Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 25 страниц)

Существует много важных явлений статистического характера, для описания которых классическое приближение становится неприменимым. Трудности, вызываемые большим числом аргументов интеграции, усугубляются здесь ещё и сложностью квантовомеханических понятий.

Строго говоря, выражение (10.48) открывает для нас несколько больше возможностей по сравнению с классической статистикой. Доказательством этому служит появление постоянной ℏ в коэффициенте перед интегралом. В классической механике функцию распределения можно было получить лишь с точностью до постоянного множителя; поэтому и логарифм её определялся только с точностью до произвольной аддитивной константы. Поэтому в выражении для свободной энергии появлялся член, пропорциональный температуре, а в энтропии – аддитивная константа, называемая иногда химическим потенциалом. Её удалось вычислить лишь после того, как появилась квантовая механика.

§ 3. Квантовомеханические эффекты

Как мы уже упоминали, существуют случаи, когда классическое приближение не является достаточно точным. При этом необходимо учитывать изменение потенциала, возникающее в результате движения частицы вдоль «траектории». В этом параграфе мы рассмотрим подобные влияния в первом приближении теории возмущений.

Вместо того, чтобы в выражении для матрицы плотности (10.43) заменять потенциал постоянной величиной 𝑉(𝑥₁), можно было бы попробовать разложить его в ряд Тейлора в точке 𝑥₁. Однако проще и точнее было бы проделать это разложение в окрестности средней точки траектории, определяемой равенством

𝑥

=

1

βℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥(𝑢)

𝑑𝑢

,

(10.50)

которая существует для каждой траектории. По этим средним точкам можно интегрировать точно так же, как это делалось в выражении (10.48) по начальным точкам 𝑥₁. При этом функция распределения принимает вид

𝑍

=

∫

𝑑

𝑥

_𝑥1

∫

^𝑥₁

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

1

ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

+

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑢)]

𝑑𝑢

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.51)

Здесь для интеграции выбраны траектории, удовлетворяющие двум условиям: 1) 𝑥, определяемое равенством (10.50), фиксировано и 2) начала и концы траекторий совпадают (это означает, что интеграл включает также и интегрирование по всем точкам 𝑥₁).

Разлагая потенциал 𝑉(𝑥) в ряд Тейлора в точке 𝑥, получаем

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑢)]

𝑑𝑢

=

βℏ

𝑉(

𝑥

)

+

_βℏ

∫

⁰

[𝑥(𝑢)-

𝑥

]

𝑉'(

𝑥

)

𝑑𝑢

+

+

1

2

[𝑥(𝑢)-

𝑥

]²

𝑉''(

𝑥

)

𝑑𝑢

.

(10.52)

В силу равенства (10.50) второй член в правой части обращается в нуль. Таким образом, мы пришли к выражению, в котором первая отличная от нуля поправка будет поправкой второго порядка. Применяя это разложение и отбрасывая все старшие члены (третьего и высших порядков), получаем для функции распределения

𝑍

≈

∫

𝑒

^{-β𝑉(𝑥)}

𝑑

𝑥

_𝑥1

∫

^𝑥₁

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

_βℏ

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

𝑥̇²

+

+

[𝑥(𝑢)-

𝑥

]²

𝑉''(

𝑥

)

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑢

ℏ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.53)

Интеграл по тракториям в этом выражении отличается от предыдущих тем, что на траектории интегрирования наложено ограничение, выражаемое равенством (10.50). Для дальнейшего перепишем это равенство в виде

_βℏ

∫

⁰

(𝑥-

𝑥

)

𝑑𝑢

=0

.

Подставляя в качестве координаты траектории 𝑦=𝑥-𝑥, запишем это так:

_βℏ

∫

⁰

𝑦

𝑑𝑢

=0

.

а сам интеграл преобразуем к виду

_𝑥1-𝑥

∫

^𝑥₁-𝑥

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

–

_βℏ

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑦̇²

+

1

2

𝑦²

𝑉''(0)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑢

ℏ

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑦(𝑢)

.

(10.54)

Подынтегральная функция в этом выражении та же, что и в случае гармонического осциллятора, если его частота определяется соотношением ω²=𝑉''(0)/𝑚.

Теперь применим к этому интегралу ограничение на траектории следующим образом. Умножаем весь интеграл по траекториям на δ-функции

δ

⎧

⎪

⎩

_βℏ

∫

⁰

𝑦𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

.

Для того чтобы оперировать с δ-функцией под знаком интеграла, произведём над ней преобразование Фурье

δ(x)

=

_∞

∫

^-∞

[exp(𝑖𝑘𝑥)]

𝑑𝑘

2π

и запишем

_∞

∫

^-∞

𝑑𝑘

2π

_𝑥1-𝑥

∫

^𝑥₁-𝑥

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

1

ℏ

_βℏ

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

𝑚

2

𝑦̇²

+

1

2

𝑉''

𝑦²

+

𝑖𝑘𝑦

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑢

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑦(𝑢)

.

