Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 27 страниц)
Короче говоря, один элементарный треугольник на рис. 13, а изображает сразу 4 замечательные идеи, лежащие в основе всей частной теории относительности: инвариантность длин, поперечных движению; инвариантность величины скорости света; зависимость пространственной и временно'й координат от выбора системы отсчёта; инвариантность интервала.
Парадоксально ли различие между промежутками времени, прошедшего в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты?
Итак, в рис. 13, а вкратце содержится вся частная теория относительности в легко запоминающемся виде. Однако проделанный анализ приводит к тому, что на первый взгляд кажется нелепостью. Какой смысл можно вообще усмотреть в том, что промежуток времени между двумя событиями больше в лабораторной системе отсчёта, чем в системе ракеты? Разве мы не приводили уже в качестве довода, что «длины, перпендикулярные направлению относительного движения систем», одинаковы, «в противном случае одну из систем было бы можно отличить от другой по более коротким поперечным масштабам?» Как же быть в этом случае с разными промежутками времени в двух системах отсчёта? Разве это различие не даст возможности физически провести различие между той и другой системами? И разве возможность такого различия не исключена принципом относительности, утверждающим, что одна инерциальная система отсчёта нисколько не хуже другой?
Сравнение относительности времени (Лоренц) с относительностью выбора направления на «север» (Эвклид)
Рис. 14. Удалённость точки 𝐵 от точки 𝐴 по координате «север—юг» («северное склонение 𝐵 относительно 𝐴») зависит от выбора направления на север.
Чтобы ответить на эти вопросы, вернёмся к притче о землемерах. Возьмём точку 𝐵 на рис. 14. Она расположена на 1 м прямо к северу от другой точки 𝐴 согласно построениям ночного землемера (определение направления на север по Полярной звезде). Рассмотрим теперь положение точки 𝐵 с позиций дневного землемера (ориентация на север по магнитной стрелке). Будет ли разность координат Δ𝑦 между 𝐴 и 𝐵 (на языке землемеров – северное склонение) также равна 1 м в дневной системе? Нет, Δ𝑦 здесь меньше, чем 1 м! Почему же? Дело в том, что высота (Δ𝑦) прямоугольного треугольника короче, чем его гипотенуза (1 м). Значит ли это, что правила триангуляции в дневной системе координат отличаются от этих правил в ночной системе координат? Конечно, нет! Точно так же нет дефектов в конструкции и ходе лабораторных часов, на которые можно было бы списать большую длительность промежутка времени 𝐴𝐵. Это «расхождение» в показаниях лабораторных часов и часов на ракете обусловлено лишь самой природой геометрии пространства-времени. Так уж устроен мир! В табл. 6 проведена параллель между геометрией пространства-времени по Лоренцу и эвклидовой геометрией мира землемеров.
Таблица 6.
Различие «северного склонения» (координата 𝑦) точек 𝐴 и 𝐵 в дневной и ночной системах координат и различие времени между событиями 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и системе ракеты. Сравнительный анализ
Вопросы
Ответы студента-геодезиста о различии «северного склонения» между точками 𝐴 и 𝐵 (см. рис. 14)
Ответы студента-физика о различии времени между событиями 𝐴 и 𝐵 (см. рис. 13)
В какой системе отсчёта имеет самый простой вид взаимная удалённость 𝐴 и 𝐵?
В системе координат ночного землемера, сориентированной на Полярную звезду
В системе отсчёта ракеты
Какое обстоятельство упрощает картину в этой системе отсчёта?
Обе точки обладают одинаковым значением координаты 𝑥', т.е. Δ𝑥'=0
Оба события обладают одинаковым значением координаты 𝑥', т.е. Δ𝑥'=0
Почему это обстоятельство упрощает измерение удалённости 𝐴𝐵?
Достаточно единственного метрового стержня, ориентированного на Полярную звезду, чтобы: 1) удостовериться, что координата 𝑥' обеих точек одинакова, и 2) непосредственно измерить «северное склонение» точки 𝐵 относительно точки 𝐴
Достаточно одних часов-хронографа, связанных с системой отсчёта ракеты, чтобы: 1) удостовериться, что координата 𝑥' обоих событий одинакова, и 2) непосредственно измерить запаздывание во времени события 𝐵 относительно события 𝐴
Назовите другую систему, в которой исследуется удалённость 𝐴 и 𝐵
Система координат дневного землемера, сориентированная по магнитному компасу
Лабораторная система отсчёта
Какое усложнение возникает в этой системе при анализе удалённости?
