Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 25 страниц)

∂𝑥

=𝑎χ,

–

ℏ

𝑖

∂χ

∂𝑦

=𝑏χ,

–

ℏ

𝑖

∂χ

∂𝑧

=𝑐χ.

(5.57)

С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид exp[(ℏ/𝑖)(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)] Это согласуётся с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс 𝐩, описывается волновой функцией exp(ℏ/𝑖)(𝐩⋅𝐫).

Разложение по собственным функциям оператора энергии. Различные выражения, содержащие собственные функции φ_𝑛, могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра 𝐾 в ряд по функциям φ_𝑛, являющимися решениями уравнения Шрёдингера с постоянным гамильтонианом:

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

=

 

∑

^𝑛

φ

_𝑛

(𝑥

₂

)

φ

_*

^𝑛

(𝑥

₁

)

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑖

ℏ

𝐸

_𝑛

(𝑡

₂

–𝑡

₁

)

⎤

⎥

⎦

.

(5.58)

Прежде всего заметим, что функция φ_𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если известно, что она находится в состоянии 𝑛. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в § 2 гл. 5 сопряжённая ей функция φ*_𝑛(𝑥) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии 𝑛, если она занимает положение 𝑥. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени 𝑡₁ в положение 2 в момент времени 𝑡₂ выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход. Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) φ*_𝑛(𝑥₁) – амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥₁ если известно, что она находится в состоянии 𝑛; 2) exp[-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑛(𝑡₂-𝑡₁)] – амплитуды вероятности найти систему в состоянии 𝑛 в момент времени 𝑡₂, если в момент времени 𝑡₁ она была в состоянии 𝑛¹); 3) φ_𝑛(𝑥₂) – амплитуды вероятности найти систему в точке 𝑥₂, если мы знаем, что она находится в состоянии 𝑛.

¹) Эта амплитуда не связана с изменением состояния. В этом и заключено важное значение рассматриваемых нами функций φ_𝑛.

Задача 5.13. Обсудите возможность интерпретации функции φ_𝑛(𝑥) как функции χ_{𝑎,𝑏,𝑐,…}(𝑥), рассмотренной в §2, т.е. покажите, что функция φ_𝑛(𝑥) является преобразующей функцией для перехода от 𝑥-представления к представлению, определяемому числом 𝑛 (так называемому энергетическому представлению).

Глава 6

МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

В гл. 3 мы видели, как можно описать поведение квантовомеханической системы с помощью метода интегралов по траекториям, если в выражение функции действия 𝑆 входит потенциал, имеющий только квадратичные члены. Однако потенциалы, с которыми мы встречаемся при решении ряда важных задач квантовой механики, не имеют такого частного вида и не могут быть рассмотрены столь просто. В данной главе развивается приближённый метод, который позволит рассматривать такие более сложные потенциалы. Этот метод называется теорией возмущений и оказывается особенно полезным, когда потенциал относительно невелик (по сравнению, например, с кинетической энергией системы).

Хотя разложение в ряд теории возмущений может быть получено и строго математически, ему тем не менее интересно дать физическое истолкование, которое позволяет глубже понять поведение квантовомеханических систем.

В § 4 мы займёмся некоторыми приложениями теории возмущений. Например, рассмотрим движение электрона, рассеивающегося на атоме. Оказывается, что для описания взаимодействия, сопровождающего рассеяние, полезно использовать классическое понятие поперечного сечения рассеяния, т.е. понятие эффективной площади атома-мишени по отношению к рассеивающемуся электрону. Хотя это сечение связано с реальными размерами атома, мы покажем, что оно определяется также и квантовомеханическими свойствами взаимодействующих систем.

§ 1. Ряд теории возмущений

Члены ряда. Предположим, что частица движется под действием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡). Ограничимся пока одномерным движением. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками 𝑎 и 𝑏, будет иметь вид

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

^𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑥̇²

–

𝑉(𝑥𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

.

(6.1)

Индекс 𝑉 в обозначении 𝐾_𝑉 отражает тот факт, что на частицу действует потенциал 𝑉. Отсюда обозначение 𝐾₀ будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы.

В некоторых случаях ядро 𝐾_𝑉 может быть определено с помощью уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила 𝑓(𝑡). Потенциал в этом случае имеет вид

𝑉(𝑥,𝑡)

=

𝑚

2

ω²𝑥²-𝑥𝑓(𝑡)

(6.2)

[см. лагранжиан (3.65)]. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной 𝑥, ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала оказывается хорошо применимым квазиклассическоеприближение. Известны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шрёдингера. Теперь обратимся к изучению самих разложений, которые часто оказываются полезными при малых возмущающих потенциалах.

Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной ℏ интеграл по времени от потенциала вдоль траектории. Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от 𝑉(𝑥,𝑡), может быть разложена в ряд

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

=

1-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡

+

+

1

2!

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

⎫²

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑡)

𝑑𝑡

⎤²

⎥

⎦

+…,

(6.3)

который определён для некоторой частной траектории 𝑥(𝑡). Подставляя это разложение в (6.1), получаем

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

+

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

+

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

+…,

(6.4)

где

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

,

(6.5)

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑑𝑆

𝒟𝑥(𝑡)

,

(6.6)

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=-

1

2ℏ²

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠)]

𝑑𝑠

×

×

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝒟𝑥(𝑡)

(6.7)

и т.д.

Чтобы не перепутать временны'е переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через 𝑠, 𝑠' и т.п.

Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро 𝐾⁽¹⁾. Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной 𝑥 и по траектории 𝑥(𝑡). Запишем

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝐹(𝑠)

𝑑𝑠

,

(6.8)

где

𝐹(𝑠)

=

_𝑏

∫

^𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑚𝑥̇²

2

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝒟𝑥(𝑡)

.

(6.9)

Интеграл по траектории 𝐹(𝑠) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала 𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], вычисленного в момент времени 𝑠. Единственная характеристика траектории 𝑥(𝑡), от которой зависит потенциал 𝑉, – это положение траектории в некоторый момент времени 𝑡=𝑠. Другими словами, до и после этого момента 𝑠 содержащаяся в функционале 𝐹(𝑠) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.

Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.

Частица выходит из точки 𝑎 и двигается как свободная до точки 𝑐. Здесь на неё действует потенциал 𝑉_𝑐=𝑉[𝑥(𝑠),𝑠], происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки 𝑏. Амплитуда, описывающая такое движение, даётся выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки 𝑐, то получим член первого порядка теории возмущений.

Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту 𝑡=𝑠, и часть, которая соответствует более позднему времени.

Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку 𝑥_𝑐 именно в этот момент времени 𝑡=𝑠. Далее мы проинтегрируем по всем значениям 𝑥_𝑐. Если точку 𝑥_𝑐(𝑠) обозначить через 𝑐 (т.е. положить 𝑠=𝑡_𝑐), то сумму по всем таким траекториям можно записать как 𝐾₀(𝑏,𝑐)𝐾₀(𝑐,𝑎). Это означает, что функционал 𝐹(𝑠)=𝐹(𝑡_𝑐) можно представить в виде

𝐹(𝑡

_𝑐

)

=

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑥

_𝑐

,𝑡

_𝑐

)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

.

(6.10)

Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) даёт

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_∞

∫

^-∞

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑡

_𝑐

,

(6.11)

где 𝑉(𝑐)=𝑉(𝑥_𝑐,𝑡_𝑐).

Пределы интегрирования по 𝑥 здесь положены равными +∞. В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях 𝑥, или свойствами применённых установок, которые ограничивают область изменения 𝑥.

Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовём процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием; так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объёма и единицу времени равна -(𝑖/ℏ)𝑉.

Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро 𝐾_𝑉 следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки 𝑎 в точку 𝑏. Эти возможности следующие:

1) частица может вообще не рассеяться

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑎)

,

2) частица может рассеяться один раз

𝐾

₍₁₎

(𝑏,𝑎)

,

3) частица может рассеяться дважды

𝐾

₍₂₎

(𝑏,𝑎)

и т. д.

В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.

Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.

В случае 1 частица под действием потенциала 𝑉 движется от точки 𝑎 до точки 𝑏, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой 𝐾₍₀₎(𝑏,𝑎). В случае 2 частица в своём движении под действием потенциала 𝑉 испытывает один акт рассеяния в точке 𝑐. Этому соответствует амплитуда 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎). В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда 𝐾₍₂₎(𝑏,𝑎)], а в случае 4 – 𝑛 раз, причём последнее рассеяние происходит в точке 𝑐. Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки 𝑎 в точку 𝑏 при любом числе рассеяний, является суммой 𝐾₀+𝐾⁽¹⁾+𝐾⁽²⁾+…+𝐾^(𝑛)+….

