Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 21 (всего у книги 27 страниц)

❔

Как влияет гравитационное поле на движение одной частицы? (Речь идёт о корректно определённом гравитационном поле, т.е. взятом в локальной инерциальной системе отсчёта, в отличие от обыденного или кажущегося гравитационного поля, ощущаемого, например, на поверхности Земли, не являющейся инерциальной системой отсчёта и не подверженной свободному падению)

✔

Никак, потому что при этом отсчёт ведётся от мировой линии самой частицы! (Или от мировой линии идеальной пробной частицы, пробегающей по тому же пути в пространстве-времени)

❔

Как влияет гравитационное поле на относительное движение двух пробных частиц? (Для простоты примите, что их мировые линии первоначально параллельны и разделены малым, но отличным от нуля интервалом). Это влияние лучше описывать выражением «приливное поле», чем неопределённым выражением «гравитационное поле»—«приливное» потому, что относительное ускорение частиц воды на противоположных сторонах земного шара, вызываемое Луной, приводит к явлению прилива

✔

Взаимное удаление двух пробных частиц систематически изменяется со временем, начиная с момента первоначальной параллельности мировых линий («девиация геодезических»)

❔

Чем оправдано большее внимание к приливной силе, влияние которой практически пренебрежимо мало (например, на спутник или на систему спутников), а не к обыденному или кажущемуся гравитационному полю, удерживающему спутники на орбитах?

✔

Дело в том, что, как выяснилось, проще всего физика поддаётся локальному анализу, т.е. анализу относительно локальной инерциальной системы отсчёта. Локально, для человека на спутнике, кажущееся гравитационное поле отсутствует. Этого человека интересует лишь расстояние до соседних спутников его системы. Это расстояние постепенно изменяется под действием приливных сил в этой окрестности (сил, вызванных здесь Землёй и, в меньшей степени, Луной и Солнцем)

❔

Как можно количественно измерить приливное поле в данной окрестности в пространстве-времени, т.е., говоря на языке геометрии искривлённого пространства Римана (1854) или общей теории относительности Эйнштейна (1916), измерить в этой окрестности «кривизну пространства-времени»?

✔

По девиации геодезических для двух мировых линий. Приливное поле, или кривизна, может быть всесторонне измерено как в отношении своих свойств направленности, так и по абсолютной величине в данной области путём измерения девиаций геодезических для пар мировых линий соответствующего числа пробных частиц, находящихся в этой области

❔

К чему все эти разговоры о «кривизне пространства-времени»? Разве недостаточно просто регистрировать фактические данные о приливных воздействиях, воздерживаясь от этой геометрической интерпретации?

✔

Почему в обыденной жизни всегда было бы нужно давать геометрическое истолкование угла в 90° с помощью треугольника, стороны которого относятся как 3:4:5? Почему не проще собрать попросту миллионы разрозненных фактов о всевозможных измерениях? Ответ (как на эти вопросы, так и на исходные вопросы слева): дело в том, что геометрическая интерпретация более экономична и глубока при анализе фактов, а в случае гравитации мы имеем простое истолкование наблюдательных данных на языке геометрии искривлённого пространства-времени. При этом уже не требуется предполагать, что мир состоит из пространства-времени и некоторой таинственной магической «физической» силы тяготения, чуждой пространству-времени и добавляемой к нему

❔

Допустим, что можно оправдать геометрическое описание тяготения. Но как тогда быть с электромагнетизмом? Ведь в конце концов это привычное нам поле имеет другой характер, чем гравитационное. Кроме того, не исчерпываются ли возможности геометрии описанием тяготения? Не следует ли теперь истолковывать электромагнетизм как нечто негеометрическое, т.е. как нечто чуждое, таинственное и «физическое», добавляемое к пространству-времени? И если одно поле (электромагнитное) описывается как негеометрическое, то почему такое внимание уделяется описанию физики тяготения на языке чистой геометрии?

