Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 27 страниц)

В каждом из колец «законсервированы» электроны с кинетической энергией 500 Мэв. Чему равна в лабораторной системе отсчёта полная величина энергии, которая может реализоваться во взаимодействии? Чему должна была бы быть равна кинетическая энергия электрона, налетающего на покоящийся электрон, из которой для взаимодействия можно было бы получить такую же энергию? (Когда пишутся эти строки, наибольшая энергия, которую может сообщить электрону одиночный ускоритель, равна 6 Бэв). Какой кинетической энергией должны обладать протоны, «консервируемые» в накопительных кольцах, чтобы они дали эквивалент полезной энергии протона 1000 Бэв, налетающего на покоящийся протон? (Когда пишутся эти строки, наибольшая энергия, которую может сообщить протону одиночный ускоритель, равна 35 Бэв). ¹)

¹) Новейший ускоритель протонов в Серпухове под Москвой даёт протоны с энергией 76 Бэв.– Прим. перев.

▼

Е. АТОМНАЯ ФИЗИКА

101*. Де Бройль и Бор

Покажите, что результаты упражнения 72 приводят к соотношению 𝑝=ℎ/λ𝑐 для импульса фотона, выраженного в единицах массы. Рассмотрите следующий интуитивный довод (основанный на удивительном выводе де Бройля ²), который был неполным, но исторически важным, так как привёл к весьма плодотворным исследованиям, а в конце концов – и к окончательному выводу и последующему развитию квантовой механики). Предположим, что длина волны λ=ℎ/𝑝𝑐 может ассоциироваться и с частицей ненулевой массы покоя, например с электроном. Пусть этот электрон движется по круговой орбите вокруг неподвижного ядра. Для того чтобы волна, описывающая электрон, была везде однозначной, необходимо потребовать равенства длины орбиты 2π𝑟 некоторому целому числу 𝑛 длин волн λ, умещающихся на протяжении этой орбиты. Покажите, что отсюда следует соотношение

²) Louis de Broglie, Comptes Rendus (Paris), 177, 507 (1923).

𝑟𝑝

_обычн

=

𝑛ℎ

2π

=

𝑚ℏ

(

𝑛=1, 2, 3,

)

,

(125)

где 𝑝_обычн – величина импульса электрона в обычных единицах. Какая величина момента импульса электрона, находящегося на такой орбите, следует из соотношения (125)? В пределе малых скоростей ньютоновская механика говорит, что радиус орбиты даётся соотношением

𝑟

=

(4πε₀)𝑛²ℎ²

4π²𝑍𝑒²𝑚

(126а)

(𝑒 в кулонах, 4πε₀=1,113⋅10⁻¹⁰ (кулон⋅сек)²/кг⋅м³; ℎ, 𝑚 и 𝑝 в системе СИ – кг, м, сек), или

𝑟

=

𝑛²ℏ²

𝑍𝑒²𝑚

(126б)

(𝑒 в CGSE; ℏ, 𝑚 и 𝑟 в системе CGS – г, см, сек), где 𝑍 – атомный номер ядра (число протонов в нем), 𝑚 – масса и 𝑒 – заряд электрона. Это формула радиуса орбит атома Бора. Покажите, что скорость электрона на орбите равна (в приближении малых скоростей)

β

=

α𝑍

𝑛

,

(127)

где

α

=

𝑒²

=

1

(4πε₀)

ℎ

⋅

𝑐

137

2π

– безразмерная постоянная, называемая постоянной тонкой структуры. [Эта формула верна, когда 𝑒 выражается в кулонах, 4πε₀=1,113⋅10⁻¹⁰ (кулон⋅сек)²/кг⋅м³, ℎ и 𝑐 – в кг, м, сек. Если её выразить в системе г, см, сек, причём 𝑒 взять в единицах CGSE, то α=𝑒²/ℏ𝑐=1/137). Полученное выражение для β использовалось в упражнении 41. ▼

102*. Ви'дение посредством электронов

Из общих принципов физической оптики следует невозможность получить изображение таких деталей объекта, которые меньше длины волны света, с помощью которого получают это изображение. Предположим, что это утверждение верно и в применении к волнам вещества, обсуждавшимся в предыдущем упражнении. Через какую разность потенциалов должны быть пропущены (ускорены) электроны, чтобы с их помощью было можно получить изображение бактерии (размером около 1 мк, т.е. 10⁻⁶ м) в электронном микроскопе? Какой энергией (в Мэв) должны обладать электроны, чтобы с их помощью можно было исследовать структуру протонов и нейтронов (диаметр которых равен около 1 ферми, т.е. 10⁻¹⁵ м)? ▼

103**. Прецессия Томаса

Рис. 126. Ньютоновская механика утверждает, что при обороте электрона вокруг ядра ориентация его спина не изменится.