(10.55)

Интеграл, представленный в такой форме, уже содержит в себе ограничения, накладываемые равенством (10.50), и мы можем прямо перейти к стандартным методам его вычисления, чтобы получить искомое решение. Отметим, что наш интеграл имеет тот же самый вид, что и в случае гармонического осциллятора, если 𝑚 и 𝑉'' считать мнимыми. Мы интересуемся лишь случаем малых 𝑉'' и в любой момент можем перейти к приближению, содержащему лишь члены первого порядка.

Задача 10.2. Вычислите интеграл (10.55), воспользовавшись методами гл. 3 и, в частности, соотношением (3.66). Напомним, что все траектории в этой задаче имеют одинаковые начальные и конечные точки и для завершения вычисления интеграла необходимо проинтегрировать по всем этим точкам, а затем по всем значениям 𝑘, после чего решение с точностью до первого порядка по 𝑉'' имеет вид

const

⎡

⎢

⎣

1-

β²ℏ²

24𝑚

𝑉''

(

𝑥

)

⎤

⎥

⎦

.

(10.56)

Функцию распределения, которая соответствует решению задачи 10.2, лучше всего записать так (тоже с точностью до членов первого порядка по 𝑉''):

𝑍

=

⎧

⎪

⎩

𝑚𝓀𝑇

2πℏ²

⎫½

⎪

⎭

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

–β

⎡

⎢

⎣

𝑉(

𝑥

)

+

βℏ²

24𝑚

𝑉''(

𝑥

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝑑

𝑥

.

(10.57)

Неизвестная константа определяется здесь простым сравнением с результатом классического рассмотрения (10.48). Мы видим, что функция распределения имеет тот же самый вид, что и функция, вычисленная в чисто классических предположениях. Разница состоит лишь в том, что теперь к потенциалу добавлена поправка (βℏ²/24𝑚)𝑉''(𝑥), которая по своей природе является, очевидно, квантовомеханической, как это можно понять из появления в ней постоянной Планка ℏ.

Задача 10.3. Покажите, что поправка к потенциалу в случае трёхмерного движения нескольких частиц (которые мы будем различать по индексам; 𝑚_𝑖 – масса 𝑖-й частицы) равна

βℏ²

24𝑚

 

∑

^𝑖

1

𝑚_𝑖

∇

2

𝑖

𝑉.

(10.58)

На практике результаты этого вычисления оказываются не очень полезными. В большинстве задач (например, при рассмотрении газа сталкивающихся молекул) потенциал растёт довольно быстро, так что на малых расстояниях происходит сильное отталкивание и вторая производная очень велика. В тех случаях, когда это не так, полученная формула может оказаться полезной. Её преимущество состоит в том, что она допускает обобщение на члены более высокой степени точности.

Задача 10.4. Покажите, что поправка к функции распределения, учитывающая четвёртую степень ℏ, содержит множитель

⎧

⎨

⎩

1-

β²ℏ²

24𝑚

𝑉''

(

𝑥

)

+

7β⁴ℏ⁴

8×720𝑚²

[𝑉''(

𝑥

)]²

–

β³ℏ³

24×48𝑚²

𝑉''''

(

𝑥

)

+

…

⎫

⎬

⎭

.

Мы уже видели, что для описания квантовомеханических аффектов можно вычислить функцию распределения по классической формуле (10.48), подставив вместо истинного потенциала 𝑉(𝑥) модифицированное выражение 𝑉+(βℏ²/24𝑚)𝑉''. Это обстоятельство наводит на мысль попытаться пойти дальше и отыскать некоторый эффективный потенциал 𝑈(𝑥), после подстановки которого вместо потенциала 𝑉 классическое выражение (10.48) стало бы ещё более точным приближением к истинной квантовомеханической функции распределения. Будем исходить из точного выражения

𝑍

=

∫

{

exp[-β𝑉(

𝑥

)]

𝑑

𝑥

}

∫

exp

⎧

⎪

⎩

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

–

-

1

ℏ

_βℏ

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑢)]

–

𝑉[

𝑥

]

𝑑𝑢

}

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.59)

и рассмотрим интеграл по тракториям как среднее по траекториям 𝑥(𝑢) от функции 𝑒^𝑓, где

𝑓

=-

_βℏ

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑢)]

–

𝑉[

𝑥

]

}

𝑑𝑢

ℏ

(10.60)

и усреднение производится с весовой функцией exp[-(𝑚/2ℏ)∫𝑥̇²𝑑𝑢] Заменив здесь среднее от экспоненты на экспоненту от среднего

⟨𝑒

^𝑓

⟩

→

𝑒

^⟨𝑓⟩

,

(10.61)

мы тем самым внесли бы погрешность второго порядка по 𝑓, или, точнее, порядка разности между ⟨𝑓⟩² и ⟨𝑓²⟩. В гл. 11 мы увидим, что можно определить знак этой погрешности (левая часть окажется больше правой).

