Физика пространства - времени

Текст добавлен: 17 июля 2019, 21:30

Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 27 страниц)

1) Она вскрывает тот факт, что сами по себе отдельно взятые пространственные и временная координаты зависят от такого чисто случайного обстоятельства, как выбор системы отсчёта.

2) Она указывает, как связать значения координат, скоростей, ускорений и сил, наблюдаемые в одной системе отсчёта, с соответствующими значениями этих же величин, наблюдаемыми в другой инерциальной системе отсчёта, перекрывающейся с предыдущей.

3) Мы обязаны ей языком инвариантов —«универсальным языком», на котором взаимосвязь между событиями может быть описана независимо от их пространственных и временных координат одинаково для любой системы отсчёта. Дальнейшие подробности об этом см. в части е) этого упражнения.

г) Постоянство скорости света, её одинаковая величина во всех инерциальных системах отсчёта, конечно же, противоречит представлениям здравого смысла, возникшего из повседневного опыта, который связан с измерением малых скоростей. Но ведь всё-таки самые тщательные эксперименты заставили нас в конце концов признать правильность этого кажущегося нелепым факта! Например, опыт Майкельсона – Морли (упражнение 33) и позднейшие постановки этого опыта показали, что скорость света изотропна – одинакова во всех направлениях – во всех инерциальных системах. Более того, экспериментом Кеннеди – Торндайка (упражнение 34) было доказано, что и численное значение этой скорости одинаково во всех системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга. Запроектированные теперь ещё более тщательные измерения смогут проверить этот факт со значительно возросшей степенью точности (см. текст на стр. 25—27).

д) Утверждение мистера Большого Скептика заставляет нас провести разделение всех предсказаний теории относительности на те, которые получили непосредственное подтверждение, и те, которые были подтверждены косвенно или ещё не были проверены. Вот список некоторых из этих предсказаний:

1) Лоренцево сокращение масштабов (упражнение 9). Наблюдаемую величину ионизации воздуха при распространении в нем частиц, обладающих релятивистскими скоростями, можно удовлетворительно объяснить, если учесть лоренцево сокращение для электрических силовых линий, исходящих из этих частиц (упражнение 19). Приводимое ниже объяснение принадлежит перу Е. Дж. Уильямса [первоначальный чёткий анализ см., в частности, на стр. 331 в статье, опубликованной в Proceedings of the Royal Society, серия A, 130, 328 (1931), а более детальный разбор и дальнейшие ссылки можно найти в том же журнале, том 139, 163 (1933)]:

Если бы лоренцево сокращение не сжимало электрические силовые линии в тонкий концентрированный пучок, плоскость которого перпендикулярна направлению движения, то заряженная частица не смогла бы вырывать электроны из атомов, находящихся так далеко от её траектории, и производимая ею ионизация была бы много слабее, чем это наблюдается в действительности. Рассмотрим атом азота, находящийся на наблюдаемом расстоянии 1/3 мм (около 3⋅10⁻⁴ м) от траектории движения заряженной частицы. Если бы лоренцева сокращения не происходило, то силовые линии электрического поля частицы «обметали» бы атом азота также на протяжении, грубо говоря, 3⋅10⁻⁴ м пути частицы, и это заняло бы время (при β=1) порядка (3⋅10⁻⁴ м)/(3⋅10⁸ м/сек)=10⁻¹² сек. Такой интервал времени действия электрических сил слишком велик для того, чтобы возбудить атом. В самом деле, уподобим атом маятнику. Медленно сместим точку подвеса маятника сначала в одну, а затем в противоположную сторону (такое смещение аналогично воздействию на атом электрического поля). Произведённое возмущение не возбудит колебаний маятника, так как эффективное время действия перемещающей силы на точку подвеса 𝑇_силы намного превышает характерное (резонансное) время колебаний 𝑇_колеб маятника. Для атома это характерное время равно 10⁻¹⁶ сек, и если эффективное время действия электрических сил не будет сравнимым с ним, то не произойдёт ни возбуждения, ни ионизации атома. Так как заряженная частица, являющаяся источником возмущающей силы, уже движется практически со скоростью света, отсутствуют резервные возможности сократить эффективное время её действия на атом азота и сделать его меньше 10⁻¹² сек, что требовалось бы для объяснения наблюдаемой ионизации. Вот здесь-то и спасает дело лоренцево сокращение. Благодаря ему эффективная толщина пучка силовых линий, действующего на атом азота, сокращается с 3⋅10⁻⁴ до 3⋅10⁻⁴√1-β² м, и эффективное время действия сил становится равным не 10⁻¹², а 10⁻¹²√1-β² сек. Если заряженная частица имеет скорость β=1-10⁻⁹, то √1-β²≈(2⋅10⁻⁹)¹^/²≈5⋅10⁻⁵, и эффективное время действия сил составит всего ~0,5⋅10⁻¹⁶ сек – величина эта достаточно мала, чтобы произошла ионизация атома азота, хотя он и удалён на миллионы атомных поперечников от линии движения заряженной частицы.

