Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 16 (всего у книги 27 страниц)
57. Границы ньютоновской механики
а) Один электронвольт (1 эв) равен тому изменению, которое претерпевает кинетическая энергия частицы, несущей единичный элементарный заряд, когда она проходит через разность потенциалов 1 в. 1 эв =1,60⋅10⁻¹⁹ дж. Чему равны энергии покоя электрона и протона (их массы указаны в конце книги), выраженные в миллионах электронвольт (Мэв)?
б) Кинетическая энергия частицы, движущейся с данной скоростью β, даётся выражением ½ 𝑚β² неточно. Относительная ошибка,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Релятивистское
выражение для
кинетической
энергии
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Ньютоновское
выражение для
кинетической
энергии
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎝
Ньютоновское выражение
для кинетической энергии
⎞
⎟
⎠
равна 1 % при достижении ньютоновской кинетической энергией величины, составляющей определённую часть энергии покоя. Чему равна эта часть? [Можно ограничиться приблизительным ответом, полученным из анализа следующего члена разложения по формуле бинома (или в степенной ряд) точной формулы для энергии как функции скорости β, либо из других чётко сформулированных рассуждений.] Назовём этот случай (когда ошибка составляет 1 %) совершенно произвольно «границей ньютоновской механики». При какой кинетической энергии достигает этой границы протон (выразите энергию в Мэв)? При какой – электрон? ▼
58*. Релятивистская ракета
Какие ограничения накладывает теория относительности на лётные качества и скорость ракеты? Будем схематически представлять действие двигателя как последовательные выбросы одинаковых шариков, имеющих одну и ту же массу покоя 𝑚. Каждый выброс тогда можно рассматривать как «неупругое столкновение наоборот». Пусть каждый выброс осуществляется на ракете одним и тем же способом. Тогда разумно предположить, что скорость удаления одинакова для любого шарика, если её рассматривать в инерциальной системе отсчёта, в которой ракета покоится (она изображена на рис. 98 в «лабораторной системе отсчёта», связанной с ракетой до выброса). Назовём эту скорость удаления шарика скоростью выброса βвыбр.
Рис. 98. Исследование движения релятивистской ракеты.
а) Используя обозначения рис. 98, запишите уравнения сохранения импульса и сохранения энергии. Не забудьте учесть начальную энергию покоя 𝑀₁ но не считайте, что масса покоя сохраняется – ведь речь идёт о «неупругом столкновении наоборот»! Исключите из этих уравнений 𝑚 и найдите таким образом приращение 𝑑θ,
𝑑θ
=
β
выбр
⎛
⎜
⎝
𝑀₁-𝑀₂
𝑀₂
⎞
⎟
⎠
,
где βвыбр – скорость выброса относительно первоначальной системы ракеты. Так как 𝑀₂-𝑀₁=𝑑𝑀 – изменение массы ракеты, то
𝑑θ
=-
β
выбр
𝑑𝑀
𝑀
,
где 𝑀 – масса ракеты в любой данный момент времени. Если мы рассмотрим теперь новую систему отсчёта («систему ракеты»), в которой ракета покоится, выброс следующей порции массы со скоростью βвыбр в этой системе приведёт к дальнейшему изменению параметра скорости на 𝑑θ. Однако, согласно уравнению (25), новое значение параметра скорости ракеты в первоначальной системе отсчёта равно просто сумме всех изменений параметра скорости (сами скорости не аддитивны, но параметры скорости аддитивны). К тому же массы покоя (и изменения массы покоя) инвариантны, одинаковы во всех системах отсчёта. Поэтому окончательное значение параметра скорости в первоначальной системе отсчёта может быть получено путём суммирования (интегрирования) приращений параметра скорости:
θ
∫
0
𝑑θ
=-
β
выбр
𝑀
∫
𝑀₁
𝑑𝑀
𝑀
.
Интеграл справа равен натуральному логарифму, так что
θ
=
β
выбр
⋅ln
𝑀₁
𝑀
(релятивистская ракета),
(108)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Величина параметра
скорости, достигнутая
после сжигания
любой данной
массы горючего
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Скорость
выброса
продуктов
сгорания
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⋅ln
⎛
⎜
⎜
⎝
Начальная
масса покоя
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Конечная
масса покоя
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎠
Это и есть уравнение движения релятивистской ракеты.
