Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 7 (всего у книги 27 страниц)
Основное правило Уилера. Никогда не начинай вычислений, пока не знаешь ответа. Каждому вычислению предпосылай оценочный расчёт; привлеки простые физические соображения (симметрию! инвариантность! сохранение!) до того, как начинать подробный вывод; продумай возможные ответы на каждую загадку. Будь смелее, ведь никому нет дела до того, что именно ты предположил. Поэтому делай предположения быстро, интуитивно. Удачные предположения укрепляют эту интуицию. Ошибочные предположения дают полезную встряску. Во всяком случае жизнь как практическая проверка пространственно-временны'х идей оказывается наиболее забавной шуткой, хотя и достаточно продолжительной!
A. Интервал пространства-времени (разд. 5—7)
1. Пространство и время—подробный пример
2. Практическая синхронизация часов
3. Соотношения между событиями
4. Одновременность
5. Временно'й порядок событий
6*. Расширяющаяся Вселенная
7. Собственное время и связь
8. Время на сбор информации и на принятие решения
Б. Преобразование Лоренца (разд. 8 и 9)
9. Лоренцево сокращение – подробный пример
10. Замедление хода часов
11. Относительная синхронизация часов
12. Эвклидовы аналогии
13. Лоренцево сокращение. II
14. Замедление хода часов. II
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
16*. Вывод формул преобразования Лоренца
17*. Собственная длина и собственное время
18*. Плоскость обоюдного согласия
19*. Преобразование углов
20*. Преобразование скорости вдоль оси 𝑦
21**. Преобразование направлений скоростей
22**. Эффект «прожектора»
B. Загадки и парадоксы
23. Парадокс эйнштейновского поезда – подробный пример
24. Загадка Эйнштейна
25*. Парадокс шеста и сарая
26**. Война в космосе
27*. Парадокс часов
28*. Предметы, движущиеся быстрее света
Г. Основания теории
29. Синхронизация движущимися часами – подробный пример
30. Конструкция часов и замедление их хода
31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй
32*. Размеры инерциальной системы
33*. Опыт Майкельсона – Морли
34*. Эксперимент Кеннеди – Торндайка
35*. Эксперимент Дикке
36*. Долой теорию относительности!
Д. Приближение малых скоростей
37. Эвклидова аналогия – подробный пример
38. Преобразование Галилея
39*. Пределы применимости преобразования Галилея
40*. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности. Область, в которой обе теории совпадают друг с другом с точностью до 1%
41*. Примеры предельных переходов к механике Ньютона
Е. Физика пространства-времени. Новые факты
42. Замедление времени для μ-мезона – подробный пример
43. Замедление времени для π⁺-мезона
44*. Аберрация света звёзд
45. Опыт Физо
46. Черенковское излучение
47*. Искривление лучей света звёзд Солнцем
Ж. Геометрическое истолкование
48. Геометрическое истолкование
49. Парадокс часов. II – подробный пример
З. Винегрет
50. Сокращение или поворот?
51**. Парадокс часов. III
52*. Наклонный стержень
53*. Парадокс метрового стержня
54**. Тонкий человек на решётке
А. ИНТЕРВАЛ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ (РАЗД. 5-7)
1. Пространство и время – подробный пример
Два события происходят в лабораторной системе отсчёта в одном и том же месте, но отстоят во времени на 3 сек.
а) Чему равно расстояние в пространстве между этими событиями в системе отсчёта ракеты, если промежуток времени между событиями равен в ней 5 сек?
б) Чему равна скорость β𝑟 ракеты относительно лабораторной системы отсчёта?
Решение
а) Интервал пространства времени между этими двумя событиями имеет одну и ту же величину в обеих системах отсчёта:
(
Δ
𝑡)²
–
(
Δ
𝑥)²
=
(
Δ
𝑡')²
–
(
Δ
𝑥')²
.
Запишем содержание задачи так:
Δ𝑥 = 0,
Δ𝑡 = 3(сек) × 𝑐 (м/сек) = 9⋅10⁸ м,
Δ𝑥' требуется определить,
Δ𝑡' = 5(сек) × 𝑐 (м/сек) = 15⋅10⁸ м,
Подставим эти данные в выражения для интервала:
81⋅10¹⁶
–
0
=
225⋅10¹⁶
–
(
Δ
𝑥')²
.