✔

Для многих обыденных целей удобно мыслить электромагнетизм как некое чуждое и «физическое» поле, претерпевающее свою специфическую динамическую эволюцию на фоне идеального плоского пространства-времени. Даже в обыденных исследованиях гравитационных эффектов (не очень массивные тела, испытывающие слабые ускорения) часто упрощённо представляют гравитацию как «физическое» поле, действующее через плоское фоновое пространство-время и погружённое в него. Но, поскольку речь идёт о принципиальной стороне дела, следует помнить, что как электромагнитное, так и гравитационное поле (лучше говорить: приливное поле) можно понимать как проявления кривизны пространства-времени. При таком описании природы термин «приливное поле» в некоторой точке – всего лишь синоним кривизны пространства-времени в этой точке. Электромагнитное поле в некоторой точке связано с изменением кривизны в окрестностях этой точки

❔

На исследовании каких явлений мы концентрировали пока своё внимание?

✔

На действии поля на частицу (или на движение любого локализованного сгустка массы-энергии, например облака излучения)

❔

Какой другой аспект необходимо учесть для полного охвата физики поля?

✔

Действие частицы (или любого локализованного сгустка массы-энергии) на поле

❔

Существуют ли альтернативные и в основном эквивалентные способы описания такого действия частицы на поле?

✔

Да. Описание 1: действие частицы на поле означает изменение ею структуры пространства-времени, но лишь в её непосредственной окрестности; это воздействие распространяется от точки к точке в окружающем пространстве-времени. Описание 2: игнорируя детали этого процесса распространения, необходимо учитывать лишь то воздействие, которое производится на расстоянии частицей при резких последовательных изменениях её скорости (точка зрения «действия на расстоянии», дальнодействие)

❔

Какие эффекты производит в данной системе отсчёта частица, покоящаяся в этой системе?

✔

Электрическое поле, пропорциональное её заряду и обратно пропорциональное квадрату расстояния; магнитное поле отсутствует; приливное поле, пропорциональное массе и обратно пропорциональное кубу расстояния, и больше никаких других компонент приливного поля

❔

Какие эффекты производит в данной системе отсчёта частица, равномерно движущаяся этой системе?

✔

Кроме электрического, ещё и магнитное поле; не только приливное поле, свойственное покоящейся в частице, но и дополнительные приливные поля

❔

Какие эффекты производит мгновенно ускоренная частица на расстоянии, превышающем время (в метрах), в течение которого имело место ускорение?

✔

Электрическое и магнитное поля, пропорциональные заряду частицы и eё ускорению и обратно пропорциональные первой степени расстояния («электромагнитные волны»), распространяющиеся на это расстояние со стандартной скоростью (свет!). Приливные поля, по величине пропорциональные массе и ускорению частицы и обратно пропорциональные первой степени расстояния от неё. Распространяются на это расстояние со скоростью света («гравитационные волны»; ещё не наблюдались; приёмные устройства конструируются)

❔

Знаем ли мы внутреннюю структуру элементарных частиц, производящих эти электромагнитные и гравитационные эффекты на расстоянии?

✔

Адекватное описание внутренней структуры элементарных частиц (электронов, мезонов, протонов и пр.) отсутствует. Мы не знаем его, несмотря на: 1) построение ускорителей чрезвычайно высокой энергии и связанное с этим постоянное накопление громадного числа интересных количественных данных о массах и превращениях «элементарных» частиц и 2) происходящие время от времени открытия удивительных и прекрасных закономерностей, связывающих эти данные

❔

Какой смысл может иметь обсуждение движения и взаимодействий элементарных частиц, если мы не знаем их структуры?

✔

Размеры этих частиц очень малы по сравнению с расстояниями между частицами в атоме (сопоставьте их с расстоянием от радиопередатчика до радиоприёмника!) Поэтому детали внутреннего строения в значительной степени несущественны, так же как детали внутреннего строения Земли в значительной степени несущественны для определения той силы, с которой она притягивает к себе Луну

❔

Как мы, при всём нашем незнании строения элементарных частиц, подходим к ним в настоящее время?