Ни один из метровых стержней, ориентированных по направлению на магнитный полюс, не может сам по себе указать относительное положение точек 𝐴 и 𝐵
Ни одни часы-хронограф в лаборатории не могут в отдельности измерить положение как 𝐴, так и 𝐵
Как преодолевается эта трудность?
Необходимы два ориентированных по направлению на север метровых стержня, один из которых сдвинут на Δ𝑥 м вправо от другого
Необходимы двое таких лабораторных часов, одни из которых сдвинуты на Δ𝑥 м вправо от других
Какие данные фиксирует первый из этих измерительных приборов?
Точку 𝐴 при 𝑦=0
Событие 𝐴 при 𝑡=0
Укажите данные второго измерительного прибора
Точка 𝐵 расположена на Δ𝑦 м к северу
Событие 𝐵 запаздывает на Δ𝑡 сек
Измеряется ли удаление 𝐵 от 𝐴 непосредственно найденной этим путём координатой 𝐵?
Нет. «Северное склонение» меньше, чем расстояние 𝐴𝐵 Точнее: Δ𝑦=√(𝐴𝐵)²-(Δ𝑥)²
Нет. Запаздывание Δ𝑡 больше, чем интервал 𝐴𝐵. Точнее: Δ𝑡=√(𝐴𝐵)²+(Δ𝑥)²
Как же тогда найти удаление 𝐴𝐵. из измерений в этой системе?
По формуле для расстояния: (Расстояние)²=(Δ𝑥)²+(Δ𝑦)². (Проверьте, подставив сюда выражение для Δ𝑦, данное в предыдущем ответе!)
По формуле для интервала: (Интервал)²=(Δ𝑡)²-(Δ𝑥)². (Проверьте, подставив сюда выражение для Δ𝑡, данное в предыдущем ответе!)
Как различаются данные в штрихованной и нештрихованной системах в этих примерах?
Δ𝑦 меньше, чем Δ𝑦' (=𝐴𝐵)
Δ𝑡 больше, чем Δ𝑡' (=𝐴𝐵)
Нет ли в этих выводах чего-нибудь нелепого?
В том смысле, что одинаковые метровые стержни дают неодинаковое «северное склонение»?
В том смысле, что одинаковые часы указывают неодинаковое время?
Да; не доказывает ли это расхождение, что в рассуждения вкрались внутренние противоречия?
Нет. Расстояние 𝐴𝐵 можно измерить одним стержнем, ориентированным «по-ночному». Но нет такого индивидуального метрового стержня, ориентированного «подневному», который дал бы (меньшее) магнитное «северное склонение» 𝐵 относительно 𝐴. Поэтому нельзя сказать, что какой-либо из «дневных» метровых стержней противоречит «ночному» метровому стержню
Нет. Интервал 𝐴𝐵 прямо дают одни часы на ракете. Но нет таких индивидуальных часов, связанных с лабораторией, которые показали бы (большее) запоздание события 𝐵 относительно 𝐴. Поэтому нельзя сказать, что какие-либо из лабораторных часов противоречат часам на ракете
Вызвана ли такая несимметричная разница между значениями координат в штрихованной и нештрихованной системах отсчёта каким либо фундаментальным различием между этими системами?
Из-за Δ𝑦<Δ𝑦'? Нет!
Из-за Δ𝑡>Δ𝑡'? Нет!
Что же тогда ответственно за такую асимметрию?
Просто то стечение обстоятельств, что точка 𝐵 взята на одной прямой север – юг, что и точка 𝐴, при ориентации по Полярной звезде, но не на одной прямой север – юг при ориентации по магнитному компасу
Просто то стечение обстоятельств, что событие 𝐵 произошло в системе отсчёта ракеты в одном месте с 𝐴, но не в одном месте с 𝐴 в лабораторной системе отсчёта
Чем можно здесь проиллюстрировать полное физическое равноправие этих двух систем?
