Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 25 (всего у книги 25 страниц)
Приложение
ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
∞
∫
-∞
𝑒
𝑎𝑥²+𝑏𝑥
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
π
–𝑎
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-𝑏²/4𝑎
,
∞
∫
-∞
𝑒
𝑎(𝑥1-𝑥)²
𝑒
𝑏(𝑥2-𝑥)²
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
-π
𝑎+𝑏
⎫½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
𝑎𝑏
𝑎+𝑏
(𝑥
1
–𝑥
2
)²
⎤
⎥
⎦
,
∞
∫
0
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑎
𝑥²
–
𝑏𝑥²
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑥
=
⎧
⎪
⎩
π
4𝑏
⎫½
⎪
⎭
exp
(-2√
𝑎𝑏
)
,
𝑇
∫
0
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑎
𝑇-τ
–
𝑏
τ
⎫
⎪
⎭
𝑑τ
√(𝑇-τ)τ³
=
exp
[-(1/𝑇)(√𝑎+√𝑏)²]
√𝑏𝑇/π
,
𝑇
∫
0
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑎
𝑇-τ
–
𝑏
τ
⎫
⎪
⎭
𝑑τ
[√(𝑇-τ)τ]³
=
=
⎧
⎪
⎩
π
𝑇³
⎫½
⎪
⎭
√𝑎+√𝑏
√𝑎𝑏
exp
⎡
⎢
⎣
–
1
𝑇
(√
𝑎
+√
𝑏
)²
⎤
⎥
⎦
,
∞
∫
-∞
𝑒
-𝑎𝑥²
=
⎧
⎪
⎩
π
𝑎
⎫½
⎪
⎭
,
π/2
∫
0
𝑒
-𝑞 sin𝑥
sin 2𝑥
𝑑𝑥
=
2
𝑞²
[(𝑞-1)𝑒
𝑞
+1]
,
π
∫
0
𝑒
𝑝 cos𝑥
sin(𝑝 sin𝑥)
sin 𝑎𝑥
𝑑𝑥
π
∫
0
𝑒
𝑝 cos𝑥
cos(𝑝 sin𝑥)
cos 𝑎𝑥
𝑑𝑥
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
π𝑝𝑎
2𝑎!
,
∞
∫
0
𝑒
-λ𝑥𝑚
𝑥
𝑘
𝑑𝑥
=
1
𝑚
λ
-(𝑘+1)/𝑚
Γ
⎧
⎪
⎩
𝑘+1
𝑛
⎫
⎪
⎭
.
Литература
1.
Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).
2.
Schiff L. I., Quantum Mechanics, New York, 1955 (см. перевод: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957).
3.
Jahnke Е., Emde F., Tables of Functions, New York, 1943 (cм. перевод: Янке E., Эмде Ф., Таблицы функций, М.—Л., 1948).
4.
Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 2, 371 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).
5.
Рlеssеt М. S., Amer. Joum. Phys., 9, 1, 1—10 (1941).
6.
Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945).
7.
Feynman R. P., Phys. Rev., 80, 440 (1950).
8.
Feуnmam R. P., Phys. Rev., 97, 660 (1955).
9.
Frohlich H., Advans. Phys., 3, 325 (1954).
10.
Lee T., Pines D., Phys. Rev., 92, 883 (1953).
11.
Haga E., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 11, 449 (1954).
12.
Пeкap С. И., ЖЭТФ, 19, 796 (1949).
13.
Schultz T. D., Phys. Rev., 116, 526 (1959).
14.
Lee T., Low W., Pines D., Phys. Rev., 90, 297 (1953).
15.
Gross E. P., Phys. Rev., 100, 1571 (1955).
16.
Пекар С. И., Исследования по электронной теории кристаллов, М., 1951.
17.
Боголюбов Н. Н., Укр. мат. журн., 2, 3 (1950).
18.
Тябликов С. В., ЖЭТФ, 21, 377 (1951).
19.
Cramer Н., Mathematical Methods of Statistics, Princeton, 1951 (см. перевод 1-го изд.: Крамер Г., Математические методы статистики, М., 1948).
20.
Feynman R. Р., Vеrnоn F. L., Ann. of Phys., 24, 118 (1963).
21.
Wells W. H., Ann. of Phys., 12, 1 (1961).
22.
Feynman R. P., Hellwarth R.W., Iddings С. К., Platzman P.. M., Phys. Rev., 127, 1004 (1962).
23.
Feynman R. P., Phys. Rev., 84, 108 (1951).
24.
Diraс P. A. M., Principles of Quantum Mecanies, Oxford, 1947 (cм. перевод: Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, М., 1960).