✔

Их рассматривают как странные и неоднородные объекты, погружённые в пространство-время

❔

Но как же можно придерживаться идеалов чисто геометрического описания природы, если частицы – это чуждые объекты, погружённые в пространство-время, а не объекты, слагающиеся из пространства-времени?

✔

Лучшие из современных представлений не утверждают, что частицы не построены из пространства-времени. Скорее признаётся, что наши познания о них недостаточны даже для того, чтобы разумно обсуждать этот вопрос. На данном этапе разумно рассматривать частицы, как если бы они были чуждыми объектами, чтобы иметь возможность разбираться в структуре мира и подходить к частицам с практических, рабочих позиций. Такая рабочая процедура не исключает когда-то в будущем возможность описать частицы на языке геометрии, как сейчас описывают «глаз» тайфуна на языке аэродинамики, а воронку водоворота – на языке гидродинамики

❔

Необходимо ли для объяснения мира повседневной физики привлекать в дополнение к частицам (строение которых может быть, а может и не быть геометрическим) и к электромагнитным и гравитационным полям (о которых мы знаем, как подходить к ним с геометрических позиций) ещё и какие-либо другие фундаментальные понятия?

✔

Только одно понятие – квантовый принцип, центральный для всей физики

❔

Можно ли привести простой пример проблемы, решаемой этим квантовым принципом?

✔

Задача о том, как свободная частица (находящаяся в существенно плоской области пространства-времени) движется из точки 𝐴 в точку 𝐵 по прямой линии: 1) Как эта частица «пробует» приемлемые альтернативные пути, которые она могла бы избрать. 2) Расплывание «прямой» линии, ведущей из 𝐴 в 𝐵 в результате этого процесса «распробования», происходящего непрерывно. 3) Как яснее определить и измерить действительное физическое распространение этого рода по так называемому «классическому» или идеальному пути из 𝐴 в 𝐵

❔

Сдерживают ли «квантовые силы» атом как единое целое? Связывают ли они атомы друг с другом (химия!)? Являются ли они причиной электропроводности и упругости твёрдых тел?

✔

Нет! Такой вещи, как «квантовая сила», не существует. Единственными силами, обусловливающими структуру атомов, молекул и твёрдых тел, являются электрические силы. Для того чтобы объяснить весь мир повседневной физики (за исключением тяготения), требуется лишь существование: 1) этих сил, 2) элементарных частиц и 3) квантового принципа, управляющего движением частиц под действием этих сил

❔

Имеется ли другой пример, иллюстрирующий объяснение фундаментальных процессов квантовой физикой?

✔

Электрон движется по круговой орбите вокруг протона, который тяжелее его в 1836 раз, и удерживается на этой орбите электрическим притяжением со стороны протона. 1) Почему относительная величина расплывания орбиты мала, если эта орбита велика? 2) Почему способность частицы «распробовать» пространство вокруг орбиты делает физически невозможным существование любых орбит, кроме тех, на протяжении которых укладывается целое число длин волн («квантовое число», «квантовое условие», см. упражнение 101)? 3) Насколько велика относительная размытость или неопределённость положения в пространстве для орбиты с малым квантовым числом? 4) Величина специфической энергии, или «квантовый уровень», связанный с этими «квантовыми состояниями движения». 5) Величина энергии, выделяемая при «переходах» электрона с одного такого уровня на другой

❔

Если вся физика подчиняется квантовому принципу (точная формулировка которого здесь не приводится), то какой смысл при каких бы то ни было обстоятельствах может иметь использование языка «классической» (неквантовой) физики для описания движения? Как можно рассматривать «положение в пространстве» и его изменение от одного «момента» к другому вдоль «мировой линии» частицы, если неизбежно существует квантовое размазывание или неопределённость того пути, которым следует частица в пространстве-времени?