2) Замедление хода часов (упражнение 10). Подтверждается в опытах со сверхбыстрыми элементарными частицами (упражнения 42 и 43).

3) Относительность одновременности (упражнение 11). Подтверждается косвенно (явление «томасовской прецессии», упражнение 103, где анализ основывается на выводах упражнения 52).

4) Парадокс часов (упражнение 27). Для случая часов бытовой конструкции, побывавших в космическом полёте, проверка ещё не произведена. Подтверждается со значительной степенью точности в случае, когда в качестве часов используются ядра атомов железа (упражнение 89).

Самым убедительным и чувствительным методом проверки специфических предсказаний частной теории относительности оказалось использование столкновений сверхбыстрых частиц, энергетического баланса при ядерных превращениях и порождения пар элементарных частиц. Эти вопросы обсуждаются в тексте гл. 2 и в упражнениях к этой главе.

е) Что скажет вам шофёр, если вы станете указывать ему в качестве данных о городах, в которые нужно заехать, их широту и долготу? Всё, что ему нужно узнать, сводится к расстояниям до этих городов. Так же обстоит дело и в пространстве-времени: вполне можно обойтись без координат, указав лишь интервалы между всеми событиями. Эти интервалы никак не зависят от выбора координат, и тем не менее в них содержится вся действительно нужная информация.

ж) Наблюдения связывают нас с физической реальностью; характеризуя их результаты, мы характеризуем и саму «реальность». ▲

37. Эвклидова аналогия – подробный пример

Решение дано в тексте.

38. Преобразование Галилея

Формулы (57) и (58) получаются из формул (37), если в них подставить выражения из строк 4 и 5 правого столбца табл. 8. В ньютоновской механике не делается различия между величинами момента времени для одного и того же события, измеренными разными движущимися относительно друг друга наблюдателями. Иначе говоря, в ньютоновской механике полагают 𝑡'=𝑡. Здесь можно перейти к времени, измеренному в секундах, и тогда 𝑡_сек'=𝑡_сек. Ради простоты момент совпадения начал лабораторной системы и системы отсчёта ракеты полагают равным нулю (𝑡=0). В лабораторной системе на оси 𝑥 положение начала отсчёта ракеты описывается функцией времени 𝑣_𝑟 𝑡_ceк. Утверждается, что координата 𝑥 события в системе отсчёта ракеты равна разности соответствующей координаты события и координаты точки начала отсчёта ракеты, взятых в лабораторной системе. Следовательно, имеет место формула

𝑥'

𝑥

–

𝑣

_𝑟

𝑡

_сек

Формулы (57) и (59) практически совпадают – разница состоит лишь в выборе единиц измерения времени. Заметим, что

_𝑟

𝑡

𝑣_𝑟

𝑐

𝑡

𝑣

_𝑟

𝑡

𝑐

𝑣

_𝑟

𝑡

_сек

Подставляя это равенство, приведём формулу (57) к виду (59). Однако формулы (58) и (60) нельзя привести к одному и тому же виду одной лишь заменой единиц измерения! Запишите формулу (58) так, чтобы в неё входили 𝑣_𝑟 и 𝑡_сек. Для этого достаточно разделить обе её стороны на 𝑐 и учесть, что 𝑡/𝑐=𝑡_сек :

𝑡

_сек

𝑣_𝑟

𝑐

⋅

𝑥

𝑐

𝑡

_сек

𝑡

_сек

–

𝑥

𝑣_𝑟

𝑐²

(58')