б) Нерелятивистской называется такая ракета, которая движется со скоростью, много меньшей скорости света. Покажите, что приведённое выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения нерелятивистской ракеты:
𝑣
=
𝑣
выбр
⋅ln
𝑀₁
𝑀
(нерелятивистская ракета),
(109)
в) Покажите, исходя из основных законов сохранения, что масса покоя в случае релятивистской ракеты не сохраняется. Куда же она девается? Покажите, что масса покоя (приближённо) сохраняется в предельном случае нерелятивистской ракеты.
г) Покажите, что скорость релятивистской ракеты может приближаться сколь угодно близко к скорости света, но не превосходить её.
д) Рассмотрите частный случай, когда скорость выброса очень велика. Покажите, что при βвыбр, стремящейся к скорости света (т.е. при очень больших θвыбр), необходимая для достижения данного значения параметра скорости ракеты выбрасываемая масса покоя стремится к нулю. Из этого следует что использование света для создания тяги ракеты соответствует полному переводу массы покоя топлива в энергию излучения; уравнение движения тогда принимает вид
θ
=
ln
𝑀₁
𝑀
⎛
⎜
⎝
для ракеты с
фотонными двигателями
⎞
⎟
⎠
(110)
е) Иногда высказывают следующее обобщающее заключение: «Наиболее экономична ракета с фотонной тягой». Покажите, что это утверждение и верно, и ошибочно одновременно. Обсуждение. Найдите «коэффициент полезного действия» для двигателей, тягу которых создают световые вспышки. Насколько экономично продолжать ускорять «шлак» (использованные элементы) вместе с полезным грузом? Существует ли хоть один тип взаимодействия элементарных частиц, при котором вообще не остаётся «шлака» и образуется лишь свет (т.е. гамма-лучи)? См. стр. 162 и упражнение 97.
ж) Чему равно наименьшее отношение масс (отношение начальной массы к конечной, когда горючее исчерпано) для идеальной ракеты, в которой масса полностью превращается в свет, при котором ракета ускоряется из состояния покоя до такой скорости, при которой течение времени замедляется в десять раз? Чему равно это отношение масс в случае наибольшей скорости выброса, достижимой в ракетах с химическими двигателями (около 4000 м/сек)? Замечание. В технической литературе часто говорится об «удельном импульсе» (обозначаемом через 𝐼) ракетного горючего; например, 𝐼=260 сек для керосина с жидким кислородом и 350 сек для жидкого водорода с жидким кислородом. Умножьте эти величины на 9,8 м/сек², чтобы перейти к физическим единицам (скорости выброса в м/сек или к импульсу в кг⋅м/сек, сообщаемому ракете каждым килограммом отработавшего топлива). Последний способ выражения через импульс в противоположность использованию единиц времени применим и на Луне, где 𝑔≈(1/6)*9,8 м/сек², и на Земле, где 𝑔=9,8 м/сек². ▼
59*. Парадокс центра масс
Пусть в системе отсчёта ракеты вдоль оси 𝑥 в состоянии покоя закреплена длинная труба. С двух противоположных концов в неё одновременно и с одинаковой скоростью (с точки зрения системы отсчёта ракеты) выстреливаются два одинаковых пушечных ядра. Эти ядра упруго сталкиваются в середине трубы и разлетаются вновь к её концам. До того как ядра достигают этих концов, их наглухо закрывают, и в дальнейшем ядра всё время движутся взад и вперёд в трубе без трения.
Рис. 99. Пушечные ядра, летящие навстречу друг другу.
а) Опишите движение центра масс этих двух ядер в системе отсчёта ракеты.
б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчёта. При этом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности?
в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра? ▼
60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара 𝐴 в верхнюю стенку проходит интервал времени Δ𝑡'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен Δ𝑡. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, Δ𝑡' и Δ𝑡. Найдите связь между значениями 𝑦-компоненты скорости шара 𝐴 в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за β скорость шара 𝐴 в системе отсчёта ракеты, покажите, что 𝑦-компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта β𝐴𝑦,лаб определяется выражением
β
𝐴
𝑦
,
лаб
=
β
ch θ𝑟
.
Рис. 100. Компоненты скорости шаров 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта до столкновения.
б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара 𝐴 до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара 𝐴 до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар 𝐵 в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле 𝑚β. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара 𝐴 в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара 𝐵. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:
⎛
⎜
⎜
⎝
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме импульса
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎝
Горизонтальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Вертикальный
пунктирный отрезок
на диаграмме скорости
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта.