Решаем полученное уравнение:
(
Δ
𝑥')²
=
144⋅10¹⁶
м
²
,
или
Δ
𝑥'
=
12⋅10⁸
м
.
б) В лабораторной системе отсчёта оба события произошли в одном и том же месте. В системе отсчёта ракеты это «место» лаборатории сдвинулось на 12⋅10⁸ м за 5 сек (или за 15⋅10⁸ м светового времени). Поэтому относительная скорость двух систем отсчёта равна
Δ𝑥'
Δ𝑡'
=
12⋅10⁸
15⋅10⁸
=
4
5
.
2. Практическая синхронизация часов
Вы – наблюдатель, находящийся в покое вблизи часов с пространственными координатами 𝑥=6 м, 𝑦=8 м, 𝑧=0 м в лабораторной системе отсчёта. Вы хотите синхронизировать свои часы с часами, находящимися в начале координат, используя опорный сигнал. Подробно опишите количественно, как вы сделаете это. ▼
3. Соотношения между событиями
Рис. 34. Как связаны между собой события 𝐴, 𝐵 и 𝐶?
На рис. 34 изображены на диаграмме пространства-времени лабораторной системы отсчёта события 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Ответьте на следующие вопросы, касающиеся пары событий 𝐴 и 𝐵:
а) Какой интервал лежит между этими событиями – временноподобный, светоподобный или пространственноподобный?
б) Чему равно собственное время (или собственное расстояние) между этими событиями?
в) Могло ли одно из этих событий быть причиной другого?
Ответьте на такие же вопросы о паре событий 𝐴 и 𝐶.
Ответьте на такие же вопросы о паре событий 𝐶 и 𝐵. ▼
4. Одновременность
«𝐴 сталкивается с 𝐵; одновременно на расстоянии миллиона миль от них 𝐶 сталкивается с 𝐷». Выразите одной или двумя фразами, как требует частная теория относительности переформулировать или охарактеризовать это утверждение. ▼
5. Временно'й порядок событий
«Событие 𝐺 произошло до события 𝐻». Покажите, что порядок во времени этих двух событий в лабораторной системе отсчёта будет тем же, что и в системе отсчёта ракеты, тогда и только тогда, когда события будут разделены временноподобным или светоподобным интервалом. ▼
6*. Расширяющаяся Вселенная
а) Гигантская бомба разрывается в окружающем её пустом пространстве. По какому закону будут двигаться друг относительно друга её осколки? Как может быть обнаружено их относительное движение? Обсуждение: Представим себе, что каждый осколок снабжён источником света, посылающим сигналы через известные равные друг другу промежутки времени Δτ в его системе отсчёта (собственное время!). Зная эти интервалы между вспышками, каким путём может наблюдатель определить на одном осколке относительную скорость движения β любого другого осколка? Предположим, что он может при этом пользоваться: 1) известным значением интервала собственного времени Δτ между вспышками и 2) измеряемым им временем Δ𝑡приём между приходом к нему последовательных сигналов. (Замечание. Последнее не равно промежутку времени Δ𝑡 между последовательными вспышками на удаляющемся передатчике в системе отсчёта этого наблюдателя. См. рис. 35). Предлагается выразить β через Δτ и Δ𝑡приём. Как будет зависеть измеряемая скорость удаления от расстояния между осколком, на котором находится наблюдатель, и другим осколком? (Замечание. В каждый данный момент в каждой данной системе отсчёта осколки, очевидно, улетят от места взрыва на расстояния, прямо пропорциональные их скоростям в этой системе отсчёта!)
Рис. 35. Вычисление времени Δ𝑡приём, прошедшего между поступлением двух последовательных сигналов от удаляющегося излучателя к наблюдателю.
