Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 17 (всего у книги 25 страниц)

Глава 9

КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

В этой главе исследуется взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. Мы уже рассмотрели один пример такого взаимодействия в § 6 гл. 7, где переменные электромагнитного поля входили в потенциальную часть лагранжиана; переменные поля представлялись там векторным потенциалом 𝐀. При этом мы имели дело лишь с движением частиц в некотором заданном поле; очевидно, что при таком подходе нельзя ничего сказать о том, как возникает само поле 𝐀, или о том, как движущиеся частицы влияют на него. Другими словами, постановка задачи не включала в себя никакого исследования динамики поля. Подобный подход, основанный на использовании заданных потенциалов, конечно, является приближением. Он оправдан, когда размеры установок, с помощью которых создаются потенциалы, настолько велики, что движение частиц никак не влияет на величину потенциалов.

Теперь мы будем интересоваться не только влиянием потенциалов на движение частиц, но и влиянием самих частиц на потенциалы. Начнём с классического подхода и применим для описания электромагнитного поля уравнения Максвелла; они выражают параметры поля через плотности зарядов и токов окружающего вещества.

В предыдущих главах мы уже видели, что квантовомеханическое описание некоторых классических систем легко дать в тех случаях, когда классические законы можно выразить на языке принципа наименьшего действия. Так, если экстремальное значение действия 𝑆, варьируемого по некоторой переменной 𝑞, приводит к классическим уравнениям движения, то соответствующие квантовомеханические законы выражаются следующим образом: амплитуда вероятности некоторого заданного события, соответствующая действию 𝑆, равна интегралу по траекториям от функции 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, взятому по всем возможным путям изменения переменной 𝑞, при которых выполнены условия осуществления данного события.

Для такого подхода крайне существенно, что основные законы классической электродинамики, выражаемые уравнениями Максвелла, тоже могут быть сформулированы с помощью принципа наименьшего действия. Пусть существует действие 𝑆, которое можно представить через векторный и скалярный потенциалы 𝐀 и φ; определение экстремального значения этого действия при варьировании его по переменным поля φ(𝐫,𝑡) и 𝐀(𝐫,𝑡) приводит к формулировке электромагнетизма, эквивалентной уравнениям Максвелла. Тогда, рассуждая по аналогии, мы будем искать законы квантовой электродинамики, исходя из правила: амплитуда вероятности какого-либо события равна

𝐾(2;1)

=

₂

∫

¹

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝐀,φ]}

𝒟𝐀(𝐫,𝑡)

𝒟φ(𝐫,𝑡)

,

(9.1)

где интеграл по траекториям берётся по всем значениям потенциалов 𝐀 и φ в каждой точке пространства – времени и вдоль всех путей, удовлетворяющих определённым граничным условиям в начальной и конечной мировых точках события.

§ 1. Классическая электродинамика

Уравнения Максвелла. Начнём изучение электромагнитного поля, исходя из обычных классических уравнений Максвелла.

Пусть магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная равны их значениям для свободного пространства. Тогда уравнения Максвелла имеют вид

𝛁⋅𝐄

=

4πρ

,

(9.2)

𝛁×𝐁

=

1

𝑐

⎧

⎪

⎩

∂𝐄

∂𝑡

+

4π𝐣

⎫

⎪

⎭

,

(9.3)

𝛁⋅𝐁

=

0,

(9.4)

𝛁×𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

(9.5)

где 𝐄 – напряжённость электрического поля, 𝐁 – напряжённость магнитного поля, 𝑐 – скорость света, 𝐣 – плотность тока и ρ – плотность заряда. Эти уравнения справедливы только в случае сохранения заряда, т.е. когда

𝛁⋅𝐣

=-

∂ρ

∂𝑡

.

(9.6)

Из уравнения (9.4) следует, что пока 𝐁 можно записать как ротор некоторого вектора 𝐀:

𝐁

=

𝛁×𝐀

.

(9.7)

Это соотношение ещё не полностью определяет вектор 𝐀, однако эту неоднозначность можно устранить, полагая

𝛁⋅𝐀

=0.

(9.8)

Такой выбор становится нежелательным, когда мы заведомо стремимся сохранить полную релятивистскую четырёхмерную симметрию уравнений. Это не означает, конечно, что результаты, полученные с помощью (9.8), не являются релятивистски-инвариантными, что было бы при произвольном выборе величины 𝛁⋅𝐀 скорее их инвариантность не представляется очевидной. Так или иначе, мы будем рассматривать лишь нерелятивистское приближение, поскольку у нас нет простого интеграла по траекториям, соответствующего уравнению Дирака. Нашей задачей является сейчас выяснение основных свойств квантованного электромагнитного поля и рассмотрение сильно упростится, если принять условие (9.8).

Подставив 𝐄+(1/𝑐)(∂𝐀/∂𝑡) в уравнение (9.5), видим, что ротор этого выражения равен нулю, и, следовательно, оно может быть представлено в виде градиента некоторого потенциала

𝐄

=

–𝛁φ-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

(9.9)

Уравнения (9.2) – (9.5) легко решаются в случае отсутствия зарядов и токов. Из (9.2), (9.8) и (9.9) мы видим, что

𝛁⋅𝐄

=

–∇²φ

=

4πρ

.

(9.10)

Если ρ=0, то φ=0 и 𝐄=-(1/𝑐)(∂𝐀/∂𝑡). При этом из уравнения (9.3), если 𝐣=0, следует

∇²𝐀

–

1

𝑐²

∂²𝐀

∂𝑡²

=0

(9.11)

[так как 𝛁×(𝛁×𝐀) = 𝛁(𝛁⋅𝛁)-𝛁²𝐀]. Таким образом, каждая компонента вектора 𝐀 удовлетворяет волновому уравнению.

Если разложить вектор А в ряд по бегущим плоским волнам

𝐀(𝐑,𝑡)

=

𝐚

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

(9.12)

то уравнение для амплитуды 𝐚_𝐤 запишется как 𝐚̈_𝐤; отсюда следует, что каждая компонента 𝐚_𝐤 – амплитуда простого гармонического осциллятора с частотой ω=𝑘𝑐. Однако в действительности существуют только две независимые поперечные волны, а компонента вектора 𝐚_𝐤 в направлении 𝐤 должна быть равна нулю. Это следует из уравнения (9.8), которое можно переписать в виде

𝐤⋅𝐚

_𝐤

=0.

(9.13)

Таким образом, поле в вакууме можно представить как совокупность свободных гармонических осцилляторов, причём каждому значению 𝐤 будут соответствовать две поперечные волны.

Задача 9.1. Покажите, что в плоской волне векторы 𝐄, 𝐁 и 𝐤 взаимно перпендикулярны.

Решение уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов. Разложим опять потенциалы 𝐀 и φ, а также плотности заряда и тока по плоским волнам:

𝐀(𝐑,𝑡)

=

√

4π

𝑐

∫

𝐚

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

φ(𝐑,𝑡)

=

∫

φ

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

𝐣(𝐑,𝑡)

=

∫

𝐣

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

ρ(𝐑,𝑡)

=

∫

ρ

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐑}

𝑑³𝐤

(2π)³

,

(9.14)

Задача 9.2. Объясните, почему плотность заряда, соответствующая единичному заряду 𝑒, находящемуся в точке 𝐪(𝑡) в момент времени 𝑡, имеет вид

ρ(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

=

𝑒

δ[𝑥-𝑞

_𝑥

(𝑡)]

δ[𝑦-𝑞

_𝑦

(𝑡)]

δ[𝑧-𝑞

_𝑧

(𝑡)]

=

𝑒

δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]

.

Покажите, что фурье-образ плотности заряда

ρ

_𝑘

=

𝑒

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐪(𝑡)}

.

(9.15)

Легко видеть, что плотность тока 𝐣(𝐑,𝑡) равна 𝑒𝐪̇(𝑡)δ³[𝐑-𝐪(𝑡)]. Если мы имеем систему зарядов 𝑒_𝑖, расположенных в точках 𝐪_𝑖(𝑡), то выражения для ρ_𝐤 и 𝐣_𝐤 запишутся в виде

ρ

_𝐤

=

 

∑

^𝑖

𝑒

_𝑖

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐪_𝑖(𝑡)}

,

𝐣

_𝐤

=

 

∑

^𝑖

𝑒

_𝑖

𝐪̇(𝑡)

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐪_𝑖(𝑡)}

.

(9.16)

При этом условие (9.13) остаётся справедливым, и им можно воспользоваться для упрощения некоторых выражений. Коэффициент разложения вектора 𝐁 равен 𝐁_𝐤=√4π𝑐𝑖(𝐤×𝐚_𝐤), соответствующий коэффициент для вектора 𝐄 равен 𝐄_𝐤=-𝑖𝐤φ_𝐤-√4π𝐚̇_𝐤, наконец, коэффициент разложения 𝛁⋅𝐄 имеет вид 𝑖𝐤⋅𝐄_𝐤=𝑘²φ_𝑘, поэтому

𝑘²φ

_𝑘

=

4πρ

_𝑘

(9.17)

или φ_𝑘=4πρ_𝑘/𝑘². Функция φ_𝑘 полностью определяется плотностью заряда ρ_𝑘, и при этом нет необходимости решать какие-либо динамические дифференциальные уравнения, содержащие, например, φ̈_𝐤.

Задача 9.3. Докажите, что соотношение φ_𝑘=4πρ_𝑘/𝑘² означает следующее: величина φ_𝑘 в любой момент времени 𝑡 представляет собой кулоновский потенциал от всех зарядов в этот момент; так что, если, например, плотность ρ соответствует некоторой совокупности зарядов 𝑒_𝑖, отстоящих на расстояние 𝑟_𝑖 от некоторой точки, то потенциал φ в этой точке равен

∑

𝑒

_𝑖

/𝑟

_𝑖

.

^𝑖

Именнов этом и заключается смысл уравнения (9.10).

Уравнение (9.3), которое нужно ещё решить, запишем в виде

𝑖𝐤×𝐁

_𝐤

=

1

𝑐

𝐄̇

_𝐤

+

1

𝑐

4π

𝐣

_𝐤

.

(9.18)

При этом учтём, что 𝑖𝐤×𝐁_𝐤 = -√4π𝑐𝐤×(𝐤×𝐚_𝐤) = √4π𝑐𝑘²𝐚_𝐤 и 𝐄̇_𝐤 = -𝑖𝐤φ̇_𝐤 -√4π𝐚̈_𝐤. Далее, применив равенство (9.17), заменим φ̇_𝐤 на 4πρ̇_𝐤/𝑘² и будем иметь

𝐚̈

_𝐤

+

𝑘²𝑐²

𝐚

_𝐤

=

√

4π

⎧

⎪

⎩

𝐣

_𝐤

–

𝑖𝐤ρ̇_𝐤

𝑘²

⎫

⎪

⎭

=

√

4π

𝐣'

_𝐤

,

(9.19)

где величину 𝐣'_𝐤 = 𝐣_𝐤-𝑖𝐤ρ̇_𝐤/𝑘² можно назвать поперечной частью тока 𝐣_𝐤. Из закона сохранения тока (9.6) следует, что ρ̇_𝐤=-𝑖𝐤⋅𝑗_𝐤, поэтому

𝐣'

_𝐤

=

𝐣

_𝐤

–

𝐤(𝐤⋅𝐣_𝐤)

𝑘²

.

(9.20)

Последнее равенство означает, что 𝐣'_𝐤 равно разности тока 𝐣_𝐤 и его компоненты по направлению вектора 𝐤. Очевидно, 𝐤⋅𝐣'_𝐤=0.

Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора 𝐤 вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору 𝐤, и обозначить компоненты 𝐚_𝐤 по этим направлениям как 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤, то уравнения Максвелла запишутся в виде

𝑎̈

_1𝐤

+

𝑘²𝑐²

𝑎

_1𝐤

=

√

4π

𝑗

_2𝐤

,

(9.21)

𝑎̈

_2𝐤

+

𝑘²𝑐²

𝑎

_2𝐤

=

√

4π

𝑗

_2𝐤

,

(9.22)

где 𝑗_1𝐤 и 𝑗_2𝐤 – компоненты вектора тока 𝐣_𝐤 по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора 𝐣_𝐤, а не вектора 𝐣'_𝐤).

Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике ¹) предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия, который даёт нам уравнения электромагнитного поля и уравнения движения частиц в этом поле. Определим полное действие как сумму

𝑆

=

𝑆

₁

+𝑆

₂

+𝑆

₃

.

(9.23)

¹) Следует указать, что ряд физиков применяет термин «квантовая электродинамика» в более широком смысле, включая в это понятие теорию электрон-позитронных пар. Мы не занимаемся этой проблемой и поэтому слова «квантовая электродинамика» означают здесь просто теорию квантования электромагнитного поля.

Здесь

𝑆

₁

=

 

∑

^𝑖

𝑚_𝑖

2

∫

|𝐪̇

_𝑖

|²

𝑑𝑡

(9.24)

– действие для всех частиц без учёта поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие 𝑆₁);

𝑆

₂

=

∫

⎡

⎢

⎣

ρ(𝐑,𝑡)

φ(𝐑,𝑡)

–

1

𝑐

𝐣(𝐑,𝑡)

⋅

𝐀(𝐑,𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

=

=

 

∑

^𝑖

𝑒

_𝑖

∫

⎧

⎨

⎩

φ(𝐪

_𝑖

(𝑡),𝑡)

–

1

𝑐

𝐪̇

_𝑖

(𝑡)

⋅

𝐀(𝐪

_𝑖

(𝑡),𝑡)

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

(9.25)

– действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;

𝑆

₃

=

1

8π

∫

(𝐸²-𝐵²)

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

=

=

1

8π

∫

⎡

⎢

⎣

⎪

⎪

⎪

–𝛁φ-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

⎪²

⎪

⎪

–

|𝛁×𝐀|²

⎤

⎥

⎦

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

(9.26)

– действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции 𝐀(𝐑,𝑡), φ(𝐑,𝑡) и 𝐪_𝑖(𝑡).

Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (δ𝑆=0 с точностью до первого порядка в разложении по δ𝑞). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия δ𝑆=0 в первом порядке вариаций по переменным 𝐀 и φ.

Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных 𝐚_𝐤, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия 𝑆₃ даёт

𝑆

₃

=

1

2

∫

⎧

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

𝐚̇

_𝐤

+

𝑖𝐤

φ_𝐤

√4π

–𝑐²

|𝐤×𝐚

_𝐤

|²

⎪²

⎪

⎪

⎫

⎪

⎭

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

=

=

1

2

∫

⎧

⎪

⎩

φ

₂

^𝐤

𝑘²

4π

+

𝐚̇

_*

^𝐤

⋅

𝐚̇

_𝐤

–

𝑘²𝑐²

𝐚

_*

^𝐤

⋅

𝐚

_𝐤

⎫

⎪

⎭

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.27)

а действие 𝑆₂ при этом принимает вид

𝑆

₂

=

∫

(

ρ

_-𝐤

φ

_𝐤

–√

4π

𝐣

_-𝐤

⋅

𝐚

_𝐤

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

.

(9.29)

После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала φ_𝐤=4πρ_𝑘/𝑘² члены, содержащие φ_𝐤, дают в сумме

𝑆

_𝑐

=-

4π

2

∫

ρ_𝐤ρ_-𝐤

𝑘²

𝑑³𝐤

(2π)³

=-

1

2

 

∑

^𝑖

 

∑

^𝑗

𝑒_𝑖𝑒_𝑗

|𝐪_𝑖-𝐪_𝑗|

.

(9.29)

Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла ∫(4π/𝐤²)[exp(𝑖𝐤⋅𝐑)]𝑑³𝐤=1/𝑅. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением.

Включим его в функцию действия для частиц

𝑆

_част

=

𝑆

₁

+

𝑆

_𝑐

=

∫

 

∑

^𝑖

⎧

⎪

⎩

𝑚_𝑖

2

𝑞̇

₂

^𝑖

–

1

2

 

∑

^𝑗

𝑒_𝑖𝑒_𝑗

|𝐪_𝑖-𝐪_𝑗|

⎫

⎪

⎭

(9.30)

и запишем 𝑆=𝑆_част+𝑆_взаим+𝑆_поле. Таким образом мы разделили действие 𝑆₃ для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием 𝑆_поле, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия 𝑆₃ выбросить члены, содержащие φ_𝐤. В результате получим

𝑆

_поле

=

∫

(

𝑎̇

_*

^1𝐤

𝑎̇

 

^1𝐤

–

𝑘²𝑐²

𝑎

_*

^1𝐤

𝑎

 

^1𝐤

+

𝑎̇

_*

^2𝑘

𝑎̇

 

^2𝑘

–

𝑘²𝑐²

𝑎

_*

^2𝑘

𝑎

 

^2𝑘

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.31)

а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно

𝑆

_взаим

=

√

4π

∫

(

𝑗

_1,-𝐤

𝑎

_1𝐤

+

𝑗

_2,-𝐤

𝑎

_2𝐤

)

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

.

(9.32)

Простая вариация полного действия 𝑆 по переменным 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤 даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).

В развёрнутом виде действие 𝑆_взаим записывается так:

𝑆

_взаим

=

√

4π

 

∑

^𝑗

∫

(

𝑎

_1𝐤

𝑞̇

_1𝑗

+

𝑎

_2𝐤

𝑞̇

_2𝑗

)

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐪_𝑗(𝑡)}

𝑑³𝐤𝑑𝑡

(2π)³

,

(9.33)

где 𝑞_1𝑗 и 𝑞_2𝑗 – поперечные (по отношению к вектору 𝐤) компоненты вектора 𝑞_𝑗. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие 𝑆, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными 𝐪_𝑗(𝑡), 𝑎_1𝐤(𝑡), 𝑎_2𝐤(𝑡). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты 𝑒^𝑖𝑆/ℏ и рассматривается в § 2.

§ 2. Квантовая механика поля излучения

Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения

𝑆

=

𝑆

_поле

(9.34)

которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию 𝑆 для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).

Предположим, что к квантовой электродинамике можно перейти, рассмотрев эти осцилляторы как квантовомеханические; справедливость такого допущения тоже обсуждалась нами в гл. 8. Каждому значению 𝐤 в нашей системе соответствуют две бегущие волны с поляризацией 1 и 2 и частотой ω=𝑘𝑐. Для каждой из этих волн (например, волны с амплитудой 𝑎_1𝐤) возможные энергетические уровни будут равны

𝐸

_1𝐤

=

⎧

⎪

⎩

𝑛

_1𝐤

+

1

2

⎫

⎪

⎭

ℏ𝑘𝑐

,

(9.35)

где 𝑛_1𝐤 – произвольное положительное целое число или нуль.

Если 𝑛_1𝐤=1, то говорят, что имеется один фотон с поляризацией 1 и импульсом ℏ𝑘. В общем случае мы имеем 𝑛_1𝐤 таких фотонов, и энергия каждого из них равна ℏ𝑘𝑐.

Задача 9.5. Пусть импульс электромагнитного поля задаётся в виде (1/4π𝑐)∫𝐄×𝐁𝑑(объём). Покажите, что в вакууме (при этом φ_𝐤=0 последнее выражение равно ∫𝐤(𝐚*_𝐤⋅𝐚̇_𝐤)𝑑³𝐤/(2π)³.

Позднее, при рассмотрении взаимодействия вещества с полем излучения, обнаружится, что вещество излучает или поглощает энергию отдельными фотонами с энергией ℏω. Это, очевидно, согласуется с первоначальной гипотезой Планка.

Тот факт, что 𝑛-е состояние осциллятора можно рассматривать как совокупность 𝑛 «частиц» или «фотонов», кажется очень поразительным и неожиданным; однако значения энергии в обоих описаниях совпадают. Вместе с тем существует одно обстоятельство, на которое стоит обратить внимание до того, как мы начнём описывать поведение совокупности частиц состояниями осциллятора. Допустим, что из всех чисел 𝑛_𝑗 отличны от нуля лишь два (например, 𝑛_𝑎=1, 𝑛_𝑏=1). Эту ситуацию мы вправе интерпретировать двумя фотонами, один из которых находится в состоянии 𝑎, а другой – в состоянии 𝑏. Однако при таком подходе существуют два допустимых описания, отвечающих одной и той же энергии; в самом деле, ничто не мешает нам считать, что первый фотон находится в состоянии 𝑏, а второй – в состоянии 𝑎. Чтобы найти выход из этого положения, рассмотрим конкретный пример. Пусть мы имеем две α-частицы, координаты которых обозначим соответственно через 𝑥 и 𝑦; состояние частицы 𝑥 будем описывать функцией 𝑓(𝑥), а частицы 𝑦 – функцией 𝑔(𝑦). Тогда волновая функция системы выражалась бы функцией двух переменных: 𝑥 и 𝑦:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

.

(9.36)

Обратной ситуации, когда частица 𝑦 находится в состоянии 𝑓, а частица 𝑥 – в состоянии 𝑔, соответствует другая волновая функция:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

,

(9.37)

которая, вообще говоря, отличается от первой. Но если наши частицы полностью тождественны, как это имеет место в случае α-частиц, то эти два состояния неразличимы. Мы уже говорили в гл. 1, что в квантовой механике должно быть правило (не зависящее от уравнения Шрёдингера), согласно которому амплитуды для двух случаев, различающихся лишь перестановкой α-частиц, всегда следует суммировать. При этом система описывается единственной волновой функцией

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

+

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

(9.38)

(нормированной соответствующим образом: если 𝑓 и 𝑔 ортонормальны, то нормировочная константа равна 1/√2; если же они равны и нормированы, то эта константа равна ½). Вообще ψ(𝑥,𝑦)=ψ(𝑦,𝑥) для α-частиц и всех других частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Система двух таких частиц всегда описывается единственным образом, и при этом не различается, какая именно из них находится в состоянии 𝑓, а какая в состоянии 𝑔.

Нетрудно видеть, что все наши выводы согласуются между собой, если мы будем рассматривать набор возбуждённых состояний осциллятора как набор фотонов, а сами фотоны считать бозе-частицами. Тогда единичное состояние 𝑛_𝑎=1, 𝑛_𝑏=1 соответствует ситуации, когда имеются два фотона – один в состоянии 𝑎, а другой в состоянии 𝑏. Их перестановка не приводит к новому состоянию.

Для электронов с параллельными спинами или для других тождественных ферми-частиц амплитуды, наоборот, вычитаются:

ψ(𝑥,𝑦)

=

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦)

–

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑦)

.

(9.39)

Волновая функция системы двух ферми-частиц всегда антисимметрична: ψ(𝑥,𝑦)=-ψ(𝑦,𝑥). Поэтому такая система не безразлична по отношению к перестановке частиц. В самом деле, если в формуле (9.39) положить 𝑓=𝑔, то получим ψ(𝑥,𝑦)=0. К фотонам и α-частицам это не относится; подобный случай у фотонов соответствует состояниям осциллятора с 𝑛=2.

Можно указать один частный случай, когда с помощью некоторой идеализации электромагнитное поле в присутствии вещества удаётся описать ненамного сложнее, чем поле в вакууме. Это случай полого резонатора (или волновода), стенки которого можно считать идеально проводящими. Как хорошо известно из классической теории, при этом возникает набор мод с более или менее сложным распределением электромагнитных полей. Классическая функция действия и в этом случае сводится к функции действия для совокупности свободных осцилляторов, но переменные здесь представляют собой амплитуды различных мод, а не амплитуды плоских бегущих волн. Далее эти осцилляторы квантуются, и можно говорить о числе фотонов, соответствующем каждой моде.