Найдём среднее значение функции 𝑓 для каждого 𝑥:

⟨𝑓⟩

=

1

ℏ

∫

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

_βℏ

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑡)]

–

𝑉[

𝑥

]

}

𝑑𝑡

𝒟𝑥(𝑢)

(10.62)

в предположении, что начальная и конечная точки совпадают, а сама траектория соответствует ограничению, накладываемому равенством (10.50).

Для вычисления этого выражения рассмотрим несколько отличный, но связанный с ним интеграл

𝐼(

𝑥

)

=

∬

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑦̇²

𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

{

𝑉[

𝑥

+𝑦(𝑡)]

–

𝑉[

𝑥

]

}

𝒟𝑦(𝑢)

𝑑𝑌

,

(10.63)

где на траектории 𝑦(𝑢) накладывается ограничение

𝑦(0)

=

𝑦(βℏ)

=

𝑌;

_βℏ

∫

⁰

𝑦(𝑢)

𝑑𝑢

=0.

(10.64)

Фиг. 10.1 Периодичность траекторий.

Все траектории, которые в момент 𝑡=βℏ возвращаются в исходную точку, соответствующую моменту 𝑡=0, можно рассматривать как отрезки длины βℏ периодических траекторий, период которых равен βℏ.

Оказывается, что интеграл 𝐼(𝑥) не зависит от 𝑡. Убедиться в этом можно при помощи следующего рассуждения. Предположим, что каждая траектория в этом интеграле не является конечной, а представляет собой, как показано на фиг. 10.1, отрезок длины βℏ периодической траектории, период которой тоже равен βℏ. Из всего семейства таких траекторий рассмотрим две: 𝑦(𝑡) и 𝑦₁(𝑡)=𝑦(𝑡₁+𝑡), как это показано на фиг. 10.2. Точка 𝑦(𝑡₁) на первой траектории, отвечающая моменту 𝑡=𝑡₁ на второй траектории соответствует моменту 𝑡=0, т.е. 𝑦₁(0)=𝑦(𝑡₁). Кроме того, для любого другого момента 𝑡_𝑖 в этом семействе отыщется аналогичная функция 𝑦_𝑖(𝑡), для которой 𝑦_𝑖(0)=𝑦(𝑡_𝑖), и все такие траектории дадут одинаковый вклад в интеграл

_βℏ

∫

⁰

𝑦²

𝑑𝑢

.

Все эти рассуждения применимы, конечно, к каждой траектории, учитываемой в интеграле (10.63). Поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно положить в интеграле 𝑡=0, а это равносильно утверждению, что данный интеграл не зависит от переменной 𝑡.

Фиг. 10.2. Выбор начального момента.

Предположим, что одна из «периодических» траекторий 𝑦(𝑡), показанных на фиг. 10.1, имеет при 𝑡=𝑡₁ значение 𝑦(𝑡₁). Тогда совокупность всех «периодических» траекторий должна содержать эту же траекторию, сдвинутую влево на расстояние 𝑡₁, [т.е. 𝑦(𝑡+𝑡₁)] и принимающую при 𝑡=𝑡₁, то же значение, что и в момент 𝑡=0. Поэтому интеграл, усреднённый по всем таким траекториям, не должен зависеть от выбора начального момента 𝑡=0.

Задача 10.5. Используя метод, кратко описанный в задаче 10.2, покажите, что величины ⟨𝑓⟩ и 𝐼(𝑥) связаны соотношением

𝐼(

𝑥

)

=

⎧

⎪

⎩

12𝑚

2πβℏ²

⎫½

⎪

⎭

_∞

∫

^-∞

[𝑉(

𝑥

+𝑌)-𝑉(

𝑥

)]

𝑒

^{-6𝑌²𝑚/βℏ²}

𝑑𝑌

=

⟨𝑓⟩

β

.

(10.65)

Обозначим нашу приближённую функцию распределения через 𝑍', а связанную с ней свободную энергию Гельмгольца через 𝐹', так что 𝑍'=𝑒^-β𝐹'. Тогда, применяя результаты задачи 10.5 и соотношение (10.61), получаем

𝑍'

=

∫

(exp{

–β[𝑉(

𝑥

)+𝐼(

𝑥

)]

})

𝑑

𝑥

∫

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

𝑥̇²

𝑑𝑢

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑢)

.

(10.66)

Входящий в это выражение интеграл по траекториям уже вычислялся раньше; он имеет вид (10.46). Таким образом, можно записать

𝑒

^-β𝐹'

=

⎧

⎪

⎩

𝑚𝓀𝑇

2πℏ²

⎫½

⎪

⎭

∫

𝑒

^{-β𝑈(𝑥)}

𝑑

𝑥

,

(10.67)

где

𝑈(

𝑥

)

=

_∞

∫

^-∞

𝑉(

𝑥

+𝑦)

𝑒

^{-6𝑌²𝑚/βℏ²}

𝑑𝑦

⎧

⎪

⎩

12𝑚

2πβℏ²

⎫½

⎪

⎭

,

(10.68)

а потенциал 𝑉(𝑥) в явном виде не встречается.

