Текст книги "Физика пространства - времени"

Автор книги: Джон Уиллер

Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 27 страниц)

¹) См. сб. «Принцип относительности», Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минковский, Сборник работ классиков релятивизма, Л., ОНТИ, 1935.– Прим. перев.

Подход Минковского – залог понимания физического мира. Он концентрирует внимание на величинах, одинаковых во всех системах отсчёта, таких, как интервал. Он выясняет относительный характер величин, зависящих от выбора системы отсчёта, таких, как скорость, энергия, время и расстояние.

Различие между временем и пространством

Но теперь уже понимают, что не следует преувеличивать роли утверждений Минковского. Совершенно справедливо, что время и пространство – неразделимые части единого целого. Однако неверно, что время качественно то же самое, что пространство. Почему же это неверно? Разве время не измеряется в метрах, точно так же как расстояние? Разве координаты 𝑥 и 𝑦 у землемера – не величины одной и той же физической природы? И, по аналогии, разве координаты 𝑥 и 𝑡 на диаграмме пространства-времени не являются также величинами одинаковой природы? Какой же ещё может быть к ним законный подход, кроме равноправного, в формуле √(Δ𝑥)²+(Δ𝑦)²+(Δ𝑧)²-(Δ𝑡)² для пространственноподобного интервала? Равноправный подход – конечно, но одинаковая природа – никак нет! В этой формуле есть знак минус, и его не изгнать оттуда никакими уловками. Знак «минус» отражает разную природу пространства и времени. Перейти к мнимому числу Δ𝑤=√-1⋅Δ𝑡 – вовсе не значит избавиться от этого «минуса». Это случилось бы, если бы величина 𝑤 была реальной, но она мнима. Нет часов, которые показывали бы √-1 секунд или √-1 метров. Реальные часы показывают реальное время, например Δ𝑡=7 сек. Поэтому член -(Δ𝑡)² всегда противоположен по знаку члену (Δ𝑥)²+(Δ𝑦)²+(Δ𝑧)² (расстоянию). Никакими закручиваниями и поворотами никогда не удастся заставить оба знака совпасть друг с другом.

Разница в знаках временного и пространственного членов в выражении для интервала является специфическим свойством лоренцевой геометрии, совершенно новым и не похожим ни на что присущее эвклидовой геометрии. В эвклидовой геометрии расстояние 𝐴𝐵 между двумя точками никак не может быть равно нулю, если только не равны нулю сразу все три величины Δ𝑥, Δ𝑦 и Δ𝑧. Напротив, интервал 𝐴𝐵 между двумя событиями может оказаться равным нулю, даже если разности пространственных и временных координат Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧 и Δ𝑡 для 𝐵 и 𝐴 по отдельности велики.

Случай равенства нулю интервала

При каких условиях интервал 𝐴𝐵 равен нулю? Интервал равен нулю, когда разность временных координат для 𝐴 и 𝐵 совпадает по величине с пространственным расстоянием:

Δ

𝑡

=±

√

(

Δ

𝑥)²+(

Δ

𝑦)²+(

Δ

𝑧)²

(12)

Как это условие может быть истолковано физически? Выражение, стоящее справа,– расстояние между двумя точками. При этом свет проходит 1 м расстояния за 1 м светового времени. Поэтому выражение, стоящее справа, представляет собой время, необходимое свету, чтобы покрыть расстояние между 𝐴 и 𝐵. С другой стороны, Δ𝑡 – это то время, которое дано для того, чтобы пройти этот путь. Другими словами, условие (12) выполняется, и интервал 𝐴𝐵 обращается в нуль, если световой сигнал, исходящий из события 𝐴, приходит в пространственную точку события 𝐵 как раз в момент совершения события 𝐵 (либо если сигнал, происходящий из 𝐵, попадает в 𝐴). Интервал между двумя событиями равен нулю, если эти события могут быть связаны между собой одним световым лучом.

Интересно изобразить на соответствующей диаграмме положение всех событий 𝐵, которые могут быть связаны с одним данным событием 𝐴 световым лучом. Пусть событие 𝐴 для простоты произошло в начале координат диаграммы пространства-времени.

