Текст книги "Физика пространства - времени"
Автор книги: Джон Уиллер
Соавторы: Эдвин Тейлор
сообщить о нарушении
Текущая страница: 13 (всего у книги 27 страниц)
3-вектор определяется заданием в каждой эвклидовой системе координат трёх чисел (компонент, различных в разных системах координат!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами координат по соответствующим формулам преобразования поворота геометрии Эвклида (29).
Зная, что некоторая величина – вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3– или 4-мерный закон преобразования компонент.
Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса
Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения 𝐴𝐵 не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:
1) Берётся 4-вектор смещения 𝐴𝐵 с компонентами
𝑑𝑡
,
𝑑𝑥
,
𝑑𝑦
,
𝑑𝑧
(см. рис. 87).
Рис. 87. 4-вектор перемещения 𝐴𝐵, соединяющий события 𝐴 и 𝐵 на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда 𝑦– и 𝑧– компоненты перемещения 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧 одновременно равны нулю.
2) С помощью 4-вектора 𝐴𝐵 строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени
𝑑τ
=
√
(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²
,
взятый между мировыми точками 𝐴 и 𝐵 компоненты этого касательного вектора
𝑑𝑡
𝑑τ
,
𝑑𝑥
𝑑τ
,
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑑𝑧
𝑑τ
изображены на рис. 88.
Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения 𝐴𝐵 (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени 𝑑τ. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны
𝑑𝑡
𝑑τ =
𝑑𝑡
√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)² =
1
√1-(𝑑𝑥/𝑑𝑡)² =
1
√1-β² = = 1 = 1 = √1-th²θ
⎛
⎜
⎝ ch²θ – sh²θ
⎞
⎟
⎠
½
ch²θ ch²θ =
ch θ
√ch²θ-sh²θ = ch θ
и
𝑑𝑥
𝑑τ =
𝑑𝑥
√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)² =
𝑑𝑡/𝑑𝑥
√1-(𝑑𝑥/𝑑𝑡)² =
β
√1-β² = = th θ = th θ = √1-th²θ
⎛
⎜
⎝ ch²θ – sh²θ
⎞
⎟
⎠
½
ch²θ ch²θ =
th θ ch θ
√ch²θ-sh²θ = sh θ .
(В приведённом здесь частном случае полная пространственная компонента перемещения 𝑑𝑟 равна 𝑥-компоненте перемещения 𝑑𝑥. В более общем случае пространственная часть перемещения имеет вид 𝑑𝑟=√(𝑑𝑥)²+(𝑑𝑦)²+(𝑑𝑧)², и тогда она даёт пространственную компоненту единичного вектора касательной, равную
𝑑𝑟
𝑑τ =
β
√1-β² sh θ .
⎞
⎟
⎠
3) 4-вектор энергии-импульса получается при умножении этого единичного вектора на постоянную 𝑚; его компоненты равны
𝐸
=
𝑝
𝑡
=
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
,
𝑝
𝑥
=
𝑚
𝑑 𝑥
𝑑τ
,
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑 𝑦
𝑑τ
,
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑 𝑧
𝑑τ
(77)
(см. рис. 89).
Рис. 89. 4-вектор энергии-импульса, полученный при умножении единичного вектора касательной (рис. 88) на постоянную массу 𝑚 частицы. Временная компонента его называется «релятивистской энергией» и обозначается через 𝐸.
Подробности хода этих рассуждений и различные формы записи пространственных и временных компонент всех этих трёх 4-векторов приведены на рисунках. Не может быть никакого сомнения в том, что 4-вектор (𝑑𝑡, 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) остаётся 4-вектором после деления его на величину 𝑑τ и умножения на величину 𝑚, которые обе остаются одинаковыми во всех системах отсчёта.
