Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 25 страниц)

QUANTUM MECHANICS

AND

PATH INTEGRALS

by

R. P. FEYNMAN

Tolman Professor of Physics

California Institute of Technology

A. R. HIBBS

Jet Propulsion Laboratory

California Institute of Technology

McGRAW-HILL BOOK COMPANY

NEW YORK 1965

Р. Фейнман, А. Хибс

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

И ИНТЕГРАЛЫ

ПО ТРАЕКТОРИЯМ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО

Э. М. Барлита и Ю. Л. Обухова

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

В. С. Барашенкова

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» • МОСКВА 1968

УДК 530.145

Оригинальный курс квантовой механики, написанный на основе лекций известного американского физика, лауреата Нобелевской премии Р. П. Фейнмана. От всех существующих изложений данная книга отличается как исходными посылками, так и математическим аппаратом: в качестве отправного пункта принимается не уравнение Шрёдингера для волновой функции, а представление о бесконечномерном интегрировании по траекториям. Это позволяет наглядным и естественным образом связать квантовое и классическое описания движения. Формализм новой теории подробно развит и проиллюстрирован на примере ряда традиционных квантовых задач (гармонический осциллятор, движение частицы в электромагнитном поле и др.).

Книга представляет интерес для широкого круга физиков – научных работников, инженеров, лекторов, преподавателей, аспирантов. Она может служить дополнительным пособием по курсу квантовой механики для студентов физических специальностей.

Редакция литературы по физике

Инд. 2-3-2

Предсловие редактора перевода

В распоряжении советского читателя имеется сейчас не менее десятка хороших и обстоятельных изложений основ квантовой механики (см., например, [1—7] и др.). Поэтому, казалось бы, нет необходимости в переводе и издании ещё одной книги на эту тему. Однако предлагаемый вниманию читателя курс квантовой механики Фейнмана и Хибса совершенно не похож на ранее изданные труды других авторов.

Независимо от того, какой точки зрения придерживается тот или иной автор в интерпретации квантовой механики: стоит ли он на позициях копенгагенской школы, придерживается теории ансамблей или же предпочитает какую-то другую точку зрения,– в основу изложения всегда кладётся понятие волновой функции. Такой подход является традиционным, но далеко не наилучшим: резкий переход от привычной картины классических траекторий к описанию, в котором точечная частица в каждый момент времени характеризуется целой функцией и с определённой вероятностью может быть обнаружена в любой пространственной точке, как правило, вызывает затруднения в понимании. Часто у студента ещё довольно долгое время остаётся подозрение, что квантовая механика – это лишь некоторое искусственное построение, временная замена более глубокой теории, в которой удастся снова вернуться к, казалось бы, естественной картине, когда частица в каждый момент времени занимает вполне определённое положение и имеет вполне определённую скорость.

Даже беглый просмотр огромного потока писем с прожектами различных новых теорий, поступающих в научно-исследовательские организации, показывает, что значительная их часть имеет в своей основе именно такое подозрение, превратившееся в настойчивую уверенность автора.

В изложении Фейнмана и Хибса квантовая картина возникает как естественное обобщение классических пространственно-временных траекторий, каждая из которых даёт свой вполне определённый вклад в общую вероятность перехода частицы из точки A в точку B. При некоторых условиях фазовые множители, определяющие относительные веса отдельных траекторий, могут почти полностью компенсировать друг друга и нескомпенсированным останется вклад всего лишь одной траектории; этот частный случай и соответствует обычному классическому движению частицы.

В таком подходе устраняется интуитивная пропасть между классической и квантовой картиной движения, хотя с принципиальной точки зрения квантовая механика в формулировке Фейнмана является, конечно, самой «обычной» и в этом смысле ничем не отличается от квантовой механики, изложенной в цитированных выше учебниках. На каждом этапе вычислений можно перейти от формулировки Фейнмана к обычным выражениям, содержащим волновую функцию.

