Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 25 страниц)

Нельзя ли ослабить интенсивность света в надежде уменьшить таким образом его воздействие? Незначительное возмущение, разумеется, не сможет вызвать конечное изменение распределения. Однако слабый свет вовсе не означает более слабого воздействия. Свет состоит из фотонов с энергией ℎν и импульсом ℎ/λ (где ν – частота и λ, – длина волны). Ослабить свет – значит просто уменьшить количество фотонов, так что мы могли бы вообще перестать видеть электрон, но если мы его все же видим, то это означает, что фотон рассеялся как целое и электрону передан конечный импульс порядка ℎ/λ.

Электроны, которые мы не видим, распределяются в соответствии с правилом интерференции а, тогда как замеченные нами и, следовательно, рассеявшие фотон попадают в точку 𝑥 с вероятностью 𝑃=𝑃₁+𝑃₂. Поэтому суммарное распределение представляет собой среднее взвешенное распределений а и d. В случае большой интенсивности света, когда рассеяние происходит почти на всех электронах, оно близко к распределению d; в случае же очень малой интенсивности, когда лишь незначительное число электронов рассеивает свет, оно становится более похожим на распределение a.

Могло бы показаться, что, поскольку свет передаёт импульс ℎ/λ, можно было бы все же попытаться ослабить этот эффект, применяя свет с большей длиной волны. Однако всему есть предел. Если длина волны очень велика, мы не сможем определить, где рассеялся свет: за отверстием 1 или за отверстием 2, поскольку источник света с длиной волны λ нельзя локализовать в пространстве с точностью, превышающей λ.

Таким образом, во избежание парадокса любое физическое вмешательство, имеющее целью определить, через какое отверстие проходит электрон, должно исказить опыт и превратить распределение а в d.

Впервые это заметил Гейзенберг; он сформулировал свой принцип неопределённости, гласящий, что самосогласованность новой механики требует ограничения точности, с которой могут быть выполнены эксперименты. В нашем случае это означает, что любая попытка сконструировать прибор, определяющий то отверстие, через которое прошёл электрон, и при этом настолько «деликатный», чтобы не вызвать нарушения интерференционной картины, обречена на неудачу. Внутренняя согласованность квантовой механики требует общности этого утверждения; оно обязано охватывать все физические средства, которые можно было бы применить для уточнения траектории электрона. Мир не может быть наполовину квантовомеханическим, наполовину классическим.

Никаких исключений из принципа неопределённости до сих пор не обнаружено.

§ 2. Принцип неопределённости

Мы сформулируем принцип неопределённости следующим образом: если в процессе выбора из альтернативных ситуаций удаётся проследить более чем за одной из них, то интерференция между этими альтернативами становится невозможной. Первоначальная формулировка принципа, данная самим Гейзенбергом, отличалась от нашей, и мы несколько задержимся, чтобы обсудить исходную гейзенберговскую формулировку.

В классической физике частицу можно считать движущейся по определённой траектории и приписывать ей в каждый момент времени определённые положение и скорость. Такое описание не привело бы к тем необычайным результатам, которые, как мы видели, характерны для квантовой механики. Принцип Гейзенберга ограничивает применимость подобного классического описания. Например, имеет свои пределы представление о том, что частица 'занимает определённое положение и обладает определённым импульсом. Реальная система (т.е. система, подчиняющаяся квантовой механике) представляет собой, если смотреть на неё с классической точки зрения, систему, в которой положение и импульс не определены. Тщательным измерением можно уменьшить неопределённость положения, а в других опытах можно было бы точнее определить импульс. Однако, как утверждает принцип Гейзенберга, нельзя точно измерить обе эти величины одновременно; в любом эксперименте произведение неопределённостей импульса и координаты не может быть меньше некоторой величины порядка ℏ^*). Аналогичное условие требуется и для физической согласованности ситуации, которую мы обсуждали выше. Это можно показать, рассмотрев ещё одну попытку определения, через какое именно отверстие проходит электрон.