Нужно рассмотреть точку 𝐶 обладающую такой же 𝑥-координатой, что и 𝐴 (т.е. взять 𝐶 на одной линии север – юг с 𝐴 при ориентации по магнитному компасу)
Нужно рассмотреть событие 𝐶, обладающее такой же 𝑥-координатой, что и 𝐴 (т.е. взять 𝐶 в том же месте в лабораторной системе, что и 𝐴, но позднее во времени)
Как будут различаться результаты измерений в штрихованной и нештрихованной системах при таком выборе точки 𝐶?
Δ𝑦 (=𝐴𝐶) будет больше, чем Δ𝑦'
Δ𝑡 (=𝐴𝐶) будет меньше, чем Δ𝑡'
Как вы подытожите это обсуждение?
Нет никакого парадокса в том, что компонента север – юг для 𝐴𝐵 имеет разные значения в двух разных системах координат. Это различие – не следствие неисправности метровых стержней и даже вообще не порок. «Расхождение» в выводах обусловлено внутренней природой эвклидовой геометрии
Нет никакого парадокса в том, что время, прошедшее между 𝐴 и 𝐵, различно в двух разных системах отсчёта. Это различие – не следствие неисправности часов и даже вообще не порок. «Расхождение» в выводах обусловлено внутренней природой геометрии пространства-времени, в котором реализуется вся физика
6. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ДИАГРАММЫ 1). МИРОВЫЕ ЛИНИИ
1) Пространственно-временны'е диаграммы обычно называют диаграммами Минковского.– Прим. перев.
Пространственно-временные диаграммы как удобный способ изображения событий
а) Диаграмма пространства-времени в лабораторной системе отсчёта.
б) Диаграмма пространства-времени в системе отсчёта ракеты.
в) Диаграмма пространства-времени времени в системе отсчета сверхракеты.
Рис. 15. Диаграммы пространства-времени, описывающие излучение опорной вспышки и её приём после отражения. Дуга гиперболы, изображённой на каждой диаграмме, описывается уравнениями
(Интервал)² = 𝑡²-𝑥² = 𝑡'²-𝑥'² = 𝑡ʺ²-𝑥ʺ² .
Удобно рассматривать события предыдущего параграфа (акты излучения и приёма световой вспышки), изображая положение события в пространстве на горизонтальной оси, а время события – на вертикальной оси диаграммы пространства-времени (рис. 15). Свет был излучён лампой-вспышкой, закреплённой на опорных часах первой ракеты. Эта лампа дала вспышку в тот момент, когда часы пролетали мимо опорных часов лаборатории. И те и другие часы в это время показывали нуль времени. Поэтому событие – акт излучения – располагается в начале координат диаграммы пространства-времени, построенной наблюдателем на ракете:
𝑥
излуч
'=0,
𝑡
излуч
'=0.
Это событие располагается также в начале координат диаграммы пространства-времени наблюдателя в лаборатории:
𝑥
излуч
=0,
𝑡
излуч
=0.
Дальнейшая история испущенного светового луча выглядит по-разному на диаграммах пространства-времени лаборатории и обеих ракет. В первой ракете приём отражённого луча происходит в точке 𝑥'=0 на 2м времени позже опорного события
𝑥
приём
'=0,
𝑡
приём
'=2
м
.
как это уже отмечено в табл. 5 и как можно непосредственно увидеть на рис. 15, б. В лабораторной системе отсчёта событие – акт приёма – происходит справа от начала координат:
𝑥
приём
=
Положительная величина,
𝑡
приём
=
√
(2
м
)
²
+(
𝑥
приём
)
²
=
=
Момент времени,
больший 2 м
,
что изображено на рис. 15, а. В системе отсчёта второй ракеты (которая летит быстрее, чем первая!) событие – акт приёма – происходит слева от начала координат (рис. 15, в).
𝑥
приём
ʺ
=
Отрицательная величина,
𝑡
приём
ʺ
=
√
(2
м
)
²
+(
𝑥
приём
ʺ
)
²
=
=
Момент времени,
больший 2 м
(снова!).
Различные точки, помеченные на разных диаграммах пространства-времени как акт приёма, относятся к одному и тому же событию. Событие одно, но его координаты в разных системах отсчёта различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одного и того же события? Все они удовлетворяют уравнению
⎛
⎜
⎜
⎝
Разница
во
времени
⎞²
⎟
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎜
⎝
Расстояние
в
пространстве
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
(Интервал)
²
=
=
Постоянная величина.