Представьте себе электрон как отрицательно заряженный шарик, вращающийся вокруг своей оси, подобно гироскопу. Эта грубая классическая модель не соответствует действительности, но приемлема для некоторых целей, например для следующей. Ньютоновская механика предсказывает, что электрон в атоме должен вращаться по некоторой орбите вокруг ядра и сохранять при этом неизменным направление оси своего вращения относительно инерциальных систем отсчёта точно так же, как это происходит с гироскопом, перемещаемым по окружности.

Рис. 127. Теория относительности предсказывает прецессию оси вращения электрона на угол, обозначенный здесь через Δφ, за один оборот вокруг ядра.

Однако, как открыл в 1927 г. Л. X. Томас ¹), теория относительности удивительным образом утверждает, что если электрон вращается вокруг ядра, вектор его спина направлен по-разному после каждого оборота. Такая прецессия, названная прецессией Томаса, приводит к наблюдаемому эффекту в спектральных линиях излучения некоторых атомов. Объяснение этой прецессии связано с эффектом наклонного метрового стержня (упражнение 52) и основывается на относительности одновременности. Проанализируйте эффект прецессии Томаса для электрона по следующей схеме (или другим способом).

¹) L. H. Thomas, Philosophical Magazine, (7) 3, 1 (1927).

Рис. 128. Правильный многоугольник как приближённое описание ньютоновской круговой орбиты электрона в атоме.

Что заставляет ось вращения электрона принимать новое направление после того, как электрон опишет полный круг? Двигаясь по окружности, электрон испытывает ускорение, направленное к её центру. Но, к сожалению, частная теория относительности неспособна описывать действие ускорения на ориентацию векторов. Поэтому мы поступим так, как это часто делается в физике: если данная проблема не поддаётся непосредственному решению, следует найти более простую, но аналогичную ей задачу, решить которую мы сумеем! В данном случае приближённо представим круговой путь классического электрона как правильный многоугольник с 𝑛 сторонами. Для того чтобы совершить один полный оборот по орбите, электрон должен пройти теперь по ряду прямолинейных отрезков, испытав между ними 𝑛 резких изменений направления движения, каждый раз на угол α=2π/𝑛. План штурма задачи: исследовать, как изменится направление спина электрона при прохождении одного из таких углов [пункты от (а) до (в)]; затем устремить число сторон 𝑛 к бесконечности так, чтобы угол α, на который всякий раз меняется направление движения электрона, стремился к нулю, пока не получится в качестве предельного случая классическая круговая орбита [пункты от (г) до (д)].

Рис. 129. Частный случай изменения ориентации оси вращения электрона при изменении направления его движения.

а) На рис. 129 электрон изображён до (𝐴) и после (𝐵) того, как он изменил направление своего движения на угол α. Жирная черта, пересекающая в каждом случае электрон,– проекция направления спина на плоскость орбиты (плоскость 𝑥𝑦). На рисунке представлен тот частный случай, когда эта проекция была направлена вдоль оси 𝑥 до изменения электроном его направления движения. Когда же произошло это изменение направления движения электрона как целого, ориентация спина должна была также измениться на некоторый малый угол 𝑑φ, и это изменение нельзя понять в рамках механики Ньютона! Чем оно вызвано? Его причиной является относительность одновременности.

Рис. 130. Заменим одиночный электрон, огибающий угол, двумя электронами, 𝐴 и 𝐵, движущимися по пересекающим прямым путям. Потребуем, чтобы ориентация спина у 𝐴 и у 𝐵 была одинаковой в системе отсчёта, где 𝐴 покоится.