Иногда можно слышать, что Фейнман показал полную применимость понятия траектории в квантовой механике и тем самым ограничил область действия принципа неопределённостей Δ𝑝Δ𝑥 ~ ℏ. Следует подчеркнуть, что подобные высказывания являются принципиально неверными: никаких дополнительных ограничений на область действия принципа, неопределённостей формулировка Фейнмана не вносит; довольно безразлично, утверждаем ли мы, что траектория частицы в квантовой механике в общем случае не имеет смысла (поскольку движению частицы присуще распределение импульса в интервале Δ𝑝 ~ ℏ/Δ𝑥), или же говорим, что частица не имеет определённого значения импульса, поскольку волновые законы не позволяют локализовать её траекторию с точностью, лучшей чем Δ𝑥 ~ ℏ/Δ𝑝. В обоих случаях речь идёт о том, что движение частицы нельзя одновременно характеризовать точными значениями её координаты и импульса.

Остаётся, конечно, важный вопрос: является ли вероятностная интерпретация квантовой механики единственно возможной. Независимо от будущего ответа выяснение этой проблемы требует какого-то обобщения с выходом за рамки современной квантовой теории. Обобщения такого рода в настоящее время ещё не существует. Несмотря на то что современная теория элементарных частиц находится в весьма неудовлетворительном состоянии, нам пока не известно ни одного экспериментального факта, который был бы совершенно непонятен с точки зрения современных физических представлений, подобно тому как это было с опытом Майкельсона или с излучением чёрного тела на рубеже XIX и XX веков. Это обстоятельство является совершенно поразительным. Может быть, дело здесь в том, что наши представления о свойствах субатомных явлений во многих случаях имеют пока скорее качественный, чем количественный характер.

Недавние эксперименты по проверке дисперсионных соотношений для упругого рассеяния пионов на протонах показали, что в пределах точности измерений современной экспериментальной техники нет никаких отклонений от известных нам квантовых законов по крайней мере до расстояний Δ𝑥 ~ 5⋅10^-15 см и интервалов времени Δ𝑡 ~ 2⋅10^-25 сек.

Вполне возможно, что в будущем нам придётся существенно изменить известные сейчас законы квантования; однако представляется очень маловероятным, чтобы это изменение было связано с отказом от вероятностного описания микроявлений. Наоборот, есть все основания ожидать, что в изучении микромира по мере перехода ко все меньшим масштабам расстояний и времени роль вероятностного элемента будет возрастать.

Формулировка квантовой теории, предложенная Фейнманом, потребовала довольно сложного математического аппарата бесконечномерных интегралов в функциональном пространстве. В математической литературе такие интегралы часто называют «континуальными интегралами» или «интегралами по мере Винера», однако среди физиков более распространёнными являются термины «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Последний из них довольно точно соответствует английскому названию книги Фейнмана и Хибса (Quantum Mechanics and Path Integrals) и сути предложенного Фейнманом метода; этим термином мы и будем пользоваться далее.

Впервые интеграл по траекториям был введён в работах Эйнштейна и Смолуховского по теории броуновского движения, где было показано, что для броуновской частицы вероятность пройти вдоль траектории 𝑥=𝑥(𝑡) таким образом, чтобы

𝑥(0)=0,

𝑎₁ < 𝑥(𝑡₁) < 𝑏₁,

. . . . . . .

𝑎_n < 𝑥(𝑡_n) < 𝑏_n,

где

0 < 𝑡₁ < 𝑡₂ < … < 𝑡_n

равна

𝑏₁

∫

𝑎₁

…

𝑏_n

∫

𝑎_n

𝒫(0|𝑥

₁

;𝑡

₁

)𝒫(𝑥

₁

|𝑥

₂

;𝑡

₂

–𝑡

₁

)…

…𝒫(𝑥

_n-1

|𝑥

_n

;𝑡

_n

–𝑡

_n-1

)𝑑𝑥

₁

…𝑑𝑥

_n

,

где

𝒫(𝑥|𝑦;𝑡)

=

1

2√π𝐷𝑡

𝐷 – постоянный коэффициент диффузии. В пределе, когда все интервалы (𝑡_𝓀-𝑡_𝓀-1)→0, это выражение переходит в бесконечномерный интеграл по траекториям.

С математической точки зрения обоснование такого предельного перехода требует прежде всего строгого определения дифференциального элемента объёма 𝒟ⁿ𝑥 – меры в соответствующем функциональном пространстве. Эта задача была подробно рассмотрена в начале двадцатых годов Винером [8, 9], который показал, что в случае независимых смещений броуновской частицы 𝑦_𝓀≡𝑥(𝑡_𝓀)-𝑥(𝑡_𝓀-1) мера

𝒟

ⁿ

𝑥

=

exp [-

n

∑

𝓀=1

𝑦

₂

^𝓀

/4𝒟(𝑡

_𝓀

–𝑡

_𝓀-1

)]

n

∏

𝓀=1 √4π𝒟(𝑡_𝓀-𝑡_𝓀-1)

n

∏

𝓀=1

𝑑𝑥

_𝓀

Это выражение принято называть мерой Винера (более строгий вывод 𝒟ⁿ𝑥 дан в монографии Каца [10]).