Но это – уравнение гиперболы. Итак, событие, изображённое на гиперболе 𝑡²-𝑥²=(постоянная величина) диаграммы пространства-времени некой лаборатории или ракеты, будет изображаться также на гиперболе, описываемой тем же уравнением, диаграммы пространства-времени любой другой лаборатории или ракеты.
На диаграмме пространства-времени инвариантный интервал соответствует гиперболе
Рис. 16. Относительное расположение координатных осей, соответствующее выбору направления на север дневного, ночного и некоего третьего землемеров.
Существует ли аналогичная кривая, сопоставляющая разные значения координат, получаемые для одних и тех же ворот дневным и ночным землемерами? Координаты 𝑥 и 𝑦, скажем, ворот 𝐴 относительно городской площади определяются в зависимости от выбора направления на север (рис. 16). Дневной и ночной планы этих ворот изображены на рис. 17, а и б. Сделаем ещё один, третий (отличающийся от двух первых), выбор координатных осей, повёрнутых ещё больше, чем ночные оси относительно дневных. Для землемера, пользующегося этим третьим выбором координатных осей, координата 𝑥ʺ ворот 𝐴 может оказаться отрицательной (рис. 17, в).
а) Чертёж дневного землемера.
б) Чертёж ночного землемера.
в) Чертёж третьего землемера.
Рис. 17. Координаты ворот 𝐴, измеренные соответственно дневным, ночным и третьим землемерами. Дуга окружности, изображённая на каждой схеме, описывается уравнениями
(Расстояние)
²
=
𝑥²+𝑦²
=
𝑥'²+𝑦ʺ²
=
𝑥'²+𝑦ʺ²
Инвариантное расстояние соответствует окружности на диаграмме 𝑥𝑦
Различные точки, помеченные на разных чертежах как «ворота 𝐴», относятся к одним и тем же воротам. Ворота одни, но их координаты на разных планах различны. Что же объединяет между собой эти разные координаты одних и тех же ворот? То, что все они удовлетворяют условию
⎛
⎜
⎜
⎝
Разность
координат
𝑥
⎞²
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎝
Разность
координат
𝑦
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
=
(Расстояние)
²
=
Постоянная величина.
Но это – уравнение окружности. Итак, точка, изображённая на окружности 𝑥²+𝑦²=(постоянная величина) в системе координат любого землемера, будет изображаться также на окружности, описываемой тем же уравнением, в системе координат любого другого землемера.
Это – основное различие между школьной эвклидовой геометрией и реальной лоренцевой геометрией пространства-времени. В эвклидовой геометрии инвариантно расстояние между парами точек, и поэтому для всех землемеров ворота 𝐴 будут изображаться где-либо на окружности (плоскости 𝑥𝑦) с центром в городской площади. В лоренцевой геометрии инвариантен интервал между событиями, и поэтому для всех наблюдателей в лабораториях и ракетах данное событие будет изображаться где-либо на гиперболе (на диаграмме пространства-времени) по отношению к опорному событию.
В эвклидовой геометрии длина (или её квадрат) всегда положительна:
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
=
(
Δ
𝑥')²
+
(
Δ
𝑦')²
≥
0.
Напротив, квадрат интервала в лоренцевой геометрии
(
Δ
𝑡)²
–
(
Δ
𝑥)²
=
(
Δ
𝑡')²
–
(
Δ
𝑥')²
может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от того, какая составляющая в нем преобладает – временная или пространственная. Более того, к какому бы из этих типов ни принадлежал интервал в одной системе отсчёта, он останется того же типа и в любой другой системе отсчёта, так как величина интервала одинакова во всех системах. Значит, мы обнаружили, что в природе существует фундаментальный способ классифицировать порядок событий. Мы назовём интервал между двумя событиями временноподобным, светоподобным или пространственноподобным в зависимости от того, положителен, равен нулю или отрицателен его квадрат (см. табл. 7) 1).
1) В отечественной литературе чаще говорят не «светоподобный», а «изотропный», иногда– «нулевой», однако термин «светоподобный» вполне отвечает существу дела, и мы его сохранили в переводе. Довольно употребительный термин «времениподобный», кажущийся на первый взгляд менее двусмысленным, чем «временноподобный», едва ли может быть предпочтён последнему ввиду законов словопостроения русского языка. Отметим, что ряд авторов используют определение квадрата интервала, отличающееся от принятого в этой книге знаком, ввиду чего временноподобный квадрат интервала у них отрицателен, а пространственноподобный – положителен.– Прим. перев.