Формула (58') отличается от формулы (60) в тексте членом 𝑥𝑣_𝑟/𝑐², которым можно в большинстве случаев пренебречь, так как обычно скорость 𝑣_𝑟 намного меньше, чем скорость света 𝑐. Пример. Наибольшая скорость, с которой летал человек, достигается на искусственных спутниках Земли и примерно равна 30 000 км/час или 8000 м/сек. Наибольшее расстояние между космонавтом в спутнике и наблюдателем на Земле имеет место, когда наблюдатель находится на стороне Земли, противоположной положению спутника в этот момент. Тогда расстояние между ними примерно равно диаметру Земли – около 13⋅10⁶ м. Таким образом, наибольшее значение члена 𝑥𝑣_𝑟/𝑐², достигнутое до сих пор с участием наблюдателей, равно

(13⋅10⁶

)

(8⋅10³ м/сек)

(3⋅10⁸ м/сек)²

10⁻⁶

сек

Конечно, такой интервал времени доступен измерению современными средствами, но его едва ли понадобится измерять в ходе анализа экспериментов на спутниках хотя бы уже потому, что космонавт обычно поддерживает связь с наземным наблюдателем на обращённой к нему стороне планеты! ¹)

¹) После выхода в свет американских изданий книги Тейлора и Уилера и их сборника решений к упражнениям соотечественники авторов уже успели побывать на Луне. Взяв с форзаца книги величину расстояния от Земли до Луны и учтя, что первая космическая скорость на Луне составляет всего около 1700 м/сек, читатель найдёт, что член 𝑥𝑣_𝑟/𝑐 в формуле (58') и в данном случае остаётся меньше 10⁻⁵ сек, когда астронавты кружат по окололунной орбите. Первую космическую скорость для Луны можно получить, приравняв друг другу центростремительную силу лунного притяжения и центробежную силу, действующую при движении по круговой орбите:

𝑣²

𝑅 = 𝐺

𝑀

𝑅²

(здесь уже произведено сокращение на величину массы космического корабля); в качестве 𝑅 следует положить величину радиуса Луны, 𝑅=1740 км=1,74⋅10⁶ м; масса Луны равна 𝑀=7,3⋅10²² кг. Конечно, наибольшей скорости космический корабль достигает на обратном пути к Земле, при вхождении в её атмосферу, но тогда слишком мала величина 𝑥. – Прим. перев. ▲

39. Пределы применимости преобразования Галилея

Найдём из табл. 8 приближённые выражения функций sh θ и ch θ с точностью до членов второго порядка:

sh θ

≈

ch θ

≈

(в первом случае поправка второго порядка просто равна нулю!). Вид формул (37) с точностью до членов второго порядка малости можно получить, имея в виду, что даже в этом приближении θ_𝑟≈β_𝑟. Тогда в этом втором приближении будем иметь

𝑥'

𝑥

⎛

⎜

⎝

β_𝑟²

⎞

⎟

⎠

–

_𝑟

𝑟

𝑡'

_𝑟

𝑟

𝑡

⎛

⎜

⎝

β_𝑟²

⎞

⎟

⎠

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, отличаются от коэффициентов в формулах (57) и (58) менее чем на 1%, если принять

β_𝑟²

10⁻²

или

_𝑟

откуда приближённо получим

_𝑟

что и требовалось получить.

При старте с места гоночный автомобиль развивает ускорение 𝑎=𝑣/𝑡=4 м/сек². Если поддерживать такое ускорение постоянным, то скорости 𝑣=(1/7)⋅3⋅10⁸ м/сек можно достигнуть за срок примерно в 𝑡=𝑣/𝑎=10⁷ сек, т.е. около 4 месяцев. Даже с ускорением 7𝑔≈70 м/сек² для достижения этой скорости потребовалось бы около недели! ▲

40. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности

В системе отсчёта ракеты частицы после столкновения разлетаются вдоль оси 𝑦 со скоростями ±β_𝑟. В упражнении 20 было показано [формула (49)], что 𝑥– и 𝑦– компоненты скоростей этих частиц в лабораторной системе отсчёта будут равны

^𝑥

_𝑟

^𝑦

β^𝑦'

ch θ_𝑟

=±

β_𝑟

ch θ_𝑟

Тангенс угла 𝑎/2, образованного осью 𝑥 и любым из этих двух векторов скорости в лабораторной системе отсчёта (см. рис. 53), даётся формулой

β^𝑦

β^𝑥

ch θ_𝑟

√

1-β

_𝑟

Рис. 147.

