Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 14 (всего у книги 25 страниц)
𝑆
кл
[𝑘+1,𝑘]
=
𝑚|𝐫𝑘+1-𝐫𝑘|²
2ε
+
+
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝑟
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
⋅
(𝐫
𝑘+1
–𝐫
𝑘
)
.
(7.107)
Теперь понятно, что правильное выражение для возмущения σ равно среднему от выражений (7.103) и (7.104) и матричный элемент перехода в (7.99) равен
╱
╲
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
–𝐫
𝑘
)
⋅
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
╲
╱
.
(7.108)
Сумму по 𝑘 вычислим в дальнейшем как некий интеграл по времени, а пока запишем полученный результат в виде оператора (1/2𝑚)(𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩).
Для электромагнитного потенциала член первого порядка в разложении по возмущениям имеет тот же самый вид, что и член первого .порядка в соотношении (6.11), лишь потенциал 𝑉 заменяется оператором
-
𝑒
2𝑐𝑚
(𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩)
.
Во втором приближении это уже неверно. Здесь необходимо вычислить
1
2
⎧
⎪
⎩
𝑒
ℏ𝑐
⎫²
⎪
⎭
╱
╲
⎡
⎢
⎣
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
⎤²
⎥
⎦
╲
╱
=
1
2
⎧
⎪
⎩
𝑒
ℏ𝑐
⎫²
⎪
⎭
∑
𝑘
∑
𝑙
╱
╲
⎧
⎨
⎩
[𝐫
𝑘+1
–𝐫
𝑘
]
×
×
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
⎫
⎬
⎭
⎧
⎨
⎩
[𝐫
𝑙+1
–𝐫
𝑙
]
×
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑙+1
,𝑡
𝑙+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑙
,𝑡
𝑙
)
]
⎫
⎬
⎭
╲
╱
.
(7.109)
Если 𝑘≠𝑙, то ничего не меняется и мы получим член второго порядка, который можно было бы найти из сравнения с соотношением (6.13), подставив вместо потенциала 𝑉 оператор -(𝑒/2𝑐𝑚)(𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩). Но если 𝑘=𝑙, то произведение двух скоростей, взятых в последовательные моменты, даст нам новый член. Учитывая выражение (7.49) и результат задачи 7.6, получим дополнительно
𝑒²
2𝑐²
╱
╲
+
𝑖ℏε
𝑚
∑
𝑘
⎧
⎨
⎩
1
2
[
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
)
+
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
]
⎫²
⎬
⎭
╲
╱
(7.110)
что эквивалентно интегралу 𝑖𝑒²/2𝑚𝑐² ∫ [𝐀(𝐫,𝑡) ⋅𝐀(𝐫,𝑡)] 𝑑𝑡 и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала (𝑒²/2𝑚𝑐²) 𝐀⋅𝐀.
Таким образом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала 𝐀, имеет тот же вид, что и разложение (6.17), только потенциал 𝑉 здесь заменён оператором -𝑒/2𝑚𝑐 (𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩) +𝑒²/2𝑚𝑐² 𝐀⋅𝐀. Мы показали это с точностью до членов второго порядка по 𝐀; путём небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении.
Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом 𝐀 можно записать в виде
𝐻
=
1
2𝑚
⎧
⎪
⎩
𝐩-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
⋅
⎧
⎪
⎩
𝐩-
𝑒
𝑐
𝐀
⎫
⎪
⎭
.
(7.111)
Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы [𝐻своб=(1/𝑚) 𝐩⋅𝐩] тем, что здесь стоит оператор -𝑒/2𝑚𝑐 (𝐩⋅𝐀+𝐀⋅𝐩) +𝑒²/2𝑚𝑐² 𝐀⋅𝐀. Такая запись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями.
§ 7. Гамильтониан
Используя полученные выше результаты, легко написать амплитуду перехода для гамильтониана, сложив амплитуду перехода для квадрата импульса, делённую на 2𝑚, и амплитуду перехода для потенциала. Таким образом, для момента времени 𝑡𝑘 гамильтониан может быть записан как
𝐻
𝑘
=
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
+
𝑉(𝑥
𝑘
)
.
(7.112)
В то же время операторная форма матричного элемента перехода для этого гамильтониана будет иметь вид
⟨χ|𝐻
𝑘
|ψ⟩
=
∞
∫
-∞
χ*
⎡
⎢
⎣
𝑝²
2𝑚
+𝑉(𝑥)
⎤
⎥
⎦
ψ
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
χ*
𝐻ψ
𝑑𝑥
.
(7.113)
Хотя такой метод определения амплитуды перехода для гамильтониана даёт совершенно правильный результат, он тем не менее представляется несколько искусственным, поскольку здесь нигде не выражена зависимость гамильтониана от времени. Поэтому далее мы рассмотрим другое определение матричных элементов перехода, в основе которого лежит исследование изменения состояний при небольших вариациях времени. Такой подход даст нам возможность определять величину 𝐻𝑘, исходя только из вида функции 𝑆 (не касаясь того, насколько это будет сложно).
Чтобы сделать это, разобьём ось времени на бесконечно малые отрезки, подобно тому как мы поступали при определении интегралов по траекториям. Однако теперь важно отметить, что деление оси на равные отрезки не является обязательным. Здесь подходит любое разбиение точками 𝑡𝑖, важно лишь, чтобы в пределе (независимо от величины элементов разбиения) все отрезки 𝑡𝑖+1-𝑡𝑖 стремились к нулю. Предположим для простоты, что наша система состоит из одной частицы, совершающей одномерное движение. В этом случае действие запишется в виде суммы
𝑆=
∑
𝑆[𝑥
𝑖+1
,𝑡
𝑖+1
;𝑥
𝑖
,𝑡
𝑖
]
,
𝑖
(7.114)
где
𝑆[𝑥
𝑖+1
,𝑡
𝑖+1
;𝑥
𝑖
,𝑡
𝑖
]
=
𝑡𝑖+1
∫
𝑡𝑖
𝐿
[
𝑥̇(𝑡),
𝑥(𝑡)
]
𝑑𝑡
.