✔

Чем больше орбита, тем меньше относительная величина размазывания («большей» названа орбита с большим «квантовым числом»). И вообще хотя предсказания квантовой физики сильно отличаются по своему характеру («вероятности», «квантовые состояния») от предсказаний классической физики («когда» и «где»), тем не менее они по своим практическим следствиям становятся всё ближе и ближе к предсказаниям классической механики в предельном случае больших квантовых чисел (принцип соответствия Нильса Бора между классической и квантовой физикой)

❔

Если ограничиться рассмотрением тех условий, при которых квантовые неопределённости координат практически несущественны и применимы классические (неквантовые) представления («предельный случай принципа соответствия»), на самом ли деле много в этих условиях физических явлений, которые мы можем объяснить?

✔

Громадное количество! Механика точек и твёрдых тел, небесная механика и феноменологическая гравитация, динамика упругих сред, аэро– и гидродинамика с теорией звука, термодинамика, теория электричества и магнетизма, геометрическая и физическая оптика

❔

Какие разделы физики можно сверх этого успешно проанализировать, приняв на вооружение квантовый принцип, но ограничиваясь электромагнитными и гравитационными силами и теми случаями, когда расстояния между частицами велики по сравнению с размерами этих частиц (отказ от учёта идей физики элементарных частиц)?

✔

Вся атомная физика: энергетические уровни всех атомов; их размеры; испускание света при переходах атомных электронов из одного состояния в другое; эффекты бомбардировки атомов светом или частицами. Все основные закономерности химии: столкновения между атомами; сила связи атомов в молекулах; форма и размеры молекул; основные и возбуждённые состояния молекул; сопротивление молекул деформациям; механизм химических реакций; механизмы аккумуляции и переноса энергии молекулами. Все основные закономерности физики твёрдого тела: кристаллические структуры; теплота образования; упругость; тепло– и электропроводность; сверхпроводимость; коэффициент поглощения света; магнитные свойства; дислокации и прочность материалов; экситоны, фононы, плазмоны, магноны и прочие агенты, аккумулирующие и переносящие энергию на микроскопическом уровне в твёрдых телах. Статистическая механика теплового равновесия для твёрдых тел, жидкостей, газов и их систем; их фазы. Сверхтекучесть. Скорости протекания реакций

❔

Какая проблема из всего множества вопросов физики твёрдого тела нуждается в дальнейшей экспериментальной и теоретической разработке?

✔

Атом или молекула, входящие в состав твёрдого тела, переведены в возбуждённое энергетическое состояние путём поглощения пришедшего извне света. Каков механизм, с помощью которого происходит разрядка этой концентрации энергии, когда последняя распространяется по твёрдому телу в виде теплоты или колебаний решётки («фононов»)?

❔

Можно ли до биться, успехов в исследовании систем, расстояние между элементарными частицами в которых не очень велико по сравнению с размерами частиц?

✔

Да, в ядерной физике. В ядре расстояния между элементарными частицами составляют величины порядка 10⁻¹³ см, тогда как установлено, что эффективные размеры нейтрона и протона имеют порядок 10⁻¹⁴ см. Мы располагаем богатейшими данными об энергетических уровнях ядер, о размерах ядер, о несферичности атомных ядер, о радиоактивности ядер, о делении ядер и о ядерных превращениях, вызываемых их бомбардировкой. Многие стороны этих эффектов удаётся точно предсказывать, несмотря на тот факт, что неизвестна природа основных сил, действующих в ядре (это ни электрические, ни гравитационные, но некие «ядерные силы» короткого радиуса действия, убывающие с расстоянием много быстрее, чем обратный квадрат). Другие экспериментальные факты менее понятны или вообще не интерпретированы

❔

Какая из множества проблем ядерной физики представляется созревшей для дальнейшего экспериментального и теоретического исследования в настоящее время?