Требуется найти величину малого угла δ/2 (рис. 147), который составляет разность между π/4 радиан и α/2, откуда получается сам угол δ как отклонение полного угла α, образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от π/2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём

–

⎛

⎜

⎝

–

⎞

⎟

⎠

⋅

Воспользовавшись полученным выше выражением для tg α/2 и приняв во внимание, что tg π/4=1, а также что для малых δ справедливо приближённое равенство tg δ/2≈δ/2, мы придём к формуле

1-√1-β_𝑟²

1+√1-β_𝑟²

≈

1-(1-β_𝑟²/2)

β_𝑟²/2

2-β_𝑟²/2

≈

β_𝑟²

;

β_𝑟²

где выражение √1-β_𝑟² было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких β_𝑟 угол δ не превышает 10⁻² рад. Очевидно, это условие принимает вид

_𝑟

или

_𝑟

Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчёта ракеты будут меньше этой величины, угол между векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10⁻² рад. В лабораторной системе отсчёта, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2β_𝑟<2/7. ▲

41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона

Пример

движения

Корректно ли в этом примере

использование механики Ньютона

См. в тексте

(стр.

118

)

1/37200

Да, потому что

β<1/7

10⁻⁴

Да

1/137

Да

79/137

Нет

4/30

Да, на пределе

⁻²

Да

▲

42. Замедление времени для μ-мезона – подробный пример

Решение дано в тексте.

43. Замедление времени для π⁺-мезона

Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина мезонов. В упражнении 10 [см. формулу (44)] было выяснено, что множитель, характеризующий замедление времени, – это ch θ_𝑟. Следовательно, с точки зрения лабораторной системы отсчёта в рассматриваемом опыте π-мезоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни»– то, которое наблюдается в системе отсчёта ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезоны летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см. таблицу в тексте), т.е. приблизительно 80 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизится вдвое по сравнению с первоначальным. ▲

44. Аберрация света звёзд

Ориентируем ось 𝑥 в направлении относительного движения. В покоящейся по отношению к Солнцу лабораторной системе отсчёта свет, приходящий от далёких звёзд 𝐵 и 𝐷, будет иметь компоненты скорости β^𝑦=±1 и β^𝑥=0. В системе отсчёта ракеты (Земли) скорость распространения этого света также равна единице, но теперь 𝑥-компонента его скорости будет равна -β_𝑟, т.е. относительной скорости движения двух рассматриваемых систем отсчёта мимо друг друга. Синус угла φ равняется 𝑥-компоненте скорости, разделённой на абсолютную величину скорости:

sin φ

β_𝑟

_𝑟

Этот вывод находится в согласии с результатами, полученными в упражнении 22. ▲

45. Опыт Физо

Закон сложения скоростей (24) даёт

β'

_𝑟

)(

β'β

_𝑟

)⁻¹

При малых β_𝑟 это выражение можно разложить по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь лишь членами первой степени по β_𝑟:

(

β'β

_𝑟

)⁻¹

≈

–

β'β

_𝑟

Используя это разложение в предыдущей формуле и вновь отбрасывая в окончательном результате члены, в которых β_𝑟 возводится в степень выше первой, получим требуемый ответ – формулу (62). ▲

46. Черенковское излучение

Формула (63) непосредственно следует из построения на рис. 62. Чтобы испускать черенковское излучение в некоторой среде, частица должна в ней двигаться по крайней мере не медленнее, чем распространяется световой импульс в этой среде. Это видно из формулы (63): косинус угла φ никак не может быть больше единицы. Поэтому в люсите частица, для того чтобы давать черенковское излучение, должна двигаться по крайней мере со скоростью, равной 2/3 скорости света в пустоте. С другой стороны, угол φ в данном веществе будет максимален, когда его косинус имеет наименьшее значение, т.е. при наибольшем значении скорости частиц β. Ясно, что β не может превышать единицу, так что в люсите величина косинуса φ, равная 2/(3β) всегда больше или равна 2/3. Соответствующий этому максимальный угол составляет 0,841 рад, или 48°,2. ▲

