Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 27 страниц)

19*. Преобразование углов

Метровый стержень покоится в системе отсчёта ракеты под углом φ' с осью 𝑥. Под каким углом φ ориентирован тот же метровый стержень к оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта? Чему равна длина этого стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта? Предположим теперь, что направления электрических силовых линий вокруг точечного заряда преобразуются так же, как направление метрового стержня, направленного вдоль той же линии. Качественно изобразите электрические силовые линии изолированного точечного положительного заряда, покоящегося в системе отсчёта ракеты, если их рассматривать: а) в системе отсчёта ракеты и б) в лабораторной системе отсчёта. Какие отсюда можно получить выводы о силах, действующих в лабораторной системе отсчёта на покоящиеся в этой системе пробные заряды, окружающие наш движущийся заряд? ▼

20*. Преобразование скорости вдоль оси 𝑦

Пусть частица движется с постоянной скоростью β^𝑦'=Δ𝑦'/Δ𝑡' в направлении оси 𝑦' в системе отсчёта ракеты. Преобразуйте компоненты её смещения 𝑦 и 𝑡 пользуясь формулами преобразования Лоренца. Покажите, что 𝑥– и 𝑦– компоненты скорости этой частицы выражаются в лабораторной системе отсчёта как

β

^𝑥

=

th θ

_𝑟

,

β

^𝑦

=

β^𝑦'

ch θ_𝑟

.

(49)

▼

21**. Преобразование направлений скоростей

Пусть частица движется со скоростью β' в плоскости 𝑥'𝑦' в системе отсчёта ракеты, и направление её движения образует угол φ' с осью 𝑥'. Найти угол, который образует направление скорости этой частицы с осью 𝑥 в лабораторной системе отсчёта. (Совет: преобразовать не скорости, а смещения). Почему получаемый угол будет иным, чем найденный в упражнении 19? Сравните эти результаты в предположении, что скорость ракеты относительно лабораторной системы отсчёта весьма велика. ▼

22**. Эффект «прожектора»

Световая вспышка испущена под углом φ' к оси 𝑥' в системе отсчёта ракеты. Показать, что угол φ направления распространения этой вспышки по отношению к оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта даётся уравнением

cos φ

=

cos φ'+β_𝑟

1+β_𝑟cos φ'

.

(50)

Показать, что этот результат можно получить из решения предыдущего упражнения, положив в нем скорость β' равной единице. Рассмотрите затем частицу, покоящуюся в системе отсчёта ракеты и равномерно излучающую свет во всех направлениях. Рассмотрите те 50% света, которые эта частица излучает в переднюю полусферу в системе отсчёта ракеты. Примите также, что ракета движется относительно лабораторной системы отсчёта весьма быстро. Требуется показать, что в лабораторной системе отсчёта этот свет сконцентрируется в узкий конус, направленный вперёд по движению, с осью, совпадающей с направлением движения частицы. Это явление называется эффектом «прожектора». ▼

В. ЗАГАДКИ И ПАРАДОКСЫ

23. Парадокс эйнштейновского поезда – подробный пример

Пусть на поезде, движущемся со скоростью β_𝑟, близкой к единице, едут три человека (𝐴, 𝑂 и 𝐵). 𝐴 едет в голове поезда, 𝑂 в середине, а 𝐵 – в хвосте (рис. 39). На земле около железнодорожного пути стоит четвёртый человек, 𝑂'. В тот самый момент, когда 𝑂 проезжает мимо 𝑂', сигналы ламп вспышек от 𝐴 и 𝐵 достигают 𝑂 и 𝑂'. Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника, покажите, что 𝑂 и 𝑂' ответят на этот вопрос по-разному. Найдя качественное решение задачи, вычислите количественно разницу между моментами времени, когда послали сигналы 𝐴 и 𝐵, наблюдаемую в системе отсчёта поезда (Δ𝑡_𝐵𝐴) и в системе отсчёта 𝑂' (Δ𝑡_𝐵𝐴'); пользуясь преобразованием Лоренца или другим путём.

Рис. 39. Кто подал сигнал первым – путешественник 𝐴 или путешественник 𝐵?