Сохранение энергии 𝐸 в одной системе отсчёта следует из сохранения импульса во всех системах отсчёта
Этим и исчерпывается краткое введение во взаимосвязь между импульсом и энергией. Перейдём теперь к важному вопросу: почему временну'ю компоненту получившегося 4-вектора можно называть энергией? Причины две. Во-первых, потому что эта компонента имеет правильную размерность – она выражается в единицах массы. Во-вторых, и это важнее всего, потому что полная величина этой компоненты сохраняется при всех столкновениях. Доказательство того, что сумма значений 𝐸 для всех частиц подчиняется закону сохранения, базируется на простом соображении: если три компоненты какого-либо 4-вектора сохраняются во всех системах отсчёта, то четвёртая компонента также должна сохраняться (см. табл. 9). Мы знаем, что три (пространственные) компоненты полного импульса физической системы сохраняются во всех системах отсчёта. Поэтому полная временная компонента его тоже сохраняется. Подробности этого доказательства см. ниже.
Формулы преобразования Лоренца для элементов смещения при переходе между лабораторной системой отсчёта и системой ракеты можно записать в виде (37):
𝑑𝑡'
=-
𝑑𝑥 sh θ
𝑟
+
𝑑𝑡 ch θ
𝑟
,
𝑑𝑦'
=
𝑑𝑦
,
𝑑𝑥'
=
𝑑𝑥 ch θ
𝑟
–
𝑑𝑡 sh θ
𝑟
,
𝑑𝑧'
=
𝑑𝑧
.
Эти равенства не нарушатся, если их разделить с обеих сторон на инвариантный интервал 𝑑τ=𝑑τ' и умножить на инвариантную массу 𝑚:
𝑚
𝑑𝑡'
𝑑τ'
=-
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
sh θ
𝑟
+
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
ch θ
𝑟
,
𝑚
𝑑𝑦'
𝑑τ'
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑚
𝑑𝑥'
𝑑τ'
=
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
ch θ
𝑟
–
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
sh θ
𝑟
,
𝑚
𝑑𝑧'
𝑑τ'
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
,
Но 𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑τ, 𝑚⋅𝑑𝑦/𝑑τ и 𝑚⋅𝑑𝑧/𝑑τ – компоненты релятивистского импульса, а 𝑚⋅𝑑𝑡/𝑑τ – временна'я компонента нового 4-вектора, т.е. та самая величина, которую мы решили назвать «релятивистской энергией 𝐸». Мы пришли, таким образом, к следующим важным соотношениям, связывающим импульс и новую величину 𝐸 в одной системе отсчёта с импульсом и 𝐸' – в другой инерциальной системе отсчёта:
𝐸'
=-
𝑝
𝑥
sh θ
𝑟
+
𝐸 ch θ
𝑟
,
𝑝'
𝑦
=
𝑝
𝑦
,
𝑝'
𝑥
=
𝑝
𝑥
ch θ
𝑟
–
𝐸 sh θ
𝑟
,
𝑝'
𝑧
=
𝑝
𝑧
.
(78)
Преобразования Лоренца для энергии и импульса
Рассмотрим теперь столкновение двух частиц; пусть 𝑝₁𝑥 и 𝑝₂𝑥 будут соответственно 𝑥-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в лабораторной системе отсчёта, а 𝐸₁ и 𝐸₂ – их «релятивистскими энергиями» в этой же системе. Пусть аналогично 𝑝₁'𝑥 и 𝑝₂'𝑥 будут 𝑥-компонентами импульса этих частиц до столкновения, измеренными в системе отсчёта ракеты. Для того чтобы записать 𝑥-компоненту полного импульса в системе отсчёта ракеты до столкновения, следует сложить друг с другом два выражения 𝑥-компоненты импульса (для каждой частицы), фигурирующие как второе уравнение в системе (78):
(𝑝₁'
𝑥
+
𝑝₂'
𝑥
)
=
(𝑝₁
𝑥
+
𝑝₂
𝑥
)
ch
θ
𝑟
–
(𝐸₁
+
𝐸₂)
sh
θ
𝑟
.
Таблица 9.
Неизменность импульса в двух системах отсчёта гарантирует неизменность энергии в обеих системах
**
СВЯЗЬ С ОБСУЖДЕНИЕМ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
Равенство нулю 𝑥-компоненты вектора в одной системе отсчёта никак не облегчает исследование поведения 𝑡-компоненты этого вектора. Здесь изображены три вектора, обладающие разными абсолютными величинами (и один из них вообще равен нулю), которые все кажутся одинаковыми для исследователя, знающего лишь величину их 𝑥-компонент.