§ 3. Основное состояние

Энергия вакуума. Состояние электромагнитного поля с наинизшей возможной энергией, которое мы будем называть основным или вакуумным,– это состояние, в котором у всех осцилляторов все 𝑛 равны нулю и нет фотонов никаких мод. Это значит, что энергия каждого осциллятора равна ℏω/2, где ω – его собственная частота. Если теперь просуммировать эту энергию основного состояния по бесконечному числу всех возможных мод с возрастающей частотой (а число мод не ограничено даже для резонатора конечных размеров), то подобная сумма будет расходиться. Мы натолкнулись на первую из трудностей, которые появляются в квантовой электродинамике.

В нашем случае (для вакуумного состояния) эта трудность легко устранима. Предположим, что при измерении энергии мы выбираем различные начала отсчёта. Так как постоянная добавка ко всем энергиям не приводит ни к каким физическим эффектам, то произвольный выбор нулевого значения энергии не будет влиять на результаты любого проводимого нами эксперимента. Поэтому мы положим энергию вакуумного состояния равной нулю. Тогда полная энергия произвольного состояния электромагнитного поля определится формулой

𝐸

=

∑

𝑛

_𝑗

ℏω

_𝑗

,

^𝑗

(9.40)

где суммирование проводится по всем модам поля. К сожалению, в реальном случае нельзя отсчитывать энергию от совершенно произвольного значения. Энергия эквивалентна массе, а с массой связана гравитация. Даже на свет действуют гравитационные силы (например, луч света отклоняется притяжением Солнца). Следовательно, если закон равенства действия противодействию справедлив хотя бы качественно, то и Солнце должно притягиваться фотонами, а это значит, что с каждым фотоном, энергия которого равна ℏω, связано некоторое гравитационное поле. Тогда возникает вопрос: не приводит ли к такому же эффекту и член, соответствующий энергии основного состояния? Физически этот вопрос формулируется так: не образует ли вакуум гравитационного поля, подобного полю массы, распределённой с постоянной плотностью?

Так как большая часть пространства – вакуум, то эффект, обусловленный вакуумной энергией электромагнитного поля, был бы значителен. Мы можем оценить его величину. Предварительно заметим, что в квантовой электродинамике встречается ещё одна расходимость, отличная от рассматриваемой и устраняемая при помощи специального предположения, называемого правилом обрезания. Согласно этому правилу, моды с очень большими частотами (т.е. с очень малыми длинами волн) должны исключаться из рассмотрения. Мы действительно не знаем, выполняются ли законы электродинамики для длин волн, существенно меньших, чем наблюдаемые в настоящее время. К тому же сейчас есть достаточно оснований полагать, что эти законы нельзя распространить на всю коротковолновую область.

Математические выражения, которые довольно хорошо применимы при больших длинах волн, приводят к расходимостям в коротковолновой области. Предельные длины доступных нам сейчас волн имеют порядок комптоновской длины волны протона: ℏ/𝑀𝑐≈2⋅10^-14 см.

Возвращаясь к нашей оценке, допустим, что мы суммируем по всем волновым числам, меньшим некоторого предельного значения 𝑘_макс𝑀𝑐/ℏ. Заменяя приближённо сумму по состояниям на интеграл, получаем плотность энергии вакуумного состояния

𝐸₀

ед. объёма

=2

ℏ𝑐

2(2π)³

_𝑘макс

∫

⁰

𝑘

⋅

4π𝑘²

𝑑𝑘

=

ℏ𝑐𝑘

₄

^макс

8π

₂

 

(9.41)

(заметим, что множитель 2 появился вследствие того, что каждому значению 𝑘 отвечают две моды соответственно двум возможным поляризациям). Масса, эквивалентная этой энергии, получается делением на 𝑐², что даёт

𝑚₀

ед. объёма

=

2⋅10

¹⁵

г/см³

.