Возьмём произвольные координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 события 𝐵. Тогда временна'я координата события 𝐵 может иметь либо величину

𝑡

_будущ

=+

√

𝑥²+𝑦²+𝑧²

,

(13)

либо величину

𝑡

_прошл

=-

√

𝑥²+𝑦²+𝑧²

,

(14)

Изобразить графически эти формулы проще всего, если ограничиться теми событиями 𝐵, координата 𝑧 которых равна нулю. Тогда следует построить диаграмму пространства-времени с двумя пространственными координатами 𝑥 и 𝑦 и временной координатой 𝑡 (рис. 22). На этой диаграмме любое событие 𝐵, отделённое от 𝐴 нулевым (светоподобным) интервалом, лежит либо на «световом конусе будущего» [знак «плюс» в уравнении (13)], либо на «световом конусе прошлого» [знак «минус» в уравнении (14)] относительно 𝐴.

Рис. 22. Диаграмма пространства-времени, изображающая координаты 𝑥, 𝑦 и 𝑡 событий, для которых 𝑧=0.

Световые конусы разграничивают пространство-время

Рассмотрим на рис. 22 все события, временна'я координата которых превышает на 7 м временну'ю координату вспышки 𝐴. Эти события лежат в плоскости, находящейся на 7 м выше плоскости 𝑥𝑦 и параллельной этой последней. Те из этих событий, которые при этом лежат и на световом конусе с вершиной в 𝐴, образуют окружность. Радиус этой окружности 7 м. Эта окружность (являющаяся окружностью на данной диаграмме для 𝑥, 𝑦, 𝑡, но сферой на полной диаграмме для 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) представляет собой геометрическое место точек распространяющейся энергии излучения, отправленного из 𝐴. В более поздний момент этот импульс распространится на окружность ещё большего радиуса. Итак, световой конус будущего изображает эволюцию расходящегося сферического светового импульса, отправленного из 𝐴. Аналогично световой конус прошлого изображает эволюцию сходящегося импульса излучения, настолько искусно сфокусированного, что он собирается в точку в начале координат в нулевой момент времени.

Световой конус специфичен для лоренцевой геометрии; в эвклидовой геометрии ничего подобного нет. Более того, существование в лоренцевой геометрии светового конуса – факт огромного значения для структуры физического мира. Он приводит к следующему упорядочению всех событий по их причинным связям с любым заданным событием 𝐴 (см. рис. 22).

Подразделение пространства-времени на 5 областей относительно события 𝐴

1. Может ли частица, испущенная в 𝐴, повлиять на то, что должно произойти в 𝐶? Если да, то 𝐶 лежит внутри светового конуса будущего с вершиной в 𝐴.

2. Может ли свет, испущенный в 𝐴, повлиять на то, что должно произойти в 𝐵? Если да, то 𝐵 лежит на световом конусе будущего с вершиной в 𝐴.

3. Может ли быть, что ничто, происходящее в 𝐴, не способно повлиять на то, что происходит в 𝐷? Если да, то 𝐷 лежит вне светового конуса с вершиной в 𝐴.

4. Может ли частица, испущенная в 𝐸, повлиять на то, что происходит в 𝐴? Если да, то 𝐸 лежит внутри светового конуса прошлого с вершиной в 𝐴.

5. Может ли свет, испущенный в 𝐹, повлиять на то, что происходит в 𝐴? Если да, то 𝐹 лежит на световом конусе прошлого с вершиной в 𝐴. Но световой конус с вершиной в событии 𝐴, как и в любом другом событии, существует в пространстве-времени совершенно независимо от того, в каких координатах мы пожелаем его описывать. Поэтому возможности, отмеченные в наших пяти вопросах и касающиеся влияния одного события на другое, не зависят от системы отсчёта, в которой наблюдается эта взаимосвязь между событиями. В этом смысле причинная связь между двумя событиями одинакова в любой системе отсчёта ¹).

¹) Пространства такого типа носят название частично упорядоченных пространств, так как в них наряду с абсолютными отношениями «раньше» и «позднее» существует и отсутствие определенного отношения между событиями (абсолютно безразличная область). В этой абсолютно безразличной области любое событие может быть «сделано» путем простого выбора системы отсчета более ранним или более поздним (по желанию!), чем опорное событие, лежащее в вершине светового конуса.– Прим. перев.

На рис. 23 (на следующей странице) дана сводка взаимоотношений между выделенным событием 𝐴 и всеми другими событиями в пространстве-времени.