25.
Everling et al., Nucl. Phys., 15,342 (1960).
26.
Feynman R. P. The Concept of Probability in Quantum Mecanies, Berkley, 1951.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода
5
Предисловие
11
Глава
1.
Основные идеи квантовой механики
13
§
1.
Вероятность в квантовой механике
13
§
2.
Принцип неопределённости
21
§
3.
Интерферирующие альтернативы
25
§
4.
Краткий обзор понятий, связанных с вероятностью
31
§
5.
Над чем ещё следует подумать
34
§
6.
Цель этой книги
36
Глава
2.
Квантовомеханический закон движения
38
§
1.
Действие в классической механике
38
§
2.
Квантовомеханическая амплитуда вероятности
41
§
3.
Классический предел
42
§
4.
Сумма по траекториям
44
§
5.
Последовательные события
49
§
6.
Некоторые замечания
52
Глава
3.
Дальнейшее развитие идей на конкретных примерах
54
§
1.
Свободная частица
54
§
2.
Дифракция при прохождении через щель
58
§
3.
Результаты в случае щели с резкими краями
68
§
4.
Волновая функция
70
§
5.
Интегралы Гаусса
71
§
6.
Движение в потенциальном поле
76
§
7.
Системы с многими переменными
79
§
8.
Системы с разделяющимися переменными
80
§
9.
Интеграл по траекториям как функционал
82
§
10.
Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором
84
§
11.
Вычисление интегралов, по траекториям с помощью рядов Фурье
86
Глава
4.
Шредингеровское описание квантовой механики
89
§
1.
Уравнение Шрёдингера
90
§
2.
Гамильтониан, не зависящий от времени
98
§
3.
Нормировка волновых функций свободной частицы
103
Глава
5.
Измерения и операторы
111
§
1.
Импульсное представление
111
§
2.
Измерение квантовомеханических величин
122
§
3.
Операторы
129
Глава
6.
Метод теории возмущений в квантовой механике
135
§
1.
Ряд теории возмущений
135
§
2.
Интегральное уравнение для ядра
𝐾
𝑉
142
§
3.
Разложение волновой функции
144
§
4.
Рассеяние электрона на атоме
145
§
5.
Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов
160
Глава
7.
Матричные элементы перехода
181
§
1.
Определение матричных элементов перехода
181
§
2.
Функциональные производные
188
§
3.
Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов
192
§
4.
Общие соотношения для квадратичной функции действия
200
§
5.
Матричные элементы перехода и операторные обозначения
203
§
6.
Разложение по возмущениям для векторного потенциала
208
§
7.
Гамильтониан
211
Глава
8.
Гармонические осцилляторы
216
§
1.
Простой гармонический осциллятор
217
§
2.
Многоатомная молекула
221
§
3.
Нормальные координаты
227
§
4.
Одномерный кристалл
231
§
5.
Приближение непрерывной среды
237
§
6.
Квантовомеханическое рассмотрение цепочки атомов
241
§
7.
Трёхмерный кристалл
243
§
8.
Квантовая теория поля
249
§
9.
Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила
252
Глава
9.
Квантовая электродинамика
256
§
1.
Классическая электродинамика
257
§
2.
Квантовая механика поля излучения
263
§
3.
Основное состояние
265
§
4.
Взаимодействие поля с веществом
268
§
5.
Электрон в поле излучения
275
§
6.
Лэмбовский сдвиг
278
§
7.
Излучение света
283
§
8.
Краткие выводы
285
Глава
10.
Статистическая механика
289
§
1.
Функция распределения
290
§
2.
Вычисление с помощью интеграла по траекториям
294
§
3.
Квантовомеханические эффекты
300
§
4.
Системы с несколькими переменными
308
§
5.
О формулировке основных законов теории
317
Глава
11.
Вариационный метод
321
§
1.
Принцип минимума
321
§
2.
Применение вариационного метода
325
§
3.
Стандартный вариационный принцип
329
§
4.
Медленные электроны в ионном кристалле
332
Глава
12.
Другие задачи теории вероятностей
341
§
1.
Случайные события
341
§
2.
Характеристические функции
343
§
3.
Шумы
346
§
4.
Гауссовы шумы
351
§
3.
Спектр шума
354
§
6.
Броуновское движение
356
§
7.
Квантовая механика
360
§
8.
Функционалы влияния
364
§
9.
Функционал влияния гармонического осциллятора
372
§
10.
Заключение
376
Приложение.
Часто применяемые интегралы
378
Литература
379