(7.115)
Интеграл в этом выражении взят вдоль некоторой классической траектории между точками 𝑥𝑖=𝑥(𝑡𝑖) и 𝑥𝑖+1=𝑥(𝑡𝑖+1). Следовательно, в случае нашего одномерного примера можно с достаточной точностью записать
𝑆[𝑥
𝑖+1
,𝑡
𝑖+1
;𝑥
𝑖
,𝑡
𝑖
]
=
⎡
⎢
⎣
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑖+1-𝑥𝑖
𝑡𝑖+1-𝑡𝑖
⎫²
⎪
⎭
–
𝑉(𝑥
𝑖+1
)
⎤
⎥
⎦
(𝑡
𝑖+1
–𝑡
𝑖
)
.
(7.116)
Константа нормировки для интеграла по 𝑑𝑥𝑖 в момент времени 𝑡𝑖 будет такой же, как и ранее, а именно
𝐴
=
⎡
⎢
⎣
2πℏ𝑖(𝑡𝑖+1-𝑡𝑖)
𝑚
⎤½
⎥
⎦
.
(7.117)
Выясним теперь связь гамильтониана 𝐻 с изменением состояния при небольшой вариации времени. Рассмотрим для этого состояние ψ(𝑡), определённое в пространственно-временно'й области 𝑅. Представим себе, что в тот же самый момент времени 𝑡 мы рассматриваем другое состояние ψδ(𝑡), определённое в области 𝑅δ. Пусть область 𝑅δ пространственно совпадает с 𝑅, но относится к более раннему моменту времени, сдвинутому в прошлое на интервал δ. Все устройства, необходимые для локализации системы в области 𝑅δ, совершенно тождественны тем, которые локализуют систему в области 𝑅, но начинают действовать на интервал времени Δ𝑡=δ раньше. Если лагранжиан 𝐿 явно зависит от времени, то на нем также скажется этот сдвиг, т.е. состояние ψδ, соответствующее 𝐿δ, будет таким же, как и состояние ψ, с той лишь разницей, что при написании 𝐿δ мы пользуемся в качестве времени переменной 𝑡+δ.
Зададим теперь вопрос: чем состояние ψδ отличается от состояния ψ? При любых измерениях вероятность пребывания системы в любой конкретной области 𝑅' зависит от того, какая из двух областей (𝑅 или 𝑅δ) была принята за исходную. Определим изменение амплитуды перехода ⟨χ|1|ψδ⟩ вызываемое сдвигом во времени. Этот сдвиг можно рассматривать как смещение, которое происходит благодаря уменьшению всех значений 𝑡𝑖, у которых 𝑖≤𝑘, на величину δ; если же 𝑖>𝑘, то все 𝑡𝑖 сохраняются.
Читателю, который заглянет несколько вперёд, может показаться, что мы намеренно создаём для себя трудности. Ясно, что все наши усилия в конце концов должны свестись к тому, чтобы перейти к пределу, устремив к нулю все отрезки нашего разбиения оси времени. Однако здесь следует указать наконец, что, во всяком случае, один из интервалов 𝑡𝑘+1-𝑡𝑘 имеет нижнюю границу и не может быть бесконечно уменьшаем. Эту трудность удаётся обойти, если предположить, что временно'й сдвиг δ сам должен быть функцией времени. Можно представить себе, что эта величина монотонно возрастает до момента 𝑡=𝑡𝑘, а потом монотонно убывает. Тогда, полагая вариацию δ равномерной, можно монотонно устремить к нулю все интервалы времени, включая и 𝑡𝑘+1-𝑡𝑘. Затем рассмотрим эффект первого порядка, перейдя к пределу при δ→0. Результат, полученный этим более строгим способом, оказывается в сущности тем же, что и в предыдущем примере.
Возвращаясь теперь к нашему рассмотрению эффекта, вызванного сдвигом времени, мы видим, что определённая соотношением (7.115) функция действия 𝑆[𝑥𝑖+1,𝑡𝑖+1;𝑥𝑖,𝑡𝑖] сохраняется до тех пор, пока моменты 𝑡𝑖+1 и 𝑡𝑖 изменяются на одну и ту же величину. С другой стороны, функция 𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘] переходит в 𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘-δ]. Более того, константа нормировки в интеграле по 𝑑𝑥𝑖 также изменится и будет иметь вид
𝐴
𝑖
=
⎡
⎢
⎣
2πℏ𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘+δ)
𝑚
⎤½
⎥
⎦
.
(7.118)
Для определения амплитуды вероятности перехода применим соотношение (7.2). Вспоминая, что интеграл по траекториям зависит как от функции действия 𝑆, так и от константы нормировки 𝐴 (обе эти величины изменяются при нашем сдвиге времени), можно изменение амплитуды перехода с точностью до первого порядка по δ записать в виде
⟨χ|1|ψ⟩
–
⟨χ|1|ψ
δ
⟩
=
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
∂𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘]
∂𝑡𝑖
+
+
ℏ
2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
𝑖δ
ℏ
.