Огибая угол, электрон испытывает сильное и резкое ускорение. К счастью, мы можем анализировать по отдельности шарики 𝐴 и 𝐵, движущиеся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, образующих в лабораторной системе отсчёта угол α, как это изображено на рис. 130. Ни один из этих шариков пусть не ускоряется, но в момент их встречи наблюдатели, движущиеся вместе с ними, могут зарегистрировать одинаковое направление осей вращения шариков 𝐴 и 𝐵. Рисунок в системе отсчёта ракеты изображает относительную ориентацию спинов в той системе отсчёта, где шарик 𝐴 покоится. Именно в этой системе отсчёта ракеты наблюдатель на 𝐴 производит сравнение ориентаций векторов спина. (Вопрос: какой наблюдатель проводит сравнение – 𝐴 или 𝐵? В том случае, когда угол α весьма мал, наблюдатель 𝐴 и наблюдатель 𝐵 будут почти покоиться друг относительно друга, так что в пределе всё равно, кто из них производит сравнение!) Так как мы заменяем одиночный шарик, огибающий угол, двумя шариками 𝐴 и 𝐵, мы требуем, чтобы в системе отсчёта ракеты проекции спина для 𝐴 и для 𝐵 были взаимно параллельны. Главное здесь в том, что хотя эти проекции и параллельны в системе отсчёта ракеты, они не параллельны в лабораторной системе отсчёта. В результате направление вектора спина электрона изменяется, когда электрон огибает угол, при наблюдении в лабораторной системе отсчёта.

Рис. 131. Исследование ориентации оси вращения шарика 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты; схема начерчена для того, чтобы получить ответы на вопросы: где и когда точка 𝑄 пересекает ось 𝑥? Где вследствие этого расположена точка 𝑄 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта?

На рис. 131 в крупном масштабе изображён шарик 𝐵. Обозначим, согласно этой схеме, концы проекции спиновой оси через 𝑃 и 𝑄. Выберем начала координат в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты так, чтобы в момент 𝑡=𝑡'=0 эти начала совпадали с точкой 𝑃. Тогда в системе отсчёта ракеты точка 𝑄 пересечёт ось 𝑥 в этот же момент 𝑡'=𝑡_𝑄'=0. Но в лабораторной системе отсчёта это будет не так! На рис. 131 показан электрон 𝐵 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта. Пусть 𝑥_𝑄 и 𝑡_𝑄 будут соответственно другой точкой и более поздним моментом времени в лабораторной системе отсчёта, при которых точка 𝑄 пересекает ось 𝑥. Пользуясь формулами преобразования Лоренца и полагая 𝑡_𝑄=0, покажите, что

𝑥

_𝑄

=

𝑥

_𝑄

'

ch θ

_𝑟

,

𝑡

_𝑄

=

𝑡

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

.

(128)

Вопрос: где находилась точка 𝑄 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта? К моменту 𝑡_𝑄 точка 𝑄 прошла расстояние β_𝑟 𝑡_𝑄, как это показано на рисунке. Покажите, исходя из него, что за это время координаты 𝑥 и 𝑦 точки 𝑄 изменились на величины

Δ

𝑥

=

β

_𝑟

 𝑡

_𝑄

cos α

=

β

_𝑟

 𝑥

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

cos α

,

Δ

𝑦

=

β

_𝑟

 𝑡

_𝑄

sin α

=

β

_𝑟

 𝑥

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

sin α

,

(129)

где на последнем этапе были использованы соотношения (128). Это значит, что в момент 𝑡=0 лабораторной системы отсчёта точка 𝑃 была (по определению) в начале координат, а точка 𝑄 имела координаты 𝑥_𝑄-Δ𝑥 и -Δ𝑦. Поэтому угол наклона 𝑑φ отрезка 𝑃𝑄 к горизонтали, найденный в лабораторной системе отсчёта в момент 𝑡=0, т.е. изменение ориентации вектора спина после того, как электрон обогнул угол, даётся выражением

tg 𝑑φ

=

–Δ𝑦

𝑥_𝑄-Δ𝑥

.

(130)

Подставляя сюда 𝑥_𝑄, Δ𝑥 и Δ𝑦 из соотношений (128) и (129) и производя упрощения, найдём

tg 𝑑φ

=

–β_𝑟²sin α

1-β_𝑟²cos α

.