Таблица 7.
Классификация взаимной упорядоченности пар событий
Характер описания
Величина
квадрата интервала
Наименование
Временна'я часть интервала преобладает по сравнению с пространственной
Положительна
Временноподобный интервал
Временна'я часть интервала равна его пространственной части
Равна нулю
Светоподобный (изотропный) интервал
Пространственная часть интервала преобладает по сравнению с временно'й
Отрицательна
Пространственноподобный интервал
Три типа интервалов между парами событий: временноподобный, светоподобный и пространственноподобный
В зависимости от того, временноподобный он или пространственноподобный, интервал между двумя событиями обозначается по-разному. Временноподобный интервал записывается с помощью греческой буквы «тау» (τ) и называется также инвариантным временноподобным расстоянием или собственным временем (иногда – локальным временем) между двумя событиями:
Δ
τ
=
√
(
Δ
𝑡)²-
Δ
𝑥)²
.
(7)
Собственное время и собственное расстояние
Пространственноподобный интервал обозначается с помощью греческой буквы «сигма» (σ) и называется инвариантным пространственноподобным расстоянием или собственным расстоянием между двумя событиями:
Δ
σ
=
√
(
Δ
𝑥)²-
Δ
𝑡)²
.
(8)
Мировая линия частицы
Рис. 18. Временноподобная мировая линия частицы.
На рис. 18 изображено положение частицы в пространстве в функции времени в предположении, что частица в момент 𝑡=0 находилась в начале координат и затем двигалась вдоль оси 𝑥. Такой график зависимости положения в пространстве от времени на пространственно-временной диаграмме, называется мировой линией частицы. Каждые встречающиеся с частицей часы решётки регистрируют время встречи, так что мировая линия частицы в некотором смысле есть сумма таких отдельных событий-встреч. Никто никогда не наблюдал частиц, движущихся быстрее света. Поэтому любая частица всегда проходит за 1 м светового времени менее 1 м пути. Это значит, что разница во времени между всеми событиями на мировой линии частицы больше, чем расстояние между ними в пространстве, т.е. мировая линия частицы складывается из событий, временноподобных по отношению к исходному событию и по отношению друг к другу. Иначе говоря, мировая линия частицы должна быть временноподобной. Временноподобная мировая линия характеризуется в каждой точке 𝑃 касательной к ней в этой точке, лежащей где-то между мировыми линиями световых лучей, испущенных в той же точке. Эти световые лучи распространяются за 1 м светового времени на 1 м длины. События, лежащие на мировой линии светового луча, одинаково отстоят друг от друга в пространстве и во времени. Поэтому мировая линия светового луча складывается из событий, светоподобных по отношению к исходному событию и друг к другу. Иначе говоря, мировая линия светового луча должна быть светоподобной.
Путь в пространстве обладает длиной
Центральным в эвклидовой геометрии является понятие расстояния. Например, пользуясь гибкой измерительной рулеткой, легко найти расстояние Δ𝑠 вдоль пути, начинающегося на городской площади и идущего по кривой через городские ворота 𝐴 (рис. 19а). Расстояние Δ𝑠 между двумя любыми близкими точками на этом пути (например, теми, что обозначены на рисунке как 3 и 4) можно также вычислить исходя из разностей координат Δ𝑥 и Δ𝑦 этих точек в каждой из систем координат. Ввиду инвариантности расстояния оно будет для этой пары точек одним и тем же в любой из систем координат, хотя сами разности координат Δ𝑥 и Δ𝑦 будут различны в разных системах. Также и расстояния между всеми другими парами соседних точек на этом пути не будут зависеть от выбранной для расчётов системы координат. Значит, это заключение справедливо и в отношении суммы всех отрезков данного пути! Итак, разные землемеры, пользующиеся различными системами координат, найдут, что длина данного пути от определённой начальной точки 𝑂 до определённой конечной точки 𝐵 для всех них одинакова.
Рис. 19а. Расстояние вдоль искривлённого пути, начинающегося на городской площади. Заметим, что полное расстояние вдоль искривлённого пути от точки 𝑂 до точки 𝐵 больше, чем расстояние по прямому пути (ось 𝑦) от точки 𝑂 до точки 𝐵.