Покажите, что отсюда следует выражение
𝑝
𝑥
=
𝑚 sh θ
𝑟
для 𝑥-компоненты импульса быстро движущегося шара 𝐴.
в) В пределе малых 𝑦-компонент скоростей величина 𝑝 𝑥 становится равной полному импульсу 𝑝 шара 𝐴, а параметр относительной скорости θ𝑟 становится равным параметру θ шара 𝐴. Отсюда следует выражение для релятивистского импульса частицы
𝑝
=
𝑚 sh θ
.
▼
61*. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
Рис. 102. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в ньютоновской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по ньютоновскому закону сложения скоростей.
а) Сохранение ньютоновского импульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (𝑚₁ и 𝑚₂). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2. Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчёта из ньютоновского закона сохранения импульса следует уравнение
𝑚₁β₁
+
𝑚₂β₂
=
𝑚₁
β
₁
+
𝑚₂
β
₂
,
в котором величина β₁ отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений движения. Чёрточки над буквами означают, что соответствующие величины взяты после соударения. Рассмотрим теперь этот же процесс в системе отсчёта ракеты. При малой относительной скорости движения ракеты β𝑟 скорость каждой частицы в системе отсчёта ракеты находится путём простого вычитания β𝑟 из скорости этой частицы в лабораторной системе отсчёта. Примените ньютоновский закон сохранения импульса к столкновению с точки зрения системы отсчёта ракеты. Покажите, что если ньютоновский импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта, он будет автоматически сохраняться и в системе отсчёта ракеты, движущейся с малой скоростью относительно лабораторной системы отсчёта.
Рис. 103. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в релятивистской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по релятивистскому закону сложения параметров скорости.
б) Из сохранения релятивистского импульса следует сохранение релятивистской энергии. Рассмотрим теперь то же столкновение с релятивистской точки зрения. Покажите, что закон сохранения релятивистского импульса в лабораторной системе отсчёта выражается уравнением
𝑚₁ sh θ₁
+
𝑚₂ sh θ₂
=
𝑚₁ sh
θ
₁
+
𝑚₂ sh
θ
₂
.
(111)
При этом массы обеих частиц остаются неизменными, так как столкновение является упругим. В случае указанных на рис. 103 направлений движения величина θ₁ отрицательна. В релятивистской механике скорости частиц в системе отсчёта ракеты могут быть найдены путём вычитания параметра относительной скорости θ𝑟 из параметра скорости этих частиц в лабораторной системе отсчёта (см. стр. 69). Примените закон сохранения импульса к этому столкновению, рассматриваемому в системе отсчёта ракеты. Используйте данные табл. 8 (стр. 77—78) для того, чтобы преобразовать все гиперболические синусы, зависящие от разностей параметров скорости. В полученном уравнении перегруппируйте члены, объединяя те из них, которые содержат ch θ𝑟 или sh θ𝑟:
(Скобка № 1)
⋅
ch θ
𝑟
–
(Скобка № 2)
⋅
sh θ
𝑟
=
0.
(112)
Величины, стоящие в скобках, уже не зависят от параметра относительной скорости θ𝑟. Если теперь потребовать, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта любой ракеты, то полученное уравнение должно выполняться при всех значениях параметра относительной скорости θ𝑟. Мы можем взять систему ракеты с любым значением параметра скорости – от нуля (когда ch θ𝑟=1 и sh θ𝑟=0) и до бесконечности (когда ch θ𝑟 равняется sh θ𝑟). Но полученное уравнение может выполняться при всех значениях θ𝑟 в указанных пределах, лишь если каждая из скобок по отдельности равна нулю. Покажите, что скобка № 1 равняется нулю, если импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта. Покажите, что скобка № 2 равняется нулю, если
𝑚₁ ch θ₁
+
𝑚₂ ch θ₂
=
𝑚₁ ch
θ
₁
+
𝑚₂ ch
θ
₂
.
(113)
Уравнение (112) выражает закон сохранения импульса в системе отсчёта ракеты. Очевидно, что импульс сохраняется в системах отсчёта всех возможных ракет тогда и только тогда, когда в лабораторной системе одновременно выполняются уравнения (111) и (113). Уравнение (111) выражает закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта. Какой же закон сохранения выражает уравнение (113)? Выясните смысл величины 𝑚 ch θ и назовите новый закон сохранения.