В атоме β_𝑟≤𝑍/137 (см. упражнение 101), так что при малых 𝑍 β_𝑟≪1. Поэтому

tg 𝑑φ

≈

𝑑φ

≈

–β

_𝑟

²sin α

.

Это и есть тот угол, на который спиновая ось электрона поворачивается при огибании электроном угла α в том частном случае, когда проекция этой оси на плоскость орбиты электрона направлена первоначально вдоль его движения.

Рис. 132. Частный случай, когда электрон не изменяет ориентации своей оси при изменении направления движения.

б) Возьмём другой частный случай, на этот раз когда проекция оси вращения параллельна оси 𝑥 (𝑥𝑦 – плоскость орбиты). Покажите, что теперь наблюдатели в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты будут согласны между собой в том, что точки 𝑃 и 𝑄 пересекают ось 𝑦 одновременно. Поэтому в данном случае при огибании электроном угла в лабораторной системе отсчёта будет отсутствовать поворот оси вращения электрона.

Рис. 133. Общий случай изменения ориентации оси вращения электрона, когда последний меняет направление своего движения.

в) В процессе движения электрона по орбите проекция его оси вращения на плоскость 𝑥𝑦 (рис. 127) будет иногда параллельна направлению его движения (случай (а)), а иногда – перпендикулярна этому направлению (случай (б)). В общем случае она будет составлять некоторый угол φ с направлением движения электрона, меняющийся на 𝑑φ, когда электрон огибает угол. Чему может быть равна величина этого изменения, 𝑑φ? При φ=0 [случай (а)] 𝑑φ=-β_𝑟²sin α; при φ=90° [случай (б)] 𝑑φ=0. В общем случае изменение должно лежать между нулём и -β_𝑟²sin α. Исходя из рис. 133, проведём следующие рассуждения, чтобы показать, что при малых α и β_𝑟² искомое изменение равно -β_𝑟²sin α cos²φ. Дополним первоначальную линию 𝑃𝑄 её горизонтальной и вертикальной составляющими 𝑃𝑅 и 𝑄𝑅. Из пунктов (а) и (б) мы знаем, что вертикальный отрезок 𝑄𝑅 не подвергнется повороту, когда электрон обогнёт угол, тогда как горизонтальный отрезок 𝑃𝑅 повернётся по часовой стрелке на угол β_𝑟²sin α. Покажите, что при малых углах α это приводит к неизменности 𝑥-компоненты 𝑃𝑄 и уменьшению 𝑦-компоненты на величину (𝐿 cos φ)⋅(β_𝑟²sin α). Поэтому тангенс нового угла φ+𝑑φ равен

tg(φ+𝑑φ)

≈

𝐿 sin φ-(𝐿 cos φ)(β_𝑟²sin α)

𝐿 cos φ

=

=

tg φ

–

β

_𝑟

²sin α

.

(131)

Требуется найти tg 𝑑φ≈𝑑φ; согласно табл. 8,

tg 𝑑φ

=

tg[(φ+𝑑φ)-φ]

=

tg(φ+𝑑φ)-tg φ

1+tg(φ+𝑑φ)⋅tg φ

.

Используя равенство (131), получим

tg 𝑑φ

=

tg φ-β_𝑟²sin α-tg φ

1+(tg φ-β_𝑟²sin α) tg φ

=

=

–β_𝑟²sin α

1+tg²φ-β_𝑟²sin α tg φ

.

При очень малых α можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма

1+tg²φ

=

1+

sin²φ

cos²φ

=

cos²φ+sin²φ

cos²φ

=

1

cos²φ

,

так что

tg 𝑑φ

≈

𝑑φ

=-

β

_𝑟

²sin α

cos²φ

.

(132)

Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на α, в общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом φ к направлению движения электрона.

г) Из уравнения (132) видно, на какой угол 𝑑φ поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на α, один раз огибая угол. Чему будет тогда равен полный угол прецессии Δφ при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128). В замкнутой орбите содержится 𝑛 поворотов, каждый из которых происходит на угол α=2π/𝑛. При больших 𝑛 (малых α) sin α≈α так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет

Δ

φ

≈-

β

_𝑟

²(𝑛α)

〈cos²φ〉

_ср

≈-

β

_𝑟

²

〈cos²φ〉

_ср

.