Решение. Наблюдатели 𝐴 и 𝐵 покоятся относительно наблюдателя 𝑂. К тому же они находятся на равных расстояниях от 𝑂, что последний может не спеша проверить, пользуясь своей линейкой. Следовательно, сигналам от 𝐴 и от 𝐵 требуется одно и то же время, чтобы достигнуть 𝑂. Эти сигналы принимаются наблюдателем 𝑂. одновременно. Поэтому наблюдатель 𝑂 заключает, что наблюдатели 𝐴 и 𝐵 послали свои сигналы в один и тот же момент: Δ𝑡_𝐵𝐴=0.

Наблюдатель 𝑂', стоящий рядом с железнодорожными путями, делает совершенно иные выводы. Его рассуждения таковы: «Две вспышки пришли ко мне, когда середина поезда проходила мимо меня. Значит, обе эти вспышки должны быть испущены до того, как середина поезда поравнялась со мной. А до этого момента наблюдатель 𝐴 был ко мне ближе, чем наблюдатель 𝐵. Поэтому свет от 𝐵 должен был пройти до меня более длинный путь и затратить на это большее время, чем свет от 𝐴. Но оба сигнала поступили ко мне одновременно. Следовательно, наблюдатель 𝐵 должен был послать свой сигнал раньше, чем наблюдатель 𝐴» (Δ𝑡_𝐵𝐴=𝑡_𝐵'-𝑡_𝐴'). Итак, наблюдатель 𝑂', стоящий рядом с железнодорожными путями, делает заключение, что сначала послал свои сигнал 𝐵, а потом уже', 𝐴 тогда как едущий на поезде наблюдатель 𝑂 заключает, что оба наблюдателя, 𝐴 и 𝐵, послали сигналы в одно и то же время.

Чему равен промежуток времени между посылкой сигналов наблюдателями 𝐴 и 𝐵? В нештрихованной системе отсчёта (поезд) эти сигналы были отправлены одновременно, так что Δ𝑡=0. Расстояние между точками посылки сигналов равно Δ𝑥=Δ𝑥_𝐵𝐴=𝑥_𝐵-𝑥_𝐴=𝐿, где 𝐿 – длина поезда. Поэтому в штрихованной системе отсчёта (движущейся вправо по отношению к нештрихованной системе, то есть поезду, как это бывает обычно при использовании штрихованных и нештрихованных обозначений) промежуток времени между посылкой сигналов 𝐴 и 𝐵 можно найти по формулам преобразования Лоренца:

Δ

𝑡'

=-

Δ

𝑥 sh θ

_𝑟

+

Δ

𝑡 ch θ

_𝑟

,

Δ

𝑡'

=-

𝐿 sh θ

_𝑟

=-

𝐿β_𝑟

√1-β_𝑟²

.

Знак «минус» показывает, что наблюдатель 𝐵, находящийся на положительной части оси 𝑥', отправил свой сигнал раньше по «ракетному» времени (более отрицательное время!), чем наблюдатель 𝐴.

24. Загадка Эйнштейна

Когда Эйнштейн был ребёнком, он ломал голову над такой загадкой: пусть бегун смотрит на себя в зеркало, которое он держит перед собой в вытянутой руке; если он бежит почти со скоростью света, сможет ли он увидеть себя в зеркале? Разберите этот вопрос в рамках теории относительности. ▼

25*. Парадокс шеста и сарая

Взволнованный студент пишет: «Теория относительности – наверняка недоразумение. Возьмём шест длиной 20 м и будем двигать его в направлении его длины с такой скоростью, чтобы в лабораторной системе отсчёта он оказался длиной всего 10 м. Тогда в некоторый момент этот шест можно целиком спрятать в сарае, длина которого также 10 м (рис. 40). Но рассмотрите то же самое в системе отсчёта бегуна с шестом. Для него наполовину сократившимся в длину оказывается сарай. Как же можно спрятать 20-метровый шест в 5-метровом сарае?! Разве этот невероятный вывод не доказывает, что в основе теории относительности где-то есть противоречие?»

Рис. 40. Бегун быстро мчится с «20-метровым шестом», помещающимся в «10-метровом сарае». В следующее мгновенье он выскочит в заднюю дверь, сделанную из бумаги.