(7.119)
Второй член в этом выражении соответствует изменению константы 𝐴. Функционал, отвечающий гамильтониану квантовой механики, определим как
𝐻
𝑖
=
∂𝑆[𝑥𝑘+1,𝑡𝑘+1;𝑥𝑘,𝑡𝑘]
∂𝑡𝑘
+
ℏ
2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)
.
(7.120)
Первый член в правой части последнего выражения совпадает с определением классического гамильтониана. Второй член необходим для того, чтобы в квантовомеханичёском случае величина 𝐻𝑘 оставалась конечной при стремлении интервала 𝑡𝑘+1-𝑡𝑘 к нулю. Этот член получается вследствие изменения константы нормировки 𝐴, обусловленного сдвигом времени δ.
Применяя полученный результат к частному случаю одномерного движения [см. выражение (7.116)], можно записать
𝐻
𝑘
=
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
𝑡𝑘+1-𝑡𝑘
⎫²
⎪
⎭
+
ℏ
2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)
+
𝑉(𝑥
𝑘+1
)
=
=
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
𝑡𝑘+1-𝑡𝑘
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
𝑡𝑘-𝑡𝑘-1
⎫
⎪
⎭
+
𝑉(𝑥
𝑘
)
.
(7.121)
Второе из этих соотношений получено с учётом равенства (7.54). Записав произведение скоростей в виде произведения их значений, относящихся к последовательным моментам, мы можем устранить член ℏ/[2𝑖(𝑡𝑘+1-𝑡𝑘)].
Полагая теперь, что 𝑡δ=𝑡-δ для всех 𝑡<𝑡𝑘, получаем соотношение
ψ(𝑡)
=
ψ(𝑡
δ
)
+δ
∂ψ
∂𝑡
=
ψ
δ
+δ
∂ψ
∂𝑡
,
(7.122)
связывающее между собой значения функции ψ, определённые в областях 𝑅 и 𝑅δ. Таким образом, последовательность соотношений между операторами, уравнением Шрёдингера и интегралами по траекториям может быть получена как комбинация выражений (7.119), (7.120) и (7.122):
δ
⟨χ|1|
∂ψ
∂𝑡
⟩
=
1
ℏ
δ⟨χ|
𝐻
𝑘
|ψ⟩
,
(7.123)
что снова приводит нас к уравнению Шрёдингера
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=
𝐻ψ
.
Для любых сколь угодно сложных функций действия можно найти выражение гамильтониана (т.е. функционал, соответствующий энергии), если рассмотреть изменения матричных элементов перехода ⟨χ|1|ψ⟩ с точностью до величин первого порядка по δ, когда все моменты, предшествующие моменту 𝑡, сдвинуты на величину Δ𝑡=-δ, и записать эти изменения как δ⟨χ|𝐻(𝑡)|ψ⟩.
Глава 8
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
Задача о гармоническом осцилляторе – это, вероятно, простейшая задача в квантовой механике. Мы вполне можем решить её, заметив, что ядро, описывающее движение гармонического осциллятора (см. задачу 3.8), равно
𝐾(𝑥
𝑏
,𝑇;𝑥
𝑎
,0)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
×
×exp
⎧
⎨
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ sin ω𝑇
[𝑥
2
𝑎
+𝑥
2
𝑏
)
cos ω𝑇
–
2𝑥
𝑎
𝑥
𝑏
]
⎫
⎬
⎭
.
(8.1)
Однако для полного рассмотрения этой задачи нам необходимо решить – точно или приближённо – все задачи, в которые так или иначе входят гармонические осцилляторы. В этой главе будет разобран ряд таких задач как об отдельных осцилляторах, так и о системах взаимодействующих гармонических осцилляторов. Можно было бы довести эту программу до конца, рассмотрев практически все виды классических задач на колебания: задачи о колебании пластинок, стержней и т. д., но таких систем слишком много, и мы рискуем потратить все наше время, так и не коснувшись квантовомеханических проблем. Поэтому займёмся рассмотрением лишь систем атомных размеров: например, проанализируем колебания молекулы CO2. Тут мы обнаружим, в частности, что потенциальная энергия взаимодействия между атомами углерода и кислорода не описывается квадратичной функцией. И все же для более низких энергетических состояний потенциал так близок к квадратичному, что рассмотрение, проведённое на основе модели гармонического осциллятора, послужит хорошим приближением для решения многих задач.
В многоатомной молекуле, которая во много раз сложнее одноатомной, энергия возбуждения будет уже не так велика, а перемещения атомов малы по сравнению с размерами самих молекул. В этом случае снова можно считать, что потенциальная энергия очень близка к квадратичной функции координат. Поэтому такая система будет приблизительно соответствовать набору связанных гармонических осцилляторов. Кристалл твёрдого тела можно, с одной стороны, рассматривать как многоатомную молекулу очень больших размеров; с другой стороны, его можно рассматривать так же, как некую совокупность взаимодействующих друг с другом гармонических осцилляторов.
В качестве ещё одного примера рассмотрим электромагнитное поле в ограниченном объёме. С классической точки зрения его можно представлять себе как набор стоячих волн, которые образуются при колебаниях поля с определёнными частотами. В квантовой механике каждая из таких волн задаёт квантовый осциллятор.
§ 1. Простой гармонический осциллятор
Решение уравнения Шрёдингера. В этом параграфе мы получим ряд соотношений, описывающих простой одномерный гармонический осциллятор. Начнём наше рассмотрение с уравнения Шрёдингера. В задаче 2.2 мы получили лагранжиан одномерного гармонического осциллятора в виде
𝐿
=
𝑚
2
(𝑥̇²-ω²𝑥²)
.