^* ℏ=ℎ/2π=1,054•10^-27 эрг/см, где ℎ – постоянная Планка.

Пример. Если электрон, проходя через одно из отверстий, отклоняется, то вертикальная составляющая его импульса изменяется. Кроме того, электрон, попадающий в детектор 𝑥 после прохождения отверстия 1, отклоняется на иной угол (а потому и импульс его претерпевает иное изменение), нежели электрон, попадающий в точку 𝑥 через отверстие 2. Предположим, что экран 𝐵 не закреплён жёстко, а может свободно передвигаться вверх и вниз (фиг. 1.5). Любое изменение вертикальной составляющей импульса электрона в момент его прохождения через отверстие будет сопровождаться равным и противоположным по знаку изменением импульса экрана, которое можно найти, измеряя скорость экрана до и после прохождения электрона. Обозначим через δ𝑝 разность между изменениями импульсов электронов, проходящих через отверстия 1 и 2. Тогда для однозначного выяснения того, через какое отверстие прошёл электрон, требуется определить импульс экрана с точностью, превышающей δ𝑝.

Фиг. 1.5. Ещё одна модификация эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.

Экран 𝐵 может свободно передвигаться в вертикальном направлении. Если электрон проходит отверстие 2 и попадает в детектор (например, в точке 𝑥 = 0), то он отклонится вверх, а экран 𝑥 получит отдачу вниз. Определяя, куда откатывается покоившийся вначале экран, можно установить отверстие, через которое проходит электрон. Однако, согласно принципу неопределённости Гейзенберга, такие прецизионные измерения импульса экрана 𝑥 были бы несовместимы с точным знанием его вертикального положения, поэтому мы не могли бы быть уверены, что линия, соединяющая центры двух отверстий, установлена правильно. Вместо кривой a на фиг. 1.2 мы получим распределение, несколько размазанное в вертикальном направлении, похожее на кривую d фиг. 1.2.

Если в эксперименте импульс экрана 𝐵 можно измерить с требуемой точностью, то мы тем самым определяем, через какое отверстие прошёл электрон, и распределение вероятностей приобретает вид кривой d на фиг. 1.2. Интерференционная картина (а), очевидно, исчезает. Как это может произойти? Чтобы понять это, заметим, что при построении кривой, описывающей распределение электронов в плоскости экрана 𝐶, необходимо точно знать вертикальное положение двух отверстий на экране 𝐵. Поэтому мы должны измерить не только импульс экрана 𝐵, но и его координату. Для возникновения интерференционной картины (кривая а на фиг. 1.2) положение экрана должно быть известно с точностью, превышающей d/2, где d – расстояние между соседними максимумами кривой. Теперь предположим, что мы не знаем вертикальное положение экрана с такой точностью; тогда положение кривой а на фиг. 1.2 нельзя определить с точностью, большей чем d/2, поскольку за начало отсчёта вертикальной шкалы необходимо принять некоторую фиксированную точку на экране 𝐵. При этом значение вероятности 𝑃 для любого 𝑥 должно отыскиваться усреднением по всем её значениям внутри окрестности размером d/2 вокруг точки 𝑥; в процессе такого усреднения интерференционная картина, очевидно, размажется и результирующая кривая не будет отличаться от кривой d на фиг. 1.2.

Фиг. 1.6. Аналогичный эксперимент со светом.

Два луча света, находящиеся в одинаковых фазах в точках 1 и 2, будут усиливать друг друга при попадании па экран 𝐶, если они проходят расстояние между экранами 𝐵 и 𝐶 за одинаковое время. Это означает, что максимум в дифракционной картине, возникающий при прохождении лучей света через два отверстия, будет находиться в центре экрана. Следующий максимум будет расположен ниже центра экрана настолько, чтобы достигающий этой точки луч из отверстия 1 проходил путь точно на одну длину волны больший, чем луч из отверстия 2.

