Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 12 (всего у книги 25 страниц)
Задача 6.27. Для потенциалов, периодически изменяющихся во времени, получите ряд теории возмущений до членов второго порядка включительно.
Иногда переход может происходить лишь через два или большее число промежуточных состояний. Анализ таких переходов требует рассмотрения в ряде теории возмущений членов третьего и более высоких порядков.
Задача 6.28. Покажите, что в случае, когда невозможен ни прямой переход, ни переход через одно промежуточное состояние и требуется рассматривать сразу два промежуточных состояния, матричный элемент перехода имеет вид
𝑀
𝑛→𝑚
=
∑
𝑘
∑
𝑙
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑙𝑉𝑙𝑛
(𝐸𝑚-𝐸𝑘)(𝐸𝑚-𝐸𝑙)
(6.110)
что соответствует члену третьего порядка в разложении теории возмущений.
Задача 6.29. Предположим, что одновременно действуют два возмущения: 𝑉(𝑥,𝑡) и 𝑈(𝑥,𝑡), которые представляют собой, например, некоторую комбинацию постоянного и переменного электрических полей или комбинацию электрического и магнитного полей. Предположим далее, что ни одно из этих возмущений 𝑉 или 𝑈 порознь не может вызвать переход системы из одного состояния в другое. Это становится возможным, лишь когда оба возмущения действуют совместно. Полагая возмущения 𝑉 и 𝑈 не зависящими от времени, покажите, что матричный элемент перехода определяется выражением
𝑀
𝑛→𝑚
=
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑈𝑘𝑛+𝑈𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑚-𝐸𝑘
.
(6.111)
Допустим теперь, что оба потенциала изменяются периодически во времени, но с различными частотами ω1 и ω2. Каков будет в этом случае матричный элемент?
Расчёт сдвига энергии состояния. При вычислении амплитуд переходов мы рассматривали лишь те состояния, у которых 𝑛≠𝑚. Обратимся теперь к случаю, когда 𝑚=𝑛. Рассмотрев члены нулевого и первого порядков в разложении теории возмущений, имеем
λ
𝑚𝑚
=
1-
𝑖
ℏ
𝑇
∫
𝑉
𝑚𝑚
(𝑡)
𝑑𝑡
.
(6.112)
Если 𝑉 не зависит от времени, то λ𝑚𝑛=1-(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑚𝑇. Что означает этот результат? Можно ожидать, что добавка к основному гамильтониану потенциала 𝑉 приведёт к тому, что энергии всех состояний системы несколько изменятся. Новые значения энергий можно записать как 𝐸𝑚+Δ𝐸𝑚. Зависящая от времени часть волновой функции, описывающей это состояние, будет теперь иметь вид exp[(-𝑖/ℏ)(𝐸𝑚+Δ𝐸𝑚)𝑡] вместо экспоненты exp(-𝑖/ℏ)𝐸𝑚𝑡, которая была раньше.
Вследствие этого за время 𝑇, в течение которого действует возмущающий потенциал, возникает относительная разность фаз, выражаемая экспоненциальным множителем
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑖
ℏ
Δ
𝐸
𝑚
𝑇
⎫
⎪
⎭
.
С точностью до первого порядка разложение этого множителя в ряд по времени имеет вид 1-(𝑖/ℏ)Δ𝐸𝑚𝑇. Отсюда видно, что в первом порядке величина сдвига энергии в состоянии 𝑚, обусловленная потенциалом 𝑉, составляет
Δ𝐸
𝑚
=
𝑉
𝑚𝑚
.
(6.113)
Такой вывод выражения для сдвига энергии в первом порядке теории возмущений неудовлетворителен в случае, когда система вырождена, т.е. если вначале имеется очень много состояний с одной и той же энергией. Оказывается, в этом случае члены второго порядка по 𝑉 дают эффекты такой же величины, что и члены первого. Учёт членов второго порядка в разложении матричного элемента перехода даёт
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑚𝑇
λ
𝑚𝑚
=
1-
𝑖
ℏ
𝑉
𝑚𝑚
𝑇-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫²
⎪
⎭
×
×
∑
𝑘
𝑇
∫
𝑡4
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑚)(𝑡4-𝑡3)
𝑑𝑡
3
𝑑𝑡
4
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑚
.