Эти результаты означают, что свободную энергию 𝐹' можно приближённо вычислять классическим методом, т.е. с помощью выражения, подобного (10.48), и при этом получить хорошее приближение, если вместо 𝑉(𝑥) использовать эффективный потенциал 𝑈(𝑥), определяемый соотношением (10.68). Отметим, кстати, что эффективный потенциал зависит от температуры.

Потенциал 𝑈(𝑥) представляет собой среднее значение потенциала 𝑉(𝑥), полученное путём усреднения вокруг точки 𝑥 с гауссовой весовой функцией, среднеквадратичное отклонение которой составляет (βℏ²/12𝑚)^½. Если проанализировать различные неравенства, содержащиеся в нашем приближении, то мы найдём, что приближённое значение свободной энергии 𝐹' превышает её истинное значение 𝐹. Подробности этого обсуждаются в следующей главе [см. неравенство (11.9) и далее].

Задача 10.6. Покажите, что потенциал, определяемый соотношением (10.68), совпадает с «исправленным» потенциалом равенства (10.57) (т.е. с показателем экспоненты в этом равенстве), если в этом последнем разложить 𝑉 в ряд Тейлора.

Задача 10.7. Проверьте справедливость нашего приближения на примере гармонического осциллятора, точное значение свободной энергии которого равно

𝐹

_точное

=

𝓀𝑇

 ln

⎧

⎪

⎩

2sh

ℏω

2𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

.

(10.69)

С помощью эффективного потенциала 𝑈 вычислите приближённое значение свободной энергии; покажите, что

𝑈

=

𝑚ω²

2

⎧

⎪

⎩

𝑥²

+

βℏ

12𝑚

⎫

⎪

⎭

(10.70)

и

𝐹

_прибл

=

𝓀𝑇

⎧

⎪

⎩

ln

ℏω

𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

+

(ℏω)²

24𝓀𝑇

.

(10.71)

При различных значениях частоты ω определите свободную энергию или, ещё лучше, её отношение к величине 𝓀𝑇. Предполагается, что дробь ℏω/𝓀𝑇 может, в частности, принимать значения 1, 2 и 4. Покажите, что, как и следовало ожидать, 𝐹' больше 𝐹 и ошибка возрастает при уменьшении температуры. Обратите внимание, что даже если мы уходим очень далеко от классической области (т.е. когда отношение ℏω/𝓀𝑇=2, так что вероятность пребывания системы в основном состоянии составляет 85%), приближённые результаты все ещё удивительно близки к истинным.

Сравните эти результаты с классическим приближением, где свободная энергия принимается равной 𝓀𝑇 ln(ℏω/𝓀𝑇). Оно приводит к значениям 2𝐹/ℏω, что видно из табл. 1.

Таблица 1

ℏω/𝓀𝑇

1

2

4

Точное значение

0,08266

0,8546

0,9906

Наше приближение

0,08333

0,8598

1,0264

Классический предел

0,00000

0,6931

0,6931

§ 4 Системы с несколькими переменными

Если система зависит от нескольких переменных, то (за исключением специальных задач, связанных с рассмотрением свойств симметрии) формулы, описывающие её поведение, получаются прямым обобщением уже изученных нами методов.

Жидкий гелий. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания функции распределения в случае жидкого гелия. Предположим, что мы имеем 𝑁 одинаковых атомов массы 𝑚, заключённых в некоторый объём. Предположим далее, что эти атомы взаимодействуют попарно; потенциал этого взаимодействия 𝑉(𝑟_1,2) на больших расстояниях соответствует слабому притяжению, а на малых– очень сильному отталкиванию. Для наглядности можно представлять себе 𝑉(𝑟) как потенциал, описывающий столкновение твёрдых шариков, т.е. положить

𝑉(𝑟)

=

⎧

⎨

⎩

0 при 𝑟>2,7Å,

∞ при 𝑟<2,7Å.

(10.72)

Лагранжиан такой системы имеет вид

𝐿

=

 

∑

^𝑖

1

2

𝑚

|𝐑̇|²

–

1

2

 

∑

^𝑖,𝑗

𝑉(𝑟

_𝑖,𝑗

)

,

(10.73)

откуда следует, что функция распределения

𝑍

=

∫

𝑑

^𝑁

𝐑(0)

∫

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

⎧

⎨

⎩

𝑚

2ℏ

_βℏ

∫

⁰

|𝐑̇(𝑡)|²

𝑑𝑡

+

+

1

2ℏ

 

∑

^𝑖,𝑗

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝐑

_𝑖

(𝑡)-𝐑

_𝑗

(𝑡)]

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟

^𝑁

𝐑(𝑡)

.