Чему равен множитель 〈cos²φ〉_ср? Предположим, что полный угол прецессии Δφ за один оборот является малым (скорость β_𝑟 мала!). Тогда при обходе электроном его орбиты угол φ между переменным направлением движения и проекцией оси вращения на плоскость орбиты пробежит все значения от 0 до 2π. Покажите, что в этом случае

〈cos²φ〉

_ср

=

1

2π

2π

∫

0

cos²φ

𝑑φ

=

1

2

.

Поэтому полный угол прецессии спина электрона за один полный оборот по орбите равен

Δ

φ

=-

πβ

_𝑟

²

(угол прецессии за один оборот).

(133)

д) Электрон, двигающийся со скоростью β=β_𝑟, за один полный оборот по орбите прецессирует на угол Δφ=-πβ_𝑟²=-πβ². Покажите, что электрону требуется совершить 2π/Δφ=2/β² оборотов вокруг ядра, чтобы прецессия возвратила его в прежнее положение (прецессия на 2π рад). Примем теперь боровскую частоту обращения электрона вокруг ядра за ν_𝐵 Покажите, что частота прецессии Томаса ν_𝑇 (частота прецессии спина электрона) выражается через боровскую частоту как

ν_𝑇

ν_𝐵

≈

1

2

β²

 (частота прецессии Томаса).

(134)

Мы знаем из упражнения 101, что скорость движения электрона на орбите в элементарной теории Бора равна

β

=

α𝑍

𝑛

=

𝑍

137𝑛

.

Здесь 𝑍 – число элементарных зарядов в ядре, а 𝑛 – номер энергетического уровня электрона, причём низший (основной) уровень соответствует 𝑛=1. Отсюда следует, что частота прецессии Томаса для электрона в атоме определяется выражением

ν_𝑇

ν_𝐵

≈

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑇

137𝑛

⎞²

⎟

⎠

 (частота прецессии Томаса).

(135)

(Замечание. В некоторых атомах имеет место дополнительная прецессия спина электрона, обусловленная моментом силы, возникающим при взаимодействии магнитного момента электрона с магнитным полем ядра. Для электрона находящегося на внутренней орбите атома водорода, такая магнитная прецессия имеет обратное направление и вдвое превышает по абсолютной величине прецессию Томаса. Поэтому полный эффект состоит в прецессии с вдвое меньшей частотой по сравнению с тем, что предсказывает один лишь учёт магнитного взаимодействия без анализа эффектов частной теории относительности).

Ж. МЕЖЗВЁЗДНЫЕ ПОЛЁТЫ

104*. Трудности межзвёздных полётов ¹)

¹) См. Edward Purcell, in Interstellar Communication, ed. A.G.W. Cameron, Benjamin, New York, 1963. [Русский перевод: Межзвёздная связь, изд-во «Мир», М., 1966.]

Игнорируя полностью все технические затруднения, рассмотрим лишь те трудности полётов в межзвёздные просторы, которые вызываются самой теорией относительности. Пусть имеется (в 1989 г.?) ракетный двигатель, обладающий ничтожной массой. В нем можно регулировать соединение материи и антиматерии, поступающей из баков, причём возникают одни лишь фотоны, и двигатель направляет всё это излучение в нужную сторону. Этот двигатель ускоряет космический корабль, величина массы всех конструкций которого, включая защиту, ничтожно мала. Условия контракта таковы: нужно ускорить полезный груз до скорости, при которой коэффициент замедления времени равен 10, произвести торможение для посещения планет около далёкой звезды (предполагается, что она покоится относительно нашего Солнца), а затем вернуться на Землю с такой же скоростью. Полезный груз, включая пассажиров, который требуется доставить по замкнутому маршруту, равен 100 т (100⋅10³ кг).

а) Воспользуйтесь результатами упражнения 58 для определения полной массы топлива, необходимого для путешествия по замкнутому маршруту. (Но не учетверённой величины массы того топлива, которое необходимо для единичного акта ускорения ракеты из состояния покоя до её максимальной скорости!)