Интерференция в эксперименте – признак волнового поведения электронов. Поскольку картина та же, что и в случае любого волнового движения, мы можем воспользоваться хорошо известным в теории дифракции света соотношением, которое связывает расстояние а между отверстиями, расстояние l от экрана 𝐵 до плоскости 𝐶, длину волны света λ и расстояние между максимумами d:

𝑎

𝑙

=

λ

𝑑

(1.4)

(фиг. 1.6). В гл. 3 мы покажем, что длина волны электрона неразрывно связана с его импульсом соотношением

𝑝=

ℎ

λ

.

(1.5)

Если 𝑝 – полный импульс электрона (а мы предполагаем, что все пролетающие электроны имеют одинаковый полный импульс), то из фиг. 1.7 видно, что в случае 𝑙 ≫ 𝑎

δ𝑝

𝑝

≈

𝑎

𝑙

.

(1.6)

Отсюда следует, что

𝑑=

ℎ

δ𝑝

.

(1.7)

Поскольку из опыта мы знаем, что интерференционная картина исчезла, то неопределённость δ𝑥 в измерении положения экрана 𝐶 должна быть больше 𝑑/2. Следовательно,

δ𝑝δ𝑥≥

ℎ

2

,

(1.8)

что согласуется (по порядку величины) с обычной формулировкой принципа неопределённости.

Фиг. 1.7. Отклонение электрона при прохождении через отверстие в экране 𝐵.

Оно фактически сводится к изменению импульса δ𝑝. В направлении, приблизительно перпендикулярном исходному вектору импульса; к нему добавляется небольшая составляющая. Изменение энергии совершенно ничтожно, и при малых углах отклонения абсолютное значение полного импульса практически не меняется. Поэтому угол отклонения с высокой точностью можно положить равным |δ𝑝|/|𝑝|. Если в одну и ту же точку на экране 𝐶 попадают два электрона, один из которых вылетал из отверстия 1 с импульсом 𝑝₁, а другой – из отверстия 2 с импульсом 𝑝₁, то углы, на которые они отклонились, должны отличаться приблизительно на величину 𝑎/𝑙. Поскольку мы не можем сказать, через какое отверстие прилетел электрон, неопределённость вертикальной составляющей импульса, которую он приобретает при прохождении через экран 𝐵, должна быть эквивалентна неопределённости в угле отклонения. Это даёт соотношение |𝑝₁-𝑝₂|/|𝑝|=|δ𝑝|/|𝑝|=𝑎/𝑙.

Подобный же анализ можно применить и к тому измерительному устройству, где использовалось рассеяние света для определения того, через какое отверстие проходит электрон; для погрешностей измерений мы получим ту же самую оценку.

Рассматривая подобные эксперименты, мы отнюдь не доказываем принцип неопределённости, а лишь иллюстрируем его. Обоснование же его двоякого рода: во-первых, никто ещё не нашёл какого-либо экспериментального способа устранить накладываемые им ограничения на точность измерений; во-вторых, он представляется необходимым для того, чтобы законы квантовой механики были совместны; предсказания этих законов вновь и вновь подтверждаются с большой точностью.

§ 3. Интерферирующие альтернативы ¹)

¹) На протяжении всей книги термин «альтернатива» применяется авторами для обозначения взаимоисключающих (альтернативных) возможностей при некотором выборе. Поскольку в советской физической литературе нет краткого и общепринятого термина для такого понятия, мы всюду сохраняем авторскую терминологию.– Прим. ред.

