Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 24 (всего у книги 25 страниц)

Таким образом, мы приходим к необходимости изучить свойства функционалов влияния. Составим список нескольких правил, определяющих такие свойства, и сформулируем некоторые допущения, при которых они получаются.

Правило I.

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]*

=

𝐹[𝑞'(𝑡),𝑞(𝑡)]

,

(12.91)

где значком * отмечено комплексное сопряжение.

Правило II. Если функции 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) выбраны равными для всех 𝑡, больших любого 𝑎, то 𝐹 не зависит от фактических значений 𝑞(𝑡) для 𝑡>𝑎.

Правило III. Если 𝐹_𝑖 – функционал влияния для определённой среды 𝑖 и мы фактически не знаем реального окружения системы, а знаем лишь, что вероятность найти систему в среде 𝑖 равна ω_𝑖, то эффективный функционал влияния (для расчёта всех вероятностей)

𝐹

=

 

∑

^𝑖

ω

_𝑖

𝐹

_𝑖

.

(12.92)

Правило IV. Если система 𝑞 одновременно взаимодействует с двумя внешними системами 𝐴 и 𝐵 и если системы 𝐴 и 𝐵 непосредственно не взаимодействуют между собой, а их начальные состояния никак не связаны, то

𝐹

=

𝐹

_𝐴

⋅

𝐹

_𝐵

,

(12.93)

где 𝐹_𝐴 функционал влияния для случая, когда с 𝑞 взаимодействовала бы только одна система 𝐴, и 𝐹_𝐴 – такой же функционал для системы 𝐵.

Правило V. Если функционал 𝐹 можно с достаточной точностью аппроксимировать выражением

𝐹

=

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

∫

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

𝑉(𝑡)

𝑑(𝑡)

⎫

⎬

⎭

,

(12.94)

то система ведёт себя так же, как под влиянием классического потенциала 𝑉(𝑡), который вносит в действие вклад ∫𝑞(𝑡)𝑉(𝑡)𝑑(𝑡). Если же функционал имеет вид 𝐹(𝑞,𝑞')=Φ[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)], где Φ[𝑘(𝑡)] – функционал произвольной формы, то окружение эквивалентно классическому случаю, однако с неопределённым потенциалом 𝑉(𝑡) [в этом случае Φ – характеристический функционал для распределения 𝑉(𝑡)].

Справедливость правила I очевидна непосредственно из выражения (12.90). Это же выражение объясняет также правило II, однако гораздо менее наглядным образом. Отметим, что для произвольной системы с некоторым определённым действием 𝑆_𝑎(𝑄) при любом заданном начальном состоянии

 

∑

^𝑓

∬

exp(𝑖{

𝑆

_𝑎

[𝑄(𝑡)]

–

𝑆

_𝑎

[𝑄'(𝑡)]

})

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

=1

.

(12.95)

Это следует из того, что интегралы и сумма по конечным состояниям

∑

^𝑓

эквивалентны соотношению

∫

𝐾(𝑄

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑄

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝐾*(𝑄

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑄'

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝒟𝑄

_𝑓

=

δ(𝑄

_𝑖

–𝑄'

_𝑖

)

(12.96)

[см. формулу (4.37)]. Таким образом, если бы начальная волновая функция была φ(𝑄_𝑖), то, умножая, как это делалось в выражении (12.79), на φ(𝑄_𝑖)φ*(𝑄_𝑖) и интегрируя, мы получили бы

∫

φ(𝑄

_𝑖

)φ*(𝑄

_𝑖

)

δ(𝑄

_𝑖

–𝑄'

_𝑖

)

𝑑𝑄

_𝑖

𝑑𝑄'

_𝑖

=

∫

|φ(𝑄)|²

𝑑𝑄

=1

.

(12.97)

Заметим теперь, что если в выражении (12.90) мы положим 𝑞'(𝑡)=𝑞(𝑡) для любого заданного 𝑞(𝑡) и всех значений 𝑡, то получим выражение, в точности совпадающее с равенством (12.95), где полное суммарное действие равно

𝑆

_𝑎

[𝑄(𝑡)]

=

𝑆

₀

[𝑄(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖

[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]

причём

𝑆

_𝑎

[𝑄'(𝑡)]

=

𝑆

₀

[𝑄'(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖

[𝑞(𝑡),𝑄'(𝑡)]

что и требуется, пока 𝑞'(𝑡)=𝑞(𝑡). Следовательно,

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞(𝑡)]

=1

.