б) Как можно заключить по наблюдению света, испускаемого звёздами, что Вселенная расширяется? Обсуждение: В раскалённых звёздах атомы испускают свет различных характерных для этих атомов частот («спектральные линии»). Мы можем измерять на Земле наблюдаемый период колебаний для каждой спектральной линии приходящего от звёзд света. По расположению этих спектральных линий мы можем установить, с излучением какого элемента мы имеем дело. Атомы этого же элемента можно возбуждать в лабораторных условиях, где они в состоянии покоя излучают свет, спектральные линии которого характеризуются собственным периодом, и мы можем его измерить. Используйте теперь результаты части (а) этого упражнения и опишите, как сравнение наблюдаемого периода колебаний для спектральных линий приходящего от звёзд света с собственным периодом колебаний для спектральных линий света, излучаемого покоящимися атомами в лаборатории, даёт величину скорости удаления звёзд, излучающих свет. Это наблюдаемое изменение периода, обусловленное движением источника, называется допплеровским смещением (эффектом Допплера). (Более подробное описание его см. в упражнении 75 гл. 2 и последующих упражнениях). Если началом Вселенной был гигантский взрыв, как должны быть связаны друг с другом наблюдаемые скорости разбегания различных звёзд, находящихся на разных расстояниях? Здесь следует пренебречь замедлением скоростей за время разбегания (под действием гравитационного притяжения и пр.), однако мы рассмотрим такое замедление при более полном анализе (упражнение 80). ▼
7. Собственное время и связь
Пусть Солнце испустило световую вспышку, которая была поглощена Луной. Собственное время между моментами испускания и поглощения этой вспышки равно нулю,– верно или ложно это утверждение? Будет ли равно нулю собственное время между двумя событиями (излучением и поглощением), если вспышка подвергалась отражению зеркалами на Луне, прежде чем была поглощена? (Внимание!) Пусть световая вспышка была излучена на Земле и распространяется в воздухе по прямой до другого места на Земле, где она поглощается. (Скорость света в воздухе немного меньше, чем 𝑐) Будет ли равен нулю промежуток собственного времени между излучением и поглощением этой вспышки? ▼
8. Время на сбор информации и на принятие решения
При описании событий мы использовали сеть часов-хронографов. Расположение события отождествляется с расположением ближайших к событию часов, а время события – с тем временем, которое зафиксировали эти часы. Предмет физики – изучение взаимных отношений между событиями. Если аналитико-координационный центр расположен в начале координат сети часов, чему будет равно (в его системе отсчёта) время запаздывания между получением данных для анализа и регистрацией данных на часах на расстоянии 𝑅 от центра? Пусть часы с координатами 𝑥=6⋅10⁹ м, 𝑦=8⋅10⁹ м и 𝑧=0 м регистрируют прохождение метеорита в момент 41⋅10⁹ м времени. Часы с координатами 𝑥=3⋅10⁹ м, 𝑦=4⋅10⁹ м и 𝑧=0 м регистрируют прохождение этого же метеорита в момент 47⋅10⁹ м времени. Наблюдателю в аналитико-координационном центре для принятия мер защиты требуется 3 секунды. Если приведённые выше данные передаются ему световыми сигналами и анализируются сразу же при получении, успеет ли наблюдатель принять меры защиты? ▼
Б. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА (РАЗД. 8 И 9)
9. Лоренцево сокращение – подробный пример
Пусть ракета снабжена метровым стержнем, который наблюдается в лабораторной системе отсчёта (лабораторной системе стержней и часов). В чём будет состоять отличие заключений наблюдателя в лаборатории относительно длины метрового стержня от того, что предсказывала дорелятивистская физика? Мы разобьём этот обширный вопрос на четыре части.
а) Как поставленный здесь вопрос о длине может быть переформулирован в вопрос о разделении двух событий? Замечание. Оба конца метрового стержня прочерчивают в пространстве-времени свои мировые линии. Однако каждая мировая линия – это последовательность бесконечного числа событий. Как же разумным образом выбрать именно ту пару событий, которая даёт необходимую информацию о наблюдаемой длине метрового стержня?
Решение. Выберем эти два заслуживающих внимания события таким образом. 𝐴: Один конец метрового стержня пролетает мимо некоторых лабораторных часов в тот момент, когда они показывают полдень. 𝐵: Другой конец метрового стержня пролетает мимо других лабораторных часов, когда они тоже показывают полдень. Обсуждение. Положения концов движущегося метрового стержня необходимо измерять в один и тот же момент времени в лабораторной системе отсчёта. В противном случае мы не смогли бы разумно определить ту пару точек в лаборатории, длину расстояния между которыми мы измеряем. Итак, оба события должны быть одновременными в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0). Они могут быть одновременными, а могут и не быть в системе отсчёта ракеты (Δ𝑡' может равняться или не равняться нулю) – это там несущественно! Ведь в системе отсчёта ракеты метровый стержень неподвижен, и там положение его концов можно определять в любое время.
