Физика пространства - времени

Текст добавлен: 17 июля 2019, 21:30

Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 25 (всего у книги 27 страниц)

Назад к карточке книги

𝐿

2𝑞𝑉₀

𝑚𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑇

⎞²

⎟

⎠

и следовательно,

ν²

⎛

⎜

⎝

𝑇

⎞²

⎟

⎠

𝑞𝑉₀

8𝑚𝐿²

Действительно, полученное выражение для частоты оказывается пропорционально квадратному корню из величины приложенного напряжения 𝑉₀.

г) В крайнем ультрарелятивистском случае электрон большую часть времени движется почти со скоростью света. В результате величина периода 𝑇_мин становится близка к тому времени, за которое свет покрывает расстояние 2𝐿:

𝑇

_мин

2𝐿

𝑐

или

_макс

𝑇_мин

𝑐

2𝐿

д) Начертить предлагаемый график проще, если взять не самую величину ν, а безразмерное отношение

ν_макс

⎛

⎜

⎝

𝑞𝑉₀

2𝑚𝑐²

⎞½

⎟

⎠

(ньютоновский предел),

ν_макс

(ультрарелятивистский предел).

Рис. 150.

Этим формулам нетрудно дать простое истолкование. Величина 𝑞𝑉₀ представляет собой потенциальную энергию электрона, когда он покоится около стенки ящика; эта же величина равна и кинетической энергии электрона при прохождении им через сетку в центре ящика. В любом случае она определяет энергию электрона как колеблющегося грузика. Величина же 𝑚𝑐² – это просто масса покоя электрона, выраженная в единицах энергии. Разумеется, ньютоновская формула выполняется, когда частота много меньше своего ультрарелятивистского предела, иначе говоря, если кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя. Иными словами, область перехода от ньютоновского предела к ультрарелятивистскому определяется соотношением 𝑞𝑉₀≈2𝑚𝑐²=1 Мэв, т.е. 𝑉₀≈1 000 000 в. ▲

65. Импульс без массы?

а) Скорость переноса массы равна просто 𝑑𝐸/𝑑𝑡, если выразить энергию в единицах массы.

б) Импульс равен

𝑥

𝑑𝑚

𝑑𝑡

𝑥

𝑑𝐸

𝑑𝑡

в) Движение платформы происходит оттого, что центр масс системы в целом ¹) не может начать двигаться. Так как масса покоя передаётся от аккумулятора воде, платформа должна двигаться влево (см. рис. 105) для того, чтобы центр масс всей системы сохранял неизменное положение. После того как заряд аккумулятора истощится, масса покоя перестанет передаваться воде, а вместе с этим отпадёт необходимость в компенсирующем движении платформы – она остановится. Окончательный сдвиг платформы ε будет составлять крайне малую часть её длины 𝑥. Пусть вся израсходованная аккумулятором энергия равна 𝐸, так что воде была передана соответствующая ей масса (в форме теплоты). Положим полную массу платформы и всей её нагрузки равной 𝑀 (исключая массу 𝐸). Тогда условие неподвижности центра масс можно выразить формулой

¹) Авторы используют здесь свой термин «центр импульса». См. по этому поводу наше примечание на стр. 214 – Прим. перев.

𝑀ε

𝐸𝑥

откуда окончательный сдвиг платформы определяется в виде

𝐸𝑥

𝑀

г) Любой объект, покоящийся в данной системе отсчёта, не совершает в ней механической работы. Поэтому в системе отсчёта платформы перенос энергии слева направо может осуществляться лишь посредством движущейся ремённой передачи. В системе отсчёта стола, если считать, что платформа катится по нему без трения, движение энергии (массы) платформы в целом влево или вправо невозможно. Поэтому масса платформы 𝑀 отступает влево в точности настолько, чтобы компенсировать перенос ремённой передачей энергии (массы) вправо. В этой системе отсчёта скорости переноса энергии платформой и ремённой передачей в точности равны друг другу, но противоположно направлены. Наконец, в системе отсчёта наблюдателя, движущегося вместе с ремённой передачей в какую-то одну сторону, будет значительно ускорен перенос энергии в противоположную сторону встречным движением ремня, так как увеличится относительная скорость, и с этим наблюдателем нельзя не согласиться – ведь для него масса всей системы в целом несомненно находится в быстром движении. ▲