Те же рассуждения, если их провести применительно к интервалу времени 𝑎≤𝑡≤𝑡_𝑓 и использовать соотношение, сходное с (12.96), но где 𝑡_𝑓, 𝑄_𝑓 заменены соответственно на 𝑎 и 𝑄_𝑎, показывают, что если 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎, то зависимость 𝐹 от 𝑞(𝑡) при 𝑡>𝑎 исчезает, так как правая сторона (12.96) при 𝑡>𝑎 а не зависит от 𝑞(𝑡).

Правило III с очевидностью следует из того, что вероятности определяются суммированием всех возможных значений 𝐽

Правило IV вытекает из выражения (12.90), если в соответствии с условием действие в выражении (12.90) имеет вид

𝑆

_0𝐴

[𝑄

_𝐴

(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖𝐴

[𝑞(𝑡),𝑄

_𝐴

(𝑡)]

+

𝑆

_0𝐵

[𝑄

_𝐵

(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖𝐵

[𝑞(𝑡),𝑄

_𝐵

(𝑡)]

.

При этом экспоненциальная функция суммы превращается в произведение, дающее интегралы 𝐹, если начальное состояние само представляется произведением волновых функций.

Правило V – это просто формулировка наших результатов, приведённых в соотношениях (12.82) и (12.85).

Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния. Связанные с ними расчёты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния.

Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты 𝑞(𝑡), 𝑞'(𝑡) в виде квадратичных форм в экспонентах; назовём их гауссовыми функционалами влияния.

Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой 𝑞, то вычисление выражения (12.90) показывает, что 𝐹 – гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий. Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома 𝐴 очень мало, так что его функционал влияния 𝐹_𝐴 немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу IV, полный функционал 𝐹 является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов. Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит к функционалу влияния гауссова типа.

Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объёмном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле. Функционал влияния металла 𝑄 на объёмный резонатор 𝑞 близок к гауссову, и в этом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния.

Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) имеет вид

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∫

𝑞(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

–

𝑖

∫

𝑞'(𝑡)

𝑈(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

,

(12.98)

где 𝑉(𝑡) и 𝑈(𝑡) – произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы 𝑈(𝑡)=𝑉*(𝑡), а из правила II следует 𝑈(𝑡)=𝑉(𝑡), поэтому 𝑈 и 𝑉 должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.

Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член 𝑞(𝑡)𝑉(𝑡) к гамильтониану невозмущённой системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.

Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

_𝑡

∫

 

[

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

+

β(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

+

γ(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

δ(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞(𝑡')

]

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

(12.99)

с произвольными комплексными функциями α, β, γ и δ. (Эти функции достаточно определить только для 𝑡>𝑡'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем 𝑡>𝑡'; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить

β(𝑡,𝑡')

=

α*(𝑡,𝑡')

(12.100)

и

γ(𝑡,𝑡')

=

δ*(𝑡,𝑡')

(12.101)

Правило II даёт нам больше информации. Если положить 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎, то выражение

 

∫

^𝑎

_𝑎

∫

 

[

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

+

β(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

+

γ(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

δ(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞(𝑡')

]

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

,

(12.102)

составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от 𝑞(𝑡) при произвольных значениях 𝑞(𝑡') в области 𝑡>𝑎 и 𝑞'(𝑡') в области 𝑡'<𝑎. Для этого необходимо, чтобы

δ(𝑡,𝑡')

=-

α(𝑡,𝑡')

,

γ(𝑡,𝑡')

=-

β(𝑡,𝑡')

(12.103)

до тех пор, пока 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎. А так как 𝑎 – произвольная величина, то условия (12.103) должны выполняться для всех 𝑡 и 𝑡', если только 𝑡>𝑡'.

Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции α(𝑡,𝑡') и выражается в форме

exp

⎧

⎨

⎩

–

∫

_𝑡

∫

 

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

[

𝑞(𝑡')α(𝑡,𝑡')

–

𝑞'(𝑡')α*(𝑡,𝑡')

]

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

.

(12.104)

В случае когда α(𝑡,𝑡') – действительная функция, например, равна 𝐴(𝑡,𝑡'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах α – комплексная величина. Важным частным случаем является функция α, зависящая только от разности 𝑡 и 𝑡: α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.

Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система 𝑞 переходит из энергетического состояния 𝑛 в некоторое другое ортогональное состояние 𝑚 за время 𝑇. Предположим, что α очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить 𝐹, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по α, состоитиз четырёх частей. Одна из них это

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

Если подставить её вместо 𝐹 в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при φ=φ_𝑛 и χ=φ_𝑚, то видно, что интеграл по 𝒟𝑞(𝑡) и 𝒟𝑞'(𝑡) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по 𝑞 имеет вид

∫

𝑒

^{𝑖𝑆[𝑞]}

⎡

⎢

⎣

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑞(𝑡)

и представляет собой матричный элемент

𝑚

╱

╲

–

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

╲

╱

𝑛

=

=

–

∫

_𝑡

∫

 

_𝑚

⟨

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

⟩

_𝑛

α(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

(12.105)

(см. гл. 4). Интеграл no 𝒟𝑞' равен просто ∫𝑒^{𝑖𝑆[𝑞]}𝒟𝑞' и комплексно сопряжён матричному элементу _𝑚⟨1⟩_𝑛. Рассматривая аналогичным способом другие члены, получаем полную вероятность перехода

𝑃(𝑛→𝑚)

=

∫

_𝑡

∫

 

[

α(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

⟩

_𝑛

_𝑚

⟨1⟩

_𝑛

–

-

α*(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨1⟩

_𝑛

_𝑚

⟨

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

⟩*

_𝑛

+

α*(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨𝑞(𝑡)⟩

_𝑛

_𝑚

⟨𝑞(𝑡')⟩*

_𝑛

+

+

α(𝑡,𝑡')

_𝑚

⟨𝑞(𝑡)⟩*

_𝑛

_𝑚

⟨𝑞(𝑡')⟩

_𝑛

]

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

(12.106)

Если состояния 𝑚 и 𝑛 ортогональны, то _𝑚⟨1⟩_𝑛=0; если же действие 𝑆[𝑞] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями 𝐸_𝑘, то

_𝑚

⟨𝑞(𝑡)⟩

_𝑛

=

𝑞

_𝑚𝑛

𝑒

^{-𝑖(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)𝑡}

(12.107)

В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что

𝑃(𝑛→𝑚)

=

2𝖱𝖾

∫

_𝑡

∫

 

α(𝑡,𝑡')

𝑒

^{-𝑖(𝐸_𝑚-𝐸_𝑛)(𝑡-𝑡')}

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

(12.108)

Задача 12.3. Проверьте, что для 𝑚=𝑛 в соответствии с законом сохранения вероятности

𝑃(𝑚→𝑚)

=

1-

 

∑

^𝑛

𝑃(𝑚→𝑛)

Для однородной по времени среды α(𝑡,𝑡')=α(𝑡-𝑡'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье

𝑎(ν)

=

_∞

∫

⁰

α(τ)

𝑒

^-ντ

𝑑τ

(12.109)

[α_𝑡 не определена для 𝑡<0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода

𝑃(𝑛→𝑚)

_{за 1 сек}

=

2𝑎

_𝑅

(𝐸

_𝑚

–𝐸

_𝑛

)

|𝑝

_𝑛𝑚

|²

,

(12.110)

где мы выделили действительную и мнимую части 𝑎(ν):

𝑎(ν)

=

𝑎

_𝑅

(ν)

+

𝑖𝑎

_𝐼

(ν)

.

(12.111)

Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, α(τ) – действительная функция [см. (12.87)1, а действительная часть α(ν) является спектральной функцией мощности шума, определённой соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝑎

_𝑅

(-ν)

(12.112)

и в первом порядке по возмущению

[скорость перехода 𝑛→𝑚]

=

[скорость перехода 𝑚→𝑛]

.

(12.113)

Обе скорости пропорциональны мощности 𝑃(ω) при значении ω, равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.

Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовём такую среду «холодной». В этом случае переходы системы 𝑞 с возрастанием энергии (𝐸_𝑚-𝐸_𝑛) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде

𝑎

_𝑅

(ν)

 при

ν>0

(12.114)

и в первом порядке по возмущению

[скорость перехода 𝑛→𝑚]

=0, если 𝐸

_𝑚

–𝐸

_𝑛

.

(12.115)

Так как любая функция 𝑎(ν) может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определённой в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией 𝐴₁(𝑡,𝑡'), как это сделано в соотношении (12.87), а воздействие другой среды – аналогичной функцией 𝐴₂(𝑡,𝑡'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен 𝐴₁+𝐴₂.