(10.74)

В этом выражении символ 𝑑^𝑁𝐑 означает произведение 𝑑³𝐑₁𝑑³𝐑₂𝑑³𝐑₃ … 𝑑³𝐑_𝑁, аналогично 𝒟^𝑁𝐑 – произведению 𝒟𝐑₁𝒟𝐑₂𝒟𝐑₃ … 𝒟𝐑_𝑁. Мы предполагаем, что все интегралы по тракториям берутся между совпадающими начальными и конечными точками 𝐑_𝑖(0) и 𝐑_𝑖(β), т.е. 𝐑_𝑖(0)=𝐑_𝑖(β).

На самом деле записанное нами выражение (10.74) неправильно, так как свойства симметрии, упомянутые выше, имеют существенное значение. Здесь мы столкнулись с одной из интересных особенностей квантовой механики тождественных частиц. В гл. 1 упоминалось, что если событие протекает двумя неразличимыми способами, то амплитуды вероятности этих двух возможностей будут складываться. В частности, когда мы имеем дело с двумя неразличимыми частицами, любое событие всегда можно осуществить двумя способами, поменяв эти частицы ролями. При этом амплитуды, соответствующие случаю переставленных и случаю не переставленных частиц, должны складываться. Это правило относится к бозонам; в случае фермионов вклады в амплитуду, возникающие при нечётных перестановках, будут взаимно уничтожаться. Атомы обычного гелия, представляющего собой изотоп с массовым числом 4, содержат шесть частиц: два протона, два нейтрона и два электрона. Это означает, что атомы гелия являются бозонами и при перестановке частиц амплитуды должны складываться. Принято говорить, что бозоны подчиняются симметричной статистике, а фермионы – антисимметричной.

Для того чтобы увидеть, как происходит это сложение амплитуд, по крайней мере в случае атомов гелия, можно рассуждать следующим образом. В конечном состоянии атомы неотличимы друг от друга, поэтому, если даже конечная конфигурация совпадает с начальной, некоторые атомы могли поменяться местами.

Пусть, например, какой-то атом, который мы обозначим индексом 1, имеет в начальный момент положение 𝑥₁(0). Мы уже предположили, что в конце это же положение займёт по крайней мере один атом. Таким образом, для некоторого атома значение 𝑥₁(β) равно 𝑥₁(0). Конечно, закончить своё движение в этой точке может и не сам атом 1. Вместо этого он мог бы занять начальное положение атома 2, т.е. 𝑥₂(0), тогда как в то же самое время атом 2 занял бы исходное положение атома 1; другими словами, атомы 1 и 2 в конечной конфигурации могут поменяться местами по сравнению с начальной.

Чтобы описать это наиболее общим образом, обозначим через 𝑃𝑥_𝑖 некоторую перестановку атомов, первоначально находившихся в точках 𝑥_𝑖. Тогда в упомянутом случае перестановки атомов 1 и 2 (все другие атомы остались на своих местах) можно записать

𝑃𝑥

₁

=𝑥

₂

,

𝑃𝑥

₂

=𝑥

₁

,

𝑃𝑥

₃

=𝑥

₃

,

 …,

𝑃𝑥

_𝑁

=𝑥

_𝑁

,

 … .

(10.75)

Вообще говоря, расположение частиц в конечном состоянии может быть произвольной перестановкой их начальных состояний:

𝑥

_𝑗

(β)

=

𝑃𝑥

_𝑗

(0)

.

(10.76)

Поэтому для построения полной амплитуды мы должны просуммировать по всем 𝑁! возможным перестановкам, поскольку каждая из них является альтернативной возможностью. Если затем проделать усреднение по всем перестановкам, то получится правильная нормировка. Отсюда видно, что в случае симметричной статистики выражение (10.74) следует заменить выражением

𝑍

=

1

𝑁!

 

∑'

^𝑃

𝑑

^𝑁

𝐑(0)

_{𝑃𝐑𝑖(0)}

∫

^𝐑_𝑖(0)

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

1

2ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑚

 

∑

^𝑖

_βℏ

∫

⁰

|𝐑̇(𝑡)|²

𝑑𝑡

+

+

 

∑

^𝑖,𝑗

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝐑

_𝑖

(𝑡)-𝐑

_𝑗

(𝑡)]

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟

^𝑁

𝐑(𝑡)

,

(10.77)

где символ

 

∑'

^𝑃

означает суммирование по всем перестановкам 𝑃.

Если бы мы имели дело с фермионами (например, с изотопом гелия, содержащим три нуклона в ядре), мы должны были бы ввести дополнительный множитель ±1, положительный для чётных перестановок и отрицательный для нечётных. В окончательном варианте 𝑍' имелись бы также некоторые дополнения, зависящие от спина атома.