66. Частицы нулевой массы покоя

Вывод соотношения 𝐸²-𝑒²=𝑚² основывается (см. рис. 88 и 89), во-первых, на инвариантности интервала и, во-вторых, на существовании множителя 𝑚, переводящего единичный 4-вектор, касательный к мировой линии, в вектор энергии-импульса, также к ней касательный. В пределе исчезающе малой массы покоя это соотношение принимает вид

𝑒²

𝐸²

или

|𝑝⃗|

𝐸

формула же (90) справедлива для всех скоростей и масс покоя:

𝑝

β𝐸

Поэтому, если 𝑝𝐸 скорость рассматриваемой частицы β должна быть равна единице: частица должна двигаться со скоростью света. Однако скорость связана с параметром скорости соотношением

𝑝

𝐸

𝑚 sh θ

𝑚 ch θ

th θ

Отсюда, если скорость равна скорости света, должны быть равны друг другу ch θ и sh θ; следовательно, параметр скорости θ должен быть бесконечно большим. Если рассматривать теперь объект нулевой массы покоя из системы отсчёта ракеты, двигающейся относительно лабораторной системы со скоростью β_𝑟 (параметр скорости θ_𝑟), то параметр скорости этого объекта будет равен θ'=θ-θ_𝑟. Каким бы большим ни был параметр θ_𝑟, θ будет бесконечен ввиду бесконечности θ. Следовательно, свет распространяется с одной и той же скоростью в любой инерциальной системе отсчёта, и невозможно найти систему, в которой бы он покоился. Это верно и для любых других частиц, масса покоя которых равна нулю; все они движутся со скоростью света. См. также обсуждение на стр. 159—161. ▲

67. Эйнштейновский вывод принципа эквивалентности энергии и массы покоя – подробный пример

Решение дано в тексте.

68. Устойчивость фотона

Рис. 151

Диаграмма на рис. 151 изображает сохранение импульса в ходе предполагаемого дробления фотона на два других фотона, не сохраняющих его первоначального направления движения. Треугольник образован трёхмерными векторами импульса и построен в обычном трёхмерном эвклидовом пространстве. Поэтому сумма длин его боковых сторон должна быть больше длины основания, т.е.

⎛

⎜

⎝

Модуль импульса

первого

дочернего фотона

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

Модуль импульса

второго

дочернего фотона

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

Модуль импульса

исходного фотона

⎞

⎟

⎠

Однако импульс фотона по модулю равен его энергии. Значит, сумма энергий двух дочерних фотонов должна превосходить энергию исходного фотона, а это невозможно. Следовательно, одновременное сохранение и импульса, и энергии невозможно, если только фотоны – продукты дробления – не продолжают двигаться в том же направлении, в котором двигался первоначальный фотон. ▲

69. Давление света

а) Свет лампочки мощностью 1 вт приносит на поглощающую его поверхность 1 дж энергии каждую секунду. 1 дж эквивалентен энергии (массе), равной (1 дж)/𝑐²≈10⁻¹⁷ кг. Эта поверхность поглощает за одну секунду столько же импульса (выраженного в единицах массы); переход к обычным единицам осуществляется путём умножения на скорость света 𝑐 (см. стр. 141), что даёт в данном случае 3⋅10⁻⁹ кг⋅м/сек импульса, поступающего на поглощающую поверхность в секунду. Это соответствует силе, равной 3⋅10⁻⁹ кг⋅м/сек² т.е. 3⋅10⁻⁹ н.

б) Сила, действующая на каждый квадратный метр поглощающего спутника, в 1400 раз больше только что найденной, т.е. равна около 4⋅10⁻⁶ н. Когда свет падает на идеально отражающую поверхность, он отражается от неё в обратную сторону, так что изменение его импульса вдвое превышает полученную прежде величину – мы имеем теперь 8⋅10⁻⁶ н на каждый квадратный метр поверхности. В случае «реальных» поверхностей давление должно быть промежуточным между этими двумя значениями, цвет же поверхности играет роль лишь постольку, поскольку он характеризует её отражательную способность.