47. Искривление лучей света звёзд Солнцем

Путь, равный диаметру Солнца, световой сигнал проходит за время, равное 1,4⋅10⁹ м, или 4,7 сек; это и есть «эффективное время падения» светового луча, проходящего вплотную к поверхности Солнца. Полная скорость падения равна этому времени, умноженному на ускорение силы тяжести у поверхности Солнца (275 м/сек²), так что составляет приблизительно 1300 м/сек, или 4,3⋅10⁻⁶ м пути за 1 м светового времени. Угол отклонения луча, если он малый, можно приблизительно определить как отношение полученной скорости падения к полной скорости света, т.е. к единице. Итак, мы предсказали, что угол, на который отклоняется световой луч, равен 4,3⋅10⁻⁶ рад. Общая теория относительности предсказывает вдвое больший эффект, что хорошо согласуется с данными наблюдений, приведёнными в конце упражнения. ▲

48. Геометрическое истолкование

Упражнение построено так, что каждый шаг рассуждения мал, и читатель постепенно подводится к решению; поэтому едва ли было бы целесообразно давать здесь более детальный анализ. Но в последней части упражнения [часть к)] полезно отметить, что степень рассинхронизированности часов лабораторной системы отсчёта и часов системы ракеты определяется величиной sh θ_𝑟 [см. формулу (46)], которая меняет свой знак при изменении знака относительной скорости (а тем самым и параметра относительной скорости). Напротив, степень замедления времени определяется величиной sh θ_𝑟 [см. формулу (44)], не меняющей знака при изменении знака скорости. ▲

49. Парадокс часов. II – подробный пример

Решение дано в тексте.

50. Сокращение или поворот?

а) Свет, который приходит в наш глаз в данный момент, происходит от двух событий, по-разному удалённых от глаза. Поэтому события должны были произойти в разные моменты времени, и это – главное. В данном случае свет должен был выйти из точки 𝐸 на 1 м времени раньше, чем из точки 𝐺, чтобы оба луча одновременно достигли наблюдателя. За этот срок куб, покоящийся в системе отсчёта ракеты, пройдёт относительно наблюдателя путь 𝑥, равный произведению β на 1 м.

б) Интересно, что, наблюдая в этих условиях маленькие объекты одним глазом, можно истолковать увиденное как поворот пролетающего мимо объекта. Так, например, если бы куб был повёрнут, как на рис. 74, можно было бы видеть часть его боковой стороны и укороченную нижнюю, т.е. получился бы тот же эффект, который в предыдущем случае теория относительности объясняла соответственно конечностью скорости распространения света и лоренцевым сокращением. Из рисунка видно, что угол φ такого кажущегося поворота даётся выражением

sin φ

В пределе при β→0 угол кажущегося поворота также стремится к нулю, и получается результат наблюдения, следующий из теории Ньютона. В пределе при β→1 объект представляется повернувшимся на 90° – вам кажется, что он летит, повернувшись к вам своей боковой стороной!

в) Ответы разным наблюдателям:

1) Наблюдателю в системе отсчёта ракеты: «Когда объект покоится в данной системе отсчёта, метод, с помощью которого вы его наблюдаете, не играет роли, так как разное время распространения света от разных частей объекта не приводит к искажению наблюдаемой картины».

2) Наблюдателю, использующему часовую сетку лабораторной системы: «Ваша система часов позволяет вам определять, в какое время происходят далёкие друг от друга события, и корректно фиксировать их одновременность. Однако эта точная бухгалтерия всё же не даёт вам исключительных прав решать, что же произошло «на самом деле», и навешивать ярлык «невсамделишного» на результаты, полученные наблюдателем в системе отсчёта ракеты или сильно удалённым зрителем, проводящим визуальные наблюдения».

3) Зрителю, визуально проводящему наблюдения в лабораторной системе отсчёта: «Если вы понимаете, к чему приводит задержка во времени прихода сигналов от разных точек объекта, то вам должно быть ясно, что зрительное впечатление поворота объекта никак не противоречит результатам наблюдений, проведённых любым из ваших коллег».

Выражение «на самом деле» здесь не может иметь единого значения, независимого от системы отсчёта наблюдателя и от его измерительной методики. Все методы измерения «правильные», но одни оказываются полезнее других, так как дают основу для интуиции и позволяют предсказать результаты того или иного конкретного опыта. ▲

51. Парадокс часов. III

Из этого упражнения уже чуть было не получился «подробный пример»!