✔

Механизм деления ядер и, в частности, механизм того, как при делении ядер урана или других тяжёлых ядер иногда образуются наряду с двумя много более массивными осколками также ядра гелия или тяжёлого водорода

❔

Существует ли простой критерий, позволяющий в конкретных условиях указать, какое из взаимодействий является более важным: 1) внутренние взаимодействия, обусловливающие структуру элементарных частиц; 2) ядерное; 3) электромагнитное; 4) гравитационное взаимодействие?

✔

Да. Критерий – количество энергии, связанное с каждым из этих взаимодействий

❔

Каковы сравнительные значения этих четырёх видов энергии для железного шара радиусом 1 м?

✔

1) Внутренняя энергия элементарных частиц (определяемая массами покоя входящих в шар нейтронов и протонов): 3,3⋅10⁴ кг. 2) Ядерная энергия (определяемая изменением массы при объединении нейтронов и протонов и образовании 𝙵𝚎⁵⁶): 3,1⋅10² кг. 3) Электрическая энергия (определяемая энергией связи электронов в атомах железа и энергией связи атомов железа в кристаллической решётке металлического железа; вся эта энергия даётся в переводе в единицы массы): около 2⋅10⁻² кг. 4) Гравитационная энергия (энергия, требующаяся для удаления атомов железа на бесконечность против сил тяготения, переведённая в единицы массы): около 2⋅10⁻¹⁹ кг

❔

Какой из этих четырёх видов энергии возрастает быстрее всего при увеличении числа частиц?

✔

Гравитационная энергия, ибо каждая частица гравитационно взаимодействует с любой другой частицей

❔

Существуют ли условия, при которых соотношение между этими четырьмя видами энергии радикально изменяются?

✔

Да, в достаточно массивной звезде (если звезда холодная, то при массе, примерно равной массе Солнца, т.е. 2⋅10³⁰ кг; если горячая, то при большей массе, когда плотность оказывается ниже и гравитационные силы должны действовать на больших расстояниях)

❔

Могут ли силы гравитационного притяжения в достаточно массивном или достаточно плотном (или и массивном и плотном одновременно) астрономическом объекте возобладать над силами, обусловливающими внутреннюю структуру элементарных частиц, и вызвать исчезновение этих частиц?

✔

Мы не знаем ответа на этот вопрос, хотя он и возбуждает большой интерес и в настоящее время интенсивно исследуется как «гравитационный коллапс». Внимание было привлечено к этому гипотетическому механизму в январе 1963 г., когда был открыт так называемый «квазизвёздный объект» – часть некой галактики, отстоящей от нас на расстоянии 2⋅10⁹ световых лет,– выделяющей за короткий по астрономическим масштабам промежуток времени в 10⁶ лет или менее энергию (около 10⁵⁴ дж), эквивалентную той, которая выделилась бы при полном превращении в энергию массы около 10⁷ солнц. Сейчас открыты и продолжают открываться многочисленные другие квазизвёздные источники (это название теперь сокращённо произносится как «квазар»)

❔

Существуют ли какие-либо другие условия, при которых можно ожидать эффектов, аналогичных гравитационному коллапсу, с исчезновением элементарных частиц, или обратных процессов, при которых давление падает и происходит расширение?

✔

Эти условия существовали на ранних этапах расширения Вселенной и должны существовать на поздних этапах, когда Вселенная будет снова сжиматься

❔

Что подтверждает представления о расширении Вселенной?

✔

Разбегание галактик: галактики, находящиеся на вдвое большем расстоянии, убегают вдвое быстрее и т.д., как если бы они вылетели из общего центра с разными скоростями около 14⋅10⁹ лет назад

❔

Какая сила доминирует в больших масштабах в динамике Вселенной?

✔

Гравитация (кривизна пространства-времени)

4. Решения упражнений

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 1

1. Пространство и время – подробный пример

Решение дано в тексте.