**
Закон сохранения импульса утверждает, что полная сумма импульсов после столкновения равна полной сумме импульсов до столкновения. Или, что то же самое, имеется определённая величина – изменение полного импульса при столкновении, о которой мы знаем, что она равна нулю. Но это ещё не всё. Нам нужна вся информация о полном 4-векторе (равном изменению полного 4-вектора энергии-импульса при столкновении). Рассматривая одну только пространственную компоненту (или, на нашей диаграмме, удостоверившись только в равенстве нулю 𝑥-компоненты этого 4-вектора), мы никак не можем здесь показать, что равна нулю и временная компонента (иначе говоря, что равно нулю изменение энергии).
Взглянуть на этот же вектор из другой системы отсчёта – значит сразу же обнаружить разницу между векторами, казавшимися одинаковыми в прежней системе отсчёта. Допустим, что, как мы знаем, пространственная компонента некоторого 4-вектора равна нулю в двух разных системах отсчёта. Тогда можно быть уверенным, что этот 4-вектор вообще равен нулю (случай, изображённый справа).
**
Равенство нулю пространственной компоненты («импульсной компоненты») определённого 4-вектора (который и есть разность полных 4-векторов энергии-импульса до и после столкновения) в двух различных системах отсчёта гарантирует, что все компоненты этого 4-вектора вообще равны нулю. Значит, из того факта, что импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты, можно заключить, что и энергия сохраняется в обеих системах.
Такое же уравнение можно записать для этих частиц и после столкновения (две отдельные частицы после упругого столкновения; одна объединённая частица при неупругом ударе и много частиц, если неупругий удар сопровождался дроблением). Можно следующим образом сопоставить эти уравнения до и после столкновения:
До столкновения
: полная
𝑥
–компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты
=
До столкновения
: полная
𝑥
–компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
ch θ
𝑟
–
До столкновения
: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
sh θ
𝑟
(79)
↑
↑
↑
1-й этап
: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!
2-й этап
: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!
Вывод
: эти члены равны друг другу, что доказывает сохранение релятивистской энергии!
↓
↓
↓
После столкновения
: полная
𝑥
–компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты
=
После столкновения
: полная
𝑥
–компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
ch θ
𝑟
–
После столкновения
: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта
sh θ
𝑟
(80)
Второй раз в этой главе мы потребуем, чтобы импульс сохранялся при столкновениях как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты. Ввиду этого требования каждая из скобок, обозначающая импульс в уравнении (79), будет равна соответствующей скобке, обозначающей импульс в уравнении (80). Если справедливы оба уравнения, причём соответствующие скобки для импульсов равны друг другу, то скобки, обозначающие энергию, также должны быть равны. Поэтому в лабораторной системе отсчёта полная релятивистская энергия одинакова до и после столкновения: полная релятивистская энергия при столкновениях сохраняется.
Свойства полной релятивистской энергии
Из этих рассуждений мы получаем три вывода. Во-первых, мы можем сопоставить каждой частице массы 𝑚 «релятивистскую энергию»
𝐸
=
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
.
Во-вторых, если имеется несколько свободно движущихся частиц, то релятивистская энергия этой системы равна сумме релятивистских энергий отдельных частиц. В-третьих, когда эти частицы разлетаются друг от друга после соударений и энергии отдельных частиц изменяются, полная релятивистская энергия системы остаётся той же, какой она была до столкновения (сохранение релятивистской энергии).
Свойство аддитивности, когда энергия системы свободных частиц равна сумме энергий отдельных частиц системы, знакомо нам на примере импульса, когда полный импульс физической системы складывается из импульсов входящих в неё частиц. Факт такой аддитивности говорит о том, что для нахождения энергии системы частиц достаточно вычислить энергии всех входящих в неё частиц по отдельности.
Другие способы выражать энергию
Выражение для релятивистской энергии частицы может быть записано множеством способов, причём целесообразность использования каждого из них зависит от обстоятельств. Так, согласно рис. 89, мы получим
𝐸
=
𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ
=
𝑚
√1-β²
=
𝑚 ch θ
.