Интеграл по траекториям от функционала 𝐹[𝑥(𝑡)] записывается в виде

∫

𝐹[𝑥(𝑡)]𝒟

ⁿ

𝑥

=lim

𝑏₁

∫

𝑎₁

…

𝑏_n

∫

𝑎_n

𝐹(𝑦

₁

;𝑦

₂

;…𝑦

_n

)𝒟

ⁿ

𝑥.

Интегралу Эйнштейна – Смолуховского соответствует функционал 𝐹, тождественно равный единице. Фейнмановский интеграл по траекториям отличается лишь тем, что фактор (—1) в экспоненте выражения 𝒟ⁿ𝑥 заменяется мнимой единицей 𝑖, а постоянной 𝐷 придаётся другой физический смысл.

В книге Фейнмана и Хибса не дано строгого определения интеграла по траекториям; он вводится чисто интуитивно как предел соответствующего многократного интеграла (заметим, что введение комплексной единицы существенно усложняет строгое обоснование такого предельного перехода). Впрочем, для физика это в большинстве случаев не очень важно; ему нужна лишь уверенность, что строгое доказательство может быть получено.

Как отмечают сами авторы, их книга является не законченным учебником квантовой механики, а скорее введением в этот важнейший раздел современной физики; в качестве учебника её можно использовать совместно с каким-либо другим пособием, где подробно рассмотрены уравнение Шрёдингера и применение аппарата квантовой механики к решению конкретных физических задач (например, из курсов [1—7]).

Книга, несомненно, окажется полезной и интересной как для специалистов, которые уже владеют методами квантовой теории и желают расширить свой теоретический кругозор взглянув на знакомые вещи с несколько другой стороны, так и для аспирантов и студентов, изучающих квантовую механику.

Перевод выполнен Э. М. Барлитом (предисловие, гл. с 1 по 4 и с 10 по 12) и Ю. Л. Обуховым (гл. с 5 по 9).

В. С. Барашенков

Литература

1.

Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, М., 1958.

2.

Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики, М., 1966.

3.

Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1963.

4.

Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, М., 1960.

5.

Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, М., 1963.

6.

Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика, М., 1962.

7.

Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957.

8.

Wiener N., Jorn. of Mathem. and Physics, Massachusetts Institute of Technology, 2, 131 (1923).

9.

Wiener N., Proc. London Math. Soc. (Ser. 2), 2, 454 (1924).

10.

Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.

Предисловие

В основу своего нового подхода к квантовой механике Р. Фейнман положил интеграл по траекториям. Основные физические и математические идеи такого подхода впервые возникли у него во время прохождения аспирантуры в Принстоне, хотя в законченном виде, подобном изложению в настоящей книге, они не были сформулированы ещё несколько лет. Эти ранние исследования были вызваны проблемой расходимости собственной энергии электрона. В ходе работы возникла идея некоторого «принципа наименьшего действия», с помощью которого удалось справиться с расходимостями, возникающими в классической электродинамике.

Затем появилась мысль применить этот принцип к квантовой механике, чтобы получить классическую механику как предельный случай квантовой при ℎ стремящейся к нулю.

Фейнман в это время пытался как-нибудь связать квантовомеханическое описание явлений с такими классическими понятиями, как лагранжиан или гамильтонова функция действия – первообразная от лагранжиана. Из бесед с одним европейским физиком, гостившим в то время в США, он узнал о статье Дирака¹), где рассматривалось преобразование квантовомеханической волновой функции с помощью экспоненты от лагранжиана, помноженного на 𝑖ε. Дирак предполагал, что это преобразование аналогично переходу от значения волновой функции в некоторый момент к её значению в другой момент, отделённый интервалом ε , причём такой переход совершается простым умножением на упомянутую экспоненту.