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив ¹). Рассмотрим, например, ядро 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎), описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки 𝑎, движется свободно до точки 𝑥_𝑐(𝑡_𝑐=𝑐), где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐), после чего снова движется как свободная частица из точки 𝑐 до конечной точки 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траетории, равна

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑐)

⎡

⎢

⎣

–

𝑖

ℏ

𝑉(𝑐)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑡

_𝑐

⎤

⎥

⎦

𝐾

₍₀₎

(𝑐,𝑎)

.

(6.12)

¹) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках 𝐶, суммирование по всем альтернативам является совершенно необходимым.– Прим. перев.

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договорённости, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т.е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра 𝐾⁽¹⁾ получается сложением всех таких альтернатив, т.е. интегрированием по переменным 𝑥_𝑐 и 𝑡_𝑐.

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро 𝐾⁽²⁾ для двухкратного рассеяния в виде

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

–

𝑖

ℏ

⎫²

⎪

⎭

∫∫

𝐾

₍₀₎

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₍₀₎

(𝑐,𝑑)

×

×

𝑉(𝑑)

𝐾

₍₀₎

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑑τ

_𝑑

,

(6.13)

где 𝑑τ=𝑑𝑥𝑑𝑡. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки 𝑎 до точки 𝑑 и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен 𝑉(𝑑). Затем частица снова движется свободно от точки 𝑑 до точки 𝑐, где она рассеивается на потенциале 𝑉(𝑐). После чего частица движется от точки 𝑐 к точке 𝑏 опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т.е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что 𝑡_𝑐>𝑡_𝑑. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом, примере, будем пользоваться условием, введённым ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

𝐾(𝑏,𝑎)

=0 для 𝑡

_𝑏

<𝑡

_𝑎

.

(6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным 𝑡_𝑐 и 𝑡_𝑑.

Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом ½, который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной 𝑡_𝑑 по-прежнему заключена в пределах от 𝑡_𝑎 до 𝑡_𝑏. Однако область интегрирования по переменной 𝑡_𝑐 ограничена тем, что точка 𝑡_𝑐 обязана теперь находиться между точками 𝑡_𝑑 и 𝑡_𝑏 вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

=

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑠

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

+

+

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑠

∫

^𝑡_𝑎

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

.

(6.15)

Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как

_𝑡𝑏

∫

^𝑡_𝑎

_𝑡𝑏

∫

^𝑠'

𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]

𝑉[𝑥(𝑠'),𝑠']

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

(6.16)

Если в этом выражении поменять местами переменные 𝑠 и 𝑠', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра 𝐾^(𝑛) получается коэффициент 1/𝑛!

Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма 𝑈+𝑉, где 𝑉 мало по сравнению с 𝑈. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал 𝑈 может быть квадратичным по переменной 𝑥; и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала 𝑈+𝑉 описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро 𝐾₀ заменить ядром 𝐾_𝑈, соответствующим движению только лишь под действием потенциала 𝑈. Таким образом, 𝑉 можно рассматривать как возмущение потенциала 𝑈. Можно сказать, что -(𝑖/ℏ)𝑉 представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчёте на единицу объёма и на единицу времени). Ядро 𝐾_𝑈 – амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущённого потенциала 𝑈.

Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом 𝑉(𝑥,𝑦), где 𝑥 – координата первой, а 𝑦 – координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.

Если потенциал равен нулю, то 𝐾_𝑉 – просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины 𝐾_𝑉(𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏, 𝑡_𝑏; 𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎, 𝑡_𝑎). Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?

§ 2. Интегральное уравнение для ядра 𝐾_𝑉

Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

–

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

+

+

⎧

⎪

⎩

–

𝑖

ℏ

⎫

⎪

⎭

∫∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑑)

𝑉(𝑑)

𝐾

₀

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑑τ

_𝑎

+… .

(6.17)

Это выражение можно представить и в другом виде:

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

–

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

[

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

–

-

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑐,𝑑)

𝑉(𝑑)

𝐾

₀

(𝑑,𝑎)

𝑑τ

_𝑑

+…]

𝑑τ

_𝑐

.

(6.18)

Выражение в скобках имеет такой же вид, как и правая часть соотношения (6.17); суммирование в обоих случаях производится по бесконечному числу членов. Это означает, что ядро 𝐾_𝑉 можно записать как

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

–

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

.

(6.19)

что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро 𝐾_𝑉, в случае, когда известно ядро 𝐾₀ (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро 𝐾₀ нужно заменить на 𝐾_𝑈). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.

Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки 𝑎 в точку 𝑏 посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них – амплитуда вероятности того, что движение частцы происходит без рассеяния (ядро 𝐾₀). Вторая – амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка 𝑐 здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки 𝑎 до точки 𝑐 в потенциальном поле, и это её движение точно описывается ядром 𝐾_𝑉(𝑐,𝑎). Затем в точке 𝑐 происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку 𝑏. Эта часть движения описывается ядром 𝐾₀. Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.

Фиг. 6.3. Общий случай.

В случае 1 частица, на которую действует потенциал 𝑉, движется от точки 𝑎 до точки 𝑏 как свободная; это описывается амплитудой 𝐾₀(𝑏,𝑎) В случае 2 частица рассеивается на потенциале 𝑉 один или большее число раз, причём последнее рассеяние происходит в точке 𝑐. Движение из точки 𝑎 в точку 𝑐 описывается ядром 𝐾_𝑉(𝑐,𝑎) а из точки 𝑐 в точку 𝑏 – ядром 𝐾₀(𝑏,𝑐). Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки 𝑐, охватывает все возможности и даёт для 𝐾_𝑉(𝑏,𝑎) уравнение (6.19).

Последнее рассеяние может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками 𝑎 и 𝑏, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки 𝑐.

Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:

-

ℏ

𝑖

∂

∂𝑡_𝑏

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

+

ℏ²

2𝑚

∂²

∂𝑥²_𝑏

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

=

𝑖ℏ

δ(𝑡

_𝑏

–𝑡

_𝑎

)

δ(𝑥

_𝑏

–𝑥

_𝑎

)

.

(6.20)

Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро 𝐾_𝑉 удовлетворяет дифференциальному уравнению

-

ℏ

𝑖

∂

∂𝑡_𝑏

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

+

ℏ²

2𝑚

∂²

∂𝑥²_𝑏

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

+

𝑉(𝑏)

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

=

=

𝑖ℏ

δ(𝑥

_𝑏

–𝑥

_𝑎

)

δ(𝑡

_𝑏

–𝑡

_𝑎

)

.

(6.21)

§ 3. Разложение волновой функции

В § 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени 𝑡_𝑎 и 𝑡_𝑏, можно получить волновую функцию для момента 𝑡_𝑏, если известна волновая функция для более раннего момента времени 𝑡_𝑎.

Здесь это уравнение нам будет удобно записать в виде

ψ(𝑏)

=

∫

𝐾

_𝑉

(𝑏,𝑎)

𝑓(𝑎)

𝑑𝑥

_𝑎

,

(6.22)

где 𝑓(𝑎) – значение волновой функции в момент времени 𝑡=𝑡_𝑎 [т.е. 𝑓(𝑎) – функция точки 𝑥_𝑎], ψ(𝑏) – волновая функция для более позднего момента времени 𝑡=𝑡_𝑏 ¹). Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле 𝑉, где её движение описывается ядром 𝐾_𝑉(𝑏,𝑎).

¹) Заметим, что наше условие 𝐾₀(𝑏,𝑎) для 𝑡_𝑏<𝑡_𝑎 приводит к тому, что соотношение (6.22) становится непригодным, если 𝑡_𝑏<𝑡_𝑎, однако в области таких значений 𝑡 мы не будем пользоваться этим соотношением.

Если разложенное в ряд ядро 𝐾_𝑉 [см. формулу (6.18)] подставить в соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции φ(𝑏). Таким образом,

ψ(𝑏)

=

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

𝑓(𝑎)

𝑑𝑥

_𝑎

–

-

𝑖

ℏ

∫∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

𝑓(𝑎)

𝑑𝑥

_𝑎

+… .

(6.23)

Первый член этого разложения даёт волновую функцию для момента времени 𝑡_𝑏 в предположении, что между 𝑡_𝑎 и 𝑡_𝑏 система остаётся свободной (или невозмущённой, в последнем случае ядро 𝐾₀ нужно заменить ядром 𝐾_𝑈). Обозначим этот член через φ

φ(𝑏)

=

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑎)

𝑓(𝑎)

𝑑𝑥

_𝑎

.

(6.24)

Используя это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как

ψ(𝑏)

=

φ(𝑏)

–

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

φ(𝑐)

𝑑τ

_𝑐

+

+

∫∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑑)

𝑉(𝑑)

φ(𝑑)

𝑑τ

_𝑐

𝑑τ

_𝑑

+… .