(81)
Какие можно сделать заключения о связи между релятивистской энергией 𝐸 и скоростью из этого соотношения? Какие заключения можно сделать отсюда о связи между 𝐸 и энергией в ньютоновской теории? Между энергией и импульсом? При очень малых скоростях β можно разложить выражение для релятивистской энергии в ряд по степеням β, пользуясь формулой бинома или каким-либо другим методом:
𝐸
=
𝑚
√1-β²
=
𝑚⋅(1-β²)⁻¹
/
²
=
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
1
+
β²
2
+
3
8
β²
+
…
⎞
⎟
⎠
.
Если скорость β достаточно мала, в этом разложении можно ограничиться с любой желаемой степенью точности первыми двумя членами:
𝐸
≈
𝑚
⎛
⎜
⎝
1
+
β²
2
⎞
⎟
⎠
=
𝑚
+
𝑚β²
2
⎛
⎜
⎝
малые
скорости
⎞
⎟
⎠
.
(82)
Но здесь ½𝑚β² – обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии, взятое в единицах массы. Значит, релятивистская энергия имеет отношение к кинетической энергии частицы, хотя она (величина 𝐸) и не равна этой кинетической энергии ввиду наличия добавочного члена 𝑚. Этот добавочный член сохраняется, даже если частица находится в состоянии покоя, т.е. вообще лишена кинетической энергии. Поэтому член 𝑚 называют энергией покоя 𝐸покоя частицы,
𝐸
покоя
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
энергия покоя в
единицах массы
⎞
⎟
⎠
(83)
Выражение для энергии покоя частицы в обычных единицах 𝐸покоя обычн можно получить из выражения для энергии покоя в единицах массы, умножая последнее на множитель перевода 𝑐². Мы приходим тогда к знаменитому выражению
𝐸
покоя обычн
=
𝑚𝑐²
⎛
⎜
⎝
энергия покоя в
обычных единицах
⎞
⎟
⎠
(84)
Включение энергии покоя существенно для выполнения закона сохранения
Невозможно удовлетворить требованию сохранения импульса и энергии во всех инерциальных системах отсчёта, если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной энергии. Этот урок, преподнесённый нам физикой пространства-времени, никак не предполагался в ньютоновской физике. Механика Ньютона не знает выражения для энергии покоя частицы, хотя, правда, в ней допускается добавление к энергии частицы любой постоянной добавочной энергии без нарушения законов, описывающих движение этой частицы. Предельное значение релятивистского выражения для энергии в случае малых скоростей можно рассматривать как нахождение величины этой ранее произвольной постоянной.
Релятивистское выражение для кинетической энергии
Можно считать, что релятивистская энергия частицы в любой системе отсчёта складывается из двух частей: энергии покоя частицы 𝑚 плюс дополнительной энергии, которой обладает частица благодаря своему движению. Этот добавок и есть кинетическая энергия частицы. Тогда релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид
𝑇
=
𝐸-𝐸
покоя
=
𝑚 ch θ
–
𝑚
=
𝑚(ch θ-1)
=
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
1
√1-β²
–1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
кинетическая энергия
в единицах массы
⎞
⎟
⎠
(85)
Это выражение для релятивистской кинетической энергии справедливо для частиц, движущихся с любыми скоростями. Напротив, ньютоновская формула для кинетической энергии ½𝑚β² верна лишь для медленных частиц.
При возрастании скорости и её стремлении к скорости света энергия возрастает безгранично. Поэтому, если бы мы даже располагали неограниченными энергетическими ресурсами, нам всё равно не удалось бы разогнать частицу до скорости света. Таблица 10 иллюстрирует это быстрое возрастание энергии, необходимой для ускорения частицы по мере приближения её скорости к скорости света.
Таблица 10.