Более детальный вывод выражения (10.77) можно сделать следующим образом. В случае атомов Не⁴ квантовомеханическая амплитуда для двух атомов, которые движутся от точек 𝑎 и 𝑏 до точек 𝑐 и 𝑑, будет равна

𝐾(𝑐,𝑎;𝑑,𝑏)

+

𝐾(𝑑,𝑎;𝑐,𝑏)

(10.78)

(амплитуды для альтернативных конечных состояний суммируются в силу неразличимости этих состояний). В этом выражении 𝐾(𝑐,𝑎;𝑑,𝑏) – комплексная амплитуда перехода частицы из точки 𝑎 в точку 𝑐, в то время как вторая частица переходит из 𝑏 в 𝑑.

Поскольку частицы неразличимы, то из свойств симметрии следует, что амплитуда вероятности обнаружить в конечном итоге эти частицы в точках 𝑐 и 𝑑 должна быть симметричной функцией. Следовательно, волновая функция ψ(𝑐,𝑑) должна быть симметричной функцией переменных 𝑟_𝑐 и 𝑟_𝑑, т.е.

ψ(𝑐,𝑑)

=

ψ(𝑑,𝑐)

.

(10.79)

Если бы частицы были фермионами, волновая функция оказалась бы антисимметричной функцией их положений.

Это правило легко обобщается на случай многих частиц:

ψ(1,2,3,…,𝑁)

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ(1,2,3,…,𝑁),

ψ(1,2,3,…,𝑁),

… … … .

(10.80)

Простейшее следствие этого общего правила состоит в том, что волновая функция обязана быть симметричной или антисимметричной. Несмотря на то что в общем случае существуют и другие решения уравнения Шрёдингера, в природе реализуются только симметричные и антисимметричные. Поэтому в выражении для функции распределения (10.2) мы должны суммировать не по всем значениям гамильтониана 𝐻, которые можно получить при решении уравнения 𝐻φ_𝑛=𝐸_𝑛φ_𝑛, а только по тем из них, волновая функция которых симметрична. Например, если не учитывать статистику 𝑁 атомов, то матрица плотности ρ(𝑥',𝑥) определяется выражением (10.28). Каким образом следует видоизменить сумму в этом выражении, чтобы в неё входили только лишь симметричные функции?

Для этого применим следующий искусственный приём. Заметим сначала, что из любой функции можно получить симметричную, поменяв местами переменные и сложив полученную новую функцию с исходной; независимо от вида 𝑓(𝑥₁,𝑥₂) комбинация 𝑓(𝑥₁,𝑥₂) + 𝑓(𝑥₂,𝑥₁) является симметричной функцией. Следовательно, для любой волновой функции φ(𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥_𝑁) комбинация

φ'(𝑥

_𝑖

)

=

 

∑

^𝑃

φ(𝑃𝑥

_𝑖

)

(10.81)

будет симметричной. Теперь заметим, что если φ_𝑛(𝑥_𝑖) является решением уравнения Шрёдингера, то φ'_𝑛(𝑥_𝑖), определённая выражением (10.81), также будет его решением, поскольку гамильтониан 𝐻 симметричен относительно перестановки координат. Поэтому всякая функция φ_𝑛(𝑃𝑥) с переставленными координатами, равно как и сумма этих функций, будет решением уравнения Шрёдингера.

Для некоторых собственных значений энергии 𝐸_𝑛 существуют симметричные собственные функции φ_𝑛, а для некоторых—нет. Предположим, что 𝐸_𝑘 – какое-то собственное значение энергии, для которого уравнение Шрёдингера не имеет симметричного решения. В этом случае сумма

 

∑

^𝑃

φ

_𝑘

(𝑃𝑥)

Должна обратиться в нуль, поскольку иначе она являлась бы симметричным решением, соответствующим значению 𝐸_𝑘. Этот результат означает, что операция, определённая выражением (10.81), отбирает только те решения волновых уравнений, которые являются симметричными, а все другие решения отбрасываются. Если φ_𝑛(𝑥) – симметричная функция, то она равна φ_𝑛(𝑃𝑥) поскольку существует 𝑁! способов перестановки 𝑁 атомов, мы имеем

 

∑

^𝑃

φ

_𝑛

(𝑃𝑥

_𝑖

)

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑁!φ

_𝑛

(𝑥

_𝑖

),

если φ

_𝑛

симметрична,

0,

если φ

_𝑛

имеет какие-то

другие свойства симметрии.

(10.82)

Этот результат и отвечает на наш вопрос. Теперь из суммы, определяющей матрицу плотности, нужно отобрать только те члены, которые относятся к симметричным состояниям. Таким образом,

 

∑

^𝑃

ρ(𝑃𝑥',𝑥)

=

_все

∑

^𝑛

 

∑

^𝑃

φ

_𝑛

(𝑃𝑥')

φ

*

𝑛

(𝑥)

𝑒

^-β𝐸_𝑛

=

=

𝑁!