Напишите ответ взволнованному студенту, ясно и подробно объяснив в нем, как шест и сарай должны без противоречий рассматриваться в теории относительности. (Развенчайте парадокс, начертив две. диаграммы пространства-времени, соблюдая масштабы, одну на «плоскости» 𝑥𝑡, а другую – на «плоскости» 𝑥'𝑡'. Примите, что в начале координат обеих диаграмм «событие» 𝑄 совпадает с 𝐴. На обеих диаграммах проведите мировые линии точек 𝐴, 𝐵, 𝑃 и 𝑄. Следите за соблюдением масштабов! На обеих диаграммах пометьте время (в метрах) совпадения 𝑄 и 𝐵, 𝑃 и 𝐵. Для определения этого времени воспользуйтесь формулами преобразования Лоренца или иными методами). ▼

26*. Война в космосе

Рис. 41. Два ракетных корабля пролетают мимо друг друга с огромными скоростями.

Две ракеты, обладающие равными длинами покоя, проходят мимо друг друга с релятивистским скоростями на встречных курсах. Наблюдатель 𝑂 располагает в хвостовой части своей ракеты орудием, ствол которого направлен поперёк относительного движения ракет. В тот момент, когда точка 𝑎 и 𝑎' поравнялись друг с другом, она стреляет из своего орудия (рис. 42). В системе отсчёта 𝑂 лоренцеву сокращению подвергается пролетающая мимо ракета, так что наблюдатель 𝑂 ожидает, что его снаряд не попадает в неё. Но в системе отсчёта другого наблюдателя 𝑂' лоренцевски сокращённой представляется ракета 𝑂. Поэтому в тот момент, когда точки 𝑎 и 𝑎' поравнялись друг с другом, наблюдатель 𝑂' отмечает картину (рис. 43). Попадает ли на самом деле снаряд в ракету или пролетит мимо? Дайте подробный ответ, укажите некорректности в постановке задачи и ошибку в одной из диаграмм.

Рис. 42. Наблюдатель в системе 𝑂 ожидает, что снаряд, выпущенный, когда точки 𝑎 и 𝑎' совпадали, не попадёт в другой корабль.

Рис. 43. Наблюдатель в системе 𝑂' ожидает, что снаряд, выпущенный, когда точки 𝑎 и 𝑎' совпадали, попадёт в другой корабль. ▼

27*. Парадокс часов ¹)

¹) Ряд статей, в которых разбирается парадокс часов, вместе с упоминаниями о многих других публикациях см. в сборнике Special Relativity Theory, Selected Reprints, published for the American Association of Physics Teachers by the American Institute of Physics, 335 East 45th Street, New York 17, New York, 1963. [Парадокс часов часто называют «парадоксом близнецов».– Прим. перев.]

(Первый вариант: см. также упражнения 49, 51 и 81).

Близнецы Пётр и Павел расстались в тот день, когда им исполнилось по 21 году. Пётр отправился в направлении оси 𝑥 на 7 лет своего времени (2,2⋅10⁸ сек, или 6,6⋅10¹⁶ м времени) со скоростью 24/25 = 0,96 скорости света, после чего сменил скорость на обратную и за 7 лет вернулся назад, тогда как Павел оставался на Земле, а) В каком возрасте вернулся Пётр? б) Начертите диаграмму пространства-времени, изображающую движение Петра. Укажите на ней 𝑥– и 𝑡-координаты точек поворота и встречи. Для простоты прибегните к идеализации, приняв Землю за инерциальную систему отсчёта, к которой и приурочьте вашу диаграмму, выбрав за начало координат событие отлёта Петра, в) Сколько лет было Павлу в момент встречи? ▼

28*. Предметы, движущиеся быстрее света ²)

²) См. Milton A. Rothman, Things that go Faster than Light, Scientific American, 203, 142 (July, 1960).

Формулы преобразования Лоренца теряют смысл, если принять величину относительной скорости движения двух систем отсчёта больше скорости света. Считается, что вследствие этого масса, энергия и информация (сообщения) не могут передаваться от точки к точке быстрее света. Проверьте этот вывод на следующих примерах.

Рис. 44. Может ли точка пересечения 𝐴 двигаться со скоростью, превышающей скорость света?

а) Парадокс ножниц. Очень длинный прямой стержень, наклонённый под углом φ к оси 𝑥, движется вниз с постоянной скоростью (рис. 44). Найдите скорость β_𝐴, с которой движется точка пересечения 𝐴 нижней грани стержня и оси 𝑥. Может ли эта скорость превзойти скорость света? Можно ли использовать движение точки 𝐴 для передачи сообщения из начала координат наблюдателю, расположенному далеко на оси 𝑥?