б) Пусть метровый стержень ориентирован вдоль оси 𝑥 (направления движения) ракеты, так что в системе отсчёта ракеты расстояние между его концами равно Δ𝑥'=1 м. Чему будет равна его наблюдаемая длина в лабораторной системе отсчёта?
Решение. Искомая длина —это разделение в пространстве пары событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта:
Δ
𝑥
=
Δ𝑥'
ch θ𝑟
=
Δ
𝑥'
⋅
√
1-β
𝑟
²
.
(38)
Эта длина меньше 1 м. Такое укорачивание называется лоренцевым сокращением. Обсуждение. Преобразование Лоренца (37) связывает между собой разности координат событий в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты:
Δ
𝑥'
=
Δ
𝑥 ch θ
𝑟
–
Δ
𝑡 sh θ
𝑟
,
Δ
𝑡'
=
-
Δ
𝑥 sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡 ch θ
𝑟
,
Δ
𝑦'
=
Δ
𝑦,
Δ
𝑧'
=
Δ
𝑧.
(39)
Наши события одновременны в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0). Отсюда Δ𝑥'=Δ𝑥 ch θ𝑟, что и даёт приведённый ответ. Заметим, что Δ𝑡' не равняется нулю, т.е. события 𝐴 и 𝐵 не одновременны, если их рассматривать в системе отсчёта ракеты. Эта разница во времени между двумя событиями на концах метрового стержня не вызывает недоумения у работников на ракете относительно значения длины их метрового стержня: для них он покоится, и длина его 1 м. Их не удивляет и тот факт, что наблюдатели в лаборатории регистрируют укорочение этой длины («лоренцево сокращение»). Они скажут: «А почему бы и нет? Ведь наблюдатели в лаборатории измеряют положения концов метрового стержня во времена 𝑡𝐴' и 𝑡𝐵', а мы знаем, что эти времена различны. Интересно, как бы им удалось при этом заключить, что длина равна 1 м?»
в) Пусть метровый стержень направлен вдоль оси 𝑦 (перпендикулярно направлению движения) в системе отсчёта ракеты, так что расстояние между его концами в этой системе равно Δ𝑦'=1 м. Чему равна длина стержня, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта?
Решение. Длина есть величина пространственного удаления друг от друга двух событий (𝐴 и 𝐵) лабораторной системе; при этом
Δ
𝑦
=
Δ
𝑦'
.
Эта длина равна 1 м. В направлениях, перпендикулярных движению, размеры тел не сокращаются. Обсуждение. Отметим, что оба события теперь одновременны не только в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=0), но и в системе отсчёта ракеты (Δ𝑡'=0), согласно соотношениям (39). Для работников на ракете поэтому нет ничего странного в том, что наблюдатели в лаборатории будут согласны с ними относительно длины метрового стержня.
г) Вернёмся ещё раз к вопросу (б). Как можно принять тот вывод, что метровый стержень, летящий с ракетой, представляется короче одного метра длины в лаборатории находящимся там наблюдателям? Если бы этот вывод был верен, не получили бы мы возможности различать по физическим законам систему отсчёта ракеты (в которой метровые стержни сохраняют свою стандартную длину) от лабораторной системы отсчёта (где те же самые стержни регистрируются как укороченные)? Но если это так, то не разрушает ли логика рассуждений теории относительности того принципа, который лежит в её же основе? Этот принцип утверждает, что между двумя инерциальными системами отсчёта нельзя провести никаких различий на основании физических наблюдений в этих системах? Но разве мы не обнаружили в высшей степени замечательное физическое различие между такими двумя системами?
Рис. 36. Поле, простирающееся на большее расстояние в направлении 𝑥, чем в направлении 𝑥'.