в) Запишем выражение для силы, действующей со стороны Солнца на частицу массы 𝑚 как 𝑚𝑎_Солнце где 𝑎_Солнце=𝐺𝑀/𝑅² – гравитационное ускорение, вызванное притяжением Солнца. (Что касается закона тяготения, см. введение к упражнению 73; вблизи Земли ускорение силы тяжести, вызываемое Солнцем, равно 6⋅10⁻³ м/сек² см. стр. 21). Сила, действующая со стороны солнечного света, представляет собой давление [см. часть б) этого упражнения], умноженное на эффективную поглощающую площадь частицы. Пусть частица имеет сферическую форму и полностью поглощает падающий на неё свет; тогда её поперечное сечение равно π𝑟². Обозначим давление солнечного света через 𝑃. Тогда отталкивающая сила будет равна 𝑃π𝑟², сила же гравитационного притяжения к Солнцу будет 𝑚𝑎_Солнце. Нас интересует, каких размеров должна быть частица, чтобы эти силы в точности уравновешивали друг друга:

𝑚𝑎

_Солнце

π𝑃𝑟²

Масса шарообразной частицы связана с её плотностью ρ и радиусом 𝑟 по формуле

𝑚

4π

𝑟³ρ

Подставляя её в уравнение баланса сил, найдём оттуда величину критического радиуса

𝑟

𝑃

ρ𝑎_Солнце

Чтобы определить численное значение 𝑟, необходимо задаться величиной плотности ρ; предположим поэтому, что она равна плотности воды, 10³ кг/м³. Используя также данные о давлении солнечного света вблизи Земли и о величине солнечного гравитационного ускорения в этой же области, найдём

𝑟

4⋅10⁻⁶ н/м²

(10³ кг/м³)(6⋅10⁻³ м/сек²)

5⋅10⁻⁷

Итак, частица должна быть довольно маленькой – радиусом примерно 1000 атомов. Интересно, что расстояние от Солнца при вычислениях сокращается. Отметим, что мы сделали здесь следующие предположения:

1) частица шарообразна,

2) частица полностью поглощает падающий на неё свет,

3) плотность частицы равна плотности воды. ▲

70. Эффект Комптона

В подписи к рис. 109 дано уравнение, выражающее закон сохранения импульса. Однако нас больше интересует здесь энергия, почему мы и произведём в нем замены

𝑝

𝐸

_фотон

𝑝

𝐸

_фотон

𝑃

𝐸

²-𝑚².

В результате получим уравнение

𝐸²

–

𝑚²

𝐸

_фотон

𝐸

_фотон

–

𝐸

_фотон

𝐸

_фотон

cos φ

в то время как собственно закон сохранения энергии даёт

𝐸

_фотон

𝑚

𝐸

_фотон

𝐸

если учесть, что электрон первоначально находился в покое, так что его полная энергия сводилась к энергии покоя 𝑚. Теперь нас не интересует энергия 𝐸 электрона после столкновения, и мы исключим её из полученных двух уравнений, получив, наконец, энергию фотона, рассеянного в направлении угла φ:

𝐸

_фотон

𝐸

_фотон

𝐸

_фотон

(1-cos φ)

𝑚

Разделив левую и правую стороны этого равенства на массу покоя электрона 𝑚, рассмотрим случай, когда 𝐸_фотон/𝑚=2:

𝐸_фотон

𝑚

1+2(1-cos φ)

Когда электрон крепко связан в атоме, в качестве массы 𝑚 выступает масса этого атома в целом, и тогда эффективная величина отношения 𝐸_фотон/𝑚 оказывается в 20 тысяч раз меньше, чем при рассеянии фотонов на свободных электронах. В случае крепко связанных электронов знаменатель в формуле, описывающей эффект Комптона, становится практически равным единице при любых углах φ, так что энергия рассеянного фотона оказывается очень близка к энергии падающего.

Рис. 152.

▲

71. Измерение энергии фотона

Рис. 153.

На рис. 153 изображена диаграмма импульсов, причём через 𝑃 обозначен импульс электрона после столкновения. Для этого прямоугольного треугольника можно записать

𝑃

𝑝²

𝑝

𝐸

_фотон

𝐸

_фотон

𝑝

𝐸_фотон

С другой стороны, имеют место закон сохранения энергии

𝐸

_фотон

𝑚

𝐸

_фотон

𝐸

и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона

𝐸

–

𝑃

𝑚²

Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона

𝐸

_фотон

4𝑚

(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:

𝐸

_фотон

3𝑚

𝐸

13𝑚

𝑝

5𝑚

⎞

⎟

⎠

▲

72. Энергия и частота фотона

а) В случае фотона, движущегося вдоль оси 𝑥, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству

𝐸'

𝐸 ch

_𝑟

–

𝑝 sh

_𝑟

𝐸(ch

_𝑟

–

_𝑟

)

𝐸𝑒⁻

^θ_𝑟

где мы учли формальные определения функций ch θ и sh θ, приведённые в табл. 8.