2. Практическая синхронизация часов

Установите стрелки часов в положение, соответствующее √6²+8²+0²=10 м светового времени. Нажмите кнопку пуска часов в момент прихода опорного сигнала. ▲

3. Соотношения между событиями

Ответы на вопросы а), б) и в) согласно рис. 34. Для событий 𝐴 и 𝐵: а) временноподобный интервал; б) 4 м собственного времени; в) да; для событий 𝐴 и 𝐶: а) пространственноподобный интервал; б) 4 м собственного расстояния; в) нет; для событий 𝐶 и 𝐵: а) светоподобный интервал; б) нуль; в) да, так как эти события можно связать одним световым лучом. ▲

4. Одновременность

Слово «одновременность» пригодно для описания соотношения между событием «𝐴 сталкивается с 𝐵» и событием «𝐶 сталкивается с 𝐷» лишь в конкретной инерциальной системе отсчёта. Чтобы охарактеризовать соотношение между этими двумя событиями независимо от какого бы то ни было выбора системы отсчёта, следует сказать: событие «𝐴 сталкивается с 𝐵» отделено от события «𝐶 сталкивается с 𝐷» пространственноподобным интервалом в миллион миль. ▲

5. Временно'й порядок событий

Случай светоподобного интервала. Если световой луч может непосредственно пройти от события 𝐺 к событию 𝐻, то эти события связаны между собой светоподобным интервалом,– это чисто физическое утверждение, никак не связанное с выбором инерциальной системы отсчёта. Но это значит, что событие 𝐺 предшествует 𝐻 в любой инерциальной системе, что и требовалось доказать.

Случай временноподобного интервала. Событие 𝐻 расположено внутри светового конуса будущего с вершиной в событии 𝐺 в некоторой инерциальной системе отсчёта. Поэтому из 𝐺 в 𝐻 может попасть частица, движущаяся равномерно со скоростью, меньшей скорости света с точки зрения данной системы отсчёта. Но тот факт, что частица может непосредственно перейти из 𝐺 в 𝐻, никак не связан с конкретным выбором инерциальной системы. Поэтому событие 𝐺 предшествует событию 𝐻 в любой инерциальной системе, что и требовалось доказать.

Случай пространственноподобного интервала. Эта возможность исключается; интервал между двумя рассматриваемыми здесь событиями может быть лишь светоподобным или временноподобным, и не иначе. Поэтому теперь требуется доказать, что два события, разделённые пространственноподобным интервалом, не имеют универсального порядка во времени,– такой порядок во времени существует лишь для пар событий, интервалы между которыми являются светоподобными или временноподобными. Рассмотрим для примера в лабораторной системе отсчёта два события, разности координат которых равны 𝑥_𝐻-𝑥_𝐺=900 м и 𝑡_𝐻-𝑡_𝐺=540 м. Тогда пространственноподобный интервал между ними составляет

⎛

⎝

(

900

м

)

²

–

(

540

м

)

²

⎞½

⎠

=

720

м

Если рассматривать эти же события в системе отсчёта, быстро движущейся вправо, то они окажутся ближе друг к другу во времени, но величина интервала останется без изменения. В какой бы системе отсчёта ни проводились измерения, разности координат будут оставаться на гиперболе

(𝑥

_𝐻

–𝑥

_𝐺

)²

–

(𝑡

_𝐻

–𝑡

_𝐺

)²

=

(720

м

)²

(рис. 139). Когда новая система отсчёта достигнет достаточно большой скорости относительно лабораторной системы (такова, например, система 𝐽), то событие 𝐻 станет наблюдаться до события 𝐺. Такая ситуация имеет место для любой пары событий, разделённых пространственноподобным интервалом, и её можно описать с помощью гиперболы, подобной гиперболе на рис. 139. Короче говоря, если события 𝐺 и 𝐻 разделены пространственноподобным интервалом, то при выборе системы наблюдателя, движущейся достаточно быстро вправо или влево относительно лабораторной системы отсчёта, можно «сделать» событие 𝐺 сколь угодно более ранним или сколь угодно более поздним по сравнению с событием 𝐻.