Две разновидности альтернатив. С физической точки зрения две траектории представляют собой независимые альтернативы; однако было бы ошибкой думать, что полная вероятность в этом случае есть сумма 𝑃₁+𝑃₂. Видимо, либо посылки, либо суждения, приводящие к такому заключению, являются ложными. Поскольку инерция нашего мышления очень сильна, многие физики считают более удобным отказаться от посылки, чем от суждения. Чтобы избежать парадоксов, они принимают следующую точку зрения: если не делается попытки уточнить, через какое отверстие проходит электрон, то нельзя и говорить, что он должен пройти через одно из двух отверстий. Только в том случае, когда действует прибор, определяющий путь электрона, можно утверждать, что он действительно проходит через одно из этих отверстий. Если вы следите за электроном, то видите, где он пролетает, но если вы не наблюдаете за ним, то не можете сказать, как именно он летит. Природа требует от нас предельной логической собранности [как выразились авторы – «walk a logical tightrope».– Ред.], если мы желаем её описывать.

В противоположность такой точке зрения будем следовать в этой книге предположению, сделанному в начале этой главы, и откажемся от суждения, приводящего к ложному выводу: не будем вычислять вероятности путём суммирования вероятностей всех альтернатив. Для того чтобы сделать более понятными новые правила сложения вероятностей, удобно уточнить два различных содержания термина «альтернатива». С первым из них связана концепция взаимоисключения. Так, отверстия 1 и 2 представляют собой несовместимые альтернативы, если одно из них закрыто или если действует прибор, который может однозначно определить, через какое отверстие прошёл электрон. С другим значением связана концепция комбинирования или интерференции («интерференция» означает у нас то же самое, что и в оптике, т.е. усиление или ослабление амплитуды при наложении процессов). Таким образом, будем говорить, что по отношению к электрону отверстия 1 и 2 представляют собой интерферирующие альтернативы, если: 1) открыты оба отверстия и если 2) не предпринимается попыток определить, какое отверстие пропустило электрон. В случае когда подобные альтернативы имеют место, нужно изменить правила получения вероятностей и выбрать их в виде (1.1) и (1.2).

Понятие об интерференции амплитуд – основное во всей квантовой механике. В некоторых ситуациях могут присутствовать обе разновидности альтернатив. Предположим, что в эксперименте с двумя отверстиями нас интересует вероятность попадания электрона в некоторую точку, скажем, в пределах 1 см от центра экрана. Мы можем понимать под этим вероятность того, что сработавший детектор находился в пределах 1 см от точки 𝑥=0 (если детекторы были размещены по всему экрану и один из них наверняка сработал бы, когда электрон попал на экран). В этом случае существуют различные вероятности того, что электрон попадает в детектор через то или другое отверстие. Отверстия представляют собой интерферирующие альтернативы, а детекторы – несовместимые. Поэтому сначала складываем φ₁+φ₂ для фиксированного значения 𝑥, возводим эту сумму в квадрат, а затем полученные вероятности интегрируем по 𝑥 от -1 до 1.

Обладая небольшим опытом, нетрудно сказать, какая именно разновидность альтернативы имеет место. Предположим, например, что мы располагаем информацией об альтернативах (или её можно было бы получить без изменения конечного результата), но эта информация не используется. Тем не менее суммирование вероятностей в этом случае нужно выполнять по правилу для несовместимых альтернатив. Благодаря имеющейся информации эти несовместимые альтернативы при необходимости могли бы быть идентифицированы по отдельности.

Фиг. 1.8. Рассеяние одного ядра на другом в системе центра масс.

При рассеянии двух тождественных ядер появляется чёткий интерференционный эффект. В этом случае налицо две интерферирующие альтернативы. Частица, которая попадает, например, в точку 1, могла вылететь либо из А, либо из В. Если бы исходные ядра не были идентичными, то проверка тождественности в точке 1 могла бы указать, какая альтернатива имеет место в действительности; тогда альтернативы были бы несовместимы и поэтому никаких интерференционных эффектов не возникло бы.