_сим

∑

^𝑛

φ

_𝑛

(𝑥')

φ

_𝑛

(𝑥)

𝑒

^-β𝐸_𝑛

=

𝑁!

ρ(𝑥',𝑥)

.

(10.83)

Именно поэтому мы, определяя функцию распределения в случае симметричной статистики, в выражении (10.77) переставляем частицы и делим результат на 𝑁!. Получаемая при этом функция распределения удовлетворяет соотношениям

∫

ρ(𝑥

₀

,𝑥

₀

)

𝑑

^𝑁

𝑥

₀

=

𝑍

_сим

=

_сим

∑

^𝑛

𝑒

^-β𝐸_𝑛

.

(10.84)

Отметим некоторые характерные особенности соотношения (10.77). Для функции распределения мы должны были бы ожидать при высоких температурах классического решения, в котором отсутствовали бы квантовые эффекты. Пренебрежём на время потенциалом и рассмотрим влияние смещения атома в некоторую точку, отстоящую от исходной на расстояние 𝑑. В интеграле по траекториям (10.77) это соответствует смещению из начальной точки 𝑅_𝑖 в положение 𝑃𝑅_𝑖, отличающееся перестановкой атомов. Вклад каждой такой перестановки в общую сумму пропорционален exp(-𝑚𝑑²𝓀𝑇/2ℏ²), т.е. уменьшается при увеличении температуры или при увеличении расстояния между атомами. Следовательно, пока атомы не находятся чрезвычайно близко друг к другу, никакие перестановки (даже простейший обмен местами между двумя атомами) несущественны по сравнению с тождественной перестановкой, которая оставляет все атомы на их прежних местах. Если же теперь учесть эффекты, связанные с потенциалом, который в жидком гелии резко возрастает на расстоянии 2,7 Å от центра атома, то несущественными оказываются все конфигурации, в которых межатомное расстояние меньше этой величины.

Поскольку при суммировании существенный вклад даёт лишь тождественная перестановка, нам остаётся для рассмотрения только множитель 1/𝑁!. Уже на раннем этапе классической термодинамики физики отдавали себе отчёт в том, что такой множитель удобен, когда частицы одинаковы, однако его смысл оставался неясным. Когда изучаются системы с несколькими различными сортами атомов, влияние этого множителя на величину химического потенциала называется энтропией смешения.

По мере падения температуры экспоненциальный множитель exp(-𝑚𝑑²𝓀𝑇/2ℏ²), препятствующий переходам в новые конечные положения, становится все меньше и меньше. Это означает, что при чрезвычайно низких температурах в суммировании по перестановкам станут существенными новые члены. В этом случае должны быть, конечно, учтены квантовые эффекты; мы видели, что в первом приближении это можно сделать заменой потенциала 𝑉 на эффективный потенциал 𝑈. С падением температуры начиная примерно с 2,4—2,3°𝐾, теплоёмкость жидкого гелия начинает медленно возрастать.

Задача 10.8. Плотность жидкого гелия равна 0,17 г/см³. Оцените по порядку величины температуру, начиная с которой для описания жидкого гелия становятся существенными перестановочные члены.

На первый взгляд представляется неожиданным, что очень сложные перестановки атомов играют существенную роль. Всякий раз, когда какой-нибудь атом перемещается на соседний участок, возникает экспоненциальный множитель, содержащий соответствующее расстояние. Обозначим этот множитель через 𝑦; тогда в случае перехода на соседние участки 𝑟 атомов необходимо учитывать множитель 𝑦_𝑟, а поскольку 𝑦 при любой температуре наверняка меньше единицы, то 𝑦_𝑟 в случае больших 𝑟 может стать весьма малым. Казалось бы, что если г составляет заметную долю от полного числа атомов (в кубическом сантиметре жидкого гелия содержится 10²² атомов), то вклад от множителей вида 𝑦_𝑟 должен быть исчезающе малым. Однако это первое впечатление не учитывает того обстоятельства, что при этом возникает огромное число (𝑟!) возможных перестановок. Поэтому малость влияния отдельной перестановки компенсируется их количеством.