Рис. 139. Иллюстрация того, как выбор системы отсчёта сказывается на величине разностей пространственных и временных координат двух событий 𝐺 и 𝐻. Через 𝐿 обозначена лабораторная система отсчёта; система 𝐴 «медленно» движется вправо относительно лабораторной системы отсчёта; последовательность 𝐵, 𝐶, 𝐷, … изображает системы отсчёта, движущиеся со всё большими и большими скоростями вправо относительно лабораторной системы. Система 𝐽 такая, в которой разности координат вновь оказываются целочисленными. ▲

6. Расширяющаяся Вселенная

а) Средний чертёж на рис. 35 даёт для собственного времени, прошедшего между двумя вспышками, выражение

Δ

τ

=

√

(

Δ

𝑡)²-(

Δ

𝑥)²

=

√

(

Δ

𝑡)²-(β

Δ

𝑡)²

=

Δ

𝑡

√

1-β²

.

Из правого чертежа на том же рисунке следует выражение для времени, прошедшего между приёмом двух последовательных сигналов:

Δ

𝑡

_приём

=

Δ

𝑡

+

β

Δ

𝑡

=

Δ

𝑡

(1+β)

.

Исключим из первого уравнения Δ𝑡 с помощью второго и найдём скорость удаления осколков β:

β

=

(Δ𝑡_приём)²-(Δτ)²

(Δ𝑡_приём)²+(Δτ)²

.

Расстояние между осколком, на котором летит наблюдатель, и другим осколком бомбы, который он наблюдает, равняется времени, прошедшему с момента взрыва, умноженному на скорость удаления этих осколков друг от друга.

б) Пользуясь предыдущей формулой, определите скорость удаления звезды. Приравняйте Δτ собственному периоду световой волны, а Δ𝑡_приём – наблюдаемому периоду для света, приходящего от удалённого источника. Если Вселенная когда-то (𝑡=0) взорвалась, а её первоначальный объём был ничтожно мал, то теперь, в более поздний момент времени 𝑇, расстояние до каждой звезды (или галактики) будет равно β𝑇 (для вдвое быстрее удаляющейся галактики и расстояние будет вдвое большим). Расстояние же до галактики в тот более ранний момент, когда она испустила принятый нами теперь свет, было равно β𝑇/(1+β). Коэффициент красного смещения Δ𝑡_приём/Δτ превосходит 3 для самых быстро удаляющихся известных нам сейчас источников (так называемых квазаров – квазизвёздных объектов), однако расстояния до них неизвестны. В настоящее время мы умеем определять независимыми способами расстояния лишь для источников, удаляющихся от нас со скоростями β=0,2 и меньшими. Исходя из этих расстояний и наблюдаемого красного смещения, можно определить 𝑇 равным от 10¹⁰ до 1,4⋅10¹⁰ лет. ▲

7. Собственное время и связь

Ответ на первый вопрос: утверждение верно. На второй вопрос: нет, собственное время положительно. Одним из доказательств этого служит тот факт, что при отражении света вспышки между зеркалами на Луне можно добиться совпадения момента поглощения этого света с моментом прихода в эту точку частицы, испущенной с поверхности Солнца при вспышке. Собственное же время между событиями испускания и прихода к цели частицы с необходимостью больше нуля. Ответ на третий вопрос: нет, собственное время больше нуля. ▲

8. Время на сбор информации и на принятие решения

Время запаздывания равно 𝑅 м светового времени, так как для связи использовались непосредственно передаваемые световые сигналы. Все другие средства связи дают большие времена запаздывания. В распоряжении наблюдателя будет 3,4 сек для принятия защитных мер, т.е. на 0,4 сек больше, чем необходимые ему 3 сек. ▲

9. Лоренцево сокращение – подробный пример.

Решение дано в тексте.

10. Замедление хода часов

а) Можно, например, воспользоваться событиями, состоящими в пробивании отметок стрелкой часов на ракете в бумажных экранах, как это показано на рис. 38.

б) По определению Δ𝑥'=0. Подставляя эту величину в уравнение (42), получим (44).