§ 9. Функционал влияния гармонического осциллятора

Ниже мы дадим пример того, как из выражения (12.90) можно вывести функционал 𝐹 для среды, состоящей из гармонических осцилляторов с координатами 𝑄. Осцилляторы находятся в основном состоянии и их координаты линейно связаны с координатами 𝑞, взаимодействие описывается членом 𝑆_𝑖(𝑞,𝑄) = 𝐶∫𝑞(𝑡)𝑄(𝑡)𝑑𝑡. Будем считать, что все осцилляторы имеют единичную массу и собственную частоту ω, так что

𝑆

₀

(𝑄)

=

1

2

∫

[

𝑄̇(𝑡)²

+

ω²𝑄(𝑡)²

]

𝑑𝑡

.

(12.116)

Тогда

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

 

∑

^𝑚

∬

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

⎡

⎢

⎣

1

2

𝑄̇(𝑡)²

+

1

2

ω²𝑄(𝑡)²

+

+

𝐶𝑞(𝑡)

𝑄(𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

–𝑖

∫

⎡

⎢

⎣

1

2

𝑄̇'(𝑡)²

+

1

2

ω²𝑄'(𝑡)²

+

+

𝐶𝑞'(𝑡)

𝑄'(𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

,

(12.117)

где 𝑚 – конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл по 𝑄 гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода 𝐺_𝑚0, полученной в § 9 гл. 8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через γ(𝑡), здесь равна 𝐶𝑞(𝑡) ¹). Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при 𝑛=0:

𝐺

_𝑚0

=

(𝑚!)

^-½

(𝑖β*)

^𝑚

𝐺

₀₀

,

(12.118)

¹) Возможно, для читателя будет предпочтительнее представить выражение (12.117) в форме 𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)] = ∫ 𝑑𝑄_𝑓 𝐾(𝑄_𝑓,𝑡_𝑓;𝑄_𝑖𝑡_𝑖) 𝐾'*(𝑄_𝑓,𝑡_𝑓;𝑄'_𝑖𝑡_𝑖) φ₀(𝑄_𝑖) φ*₀(𝑄'_𝑖) 𝑑𝑄_𝑖 𝑑𝑄'_𝑖 ,

где 𝐾 – ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием внешней силы 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞(𝑡), а 𝐾' – аналогичное ядро для 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞'(𝑡); φ₀(𝑄) – волновая функция осциллятора в основном состоянии. Тогда все переменные 𝑄_𝑖, 𝑄'_𝑖 и 𝑄'_𝑓 входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай конечной температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии 𝑛 пропорциональна 𝑒^-β𝐸_𝑛, так что, согласно правилу IV, окончательное выражение функционала 𝐹 найдём, если в полученном выше выражении волновые функции φ(𝑄_𝑖) φ*(𝑄'_𝑖) заменить на const

 

∑

^𝑛 φ_𝑛(𝑄_𝑖) φ*_𝑛(𝑄'_𝑖) 𝑒^-β𝐸_𝑛 ,

т.е. на матрицу плотности ρ(𝑄_𝑖,𝑄'_𝑖) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.

причём 𝐺 определяется равенством (8.138), а β* равенством (8.143) с заменой γ(𝑡) на 𝐶𝑞(𝑡). Аналогично интеграл по 𝑄 является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где γ(𝑡) следует лишь заменить на 𝐶𝑞'(𝑡). Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам

𝐸(𝑞,𝑞')

=

 

∑

^𝑚

𝐺

_𝑚0

𝐺

'*

𝑚0

=

 

∑

^𝑛

(𝑚!)

^-½

(𝑖β*)

^𝑚

𝐺

₀₀

(𝑚!)

^-½

(-𝑖β')

^𝑚

𝐺'

₀₀

=

=

𝐺

₀₀

𝐺'

₀₀

𝑒

^β*β'

.

(12.119)

Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу 𝐹 типа (12.104), но при этом

α(𝑡,𝑡')

=

𝐶²

2ω

𝑒

^{-𝑖ω(𝑡,𝑡')}

.