Энергия, которую должен получить атом водорода (
𝑚=1,67⋅10⁻²⁷
кг
) для того, чтобы приобрести скорость, близкую к скорости света
β
Расстояние
,
пройденное световой вспышкой от линии старта при состязании света и частицы за время
,
пока частица не отстанет на 1 см
𝐸обычн
𝑚𝑐²
𝑇обычн
𝑚𝑐²
𝑇обычн
джоули
Обыденный эквивалент этой энергии
0,5
2
см
1,15
0,15
2⋅10⁻¹¹
–
0,99
2
м
7,1
6,1
10⁻⁹
–
0,99999
1
км
222
221
3⋅10⁻⁸
Кинетическая энергия одной крупинки поваренной соли, упавшей с высоты 1 см
0,999
…
99 (13 девяток)
10
¹¹
м
1
)
2,2⋅10⁶
~2,2⋅10⁶
3⋅10⁻⁴
Кинетическая энергия одной крупной дробинки, упавшей с высоты 1 см
0,9999
…
99 (18 девяток)
10
¹⁶
м
2
)
7,1⋅10⁸
~7,1⋅10⁸
10⁻¹
Кинетическая энергия одной крупной дробинки, упавшей из окна третьего этажа
0,9999
…
999 (28 девяток)
10
²⁶
м
3
)
7,1⋅10¹³
7,1⋅10¹³
10⁴
Кинетическая энергия мотоцикла, движущегося со скоростью 40 км/час
1) Около ²/₃ расстояния от Солнца до Земли.
2) Около одного светового года.
3) Приблизительное расстояние до самой далёкой сфотографированной в настоящее время галактики.
Рис. 90. 4-вектор энергии-импульса.
Энергию как временну'ю компоненту 4-вектора энергии-импульса или как сторону треугольника на рис. 90, направленную вдоль оси времени, можно вычислить по методам, обычно применяемым для нахождения сторон любого треугольника. В двух основных методах используются пропорциональность и теорема Пифагора. Чтобы найти энергию как функцию скорости, мы пользовались подобием треугольника 𝑚𝐸𝑝 и треугольника 𝑑τ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (см. рис. 87). Из пропорциональности их сторон мы нашли соотношение
𝐸
𝑚
=
𝑑𝑡
𝑑τ
=
1
√1-β²
.
Теперь же нас интересует зависимость энергии от импульса. Чтобы найти её, достаточно проанализировать один лишь треугольник 𝑚𝐸𝑝, но при этом необходимо иметь в виду, что для него справедлива не эвклидова, а лоренцева геометрия. Квадрат гипотенузы определяется тогда не как сумма, а как разность квадратов катетов, так что
𝑚²
=
𝐸²
–
𝑝²
(в единицах массы).
(82)
Масса как абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса
Но так определяется квадрат «длины» 4-вектора энергии-импульса 1). Эта формула совершенно аналогична выражению для квадрата четырёхмерного пространственно-временно'го интервала между соседними мировыми точками на мировой линии частицы
(𝑑τ)²
=
(𝑑𝑡)²
–
(𝑑𝑟)²
.
1) По ряду причин удобно выражать квадрат абсолютной величины 4-вектора через все четыре компоненты этого вектора, однако при этом следует быть несколько более внимательным, чем при записи квадрата 3-мерного вектора в эвклидовом пространстве. В этой книге, как и в большей части современной литературы, 4-векторы записываются через их компоненты с верхними индексами (контравариантные компоненты): 𝑝 𝑡 = 𝐸 = 𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ , 𝑝 𝑥 = 𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ , 𝑝 𝑦 = 𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ , 𝑝 𝑧 = 𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ .
В другом представлении используются нижние индексы (ковариантные компоненты), однако все пространственные компоненты при этом меняют знак: 𝑝 𝑡 = 𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ , 𝑝 𝑥 =– 𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ , 𝑝 𝑦 =– 𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ , 𝑝 𝑧 =– 𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ .
Эти два альтернативных представления, использующие контравариантные и ковариантные компоненты (верхние и нижние индексы), применимы не только к 𝑝, но и к другим 4-векторам, например к радиусу-вектору 𝑅, соединяющему начало координат некоторой инерциальной системы отсчета с каким-либо данным событием (мировой точкой), так что 𝑅𝑡 = 𝑡 , 𝑅𝑥 = 𝑥 , 𝑅𝑦 = 𝑦 , 𝑅𝑧 = 𝑧
и 𝑅𝑡 = 𝑡 , 𝑅𝑥 =– 𝑥 , 𝑅𝑦 =– 𝑦 , 𝑅𝑧 =– 𝑧 .