Некоторые иллюстрации. Альтернативы, которые невозможно различить никаким экспериментом, всегда интерферируют. Яркой иллюстрацией этого факта служит, например, рассеяние двух ядер на угол 90° в системе центра масс, которое изображено на фиг. 1.8. Пусть А является α-частицей, а В – некоторым другим ядром. Спрашивается, какова вероятность того, что А попадает в точку 1 и В в точку 2. Пусть амплитудой такого процесса будет φ_AB(1,2), тогда вероятность 𝑝=|φ_AB(1,2)|². Допустим, что мы не различаем, какое ядро попадает в точку 1 (т.е. не знаем, будет ли это ядро А или В). Если это ядро В, то амплитудой такого события будет φ_AB(2,1) [равная φ_AB(1,2), так как мы выбрали угол рассеяния 90°]. Вероятность того, что одно ядро попадёт в точку 1, а другое в точку 2, равняется

|φ

_AB

(1,2)|²+

|φ

_AB

(2,1)|²=

2𝑝.

(1.9)

Мы сложили вероятности. Случаи, когда и А, и В попадают в точку 1, представляют собой несовместимые альтернативы, так как при желании мы могли бы, не нарушая предыдущего процесса рассеяния, определить тип ядра, попавшего в точку 1.

Но что произойдёт, если не только А, но и В также будет α-частицей? Никакой эксперимент в этом случае не в состоянии различить их, и если что-то попадает в точку 1, мы не сможем узнать, какая это частица. Здесь налицо интерферирующие альтернативы, и вероятность равна уже

|φ

_AB

(1,2)+φ

_AB

(2,1)|²=4𝑝.

(1.10)

Этот интересный результат проверен на опыте.

Когда происходит рассеяние электронов на электронах, то результат отличен от описанного в двух отношениях. Во-первых, у электрона есть свойство, которое мы называем спином, и каждый электрон может находиться в одном из двух состояний: его спиновый момент направлен «вверх» или «вниз». В случае рассеяния электронов малой энергии спиновое состояние в первом приближении не изменяется. Со спином связан магнитный момент электрона; при малых скоростях основными будут электрические силы, обусловленные зарядом, а влияние магнитных сил сводится лишь к малой поправке, которой мы пренебрегаем. Поэтому если спин электрона А направлен вверх, а спин электрона В – вниз, то, определив его направление, мы могли бы затем различить их в момент прихода в точку 1. Вероятность рассеяния в этом случае

|φ

_AB

(1,2)|²+

|φ

_AB

(2,1)|²=

2𝑝.

(1.11)

Если же и электрон А, и электрон В начинают движение, когда их спины были направлены вверх, то мы не сможем их в дальнейшем различить и следует ожидать, что

|φ

_AB

(1,2)+φ

_AB

(2,1)|²=4𝑝.

(1.12)

В действительности этот вывод ошибочен, и, как это ни странно, электроны не подчинены такому правилу. Фаза амплитуды, описывающей перемену мест пары тождественных электронов, отличается от исходной на угол 180°. Следовательно, в случае когда оба спина направлены вверх, вероятность рассеяния равна

|φ

_AB

(1,2)-φ

_AB

(2,1)|.

(1.13)

В случае же рассеяния на угол 90° φ_AB(1,2)=φ_AB(2,1), так что выражение (1.13) обращается в нуль.

Фермионы и бозоны. Правило сдвига фазы на угол 180° в случае, когда альтернативы включают в себя обмен тождественными электронами, довольно необычно и его физическая природа понята ещё не до конца. Кроме электронов, ему подчинены и другие частицы. Такие частицы называют фермионами и говорят, что они подчиняются статистике Ферми (антисимметричной статистике). К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и μ-мезоны, а также комбинации из нечётного числа этих частиц, как, например, атом азота, содержащий семь электронов, семь протонов и семь нейтронов. Правило сдвига фазы на угол 180° впервые сформулировал Паули, и оно составляет квантовомеханическую основу принципа исключения Паули, определяющего характерные черты периодической системы элементов.