¹ Подробно об истории возникновения этих идей Фейнман рассказывает в своей Нобелевской лекции [УФН, 91, вып. 1, 29 (1967)].– Прим. перев

Возник вопрос: что подразумевал Дирак под словом «аналогично»? Фейнман решил выяснить, не означает ли оно «равняется». Краткое исследование показало, что эту экспоненту действительно можно использовать именно таким образом.

Последующий анализ привёл к применению экспоненты от 𝑆 (в этой книге 𝑆 – интеграл по времени от лагранжиана – будет называться действием) в качестве функции преобразования для конечных интервалов времени. Однако при использовании такой формулы необходимо для каждого момента времени вычислять интегралы по всем пространственным переменным.

Когда готовилась статья, излагающая эту идею [1], возникло представление об «интеграле по всем траекториям» как методе описания и как способе выполнения необходимых интеграций по всем координатам. К тому времени было уже разработано несколько математических приёмов с применением интегрирования по траекториям и рассмотрено несколько приложений, хотя главным направлением работы являлась в то время квантовая электродинамика. Фактически интегрирование по траекториям ни тогда, ни впоследствии не стало удовлетворительным способом устранения расходимостей квантовой электродинамики; зато выяснилось, что этот метод чрезвычайно полезен для решения задач в другой области. В частности, с его помощью законы квантовой электродинамики выражаются в таком виде, что их релятивистская инвариантность становится очевидной. Кроме того, были найдены успешные приложения этого метода и к другим квантовомеханическим задачам.

Из ранних применений метода интегрирования по траекториям к не поддававшейся квантовой задаче наиболее впечатляющим было его приложение к проблеме лэмбовского сдвига вскоре после его открытия. В теории при объяснении этого сдвига без привлечения явно искусственных приёмов устранения расходимостей возникли трудности. Интегрирование по траекториям оказалось одним из вполне логичных и внутренне согласованных способов обращения с этими трудно преодолимыми бесконечностями.

На протяжении нескольких лет изложение квантовой механики с использованием интеграла по траекториям применялось в качестве лекционного курса в Калифорнийском технологическом институте. В течение этого времени А. Хибс, студент Фейнмана, подготовлял конспекты, пригодные для превращения курса лекций, посвящённого такому подходу к квантовой механике, в книгу на эту тему.

В последующие годы, пока писалась книга, и в лекции д-ра Фейнмана и в книгу были включены новые разделы, например статистическая механика и вариационный принцип. За это же время изложение квантовой механики в лекциях Фейнмана до некоторой степени отклонилось от первоначального подхода. Выяснилось, что для решения более общих задач квантовой механики операторный метод оказывается и глубже, и намного мощнее. Тем не менее интеграл по траекториям обеспечивает наглядность восприятия квантовомеханических ситуаций, что чрезвычайно ценно при выработке интуитивного понимания квантовых законов. Благодаря этому в тех разделах квантовой механики, где данный подход оказывается особенно полезным (а большинство из них представлено в этой книге), студенту-физику обеспечено превосходное понимание основных квантовых принципов, что позволит ему в будущем намного эффективнее решать задачи из более широких областей теоретической физики.

Р. Фейнман

А. Хибс

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Вероятность в квантовой механике ²)

²) Большая часть материала этой главы первоначально представляла собой лекцию д-ра Фейнмана и была опубликована под названием «Концепция вероятности в квантовой механике» в [26].

В первые десятилетия нашего века экспериментальная физика накопила внушительное количество странных результатов, не укладывавшихся в прежние (классические) представления. Попытки теоретически объяснить новые явления привели сначала к замешательству, поскольку оказалось, что свет и электроны иногда ведут себя как волны, а иногда – как частицы. Кажущаяся несовместимость этих свойств была полностью устранена в 1926—1927 гг. в теории, названной квантовой механикой. Новая теория утверждала, что существуют эксперименты, точный результат которых в принципе не может быть предсказан, и что в этих случаях следует удовлетвориться вычислением вероятностей различных возможных исходов. Но гораздо более важным оказалось открытие того, что сложение вероятностей в природе происходит не по законам классической теории Лапласа. Квантовомеханические законы физического мира становятся очень близкими к законам Лапласа лишь по мере того, как увеличивается размер объектов, участвующих в эксперименте. Поэтому обычная теория вероятности вполне подходит для анализа поведения колеса рулетки, но не для рассмотрения отдельного электрона или фотона.