Рис. 23. Наглядное разбиение пространства-времени на 5 областей соответственно классификации событий относительно некоторого опорного события 𝐴.

КУБИК ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ С ЦЕНТРОМ В СОБЫТИИ 𝐴.

Представлять себе распространённым до бесконечности во всех направлениях в последующих схемах.

АБСОЛЮТНОЕ БУДУЩЕЕ.

События, происходящие позже 𝐴 и отделённые от 𝐴 временноподобным интервалом.

СВЕТОВОЙ КОНУС БУДУЩЕГО.

События, происходящие позже 𝐴 и отделённые от 𝐴 изотропным (светоподобным) интервалом.

«НЕЙТРАЛЬНАЯ» ИЛИ «НЕДОСТИЖИМАЯ» ОБЛАСТЬ («АБСОЛЮТНО БЕЗРАЗЛИЧНАЯ»).

События, отделённые от 𝐴 пространственно подобным интервалом.

Каждое такое событие может быть сделано происходящим либо раньше 𝐴, либо позже 𝐴 посредством выбора подходящей системы координат.

СВЕТОВОЙ КОНУС ПРОШЛОГО.

События, происшедшие раньше 𝐴 и отделённые от 𝐴 изотропным (светоподобным) интервалом.

АБСОЛЮТНОЕ ПРОШЛОЕ.

События, происшедшие раньше А и отделённые от 𝐴 временноподобным интервалом.

ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ЧАСТИЧНОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ РАСЧЛЕНЁННОЙ КАРТИНЫ.

События, на которые наблюдатель в 𝐴 может активно влиять своими теперешними или будущими действиями.

События, которых уже не может изменить наблюдатель после того, как он оказался в мировой точке 𝐴.

ДРУГОЙ СПОСОБ ЧАСТИЧНОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ РАСЧЛЕНЁННОЙ КАРТИНЫ.

События, информацию о которых наблюдатель ещё может узнать, если ничто их не заслонит.

События, участником которых наблюдатель в 𝐴 уже был (активно участвуя в них или просто наблюдая их) или следствия которых и информацию о которых он мог получить раньше.

8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА

Движение π-мезона удобнее описывать с помощью координат, а не интервала

Рис. 24. Рождение и распад π-мезона.

На высотах от 10 до 30 км над поверхностью Земли космические лучи постоянно бомбардируют ядра атомов кислорода и азота, вызывая появление заряженных и нейтральных π-мезонов. Проследим движение одного такого π⁺-мезона вниз, к Земле (рис. 24). В связанной с ним системе отсчёта (назовём её «системой ракеты») среднее время жизни мезона равно 2,55×10⁻⁸ сек. Примем в такой системе отсчёта ракеты координаты события – рождения мезона – равными 𝑥'=0, 𝑡'=0 (см. рис. 25, б). Запишем координаты события – распада π-мезона на μ-мезон и нейтрино – в виде

𝑥'=0,

𝑡'=τ

_π

.

Как воспримет эти события наблюдатель в лаборатории? Сколько времени проживёт π-мезон с момента своего рождения до смерти по его часам, т.е. чему равен промежуток лабораторного времени 𝑡? Какое расстояние пройдёт π-мезон за период своей жизни, т.е. чему равно лабораторное расстояние 𝑥 от точки его образования в верхних слоях атмосферы до той точки внизу, где он распался? Короче говоря, пусть некоторое событие 𝐸 определяется в системе ракеты заданными значениями координат 𝑥' и 𝑡' относительно начала 𝑂. Как определить тогда координаты 𝑥 и 𝑡 того же самого события относительно того же самого начала в лабораторной системе отсчёта (рис. 25, а)?

Такой вопрос для нас нов. До сих пор мы рассматривали при описании относительного положения событий лишь инвариантный интервал. Величина такого интервала не зависит от выбора системы отсчёта, причём

⎛

⎜

⎜

⎝

Пространствен-

ноподобный

интервал

⎞²

⎟

⎟

⎠

=-

⎛

⎜

⎜

⎝

Времен-

ноподобный

интервал

⎞²

⎟

⎟

⎠

=

=

𝑥²-𝑡²

=

(𝑥')²-(𝑡')²

.