в) Принцип относительности не нарушается ввиду симметрии между системами отсчёта. Отдельные покоящиеся в лаборатории часы отстают с точки зрения системы отсчёта ракеты, если их сравнивать последовательно со встречающимися им часами, покоящимися в системе ракеты [см. часть г)]. Нелишне также вспомнить анализ части г) в предыдущем упражнении.

г) По определению Δ𝑥=0. Подставляя эту величину в уравнение (39), получим (45). ▲

11. Относительная синхронизация часов

а), б) и в) При Δ𝑥=0 и Δ𝑡=0 формулы преобразования Лоренца дают Δ𝑡'=0 в системе отсчёта любой ракеты. Это верно вне зависимости от того, равны ли нулю Δ𝑦 и Δ𝑧 или не равны (вопрос б)). Если же Δ𝑡=0, а Δ𝑥≠0, тогда

Δ

𝑡'

=-

Δ

𝑥

sh

 

θ

_𝑟

≠

0

.

Уравнение (46) получается при использовании соответствующих условий (𝑡=0) в уравнениях (37).

г) Чтобы вывести (47), подставим 𝑡'=0 в уравнения (36).

д) Если выбрать в системе ракеты положительное направление оси 𝑥' в направлении относительного движения лабораторной системы, то знак в уравнении (47) изменится на обратный, и это уравнение примет тот же вид, что уравнение (46).

е) Чтобы произвести измерения в нескольких разных местах в системе отсчёта ракеты при 𝑡'=0 (т.е. одновременно в этой системе), необходимо воспользоваться несколькими часами-хронографами. Лучше было бы употребить выражение: «Пусть часы-хронографы на ракете будут расположены так, чтобы каждые из лабораторных часов были рядом с ними в начальный момент ракетного времени (𝑡'=0), и пусть они сфотографируют в этот момент циферблаты лабораторных часов. Тогда на этих фотографиях не все лабораторные часы будут показывать время 𝑡=0». ▲

12.Эвклидовы аналогии

Рис. 140.

а) и б) См. рис. 140. Аналогия проявляется, когда мы сравниваем координаты 𝑥 эвклидовой системы и лоренцевой системы, а также координаты 𝑦 эвклидовой системы и 𝑡 лоренцевой системы. При этом на рис. 140 расстояние 𝑥_𝐴' меньше, чем расстояние 𝑥_𝐴, что соответствует различию наблюдаемых длин одного и того же движущегося стержня в системах отсчёта ракеты и лаборатории. Подобным же образом, замедление хода часов аналогично различию между значениями координат 𝑦_𝐴' и 𝑦_𝐴 в двух эвклидовых системах. В эвклидовой геометрии инвариантом является длина стержня, получаемая из значений координат его концов в любой системе. В лоренцевой геометрии инвариант – это интервал между двумя событиями, получаемый из результатов наблюдений в любой инерциальной системе отсчёта.

Рис. 141.

в) См. рис. 141. Точки, для которых 𝑦'=0, не все имеют координату 𝑦=0. Подобным же образом, не все события, происшедшие при 𝑡'=0, будут иметь координату 𝑡=0. ▲

13. Лоренцево сокращение. II

Сосредоточим своё внимание на следующих двух событиях: прохождении концов метрового стержня через начало пространственных координат лабораторной системы. В системе отсчёта ракеты эти события разделены расстоянием минус один метр (минус потому, что лаборатория в системе отсчёта ракеты движется в отрицательном направлении оси 𝑥) и временем, равным (1 м)/(относительная скорость):

Δ

𝑥'

=-

1

м

.

Δ

𝑡'

=

1 м

β_𝑟

.

В лабораторной системе оба события происходят в одном и том же месте, но разделены отрезком времени Δ𝑡 который по условию задачи следует положить равным 𝐿/(относительная скорость), где 𝐿 —«длина» метрового стержня, измеренная таким путём в лабораторной системе отсчёта. Подставляя эти величины в формулы преобразования Лоренца (16), выразим Δ𝑡 через относительную скорость: