Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 25 страниц)

𝑑𝑘_𝑥𝑑𝑘_𝑦𝑑𝑘_𝑧

(2π)³

𝐿

_𝑥

𝐿

_𝑦

𝐿

_𝑧

=

𝑑³𝐤

(2π)³

𝑉

.

(8.117)

Этот результат получен нами (переходя к большим кристаллам) для кристалла любой формы.

В общем случае модовая частота ω_𝑘, как мы уже упоминали, является очень сложной функцией 𝐤, имеющей несколько ветвей значений для одного и того же 𝐤, но её определение есть задача классической физики, поэтому вид колебаний в основных модах, как и описывающие их нормальные координаты, будут известны. Квантовомеханическая задача, сводится в этом случае к рассмотрению простого набора осцилляторов, и отсюда уже нетрудно определить все свойства квантовомеханической системы. Возбуждение каждой моды обычно называется возбуждением фонона.

В качестве очень простого конкретного примера рассмотрим моды продольных колебаний в изотропном твёрдом теле (т.е. продольную составляющую звуковых волн). Можно начать такое рассмотрение тем же путём, что и в одномерном случае для дискретно расположенных атомов, переходя далее к длинноволновому пределу – приближению непрерывной среды.

Полное решение такой задачи определило бы нам все эффекты дисперсии, комплексные ветви решений и поперечные волны, что, конечно, весьма интересно. Однако нет необходимости выполнять все эти шаги для того, чтобы получить квантовомеханический аналог приближения непрерывной среды. Можно непосредственно воспользоваться результатами классической физики; вся процедура, включающая переход от дискретных точечных масс к длинноволновому пределу, оказывается в квантовомеханическом рассмотрении столь же полезной и оправданной, как и в классическом. Лагранжиан в обоих случаях (если ограничиться рассмотрением потенциалов, с достаточной точностью представимых квадратичной функцией смещений) имеет одинаковую форму. Причина такого сходства результатов классического и квантового подходов в том, что задача сводится к линейному преобразованию – переходу к нормальным координатам в рамках приближения непрерывной среды, а эти операции и там и тут имеют одинаковый вид.

Выпишем теперь уравнения, получающиеся в классическом рассмотрении. Пусть 𝑢(𝐫,𝑡) выражает смещение частицы, координата которой в положении покоя есть 𝐫. Допустим, что наше рассмотрение проводится в длинноволновой области, и, следовательно, мы можем применить приближение непрерывной среды. Мода, соответствующая плоской волне, легче всего описывается с помощью преобразования Фурье, которое в этом случае имеет вид

𝐔(𝐤,𝑡)

=

 

∫

^𝑉

𝐮(𝐫,𝑡)

𝑒

^𝑖𝐤𝐫

𝑑³𝐫

,

(8.118)

где 𝐫 – пространственный вектор с компонентами 𝑥, 𝑦, 𝑧. Нормальные координаты различных мод зависят от соотношения между направлением 𝐔 и направлением вектора 𝐤, т.е. координата 𝑈_𝑥(𝐤,𝑡) вектора 𝐔 не обязательно представляет нормальную моду. Для изотропной среды три моды, определяемые вектором 𝐤, имеют следующие нормальные координаты:

𝑈

₁

(𝐤,𝑡)

=

𝐤⋅𝐔

𝑘

(8.119)

(т.е. компоненту 𝑈 в направлении 𝑘)

𝑈

₂

(𝐤,𝑡)

𝐞

₁

⋅𝐔

,

(8.120)

𝑈

₃

(𝐤,𝑡)

𝐞

₂

⋅𝐔

,

(8.121)

где 𝐞₁ и 𝐞₂ – два единичных вектора, перпендикулярных и 𝐤, и между собой. Ограничим наше рассмотрение той частью кинетической и потенциальной энергии, которая соответствует продольным модам, определённым соотношением (8.119), и не будем обращать внимания на поперечные колебания.

Используя классические результаты, можно написать лагранжиан для продольных мод в виде

𝐿

=

ρ

2

∭

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

∂𝑈₁(𝐤,𝑡)

∂𝑡

⎤²

⎥

⎦

–

𝑐²𝑘²

[

𝑈

₁

(𝐤,𝑡)

]²

⎫

⎬

⎭

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(8.122)

Мы ввели здесь скорость звука 𝑐=ω/𝑘, которая является функцией от направления распространения волны. Выражение (8.122) представляет собой прямое обобщение одномерного примера. В первоначальных переменных 𝐮(𝐫,𝑡) лагранжиан запишется так:

𝐿

=

ρ

2

∭

⎡

⎢

⎣

⎪

⎪

⎪

∂𝐮

∂𝑡

⎪²

⎪

⎪

–

𝑐²

(𝛁⋅𝐮)²

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

.