(6.114)
Предположим сначала, что вырождения нет. Рассмотрим первый член ряда при 𝑘=𝑚, который является членом второго порядка. Интеграл в этом члене равен 𝑇²/2. Интегралы в членах с 𝑘≠𝑚 могут быть также легко вычислены:
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑚𝑇
λ
𝑚𝑚
=
1-
𝑖
ℏ
𝑉
𝑚𝑚
𝑇-
1
2ℏ²
𝑉
2
𝑚𝑚
𝑇²
–
-
∑
𝑘≠𝑚
𝑖|𝑉𝑘𝑚|²
(𝐸𝑚-𝐸𝑘)ℏ
⎧
⎨
⎩
𝑇
–
1-exp[-𝑖𝑇(𝐸𝑘-𝐸𝑚)/ℏ]
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑚)
⎫
⎬
⎭
.
(6.115)
Первые три члена в правой части этого уравнения представляют собой просто разложение экспоненты exp(-𝑖𝑉𝑚𝑚𝑇/ℏ). Первый из суммируемых членов будет пропорционален 𝑇, и его можно интерпретировать как изменение энергии во втором порядке разложения. Это означает, что добавка к энергии не просто равна 𝑉𝑚𝑚, а содержит ещё поправки высшего порядка. С учётом поправок второго порядка выражение для сдвига энергии запишется в виде
Δ𝐸
𝑚
=
𝑉
𝑚𝑚
–
∑
𝑘≠𝑚
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑚
𝐸𝑚-𝐸𝑘
.
(6.116)
Во втором порядке это равенство даёт точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т.е. решая уравнение
(𝐻+𝑉)φ
=
𝐸φ
.
(6.117)
Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчёта энергетических сдвигов.
В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим. В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных 𝑇, 𝑇² и т.д. Затем, если мы вспомним, что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте exp(-𝑖Δ𝐸𝑇/ℏ) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для Δ𝐸.
До сих пор мы ещё не рассмотрели последний член в формуле (6.115). Если состояние 𝐸𝑘 лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы это делали при рассмотрении членов второго порядка в случае 𝑛≠𝑚, то можно показать, что эти дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный 𝑇, и приведут к поправке в уравнении (6.116)
Δ'𝐸
𝑘
=
–𝑖π
∑
𝑘
δ(𝐸
𝑚
–𝐸
𝑘
)
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑚
.
(6.118)
Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через -𝑖γ/2 (множитель ½ вводится для удобства) и запишем
Δ𝐸
𝑘
–
𝑖γ
2
=
𝑉
𝑚𝑚
∑
𝑘
|𝑉𝑚𝑘|²
𝐸𝑚-𝐸𝑘-𝑖ε
.
(6.119)
Отсюда следует, что амплитуда перехода λ𝑚𝑚, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии 𝑚, пропорциональна экспоненте
exp
⎡
⎢
⎣
–𝑖
⎧
⎪
⎩
Δ
𝐸
𝑚
–
𝑖γ
2
⎫
⎪
⎭
𝑇
⎤
⎥
⎦
=
exp[-𝑖(
Δ
𝐸
𝑚
)𝑇]
exp
⎧
⎪
⎩
–
γ𝑇
2
⎫
⎪
⎭
.
Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что через время 𝑇 система по-прежнему будет пребывать в состоянии 𝑚; эта вероятность равна λ𝑚𝑚=exp(-γ𝑇) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определённая вероятность перехода системы из состояния 𝑚 в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина γ является полной вероятностью (в расчёте на единицу времени) перехода из состояния 𝑚 в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии. Из уравнения (6.118) следует, что
γ=
∑
𝑘
2πδ
(𝐸
𝑚
–𝐸
𝑘
)
|𝑉
𝑚𝑘
|²
.
(6.120)
Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесённая к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), взятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по 𝑉.