Рис. 19б. Собственное время вдоль искривлённой мировой линии на диаграмме пространства-времени. Заметим, что полное собственное время вдоль искривлённой мировой линии от события 𝑂 до события 𝐵 меньше, чем собственное время по прямой оси 𝑡 от события 𝑂 до события 𝐵.
Но от 𝑂 до 𝐵 можно пройти и по совершенно другому пути, например по прямой 𝑂𝐵 (рис. 19а). Этот новый путь, очевидно, обладает другой длиной, чем старый. Такое различие в длинах разных путей между 𝑂 и 𝐵 – настолько общеизвестный факт в эвклидовой геометрии, что не требует никаких комментариев и уж, конечно, не вызывает удивления. В эвклидовой геометрии путь по кривой между заданными двумя точками длиннее, чем прямолинейный путь между этими же двумя точками. Различие же длин для разных путей не приводит ни к каким противоречиям, и никто не станет заявлять, будто измерительная рулетка даёт неверный результат, если её протянуть в соответствии с кривизной пути.
Прямой путь обладает наименьшей длиной
Собственное время играет ту же роль для мировой линии в лоренцевой геометрии, какую играла длина для пути в эвклидовой геометрии. Пусть началом мировой линии служит событие 𝑂 а концом – событие 𝐵. Существует бесконечное множество разных мировых линий, соединяющих события 𝑂 и 𝐵. Соответствующий каждой из них промежуток собственного времени определён вполне однозначно, но различен для разных мировых линий. Удивительно ли это? Если да, то следует подробнее рассмотреть определение собственного времени и методику его измерения.
Протяжённость мировой линии измеряется собственным временем
Рассмотрим частицу, движущуюся от 𝑂 к 𝐵 по искривлённой мировой линии (рис. 19б) 1). В этом случае частица движется реально вдоль оси 𝑥 с переменной скоростью. Пусть эта частица посылает световой сигнал через каждый метр времени по часам, движущимся вместе с частицей. Собственное время Δτ, прошедшее между каждыми двумя последовательными вспышками (например, обозначенными на рисунке через 3 и 4), можно вычислить, исходя из разностей координат Δ𝑥 и Δ𝑡 этих событий, измеренных в некоторой инерциальной системе отсчёта. Ввиду инвариантности этого интервала промежуток собственного времени между двумя данными событиями будет одним и тем же, в какой бы инерциальной системе отсчёта мы его ни вычисляли, хотя сами разности пространственных и временных координат Δ𝑥 и Δ𝑡 будут различны в разных системах отсчёта. Интервалы между всеми другими парами последовательных событий-вспышек на этой мировой линии не будут зависеть от выбранной для вычисления величины интервала системы отсчёта. Значит, это заключение справедливо и в отношении суммы интервалов собственного времени между всеми событиями-вспышками на данной мировой линии! Итак, разные наблюдатели в различных инерциальных системах отсчёта найдут, что промежуток собственного времени между определённым начальным событием 𝑂 и определённым конечным событием 𝐵 вдоль данной мировой линии для всех них одинаков.
1) Конечно, движения вдоль мировой линии реально не происходит, как это и подчеркивается в следующей фразе. Авторы очень удачно охарактеризовали ранее мировые линии на диаграммах Минковского как изображение функциональной зависимости пространственной координаты 𝑥 материального объекта от времени. Поэтому читатель, встречая употребляемое для краткости выражение «движение по мировой линии», должен сопротивляться искушению понимать его буквально.– Прим. перев.
Прямая мировая линия соответствует наибольшему промежутку собственного времени
Но от события 𝑂 до события 𝐵 можно «пройти» и по совершенно другой мировой линии, например по прямой 𝑂𝐵 (рис. 19б). Этой новой мировой линии, очевидно, соответствует другой промежуток собственного времени, чем старой мировой линии. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия между двумя заданными событиями короче, чем прямая мировая линия между теми же двумя событиями,– короче в смысле соответствующего ей промежутка собственного времени (рис. 20). Расстояние между двумя соседними точками по кривому пути всегда равно или больше разности координат 𝑦 этих точек. Напротив, промежуток собственного времени между двумя соседними событиями по кривой мировой линии всегда равен или меньше соответствующего времени по прямой мировой линии. Фундаментальным способом сравнения различных мировых линий между двумя событиями является определение собственного времени.