(8.123)

Первый член в правой части этого выражения – кинетическая энергия, равная половине массы, умноженной на квадрат скорости. Второй член выражает энергию сжатия, определяемого дивергенцией 𝛁⋅𝐮 (деформация сжатия). Энергию поперечной деформации мы здесь не рассматриваем, поскольку пренебрегаем поперечными волнами.

Варьируя лагранжиан по 𝑢, получаем классическое уравнение движения:

1

𝑐²

∂²𝐮

∂𝑡²

=

–𝛁(𝛁⋅𝐮)

.

(8.124)

Если мы определим деформацию сжатия как дивергенцию 𝑢, т.е. как

φ

=

𝛁⋅𝐮

,

(8.125)

то уравнение перепишется в виде

1

𝑐²

∂²φ

∂𝑡²

=

–

∇²φ

,

(8.126)

что в точности совпадает с классическим волновым уравнением.

Выполнив преобразование Фурье уравнения (8.124) и сохранив лишь компоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐫), параллельную вектору 𝐤, получим

-

1

𝑐²

∂²𝑈₁

∂𝑡²

=

𝑘²𝑈

₁

.

(8.127)

Это не что иное, как уравнение отдельного гармонического осциллятора. Отсюда видно, что 𝑈₁(𝐤,𝑡) действительно является нормальной координатой.

Из лагранжиана, записанного в виде (8.123), можно легко получить нужные квантовомеханические результаты; например, уровни энергии лежат на величину Δ𝐸=𝑛ℏ(𝑘𝑐) выше энергии основного состояния.

Вычислим амплитуду перехода из состояния, соответствующего некоторой фиксированной системе координат 𝐮(𝐫,0), к состоянию с другой системой координат 𝐮(𝐫,𝑇). Эта амплитуда имеет вид

𝐾[

𝐮(𝐫,𝑇),𝑇

;

𝐮(𝐫,0),0

]=

=

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

–

𝑖ρ

2ℏ

_𝑇

∫

⁰

_𝐿𝑧

∫

⁰

_𝐿𝑦

∫

⁰

_𝐿𝑥

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

⎪

⎪

⎪

∂𝐮

∂𝑡

⎪²

⎪

⎪

–

𝑐²

(𝛁⋅𝐮)²

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟³

𝐮(𝐫,𝑡)

.

(8.128)

Интегрирование распространяется здесь на траектории 𝐮(𝐱,𝑡), выраженные через все три компоненты вектора 𝐫 и время 𝑡. Конечно, совершенно необязательно требовать, чтобы функция 𝐮(𝐫,𝑡) имела один и тот же вид и в начальном и конечном состояниях. Здесь мы приходим к интересному развитию нашей первоначальной идеи об интеграле по траекториям. До сих пор подынтегральные выражения были функционалами одной или, возможно, нескольких функций 𝑥(𝑡) одного аргумента 𝑡, а интегрирование выполнялось по всем таким траекториям (функциям). Теперь мы должны интегрировать функционал от функции 𝐮(𝐫,𝑡) четырёх аргументов 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝑡 и брать интеграл по траекториям, соответствующим всем значениям этой функции. Все необходимые при этом вычисления можно выполнить с помощью описанной выше стандартной методики, поскольку подынтегральное выражение здесь, как и раньше, является гауссовым функционалом.

Первый шаг при вычислении такого интеграла заключается в отыскании траектории, приводящей к стационарному значению интеграла под знаком экспоненты, соответствующей лагранжиану (8.123) или, что более удобно, волновому уравнению (8.126). Мы должны учесть граничные условия при 𝑡=0 и 𝑡=𝑇. Удовлетворить граничным условиям в данном случае не проблема, однако это несколько отличается от обычной классической задачи физики, где при 𝑡=0 значения координат и их производных, т.е. и 𝐮(𝐫,0) и (∂𝐮/∂𝑡)_𝑡=0, заданы.