Величина, обратная γ, называется средним временем жизни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определённой энергии. В соответствии с принципом Гейзенберга неопределённость энергии Δ𝐸=(ℏ/время жизни) т.е. Δ𝐸=γ.
Если поставить эксперимент для определения различия энергий двух уровней, каждый из которых имеет ширину γ, то мы обнаружим, что резонанс не является острым, а имеет сглаженную форму. Центр резонансного пика определяет разность энергий, а его ширина – сумму значений γ для данных двух уровней.
Глава 7
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПЕРЕХОДА
В гл. 6, рассматривая вопросы, связанные с изменением состояний квантовомеханической системы, мы развивали общие представления теории возмущений. В связи с этим мы рассмотрели и исследовали системы, основное состояние которых описывается постоянным во времени гамильтонианом. Теперь продолжим изучение метода теории возмущений и обобщим его на случай систем, у которых невозмущённое состояние описывается гамильтонианом, изменяющимся со временем. С этой целью введём более общие обозначения и попытаемся несколько шире рассмотреть вопрос о том, каким образом происходит изменение состояния квантовомеханической системы. Эти новые обозначения будут введены в переменные и некоторые специальные функции, так называемые матричные элементы перехода.
Всю эту главу можно разделить на четыре части. Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей § 2—4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (§ 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определённые с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определённые с помощью обычных квантовомеханических операторов. Наконец, в последней части (§ 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.
§ 1. Определение матричных элементов перехода
Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент 𝑡1 состояние описывается волновой функцией ψ(𝑥1,𝑡1). В более поздний момент времени 𝑡2 это начальное состояние переходит в состояние ψ(𝑥2,𝑡2).
Предположим, что в момент 𝑡2 мы задаём вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии χ(𝑥2,𝑡2)? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл. 5, вероятность того, что система будет находиться в определённом состоянии, пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом
∫
χ*(𝑥
2
,𝑡
2
)
φ(𝑥
2
,𝑡
2
)
𝑑𝑥
2
Из гл. 3 нам также известно, что функция φ может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра 𝐾, описывающего движение системы в интервале между моментами времени 𝑡1 и 𝑡2. Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определённом состоянии можно исходить из начальной волновой функции φ, учитывая зависимость от времени с помощью ядра 𝐾(2,1).
Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой даёт искомую вероятность, назовём амплитудой перехода и обозначим её так:
⟨χ|1|ψ⟩
=
∫∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾(2,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
1
.
(7.1)
При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введём для этого снова функцию действия 𝑆, описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в виде
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆
=
∫
𝑥2
∫
𝑥1
∫
χ*(𝑥
0
)
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
ψ(𝑥
1
)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
(7.2)
Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс 𝑆, чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки 𝑥1 и 𝑥2, результат умножить на две волновые функции и затем ещё раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных пределах.
Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введём функционал 𝐹[𝑥(𝑡)], не касаясь пока его физической природы. С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как
⟨χ|𝐹|ψ⟩
𝑆
=
∫∫∫
χ*(𝑥
2
)
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
ψ(𝑥
1
)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
(7.3)
Здесь 𝐹 – некоторый функционал от 𝑥(𝑡), не зависящий от значений функции 𝑥(𝑡) на границе и вне области изменения переменных 𝑥1 и 𝑥2. В частном случае, когда 𝐹=1, интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода.
Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия. Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент 𝑡=𝑡1 эта частица находится в точке 𝑥1 и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки 𝑥2 в момент 𝑡=𝑡2. В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка 𝑥1 для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции ψ(𝑥1) в выражении (7.2), а точка 𝑥2 – функции χ(𝑥2). Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным 𝑥1 и 𝑥2 начального и конечного состояний – шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче.
Классическую задачу можно решить, рассматривая все возможные траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену 𝑒𝑖𝑆/ℏ, входящему в интеграл (7-2).
Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки 𝑥2 (от 𝑥2 до 𝑥2+𝑑𝑥). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения 𝑃(𝑥2)𝑑𝑥2, определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки 𝑥2. Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2), в случае, когда ψ и χ являются δ-функциями пространственных координат.
Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки 𝑥2: например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определённое время (скажем, 1 сек) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т.е. величину ускорения для каждой возможной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль этой траектории. Такая усреднённая величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции 𝐹[𝑥(𝑡)] должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени 𝑡. С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3).
Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.
Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.
Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: 𝑆=𝑆0+σ, где 𝑆0 приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть а достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде
𝑒
𝑖𝑆/ℏ
=
𝑒
𝑖𝑆0/ℏ
𝑒
𝑖σ/ℏ
.
(7.4)
Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0+σ
=
⟨χ|𝑒
𝑖σ/ℏ
|ψ⟩
𝑆0
,
(7.5)
а после разложения экспоненты в ряд получим
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0+σ
=
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0
+
𝑖
ℏ
⟨χ|σ|ψ⟩
𝑆0
–
1
2ℏ²
⟨χ|σ²|ψ⟩
𝑆0
+… .
(7.6)
Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.
Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия σ связаны соотношением
σ=
∫
𝑉[χ(𝑡),𝑡]
𝑑𝑡
.
(7.7)
В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода
⟨χ|1|ψ⟩
𝑆0
=
∫
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
𝑑𝑡
.
(7.8)
Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
=
=
∫
𝑥2
∫
𝑥1
∫
χ*(𝑥
2
)
𝑒
𝑖𝑆0/ℏ
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.9)
Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8) – (6.11) при вычислении ядра 𝐾(1). Выражение для интеграла по траекториям получается путём интегрирования по координатам обеих конечных точек 𝑥1 и 𝑥2 и по координатам промежуточной точки 𝑥3 [обозначенной в соотношении (6.10) через 𝑐]. Таким образом,
⟨|𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]|φ⟩
𝑆0
=
∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾
0
(2,3)
𝑉(3)
𝐾
0
(3,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
3
.
(7.10)
Мы получили это выражение, основываясь на трёх допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определённом состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11). Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадратмодуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии ψ, может под действием малого возмущающего потенциала 𝑉(𝑥,𝑡) перейти далее в состояние χ (если это последнее не является состоянием системы при 𝑉=0, т.е. если ⟨χ|1|ψ⟩=0).
Соотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращённые обозначения подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию ψ(𝑥3𝑡3) как
ψ(3)
=
∫
𝐾
0
(3,1)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
.
(7.11)
Это – волновая функция в момент 𝑡3, возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию
χ*(𝑥
3
,𝑡
3
)
=
∫
χ*(𝑥
2
)
𝐾
0
(2,3)
𝑑𝑥
2
,
(7.12)
комплексно сопряжённую волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент 𝑡3 будет совпадать с функцией χ(𝑥2) в момент 𝑡2 [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7].
С помощью вновь введённых волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто:
⟨χ|
∫
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑑𝑥
|ψ⟩
𝑆0
=
∫∫
χ³(3)
𝑉(3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
,
(7.13)
откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода λ𝑚𝑛, введённой в § 5 гл. 6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой λ¹𝑚𝑛, определяемой соотношением (6.70).
Таким образом, вычисление элемента перехода для функционала 𝐹[𝑥(𝑡)], зависящего от времени 𝑡 только через 𝑥(𝑡), как и вычисление интеграла по времени от такого функционала, не вызывает затруднений. Легко вычисляется и элемент перехода для функционалов, зависящих от функций 𝑥, определённых для двух разных моментов времени. Такая задача встречается, например, при рассмотрении члена второго порядка ряда теории возмущений. Этот член можно записать в виде
1
2ℏ²
⟨χ|σ²|ψ⟩
𝑆0
=
1
2ℏ²
∫∫
⟨χ|
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑉[𝑥(𝑠),𝑥]
|ψ⟩
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
(7.14)
Подынтегральное выражение в этом соотношении само по себе является матричным элементом перехода и может быть представлено как
⟨χ|
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
|ψ⟩
=
∫∫
χ*(4)
𝑉(4)
𝐾
0
(4,3)
𝑉(3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥
4
,
(7.15)
где мы обозначили 𝑡3=𝑠; 𝑡4=𝑡 для случая 𝑠<𝑡 и 𝑡3=𝑡; 𝑡4=𝑠 для 𝑠>𝑡.