(6.25)

Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции ψ. Если ограничиться только первыми двумя членами (т.е. учесть лишь первый порядок разложения по 𝑉), то получим первое борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале 𝑉. Это рассеяние происходит в точке 𝑐. До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией φ(𝑐), после рассеяния система снова движется как свободная от точки 𝑐 до точки 𝑏 и описывается ядром 𝐾₀(𝑏,𝑐). Интеграл должен быть взят по всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т.е. учитывается второй порядок по 𝑉), результат называется вторым борновским приближением и т.д.

Задача 6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция ψ(𝑏) удовлетворяет интегральному уравнению

ψ(𝑏)

=

φ(𝑏)

–

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

ψ(𝑐)

𝑑τ

_𝑐

.

(6.26)

Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑥

+

ℏ²

2𝑚

∇²ψ

+

𝑉ψ

=0.

(6.27)

Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шрёдингера из интегрального уравнения (6.27).

§ 4. Рассеяние электрона на атоме

Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме.

Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счётчик, как это показано на фиг. 6.4.

Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.

Электроны, испаряющиеся с электрода в точке 𝑎 собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах 𝑆 и 𝑆' и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке 𝑂. Бо'льшая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом θ в точку 𝑏. Если счётчик в точке 𝑎 перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния θ.

Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролёта. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем 𝑡=0, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счётчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки 𝑇. Тогда можно непосредственно использовать наше выражение 𝐾(𝑏,𝑎), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определённый промежуток времени.

Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.

Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.

Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается атомным потенциалом 𝑉(𝑟). После рассеяния он попадает в счётчик, расположенный в точке 𝑏 на конце радиуса-вектора 𝐑_𝑏, проведённого от рассеивающего центра 𝑂. В этом случае электрон будет рассеян на угол θ, отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борновскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борновское приближение, и т.д.

Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки 𝑎 в момент времени 𝑡=0. С помощью счётчика, помещённого в точку 𝑏, мы узнаем, достигнет ли электрон точки 𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇. Будем приближённо считать, что

1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;

2) атом может быть представлен с помощью потенциала 𝑉(𝐫), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.

На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом 𝑉(𝐫). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.

Пусть 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏 – векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏 много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |𝐑_𝑎| и |𝐑_𝑏|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.

Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром 𝐾₀(𝑏,𝑎) для случая свободной частицы, был уже достаточно подробно нами изучен. Мы интересуемся вторым членом

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=

–

𝑖

ℏ

∫

𝐾

₀

(𝑏,𝑐)

𝑉(𝑐)

𝐾

₀

(𝑐,𝑎)

𝑑τ

_𝑐

=

=

–

𝑖

ℏ

_𝑟

∫

 

_𝑇

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑚

2π𝑖ℏ(𝑇-𝑡)

⎤3/2

⎥

⎦

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚|𝐑_𝑎-𝐫|²

2ℏ(𝑇-𝑡)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

×

×

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑡

⎫3/2

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚|𝐑_𝑏-𝐫|²

2ℏ𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

.

(6.28)

Через 𝐫 мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой 𝑐, 𝑑³𝐫 – произведение дифференциалов всех компонент вектора 𝐫. Интегрирование по переменной 𝑡 даёт

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=

–

𝑖

ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫5/2

⎪

⎭

𝑇

_𝑟

∫

 

⎧

⎪

⎩

1

𝑟_𝑎

–

1

𝑟_𝑏

⎫

⎪

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

(𝑟

_𝑎

+𝑟

_𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

,

(6.29)

где 𝑟_𝑎=|𝐑_𝑎-𝐫| и 𝑟_𝑏=|𝐑_𝑏-𝐫| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать

𝑟

_𝑎

=𝑅

_𝑎

⎧

⎪

⎩

1-

2𝑅_𝑎⋅𝐫

𝑅²_𝑎

+

𝑟²

𝑅²_𝑎

⎫½

⎪

⎭

≈

𝑅

_𝑎

+𝐢

_𝑎

⋅𝐫,

(6.30)

𝑟

_𝑏

=𝑅

_𝑏

⎧

⎪

⎩

1-

2𝑅_𝑏⋅𝐫

𝑅²_𝑏

+

𝑟²

𝑅²_𝑏

⎫½

⎪

⎭

≈

𝑅

_𝑏

–𝐢

_𝑏

⋅𝐫,

(6.31)

где 𝐢_𝑎 и 𝐢_𝑏 – единичные векторы соответственно в направлениях векторов 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏 (т.е. 𝐢_𝑎=-𝐑_𝑎/𝑅_𝑎, где 𝑅_𝑎=|𝐑_𝑎|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина 𝑅_𝑎 намного больше тех расстояний |𝐫|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом 𝑉(𝑟).