б) Нулевая вспышка (𝑛=0) проходит через начало координат в момент 𝑡=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением 𝑥=𝑡, т.е. 𝑡-𝑥=0. Вспышка № 1 (𝑛=1) проходит через начало координат в момент 𝑡=𝑐/ν, так что величина её 𝑥-координаты всегда на 𝑐/ν меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки:

𝑥

𝑡

–

𝑐

т.е.

𝑐

(𝑡-𝑥)

Вспышка № 𝑛 проходит через начало координат в момент 𝑛𝑐/ν, и её 𝑥-координата всегда на 𝑛𝑐/ν меньше, чем у нулевой вспышки: 𝑥=𝑡-𝑛𝑐/ν, т.е. 𝑛=ν/𝑐⋅(𝑡-𝑥).

Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той же скоростью 𝑐 и в лабораторной системе отсчёта, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчёта ракеты, дают уравнение

𝑛

ν'

𝑐

(𝑡'-𝑥')

Подставим сюда значения 𝑡' и 𝑥' из формул преобразования Лоренца; мы получим

𝑛

ν'

𝑐

(𝑡-𝑥)(

_𝑟

𝑛

ν'

𝑐

(𝑡-𝑥)

𝑒

^θ_𝑟

Приравнивая друг другу выражения для 𝑛, полученные в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты, найдём

ν'

𝑒⁻

^θ_𝑟

в) Равенства, полученные в частях а) и б) этого упражнения, выглядят одинаково, и это говорит за то, что энергия фотона 𝐸 пропорциональна его классической частоте (как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты). Коэффициент пропорциональности определяется на основании других экспериментов, которых мы здесь не касаемся; окончательно получим

𝐸

ℎ

𝑐²

Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим 𝐸_обычн – энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):

𝐸

_обычн

ℎν

г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116). ▲

73. Гравитационное красное смещение

а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от 𝑟 к 𝑟+𝑑𝑟, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли 𝑟≈𝑟_Земля, и мы получим

𝑑𝑊

𝑚

𝑚*

𝑟_Земля²

𝑑𝑟

𝑔*

𝑑𝑟

Подставляя 𝑔≈10 м/сек² приближённо найдём

𝑔*

𝑔

𝑐²

≈

10 м/сек²

9⋅10¹⁶ м²/сек²

≈

10⁻¹⁶

так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно

𝑑𝑊

𝑚

≈

1,7⋅10⁻¹⁴

≈

2⋅10⁻¹⁴

б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве 𝑚* массу Земли, равную 4,4⋅10⁻³ м, а за исходный радиус принять радиус Земли 𝑟_Земля мы получим

𝑊

𝑚

𝑚*

𝑟_Земля

≈

4,4⋅10⁻³ м

6,7⋅10⁶ м

≈

7⋅10⁻¹⁰

Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.

в) Заменяя в формуле, полученной в части a), 𝑑𝑟 на 𝑧, а 𝑑𝑊/𝑚 – на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) ¹.

¹ В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).– Прим. перев.

г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (𝑀*=4,44⋅10⁻³ м, 𝑟_Земля6,7⋅10⁶ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

⎛

⎜

⎝

Δν

⎞

⎟

⎠

Земля

≈

–7⋅10⁻¹⁰

т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (𝑀*=1,47⋅10³ м, 𝑟_Солнце7⋅10⁸ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

⎛

⎜

⎝

Δν

⎞

⎟

⎠

Солнце

≈

–2⋅10⁻⁶

▲

74. Плотность спутника Сириуса

Из формулы (119) следует величина радиуса

𝑟

𝑀*

–Δν/ν

1,5⋅10³ м

7⋅10⁻⁴

≈

2⋅10⁶

(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна

𝑀

2⋅10³⁰

кг

≈

6⋅10¹⁰

кг

6⋅10⁷

см

4π

𝑟²

4⋅8⋅10¹⁸

– в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды! ▲

75. Формулы Допплера

а) В системе отсчёта ракеты

𝑝'

^𝑥

𝑝' cos φ',

𝑝'

^𝑦

𝑝' sin φ'.

Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём

𝐸'

-𝑝

cos φ

_𝑟

𝐸

_𝑟

𝑝'cos φ'

𝑝

cos φ

_𝑟

–

𝐸

_𝑟

𝑝'sin φ'

𝑝

sin φ

Но для фотона 𝑝=𝐸, и первое из уравнений записывается в виде

𝐸'

𝐸

_𝑟

(1-β

_𝑟

cos φ)

как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos φ' и исключим из него 𝐸 пользуясь (120):

cos φ'

𝐸 cos φ ch θ_𝑟-𝐸 sh θ_𝑟

𝐸 ch θ_𝑟(1-β_𝑟 cos φ)

cos φ'

cos φ-β_𝑟

1-β_𝑟 cos φ

б) Будем исходить из формул, обратных (78):

𝐸

𝑝'

^𝑥

sh θ

_𝑟

𝐸' ch θ

_𝑟

𝑝

^𝑥

𝑝'

^𝑥

ch θ

_𝑟

𝐸' sh θ

_𝑟

𝑝

^𝑦

𝑝'

^𝑦

𝑝

^𝑧

𝑝'

^𝑧

Вновь производя уже знакомые подстановки

𝑝'

^𝑥

𝑝' cos φ'

𝐸' cos φ'

𝑝'

^𝑦

𝑝' sin φ'

𝐸' sin φ'

и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии

𝐸

𝐸' ch

_𝑟

(1+β

_𝑟

cos φ')

Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё

cos φ

cos φ'+β_𝑟

1+β_𝑟cos φ'

Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].

в) Энергия фотона 𝐸 и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны ν связаны друг с другом равенством 𝐸=ℎ/𝑐²⋅ν (см. упражнение 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде

ν'

ν ch

_𝑟

⋅

(1-β

_𝑟

cos φ)

Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчёта, ещё невозможно сказать, чему равна частота в той системе, где источник излучения покоится. Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчёта частоту, мы никоим образом не получаем прямой информации о скорости источника относительно нашей системы. ▲

76. Распад π⁰-мезона; подробный пример

Решение дано в тексте.

77. Полёт неоновой лампочки

Пока неоновая лампочка находится на большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, её свет для наблюдателя очень ярок (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторону (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн – эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость резко понизится (наблюдатель окажется вне «луча прожектора»), когда косинус угла, образованного лучом зрения и осью 𝑥, станет равен β_𝑟. В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем её свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при φ=90°, cos φ=0). Когда лампочка будет улетать прочь, её свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты в диапазоне дальних красных и инфракрасных волн). ▲

78. Физик и светофор

Учитывая в уравнении (120), что энергия 𝐸 пропорциональна частоте ν, а cos φ=-1, получим

ν'

ν ch

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟

)

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

Подставляя сюда ν=𝑐/λ, найдём

λ'

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

или

_𝑟

1-(λ'/λ)²

1+(λ'/λ)²

При λ'/λ=(5300 Å)/(6500 Å)=0,81

(λ'/λ)²

0,66

так что

_𝑟

0,34/1,66

0,20

откуда

𝑣

_𝑟

𝑐

6⋅10⁷

сек

216⋅10⁶

км

час

13⋅10⁷

миль

час

так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов. ▲

79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца

На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна

𝑣

2π𝑟

𝑇

2π

2π10⁸ м

(24,7 дней)(86 400 сек/день)

2,1⋅10³

сек

так что

𝑣

𝑐

7⋅10⁻⁶

Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв φ=0, а cos φ=1, получим

ν'

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

или

λ'

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

λ'

⎛

⎜

⎝

–

7⋅10⁻⁶

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

–

7⋅10⁻⁶

⎞

⎟

⎠

≈

λ'

(1-7⋅10⁻⁶)

так что

Δλ

Δν

≈

7⋅10⁻⁶

Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка приближается к Земле, и в красную, когда она удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с величиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2⋅10⁻⁶ (см. упражнение 73). ▲

80. Расширяющаяся Вселенная

а) Согласно условиям задачи,

λ'

4870 Å

7300 Å

φ'

Формулу (120) можно записать в виде

𝐸

𝐸'

λ'

⎛

⎜

⎝

1-β_𝑟

1+β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

или

_𝑟

1-(λ'/λ)²

1+(λ'/λ)²

Так как λ'/λ=0,67, (λ'/λ)²=0,45 то скорость равна

_𝑟

0,55

1,45

0,38

б) Для того чтобы со скоростью β=0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5⋅10⁹ световых лет, требуется (5⋅10⁹)/0,38=13⋅10⁹ лет. Если на более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела в дальнейшем торможение), то это же расстояние могло быть пройдено за более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придём к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения. ▲

81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера

Пусть время путешествия туда и обратно равно 𝑡 в системе отсчёта Павла и 𝑡' – в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно ν'𝑡'=ν𝑡. Промежуток времени 𝑡, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен 𝑡=(ν'/ν)𝑡. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (φ=90°, cos φ=0). Отсюда получим