Таким образом, член второго порядка в разложении теории возмущений имеет вид
1
2ℏ²
⟨χ|
∫
𝑉[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑑𝑡
∫
𝑉[𝑥(𝑠),𝑠]
𝑑𝑠
|ψ⟩
=
=
∫∫
χ*(4)
𝑉(4)
𝐾
0
(4,3)
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
𝑑𝑥
4
𝑑𝑡
4
,
(7.16)
что можно понимать как обобщение амплитуды перехода (6.74). Нетрудно написать также выражения, содержащие три или более функций.
Соотношение (7.4) соответствует и более общему виду теории возмущений. Для примера рассмотрим частицу, взаимодействующую с каким-либо осциллятором. После интегрирования по координатам осциллятора результирующую функцию действия можно написать как 𝑆0+σ, где (см. § 10 гл. 3)
σ=
1
𝑚ω sin 𝑚𝑇
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]
sin ω(𝑡
2
–𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
.
(7.17)
Функционал 𝑔[𝑥(𝑡),𝑡] здесь характеризует взаимодействие частицы и осциллятора; 𝑇=𝑡2-𝑡1.
Как уже отмечалось, практическое вычисление интегралов по траекториям, содержащих такую сложную функцию действия, очень затруднительно, однако если можно ожидать, что эффект, вызываемый сложным членом а, невелик, то искомый результат легко получить, разложив экспоненту (7.4) в ряд по возмущениям. Для иллюстрации найдём член первого порядка в таком разложении (т.е. первую борновскую поправку). Используя для δ выражение (7.17), можно вычислить член (𝑖/ℏ)⟨χ|δ|ψ⟩𝑆0, записав его в виде
𝑖
ℏ
⟨χ|σ|ψ⟩
𝑆0
=
1
𝑚ω sin 𝑚𝑇
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
⟨|
𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]
𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]
|ψ⟩
𝑆0
×
×
sin ω(𝑡
2
–𝑡)
sin ω(𝑠-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
,
(7.18)
так что наиболее трудная часть задачи сводится к отысканию выражения ⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩𝑆0.
Но это выражение мы уже встречали в соотношении (7.15), с той лишь разницей, что вместо 𝑔 там стояло 𝑉. Поэтому мы можем написать
⟨χ|𝑔[𝑥(𝑡),𝑡]𝑔[𝑥(𝑠),𝑠]|ψ⟩
𝑆0
=
=
∫∫
χ*(4)
𝑔[𝑥(𝑡
4
),𝑡
4
]
𝐾
0
(4,3)
𝑔[𝑥(𝑡
3
),𝑡
3
]
ψ(3)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑥
4
,
(7.19)
Подставив результат в соотношение (7.18), получим окончательное выражение для первой борновской поправки (𝑖/ℏ)⟨χ|σ|ψ⟩𝑆0.
Заметим, что с матричными элементами перехода мы будем часто встречаться в дальнейшем и в каждом случае их можно будет вычислить так, как только что было показано. Поэтому лишь малая часть излагаемого ниже окажется существенной для дальнейшего рассмотрения. Тем не менее существуют веские соображения, исходя из которых мы и включили этот материал в нашу книгу. Во-первых, возникает возможность получить весьма общие соотношения между матричными элементами перехода, которые можно было бы рассматривать в качестве отправной точки для нового построения квантовой механики. Во-вторых, для тех, кто хорошо знаком с более привычным операторным изложением квантовой мехнаники, мы предлагаем нечто вроде пособия для перевода с одного языка на другой, что поможет перейти от обычного представления к представлению, используемому в данной книге, т.е. к выражениям, подобным (7.3).
Пользуясь этими правилами перевода, содержание последующих глав, изложенное на языке интегралов по траекториям, можно понять и перевести на язык более привычных символов.