в) Останется ли справедливым приведённый вывод, если обозначить массы покоя частиц после столкновения через 𝑚₁ и 𝑚₂ и допустить, что они отличны от масс покоя частиц до столкновения? Будет ли оставаться верным закон сохранения релятивистской энергии и в этом случае? Сохраняется ли при таких столкновениях релятивистская кинетическая энергия? ▼
Б. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНЕРГИИ И МАССЫ ПОКОЯ
62. Задачи на пересчёт
а) Сколько массы излучает 100-ваттная электрическая лампочка (в форме теплоты и света) в течение года?
б) В Соединённых Штатах в год вырабатывается около 10¹² квт⋅час электроэнергии. Чему равен массовый эквивалент этой энергии? В самом ли деле это количество массы превращается в энергию в процессе генерирования электроэнергии? Может быть, превращается меньшее или большее количество массы? Мотивируйте свой ответ.
в) Когда студент изо всех сил крутит педали велосипеда, он производит ½ лошадиной силы полезной мощности (1 л.с. = 746 вт). Коэффициент полезного действия человеческого организма составляет около 25%; это значит, что 75% пищи сгорает, превращаясь в теплоту, и лишь 25% пищи при сгорании переводится в полезную работу. Сколько времени должен ехать студент на велосипеде, чтобы потерять 1 кг массы за счёт её превращения в энергию? Почему же для уменьшения веса полезна физкультура?
г) На квадратный метр поверхности, перпендикулярной направлению солнечных лучей, вблизи Земли, но вне её атмосферы, от Солнца приходит около 1,4 квт световой энергии. (Эти 1,4 квт/м² носят название солнечной постоянной). Какое количество массы излучает Солнце в форме света в одну секунду? Сколько массы с Солнца поступает в форме света на Землю в год?
д) Два товарных поезда, каждый массой 10⁶ кг, движутся друг другу навстречу по одному и тому же пути с одинаковыми скоростями 45 м/сек (примерно 160 км/час). При столкновении они останавливаются. Масса покоя поездов в сумме с массами покоя рельсов и насыпи сразу же после столкновения возрастает; сколько микрограмм составляет это возрастание? Пренебрегите потерями энергии в форме звука и света. ▼
63. Релятивистская химия
При соединении 1 кг водорода 8 кг кислорода выделяется около 10⁸ дж энергии. Очень хорошие химические весы могут обнаружить относительное изменение массы, равное 10⁻⁷. Во сколько раз такая чувствительность больше (или меньше) необходимой для обнаружения относительного изменения массы в данной реакции? ▼
64**. Релятивистский осциллятор
Рис. 104. Электрон в качестве колеблющегося груза в релятивистском осцилляторе.
Для того чтобы проверить законы теории относительности, некий инженер решил построить осциллятор с очень лёгким колеблющимся грузом, способным очень быстро двигаться взад и вперёд. Самым лёгким из известных грузов с ненулевой массой покоя является электрон. Инженер взял кубический ящик из металла, каждое ребро которого равно 1 м, и слегка его подогрел, чтобы из стенок «испарилось» небольшое число электронов (рис. 104). Поперёк ящика в середине его помещена электрически изолированная от стенок металлическая сетка, к которой от генератора подведено высокое положительное напряжение. Ручку регулятора напряжения можно поворачивать, чтобы менять постоянную разность потенциалов 𝑉₀ между стенками ящика и сеткой.
Вакуумный насос выкачивает воздух из ящика, чтобы электроны могли свободно двигаться внутри него, не сталкиваясь с молекулами воздуха. Пусть испарившийся с внутренней части стенки ящика электрон первоначально обладает весьма малой скоростью (примем эту начальную скорость равной нулю). Положительно заряженная сетка притягивает этот электрон; он ускоряется в её направлении, проходит сквозь отверстие в ней, замедляется по мере удаления от неё, так как его тормозит притяжение сетки, на мгновение останавливается и снова летит к сетке. В результате он колеблется взад и вперёд между стенками ящика.
а) Насколько малым может быть сделан период колебаний электрона 𝑇 (время одного замкнутого колебательного движения туда и обратно между стенками)? Конструировавший эту установку инженер утверждает, что при соответствующем повороте ручки регулятора напряжения можно получить по желанию сколь угодно высокую частоту колебаний ν=1/𝑇 Прав ли он?