(15)

В разных системах отсчёта координаты события различны

Сосредоточим теперь наше внимание на самих координатах как характеристике расположения события 𝐸 относительно начала 𝑂. Мы сделаем это, заранее признавая, что они зависят от выбора системы отсчёта. В этом отношении положение координат гораздо менее универсально, чем положение инвариантного интервала как меры взаимного разделения событий. Пусть так. Физика должна приладиться к тому, что есть в мире. Описывать удалённость событий друг от друга следует тем методом, который лучше соответствует обстоятельствам. Бывает, что торпедному катеру полезнее указать, что расстояние между носом и кормой атакуемого судна 50 м. Но в другом случае может быть, что ему гораздо важнее указать, что положение носа судна относительно кормы 40 м к северу и 30 м к востоку. В той задаче, которая нас занимает, нам не интересно, что мировая точка распада π-мезона отстоит от мировой точки его образования на величину инвариантного интервала τ, равную около 10⁻⁸ сек. Нам нужно охарактеризовать удалённость этих событий друг от друга самими координатами 𝑥 и 𝑡.

а) Диаграмма пространства-времени лабораторной системы отсчёта.

б) Диаграмма пространства-времени системы отсчёта ракеты.

Рис. 25. Координаты точек рождения (точка 𝑂) и распада (точка 𝐸) π-мезона, изображённые на диаграммах пространства-времени лабораторной системы и системы отсчёта ракеты.

Преобразование Лоренца для координат

Как бы сильно ни различались координаты (𝑥',𝑡') события 𝐸 в системе отсчёта ракеты от его координат (𝑥,𝑡) в лабораторной системе, эти два набора координат связаны друг с другом вполне определённым и простым законом. Этот закон выражается через преобразование Лоренца

𝑥

=

𝑥'

√1-β_𝑟²

+

β_𝑟𝑡'

√1-β_𝑟²

,

𝑡

=

β_𝑟𝑥'

√1-β_𝑟²

+

𝑡'

√1-β_𝑟²

,

(16)

где β_𝑟– скорость системы отсчёта ракеты относительно лабораторной системы отсчёта. Ввиду выполнения этого закона говорят, что координаты обеспечивают ковариантное описание взаимной удалённости событий в пространстве-времени в противоположность инвариантному описанию этой удалённости, обеспечиваемому интервалом. Корень «вари» в слове ковариантный»

Определение понятия «ковариантность»

указывает, что координаты изменяются (варьируют) при переходах от одной системы отсчёта к другой. Приставка «ко» означает, что преобразование координат всех событий производится по одному и тому же закону (координированно). Итак, для разных событий различны как координаты 𝑥' и 𝑡', так и координаты 𝑥 и 𝑡, но четвёрка коэффициентов

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

β

_𝑟

⋅

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

β

_𝑟

⋅

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

связывающая эти два набора координат, обладает значениями, не зависящими от того, какое событие рассматривается.

В этом разделе мы будем обсуждать вывод формул преобразования Лоренца, их использование и их сходство с известными формулами преобразований эвклидовой геометрии, иллюстрируемыми на примере притчи о землемерах.

Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца

Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:

1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).

2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью β_𝑟 в положительном направлении оси 𝑥.

3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.

Эти три принципа легко применить к случаю распада π-мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (𝑥,𝑡) относительно события – рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость β_𝑟 системы отсчета ракеты, в которой π-мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат 𝑥 и 𝑡,

𝑥

𝑡

=

β

_𝑟

,

так что

𝑥

=

β

_𝑟

𝑡

,

или

𝑥²

=

β

_𝑟

²

⋅

𝑡²

.

(17)

Первый этап вывода преобразования Лоренца

Временноподобный интервал, образованный 𝑥 и 𝑡, определяется временем жизни π-мезона в системе отсчёта ракеты (где мезон покоится в точке 𝑥'=0):

𝑡²-𝑥²

=

𝑡'²-𝑥'²

=

𝑡'²-0

=

τ

_π

²

.

Подставим в эту формулу β_𝑟²𝑡² вместо 𝑥² на основании уравнения (17). Получим

𝑡²

–

β

_𝑟

²𝑡²

=

𝑡'²

=

τ

_π

²

,

или

𝑡²

=

𝑡²

1-β_𝑟²

=

τ_π²

1-β_𝑟²

,

или

𝑡

=

𝑡'

√1-β_𝑟²

=

τ_π

√1-β_𝑟²

.