Соотношения, рассматриваемые ниже в данной главе, не зависят от вида волновых функций, описывающих начальное или конечное состояние системы; вид этих функций важен лишь при определении интеграла для матричного элемента перехода. Поэтому применим сокращённые обозначения, опустив всё, что характеризует волновые функции; матричный элемент перехода будет теперь обозначаться как ⟨𝐹⟩𝑆 вместо старого обозначения ⟨χ|𝐹|ψ⟩𝑆.
§ 2. Функциональные производные
Обратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между матричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее изящный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению.
Численное значение функционала 𝐹[𝑥(𝑡)] определено для каждой заданной функции 𝑥(𝑡). Зададимся вопросом: как изменится это значение, если немного изменить аргументную функцию 𝑥(𝑡)? Другими словами, как велика будет разность 𝐹[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]-𝐹[𝑥(𝑡)], если η(𝑡) мало? В первом приближении по η (предполагая, что таковое существует и т.д.) эта разность представляет собой некоторое линейное относительно η выражение типа ∫𝐾(𝑠)η(𝑠)𝑑𝑠. Определённая таким образом величина 𝐾(𝑠) называется функциональной производной функционала 𝐹 по функции 𝑥(𝑡) в точке 𝑠 и обозначается как δ𝐹/δ𝑥(𝑡). Поэтому с точностью до членов первого порядка можно записать соотношение
𝐹[𝑥+η]
𝐹[𝑥]
+
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑥)
η(𝑠)
𝑑𝑠
+… .
(7.20)
Понятно, что производная δ𝐹/δ𝑥(𝑡) зависит как от вида функции 𝑥(𝑡), так и от значения переменной 𝑠, т.е. она является функционалом от 𝑥(𝑡) и функцией времени 𝑠.
Можно посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено моментами 𝑡𝑖 на очень много маленьких отрезков Δ𝑡=ε(𝑡𝑖+1=ε+𝑡𝑖).. В этом случае функцию 𝑥(𝑡) можно приближённо задать её значениями 𝑥𝑖=𝑥(𝑡𝑖) в моменты 𝑡𝑖. Функционал 𝐹[𝑥(𝑡)] будет тогда зависеть от всех величин 𝑥𝑖, т.е. он превращается в обычную функцию многих переменных 𝑥𝑖.
𝐹[𝑥(𝑡)]
→
𝐹(…,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
,
…).
(7.21)
Рассмотрим теперь ∂𝐹/∂𝑥𝑖 – частную производную этой функции по одному из переменных 𝑥𝑖. Наша функциональная производная есть не что иное, как в точности эта частная производная, поделённая на ε и взятая в точке 𝑡𝑖=𝑠, т.е.
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
→
1
ε
∂𝐹
∂𝑥𝑖
(7.22)
В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию 𝑥(𝑡) заменить на 𝑥(𝑡)+η(𝑡), то все значения 𝑥𝑖 заменятся на 𝑥𝑖+η𝑖, где η𝑖=η(𝑡𝑖), поэтому в первом приближении получаем
𝐹(…,
𝑥
𝑖
+
η
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
+
η
𝑖+1
,
…)-
-
𝐹(…,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑖+1
,
…).
=
∑
𝑖
∂𝐹
∂𝑥𝑖
η
𝑖
,
(7.23)
что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (1/ε)(∂𝐹/∂𝑥𝑖)=𝐾𝑖, то сумма в (7.23) запишется как
∑
𝑖
𝐾
𝑖
η
𝑖
ε
и в пределе при ε→0 перейдёт в интеграл ∫𝐾(𝑡)η(𝑡)𝑑𝑡, так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной δ𝐹/δ𝑥(𝑠).
Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение
𝑑𝑓
=
∑
𝑖
∂𝑓
∂𝑥𝑖
𝑑𝑥
𝑖
,
и для первой вариации любого заданного функционала 𝐹 получим
δ𝐹
=
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
δ𝑥(𝑠)
𝑑𝑠
,
(7.24)
где δ𝑥(𝑠) вариация траектории 𝑥(𝑠).