𝑡

𝑡'

_𝑟

В упражнении 27 было указано, что скорость равна β_𝑟=24/25, так что

_𝑟

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

[1-(24/25)]⁻¹

(69/625)⁻¹

25/7

Поэтому, если 𝑡'=7 лет, то 𝑡=255 лет, что уже было получено в упражнении 27. ▲

82. «Не превышайте скорости»

Скорость приближающейся машины равна 𝑣_𝑟=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда

_𝑟

𝑣_𝑟

𝑐

12⋅10⁻⁸

Частота ν' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять φ=π. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по β_𝑟, найдём

ν'

_пад

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

_пад

⎛

⎜

⎝

β_𝑟

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

β_𝑟

⎞

⎟

⎠

ν'

_пад

(1+β

_𝑟

Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ν' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),

_отр

ν'

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟

cos φ').

Теперь φ'=0, так что

_отр

ν'

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

ν'

(1+β

_𝑟

Подставляя сюда полученное выше выражение для ν' найдём

_отр

≈

_пад

(1+β

_𝑟

)²

≈

_пад

(1+2β

_𝑟

Сдвиг частоты приблизительно равен

_отр

–

_пад

⋅

2β

_𝑟

(2455

Мгц

)⋅2⋅12⋅10⁻⁸

≈

590⋅10⁻⁶

Мгц

590

гц

Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно

_отр

2ν

_пад

_𝑟

Если Δ𝑣_𝑟=10 миль/час=4,47 м/сек, то Δβ_𝑟≈10⋅10⁻⁸, и мы получим относительный сдвиг частоты

_отр

_пад

_𝑟

≈

3⋅10⁻⁸

▲

83. Допплеровское уширение спектральных линий

Приравняйте ньютоновское выражение для кинетической энергии её выражению через температуру:

𝑚

〈𝑣²〉

_ср

𝑘𝑇

Отсюда

⎛

⎝

〈𝑣²〉

_ср

⎞½

⎠

⎛

⎜

⎝

3𝑘𝑇

𝑚

⎞½

⎟

⎠

_𝑟

≈

𝑐

⎛

⎝

〈𝑣²〉

_ср

⎞½

⎠

⎛

⎜

⎝

3𝑘𝑇

𝑚𝑐²

⎞½

⎟

⎠

Возьмите уравнение, обратное (122),

ν'

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟

cos φ')

для того, чтобы определить сдвиг частот; положите здесь φ'=0 и используйте приближение для малых β_𝑟:

ν'

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞½

⎟

⎠

≈

ν'

⎛

⎜

⎝

_𝑟

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

_𝑟

⎞

⎟

⎠

≈

ν'

(1+β

_𝑟

Тогда

ν-ν'

ν'

≈

Δν

_𝑟

⎛

⎜

⎝

3𝑘𝑇

𝑚𝑐²

⎞½

⎟

⎠

Наблюдаемая частота будет выше для тех частиц, которые приближаются к наблюдателю, и ниже для тех, которые удаляются. В целом при температурах, совместимых с ньютоновским приближением, должен наблюдаться эффект разброса частот, выражаемый полученной выше формулой («допплеровское уширение спектральных линий»). ▲

84. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя

а) Воспользуемся законами сохранения для того, чтобы определить энергию и импульс частицы, испытывающей отдачу:

𝑚

_𝑟

𝑚

–

𝐸

(энергия),

𝑚

_𝑟

𝐸

(импульс).

Возведите каждое из этих равенств в квадрат и вычтите первое из второго

𝑚

(ch²

_𝑟

–

sh²

_𝑟

)

𝑚

(𝑚-𝐸)²

–

𝐸²

𝑚²

–

2𝑚𝐸

Отсюда следует выражение для энергии

𝐸

𝑚²-𝑚²

2𝑚

В частном случае, когда отношение

𝑚-𝑚

𝑚

мало',

𝐸

(𝑚+

𝑚

)

𝑚-𝑚

2𝑚

≈

𝑚

–

𝑚

𝐸₀

(тем самым определяется 𝐸₀). В точном выражении заменим повсюду 𝑚 по формуле 𝑚=𝑚-𝐸₀; получим

𝐸

𝐸₀

𝑚-𝑚

2𝑚

𝐸₀

𝑚+𝑚-𝐸₀

2𝑚

𝐸₀

⎛

⎜

⎝

–

𝐸₀

2𝑚

⎞

⎟

⎠

что и требовалось показать.