(Численный пример: положим β_𝑟=¹²/₁₃ скорости света; тогда 1-β_𝑟²=1-¹⁴⁴/₁₆₉=²⁵/₁₆₉ и (1-β²)⁻¹^/²=¹³/₅=2,6. Следовательно, время жизни π-мезона, измеренное в лаборатории, в 2,6 раза длиннее «собственного времени жизни», т.е. оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчёта, связанной с самим мезоном). Расстояние, пройденное π-мезоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что

𝑥

=

β

_𝑟

𝑡

=

β_𝑟𝑡'

√1-β_𝑟²

.

Решение задачи о π-мезоне

Этим расчётом завершается решение поставленной задачи (найти координаты мировой точки распада π-мезона относительно мировой точки его рождения в лабораторной системе координат).

Задача о π-мезоне служила введением к общей задаче – найти координаты данного события в лабораторной системе, если заданы его координаты в системе ракеты. Если мы покажем, что эта задача равнозначна выводу формул преобразования Лоренца, значит, мы пришли к методу вывода этого преобразования, исходя из простейших предположений. На самом деле, мы уже нашли два коэффициента из четырёх в формулах преобразования Лоренца:

𝑡

=

β

_𝑟

𝑡

=

𝑡'

√1-β_𝑟²

+

𝐴𝑥'

,

𝑥

=

β

_𝑟

𝑡

=

β_𝑟𝑡'

√1-β_𝑟²

+

𝐵𝑥'

.

Что касается остальных двух коэффициентов, временно обозначенных через 𝐴 и 𝐵, то о них мы ничего не узнали просто потому, что π-мезон всё время покоился в точке 𝑥'=0 в системе ракеты. Благодаря этому коэффициенты 𝐴 и 𝐵 могли иметь любые конечные значения при одном и том же решении

Конечный этап вывода преобразования Лоренца

задачи о мезоне. Чтобы найти значения этих коэффициентов, мы перейдём от специального случая (события – распада 𝐸) к более общему случаю – событию, происходящему в точке с произвольными координатами 𝑥' и 𝑡'. Мы вновь потребуем, чтобы величина интервала была одинаковой в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты. Другими словами, потребуем выполнения равенства

𝑡²-𝑥²

=

𝑡'²-𝑥'²

,

или

⎡

⎢

⎣

𝑡'

√1-β_𝑟²

+

𝐴𝑥'

⎤²

⎥

⎦

–

⎡

⎢

⎣

β_𝑟𝑡'

√1-β_𝑟²

+

𝐵𝑥'

⎤²

⎥

⎦

=

𝑡'²-𝑥'²

,

или

𝑡'²

+

2(𝐴-β_𝑟𝐵)𝑥'𝑡'

√1-β_𝑟²

+

(𝐴²-𝐵²)

𝑥'²

=

𝑡'²

–

𝑥'²

.

(18)

Это равенство не может выполняться для всевозможных 𝑡' и 𝑥', если только коэффициенты 𝐴 и 𝐵 не выбраны вполне определённым образом. Во-первых, эти коэффициенты должны быть такими, чтобы в левой части равенства (18) обратился в нуль множитель при 𝑥'𝑡' (так как в правой части подобного члена нет). Тогда

𝐴

=

β

_𝑟

𝐵

.

Во-вторых, множители при (-𝑥'²) в левой и правой частях равенства (18) должны совпадать. Поэтому

𝐵²

–

𝐴²

=

1.

Мы получили два уравнения для двух неизвестных 𝐴 и 𝐵; решая их, найдём

𝐴

=

β_𝑟

√1-β_𝑟²

и

𝐵

=

1

√1-β_𝑟²

Этим вычислением и завершается вывод формул преобразования Лоренца (16).

Роль преобразования Лоренца

Новый – ковариантный – подход имеет дело с компонентами пространственно-временного интервала – координатами 𝑥, 𝑡 (16), а не с величиной самого интервала (15). Язык интервалов подобен универсальному языку: любой интервал одинаков для наблюдателей во всех системах отсчёта. Напротив, компоненты взаимного удаления событий в пространстве-времени, измеренные в одной системе отсчёта,– это весьма частный язык для выражения такого удаления. По своей форме этот язык похож на тот частный язык, с помощью которого та же удалённость описывается в другой системе отсчёта. Ведь в обоих языках фигурируют «пространственные» и «временная компоненты». Но само по себе это обстоятельство ещё ничего не даёт для сравнения информации, которой располагают разные группы наблюдателей. Когда англичанин берёт турецкую газету, ему не легче от знания того, что в турецком языке, как и в английском, есть глаголы и существительные! Ему нужен ещё и словарь. Так вот для перевода на свой язык информации о пространственных и временных координатах событий из других систем отсчёта наблюдателю тоже требуется словарь. Этот словарь – формулы преобразования Лоренца (16).