а) В эвклидовой геометрии.
б) В лоренцевой геометрии.
Рис. 20. Противоположность между геометриями Эвклида и Лоренца. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия соответствует движению за меньшее собственное время.
Разный наклон мировой линии в разных её точках (на рис. 19б и 20,б) означает, что движущиеся по ней часы меняют скорость – ускоряются. При ускорении разные часы будут вести себя по-разному, если только эти часы не будут достаточно малыми. Как правило, часы могут выдерживать большие ускорения, лишь если они достаточно компактны. Чем меньше часы, тем большие ускорения они смогут выдерживать и тем резче могут быть изгибы их мировых линий. На всех диаграммах (например, на рис. 19б и 20,б) мы рассматриваем предельный случай бесконечно малых часов.
Теперь мы можем рассматривать такое движение частиц и часов, при котором они испытывают большие ускорения. Рассмотрим, в частности, простой частный случай, изображённый на рис. 19б.
Промежуток собственного времени между событиями 𝑂 и 𝐵 с точки зрения трёх мировых линий
Мировая линия на этом рисунке постепенно меняет свой наклон по мере ускорения п замедления частицы. Будем делать всё короче период ускорения (приложение большой движущей силы!) и период замедления. При этом часть времени, проведённая при равномерном движении с большой скоростью, становится всё продолжительнее. В конце концов мы придём к предельному случаю, когда периоды ускорения и торможения будут слишком короткими для того, чтобы быть различимыми на диаграмме пространства-времени (мировая линия 𝑂𝑄𝐵 на рис. 21). В этом простом предельном случае вся история движения определяется: 1) исходным событием 𝑂, 2) конечным событием 𝐵 и 3) координатой 𝑥 точки поворота 𝑄, расположенной на полпути между 𝑂 и 𝐵. На этом примере особенно просто понять, как величина промежутка собственного времени между 𝑂 и 𝐵 зависит от величины координаты 𝑥 точки поворота, и на этом основании сравнить три мировые линии 𝑂𝑃𝐵, 𝑂𝑄𝐵 и 𝑂𝑅𝐵.
Рис. 21. Сравнение трёх разных мировых линий, связывающих события 𝑂 и 𝐵, Резкие изменения скорости в событиях 𝑄 и 𝑅 изображают предельный случай использования малых («противоударных») часов.
Прямая 𝑂𝑃𝐵 изображает мировую линию неподвижной частицы: 𝑥=0 в течение всего времени. Собственное время, прошедшее от события 𝑂 до события 𝐵 по мировой линии, проходящей через 𝑃, очевидно, равно времени, измеренному в инерциальной системе отсчёта:
τ
𝑂𝑃𝐵
=
10
3
м
светового времени.
Напротив, на мировой линии, соединяющей 𝑂 и 𝐵 через 𝑅, каждая часть – светоподобная, так как для каждого её отрезка разности пространственной и временной координат равны друг другу, и поэтому
τ
𝑂𝑅𝐵
=
⎛
⎜
⎝
Удвоенное собственное
время на отрезке 𝑂𝑅
⎞
⎟
⎠
=
=
2
⎛
⎝
(Время)
²
–
(Расстояние)
²
⎞½
⎠
=
=
0.
Конечно, со скоростью света не могут двигаться никакие часы, и мировая линия 𝑂𝑅𝐵 не может реализоваться в действительности. Тем не менее она представляет собой предельное положение реально осуществимых мировых линий. Иными словами, можно найти такую скорость, которая будет достаточно близкой к скорости света, хотя и меньше её, что путешествие с этой скоростью сначала в одну, а затем в другую сторону вернёт идеальные часы назад в точку 𝑥=0 по прошествии столь короткого промежутка собственного времени, какой нам потребуется.
В отличие от предельного случая линии 𝑂𝑅𝐵 мировая линия 𝑂𝑄𝐵 соответствует промежутку собственного времени:
τ
𝑂𝑄𝐵
=
⎛
⎜
⎝
Удвоенное собственное
время на отрезке 𝑂𝑄
⎞
⎟
⎠
=
=
2
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
5
3
⎞²
⎟
⎠
–
⎛
⎜
⎝
4
3
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
=
=
2
⎡
⎢
⎣
25-16
9
⎤½
⎥
⎦
=
=
2
м
светового времени.