Задача 7.1. Для действия, заданного в виде
𝑆=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
,
покажите, что в любой точке 𝑠 между 𝑡1 и 𝑡2 выполняется равенство
δ𝑆
δ𝑥(𝑠)
=-
𝑑
𝑑𝑠
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
+
∂𝐿
∂𝑥
,
(7.25)
где все частные производные взяты при 𝑡=𝑠.
Задача 7.2. Покажите, что при 𝐹[𝑥]=𝑥(τ).
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
=
δ(τ-𝑠).
(7.26)
Задача 7.3. Покажите, что если
𝐹=exp
⎡
⎢
⎣
1
2
∫
…
∫
𝑗(𝐫
1
,𝑡
1
)
𝑗(𝐫
2
,𝑡
2
)
×
×
𝑅
(𝐫
1
–𝐫
2
,𝑡
1
–𝑡
2
)
𝑑³𝐫
1
𝑑³𝐫
2
𝑑³𝑡
1
𝑑³𝑡
2
⎤
⎥
⎦
,
то производная δ𝐹/δ𝑗(𝑑,𝑠) будет иметь вид
δ𝐹
δ𝑗(𝑑,𝑠)
=
⎡
⎢
⎣
–
∫
𝑅
(𝐫-𝐫',𝑡-𝑡')
𝑗(𝐫',𝑡')
𝑑𝐫'
𝑑𝑡'
⎤
⎥
⎦
𝐹.
(7.27)
Заметим, что 𝑗(𝐫,𝑡) является функцией четырёх переменных (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡). Поэтому для описания точки, в которой берётся функциональная производная, координату 𝑠 в интегралах [вида, например, соотношения (7.14)] надо заменить набором всех четырёх этих аргументов.
Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной δ𝐹/δ𝑥(𝑠). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент
⟨𝐹⟩
𝑆
=
∫
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
(7.28)
и в интеграле по траекториям функцию 𝑥(𝑡) заменим на 𝑥(𝑡)+η(𝑡). Для каждого фиксированного значения η(𝑡) выполнено равенство 𝒟[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]=𝒟𝑥(𝑡) [поскольку 𝑑(𝑥𝑖+η𝑖) = 𝑑(𝑥𝑖)]. Отметим, что сам интеграл не должен измениться от такой замены. Разлагая теперь экспоненту в ряд и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков
⟨𝐹⟩
𝑆
=
∫
𝐹[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)+η(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
=
=
∫
𝐹[𝑥(𝑡)]
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
+
∫
⎡
⎢
⎣
∫
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
η(𝑠)
𝑑(𝑠)
⎤
⎥
⎦
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
+
+
𝑖
ℏ
∫
𝐹[𝑥(𝑡)]
⎡
⎢
⎣
∫
δ𝑠
δ𝑥(𝑠)
η(𝑠)
𝑑(𝑠)
⎤
⎥
⎦
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
+… ,
(7.29)
получаем, что член нулевого порядка в точности равен ⟨𝐹⟩𝑆. Поэтому сумма членов первого порядка при любой функции η(𝑆) должна обращаться в нуль. Отсюда следует соотношение
╱
╲
δ𝐹
δ𝑥(𝑠)
╲
╱𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
δ𝑠
δ𝑥(𝑠)
╲
╱𝑆
.
(7.30)
Из этого общего соотношения вытекает много важных следствий. Так, его можно было бы использовать в качестве отправной точки для вывода законов квантовой механики; можно было бы вернуться несколько назад и ещё раз получить выражение (7.6). Если речь идёт о каком-то обобщении квантовой механики, то можно предполагать, что это обобщение содержится в функции 𝑆, в экспоненте 𝑒𝑖𝑆/ℏ, или же исходить из выражения, подобного соотношению (7.30), и вводить обобщение в дифференциальной форме. Швингер исследовал различные формулировки квантовой механики, вытекающие из соотношения (7.30).