б) Предположим, что тот же стержень первоначально покоился, а точка пересечения 𝐴 совпадала с началом координат. Затем та область стержня, которая находилась в начале координат, подвергалась удару молотом, пославшему её вниз. Точка пересечения двинулась вправо. Можно ли было использовать такое движение точки пересечения для передачи сообщения со скоростью, превышающей скорость света?

в) Будем быстро вращать мощный прожектор таким образом, чтобы его луч двигался в одной плоскости. Пусть в этой же плоскости на равных расстояниях от прожектора, но вдали друг от друга находятся два наблюдателя – 𝐴 и 𝐵. Как далеко они должны расположиться от прожектора, чтобы его луч пробегал от 𝐴 до 𝐵 быстрее, чем мог бы пройти световой сигнал от 𝐴 до 𝐵? Перед тем как занять свои места, наблюдатели получили следующие инструкции:

Инструкция для 𝐴: Увидев луч прожектора, немедленно выстрелить в 𝐵.

Инструкция для 𝐵: Увидев луч прожектора, немедленно пригнуться, чтобы избежать пули, посланной 𝐴.

Не передаётся ли при таких обстоятельствах предупреждение от 𝐴 к 𝐵 со скоростью, большей скорости света?

г) В некоторых руководствах к осциллографам пишется, что скорость луча на экране превышает скорость света. Возможно ли это? ▼

Г. ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ

29. Синхронизация движущимися часами – подробный пример

Мистер Энгельсберг не признаёт нашего метода синхронизации часов световыми сигналами (разд. 4). Он заявляет: «Я могу синхронизировать свои часы тем способом, какой мне понравится». Прав ли он? Мистер Энгельсберг хочет синхронизировать пару тождественных часов (назовём их Биг Бен и Литтл Бен), расположенных в миллионе миль друг от друга (чуть больше, чем в 1,5⋅10⁹ м), относительная скорость которых равна нулю. Он берёт для этого третьи часы той же конструкции, что двое первых, и заставляет их двигаться с постоянной скоростью между ними. При прохождении мимо Биг Бена эти часы устанавливаются на то время, которое он показывает в этот момент. Когда движущиеся часы проходят мимо Литтл Бена, этот последний ставится по времени, которое показывают движущиеся часы. «Вот теперь Биг Бен и Литтл Бен синхронизированы»,– объявляет мистер Энгельсберг. Прав ли он? Насколько именно рассинхронизированы при этом Биг Бен и Литтл Бен, если это проверить по решётке часов, покоящейся относительно их и синхронизированной обычным методом световых сигналов? Подсчитайте величину рассинхронизированности, если мистер Энгельсберг пользуется третьими часами, движущимися со скоростью сто тысяч миль в час (4,5⋅10⁴ м/сек). Есть ли какая-нибудь причина (не считая субъективного предпочтения), почему никто из нас не пользуется методом синхронизации, предлагаемым мистером Энгельсбергом?

Решение. Проведём сначала количественный расчёт. Для наблюдения за движущимися (третьими) часами можно воспользоваться решёткой часов, покоящейся относительно Биг Бена и Литтл Бена, которую мы синхронизировали стандартным методом световых сигналов. Относительно этой решётки третьи часы движутся со скоростью 𝑣=4,5⋅10⁴ м/сек, т.е.

β

=

𝑣

𝑐

=

4,5⋅10⁴ м/сек

3⋅10⁸ м/сек

=

1,5⋅10⁴

м

Длины за 1 м светового времени.

При такой скорости третьи часы покрывают расстояние между Биг Беном и Литтл Беном за срок Δ𝑡=10¹³ м светового времени. Сравнивая показания стрелок движущихся часов и часов решётки, мимо которых они поочерёдно проходят, мы сталкиваемся с эффектом замедления времени (упражнение 10. По отношению к часам решётки движущиеся часы будут идти медленнее в (√1-β²)⁻¹ раз. Поэтому эти движущиеся (третьи) часы зарегистрируют в качестве срока путешествия от Биг Бена до Литтл Бена время

Δ

𝑡'

=

Δ

𝑡

√

1-β²

=

Δ

𝑡

⋅

(1-2,25⋅10⁻⁸)¹

^/

².

 

Воспользуемся разложением для бинома

(1-δ)¹

^/

²

=

1

–

δ

2

–

δ²

8

–…

≈

1

–

δ

2

,

(так как величина δ мала) и получим приближённый ответ

Δ

𝑡'

=

Δ

𝑡

–

1

2

⋅2,25⋅10⁻⁸

Δ

𝑡

,

или

Δ

𝑡'

–

Δ

𝑡

=-

1,12⋅10⁻⁸

⋅

10¹³

=-

1,12⋅10⁵

м

=

=-

0,4⋅10⁻³

сек

.

(51)

Поставим стрелки Литтл Бена по движущимся часам, а затем сверим их с соседними часами решётки. Литтл Бен будет отставать от часов решётки на 0,4 миллисекунд (мсек).

Промежуток времени для движущихся часов, равный Δ𝑡' на пути между Биг Беном и Литтл Беном, можно определить и более непосредственным путём. Часы движутся по прямой. Интервал прошедшего времени, зарегистрированный ими на соответствующей мировой линии, равен поэтому собственной длине этой мировой линии между данными двумя событиями, т.е. он равен интервалу между прохождениями мимо Биг Бена и Литтл Бена:

Δ𝑡'=Δ(собственное время)=(Интервал)=

=√(Δ𝑡)²-(Δ𝑥)².

Вычисленная отсюда величина расхождения показаний лабораторных и движущихся часов в полном соответствии с результатом (51) равна

Δ

𝑡'

–

Δ

𝑡

=

√

(

Δ

𝑡)²-(

Δ

𝑥)²

–

Δ

𝑡

.

Обратимся теперь к вопросу о пригодности метода движущихся часов для процедуры синхронизации. Мистер Энгельсберг волен определять синхронизацию как ему будет угодно. Однако, используя метод движущихся часов для синхронизации Биг Бена и Литтл Бена, он натолкнётся на следующие трудности: 1) Время, которое будет поставлено на лабораторных часах при такой синхронизации, окажется зависящим от скорости движущихся часов. Возьмём, например, часы, летящие в десять раз быстрее, чем в разобранном выше случае. Тогда расхождение между Литтл Беном и соседними с ним часами решётки составит уже не 0,4, а 40 мсек. Два Литтл Бена, стоящие рядом друг с другом, будут показывать разное время, если их синхронизировать с Биг Беном с помощью разных часов (движущихся с различными скоростями)! 2) Даже если условиться всегда использовать движущиеся часы, летящие с некоторой данной скоростью, результат синхронизации при таком методе будет зависеть от пути движущихся часов. Чем длиннее будет путь, пройденный движущимися часами с постоянной скоростью, тем больше будут отставать часы Литтл Бен по сравнению с соседними часами решётки. 3) Если движущиеся часы вернутся к Биг Бену, совершив путешествие по замкнутому маршруту, они окажутся рассинхронизированными с Биг Беном по возвращении! (См. парадокс часов; упражнение 27). Метод синхронизации мистера Энгельсберга приводит и к другим неприятностям, но уже приведённых вполне достаточно, чтобы показать его непригодность для составления простого описания явлений, протекающих в пространстве-времени.

30. Конструкция часов и замедление их хода

При описании явления замедления времени (хода часов) в упражнении 10 мы не делали различия между пружинными часами, часами на кварцевом кристалле, биологическими часами (старение), атомными часами, радиоактивными часами или часами, в которых периодический процесс состоит в последовательном отражении светового импульса между двумя параллельными зеркалами. Предположим, что все эти часы отрегулированы таким образом, что идут совершенно одинаково, покоясь в системе отсчёта ракеты. Покажите, что явления замедления хода этих часов (упражнение 10) протекают совершенно одинаково, вне зависимости от их внутреннего механизма, когда они пролетают мимо стандартных часов, покоящихся в лабораторной системе отсчёта. (Обсуждение. Как получилось, что мы до сих пор ни разу не обратили внимания на конструкцию часов? Нужно ли в действительности вводить в рассмотрение какой-либо конкретный механизм часов, если рассматриваются световые сигналы, путешествующие взад и вперёд между часами в целях синхронизации? Требуется ли вообще что-либо ещё, кроме начальной световой вспышки (например, от электрической искры) и полупрозрачных посеребрённых зеркал, установленных в точках наблюдения (рис. 45), для того чтобы получить стандартные отрезки времени?)