Частицы, перестановка которых не изменяет фазу амплитуды, называют бозонами и говорят, что они подчинены статистике Бозе, или симметричной статистике. Примерами бозонов являются фотоны, π-мезоны и системы, содержащие чётное число ферми-частиц, как, например, α-частица, состоящая из двух протонов и двух нейтронов. Все частицы вещества являются либо бозонами, либо фермионами. Эти свойства симметрии могут приводить к глубоким и на первый взгляд таинственным. последствиям; например, жидкий гелий, состоящий из атомов с массовым числом 4 (т.е. из бозонов), при температуре порядка 1—2° К может течь без сопротивления по узким трубкам, в то время как жидкость, состоящая из атомов с массовым числом 3 (из фермионов), не обладает таким свойством.

Понятие тождественности частиц в квантовой механике намного полнее и определённее, чем в классической. С точки зрения классической механики две частицы, которые считаются тождественными, могли бы быть лишь приблизительно одинаковы или настолько одинаковы, чтобы на практике с помощью современной техники эксперимента их нельзя было различить. При этом сохраняется возможность, что техника будущего установит такое различие. Однако в квантовой механике положение совершенно иное: мы можем указать прямой критерий, устанавливающий, являются ли частицы совершенно неразличимыми или они различимы.

Если в эксперименте, который схематически изображён на фиг. 1.8, частицы, вылетающие из точек 𝐴 и 𝐵, одинаковы лишь приблизительно, то усовершенствование техники эксперимента дало бы нам возможность (путём тщательного изучения попадающих в точку 𝑥 частиц) определить, прилетают ли они из точки 𝐴 или из точки 𝐵. В этом случае альтернативы, соответствующие двум исходным положениям, должны быть несовместимы и, следовательно, их амплитуды не будут интерферировать. Важно, что подобный акт обследования имел бы место уже после того, как произошло рассеяние. Таким образом, наблюдение не могло повлиять на процесс рассеяния, а это в свою очередь означает, что не следует ожидать интерференции между амплитудами, описывающими эти альтернативы (вылетает ли частица, попадающая в точку 1, из 𝐴 или из 𝐵). В этом случае, согласно принципу неопределённости, мы должны заключить, что нет способа (даже в принципе) различить эти возможности; другими словами, если частица попадает в точку 1, то с помощью любого испытания (каково бы оно ни было) ни сейчас, ни в будущем совершенно невозможно определить, вылетела частица из точки 𝐴 или из точки 𝐵. В этом, более строгом, смысле все электроны (равно как все протоны и другие частицы) тождественны.

Рассмотрим теперь рассеяние нейтронов на кристалле. Когда на атомах кристалла рассеиваются нейтроны с длиной волны, несколько меньшей, чем расстояние между атомами, мы получаем ярко выраженные интерференционные эффекты. Подобно рентгеновским лучам, нейтроны вылетают из кристалла только в некоторых дискретных направлениях, определяемых брэгговским законом отражения. В этом примере интерферирующими альтернативами будут взаимоисключающие возможности рассеяния отдельного нейтрона на том или ином атоме (амплитуда рассеяния нейтрона на каком-либо атоме настолько мала, что нет надобности рассматривать альтернативы, соответствующие рассеянию более чем на одном атоме). Волны амплитуды (описывающей движение нейтрона), которые распространяются от этих атомов, усиливают друг друга лишь в некоторых определённых направлениях.

Существует одно интересное обстоятельство, которое усложняет эту явно простую картину. Подобно электронам нейтроны имеют спин, и у них можно выделить два состояния: состояние со спином «вверх» и состояние со спином «вниз». Предположим, что атомы рассеивающего вещества обладают аналогичным спиновым свойством, как, например, углерод С¹³. В этом случае эксперимент покажет два явно различных типа рассеяния. Оказывается, что, кроме рассеяния в дискретных направлениях, которое описано выше, имеется и диффузное рассеяние по всем направлениям. Почему оно возникает?