В этих обозначениях инвариантный квадрат интервала для события, отделенного от начала временноподобным интервалом, имеет стандартный вид τ² = 𝑅𝑡𝑅𝑡 + 𝑅𝑥𝑅𝑥 + 𝑅𝑦𝑅𝑦 + 𝑅𝑧𝑅𝑧 = = 𝑡² – 𝑥² – 𝑦² – 𝑧² .
Если же интервал является пространственноподобным, его квадрат следует записывать как σ² =-( 𝑅𝑡𝑅𝑡 + 𝑅𝑥𝑅𝑥 + 𝑅𝑦𝑅𝑦 + 𝑅𝑧𝑅𝑧 )= =– 𝑡² + 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² .
4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для τ², т. е.
⎛
⎜
⎜
⎝
Квадрат
абсолютной
величины
⎞
⎟
⎟
⎠ = 𝑝 𝑡 𝑝 𝑡 + 𝑝 𝑥 𝑝 𝑥 + 𝑝 𝑦 𝑝 𝑦 + 𝑝 𝑧 𝑝 𝑧 = =
𝑚²[(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²]
𝑑τ² = 𝑚² .
В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).
[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.– Прим. перев.]
В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы 𝐸 и её импульс 𝑝) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя 𝑚 и интервал τ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.
Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно 𝐸:
𝐸
=
√
𝑚²+𝑝²
.
(87)
Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.
Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи
Когда импульс 𝑝 мал по сравнению с 𝑚 (т.е. когда скорость β весьма мала по сравнению с единицей —«нерелятивистский предел»), выражение (87) можно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким-либо иным способом, и получить
𝐸=𝑚
⎡
⎢
⎣
1+
⎛
⎜
⎝
𝑝
𝑚
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
=𝑚+
𝑝²
2𝑚
+
𝑝⁴
8𝑚³
+…
(малые
𝑝
).
При достаточно малых значениях импульса 𝑝 этот ряд можно с любой степенью точности приравнять его первым двум членам
𝐸≈𝑚
𝑝²
2𝑚
(малые
𝑝
).
(88)
Первое слагаемое имеет здесь смысл энергии покоя, а второе представляет собой ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом 𝑝.
Если же импульс 𝑝 очень велик по сравнению с 𝑚 («ультрарелятивистский предел»), то точное выражение (87) снова может быть разложено в степенной ряд, на этот раз в виде
𝐸=𝑝
⎡
⎢
⎣
1+
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑝
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
=𝑝+
𝑚²
2𝑝
+
𝑚⁴
8𝑝³
+…
(большие
𝑝
).
Если импульс достаточно велик, этот ряд можно с любой желаемой степенью точности приравнять его первому слагаемому:
𝐸≈𝑝
(ультрарелятивистский предел).
(89)
В этом предельном случае масса покоя не играет роли во взаимной связи импульса и энергии.
Правдоподобно ли, что катеты 𝐸 и 𝑝 треугольника на рис. 90 могут неограниченно возрастать, в то время как гипотенуза 𝑚 остаётся постоянной и оказывается меньше любого из катетов? Возможно ли, чтобы в прямоугольном треугольнике гипотенуза сохраняла постоянную длину, в то время как катеты неограниченно удлинялись? Такое поведение длин гипотенузы и катетов в корне противоречит законам эвклидовой геометрии. Однако рассматриваемая нами геометрия не является эвклидовой, а в лоренцевой геометрии пространства-времени квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов. Поэтому сочетание не изменяющейся в длине гипотенузы с неограниченно растущими и в пределе равными друг другу катетами, 𝐸 и 𝑝, отнюдь не парадоксально.
Импульс как мера скорости переноса массы-энергии
Можно и иначе убедиться в том, что энергия должна приближаться по величине к импульсу, когда каждая из этих величин становится много больше, чем масса покоя. В самом общем случае, без каких бы то ни было приближений, из формул
𝑝
=
𝑚β
√1-β²
и
𝐸
=
𝑚
√1-β²
следует результат
𝑝
=
β𝐸
(для всех скоростей).