Другой вопрос, возникающий при описании жидкого гелия, касается типа перестановок, которые следует учитывать. Любую перестановку можно описать посредством цикла; так, перестановки 1—4, 4—7, 7—6, 6—1 образуют цикл. Вопрос состоит в следующем: длинные или короткие циклы являются существенными? Внимательное исследование показывает, что при умеренных температурах важны только простые перестановки двух атомов. С падением температуры становятся существенными циклы из трёх атомов, потом из четырёх и т.д.; но внезапно при некоторой критической температуре циклы с длиной, превышающей 𝐿, благодаря своему громадному числу компенсируют убывание величины 𝑦^𝐿. При этой температуре становятся важными очень длинные циклы, в которых участвуют почти все находящиеся в сосуде атомы. В этой точке кривая зависимости теплоёмкости от температуры терпит разрыв, и при более низких температурах жидкий гелий ведёт себя весьма удивительно: он без всякого сопротивления протекает сквозь очень тонкие трубки. Благодаря этому возникает бесконечно большая теплопроводность конечного объёма жидкости и т.д. Эти удивительные свойства представляют собой проявления квантовомеханических эффектов, в частности интерференции амплитуд при замене одного атома другим, приводящей к увеличению суммарной амплитуды. Детали поведения теплоёмкости в области температуры перехода не слишком надёжны в смысле количественного описания, но качественно причина такого перехода ясна *).

*) Более подробное обсуждение функции распределения для жидкого гелия можно найти в статье Фейнмана IPhys. Rev., 91, 1291 (1953)]. (Квантовая теория сверхтекучести была в 1947 г. разработана Н. Н.Боголюбовым [см. Вестник МГУ, 7, 43 (1947), а также монографию: Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков, Новый метод в теории сверхпроводимости, АН СССР, 1958].– Прим, ред.)

Выражение, аналогичное равенству (10.77), легко записать также и для фермионов, таких, как атомы Не³. Однако в случае жидкого гелия-3 влияние потенциала очень сильно, что не позволяет производить точные количественные расчёты. Причина этого заключена в том, что вклад каждого цикла в сумму по перестановкам будет либо положительным, либо отрицательным в зависимости от чётности числа атомов в цикле. Вклады таких циклов, как, например, 𝐿=51 и 𝐿=52, при низкой температуре приблизительно равны по модулю, а потому при суммировании они почти сокращаются. Приходится вычислять разность близких по величине членов, а это требует очень аккуратного вычисления каждого члена в отдельности. Известно, что знакопеременный ряд больших и медленно убывающих членов очень трудно суммировать, когда у вас нет точной аналитической формулы для числочлена.

Мы могли бы достичь известного прогресса, если бы в математическом описании ферми-системы можно было переходить к сумме положительных членов. Подобные преобразования были испробованы, однако получающиеся при этом выражения для членов ряда оказываются слишком сложны, чтобы оценивать их даже качественно.

Мы видели, что в случае молекул, отстоящих друг от друга на расстояния порядка 1 Å, эффекты обмена (нетождественные перестановки) существенны лишь тогда, когда температура снижается до нескольких градусов Кельвина. Рассмотрим противоположный случай – поведение электронов в каком-нибудь твёрдом металле. Масса электрона намного меньше массы молекулы, и поэтому критическая температура для них оказывается значительно более высокой. При комнатной температуре электроны в металле точно описываются уравнениями, учитывающими лишь обменные эффекты описанных выше циклических перестановок. С этой точки зрения комнатная температура слишком низка для электронов. Доминирующее значение имеют обменные эффекты, т.е. электронный газ является вырожденным. Конечно, электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона, и это взаимодействие довольно сильное; однако поскольку оно является дальнодействующим, его влияние будет усредняться. Мы можем быть вполне удовлетворены приближением, в котором электроны считаются независимыми объектами, хотя реально каждый из них движется в периодическом потенциальном поле, создаваемом ядрами и соседними электронами. Тем не менее, уподобив электроны в металле идеальному ферми-газу (в котором отсутствует взаимодействие частиц), можно многое узнать об их поведении.

Однако ясно, что мы не сможем изучить это явление достаточно детально, поскольку в таком рассмотрении остаётся загадочной сверхпроводимость, возникающая в металлах при нескольких градусах Кельвина. При сверхпроводимости, по крайней мере у некоторых металлов, играет роль какое-то взаимодействие, связанное с медленными колебаниями атомов; это доказывается тем обстоятельством, что температура перехода для двух различных изотопов одного металла зависит от массы атома. Массовое число изотопа не могло бы влиять на процесс, если бы переход обусловливался взаимодействием самих электронов или их взаимодействием с жёстко фиксированными атомами. Поэтому приближение, в котором атомы фиксированы, следует считать неправильным. Но каким образом колебания атомов приводят к внезапному скачку теплоёмкости, а ниже критической температуры делают возможной электрическую проводимость без сопротивления? Этот вопрос впервые был убедительно разъяснён Бардином, Купером и Шриффером ¹⁹). Метод интегрирования по траекториям не сыграл в их анализе никакой роли; он фактически никогда не был полезен при рассмотрении вырожденных ферми-систем.

¹⁹) J. Вагdееn, L. N. Соореr, J. R. Sсhгiеffеr, Phys. Rev., 106, 162; 108, 1175 (1957). (Математически корректная теория этого явления была одновременно разработана Н. Н. Боголюбовым как обобщение его работ по теории сверхтекучести; см. литературу в примечании на стр. 314.– Прим, ред.)