Решение. Да, различие между размерами предметов в направлении оси 𝑥, зарегистрированными в этих двух системах отсчёта, существует. Однако физика явлений в обеих системах ничем не отличается. Метровый стержень, покоящийся относительно ракеты и направленный по её движению, оказывается короче длины 1 м в лаборатории. Но и метровый стержень, покоящийся в лаборатории и параллельный направлению движения, окажется укороченным при его измерении работниками на ракете. «Что за нелепица! – возразите вы.– Мне стоит только привлечь элементарную логику, и вся эта релятивистская бессмыслица рухнет. Вы говорите, что метровый стержень на ракете может при измерении из лаборатории оказаться длиной всего в полметра, но тогда вы должны согласиться, что длина в полметра в лаборатории регистрируется на ракете как полный метр. Итак, размеры тел в системе отсчёта ракеты больше, чем их размеры в лабораторной системе (в направлении движения). Значит, там различна сама физика – почему бы ей не быть разной в двух разных системах отсчёта. И я без труда определю, в какой системе отсчёта нахожусь – в лабораторной системе или в системе ракеты. А принцип относительности?! Это же просто выдумка!» Мы ответим на это возражение так. Вероятно, каждый из нас при первом знакомстве с идеями Эйнштейна и Лоренца находит их обескураживающими; ведь мы так мало имели дела с предметами, двигающимися по-настоящему быстро. Может быть, принцип относительности покажется вам немного уютнее, если вы познакомитесь с его аналогом в эвклидовой геометрии. Конечно, между формулами (Δ𝐿)²=(Δ𝑥)²+(Δ𝑦)² в эвклидовой геометрии и (Δτ)²=(Δ𝑡)²-(Δ𝑥)² в лоренцевой геометрии есть некоторая разница. Но ясно, что вас больше волнует вопрос о том, могут ли расстояния в одной системе отличаться от расстояний в другой, чем то, меньше ли расстояния в новой системе, чем в старой (лоренцево сокращение в лоренцевой геометрии), или то, больше ли они в новой системе, чем в старой (возрастание длин в эвклидовой геометрии). Взглянем же на рис. 36. Там изображено поле, протяжённость которого в направлении оси 𝑥 явно превышает протяжённость в направлении оси 𝑥':
Δ
𝑥
=
Δ𝑥'
cos θ𝑟
.
(40)
Рис. 37. Другое поле, простирающееся на большее расстояние в направлении 𝑥' чем в направлении 𝑥.
С другой стороны, взглянем на рис. 37 (в упражнении 48 вы найдёте пространственно-временные аналоги рис. 36 и 37). Здесь изображено другое поле, которое простирается в направлении оси 𝑥 на то же расстояние Δ𝑥. Однако его протяжённость в направлении оси 𝑥' больше, чем Δ𝑥:
Δ
𝑥'
=
Δ𝑥
cos θ𝑟
.
(41)
Вы безусловно согласитесь с этими выводами. У вас даже не зародится сомнения, будто формулы (40) и (41) противоречат друг другу. Ведь вы понимаете, что величина Δ𝑥 в этих формулах каждый раз относится к другому измерению другого поля. Может быть, теперь вы будете готовы поверить, что длина метрового стержня, покоящегося относительно ракеты, будет зарегистрирована в лаборатории как отрезок меньше одного метра длины, тогда как метровый стержень, покоящийся в лаборатории, окажется короче одного метра при измерении с ракеты? Вы скажете: «Я согласен теперь, что в ваших утверждениях нет логических противоречий. Но, может быть, вы не остановитесь на том, что сказали, и по-настоящему докажете мне справедливость сказанного только что, а именно что метровый стержень, покоящийся в лабораторной системе, будет короче одного метра с точки зрения системы отсчёта ракеты». Ответ таков: разрешим формулы преобразования Лоренца (39) относительно координат лабораторной системы отсчёта, выразив их через координаты в системе ракеты. Иначе говоря, поменяем местами штрихованные и нештрихованные координаты в этих формулах и заменим знак скорости на обратный. Или же просто перейдём к уравнениям (36), обратным по отношению к (39). В любом случае запишем соотношения
Δ
𝑥
=
Δ
𝑥' ch θ
𝑟
–
Δ
𝑡' sh θ
𝑟
,
Δ
𝑡
=
-
Δ
𝑥' sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡' ch θ
𝑟
,
Δ
𝑦
=
Δ
𝑦',
Δ
𝑧
=
Δ
𝑧'.