б) Когда напряжение достаточно мало, электрон остаётся нерелятивистским, и его движение можно описывать законами ньютоновской механики. Во сколько раз при этом увеличивается частота колебаний электрона при удвоении напряжения на сетке? (Обсуждение. Во сколько раз различается до и после удвоения напряжения ньютоновская кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории? Во сколько раз изменяется при этом его скорость?)
в) Как выглядит окончательная формула для частоты ν как функции напряжения в нерелятивистском случае?
г) Чему равна частота в крайнем улътрарелятивистском случае, когда электрон бо'льшую часть своего времени движется... (конец фразы не будем договаривать!)... ?
д) Начертите на одном и том же графике две зависимости частоты ν от напряжения на сетке 𝑉₀: 1) нерелятивистскую кривую из пункта (в), проведённую жирно там, где ей можно пользоваться с уверенностью, и пунктиром в других местах; 2) ультрарелятивистское значение из пункта (г). По этому графику количественно определите, при каком напряжении поведение электрона переходит из нерелятивистского в релятивистское. По возможности дайте простое объяснение того, как ваши выводы учитывают порядок величины (т.е. отбрасывают множители типа 2, π и т.д.). ▼
65**. Импульс без массы?
Рис. 105. Перенос массы, не сопровождаемый переносом частиц или излучения.
На рис. 105 изображён миниатюрный мотор, установленный на платформе и питаемый от аккумулятора, поставленного на него. С помощью ремённой передачи мотор приводит во вращение колёсико с лопатками, «гребущее» по воде. Устройство с гребным колёсиком смонтировано на той же платформе, что и мотор. Мощность мотора равна 𝑑𝐸/𝑑𝑡.
а) Какое количество массы переносится в секунду с одного конца платформы на другой от мотора к гребному колесу?
б) Масса переносится на расстояние 𝑥 со скоростью, найденной вами в пункте (а). Какой импульс связан с этим переносом массы? Так как этот импульс мал, применимы ньютоновские представления об импульсе.
в) Пусть платформа первоначально покоится и стоит на горизонтальной поверхности стола на колёсах, лишённых трения. Платформа начнёт двигаться! В каком направлении? Что произойдёт с этим движением, когда истощится заряд аккумулятора? Насколько продвинется платформа за это время?
г) Покажите, что наблюдатель на платформе наблюдал бы перенос энергии лишь ремённой передачей; наблюдатель на столе наблюдал бы перенос энергии отчасти ремённой передачей, а отчасти самой платформой; наблюдатель же, движущийся по ремённой передаче в одну сторону, наблюдал бы перенос энергии отчасти ремённой передачей (отрезком ремня, движущимся в сторону, противоположную ему), а отчасти платформой. Очевидно, что не всегда можно сделать заключение, удовлетворяющее всех наблюдателей, о путях, по которым энергия передаётся с одного места на другое, или о скорости, с которой эта энергия переносится! ▼
В. ФОТОНЫ
66. Частицы нулевой массы покоя
На чём основывается вывод важного соотношения 𝐸²-𝑝²=𝑚²? Получите из него соотношение между энергией и импульсом, справедливое для случая нулевой массы покоя (фотоны, гравитоны, нейтрино). Что можно заключить из этого соотношения относительно наклона мировой линии такой частицы (а следовательно, о её скорости)? Как зависят ваши результаты от равенства sh θ и ch θ друг другу в случае больших θ, если их рассматривать как предельный случай? Существует ли для частиц с нулевой массой покоя «сопутствующая система отсчёта» («система покоя»)? ▼
67. Эйнштейновский вывод принципа эквивалентности энергии и массы покоя – подробный пример
Рис. 106. Перенос массы излучением.
Задача. Исходя из того, что свет переносит энергию и оказывает давление на тела, показать, что его энергия эквивалентна массе, и тем самым, обобщая, доказать, что всякая энергия эквивалентна массе. Комментарий. Эквивалентность энергии и массы является настолько фундаментальным следствием теории, что Эйнштейн, получив это следствие собственно из теории относительности, сразу же продолжил свои рассуждения и нашёл альтернативный подход, приводящий к тому же выводу, но опирающийся на элементарную физику 1). Он рассмотрел первоначально покоившийся закрытый ящик массы 𝑀 (рис. 106). Из его левой стенки вправо излучается направленный сгусток электромагнитной энергии, проходящий через весь ящик длины 𝐿 и поглощающийся в противоположном его конце. Это излучение переносит энергию 𝐸. Но оно несёт также импульс – это видно из следующих соображений. Излучение оказывает давление на левую стенку ящика, когда оно покидает её. В результате ящик испытывает толчок влево и приобретает импульс -𝑝. Но ведь импульс системы в целом первоначально был равен нулю, значит излучение несёт импульс 𝑝 противоположный импульсу, полученному ящиком. Как воспользоваться этими данными о переносе энергии и импульса излучением для нахождения массового эквивалента этого излучения? Эйнштейн получил ответ, исходя из того, что центр масс системы не двигался до того, как начался процесс переноса, и поэтому не мог начать двигаться во время его протекания. Но очевидно, что масса ящика передвинулась влево. Значит, излучение должно перемещать массу вправо. Это были общие идеи, которыми руководствовался Эйнштейн, детали же состояли в следующем.