Рис. 45. Измерение времени без помощи часов. Пунктирной прямой обозначена мировая линия полупрозрачного зеркала. ▼

31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй

Система отсчёта будет инерциальной в некоторой области пространства и времени, если первоначально покоившаяся пробная частица будет сохранять своё состояние покоя с некоторой данной степенью точности во всей этой области пространства-времени. Как было показано, свободно падающий вблизи Земли космический корабль эффективно является инерциальной системой отсчёта на протяжении периода времени в несколько секунд. Многие опыты, касающиеся быстро движущихся частиц и собственно света, проводятся в лабораториях, жёстко связанных с Землёй, а не находящихся в состоянии свободного падения! В таких связанных с Землёй лабораториях действует сила тяжести. Но тем не менее для проведения некоторых опытов требуется так мало времени, что пробная частица, высвобождаемая в начале опыта, не успевает до его конца пройти в своём падении сколько-нибудь значительный путь. Поэтому для многих экспериментальных целей жёстко связанная с Землёй лаборатория с достаточной степенью точности может быть принята за инерциальную систему отсчёта.

а) Пусть элементарная частица, движущаяся со скоростью, равной 0,96 скорости света, проходит через кубическую искровую камеру, сторона которой равна 1 м. Какое расстояние прошла бы в своём падении под действием гравитационного поля Земли за это время отдельная пробная частица, первоначально находившаяся в покое? Сравните полученную длину с поперечником атомного ядра (несколько превышающего 10⁻¹⁵ м). Подытожьте результат, указав размеры пространственно-временной области, в которой жёстко связанную с Землёй лабораторию можно идеализированно считать инерциальной, и приведя взятую степень точности. Какими размерами должна обладать искровая камера, чтобы, пока элементарная частица со скоростью 0,96 скорости света пересекает её, отдельная пробная частица могла пройти в своём падении из состояния покоя заметное расстояние?

б) В опыте Майкельсона – Морли (упражнение 33) луч света претерпевает отражения между парами зеркал, удалённых друг от друга на 2 м, так что луч проходит в целом путь, равный 22 м. Какое расстояние пройдёт в своём падении из состояния покоя в гравитационном поле Земли пробная частица за то время, пока данный фотон проходит через установку Майкельсона – Морли? С какой степенью точности является инерциальной жёстко связанная с Землёй система отсчёта в той области пространства-времени, где проводится опыт Майкельсона – Морли? ▼

32.* Размеры инерциальной системы

Насколько велика может быть данная область пространства (Δ𝑥=Δ𝑦=Δ𝑧=𝐿 в метрах), насколько долго её можно исследовать (Δ𝑡 в метрах!) и насколько близко она может быть расположена к центру гравитационного притяжения, чтобы ещё нельзя было заметить существенного отличия е этой области от идеальной инерциальной системы отсчёта?

а) Отличие первого рода: относительное ускорение перпендикулярно направлению притяжения.

Рис. 46. Освобождённые на одинаковой высоте (лежащие на одной горизонтали) грузы приближаются друг к другу в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

1) Частный случай. Два массивных шарика высвобождаются в состоянии покоя; оба находятся на высоте 250 м над поверхностью Земли; расстояние между ними -25 м (рис. 46). Покажите, что расстояние между ними уменьшится примерно на 10⁻³ м, прежде чем они упадут на Землю. (Воспользуйтесь методом подобных треугольников или каким-нибудь близким методом. Этот пример обсуждался нами на стр. 19). Время падения с высоты 250 м с ускорением 9,8 м/сек² равно приблизительно 7 сек, или 21⋅10⁸ м светового времени. Итак, падающий железнодорожный вагон может рассматриваться как инерциальная система отсчёта при условиях, что:

Условия

,

соответствующие тому

,

что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо

ε

(

наименьшее отличие

,

доступное обнаружению при помощи данных приборов)

ε≥1⋅10⁻³

м

𝑟

(

расстояние от центра Земли

)

Δ

𝑥

(

расстояние по горизонтали

)

Δ

𝑦

и

Δ

𝑧

(

протяжённость области в двух других направлениях

)