Аналогия: землемеры пользуются преобразованием эвклидова пространства

Подобный же словарь необходим и при гораздо более обычных обстоятельствах. Дневной землемер, определяющий север по магнитному компасу, может перевести на свой язык измерения северной и восточной координат, сделанные ночным землемером, ориентирующимся по Полярной звезде. Но не потребуется никакого словаря, если они будут сравнивать свои результаты, выраженные на универсальном языке расстояний. Бросается в глаза различие между двумя методами – исходящим из инвариантов (расстояния – универсальный язык) и использующим компоненты (северную и восточную координаты, величины которых, определённые разными наблюдателями, различны). Эту противоположность инвариантных и ковариантных величин иллюстрирует рис. 26.

Рис. 26. Ковариантный подход к геометрии использует компоненты величин, например компоненты вектора 𝑂𝐴. (Напротив, в инвариантном подходе используются длины, например длина 𝑂𝐴. Такие длины имеют численные значения, не зависящие от выбора системы отсчёта. Иначе говоря, любая длина одинакова независимо от того, кто её определяет – землемер, определяющий направление на север по Полярной звезде, или землемер, пользующийся магнитным компасом).

Пусть в одной системе значения компонент равны (𝑥,𝑦)=(7,6), а в другой системе – (𝑥',𝑦')=(2,9). (Эти числа соответствуют нашему чертежу). Очевидно, что значения компонент в двух системах отсчёта различны. В самом деле, они связаны законом «ковариантного преобразования» 𝑥 =

4

5 𝑥' +

3

5 𝑦' ,  𝑦 =-

3

5 𝑥' +

4

5 𝑦' ,

который в частном случае вектора 𝑂𝐴 записывается в виде 7 =

4

5 •2 +

3

5 •9 ,  6 =-

3

5 •2 +

4

5 •9 ,

Приведённые здесь конкретные численные значения коэффициентов в законе преобразования связаны с тем конкретным поворотом, который изображён на чертеже.

В притче о землемерах студент сделал, как теперь обнаруживается, лишь полдела. Он выяснил, как должен каждый землемер переводить свои результаты на универсальный язык расстояний:

(Расстояние)

²

=

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

=

(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²

.

Однако он не сформулировал того словаря, который необходим для перевода с дневного на ночной язык и обратно величин компонент. Конечно, выводы студента были ценными, но ведь случается же, когда дневной землемер должен знать не только величину расстояния 𝑂𝐴, но и конкретные координаты (Δ𝑥,Δ𝑦) этого отрезка. При этом может оказаться, что по воле судеб ему недоступно прямое измерение этих компонент. Тогда в его распоряжении будут лишь данные о компонентах (Δ𝑥',Δ𝑦'), полученные при измерении 𝑂𝐴 его коллегой – ночным землемером. Как же ему перевести имеющиеся в его распоряжении числа (Δ𝑥',Δ𝑦') на его «язык» и получить требуемые (Δ𝑥,Δ𝑦)? Каким должен быть словарь? И что должен он знать, чтобы быть в состоянии этот словарь составить? Вот ответ.

Эвклидово преобразование поворота координатных осей

Подобно тому, как для построения формул преобразования Лоренца, переводящих (Δ𝑥',Δ𝑦') в (Δ𝑥,Δ𝑦), необходимо знать относительную скорость движения двух систем отсчёта β_𝑟, для перевода компонент (Δ𝑥',Δ𝑦') в (Δ𝑥,Δ𝑦) требуется знать величину наклона 𝑆_𝑟 прямой 𝑂𝑦' относительно прямой 𝑂𝑦. В примере, изображённом на рис. 26, наклон оси 𝑂𝑦' к оси 𝑂𝑦 равен 𝑆_𝑟=³/₄. Это значит, что при перемещении вверх по оси 𝑦 на 4 единицы необходимо сдвинуться от неё вправо на 3 единицы, чтобы оказаться на оси 𝑦'. Если выразить через величину наклона 𝑆_𝑟 формулу преобразования поворота, мы получим

Δ

𝑥

=

Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

+

𝑆_𝑟Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

,

Δ

𝑦

=-

𝑆_𝑟Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

+

Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

.