(42)
Новый метровый стержень покоится в лабораторной системе отсчёта. Если смотреть из системы отсчёта ракеты, он находится в движении. Поэтому при определении его длины в системе отсчёта ракеты мы должны исходить из двух отправных точек в этой системе, а именно из положений концов нашего метрового стержня в один и тот же момент времени в системе отсчёта ракеты. Итак, Δ𝑡'=0. Первое из соотношений (42) сразу же даёт
Δ
𝑥'
=
Δ𝑥
ch θ𝑟
=
Δ
𝑥
⋅
√
1-β
𝑟
²
.
(43)
Длина, зарегистрированная в системе отсчёта ракеты, короче одного метра, если метровый стержень покоится относительно лаборатории, что и требовалось доказать.
10. Замедление хода часов
Пусть часы движутся вместе с ракетой (рис. 38) и наблюдаются из лабораторной системы отсчёта (лабораторная решётка стержней и часов). В чём будет состоять отличие заключений наблюдателя в лаборатории относительно времени, показываемого движущимися часами, от того, что предсказывала дорелятивистская физика? Разобьём этот вопрос на 4 части.
Рис. 38. Способ сравнивать показания одних часов на ракете с показаниями нескольких лабораторных часов.
а) Как этот вопрос о ходе времени может быть переформулирован в вопрос о разделении двух событий?
б) Пусть между двумя событиями, выбранными в части (а), часы на ракете отсчитали 1 м светового времени, т.е. в системе отсчёта ракеты зарегистрирован интервал времени Δ𝑡'=1 м. Покажите, что соответствующий промежуток времени, зарегистрированный в лабораторной системе отсчёта, определяется соотношением
Δ
𝑡
=
Δ
𝑡'
⋅
ch
θ
𝑟
=
Δ𝑡'
√1-β𝑟²
.
(44)
Этот промежуток времени превышает 1 м светового времени. Такое удлинение называется замедлением хода часов (замедлением времени).
в) Как можно согласиться с выводом, полученным в части (б), о том, что 1 м времени, прошедший в системе отсчёта ракеты, оказывается больше, чем 1 м времени для наблюдателя в лаборатории? Не позволит ли этот вывод различать, исходя из физических законов, систему отсчёта ракеты (в которой часы идут с их стандартной скоростью) и лабораторную систему отсчёта (где те же самые часы отстают)? Не будет ли, таким образом, этот вывод противоречить принципу относительности (разд. 3), на котором основана вся теория относительности?
г) Пойдём ещё дальше и покажем, что 1 м времени, прошедший по часам, покоящимся в лабораторной системе отсчёта (Δ𝑡=1 м), будет зарегистрирован как интервал времени больше одного метра наблюдателями в системе отсчёта ракеты согласно формуле
Δ
𝑡'
=
Δ
𝑡
ch
θ
𝑟
=
Δ𝑡
√1-β𝑟²
.
(45)
Каким образом этот вывод подтверждает симметрию между обеими системами отсчёта (ракеты и лаборатории), требуемую принципом относительности? ▼
11. Относительная синхронизация часов
а) Покажите, что если два события происходят одновременно и в одном и том же месте в лабораторной системе отсчёта, они будут одновременными в системе отсчёта любой ракеты. Покажите, что если два события происходят одновременно, но не в одной и той же точке на оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта, они не будут наблюдаться как одновременные ни в одной системе отсчёта ракеты. Тот факт, что движущиеся относительно друг друга наблюдатели не всегда будут соглашаться друг с другом, одновременны или нет два события, носит название относительности одновременности.
б) Два события происходят одновременно и имеют одно и то же значение координаты 𝑥 в лабораторной системе отсчёта, но разница в значениях координат 𝑦 и 𝑧 для них равна Δ𝑦 и Δ𝑧. Покажите, что эти два события будут одновременными и в системе отсчёта ракеты.
в) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта часы в системе отсчёта ракеты на положительной части оси 𝑥 оказываются позади лабораторных часов, а на отрицательной части оси 𝑥 – впереди лабораторных часов, причём разница во времени, показываемом часами в лабораторной системе отсчёта и системе ракеты, возрастает по мере удаления от начала координат по закону
𝑡'
=-
𝑥sh θ
𝑟
=
–𝑥
β𝑟
√1-β𝑟²
.