Мы могли бы следовать этим путём, однако из предыдущих примеров нам уже известно, что подобную задачу лучше всего предварительно преобразовать к нормальным координатам и интегрировать по траекториям лишь потом. Такое преобразование имеет вид

𝐾

=

_𝑈1(𝑇)

∫

^{𝑈₀(𝑇)}

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑖ρ

2ℏ

 

∑

^𝐤

∫

(

𝑈̇

₂

¹

–

𝑘²𝑐²

𝑈

₂

¹

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟

𝑈

₁

(𝐫,𝑡)

,

(8.129)

где граничные условия заданы соотношениями

𝑈

₁

(𝑇)

=

𝑈

₁

(𝐤,𝑇)

=

𝐤

𝑘

⋅

∭

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐫}

𝐮(𝐫,𝑇)

𝑑³𝐫

,

𝑈

₁

(0)

=

𝑈

₁

(𝐤,0)

=

𝐤

𝑘

⋅

∭

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐫}

𝐮(𝐫,0)

𝑑³𝐫

.

(8.130)

Мы перешли к более простому типу интеграла по траекториям, где траектория описывается лишь как функция одной переменной 𝑡. Поскольку интеграл по траекториям может быть выражен произведением нескольких таких интегралов, каждый из которых будет определять движение только для одной нормальной моды, мы видим, что подобную задачу уже решали. Результат [см. выражение (8.10)] запишется в виде

𝐾

=

 

∏

^𝐤

⎧

⎪

⎩

ρ𝑘𝑐

2π𝑖ℏ sin 𝑘𝑐𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖ρ𝑘𝑐

2ℏ sin 𝑘𝑐𝑇

⎧

⎨

⎩

[

𝑈

₂

¹

(𝐤,𝑇)

+

𝑈

₂

¹

(𝐤,0)

]×

×

cos 𝑘𝑐𝑇

–2

𝑈

₁

(𝐤,𝑇)

𝑈

₁

(𝐤,0)

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

.

(8.131)

Произведение берётся по всем значениям компонент вектора 𝐤 например, компонента 𝑘_𝑥 принимает значения 2π𝑛_𝑥/𝐿, где 𝑛_𝑥 – целое число, изменяющееся от 0 до 𝑁=𝐿_𝑥/𝑑 (напомним, что здесь 𝑑 – расстояние между атомами и что изучаемое тело имеет ребра длиной 𝐿_𝑥, 𝐿_𝑦 и 𝐿_𝑧). Конечно, приближение непрерывной среды подразумевает нулевое расстояние между атомами, а это означает, что число сомножителей произведения в пределе неограничено. Однако мы не будем касаться этой проблемы и сконцентрируем наше внимание только на той части выражения, которая содержит зависимость от начальных и конечных координат. Поэтому, пренебрегая радикалом перед экспоненциальным членом в правой части выражения (8.131), можно приближённо написать это выражение как

𝐊

∼

exp

𝑖

2ℏ

∭

𝑘𝑐

{[

𝑈

₂

¹

(𝐤,𝑇)

+

𝑈

₂

¹

(𝐤,0)

]×

×

cos 𝑘𝑐𝑇

–2

𝑈

₁

(𝐤,𝑇)

𝑈

₁

(𝐤,0)

}

(sin 𝑘𝑐𝑇)

^-1

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(8.132)

Выражение (8.132) сохраняет зависимость амплитуды от граничных значений 𝑈₁(𝐤,0) и 𝑈₁(𝐤,𝑇). Для любого выбора этих функций [а они, как видно из формул (8.130), в свою очередь зависят от функций и 𝐮(𝐫,0) и 𝐮(𝐫,𝑇)] в соотношении (8.132) может быть формально выполнено интегрирование и получен искомый результат. Таким образом, можно, хотя бы в принципе, получить ответ на все вопросы о поведении квантовомеханической системы.

§ 8. Квантовая теория поля

Предположим, что мы имеем дело с волнами или модами, которые описываются непрерывными функциями, такими, как 𝐮(𝐫,𝑡), вкоторых или вообще не учитывается структура среды, или длины волн настолько велики, что такой структурой можно пренебречь. В этом случае скажем, что 𝐮(𝐫,𝑡) является полем, т.е. функцией каждой точки пространства. В одном из примеров уже рассматривалось поле упругости, т.е. поле звуковых колебаний. При такой терминологии уравнения движения называются уравнениями поля. В данной главе мы будем иметь дело только с линейными уравнениями поля; лагранжиан назовём лагранжианом поля; нормальные координаты 𝐔(𝐤,𝑡) будут координатами нормальных мод поля. Описание этих мод в виде квантовых осцилляторов обычно называется квантованием поля. Поэтому и сама теория именуется квантовой теорией поля, с тем чтобы отличать её от классического способа рассмотрения уравнений поля.