Δ

𝑡

(

время наблюдения

)

𝑟≥𝑟₀=6,4⋅10⁶

м

Δ

𝑥=𝐿≤25

м

При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]

Δ

𝑡≤21⋅10⁸

м

(7

сек

)

2) Более общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑥 от пробной частицы 𝐴. Обе они находятся на одинаковом расстоянии 𝑟 от центра притяжения и рассматриваются в течение времени Δ𝑡. Обозначим через 𝑎 общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек²), а через 𝑎*=𝑎/𝑐² – величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы 𝐵 относительно 𝐴, (Δ𝑎^𝑥)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой

(

Δ

𝑎

^𝑥

)*

=-

Δ𝑥

𝑟

𝑎*

.

(52)

(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).

б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.

1) Общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑧 от пробной частицы 𝐴, и на одной прямой с ними на расстоянии 𝑟 находится притягивающий центр. Таким образом, частица 𝐵 находится дальше от центра, чем 𝐴, и на неё действует меньшая сила. Поэтому 𝐵 отстаёт в своём падении от 𝐴, а наблюдатель, расположенный на 𝐴, найдёт, что на 𝐵 действует ускорение в положительном направлении оси 𝑧. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно

(

Δ

𝑎

^𝑧

)*

=

+2

Δ𝑧

𝑟

𝑎*

.

(53)

(Совет: воспользуйтесь тем фактом, что величина 𝑎* убывает обратно пропорционально квадрату расстояния по закону всемирного тяготения Ньютона: 𝑎*=const/𝑟². Возьмите разность сил на расстояниях 𝑟 и 𝑟+Δ𝑧 Воспользуйтесь чрезвычайной малостью Δ𝑧 (каких-нибудь несколько метров) до сравнению с 𝑟 (тысячи километров) и упростите результат).

Рис. 47. Освобождённые на одной вертикали, но на разных высотах грузы удаляются друг от друга в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

2) Частный случай (см. стр. 17). Пусть одна пробная частица находится на высоте 250 м над поверхностью Земли, а другая – на высоте 275 м. Насколько увеличится разность высот (25 м) этих частиц за те (приблизительно) 7 сек, пока они не упадут на Землю? [Наводящий вопрос: во сколько раз различаются численные значения для Δ𝑎^𝑧 в (б1) и для Δ𝑎^𝑥 в (а2)?] Дополните (или, если угодно, пересмотрите) на основании этого результата таблицу на стр. 99.

в) Случай, когда исследуемая область далека от центра Земли.

Агентство космических исследований расширяет опыты над пробными частицами и космическими лучами. Исследовательская группа приходит к заключению, что использовавшаяся в прежних исследованиях область недостаточно обширна для проведения новых программ, а время 7 сек недостаточно велико. Руководство утверждает их заявку на размеры области Δ𝑥=200 м, Δ𝑦=200 м, Δ𝑧=100 м и время 100 сек с тем же допуском, что и раньше (ε=1⋅10⁻³ м =1 мм). На расстояние скольких земных радиусов от центра Земли нужно забросить с помощью ракет оборудование, чтобы отклонение системы отсчёта от идеально инерциальной было менее приемлемого нижнего предела? (Некоторые возможные попутные вопросы: как изменяется в зависимости от расстояния 𝑟 от центра Земли величина 𝑎*? Как зависят от 𝑟 величины (Δ𝑎^𝑥)* и (Δ𝑎^𝑧)*? Как зависят Δ𝑥 и Δ𝑧 от (Δ𝑎^𝑥)*, (Δ𝑎^𝑧)* и от времени Δ𝑡?) ▼

33*. Опыт Майкельсона – Морли ¹)

¹ A.A. Michelson, E.W. Morley, American Journal Of Science, 34, 333 (1887). Логическое место этого опыта в теории относительности разобрано в статье: Н. P. Robertson, Reviews of Modern Physics, 21, 378 (1949). (См. историю опыта Майкельсона– Морли в книге: Б. Джефф, Майкельсон и скорость света, ИЛ, М., 1963.– Прим. перев.)