(12.120)

Например, члены с 𝑞𝑞' в выражении (12.104) получаются прямо из члена β*β' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт

𝐶²

2ω

⎡

⎢

⎣

∫

𝑞(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

∫

𝑞'(𝑡)

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

=

=

𝐶²

2ω

∫

_𝑡

∫

 

[

𝑞(𝑡)

𝑞'(𝑡')

𝑒

^{𝑖ω(𝑡-𝑡')}

+

𝑞'(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑒

^{𝑖ω(𝑡-𝑡')}

]

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

(12.121)

Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина 𝑎(ν) равна

𝑎(ν)

=

𝐶²

2ω

_∞

∫

⁰

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑒

^-𝑖ν𝑡

𝑑𝑡

=

𝐶²

2ω

⎡

⎢

⎣

–𝑖

𝐏𝐏

1

ω+ν

+

πδ(ω+ν)

⎤

⎥

⎦

(12.122)

[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝐶²

2ω

δ(ω+ν)

.

(12.123)

Для положительных ν эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).

Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции 𝑎_𝑅(ν) складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это – следствие того, что для отрицательных ν любую функцию 𝑎_𝑅(ν) можно построить из δ -функций в форме (12.123).

Другой интересный пример – это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна 𝑇, то начальное состояние – это состояние 𝑛 с относительной вероятностью 𝑒^{-𝐸_𝑛/𝓀𝑇}. В нашем случае абсолютная вероятность

𝑤

_𝑛

=

𝑒

^{-𝑛ℏω/𝓀𝑇}

(1-𝑒

^{-ℏω/𝓀𝑇}

)

.

(12.124)

Если бы начальным было состояние 𝑛, то функционал влияния имел бы вид

𝐹

_𝑛

=

 

∑

^𝑚

𝐺

_𝑚𝑛

𝐺

'*

𝑚𝑛

,

(12.125)

а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами 𝑤_𝑛, так что окончательное выражение для функционала 𝐹 равно

𝐹

=

 

∑

^𝑚,𝑛

𝐺

_𝑚𝑛

𝐺

'*

𝑚𝑛

𝑒

^{-𝑛ℏω/𝓀𝑇}

(1-𝑒

^{-ℏω/𝓀𝑇}

)

.

(12.126)

Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна

𝐹

=

𝐺

₀₀

𝐺'

₀₀

𝑒

^β*β'

exp

⎡

⎢

⎣

–

(β-β')(β*-β'*)

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

⎤

⎥

⎦

.

(12.127)

Вместо (12.123) для 𝑎_𝑅(ν) получается выражение

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝐶²

2ω

⎡

⎢

⎣

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

δ(ω+ν)

+

1

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

δ(ω-ν)

⎤

⎥

⎦

,

(12.128)

а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (ω<0), так и к большим энергиям.

Заметим, что если ν>0, то обратится в нуль первая δ-функция, тогда как при ν<0 равна нулю вторая δ-функция; кроме того, как и следовало ожидать,

𝑎

_𝑅

(-|ν|)

=

𝑒

^{ℏ|ν|/𝓀𝑇}

𝑎

_𝑅

(+|ν|)

.

(12.129)

Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда 𝐸_𝑛>𝐸_𝑚,

вероятность перехода за 1 сек

к большим энергиям (𝑚→𝑛)

вероятность перехода за 1 сек

к меньшим энергиям (𝑛→𝑚)

=

=

𝑒

^{-(𝐸_𝑛-𝐸_𝑚)/𝓀𝑇}

;

(12.130)

при этом мы воспользовались выражением (12.110).

Таким образом, если система 𝑞 занимает различные состояния 𝑛 с относительными вероятностями 𝑒^{-(𝐸_𝑛)/𝓀𝑇}, то средние числа переходов к большим и меньшим энергиям будут выравниваться и в случае слабого взаимодействия с окружающей средой система будет находиться в статистическом равновесии. Именно это и следовало ожидать из принципов статистики. Любая среда с температурой 𝑇, приводящая к квадратичному функционалу влияния, будет обладать свойствами, описываемыми соотношением (12.129).

Для атома, рассматриваемого в качестве системы 𝑞 и взаимодействующего с электромагнитным полем при температуре 𝑇 как с некоторой средой, величина 𝑎_𝑅(ν) даётся выражением (12.128), проинтегрированным по всем собственным колебаниям поля с различными частотами ω. Его можно разделить на часть, соответствующую холодной среде, описываемую уравнением (12.123), и внешний шумовой потенциал

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝐶²

2ω

δ(ω+ν)

+

1

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

𝐶²

2ω

[

δ(ω+ν)

+

δ(ω-ν)

]

.