Как мы уже видели, основная часть усилий в квантовой теории поля затрачивается на решение классических уравнений движения для отыскания нормальных мод, описание которых не выходит за рамки классической физики. Последующее «квантование» в сущности заключается лишь в дополнительном утверждении, что каждая из нормальных мод – квантовый осциллятор с уровнями энергии ℏω(𝑛+½). Изложенная таким образом квантовая теория поля оказывается лишь частным следствием уравнения Шрёдингера, а не какой-то сверхтеорией, объясняющей все.

Так будет и так должно быть в любом случае, когда переменные самого поля (подобно звуковым волнам или давлению) в итоге выражаются только лишь через некоторые комбинации основных механических переменных. Эти основные переменные описывают положения частиц (атомов, электронов, ядер и т. д.), реально образующих среду, в которой возбуждается поле. Например, рассматривая звуковые процессы, мы предполагаем, что уравнение Шрёдингера описывает движение элементов структуры вещества, т.е. атомов в кристалле. Отсюда ясно, что длинноволновые звуковые колебания подчиняются классическим линейным уравнениям поля, в то время как моды оказываются квантованными.

В немногих случаях классические уравнения полей относятся к таким (давно известным) системам, для которых квантовомеханическое исследование на основе уравнения Шрёдингера до сих нор ещё не проделано. Например, применив классическую аналогию, можно получить уравнения для колебательного описания ядерной материи [5]. Превосходная идея о том, что моды поля можно в этом случае рассматривать как квантовые осцилляторы, позволила составить и решить квантовые уравнения. Таких примеров в физике осталось немного.

В квантовой механике имеется и другой тип уравнений, принципиально отличный от всех рассмотренных выше. Примером может служить система линейных уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Эта система приводит к волновому уравнению, вполне аналогичному тому, что мы уже вывели для звука, однако в этом случае имеют место совершенно другие поляризационные свойства. Подобно тому, как в трубе органа образуются стоячие волны, электромагнитное поле в замкнутом объёме также имеет, если его рассматривать классически, набор фундаментальных мод. Отсюда естественно предположить, что эти колебания квантованы и каждая мода определяется энергетическим уровнем, превышающим основное состояние системы на Δ𝐸=ℏω𝑛 и т.д. Это – основное предположение квантовой электродинамики. Нельзя сказать, что такой вывод строго следует из уравнения Шрёдингера, потому что электромагнитное поле не понимается здесь в смысле длинноволнового приближения к среде, имеющей атомную структуру. Сегодня мы уже не думаем о какой-то специальной среде для подобного рассмотрения электромагнитного поля, а считаем, что уравнения Максвелла описывают некий фундаментальный закон природы. Мы просто предполагаем, что они квантуются и именно тем простым способом, который описан выше. В гл. 9 обсудим этот вопрос более подробно.

Гипотеза о квантуемости электромагнитных полей согласуется со всеми экспериментами, проделанными до сих пор, хотя здесь имеются и некоторые теоретические трудности. Они связаны с необходимостью распространения этой схемы на моды, соответствующие очень малым длинам волн. При этом возникают различные эффекты, которые приводят к расходимости интегралов, если интегрирование по длинам волн распространяется вплоть до нуля. Подобные же трудности появляются и в рассмотрении вибраций кристалла при попытке исследовать область очень коротких волн, где длины их оказываются сравнимы с межатомными расстояниями, т.е. когда приближение непрерывности уже непригодно. Тогда мы просто отказываемся от такого приближения и этим ограничиваем число нормальных мод в кристалле конечного объёма; в то же время в электродинамике количество мод в любом объёме бесконечно.