б) Чему равно расстояние (в световых годах) до самой далёкой звезды, которой можно достигнуть за время жизни астронавта (предполагаемая продолжительность жизни человека в 1989 г. 100 лет)? (Для простоты пренебрегите временем работы двигателей ракеты по сравнению со значительно более длительным сроком полёта с постоянной скоростью). Какой (приблизительно) промежуток времени пройдёт на Земле в течение этого полёта?

в) Приняв плотность межзвёздной среды равной одному атому водорода на кубический сантиметр, укажите, чему равна кинетическая энергия этих атомов (в Бэв) в системе отсчёта ракеты, движущейся с максимальной скоростью? Сколько таких частиц будет попадать на 1 м лобовой поверхности ракеты в секунду и насколько велико это число по сравнению с мощностью пучка протонов высокой энергии от ускорителя (около 10¹² протонов в секунду, каждый с энергией порядка 10 Бэв)? Для защиты работников от чрезмерного облучения на таком ускорителе устанавливают щит из железобетона толщиной 3—4 м. Оцените теперь возможности межзвёздных космических путешествий! ▼

3. ФИЗИКА ИСКРИВЛЁННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

Только исторический подход освобождает дух от засилья прошлого; он поддерживает его самостоятельность и стремится лишь внести ясность.

Бенедетто Кроче

Для того чтобы понять нынешнее значение физики пространства-времени, едва ли не лучше всего вспомнить, как она выковывалась тружениками науки в прошлом. Рассказ о том, как она продвигалась вперёд, постоянно проводя разведку боем, никак нельзя полностью вместить в несколько десятков страниц; но вместе с тем нельзя и обойти несколько великих имён и поворотных пунктов, предопределивших её развитие. Приступая к рассказу о её истории, мы надеемся разобраться – по крайней мере в общих чертах – во взаимоотношении физики локальных лоренцевых систем отсчёта и физики в более обширных областях пространства-времени, таких, как околоземное космическое пространство или солнечная система в целом.

Изменение духа физики при расширении пространственно-временных масштабов.

Галилей и Ньютон считали, что движение можно адекватно описать в жёсткой эвклидовой системе отсчёта, распространённой на всё пространство и сохраняющейся неизменной во все времена. Такая система остаётся вне изменений, происходящих с веществом и с энергией. В этом идеальном пространстве Галилея и Ньютона действует таинственная сила тяготения, контрабандой занесённая из мира физики, чуждое влияние, не описываемое геометрией. Напротив, Эйнштейн утверждает, что нет никакого таинственного тяготения – налицо лишь структура самого пространства-времени.

Эйнштейн против Ньютона – множество инерциальных систем отсчёта, каждая из которых локальна, против единой глобальной системы

Он говорит: сядьте в космический корабль, и вы убедитесь, что там нет тяжести. Локально физика лишена тяготения (разд. 2 гл. 1). Все свободные частицы движутся прямолинейно с постоянными скоростями, и в инерциальной системе отсчёта физика проста. Однако такие системы инерциальны лишь в ограниченной области пространства-времени, и этот факт мы подчёркивали, постоянно называя инерциальные системы отсчёта локальными. Трудности возникают, когда мы описываем связь между направлением движения частицы, наблюдаемым из двух соседних локальных систем отсчёта. Согласно Эйнштейну, все различия в направлениях в данной системе и соседней локальной системе отсчёта характеризуются «кривизной пространства-времени». Факт существования этой кривизны делает невозможным описание движения в единой идеальной эвклидовой системе отсчёта, охватывающей пространство. Геометрия проста лишь в областях, достаточно малых для того, чтобы они казались плоскими. Короче говоря, Эйнштейн пользуется множеством локальных областей, в каждой из которых геометрия лоренцева («частная теория относительности»), и законы тяготения проистекают от неидеального соответствия между одной локальной областью и соседней с ней (гравитация как кривизна пространства-времени —«общая теория относительности»). У Ньютона была единая глобальная система отсчёта, но в этой системе нет ни одного спутника, на котором отсутствовала бы тяжесть, и ни одна частица не может двигаться там прямолинейно и равномерно.

Как развивались воззрения Галилея, Ньютона и Эйнштейна? И в чём, собственно, смысл странного выражения «кривизна пространства-времени»?