1) A. Einstein, Annalen der Physik, 20, 627 (1906).
Из теории относительности Эйнштейн знал, что импульс 𝑝 направленного пучка излучения равен его энергии 𝐸 (как 𝑝 так и 𝐸 измеряются в единицах массы; см. разд. 10). Однако, чтобы освободить рассуждения от всякого прямого использования принципа относительности, он получил соотношение 𝑝=𝐸 из следующих элементарных соображений. Давление, оказываемое на идеальный излучатель или поглотитель со стороны пучка, равно плотности энергии в этом пучке. Это известно как из теории электромагнитного излучения Максвелла, так и из непосредственных измерений давления, оказываемого светом на подвешенное в вакууме зеркальце. Такие измерения были впервые успешно произведены Е. Ф. Николсом и Дж. Ф. Халлом около 1901—1903 гг. 1). В настоящее время эти эксперименты были настолько упрощены, а их чувствительность так повышена, что они могут производиться в учебной лаборатории 2).
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Плотность энергии
излучениях
в единицах энергии,
содержащаяся
в единице объёма
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Давление, оказываемое
направленным
излучением на
идеальный излучатель
или поглотитель в
единицах силы на
единицу площади
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
1) П.Н. Лебедев произвёл прецизионные опыты по измерению давления света в 19000 г. (см. П.Н. Лебедев, Избранные сочинения, М.– Л., 1949). – Прим. перев.
2) См. R. Pollock, American Journal of Physics, 31, 901 (1963). Метод Поллока измерения давления света состоит в использовании явления резонанса для усиления слабых эффектов, так что их величина достигает легко поддающихся измерению значений. Поллок разработал этот эксперимент в сотрудничестве с той же самой группой первокурсников, с которой авторы этой книги имели удовольствие выработать это изложение теории относительности. Авторы особенно признательны Марку Вассерману, члену этой группы, сделавшему ряд полезных замечаний по поводу некоторых дальнейших схем.
Взяв этот вывод, умножим обе стороны равенства на величину площади 𝐴 излучающей стенки и длину 𝑙 сгустка радиации (которая должна быть по крайней мере короче длины 𝐿 ящика). Заметим, что 𝑙 равняется времени действия давления излучения, умноженному на скорость света. Поэтому наш множитель имеет вид
⎛
⎜
⎜
⎝
Объём,
занятый сгустком
энергии излучения
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
Площадь излучающей
поверхности
⎞
⎟
⎠
×
×
⎛
⎜
⎜
⎝
Время действия
давления
на поверхность
⎞
⎟
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎝
Скорость
света
⎞
⎟
⎠
.
Перемножая соответственные стороны двух последних равенств, найдём
⎛
⎜
⎜
⎝
Энергия,
переносимая
излучением
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎝
Сила, действующая
со стороны
излучения на стенку
⎞
⎟
⎟
⎠
×
×
⎛
⎜
⎝
Время действия
силы
⎞
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎝
Скорость
света
⎞
⎟
⎠
=
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Импульс, переданный
излучением стенке, т.е.
величина импульса,
переносимого самим
излучением
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
×
⎛
⎜
⎝
Скорость
света
⎞
⎟
⎠
.
То же самое в единицах массы:
𝐸
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Энергия
направленного
сгустка
излучения
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Импульс
направленного
сгустка
излучения
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
𝑝
.
(114)
Итак, излучение переносит импульс и энергию вправо, тогда как ящик переносит импульс и массу влево. Но центр масс этой системы (ящик + излучение) не может двигаться. Значит, излучение должно переносить вправо не только энергию, но и массу. Чему равна эта масса? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала зададимся другими вопросами:
а) Чему равна скорость ящика в то время, когда в нем распространяется излучение?