(46)
г) Пользуясь формулами преобразования Лоренца, покажите, что в момент 𝑡'=0 в системе отсчёта ракеты часы в лабораторной системе отсчёта на положительной части оси 𝑥 оказываются впереди часов ракеты, а на отрицательной части оси 𝑥 – позади часов ракеты, причём разница во времени, показываемом часами в системе отсчёта ракеты и в лабораторной системе, возрастает по мере удаления от начала координат по закону
𝑡'
=+
𝑥'sh θ
𝑟
=
+𝑥'
β𝑟
√1-β𝑟²
.
(47)
Тот факт, что никто из двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга, не согласится, что время опорного события и времена, когда все часы в системе отсчёта другого наблюдателя показывают нулевой момент, одновременны, носит название относительной синхронизации часов.
д) Казалось бы, что разные знаки в законах (46) и (47) приводят к асимметрии между системами отсчёта, позволяющей провести различие между этими системами, что противоречило бы принципу относительности. Покажите, что если наблюдатель в каждой системе отсчёта ориентирует положительное направление своей оси 𝑥 в направлении движения другой системы относительно него, то все физические измерения, связанные с синхронизацией часов, дадут в каждой системе совершенно тождественные результаты. Иначе говоря, системы отсчёта нельзя различить с помощью и этого метода. Разница в знаках в приведённых выше уравнениях вызвана произвольным (и асимметричным) выбором общего для обеих осей 𝑥 положительного направления.
е) Полученные выводы иногда выражаются в виде утверждения, что «наблюдатель на ракете обнаруживает рассинхронизированность разных лабораторных часов между собой». Объясните, в чём ошибочность этой формулировки. Покажите, что для необходимых при этом измерений недостаточно одного-единственного наблюдателя на ракете. Как выразить полученные выше выводы безупречно корректно, чётко и ясно (хотя бы это оказалось значительно длиннее!)? ▼
12. Эвклидовы аналогии
а) Пусть в плоскости 𝑥𝑦 эвклидовой системы координат лежит прямой стержень. Начертите диаграмму, изображающую этот стержень в плоскости 𝑥𝑦; постройте проекции стержня на оси 𝑥, 𝑦 и 𝑥', 𝑦'. Разберите аналогию между различием в значениях 𝑥-компонент длины стержня, измеренных в двух повёрнутых относительно друг друга эвклидовых системах координат, и различием в длине движущегося стержня, наблюдаемого в лабораторной системе отсчёта, и покоящегося в системе ракеты стержня.
б) Разберите аналогию между замедлением времени и изменением длины 𝑦-компоненты стержня при переходе между повёрнутыми друг относительно друга эвклидовыми системами координат [см. часть (а)]. Назовите инварианты геометрии Эвклида и геометрии Лоренца.
в) Разберите аналогию между относительной синхронизацией часов и случаем двух повёрнутых друг относительно друга эвклидовых систем координат, когда точки на положительной части оси 𝑥 в одной системе координат будут иметь, скажем, отрицательные значения координаты 𝑦 в другой системе (и тем более отрицательные, чем дальше мы будем уходить от начала координат). ▼
13. Лоренцево сокращение. II
Пусть метровый стержень, покоящийся в системе отсчёта ракеты, направлен вдоль оси 𝑥'. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что стержень претерпел лоренцево сокращение, если измерит время, за которое этот стержень пролетает мимо одних из часов лабораторной системы, и умножит его на величину относительной скорости движения систем. ▼
14. Замедление хода часов. II
Два события происходят в одном и том же месте, но в разные моменты времени в системе отсчёта ракеты. Покажите, что наблюдатель в лабораторной системе заключит, что промежуток времени между этими двумя событиями будет больше в его системе, если измерит расстояние между событиями в лабораторной системе и разделит его на величину относительной скорости движения систем. ▼
15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах
Пусть время измеряется в секундах (пометим это индексом: 𝑡сек), а 𝑣𝑟 – относительная скорость лабораторной системы отсчёта и системы ракеты, выраженная в м/сек. Покажите, что формулы преобразования Лоренца принимают тогда вид
𝑥'
=
𝑥 ch θ
𝑟
–
𝑐𝑡
сек
sh θ
𝑟
=
𝑥-𝑣𝑟𝑡сек
√1-(𝑣𝑟²/𝑐²)
,
𝑡
сек
–
𝑣
𝑟
𝑥
𝑡
сек
'
=-
𝑡
sh θ
𝑟
+
𝑡
сек
ch θ
𝑟
=
𝑐²
,
𝑐
√
1-(𝑣
𝑟
²/𝑐²)
(48)
где
𝑣𝑟
𝑐
=
th θ
𝑟
.