(12.131)

Первый член вызывает переходы только к более низким уровням, называемым спонтанным излучением. Второй член с одинаковой лёгкостью вызывает переходы вверх и вниз, называемые индуцированным излучением, или индуцированным поглощением. Мы говорим, что этот переход вызывается внешним потенциалом или шумом, среднеквадратичная интенсивность которого при частоте ν меняется с температурой как 1/(𝑒^{ℏν/𝓀𝑇}-1). Таким способом Эйнштейн впервые рассмотрел законы излучения чёрного тела. Как мы теперь видим, любое окружение, дающее квадратичный потенциал влияния при температуре 𝑇 (назовём его окружением с линейной реакцией), можно рассмотреть тем же путём. Многие исследователи распространили аргументы Эйнштейна на другие системы, например на шумовые флуктуации потенциала в вольтметре при температуре 𝑇. Первый член измеряет скорость, с которой энергия определённым способом отбирается от системы. Он измеряет величину диссипации, вызванной средой (например, электрическим сопротивлением металла или радиационным сопротивлением электромагнитного поля). Относительно тел при температуре 𝑇 можно сказать, что они ведут себя так, как будто, кроме диссипации, имеется генерируемый средой шумовой сигнал, средний квадрат которого при любой частоте пропорционален диссипации при той же частоте и величине (𝑒^{ℏν/𝓀𝑇}-1)^-1. Это утверждение называется диссипатпивно-флуктуационной теоремой.

Этот вопрос мы рассматривать здесь не будем (см. [20—22]).

§10. Заключение

Из рассмотренных приложений интегралов по траекториям к теории вероятностей ясно, что если подынтегральные выражения имеют гауссову форму, то наш метод может оказаться весьма полезным. Однако при этом мы не выходим за круг задач, которые можно решить и другими методами без использования интегралов по траекториям. Возникает резонный вопрос о практической значимости интегралов по траекториям. На это можно сказать лишь, что если задача не является гауссовой, то с помощью интегралов по траекториям её по крайней мере можно сформулировать, исследовать и надеяться, что дальнейшее развитие этого метода позволит также и решить задачу. Единственный случай, когда с помощью интегралов по траекториям получается результат, который нельзя просто вывести обычными методами,– это вариационный принцип, обсуждавшийся в гл. 11. Можно думать, что при дальнейшем совершенствовании метода число таких результатов возрастёт.

Стоит также подчеркнуть, что этот метод допускает быстрый переход от одной формулировки задачи к другой и часто даёт ясное или легко выводимое указание на соотношение, которое затем со значительно большей затратой труда можно вывести обычными способами.

Что касается применений к квантовой механике, то методу интегралов по траекториям присущи, к сожалению, серьёзные недостатки. Таким методом нельзя просто рассматривать спиновые или другие подобные операторы. Наиболее плодотворным он оказывается в применении к системам, для описания которых вполне достаточно координат и канонически сопряжённых им импульсов. Тем не менее спин является неотъемлемой частью реальных квантовомеханических систем. И очень серьёзным ограничением является то, что полуцелый спин электрона не имеет простого и ясного представления в нашем методе. Спин электрона можно ввести, если амплитуды вероятности и все величины рассматривать как кватернионы, а не как обычные комплексные числа; однако возникающая при этом некоммутативность таких чисел – серьёзное осложнение.

Вместе с тем многие результаты и формулировки метода интегралов по траекториям можно выразить с помощью другого математического формализма, представляющего собой одну из форм исчисления упорядоченных операторов (см. [23]). В этой форме большинство результатов предыдущих глав находят аналогичное, но более общее представление, включающее некоммутирующие переменные (такое обобщение неизвестно лишь для специальных задач гл. 11). Например, обсуждение в данной главе функционалов влияния должно натолкнуть читателя на мысль, что важным и интересным обобщением была бы связь среды не с координатой 𝑞, а с некоммутирующим оператором, таким, как спин. Такие обобщения не могут быть просто выражены с помощью интегралов по траекториям, но легко формулируются на языке тесно связанного с ним операторного исчисления.

Стоит и дальше прилагать усилия, чтобы распространить метод интегралов по траекториям за его сегодняшние пределы. Несмотря на ограничения, ценность его весьма велика благодаря той помощи, Которую он оказывает интуиции исследователя в соединении физического понимания сути дела с математическим анализом.