(8.2)
Соответствующий гамильтониан, который используется в дальнейшем рассмотрении, запишется как
𝐻
=
𝑝²
2𝑚
+
𝑚
2
ω²𝑥²
,
(8.3)
и можно написать волновое уравнение
-
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑡
=
𝐻ψ
=
⎧
⎪
⎩
𝑝²
2𝑚
+
𝑚
2
ω²𝑥²
⎫
⎪
⎭
ψ.
(8.4)
Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то переменные в волновом уравнении легко разделяются и мы получаем решение в виде стоячих волн для состояний с определёнными энергиями 𝐸𝑛. Часть решения, зависящая от времени, будет пропорциональна exp(𝑖𝐸𝑛𝑡/ℏ).
Вспомнив, что оператор импульса 𝑝 соответствует дифференцированию по 𝑥 (см. § 5 гл. 7), представим уравнение Шрёдингера для пространственной части волновой функции в виде
𝐻φ
𝑛
=
ℏ²
2𝑚
∂²φ𝑛
∂𝑥²
+
𝑚ω²𝑥²
2
φ
𝑛
=
𝐸
𝑛
φ
𝑛
.
(8.5)
Это уравнение легко решить; результат такого решения приводится во многих книгах по квантовой механике (например, [2]). Собственные значения энергии здесь равны
𝐸
𝑛
=
ℏω
⎧
⎪
⎩
𝑛+
1
2
⎫
⎪
⎭
,
(8.6)
где 𝑛 принимает целые значения 0, 1, 2, .... Собственные функции φ𝑛 имеют вид
φ
𝑛
=
(2
𝑛
𝑛!)
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
𝐻
𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑥
⎡
⎢
⎣
𝑚ω
ℏ
⎤½
⎥
⎦
⎫
⎪
⎭
𝑒
-𝑚ω𝑥2/2ℏ
,
(8.7)
где 𝐻𝑛 полиномы Эрмита
𝐻
0
(𝑦)
=1,
𝐻
1
(𝑦)
=2𝑦,
𝐻
2
(𝑦)
=4𝑦
2
–2,
. . . . . . . . . .
𝐻
𝑛
(𝑦)
=
(-1)
𝑛
𝑒
𝑦2
𝑑𝑛
𝑑𝑦𝑛
𝑒
-𝑦2
.
(8.8)
Эти полиномы легче всего вычисляются с помощью производящей функции
𝑒
-𝑡2+2𝑡𝑦
=
∞
∑
𝑛=0
𝐻
𝑛
(𝑦)
𝑡𝑛
𝑛!
.
(8.9)
Все эти результаты можно было бы получить и другим путём. Так, например, функции φ𝑛 мы нашли при решении дифференциального уравнения в частном случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Однако нам уже известно решение и для случая с временно'й зависимостью; отсюда можно получить и эти функции непосредственным образом. Было бы весьма поучительно провести такой вывод, с тем чтобы проиллюстрировать некоторые из формул, выведенных в предыдущих главах.
Решение, полученное из рассмотрения ядра. В задаче 3.8 мы получили ядро, описывающее движение осциллятора; с другой стороны, из уравнения (4.59) известно, что это ядро может быть разложено в ряд по экспонентам, зависящим от времени и умноженным на произведения собственных функций от энергии, т.е.
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2π𝑖ℏ sin ω𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖𝑚ω
2ℏ sin ω𝑇
[
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
cos ω𝑇
–
2𝑥
1
𝑥
2
]
⎫
⎬
⎭
=
=
∞
∑
𝑛=0
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑇
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
.
(8.10)
Используя соотношения
𝑖 sin ω𝑇
=
1
2
𝑒
𝑖ω𝑇
(1-𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
,
cos ω𝑇
=
1
2
𝑒
𝑖ω𝑇
(1+𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
,
(8.11)
левую часть равенства (8.10) можно записать как
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-(𝑖ω𝑇/2)
(1-𝑒
-2𝑖ω𝑇
)
½
×
×
exp
⎧
⎨
⎩
–
𝑚ω
2ℏ
⎡
⎢
⎣
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎧
⎪
⎩
1+𝑒2𝑖ω𝑇
1-𝑒2𝑖ω𝑇
⎫
⎪
⎭
–
4𝑥1𝑥2𝑒-𝑖ω𝑇
1-𝑒2𝑖ω𝑇
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
(8.12)
Ряд, имеющий вид правой части равенства (8.10), получится, если разложить выражение (8.12) в ряд по степеням функции exp(-𝑖ω𝑇). Так как первый коэффициент здесь равен exp(-𝑖ω𝑇/2), то все члены этого разложения будут иметь вид exp(-𝑖ω𝑇/2) exp(-𝑖𝑛ω𝑇/2), где 𝑛=0, 1, 2, …, а это означает, что уровни энергии определяются выражением
𝐸
𝑛
=
ℏω
⎧
⎪
⎩
𝑛+
1
2
⎫
⎪
⎭
,
(8.13)
Однако для того, чтобы найти волновые функции, необходимо выполнить разложение полностью. Проиллюстрируем этот метод решения на примере 𝑛=2. Разлагая левую часть равенства (8.10) до членов указанного порядка, получаем
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-(𝑖ω𝑇/2)
⎧
⎪
⎩
1+
1
2
𝑒
-2𝑖ω𝑇
+…
⎫
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
–
-
𝑚ω
ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
(
𝑒
-2𝑖ω𝑇
+…
)
+
2𝑚ω
ℏ
𝑥
1
𝑥
2
𝑒
-𝑖ω𝑇
+…
⎤
⎥
⎦
(8.14)
или
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎫
⎪
⎭
𝑒
-𝑖ω𝑇/2
⎧
⎪
⎩
1+
1
2
𝑒
-2𝑖ω𝑇
⎫
⎪
⎭
×
×
⎡
⎢
⎣
1+
2𝑚ω
ℏ
𝑥
1
𝑥
2
𝑒
-𝑖ω𝑇
+
4𝑚²ω²
2ℏ²
𝑥
2
1
𝑥
2
2
𝑒
-2𝑖ω𝑇
–
-
𝑚ω
ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
𝑒
-2𝑖ω𝑇
…
⎤
⎥
⎦
.