Ключ к пониманию этих двух типов рассеяния мы получим, заметив следующее. Предположим, что спины всех нейтронов, участвующих в эксперименте, до рассеяния направлены вверх. Если анализировать направления спинов вылетающих нейтронов, то обнаружится, что некоторые будут направлены вверх, а некоторые – вниз; нейтроны, спин которых по-прежнему направлен вверх, рассеиваются только под дискретными углами Брэгга, в то время как нейтроны, спин которых перевернулся, рассеиваются диффузно по всем направлениям.

Если нейтрон изменил направление спина, то закон сохранения углового момента потребует, чтобы ядро, на котором произошло рассеяние, также изменило направление своего спина на обратное. Следовательно, в принципе можно было бы выявить то ядро, на котором рассеялся данный нейтрон. Мы могли бы для этого запомнить перед экспериментом спиновое состояние всех рассеивающих ядер в кристалле. Затем после того, как рассеяние произошло, мы могли бы исследовать кристалл вновь и посмотреть, у каких ядер спин переменился на обратный. Если ни у одного ядра в кристалле спин не претерпел такого изменения, то ни у одного нейтрона направление спина также не изменилось, и мы не может сказать, на каком ядре в действительности произошло рассеяние нейтрона. В этом случае альтернативы интерферируют, и в результате мы имеем брэгговский закон рассеяния.

Если же при этом обнаружится, что у какого-то ядра направление спина изменилось, то мы знаем, что на этом именно ядре и произошло рассеяние; интерференции альтернатив нет. Движение рассеянного нейтрона описывается сферическими волнами, которые расходятся от рассеивающего ядра, и в описание входят только эти волны. В таком случае вылет нейтрона равновероятен в любом направлении.

Исследовать все атомные ядра в кристалле, чтобы найти одно, у которого изменилось спиновое состояние,– это подобно поискам иголки в стоге сена; но природу не интересуют практические трудности экспериментатора. Существенно то, что в принципе возможно, не возмущая движение рассеянного нейтрона, определить, на каком именно ядре произошло рассеяние. Наличие такой возможности означает, что даже если мы и не выявляем это ядро, тем не менее имеем дело с несовместимыми (и, следовательно, не интерферирующими) альтернативами.

С другой стороны, возникновение интерференции между альтернативами, если спиновые состояния нейтронов не изменились, означает, что даже в принципе невозможно когда-либо обнаружить, на каком отдельном ядре кристалла произошло рассеяние – невозможно, во всяком случае, без вмешательства в опыт в момент рассеяния или до него.

§ 4. Краткий обзор понятий, связанных с вероятностью

Альтернативы и принцип неопределённости. В предыдущем изложении мы хотели разъяснить смысл амплитуды вероятности, её значение в квантовой механике и рассмотреть правила обращения с вероятностями. При этом выяснилось, что существует некоторая величина, называемая амплитудой вероятности, сопоставляемая каждому возможному в природе способу осуществления события. Например, электрон, летящий от источника 𝑆 в детектор, расположенный в точке 𝑥 (см. фиг. 1.1), имеет одну амплитуду вероятности, когда он движется через отверстие 1 экрана 𝐵, и другую амплитуду, если он проходит через отверстие 2. Событию в целом можно затем сопоставить амплитуду вероятности, получаемую путём сложения амплитуд для каждого альтернативного способа движения. Так, приведённая в равенстве (1.2) полная амплитуда вероятности попадания в точку 𝑥 есть

φ=φ

₁

+φ

₂

.

(1.14)

Квадрат модуля полной амплитуды мы интерпретируем как вероятность того, что соответствующее событие произойдёт. Например, вероятность попадания электрона в детектор

𝑃=|φ

₁

+φ

₂

|².