б) Когда излучение поглощается в противоположном конце ящика, вся система снова приходит в состояние покоя. На какое расстояние сдвинется ящик за время распространения излучения?
в) Потребуем теперь, чтобы центр масс системы сохранял положение одно и то же как до, так и после распространения излучения. Чему на основании этих соображений равен массовый эквивалент энергии, перенесённой из одного конца ящика в другой?
Ответы. а) В период, пока излучение распространяется, импульс ящика должен быть равен по абсолютной величине и противоположен по направлению импульсу 𝑝 излучения. Ящик движется с очень малой скоростью β, так что для нахождения его импульса достаточно применить ньютоновскую формулу 𝑀β:
𝑀β
=-
𝑝
=-
𝐸
.
Отсюда находим величину скорости ящика:
β
=-
𝐸
𝑀
.
б) Время распространения фотона практически равно 𝑡=𝐿 метрам светового времени. За этот срок ящик проходит расстояние
Δ
𝑥
=
β𝑡
=-
𝐸𝐿
𝑀
.
в) Если бы излучение не несло с собой массы и ящик был единственным объектом, наделённым массой, то этот сдвиг Δ𝑥 представлял бы собой полное перемещение центра масс системы влево. Но Эйнштейн утверждал, что если центр масс изолированной системы первоначально покоился, то он не может прийти в движение или изменить своё положение. Поэтому, заключил Эйнштейн, должно произойти уравновешивающее смещение части масс системы. Этот перенос массы вправо можно понять лишь как новое свойство самого излучения. Значит, в то время, как ящик двигался влево, излучение должно было перенести вправо некоторую массу 𝑚, величина которой пока неизвестна, но такова, что обеспечивает неподвижность центра масс системы в целом. Длина пути переноса равна полной длине ящика 𝐿 минус то расстояние Δ𝑥, на которое ящик сдвинулся за это время влево. Однако величина Δ𝑥 меньше, чем 𝐿, в пропорции 𝐸/𝑀. Это отношение может быть сделано сколь угодно малым при любой данной величине перенесённой энергии излучения 𝐸, если взять ящик достаточно большой массы 𝑀. Поэтому мы имеем право принять пройденное излучением расстояние равным самой величине 𝐿. Итак, со сколь угодно высокой степенью точности условие неподвижности центра масс можно записать в виде
𝑀
Δ
𝑥
+
𝑚𝐿
=
0
.
Отсюда, подставляя величину Δ𝑥, найденную в пункте (б), определим значение массы 𝑚:
𝑚
=-
Δ𝑥𝑀
𝐿
=-
⎛
⎜
⎝
–
𝐸𝐿
𝑀
⎞
⎟
⎠
⋅
𝑀
𝐿
.
Окончательно:
𝑚
=
𝐸
.
Мы пришли к выводу, что процесс излучения, распространения и поглощения энергии 𝐸 эквивалентен переносу массы 𝑚=𝐸 из одного конца ящика в другой его конец. Элементарность этого вывода и фундаментальность результата делают приведённые рассуждения одними из самых интересных в физике.
Обсуждение. Существование масс-эквивалента для энергии излучения влечёт за собой существование масс-эквивалента тепловой энергии и, далее, всех прочих форм энергии, как показывает следующее рассуждение. Та энергия, которая была излучена из левой стенки ящика, могла до этого существовать там в форме тепловой энергии. Эта тепловая энергия могла перевести рядовой атом поверхности стенки в возбуждённое состояние, а затем этот атом мог вернуться с этого более высокого энергетического уровня на более низкий и в результате излучить разность энергий этих уровней в виде радиации. Этот поток энергии затем пересекает ящик, поглощается и в конце концов снова принимает форму тепловой энергии. Каким бы ни был механизм излучения и поглощения света в деталях, конечным результатом явится перенос тепловой энергии из одного конца ящика в другой его конец. Говорить, что масса должна была переместиться из конца в конец ящика при соответствующем распространении в нем излучения, значит поэтому утверждать, что масса перемещается при изменении места локализации тепловой энергии. Тепловая энергия, в свою очередь, может быть получена из химической энергии, или из энергии ядерных превращений, или из электрической энергии. Более того, образовавшаяся в правом конце ящика тепловая энергия может быть вновь превращена в любую из этих форм энергии. Поэтому все эти формы энергии, равно как и вообще все прочие её формы, эквивалентны при их переносе перемещению количества массы