(8.15)
Теперь мы можем выделить коэффициент при члене низшего порядка. Он равен
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎫
⎪
⎭
𝑒
-(𝑖ω𝑇/2)
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸0𝑇
φ
0
(𝑥
2
)
φ
*
0
(𝑥
1
)
(8.16)
Это означает, что 𝐸0=ℏω/2 и
φ
0
(𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
𝑒
-(𝑚ω𝑥²/2ℏ)
.
(8.17)
Мы выбрали в качестве φ0 действительную функцию. Можно было бы выбрать и комплексную функцию, включив множитель 𝑒𝑖δ (где δ константа), однако это не даст ничего нового для физической интерпретации результата.
Член следующего порядка в разложении равен
𝑒
-𝑖ω𝑇/2
𝑒
-𝑖ω𝑇
𝑚ω
πℏ
exp
⎧
⎪
⎩
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎫
⎪
⎭
2𝑚ω
ℏ
𝑥
1
𝑥
2
=
=
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑇
φ
1
(𝑥
2
)
φ
*
1
(𝑥
1
)
.
(8.18)
Отсюда следует, что 𝐸1=3/2ωℏ и
φ
1
(𝑥)
=
2𝑚ω
ℏ
𝑥φ
0
(𝑥)
.
(8.19)
Следующий член соответствует энергии 𝐸2=5/2ωℏ. Его часть, зависящая от 𝑥1 и 𝑥2, равна
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫½
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
2𝑚²ω²
ℏ²
𝑥
2
1
𝑥
2
2
–
𝑚ω
ℏ
(𝑥
2
1
+𝑥
2
2
)
⎤
⎥
⎦
;
(8.20)
это не что иное, как произведение функций φ2(𝑥2) φ*2(𝑥1). Так как выражение в скобках может быть переписано как
1
2
⎧
⎪
⎩
2𝑚ω
ℏ
𝑥
2
1
–1
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
2𝑚ω
ℏ
𝑥
2
2
–1
⎫
⎪
⎭
,
(8.21)
то мы получим функцию φ2 в виде
φ
2
(𝑥)
=
1
√2
⎧
⎪
⎩
2𝑚ω
ℏ
𝑥²
–1
⎫
⎪
⎭
φ
0
(𝑥)
.
(8.22)
Результаты эти можно сравнить с результатами в соотношениях (8.7) и (8.8), полученными из решения волнового уравнения.
В принципе таким способом можно найти все волновые функции. Однако здесь мы встречаемся с трудной алгебраической задачей отыскания общего вида функций φ𝑛 непосредственно из разложения. Другой путь, обходящий эту трудность, показан в следующей задаче.
Задача 8.1. Заметим, что амплитуда перехода из любого состояния 𝑓(𝑥) в другое состояние 𝑔(𝑥) равна амплитуде перехода ⟨𝑔|1|𝑓⟩, как это определено в соотношении (7.1).
Пусть 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) могут быть разложены в ряд по ортогональным функциям φ𝑛(𝑥) – решениям волнового уравнения, связанного с ядром 𝐾(2,1), подобно тому как это делалось в § 2 гл. 4. Таким образом,
𝑓(𝑥)
=
∑
𝑓
𝑛
φ
𝑛
(𝑥)
,
𝑔(𝑥)
=
∑
𝑔
𝑛
φ
𝑛
(𝑥)
.
(8.23)
Используя коэффициенты 𝑓𝑛 и 𝑔𝑛 и соотношение (4.59), покажите, что амплитуду перехода можно представить в виде
∫
∫
𝑔*(𝑥
2
)
𝐾(𝑥
2
,𝑇;𝑥
1
,0)
𝑓(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
=
∑
𝑔
*
𝑛
𝑓
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑇
.
(8.24)
Пусть теперь мы выбрали две такие функции 𝑓 и 𝑔 что для них разложение в правой части соотношения (8.24) является достаточно простым. Тогда после вычисления функций 𝑓𝑛 можно получить некоторое представление о волновых функциях φ𝑛 из вида разложений (8.23). Предположим, что функции 𝑓 и 𝑔 мы выбрали следующим образом:
𝑓(𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥-𝑎)²
⎤
⎥
⎦
,
(8.25)
𝑔(𝑥)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
πℏ
⎫1/4
⎪
⎭
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑚ω
2ℏ
(𝑥-𝑏)²
⎤
⎥
⎦
.
(8.26)
Эти функции представляют собой гауссовы распределения с центрами соответственно в точках 𝑎 и 𝑏. Обозначим их как 𝑓𝑛=𝑓𝑛(𝑎) и 𝑔𝑛=𝑓𝑛(𝑏). Определим амплитуду перехода ⟨𝑓|1|𝑔⟩, где 𝑓 и 𝑔 заданы соответственно выражениями (8.25) и (8.26), а ядро совпадает с ядром для случая гармонического осциллятора из выражения (8.1). Интеграл в формуле (8.24) преобразуем так, чтобы получить
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖ω𝑇
2
–
𝑚ω
4ℏ
(𝑎²+𝑏²-2𝑎𝑏)
𝑒
-𝑖ω𝑇
⎤
⎥
⎦
=
=
∑
𝑛
𝑓
𝑛
(𝑎)
𝑓
*
𝑛
(𝑏)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑇
.