(9.42)

Можно было бы ожидать (по крайней мере так кажется на первый взгляд), что при такой плотности гравитационные эффекты велики, чего в действительности не наблюдается. Возможно, что наш расчёт слишком упрощённый, и если бы мы использовали все выводы общей теории относительности (такие, например, как гравитационные эффекты, обусловленные большими давлениями, которые здесь подразумеваются), гравитационные эффекты могли бы исчезнуть, однако все это никем ещё не проделано. Возможно, найдётся такое правило обрезания, которое не только даст конечную плотность энергии вакуумного состояния, но и позволит сделать это релятивистски-инвариантным образом. Сейчас совершенно не ясно, к чему все это приведёт.

Поэтому будем пока просто считать плотность энергии вакуумного состояния равной нулю. До сих пор не было ни одного эксперимента, который противоречил бы такому допущению. При дальнейшем изучении квантовой электродинамики нам встретятся интегралы с расходимостями других типов, причём устранение будет значительно сложнее.

Волновая функция вакуумного состояния. Волновая функция совокупности осцилляторов представляется в виде произведения всех волновых функций всех мод. Волновая функция основного состояния осциллятора, соответствующего фотону с поляризацией 1 и волновым числом 𝐤, пропорциональна экспоненте exp [-(𝑐𝑘/2ℏ)/𝑎*_1𝐤𝑎_1𝐤]. Поэтому с точностью до нормировочной постоянной волновая функция основного, или вакуумного, состояния всей системы равна

Φ

₀

= exp

⎡

⎢

⎣

–

 

∑

^𝐤

𝑘𝑐

2ℏ

(

𝑎

_*

^1𝐤

𝑎

 

^1𝐤

+

𝑎

_*

^2𝐤

𝑎

 

^2𝐤

)

⎤

⎥

⎦

.

(9.43)

Задача 9.6. Покажите, используя синусоидальные и косинусоидальные моды с действительными переменными, что последнее выражение, в которое входят комплексные переменные, действительно является справедливым (ср. задачу 8.4).

Задача 9.7. Покажите, что для вакуумного состояния среднее значение величины 𝑎*_1𝐤𝑎_1𝑙 равно (ℏ/2𝑘𝑐)δ_𝑘𝑙. Выведите формулу для среднего значения величины (𝑎*_1𝑘𝑎_1𝑘)^𝑟, где 𝑟 – целое число, и укажите, как, пользуясь этой формулой, получить среднее значение произведения (𝑎*_1𝑘𝑎_1𝑘)^𝑟 (𝑎*_1𝑝𝑎_1𝑝)^𝑠 при 𝐩≠𝐤. Покажите, что среднее значение величины (𝑎_1𝑘)² или (𝑎*_1𝑘)² и среднее значение произведения любого нечётного числа величин 𝐚 равны нулю. Покажите также, каким образом можно вычислить для вакуумного состояния ожидаемое значение любого произведения величин 𝑎 или 𝑎*.

Задача 9.8. Если состояние определяется единственным фотоном, который находится в состоянии 1𝐤, все множители в волновой функции имеют вид φ₀, за исключением одного, равного φ₁. Для осциллятора при этом выполняется равенство φ₁(𝑞)=𝑞φ₀(𝑞). Волновая функция, представляющая возбуждённую волну, записывается в виде линейной комбинации: 1) волновой функции состояния с возбуждённой косинусоидальной модой и 2) умноженной на 𝑖 волновой функции состояния с возбуждённой синусоидальной модой. Используя это, покажите, что волновая функция однофотонного состояния 1𝐤 имеет вид 𝑎*_1𝐤Φ₀. Она не нормирована. Квадрат нормировочной постоянной ∫Φ*₀𝑎_1𝐤𝑎*_1𝐤Φ₀ (или ожидаемое значение величины 𝑎_1𝐤𝑎*_1𝐤 для вакуума), как мы видели в предыдущей, задаче, есть ℏ/2𝑘𝑐. Отсюда следует, что нормированная волновая функция однофотонного состояния представляется в виде √2𝑘𝑐/ℏ𝑎*_1𝐤Φ₀.