а) Пусть самолёт движется относительно воздуха со скоростью 𝑐 (не скорость света!) из пункта 𝐴 в пункт 𝐵. В направлении от 𝐵 к 𝐴 дует со скоростью 𝑣 сильный ветер. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту от 𝐴 до 𝐵 и обратно до 𝐴 превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(𝑣²/𝑐²)] раз. Парадокс: Казалось бы, ветер должен был бы ускорять полёт в одну сторону и замедлять – в другую в равной мере. Почему же тогда время полёта по замкнутому маршруту различно в зависимости от того, дует ветер или нет? Дайте этому простое физическое объяснение. Что произойдёт в том случае, когда скорость ветра близка к скорости самолёта?

б) Пусть теперь тот же самолёт летит по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐶. Расстояние между этими пунктами то же, что между 𝐴 и 𝐵, но направление 𝐴𝐶 перпендикулярно направлению 𝐴𝐵, так что при полёте между 𝐴 и 𝐶 самолёт движется поперёк ветра. Показать, что время полёта по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐶 превышает в этом случае время такого же полёта по замкнутому маршруту в условиях безветрия в 1/[1-(𝑣²/𝑐²)] раз.

в) Пусть из пункта 𝐴 одновременно с одинаковой скоростью относительно воздуха вылетают два самолёта. Один летит из 𝐴 в 𝐵 и назад в 𝐴 сначала против ветра, а затем по ветру (скорость ветра равна 𝑣). Другой самолёт летит из 𝐴 в 𝐶 и назад в 𝐴 всё время поперёк ветра. Какой из них вернётся первым в 𝐴 и чему будет равен промежуток времени между моментами их возвращения? Покажите с помощью формулы разложения бинома, что при 𝑣≪𝑐 этот промежуток времени можно приближённо выразить как

Δ

𝑡

=

𝐿

2𝑐

𝑣²

𝑐²

где 𝐿 – длина пути по замкнутому маршруту между 𝐴 и 𝐵 (и между 𝐴 и 𝐶).

г) Пусть на Южном полюсе находится Центр снабжения исследовательских станций, расположенных на окружности радиуса 300 км с центром в полюсе. Каждый понедельник множество грузовых самолётов одновременно вылетает из Центра и летит по радиусам во всех направлениях на одной и той же высоте. Каждый самолёт сбрасывает над своей станцией грузы и сразу же направляется обратно на базу. На холме, с которого удобно обозревать Центр снабжения, стоит распорядитель с секундомером в руках. Он обнаруживает, что не все самолёты возвращаются на базу одновременно. Его ставит в тупик такой разнобой, ибо по точным промерам он знает, что: 1) расстояния от базы до всех станций одинаковы, 2) каждый самолёт его эскадрильи летит относительно воздуха с одной и той же скоростью, а именно 300 км/час, и 3) путь каждого самолёта относительно поверхности Земли представляет собой прямую, соединяющую Центр со станцией (как туда, так и обратно). В конце концов наш распорядитель решает, что разброс во времени возвращения самолётов связан с ветром, дующим на той высоте, где летят самолёты. По своему секундомеру он обнаруживает, что интервал времени между моментами возвращения первого и последнего самолётов равен 4 сек. Чему равна тогда скорость, с которой дует ветер на той высоте, где летят самолёты? И что может сказать распорядитель о направлении этого ветра?

д) В своём знаменитом опыте Майкельсон и Морли пытались обнаружить так называемый эфирный ветер – эффект движения Земли относительно эфира, причём в этом последнем свет, как считалось, распространяется со скоростью 𝑐. Они произвели сравнение интервалов времени, за которые свет проходит замкнутые пути («туда и обратно») параллельно направлению движения Земли вокруг Солнца и перпендикулярно этому направлению. В их опыте свет многократно отражался между почти параллельными зеркалами [что соответствовало многократным полётам самолётов взад и вперёд в примере (в)]. Таким способом удалось добиться, чтобы полная длина замкнутого пути распространения света составила 22 м. Если эфир неподвижен относительно Солнца, а Земля движется по своей орбите со скоростью 30⋅10³ м/сек, то чему будет приблизительно равна разница во времени возвращения световых импульсов, испущенных одновременно, но распространявшихся по двум взаимно перпендикулярным путям? Эта разница оказывается недоступной прямому измерению ввиду своей малости даже для современных приборов, и поэтому предсказания гипотезы эфирного ветра проверялись с помощью следующего косвенного метода.