(8.27)
Исходя из этого результата, покажите, что 𝐸𝑛=ℏω(𝑛+½) и
𝑓
𝑛
(𝑎)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚ω
2ℏ
⎫𝑛/2
⎪
⎭
𝑎𝑛
√𝑛!
exp
⎧
⎪
⎩
𝑚ω𝑎2
4ℏ
⎫
⎪
⎭
.
(8.28)
Подставляя полученный результат в формулу (8.24), напишите для φ𝑛 выражение, которое следует из соотношения (8.7), в предположении, что функции 𝐻𝑛(𝑥) нам неизвестны. Найдите для них отсюда производящую функцию (8.9).
§ 2. Многоатомная молекула
В предыдущем параграфе мы получили волновые функции и энергетические уровни, описывающие простой гармонический осциллятор. Исследование системы взаимодействующих осцилляторов начнём с изучения вопроса о многоатомных молекулах. Определим сначала координаты, описывающие положение атомов в молекуле. Положение каждого атома будем задавать тремя ортогональными координатами: 𝑥𝑎, 𝑦𝑎 и 𝑧𝑎, которые отсчитываются от его положения равновесия. Если масса атома равна 𝑚𝑎, то кинетическая энергия всей молекулы определяется выражением
∑
𝑎
1
2
𝑚
𝑎
(
𝑥̇
2
𝑎
+
𝑦̇
2
𝑎
+
𝑧̇
2
𝑎
),
(8.29)
где суммирование производится по всем атомам, входящим в молекулы.
При общем рассмотрении нам удобнее не пользоваться векторными обозначениями, а применить другой метод. Предположим, что молекула содержит 𝑁 атомов. Тогда 𝑛=3𝑁 ортогональных координат можно определить следующим образом:
𝑞
1
=√
𝑚
𝑎
𝑥
𝑎
,
𝑞
2
=√
𝑚
𝑎
𝑦
𝑎
,
𝑞
3
=√
𝑚
𝑎
𝑧
𝑎
,
𝑞
4
=√
𝑚
𝑏
𝑥
𝑏
,
𝑞
5
=√
𝑚
𝑏
𝑦
𝑏
… .
(8.30)
С помощью этих новых координат кинетическая энергия запишется как
кинетическая энергия
=
𝑛
∑
𝑗=1
1
2
𝑞̇
2
𝑗
.
(8.31)
Потенциальная энергия 𝑉(𝑞1,𝑞1,…) является функцией всех смещений 𝑞𝑗. Разложим функцию 𝑉 в ряд Тейлора около положения равновесия 𝑞𝑗=0:
𝑉(𝑞
1
,𝑞
1
,…,𝑞
𝑛
)
=
𝑉(0,0,…,0)
+
𝑛
∑
𝑗=1
𝑞
𝑗
𝑉
𝑗
(0,0,…,0)
+
+
1
2
𝑛
∑
𝑗=1
𝑛
∑
𝑘=1
𝑞
𝑗
𝑞
𝑘
𝑉
𝑗𝑘
(0,0,…,0)
+…,
(8.32)
где
𝑉
𝑗
=
∂𝑉
∂𝑞𝑗
,
𝑉
𝑗𝑘
=
∂²𝑉
∂𝑞𝑗∂𝑞𝑘
.
(8.33)
Первый член здесь выражает потенциальную энергию в положении равновесия; эта величина не зависит от 𝑞. Можно положить её равной нулю и отсчитывать все другие значения потенциальной энергии в соответствии с этим соглашением. Таким образом, первый член в разложении может быть отброшен. Коэффициент 𝑉𝑗(0,0,…,0) появляется также и в следующем члене, который соответствует градиенту потенциала или силе, связанной со смещением 𝑞𝑗 и отнесённой к точке равновесия. Этот коэффициент, следовательно, равен нулю, и соответствующий член разложения тоже может быть опущен. Другими словами, поскольку точка равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии, можно отбросить члены первого порядка, связанные со смещениями по отношению к этой точке.
Коэффициенты 𝑉𝑗𝑘(0,0,…,0), которые появляются в следующем члене, включают в себя систему постоянных, зависящих от структуры молекулы. Обозначим эти постоянные через 𝑣𝑗𝑘 Теперь допустим, что мы пренебрегаем всеми членами более высоких порядков, т.е. будем приближённо считать, что потенциальная энергия содержит лишь квадратичную зависимость от координат. Даже в тех случаях, когда потенциал не является квадратичной функцией координат, наше приближение должно быть достаточно хорошим при малых смещениях; это означает, что в нашем приближении мы представляем рассматриваемую молекулу как систему гармонических осцилляторов.
Комбинируя соотношения (8.31) и (8.32), можно записать лагранжиан в виде
𝐿
=
1
2
𝑛
∑
𝑗=1
𝑞̇
2
1
–
1
2
𝑛
∑
𝑘=1
𝑛
∑
𝑗=1
𝑞
𝑘
𝑞
𝑗
𝑣
𝑗𝑘
.