б) Относительная поправка за счёт отдачи при излучении атомами видимого света составляет

Δ𝐸

𝐸₀

≈

3 эв

2⋅10¹⁰ эв

1,5⋅10⁻¹⁰

(отдача).

Если 𝑘𝑇≈1/40 эв, то формула, полученная в упражнении 83, даёт

Δν

Δ𝐸

𝐸₀

√3/40

√10⋅10⁹

≈

3⋅10⁻⁶

(по Допплеру).

Мы видим, что допплеровское уширение частот видимого света, излучаемого атомами, намного больше, чем эффект сдвига энергии фотона за счёт отдачи атома. ▲

85. Эффект Мёссбауэра

Возьмём из предыдущего упражнения уравнение (123)

Δ𝐸

𝐸₀

2𝑚

Как энергию испущенного фотона 𝐸₀=14,4⋅10³ эв, так и массу покоя 𝑚 испустившей его частицы нужно выразить в одних и тех же единицах. Масса покоя протона приблизительно равна 10⁹ эв (см. данные в конце книги); масса покоя 𝙵𝚎⁵⁷, состоящего из 26 протонов и 31 нейтрона, превышает эту величину примерно в 57 раз. Следовательно,

Δ𝐸

𝐸₀

≈-

14⋅10³ эв

2⋅57⋅10⁹ эв

≈-

10⁷

б) Когда 𝑚=1 г=10⁻³/(1,7⋅10⁻²⁷ кг/протон)≈0,6⋅10²⁴ масс протонам ≈0,6⋅10³³ эв, мы получим

Δ𝐸

𝐸₀

≈-

14⋅10³ эв

6⋅10³² эв

≈-

2⋅10⁻²⁹

– относительный сдвиг, намного меньший, чем в случае свободного атома железа! [ср. часть а)].

в) Воспользовавшись результатами упражнения 72, найдём частоту:

𝐸₁

_обычн

(14,4⋅10³

эв

)

(1,6⋅10⁻¹⁹

дж

эв

)

23⋅10⁻¹⁶

дж

ℎν₀

или

ν₀

23⋅10⁻¹⁶ дж

6,6⋅10⁻³⁴ дж/сек

3,5⋅10¹⁸

гц

Ширина линии Δν в герцах равна

Δν

ν₀

3⋅10⁻¹³⋅3,5⋅10¹⁸

гц

10⁶

гц

Относительная ширина спектральной линии, равная 3⋅10⁻¹³, намного меньше, чем относительный сдвиг, обусловленный отдачей свободного атома [т.е. 10⁻⁷ – результат, полученный в части а)], и вместе с тем намного больше, чем относительный сдвиг в процессе без отдачи [2⋅10⁻²⁹ для однограммового образца; см. часть б)]. ▲

86. Резонансное рассеяние

Фотон выполняет двоякую роль. Во-первых, он возбуждает атом, прежде находившийся в состоянии с основной энергией (массой) 𝑚, переводя его в состояние с 𝑚. Для этого он должен столкнуться с атомом и поглотиться им, а значит, передать ему нежелательный толчок. Следовательно, и это во-вторых, фотон передаёт атому также кинетическую энергию отдачи. Если у фотона запас энергии будет достаточен лишь для выполнения первой роли, то он никак не сможет выполнить ни её, ни вторую роль. Если, однако, атом обладает очень большой массой, то при отдаче он приобретёт весьма малую скорость и потеря энергии на отдачу будет мала. Тогда энергия фотона может быть очень близкой к разности 𝑚-𝑚. Кинетическую энергию, переданную атому, в случае таких малых скоростей можно рассчитывать с помощью законов ньютоновской механики:

𝑇

≈

(Импульс)²

2⋅(Масса)

≈

(𝑚-𝑚)²

𝑚

Отсюда можно заключить, что относительная поправка для энергии отдачи приближённо выражается как

Энергия отдачи

Энергия возбуждения

𝑇

𝑚-𝑚

≈

𝑚-𝑚

𝑚

В случае свободного атома железа 𝙵𝚎⁵⁷ это отношение равно

14,4 кэв

2⋅57⋅931 000 кэв

1,4⋅10⁻⁷

т.е. оно слишком велико, чтобы его «не заметил» атом железа. Атом (точнее, его ядро) требует, чтобы энергия падающего фотона выдерживалась с относительной точностью около 3⋅10⁻¹³, иначе этот фотон не будет поглощён. Если же атом принадлежит кристаллу и речь идёт о «поглощении без отдачи», то отдачу приобретает масса кристалла, равная целому грамму, а это 10²² атомов. Увеличение знаменателя дроби в 10²² раз приводит к тому, что вместо прежней относительной поправки на энергию отдачи, равной 1,4⋅10⁻⁷, мы получаем 1,4⋅10⁻²⁹, за которой никакой атом железа не «уследит», и фотон будет поэтому поглощён. ▲