(90)
Из этого равенства следует, что импульс 𝑝 неограниченно приближается по своей величине к энергии 𝐸, когда скорость становится сколь угодно близкой к скорости света.
Существует очень наглядная интерпретация равенства (90). Здесь 𝐸 описывает массу-энергию частицы, а β – скорость, с которой движется эта масса-энергия. Поэтому их произведение, импульс 𝑝, является мерой скорости переноса массы-энергии. Любопытно, что множитель, описывающий в этой формуле массу-энергию [величина 𝐸 в равенстве (90)], не равен той массе 𝑚, появления которой можно было бы ожидать из теории Ньютона. За перенос массы-энергии ответственна не одна лишь масса покоя, но сумма массы покоя с массовым эквивалентом кинетической энергии, иными словами, полная масса-энергия 𝐸.
Рис. 91. Решать, какая из релятивистских формул удобна для анализа экспериментальных данных, следует исходя из величин, измеряемых на опыте:
а) Скорость определяется по времени полёта, энергия – из закона сохранения, применённого к предыдущим или последующим столкновениям.
б) Полезна при анализе столкновений, когда нас не интересует скорость, а внимание сосредоточено на проверке или применении законов сохранения.
в) Скорость определяется по времени полёта, импульс – по искривлению трека частицы в магнитном поле.
г) Для нахождения 𝑝, или β, или 𝐸, когда две из величин известны; 𝑚 не представляет интереса.
Масса покоя непосредственно не представлена в равенстве 𝑝=β𝐸. Мы помещаем это равенство поэтому в центр рис. 91 и размещаем вокруг него прочие ключевые формулы, связывающие энергию, импульс и скорость. Связи между каждой из них обладают своими специфическими областями применения, как это указано в подписи к рисунку.
Мы ничего не говорили в нашем исследовании импульса и энергии о внутренней структуре (если таковая имеется) объекта – носителя этих характеристик. Этот объект может быть ракетой, сложной органической молекулой, элементарной частицей или даже фотоном – элементарным квантом света. Во всех случаях движение такого объекта совершается со скоростью, меньшей скорости света, за исключением, конечно, самого света. Для света, распространяющегося в вакууме, скорость β в точности равна единице. В этом случае формулы
𝑝
=
𝑚β
√1-β²
и
𝐸
=
𝑚
√1-β²
с очевидностью теряют всякий смысл, но зато равенство (90) приобретает исключительную простоту.
𝑝
=
𝐸
⎛
⎜
⎜
⎝
для любого вида энергии,
распространяющегося
со скоростью света
⎞
⎟
⎟
⎠
(91)
Кроме того, из соотношения 𝑚²=𝐸²-𝑝² мы видим, что в этом случае масса покоя равна нулю. Следовательно, любой объект, переносящий энергию по прямолинейному пути со скоростью света, характеризуется нулевой массой покоя. В настоящее время известны лишь три механизма переноса энергии со скоростью света – электромагнитное излучение, гравитационное излучение и нейтрино, причём экспериментально из них наблюдались пока лишь первый и последний 1).
1) По поводу обнаружения нейтрино см. С.L. Соwan, F. Rеinеs, F.В. Наrrisоn, Н.W. Кrusе, A.D. Мс Guirе, Science, 124, 103 (1956).
Относительно реализуемых в настоящее время попыток обнаружить гравитационное излучение, приходящее от космических источников, см. J. Webеr, Gravitational Waves, in Gravitation and Relativity, ed. H.-Y. Chiu and W.F. Hoffman, New York, 1964. [Имеется русский перевод: сб. «Гравитация и относительность», изд-во «Мир», М., 1965, стр. 179.– Прим. перев.]
Любой сгусток энергии, движущийся со скоростью света, имеет нулевую массу покоя
Равенство 𝑝=𝐸 выполняется со стопроцентной точностью лишь для излучения с нулевой массой покоя, но оно является сколь угодно точным приближением для любой частицы, если её энергия достаточно велика по сравнению с массой покоя частицы. Поэтому в таком ультрарелятивистском пределе частица с массой покоя 𝑚 ведёт себя практически так же, как фотон, с точки зрения законов сохранения энергии и импульса