(8.34)
Подставим этот лагранжиан в интеграл по траекториям, который определяет ядро, описывающее движение атомов в молекуле:
𝐾
=
∫∫
…
∫
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
2ℏ
⎡
⎢
⎣
∫
𝑛
∑
𝑗=1
𝑞̇
2
𝑗
(𝑡)
𝑑𝑡
–
-
𝑛
∑
𝑗=1
∑
𝑘=1
𝑣
𝑗𝑘
∫
𝑞
𝑗
(𝑡)
𝑞
𝑘
(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
𝒟𝑞
1
(𝑡)
𝒟𝑞
2
(𝑡)
…
𝒟𝑞
𝑛
(𝑡)
.
(8.35)
Все интегралы по траекториям являются здесь гауссовыми и, следовательно, могут быть вычислены методами, рассмотренными в § 5 гл. 3. Чтобы выполнить эти расчёты, нам нужно найти траектории 𝑞𝑗(𝑡), для которых действие 𝑆 имеет экстремум. Вариация по всем значениям координат 𝑞𝑗 даёт нам эти траектории как решения уравнений
𝑞̈
𝑗
=-
𝑛
∑
𝑘=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑞
𝑘
.
(8.36)
Из этих уравнений следует, что сила, действующая на атом по какому-то конкретному направлению, определяется линейной комбинацией смещений всех атомов.
Такие системы взаимодействующих осцилляторов ранее детально рассматривались с классической точки зрения. Поскольку во многих задачах квантовой механики при вычислении ядер мы используем классическую функцию действия в качестве первого приближения, для дальнейшего рассмотрения полезно взять все возможное из классической модели. Один из важных результатов классического анализа заключается в следующем: деформации молекул, таким образом, будут синусоидально изменяться. Характер искажений в этом случае остаётся неизменным. При некоторых способах деформации молекулы могут возникать собственные колебания простого синусоидального типа. Различные виды таких деформаций будут, вообще говоря, вызывать осцилляции с различными частотами; каждое такое собственное колебание определённой частоты мы назовём модой 1). Некоторые из них будут иметь нулевую частоту, а для отдельных групп мод частоты могут совпадать. Отметим важный факт: всякое малое изменение положений атомов молекулы можно выразить линейной комбинацией подобных мод.
1) Термин «мода» (mode), как синоним собственного нормального колебания некоторой связанной системы с большим числом степеней свободы, часто встречается в зарубежной физической литературе, а последнее время проникает и в издания на русском языке. Будучи несколько жаргонным, он вместе с тем обладает преимуществом краткости. Поскольку авторы настоя щей книги широко пользуются этим термином, он сохранён и в переводе.– Прим. ред.
Фиг. 8.1. Нормальные моды молекулы CO2.
Знак ⊙ означает движение из плоскости рисунка, знак ⊗ означает движение за плоскость; моды от первой до четвёртой периодические, моды с пятой по седьмую сдвиг всей системы; моды восемь и девять – вращение.
Если в молекуле имеется 𝑁 атомов, то она обладает 𝑛=3𝑁 различными модами движения. Таким образом, например, молекула CO2 имеет девять мод, как это показано на фиг. 8.1, где движение каждого атома указано стрелкой. В этом случае только первая и четвёртая моды являются периодическими (т.е. имеют отличную от нуля частоту). На рисунке указано направление движения в первую половину цикла; во вторую половину цикла все стрелки будут обращены в противоположную сторону.
Получим теперь математическое описание мод. Конечно, это рассмотрение относится более к классической физике, нежели к квантовой механике.
Рассмотрим некоторую частную моду частот ω. В этом случае по всем координатам 𝑞𝑗 происходят колебания с одинаковой частотой. Можно выбрать такую систему начальных смещений 𝑎𝑗 (свою для каждой моды), что при нулевых начальных скоростях изменение любой координаты со временем может быть записано в виде
𝑞
𝑗
=
𝑎
𝑗
cos ω𝑡
.
(8.37)
Подставив это соотношение в уравнение (8.36), получим
ω²
𝑎
𝑗
=
𝑛
∑
𝑘=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑎
𝑘
.
(8.38)
Это система из 𝑛 уравнений для 𝑛 неизвестных действительных величин 𝑎𝑗. Поскольку эта система однородна, она имеет решение только тогда, когда детерминант из коэффициентов системы равен нулю. Следовательно, необходимо потребовать
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
(ω²-𝑣
11
)
–𝑣
21
…
–𝑣
𝑛1
-𝑣
12
(ω²-𝑣
22
)
…
…
…
…
…
…
-𝑣
1𝑛
…
…
(ω²-𝑣
𝑛𝑛
)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=0 .
(8.39)
Это уравнение имеет 𝑛 решений для ω². Для каждого решения, например для ω²α, можно найти значения 𝑎𝑗 из системы уравнений (8.38); обозначим их как 𝑎𝑗α. В силу однородности системы её решения определяются лишь с точностью до произвольного общего множителя. Выберем этот множитель так, чтобы
𝑛
∑
𝑘=1
𝑎
2
𝑗α
=1.
(8.40)
Очевидно, этот процесс можно повторить для всех 𝑛 мод, т.е. для α=1, 2, …, 𝑛. Таким образом определим 𝑛 величин ω²α и для каждого значения α получим 𝑛 констант 𝑎𝑗α. Любое возможное движение атомов системы представляется линейной комбинацией этих мод. Следовательно, величину смещения в общем случае можно записать как
𝑞
𝑗
=
𝑛
∑
α=1
𝐶
α
𝑎
𝑗α
cos(ω
α
𝑡+δ
α
)
.
(8.41)
Постоянная амплитуда 𝐶α и постоянная фаза δα зависят здесь от начальных условий. То, что выражение (8.41) действительно описывает движение в нашей системе, легко проверить, подставив его в уравнение (8.36).