Для обозначения мод различных полей обычно используются разные названия. Кванты звука или колебаний в кристалле обычно называются фононами, кванты в теории электромагнитного поля – фотонами, в теории мезонных полей – мезонами и т.д. Даже электроны можно представлять себе в виде возбуждений поля, но это поле будет совсем непохоже на те, которые мы до сих пор рассматривали. Его обычно называют ферми-полем; частицы при этом подчиняются принципу исключения и лагранжиан квантуется не путём перехода к набору гармонических осцилляторов, как это делалось выше, а несколько иным способом. Частицы, возникающие при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов, обычно называются бозе-частицами; они подчиняются симметричной статистике (статистике Бозе). Это означает, что если две частицы имеют соответственно волновые числа 𝑖₁ и 𝑖₂, то для них существует только одно состояние и нет такого состояния, где первой соответствовало бы значение 𝑖₂, а второй – значение 𝑖₁. Это ясно из того, что наше поле имеет только одно состояние, в котором моды имеют волновые числа 𝑖₁ и 𝑖₂ и возбуждены до их первых уровней. Такое состояние определяется энергией ℏω₁+ℏω₂, и здесь бессмысленно задавать вопрос: если поменять эти частицы местами, то какой из них соответствует возбуждение? В гл. 9 обсудим этот вопрос более детально на примере фотонов электромагнитного поля.

Задача 8.7. Считают, что нейтральные частицы с нулевым спином (подобные π⁰-мезонам) в свободном состоянии можно представить полем φ с лагранжианом

𝐿

=

∫

1

2

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

∂φ

∂𝑡

⎫²

⎪

⎭

–

𝑐²|𝛁φ|²

+

μ²𝑐⁴

ℏ²

φ

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

,

(8.133)

где μ– некоторая константа.

Покажите, что это поле имеет квантовые состояния, соответствующие волнам exp (𝑖𝐤⋅𝐫) с энергией возбуждения

ℏω

=

(ℏ²𝑖²𝑐²+μ²𝑐

⁴

)

^½

.

(8.134)

Если ℏ𝐤=𝐩 рассматривать как импульс кванта, энергия запишется в виде

𝐸

=

(|𝐩|²𝑐²+μ𝑐

⁴

)

^½

.

(8.135)

Это релятивистская формула для энергии частицы с импульсом 𝐩 и массой μ (отметим, что для малого 𝑝² можно приближённо положить 𝐸=μ𝑐²+𝑝²/2μ+…, т.е. 𝐸 равно энергии покоя μ𝑐² плюс кинетическая энергия 𝑝²/2μ).

Состояние поля, когда мода с волновым числом 𝐤₁ возбуждена до второго квантового уровня, мода 𝐤₂ – до первого и т. д., мы будем интерпретировать как состояние системы, имеющей две частицы с импульсом ℏ𝐤₁ одну с импульсом ℏ𝐤₂ и т. д. За основное принимается состояние, в котором нет ни одной частицы; оно называется состоянием вакуума. Переход осцилляторов поля на возбуждённые уровни и обратно соответствует рождению и аннигиляции частиц; именно таким образом эти процессы и рассматриваются в релятивистской квантовой теории.

§ 9. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила

В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т.е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые взаимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил. Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец, любые другие взаимодействия мод с внешними полями. Мы не будем здесь обсуждать проблему взаимодействия в общем случае; вместо этого рассмотрим как образец один из примеров взаимодействия атомных систем и зарядов с электромагнитным полем. Обобщение этого примера выполним в следующей главе. Другие случаи могут быть проанализированы аналогичным образом.

Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.

Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остаётся только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.

Для начала вернёмся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде

𝐿

=

𝑀

2

𝑥̇²

–

𝑀ω²

2

𝑥²

–

γ(𝑡)𝑥

,

(8.136)

где γ(𝑡) – внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при 𝑡=0, так и в конце при 𝑡=𝑇. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду 𝐾(𝑏,𝑎) вероятности перехода осциллятора из точки 𝑥_𝑎 в момент времени 𝑡=0 в точку 𝑥_𝑏 в момент 𝑡=𝑇. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода 𝐺_𝑚𝑛 для осциллятора, который первоначально находился в состоянии 𝑛, а затем в момент 𝑇 оказался в состоянии 𝑚. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.

В § 1 мы определили волновые функции φ_𝑛 для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду 𝐺_𝑚𝑛 прямыми подстановками в выражение

𝐺

_𝑚𝑛

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑚𝑇}

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

φ

_𝑚

(𝑥

_𝑏

)

𝐾(𝑥

_𝑏

,𝑇;𝑥

_𝑎

,0)

φ

_𝑛

(𝑥

_𝑎

)

𝑑𝑥

_𝑎

𝑑𝑥

_𝑏

.