а) Если бы была правильной ньютонова механика, то, подвергаясь в течение 10 лет ускорению 1𝑔, вы приобрели бы в конце концов скорость, равную

𝑣

𝑎𝑡

𝑔𝑡

≈

(10

сек

²)

(10⋅3⋅10⁷

сек

)

3⋅10⁹

сек

т.е. вдесятеро превышающую скорость света! Альтернатива этому противоречащему физическим законам выводу дана в тексте упражнения.

б) Решение дано в тексте.

в) Уравнение (66) проще всего проверить, продифференцировав его и сравнив результат с предыдущим уравнением. Продифференцировать гиперболический косинус проще всего, представив его через экспоненты, а результат дифференцирования выразив снова через гиперболическую функцию – на этот раз синус (см. табл. 8).

г) Проделав в уравнении (66) предложенные подстановки, получим

𝑥

𝑐²

𝑔

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑔τ_сек

𝑐

⎞

⎟

⎠

–1

⎤

⎥

⎦

Здесь следует взять в качестве 𝑔≈10 м/сек² и вспомнить, что 10 лет – это приблизительно 3⋅10⁸ сек. Воспользовавшись приближёнными формулами из табл. 8, найдём

𝑥

≈

9⋅10¹⁶

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

10⋅3⋅10⁸

3⋅10⁸

⎞

⎟

⎠

–1

⎤

⎥

⎦

≈

9⋅10¹⁵

𝑒¹⁰

≈

10²⁰

≈

10⁴

световых лет.

Такое расстояние покрывается за время действия двигателя 𝐴 если же его удвоить, то мы получим расстояние до самой дальней точки пути – 20 000 световых лет. ▲

52. Наклонный стержень

Решение этого упражнения основывается на относительности одновременности (см. упражнение 11). В лабораторной системе отсчёта все точки стержня пересекают ось 𝑥 одновременно при 𝑡=0. Но картина, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты, будет другой! Когда в лабораторной системе 𝑡=0, часы системы отсчёта ракеты будут показывать на положительной части оси 𝑥' моменты времени, меньшие нуля [часть в) упражнения 11]. Это значит, что к моменту 𝑡'=0 по часам системы отсчёта ракеты правый конец стержня уже пересечёт ось 𝑥. Но середина стержня проходит через начало координат ракеты в момент 𝑡'=0, так что в системе отсчёта ракеты метровый стержень будет наблюдаться несколько повёрнутым правым концом вверх (см. рис. 77б). Перейдём к количественному выражению эффекта. В лабораторной системе отсчёта правый конец стержня пересекает ось 𝑥 в момент 𝑡=0 и в точке 𝑥=1/2 м. Координаты того же события в системе отсчёта ракеты следуют из формул преобразования Лоренца:

𝑥'

𝑥 ch θ

_𝑟

ch θ

_𝑟

𝑡'

𝑥 sh θ

_𝑟

sh θ

_𝑟

Требуется найти положение правого конца стержня не в отрицательный момент времени 𝑡'=-𝑥 sh θ_𝑟, а в момент 𝑡'=0, т.е. на 𝑥 sh θ_𝑟=½⋅sh θ_𝑟 м светового времени позже. Какое положение по истечении этого срока займёт правый конец стержня? Значения компонент скорости конца метрового стержня можно определить по формуле, полученной в упражнении 20 [формула (49), в которой следует поменять местами штрихованную и нештрихованную скорости и изменить знак параметра скорости на обратный]:

^𝑦'

β^𝑦

ch θ_𝑟

^𝑥'

th θ

_𝑟

Тогда в момент 𝑡'=0 правый конец метрового стержня окажется в точке с координатами

𝑦'

^𝑦'

𝑡'

β^𝑦

ch θ_𝑟

sh θ

_𝑟

^𝑦

th θ

_𝑟

𝑥'

ch θ

_𝑟

–

th θ

_𝑟

ch θ_𝑟

⎛

⎜

⎝

ch θ

_𝑟

–

sh²θ_𝑟

ch θ_𝑟

⎞

⎟

⎠

2 ch θ_𝑟

В тот же момент (𝑡'=0) середина метрового стержня совмещается с началом координат системы отсчёта ракеты. Поэтому угол φ, образованный стержнем и осью 𝑥 системы отсчёта ракеты, определяется выражением

tg φ

𝑦'

𝑥'

^𝑦

sh θ

_𝑟

▲

Назад к карточке книги "Физика пространства - времени"