87. Измерение допплеровского смещения по резонансному рассеянию

Возьмём первую формулу из упражнения 76

𝐸

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟

cos

φ')

(источник в системе отсчёта ракеты, поглощающий атом – в лабораторной системе отсчёта). Положим здесь φ'=0 и 𝐸 '=𝐸₀ и запишем результат приближённо для малых скоростей β_𝑟:

𝐸

𝐸₀

⎛

⎜

⎝

1+β_𝑟

1-β_𝑟

⎞

⎟

⎠

≈

𝐸₀

⎛

⎜

⎝

β_𝑟

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

β_𝑟

⎞

⎟

⎠

≈

𝐸₀

(1+β

_𝑟

)

или

𝐸-𝐸₀

𝐸₀

≈

Δ𝐸

𝐸₀

≈

_𝑟

Относительный допплеровский сдвиг частоты, равный 3⋅10⁻¹³, получается, когда скорость также составляет 3⋅10⁻¹³ скорости света, т.е.

𝑣

_𝑟

3⋅10⁻¹³⋅3⋅10⁸

сек

≈

10⁻⁴

сек

10⁻²

см

сек

Число зарегистрированных счётчиком гамма-квантов при этом увеличится, так как поглотитель беспрепятственно пропустит сквозь себя больше падающих на него фотонов, не подвергнув их резонансному рассеянию. Когда источник фотонов удаляется от поглотителя, относительный сдвиг частоты будет отличаться от случая приближения источника лишь знаком, что соответствует изменению знака β_𝑟. В целом поведение счётчика изображено на рис. 154.

Рис. 154.

▲

88. Проверка эффекта гравитационного красного смещения с помощью эффекта Мёссбауэра

Рис. 155.

Возьмём формулу, полученную в части в) упражнения 73,

Δ𝐸

𝐸₀

Δν

ν₀

𝑔*𝑧

где 𝑔*=𝑔/𝑐²=(9,8 м/сек²)/(3⋅10⁸ м/сек)²≈1,1⋅10⁻¹⁶ м/м² для точек на поверхности Земли. Если 𝑧=22,5 м, получим

Δν

≈-

(22,5

)(1,1⋅10⁻¹⁶

⁻¹)

≈-

2,5⋅10⁻¹⁵

Необходимо, чтобы резонансный поглотитель приближался к источнику гамма-квантов; тогда в системе отсчёта поглотителя благодаря эффекту Допплера будет компенсировано гравитационное красное смещение, наблюдаемое в лабораторной системе отсчёта. Вспомним, что в предыдущем упражнении относительная скорость β_𝑟, нужная для оптимального поглощения, была найдена равной относительному сдвигу частоты излучения, которое требуется поглотить. Значит, скорость движения поглотителя должна быть равна

_𝑟

2,5⋅10⁻¹⁵

или

𝑣

_𝑟

≈

10⁻⁶

сек

10⁻⁴

см

сек

(см. рис. 155).

Результаты эксперимента Паунда и Ребки, приведённые на стр. 209, получены путём сравнения двух опытных фактов:

1) результатов измерений сдвига частоты, когда источник находился внизу, а поглотитель – вверху, как и описано в этом упражнении (уменьшение энергии поднимающегося фотона), и 2) результатов измерений этого сдвига, когда источник находился вверху, а поглотитель – внизу (увеличение частоты опускающегося фотона). Следовало ожидать, что относительный сдвиг частоты в обоих случаях должен быть одинаковым, но разного знака; поэтому при вычитании одного результата из другого должен получаться «сдвиг», вдвое больший, чем просто при движении фотона вверх (Паунд и Ребка назвали такой сдвиг «сдвигом в два конца»). Половинное значение численных результатов, полученных Паундом и Ребкой, хорошо согласуется с результатами проведённых нами здесь вычислений. ▲

89. Проверка парадокса часов с помощью эффекта Мёссбауэра

При малых β коэффициент, характеризующий относительное различие в старении атомов-близнецов, можно приближённо представить, пользуясь первыми членами разложения бинома Ньютона:

–

√

1-β²

≈

–

Назад к карточке книги "Физика пространства - времени"