Этот промежуток собственного времени короче, чем τ𝑂𝑃𝐵=10/3 м по «прямой» мировой линии 𝑂𝑃𝐵!
Как мы видим, собственное время реального физического мира (пространства-времени) существенно отличается от понятия расстояния в школьной эвклидовой геометрии. Самое короткое расстояние – по прямому пути, и поэтому определяют: «Прямая линия есть кратчайший путь между двумя точками». Наоборот, промежуток собственного времени короче для того путешественника, который улетел, ускорившись до огромной скорости, а затем повернул и вернулся назад, чем для человека, остававшегося у себя дома. (См. упражнения 27 и 49, посвящённые парадоксу часов). Короче говоря, собственное время – это подходящее мерило для времени, наблюдаемого частицей, движущейся по мировой линии. Точно так же деления на гибкой рулетке оказываются подходящими для измерения расстояния, пройденного путешественником по криволинейному пути.
7. ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Включение координат 𝑦 и 𝑧 в интервал
До сих пор, рассматривая интервал между двумя событиями 𝐴 и 𝐵, мы ограничивались тем случаем, когда координаты 𝑦 и 𝑧 этих событий одинаковы. Тогда расстояние между событиями в пространстве измерялось величиной
Расстояние
=
Δ
𝑥,
а интервал задавался выражением
√
(
Δ
𝑡)²-
(
Δ
𝑥)²
.
Однако ясно, что ориентация осей 𝑥, 𝑦 и 𝑧 может быть выбрана произвольно. При другой ориентации этих осей компонента Δ𝑥 радиуса-вектора между двумя событиями, вообще говоря, окажется совсем другой, чем прежде. Лишь расстояние в пространстве между двумя событиями никак не зависит от выбора ориентации осей и задаётся выражением
(Расстояние)
²
=
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
+
(
Δ
𝑧)²
.
Другими словами, это и есть та величина, которую следует взять вместо (Δ𝑥)² в общей формуле для интервала. Итак, общая формула для интервала между событиями
𝐴 с координатами (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
и
𝐵 с координатами (𝑡+Δ𝑡, 𝑥+Δ𝑥, 𝑦+Δ𝑦, 𝑧+Δ𝑧)
имеет вид
⎛
⎜
⎜
⎝
Интервал
собственного
времени
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
(Время)
²
–
(Расстояние)
²
=
=
(
Δ
𝑡)²
–
(
Δ
𝑥)²
–
(
Δ
𝑦)²
–
(
Δ
𝑧)²
(9)
для временноподобного интервала и
⎛
⎜
⎜
⎝
Интервал
собственной
длины
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
(Расстояние)
²
–
(Время)
²
=
=
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
+
(
Δ
𝑧)²
–
(
Δ
𝑡)²
(10)
для пространственноподобного интервала.
Как понимать эту новую геометрию, основанную на выражении для «интервала собственной длины», в котором три знака «плюс», как и в обычной эвклидовой геометрии, но, кроме того, ещё и один знак «минус»? Следуя Минковскому (1908), можно ввести для измерения времени новую величину 𝑤, задав её как
𝑤
=
√
–1
⋅𝑡
или
𝑤
=
√
–1
⋅
Δ
𝑡
.
(11)
Тогда выражение для интервала собственной длины примет вид
⎛
⎜
⎜
⎝
Интервал
собственной
длины
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
+
(
Δ
𝑧)²
+
(
Δ
𝑤)²
.
Минковский о единстве пространства-времени
Все слагаемые теперь берутся со знаком «плюс». Внешне соответствующая геометрия представляется эвклидовой, хотя и в четырёх, а не в трёх измерениях. Под впечатлением этой формулы Минковский написал ставшее знаменитым изречение: «Отныне пространство и время, взятые по отдельности, обречены влачить лишь призрачное существование, и только единство их обоих сохранит реальность и самостоятельность» 1). В наши дни это единство пространства и времени называют «пространством-временем». Пространство-время – эта та арена, на которой живут, движутся и вообще существуют звезды, атомы и люди. Для разных наблюдателей пространство различно. Время также различно для разных наблюдателей. Но пространство-время одинаково для всех!