Можно получить ещё одну форму этого соотношения, если проделать разбиение временного интервала на ε-отрезки, а функционалы заменить функциями переменных 𝑥(𝑖), соответствующих моментам 𝑡(𝑖). Рассматривая далее интеграл по траекториям
∫
∂𝐹
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
,
(7.31)
где 𝑡𝑘 – некоторый промежуточный момент, не являющийся концом временного интервала, мы видим, что этот интеграл является обычным кратным интегралом по аргументам 𝑥𝑖. После одной интеграции по частям получим, отбросив проинтегрированную часть:
∫
∂𝐹
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
=
𝑖
ℏ
∫
∂𝑆
∂𝑥𝑘
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.32)
Задача 7.4. Выясните, почему обращается в нуль проинтегрированная часть.
Окончательно имеем
╱
╲
∂𝐹
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
∂𝑆
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
.
(7.33)
Это выражение имеет тот же смысл, что и соотношение (7.30). Более удобно записать его в дифференциальной форме
⟨δ𝐹⟩
𝑆
=-
𝑖
ℏ
⟨𝐹δ𝑆⟩
𝑆
(7.34)
так как в этом случае можно не указывать переменных, от которых зависят функции 𝐹 и 𝑆.
Задача 7.5. Покажите, что соотношение (7.34), вообще говоря, может ввести в заблуждение, поскольку в (7.33) используются только прямоугольные координаты. Для этого исследуйте соответствующее соотношение в случае, когда используются, например, сферические координаты и отыскивается производная ⟨𝑑𝐹/𝑑𝑟𝑘⟩𝑆.
§ 3. Матричные элементы перехода для некоторых специальных функционалов
Соотношение (7.34) имеет много интересных приложений. В этом параграфе мы проанализируем некоторые из них. При этом ограничимся частным случаем одномерного движения частицы под действием потенциала 𝑉[𝑥(𝑡)].
Предположим, что вдоль траектории частицы действие задаётся выражением
𝑆=
𝑡2
∫
𝑡1
⎧
⎨
⎩
𝑚𝑥̇²
2
–𝑉[𝑥(𝑡)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
.
(7.35)
Если каждая траектория сдвигается на малую величину δ𝑥(𝑡), то в первом приближении
δ𝑆
–=
𝑡2
∫
𝑡1
[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥(𝑡)]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
(7.36)
Из соотношения (7.34) в этом случае следует
⟨δ𝐹⟩
𝑆
=-
𝑖
ℏ
╱
╲
𝐹
𝑡2
∫
𝑡1
[𝑚𝑥̈+𝑉'[𝑥]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
╲
╱
.
(7.37)
Это выражение можно получить и иначе, если встать на точку зрения, применявшуюся нами при выводе формулы (7.33); другими словами, если провести разбиение временного интервала на малые отрезки длиной ε. Действие 𝑆 в этом случае запишется как
𝑆
=
𝑁-1
∑
𝑖=1
⎡
⎢
⎣
𝑚
(𝑥𝑖+1-𝑥𝑖)²
2ε
–
𝑉(𝑥
𝑖
)ε
⎤
⎥
⎦
.
(7.38)
Если выбрать некоторый момент времени 𝑡𝑘 и, как прежде, обозначить через 𝑥𝑘 соответствующую точку траектории, то
∂𝑆
∂𝑥𝑘
=
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
–
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)ε
.
(7.39)
Учитывая теперь (7.33), получаем
╱
╲
∂𝐹
∂𝑥𝑘
╲
╱𝑆
=-
𝑖ε
ℏ
╱
╲
𝐹
⎡
⎢
⎣
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-2𝑥𝑘+𝑥𝑘-1
ε²
⎫
⎪
⎭
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)
⎤
⎥
⎦
╲
╱
.
(7.40)
В этом последнем соотношении член, содержащий ε² в знаменателе, фактически является ускорением 𝑥̈ в момент времени 𝑡𝑘. Поэтому соотношение (7.40) оказывается просто частным случаем выражения (7.37). Оно точно совпадает с последним, если вариация δ𝑥(𝑘) равна нулю для всех моментов 𝑡, отличных от 𝑡𝑘. Если же в (7.37) положить δ𝑥(𝑘) равной εδ𝑥𝑘δ(𝑡-𝑡𝑘), то получим соотношение (7.40); поскольку оно справедливо для любых 𝑘, то фактически эквивалентно соотношению (7.37), являясь его более подробной записью.