(19)

Доказательство.

Рис. 27. Представление произвольного вектора как геометрической суммы двух векторов, направленных соответственно вдоль осей 𝑦' и 𝑥'. Это представление использовано при выводе уравнений (19) закона преобразования поворота (см. текст).

1. Произвольный вектор (Δ𝑥',Δ𝑦') может рассматриваться (см. рис. 27) как сумма вектора (Δ𝑥',0), направленного вдоль оси 𝑥', и вектора (0,Δ𝑦'), направленного вдоль оси 𝑦'. Для общего доказательства справедливости формул (19) достаточно удостовериться в том, что они верны по отдельности для этих двух векторов.

2. Вектор, направленный вдоль оси 𝑦' и имеющий длину Δ𝑦' обладает относительно осей 𝑥 и 𝑦 компонентами, относящимися друг к другу как 𝑆_𝑟 по определению «наклона». Итак,

Δ𝑥

Δ𝑦

=

𝑆

_𝑟

,

или

⎛

⎜

⎝

Δ𝑥

Δ𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

𝑆

_𝑟

²

,

или

(

Δ

𝑥)²

=

𝑆

_𝑟

²

⋅

(

Δ

𝑦)²

.

3. Расстояние от начала координат до конца вектора имеет одну и ту же величину в обеих системах координат:

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

(

Δ

𝑥')²

+

(

Δ

𝑦')²

,

или

𝑆

_𝑟

²

(

Δ

𝑦)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

0

+

(

Δ

𝑦')²

,

или

(

Δ

𝑦)²

=

(Δ𝑦')²

1+𝑆_𝑟²

,

или, наконец,

Δ

𝑦

=

Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

,

так что

Δ

𝑥

=

𝑆

_𝑟

Δ

𝑦

=

𝑆_𝑟Δ𝑦'

√1+𝑆_𝑟²

.

Сравнивая эти результаты с формулами преобразования поворота (19), мы убеждаемся в правильности коэффициентов при Δ𝑦'.

4. Аналогично рассмотрим вектор, направленный вдоль оси 𝑥' и имеющий компоненты (Δ𝑥',0). Его компоненты вдоль осей 𝑦 и 𝑥 находятся друг к другу в отношении

Δ𝑦

Δ𝑥

=-

𝑆

_𝑟

.

Это равенство вместе с фактом инвариантности длины

(

Δ

𝑥)²

+

(

Δ

𝑦)²

=

(

Δ

𝑥')²

+

0

приводит в ходе рассуждений, аналогичных предыдущим, к соотношениям

Δ

𝑥

=

Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

,

Δ

𝑦

=-

𝑆_𝑟Δ𝑥'

√1+𝑆_𝑟²

.

Тем самым мы проверили остальные два коэффициента в формулах (19) эвклидова преобразования поворота.

Относительный наклон осей 𝑆_𝑟 в геометрии Эвклида аналогичен относительной скорости β_𝑟 в геометрии Лоренца

Подводя итоги, можно сказать, что ковариантное преобразование в геометрии Эвклида от (Δ𝑥',Δ𝑦') к (Δ𝑥,Δ𝑦) с очевидностью аналогично преобразованию от (Δ𝑥',Δ𝑡') к (Δ𝑥,Δ𝑡) в лоренцевой геометрии реального физического мира. Величина наклона 𝑆_𝑟 осей одной системы координат относительно соответствующих осей другой системы аналогична скорости β_𝑟 одной инерциальной системы отсчёта относительно другой. Отношения катетов прямоугольного треугольника к его гипотенузе в эвклидовой геометрии

1

√1+𝑆_𝑟²

и

𝑆_𝑟

√1+𝑆_𝑟²

заменяются в лоренцевой геометрии выражениями

1

√1-β_𝑟²

и

β_𝑟

√1-β_𝑟²

.

Противоположны лишь знаки при 𝑆_𝑟 и β_𝑟 в знаменателях этих выражений. Знак «минус» в лоренцевой геометрии связан с минусом в выражении для квадрата интервала.