Удобно ввести в выражение (8.41) комплексные обозначения:
𝑞
𝑗
=
𝑛
∑
α=1
𝐶
α
𝑎
𝑗α
𝑒
𝑖ωα𝑡
𝑒
𝑖δα
=
𝑛
∑
α=1
𝑐
α
𝑎
𝑗α
𝑒
𝑖ωα𝑡
.
(8.42)
Физический смысл имеет только действительная часть этого выражения. Комплексные постоянные 𝑐α зависят от начальных условий и могут быть определены, например, так: если начальные смещения и скорости равны соответственно 𝑞𝑗(0) и 𝑞̇𝑗(0), то
𝑞
𝑗
(0)
=
𝖱𝖾
𝑛
∑
α=1
𝑐
α
𝑎
𝑗α
=
𝑛
∑
α=1
(
𝖱𝖾
𝑐
α
)
𝑎
𝑗α
,
𝑞̇
𝑗
(0)
𝖱𝖾
𝑛
∑
α=1
𝑖
𝑐
α
𝑎
𝑗α
ω
α
=
𝑛
∑
α=1
[-(
𝖨𝗆
𝑐
α
)
ω
α
𝑎
𝑗α
].
(8.43)
Поскольку все константы 𝑎𝑗α являются действительными величинами, эти пары уравнений определяют как действительную, так и мнимую части 𝑐α.
Систему уравнений (8.43) очень просто решить, если использовать одно важное свойство, вытекающее из (8.48), которое мы сейчас и докажем. При любом значении α постоянные 𝑎𝑗α, удовлетворяют соотношению
ω
2
α
𝑎
𝑗α
=
𝑛
∑
𝑘=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑎
𝑘α
.
(8.44)
Если это соотношение умножить на 𝑎𝑗β и просуммировать по всем значениям 𝑗, то получим
ω
2
α
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
𝑛
∑
𝑘=1
𝑛
∑
𝑗=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑎
𝑘α
𝑎
𝑗β
.
(8.45)
Поскольку коэффициенты 𝑣𝑗𝑘 симметричны, левая часть уравнения (8.45) не изменится, если индексы α и β поменять местами. Это означает, что
(
ω
2
α
–
ω
2
β
)
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
0.
(8.46)
Таким образом, если частоты ωα и ωβ различны, то должно выполняться равенство
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
0.
(8.47)
Если же две частоты в (8.46) совпадают, то константы 𝑎𝑗α остаются неопределёнными, однако в этом случае мы получаем свободу выбора и вправе сделать так, чтобы уравнение (8.47) удовлетворялось для α≠β. Таким образом, используя нормировку (8.40), можно записать
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
δ
αβ
,
(8.48)
где δαβ – символ Кронекера.
Теперь легко найти действительную часть 𝑐α из уравнений (8.43). Умножим первое из них на 𝑎𝑗β и просуммируем по всем значениям α; тогда вся правая часть исчезает, за исключением члена с α=β, который даёт
𝖱𝖾
𝑐
β
=
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗β
𝑞
𝑗
(0)
.
(8.49)
Подобным же образом можно показать, что
𝖨𝗆
𝑐
β
=
1
ωβ
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗β
𝑞̇
𝑗
(0)
.
(8.50)
Так может быть составлено полное описание любого произвольного движения в молекуле, если нам известны нормальные моды системы и начальные условия этого движения.
§ 3. Нормальные координаты
Можно исследовать движения в системе и другим способом, отличным от рассмотренного. Выберем новую совокупность координат 𝑄α(𝑡), которые будут некоторой линейной комбинацией старых координат:
𝑄
α
(𝑡)
=
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑞
𝑗
(𝑡)
,
(8.51)
и наоборот, старые координаты можно выразить через новые:
𝑞
𝑗
(𝑡)
=
𝑛
∑
α=1
𝑎
𝑗α
𝑄
α
(𝑡)
.
(8.52)
С учётом равенства (8.48) можно записать кинетическую энергию системы как
кинетическая энергия
=
1
2
𝑛
∑
𝑗=1
𝑞̇
2
𝑗
=
=
1
2
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑗β
𝑄̇
α
𝑄̇
β
=
1
2
𝑛
∑
α=1
𝑄̇
2
α
.
(8.53)
Потенциальная энергия системы
𝑉
=
1
2
𝑛
∑
𝑗=1
𝑛
∑
𝑘=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑞
𝑗
𝑞
𝑘
=
1
2
𝑛
∑
𝑗=1
𝑛
∑
𝑘=1
𝑛
∑
α=1
𝑛
∑
β=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑘β
𝑄
α
𝑄
β
.
(8.54)
Из уравнения (8.38) имеем
𝑛
∑
𝑘=1
𝑣
𝑗𝑘
𝑎
𝑘β
=
ω
2
β
𝑎
𝑗β
;
(8.55)
это означает, что если учесть равенство (8.48), потенциальная энергия может быть записана как
𝑉
=
1
2
ω
2
β
𝑄
β
𝑄
α
=
𝑛
∑
𝑗=1
𝑎
𝑗α
𝑎
𝑗β
=
1
2
𝑛
∑
α=1
ω
2
α
𝑄
2
α
.
(8.56)
Лагранжиан (8.34) тоже можно выразить через новые переменные:
𝐿
=
1
2
𝑛
∑
α=1
(
𝑄̇
2
α
–
ω
2
α
𝑄
2
α
).
(8.57)
Представленный в такой форме лагранжиан описывает систему гармонических осцилляторов, которые уже не взаимодействуют. Это означает, что переменные в последнем выражении разделяются. Каждый осциллятор характеризуется единичной массой и некоторой собственной частотой ωα: уравнение движения для него можно записать в виде
