины, которые относятся лишь к движению 𝐴: 𝒑𝐴 = 𝑚
Δ𝒓𝐴
Δτ𝐴 .
Переходя от конечных разностей к производным и вспоминая, что импульс и перемещение обладают одним и тем же направлением, получим 𝒑 = 𝑚
𝑑𝒓
𝑑τ .
Это и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией.
Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей
Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса? Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы. Такие медленные частицы проходят путь, много меньший одного метра за один метр времени (𝑑𝑟/𝑑𝑡). Тогда собственное время √(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑟)²=√1-β²⋅𝑑𝑡 при любом перемещении медленной частицы очень мало отличается от координатного времени 𝑑𝑡:
𝑑τ
≈
𝑑𝑡
(для медленной частицы),
причём для β=0,01 это равенство справедливо с точностью до 5 : 100 000 и стремится к тождественному совпадению при β→0. При этом релятивистское выражение для импульса 𝒑=𝑚⋅𝑑𝒓/𝑑τ совпадает с ньютоновским выражением 𝒑=𝑚⋅𝑑𝒓/𝑑𝑡 величина 𝑚 одна и та же (инвариант 𝑚!).
В некоторых случаях удобнее выражать импульс через параметр скорости частицы θ, а иногда через её скорость β=th θ. Тогда
𝑝
=
𝑚
𝑑𝑟
𝑑τ
=
𝑚
𝑑𝑟
√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑟)²
=
=
𝑚⋅𝑑𝑟/𝑑𝑡
=
⎡
⎢
⎣
1
–
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
²
⎤
⎥
⎦
½
𝑑𝑡
=
𝑚β
√1-β²
=
𝑚 th θ
√1-th²θ
=
=
𝑚 th θ
=
⎧
⎪
⎩
ch²θ
-
sh²θ
⎫
⎪
⎭
½
ch²θ
ch²θ
𝑚 th θ ch θ
√ch²θ-sh²θ
=
𝑚 sh θ
,
так что
𝑝
=
𝑚 sh θ
=
𝑚β
√1-β²
⎛
⎜
⎜
⎝
релятивистский
импульс,
размерность массы
⎞
⎟
⎟
⎠
(73)
Другой вид имеет ньютоновское выражение для импульса:
𝑝
=
𝑚β
=
𝑚 th θ
⎛
⎜
⎜
⎝
ньютоновский
импульс,
размерность массы
⎞
⎟
⎟
⎠
(74)
Эти два выражения для импульса различаются множителем
𝑑𝑡
𝑑τ
=
ch θ
1
√1-β²
,
который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса 𝑝=𝑚β, где 𝑚 – постоянная, а β не может превышать единицы.
Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Однако процедура определения массы некоторой новой частицы, принявшей участие в процессе столкновения, в принципе одна и та же как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Её суть может быть выражена по-разному: 1) как принцип действия и противодействия; 2) как принцип, связывающий отдачу ружья с импульсом пули; 3) как закон сохранения импульса.
Определение массы неизвестной частицы по упругому столкновению её со стандартной частицей
Рис. 86. Скорости до и после лобового упругого столкновения, наблюдаемые в той системе отсчёта, где полный импульс равен нулю.
Рассмотрим специально лобовое упругое столкновение: 1) стандартной частицы массы 𝑚₁ (пусть величина этой массы произвольно устанавливается Международным комитетом мер и весов) и 2) исследуемой частицы, обладающей пока неизвестной массой 𝑚₂ величину которой нам нужно определить. Говоря, что столкновение является лобовым и упругим, мы имеем в виду существование такой системы отсчёта, в которой зарегистрированные до и после соударения данные о скоростях частиц обнаруживают симметрию, изображённую на рис. 86. Эта симметрия состоит в том, что полный импульс меняет свой знак на обратный в результате соударения. Но ведь полный импульс при соударении сохраняется! Значит, этот полный импульс должен быть равен нулю. Итак, импульсы наших двух частиц после столкновения должны удовлетворять условию
𝑚₁
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠₁
+
𝑚₂
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠₂
=
0.
Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:
𝑚₂
𝑚₁
=
(-𝑑𝑥/𝑑τ)₁
(𝑑𝑥/𝑑τ)₂
=
=
–Δ𝑥₁
√(Δ𝑡₁)²-(Δ𝑥₁)²
×
√(Δ𝑡₂)²-(Δ𝑥₂)²
Δ𝑥₂
.
(75)
Здесь Δ𝑥₁ и Δ𝑥₂ – расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а Δ𝑡₁ и Δ𝑡₂ – соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид
𝑚₂
𝑚₁
=-
β₂
β₁
=
–Δ𝑥₁/Δ𝑡₁
Δ𝑥₂/Δ𝑡₂
⎛
⎜
⎝
ньютоновский
предел
⎞
⎟
⎠
.
(76)
Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.
12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) 𝐴 в пространстве-времени в соседнюю мировую точку 𝐵. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий 𝐴 и 𝐵 1). Компоненты этого 4-вектора (смещения 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и 𝑑𝑡) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора 𝐴𝐵, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий 𝐴 и 𝐵, а значит, и положение 4-вектора 𝐴𝐵 в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.
1) В 1872 г. в своей лекции в ознаменование вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн провозгласил новую точку зрения на геометрию, что оказало решающее влияние на современную геометрию. Ключевой пункт его идеи состоял в проведении различия между геометриями разного рода, исходя из законов преобразования компонент величин. Например, можно с полной ясностью увидеть различие между эвклидовой геометрией и лоренцевой геометрией реального физического мира на основании используемого ныне определения вектора:
4-вектор определяется заданием в каждой инерциальной системе отсчёта четырёх чисел (различных в разных системах!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами отсчёта по формулам преобразования Лоренца (32).