Общеизвестно глубочайшее противоречие между результатами опытов Галилея по свободному падению и утверждением Аристотеля о том, что «нисходящее движение масс золота, или свинца, или любых иных весомых тел происходит тем быстрее, чем больше их вес». За несколько лет до опытов Галилея Молетти в Падуе утверждал, что свинцовые и деревянные грузы падают одинаково быстро, но этого утверждения было недостаточно, чтобы опровергнуть взгляд Аристотеля. Для окончательного доказательства потребовалось вмешательство Галилея. Неясно, бросал ли Галилей свинцовые и деревянные грузы с «Падающей башни» в Пизе, но он определённо провёл более убедительные эксперименты с потенциально более высокой степенью точности, чем опыт с «Падающей башни» ¹).

¹) Подробности см. в книге Галлилео Галлилея «Диалоги о двух науках», впервые опубликованной в марте 1638 г. [Русский перевод: Галлилей, Диалоги о двух новых науках, ОНТИ, М., 1937.]

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ

Пиза, 14 февраля 1564 г. – Арчетри, близ Флоренции, 8 января 1642 г.

«Мой портрет уже закончен, сходство очень хорошее, рука отличного мастера». 22 сентября 1635 г.

* * *

«Если кто-либо и когда-либо мог претендовать на то, чтобы быть выделенным из числа других людей за свой разум, так это Птоломей и Коперник, заслуга которых в том, что они дальше всех заглянули в Систему Мира и наиболее глубоко её исследовали».

* * *

«Дорогой мой Кеплер, что мы сделаем со всем с этим? Будем ли смеяться или плакать?»

* * *

«Когда же я перестану удивляться?»

Кто, вступая на путь первооткрывателя закона ускоренного падения, мог обойти исследование полёта снаряда? Изучая этот полёт и стремясь описать его простейшим образом, Галилей должен был прийти к мысли о сложении движений – движения по вертикали с постоянным направленным вниз ускорением и горизонтального движения с постоянной скоростью (равномерного переноса). Отсюда оставался всего лишь шаг до принципа относительности в первой из его известных формулировок. Вот что говорят действующие лица в книге Галилея ²):

²) Книга Галилео Галилея «Диалоги о двух главнейших системах мира – птоломеевой и коперниканской» впервые опубликована в феврале 1632 г. [Русский перевод: Галилей, Диалоги о двух главнейших системах мира, Гостехиздат, М., 1947.] Сочинения Галилея, как и сочинения Данте, по своей силе и насыщенности – сокровища человеческой мысли, и учащиеся средних школ Италии изучают их как часть великого литературного наследия.

Галилей: первая из известных формулировок принципа относительности

Сальвиати, Запритесь с кем-нибудь из друзей в кают-компании под палубой большого корабля, взяв с собой мух, бабочек и других небольших летающих животных. Возьмите и большой сосуд с водой, в котором плавают рыбы. Подвесьте бутыль, из которой капля по капле вытекает вода в широкий сосуд внизу. Пока ваше судно стоит на месте, внимательно наблюдайте, как насекомые летают по помещению с одинаковыми скоростями во все стороны. Рыбы плавают как угодно, не предпочитая какого-либо особого направления. Капли падают в сосуд под бутылью. Если же вы бросите что-нибудь вашему другу, то вы приложите одинаковое усилие, в каком бы направлении ни бросали, если расстояния одинаковы. Прыгая обеими ногами сразу, вы будете пролетать одинаковые расстояния в любом направлении. Тщательно пронаблюдав всё это (хотя вы и не сомневались, что всё будет происходить именно так, пока корабль стоит на месте), отдайте команду, чтобы корабль начал двигаться с любой скоростью, лишь бы его движение было равномерным и не подвергалось каким бы то ни было возмущениям. Ни в одном из указанных процессов вы не обнаружите ни малейшего изменения и не сможете ни по одному из них узнать, движется ли ваш корабль или стоит на месте. Прыгая, вы будете пролетать над полом те же расстояния, что раньше, и ваши прыжки в сторону кормы не окажутся длиннее прыжков в сторону носа корабля несмотря на то, что, пока вы находились в воздухе, пол под вами двигался в направлении, противоположном вашему. Для того чтобы перебросить какой-нибудь предмет вашему другу, вам не понадобится затратить большее усилие, если ваш друг стоит ближе к носу корабля, а не к корме, когда вы расположились против него. Капли будут продолжать падать в стоящий внизу сосуд, не отклоняясь к корме, хотя, пока они летят в воздухе, судно успевает передвинуться на несколько пядей. Рыбы будут плавать в воде в своём сосуде с одинаковой лёгкостью во все стороны и в равной мере хватать приманку, в какой бы угол сосуда мы её ни поместили. Наконец, бабочки и мухи будут совершать полёты равно во всех направлениях, и вы никогда не обнаружите, что они скопились у кормы, как бы устав поспевать за ходом корабля, от которого они были отделены, находясь длительное время в воздухе...