(1.15)

Если мы прерываем развитие процесса ещё до его завершения, наблюдая состояние частиц в ходе события, то тем самым изменяем вид выражения для полной амплитуды. Так, если установлено, что система находится в некотором определённом состоянии, то тем самым мы исключаем возможность того, чтобы она оказалась в каком-либо другом состоянии, и при вычислении полной вероятности амплитуды, связанные с такими исключёнными состояниями, уже нельзя рассматривать в качестве альтернатив. Например, если с помощью какого-нибудь устройства определить, что электрон проходит именно через отверстие 1, то амплитуда его попадания в детектор будет точно равна φ₁. Совершенно неважно, будем ли мы (в тот момент, когда работает измеряющее устройство) фактически наблюдать и записывать результат наблюдения или же нет. Очевидно, что при желании его можно было бы узнать в любое время. Уже одного вмешательства измеряющего устройства достаточно, чтобы изменить систему и соответствующую амплитуду полной вероятности.

Это последнее обстоятельство и составляет основу принципа неопределённости Гейзенберга, который утверждает, что существует естественный предел точности любого эксперимента и любого усовершенствования измерений.

Структура амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности всякого события представляет собой сумму амплитуд различных альтернативных возможностей осуществления этого события. Это позволяет изучать её многими различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Наиболее детальная картина получается при условии, что частица при переходе из состояния 𝐴 в состояние 𝐵 за данный промежуток времени совершает вполне определённое движение (т.е. определённым образом изменяет свои координаты в зависимости от времени), описывая конкретную траекторию в пространстве и времени. С каждым таким возможным движением мы будем связывать одну амплитуду; полная же амплитуда вероятности будет суммой вкладов от всех траекторий.

Эту мысль можно пояснить, продолжив рассмотрение нашего эксперимента с двумя отверстиями. Пусть между источником и отверстием помещена пара дополнительных экранов 𝐷 и 𝐸 (фиг. 19). В каждом из них проделаем по нескольку отверстий, которые обозначим 𝐷₁, 𝐷₂, … и 𝐸₁, 𝐸₂, … . Для простоты будем предполагать, что движение электронов происходит в плоскости (𝑥, 𝑦). В таком случае имеется несколько альтернативных траекторий, которые может выбрать электрон при своём движении от источника к отверстию в экране 𝐵. Он мог бы направиться сначала к отверстию 𝐷₂, далее к 𝐸₃ и затем к отверстию 1 или же мог бы, выйдя из источника, пролететь через 𝐷₃, затем через 𝐸₃ и, наконец, через отверстие 1 и т.д. Каждой из этих траекторий соответствует своя собственная амплитуда, и полная амплитуда вероятности будет их суммой.

Фиг. 1.9. Опыт с несколькими отверстиями в экранах.

Когда в экранах 𝐷 и 𝐸, помещённых между источником на экране 𝐴 и конечной точкой на экране 𝐶, проделано несколько отверстий, для каждого электрона имеется несколько альтернативных траекторий. Каждой из этих траекторий соответствует своя амплитуда вероятности. Чтобы определить результат какого-либо эксперимента, в котором открыты все отверстия, необходимо просуммировать все эти амплитуды по одной для каждой возможной траектории.

Предположим теперь, что мы увеличиваем число отверстий в экранах 𝐷 и 𝐸 до тех пор, пока от экранов ничего не останется. Траектория электрона должна определяться в этом случае высотой 𝑥_𝐷, на которой электрон пересекает несуществующий экран 𝐷, расположенный от источника на расстоянии 𝑦_𝐷, а также высотой 𝑥_𝐸 и расстоянием 𝑦_𝐸, как это показано на фиг. 1.10. Каждой паре значений 𝑥_𝐷 и 𝑥_𝐸 здесь соответствует своя амплитуда. Принцип суперпозиции по-прежнему остаётся в силе, и мы должны взять сумму (теперь уже интеграл) этих амплитуд по всем возможным значениям 𝑥_𝐷 и 𝑥_𝐸.