Члены первого порядка по 𝑟 необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем

(𝑟

_𝑎

+𝑟

_𝑏

)²

≈

(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)²

+

2(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)

(𝐢

_𝑎

⋅𝐫)

–

(𝐢

_𝑏

⋅𝐫)

.

(6.32)

Используя эти приближения, ядро 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎) можно теперь представить в виде

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

≈

–

𝑖

ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫5/2

⎪

⎭

𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑅_𝑎

+

1

𝑅_𝑏

⎫

⎪

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

_𝑟

∫

 

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

ℏ𝑇

(𝑅

_𝑎

+𝑅

_𝑏

)

(𝐢

_𝑎

⋅𝐫)

–

(𝐢

_𝑏

⋅𝐫)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.33)

Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени 𝑇 электрон проходит полное расстояние, равное 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет 𝑢=(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)/𝑇, его энергия равна 𝑚𝑢²/2, а импульс равен 𝑚𝑢. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна 𝑖𝑚[(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²/2ℏ𝑇], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной 𝑇, составляет

ω=

𝑚

2ℏ

(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²

𝑇²

.

(6.34)

Если скорость 𝑢 определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна 𝑚𝑢²/2 [ср. соотношение (3.15)].

Дифференцирование фазы по переменной 𝑅_𝑎 даёт волновое число в точке 𝑎

𝑘

=

𝑚

ℏ

𝑅_𝑎+𝑅_𝑏

𝑇

(6.35)

а это значит, что величина импульса равна 𝑚𝑢 [ср. соотношение (3.12)].

Задача 6.5. Интеграл по переменной 𝑡 в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения 𝑡 из области, близкой к точке 𝑡=𝑅_𝑎/𝑢 и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался по классическим законам.

Используя определение скорости электрона 𝑢=(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)/𝑇, запишем вектор импульса входящей частицы 𝐩_𝑎 в виде

𝐩

_𝑎

=

𝑚𝑢

𝐢

_𝑎

,

(6.36)

а вектор импульса выходящей частицы 𝐩_𝑏 – как

𝐩

_𝑏

=

𝑚𝑢

𝐢

_𝑏

.

(6.37)

Тогда соотношение (6.33) можно представить в виде

𝐾

⁽¹⁾

(𝑏,𝑎)

=

–

𝑖

ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫5/2

⎪

⎭

𝑢

𝑇^½𝑅_𝑎𝑅_𝑏

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏ

𝑢²𝑇

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

×

×

_𝑟

∫

 

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐩

_𝑎

–𝐩

_𝑏

)⋅𝐫

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.38)

Обозначим далее изменение (или передачу) импульса через

𝐪

=

(𝐩

_𝑎

–𝐩

_𝑏

)

и введём величину

𝑣(𝐪)

=

_𝑟

∫

 

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐪⋅𝐩}

𝑉(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.39)

Вероятность того, что электрон достигнет точки 𝑎, даётся квадратом модуля ядра 𝐾_𝑉(𝑏,𝑎) и, следовательно, будет зависеть в основном от первого члена разложения этого ядра, т.е. от величины 𝐾₍₀₎(𝑏,𝑎), которая, по-видимому, настолько велика, что полностью перекрывает малый возмущающий член 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎).

Поэтому в большинстве экспериментов по рассеянию обычно коллимируют входящий пучок соответствующими экранами, с тем чтобы те электроны, которые не рассеиваются на атомах мишени, не выходили бы за пределы ограниченной области вдоль некоторого направления, как это показано на фиг. 6.6. Конечно на таких коллимирующих экранах будет происходить дифракция (как это уже обсуждалось нами в гл. 3, § 2 и 3), и вне области центрального пучка будет наблюдаться некоторое число нерассеянных электронов. Однако коллиматоры можно установить таким образом, чтобы для точек, достаточно удалённых от оси коллимации, число дифрагировавших на коллиматоре электронов было бы очень мало по сравнению с числом электронов, рассеянных на атомах мишени.

Фиг. 6.6. Принципиальная схема фокусировки для исключения влияния члена нулевого порядка в точке 𝑏.