Сагредо. Хотя мне и не приходилось в моих странствиях проводить таких наблюдений, я убеждён, что всё будет происходить именно так, как вы описали. Для меня служит подтверждением то, что я, помнится, сидя в своей каюте, часто не мог понять, идёт наш корабль или стоит на месте; случалось, я думал, что он идёт в одну сторону, тогда как мы двигались в противоположную...

Принцип относительности Галилея в этой первоначальной формулировке хотя и прост, но не настолько, насколько мог бы быть. В чём состоит его простота? Физические процессы выглядят одинаково в равномерно движущемся корабле и в корабле, стоящем на месте. Равномерное относительное движение кораблей не сказывается на законах движения, описываемых в каждом из них. В каждом корабле мы видим, что изолированное тело совершает равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и подвержено равноускоренному движению в вертикальном направлении. Ядро, падающее вертикально вниз на одном корабле, при наблюдении с другого корабля описывает параболическую кривую; ядро, падающее вертикально вниз на этом втором корабле, также описывает параболическую кривую, если его наблюдать с первого корабля. Простота принципа относительности Галилея кроется во взаимной эквивалентности двух находящихся на Земле систем отсчёта и в симметрии между ними. В каком же смысле эта простота не так велика, как она могла бы быть?

Распространение рассуждений Галилея с обычного корабля на космический

Системы отсчёта в определении Галилея ещё не являются инерциальными. Чтобы получить последние, требуется лишь небольшая замена понятий – переход от морского корабля к космическому. Тогда совершенно одинаковыми становятся все направления – вверх и вниз, на восток и на запад, на север и на юг. Тело, не подвергающееся воздействию сил, не испытывает ускорения,, и его движение будет равномерным как с точки зрения одного космического» корабля, так и другого. Сегодня под галилеевым принципом относительности понимают именно это тождество выражений закона свободного движения во всех инерциальных системах отсчёта.

Как бы Галилей ни изощрял свою фантазию, он не мог в 1632 г. предложить своим читателям поместиться в космическом корабле.

Рис. 134. Майор Эдвард Уайт не испытывает никакого ускорения относительно космического корабля, в котором находится майор Джеймс Макдивитт, кроме тех моментов, когда он выбрасывает струю кислорода из двигателя, находящегося в его правой руке. В 100 милях внизу видна Калифорния. Полёт космического корабля «Джемини 3»– 7 июня 1965 г.

И всё же он смог бы описать ту большую простоту физических явлений, которая проявляется при наблюдении с таких преимущественных позиций. Бутыли, капли воды и все прочие пробные объекты сохраняют состояние покоя или движения с постоянной скоростью. Отсутствие ускорения всех соседних объектов относительно космического корабля было бы понятно Галилеям всех эпох. Кто выразил яснее, чем Галилей, совпадение величины ускорения всех соседних объектов относительно Земли? И разве смог бы удивить Галилея тот факт, что астронавт может парить рядом со своим космическим кораблём (рис. 134)?

Исследования последнего времени придали новый драматизм галилеевскому принципу универсальности свободного падения, не изменив самого принципа. Ролл, Кротков и Дикке ¹) доказали равенство величины ускорения для алюминия и золота с относительной точностью 10⁻¹¹.

¹) P. G. Rоll, R. Кrоtkоv, R. H. Diсke, Annals of Physics, 26, 442 (1964).

«Наделённый сознанием» космический корабль. Что управляет его сознанием?