(8.137)

Для случая 𝑚=𝑛=0 этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим

𝐺

₀₀

=

exp

⎡

⎢

⎣

–

1

2𝑚ωℏ

_𝑇

∫

⁰

_𝑡

∫

⁰

γ(𝑡)

γ(𝑠)

𝑒

^{-𝑖ω(𝑡-𝑠)}

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

.

(8.138)

Если 𝑚 и 𝑛 не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния 𝑓 в состояние 𝑔, если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна

𝐹(𝑏,𝑎)

=

_∞

∑

^𝑚=0

_∞

∑

^𝑛=0

𝐺

_𝑚𝑛

𝑓

_*

^𝑚

(𝑏)

𝑓

_𝑛

(𝑎)

𝑒

^{-𝑖𝐸_𝑚𝑇/ℏ}

=

=

_∞

∑

^𝑚=0

_∞

∑

^𝑛=0

𝐺

_𝑚𝑛

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑀ω

4ℏ

(𝑎²+𝑏²)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

𝑎^𝑛𝑏^𝑚

√𝑚!𝑛!

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫(𝑚+𝑛)/2

⎪

⎭

𝑒

^{-𝑖ω𝑇/2}

,

(8.139)

где 𝑀 – масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим 𝐺_𝑚𝑛, умножая 𝐹(𝑏,𝑎) на exp[(𝑀ω/4ℏ)(𝑎²+𝑏²)] и разлагая полученное выражение в ряды по степеням 𝑎 и 𝑏. Поэтому нам удобнее сперва вычислить

𝐹(𝑏,𝑎)

=

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑀ω

2ℏ

(𝑥

₂

–𝑏)²

⎤

⎥

⎦

×

×

𝐾(𝑥

₂

,𝑇;𝑥

₁

,0)

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑀ω

2ℏ

(𝑥

₁

–𝑎)²

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

,

(8.140)

где 𝐾(𝑥₂,𝑇;𝑥₁,0) – ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем

𝐹(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑀ω

4ℏ

(𝑎²+𝑏²-2𝑎𝑏𝑒

^-𝑖ω𝑇

)

+

+

𝑖

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫½

⎪

⎭

(𝑎β+𝑏β*𝑒

^-𝑖ω𝑇

)

–

-

1

2𝑀ωℏ

_𝑇

∫

⁰

_𝑡

∫

⁰

γ(𝑡)

γ(𝑠)

𝑒

^{-𝑖ω(𝑡-𝑠)}

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑒

^{-𝑖ω𝑇/2}

(8.141)

где

β

=

1

𝑀√2ω

∫

γ(𝑡)

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

,

(8.142)

β*

=

1

𝑀√2ω

∫

γ(𝑡)

𝑒

^+𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

,

(8.143)

Величины 𝐺₀₀ могут быть легко получены из выражения (8.141) подстановкой 𝑎=𝑏=0. Результат совпадает с выражением (8.138). Умножая далее на экспоненту, как описано выше, и обозначая

𝑥

=

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫½

⎪

⎭

𝑎,

𝑦

=

⎧

⎪

⎩

𝑀ω

2ℏ

⎫½

⎪

⎭

𝑏𝑒

^-𝑖ω𝑇

,

найдём, что

 

∑

^𝑚=0

 

∑

^𝑛=0

𝐺

_𝑚𝑛

𝑥^𝑛𝑦^𝑚

√𝑚!√𝑛!

=

[exp(𝑥𝑦+𝑖β𝑥+𝑖β*𝑦)]

𝐺

₀₀

.

(8.144)

Раскладывая правую часть в ряд по 𝑥 и по 𝑦 и сравнивая члены, получаем окончательный результат:

𝐺

_𝑚𝑛

=

𝐺₀₀

√𝑚!𝑛!

_𝑙

∑

^𝑟=0

𝑚!

(𝑚-𝑟)𝑟!

𝑛!

(𝑛-𝑟)𝑟!

𝑟!

(𝑖β)

^𝑛-𝑟

(𝑖β*)

^𝑚-𝑟

,

(8.145)

где 𝑙, равное 𝑚 или 𝑛, принимает сколь угодно большие целые значения.

Таким образом, мы полностью решили задачу о гармоническом осцилляторе, на который действует внешняя сила. В гл. 9 мы ещё раз вернёмся к этой проблеме и используем полученные здесь результаты.