Запишите в тех же обозначениях и обратное преобразование Лоренца. ▼
16*. Вывод формул преобразования Лоренца
Воспользуйтесь следующим новым методом (принадлежащим Эйнштейну) для вывода формул преобразования Лоренца. Пусть ракета равномерно движется со скоростью β𝑟 в направлении оси 𝑥 в лабораторной системе отсчёта. Координаты 𝑥', 𝑦', 𝑧', 𝑡' произвольного события (например, взрыва) в системе отсчёта ракеты взаимно однозначно связаны с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 этого же события, измеренными в лабораторной системе. При этом 𝑦=𝑦' и 𝑧=𝑧' (расстояния в направлениях, перпендикулярных движению, совпадают в обеих системах). Что же касается связи между 𝑥, 𝑡 и 𝑥', 𝑡' то предположим существование линейной зависимости
𝑥
=
𝑎𝑥'
+
𝑏𝑡'
,
𝑡
=
𝑒𝑥'
+
𝑓𝑡'
.
Здесь четвёрка коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑒 и 𝑓 1) неизвестна, 2) не зависит ни от 𝑥, 𝑡, ни от 𝑥', 𝑡' 3) зависит лишь от относительной скорости β𝑟 движения этих двух систем отсчёта.
Найдите отношения 𝑏/𝑎, 𝑒/𝑎, 𝑓/𝑎 как функции скорости β𝑟, исходя лишь из следующих трёх предположений: 1) световая вспышка, происшедшая в 𝑥=0, 𝑡=0 (𝑥'=0, 𝑡'=0) распространяется вправо со скоростью света в обеих системах отсчёта (𝑥=𝑡, 𝑥'=𝑡') 2) световая вспышка, происшедшая в 𝑥=0, 𝑡=0 (𝑥'=0, 𝑡'=0), распространяется влево со скоростью света в обеих системах отсчёта (𝑥=-𝑡, 𝑥'=-𝑡') 3) точка 𝑥'=0 обладает в лабораторной системе отсчёта скоростью β𝑟.
Теперь используйте четвёртое предположение – инвариантность интервала (разд. 5): 4) 𝑡²-𝑥²=(𝑡')²-(𝑥')² и найдите с его помощью величину постоянной 𝑎, а тем самым значения всех 4 коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑒 и 𝑓. Согласуются ли полученные таким путём результаты с лоренцевыми значениями коэффициентов преобразования? ▼
17*. Собственная длина и собственное время
а) Пусть два события 𝑃 и 𝑄 разделены пространственноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли одновременно. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты расстояние между данными событиями равно собственному расстоянию а между ними. (Один из путей: предположим, что такая система отсчёта действительно существует, а затем с помощью формул преобразования Лоренца покажем, что относительная скорость этой системы меньше скорости света (β𝑟<1), что и оправдывает сделанное предположение).
б) Пусть два события 𝑃 и 𝑅 разделены временноподобным интервалом. Покажите, что можно найти такую систему отсчёта ракеты, в которой оба события произошли в одном и том же месте. Покажите также, что в этой системе отсчёта ракеты промежуток времени между данными событиями равен промежутку собственного времени τ между ними. ▼
18*. Плоскость обоюдного согласия
В каждый момент имеется лишь одна плоскость, на которой показания часов лаборатории и ракеты совпадают. Покажите, что скорость движения этой плоскости в лабораторной системе отсчёта равна th (θ𝑟/2), где θ𝑟 – параметр относительной скорости лабораторной системы отсчёта и системы ракеты. ▼