Мысленный эксперимент. Само понятие вероятности в квантовой механике не изменяется. Когда мы говорим, что вероятность определённого исхода опыта есть 𝑝, то вкладываем в это обычный смысл: при многократном повторении эксперимента ожидается, что относительное число опытов с интересующим нас исходом составит приблизительно 𝑝. Мы не будем вникать в подробности этого определения; никаких изменений понятия вероятности, принятого в классической статистике, нам не потребуется.

Зато придётся радикально изменить способ вычисления вероятностей. Последствия этого изменения оказываются наиболее значительными, когда мы имеем дело с объектами атомных размеров; поэтому будем иллюстрировать законы квантовой механики описанием результатов мысленных экспериментов с отдельным электроном.

Фиг. 1.1 поясняет наш воображаемый опыт. В точке 𝐴 расположен источник электронов 𝑆. Все электроны вылетают из этого источника с одной и той же энергией в направлении экрана 𝐵. Этот экран имеет отверстия 1 и 2, через которые могут проходить электроны. Наконец, за экраном 𝐵 в плоскости 𝐶 расположен детектор электронов, который можно помещать на различных расстояниях 𝑥 от центра экрана.

Фиг. 1.1. Схема эксперимента.

Испускаемые в точке 𝐴 электроны летят в детектор, расположенный на экране 𝐶. Между 𝐴 и 𝐶 помещён экран 𝐵 с двумя отверстиями 1 и 2. Детектор регистрирует каждый попадающий в него электрон; измеряется относительное число электронов, которые попадают в детектор, когда тот расположен на расстоянии 𝑥 от экрана 𝐶, и строится кривая зависимости числа отсчётов от 𝑥, представленная на фиг. 1.2.

Если детектор очень чувствителен (например, счётчик Гейгера), то мы обнаружим, что достигающий точки 𝑥 ток не непрерывен, а является как бы дождём из отдельных частиц. При малой интенсивности источника 𝑆 детектор зарегистрирует импульсы, свидетельствующие о попадании отдельных частиц, причём эти импульсы будут разделены промежутками времени, в течение которых в детектор ничего не попадает. Именно поэтому мы и считаем электроны частицами. Если бы мы расположили детекторы сразу по всему экрану, то в случае очень слабого источника 𝑆 сначала сработал бы только один детектор, потом через небольшой промежуток времени появление электрона зарегистрировал бы другой детектор и т.д. При этом ни один детектор не может сработать «наполовину»: либо электрон попадает в него целиком, либо вообще ничего не происходит. Никогда не срабатывали бы и два детектора одновременно (за исключением случаев совпадения, когда за время, меньшее разрешающей способности детекторов, источник испускает два электрона – событие, вероятность которого можно уменьшить дальнейшим ослаблением интенсивности источника). Другими словами, детектор на фиг. 1.1 регистрирует некоторый одиночный корпускулярный объект, пролетающий от источника 𝑆 до точки 𝑥 через отверстие в экране 𝐵.

Этот опыт никогда не был поставлен именно таким образом. Некоторые эксперименты, непосредственно иллюстрирующие наши дальнейшие выводы, действительно производились, но они, как правило, оказываются значительно более сложными. Из соображений наглядности мы предпочитаем отбирать эксперименты, наиболее простые в принципиальном отношении, и не обращаем внимания на реальные трудности их выполнения.

Между прочим, в подобном опыте вместо электронов можно использовать свет; это ничего бы не изменило. Источником 𝑆 мог быть источник монохроматического света, а чувствительным детектором – фотоэлемент (или, ещё лучше, фотоумножитель), который регистрировал бы импульсы, возникающие в нем при попадании одного фотона.

Величина, измеряемая нами при различных положениях детектора 𝑥,– это число импульсов за 1 сек. Другими словами, мы будем экспериментально определять (как функцию 𝑥) вероятность 𝑃 того, что вылетевший из источника 𝑆 электрон попадёт в точку 𝑥.

Фиг. 1.2. Результаты эксперимента.

Вероятность попадания электронов в точку я представлена как функция положения детектора 𝑥. Кривая a – результат эксперимента, изображённого на фиг. 1.1. Случаю, когда открыто только отверстие 1 и электроны могут пролетать только через это отверстие, соответствует кривая b; открытому отверстию 2 соответствует кривая c. Если предполагать, что каждый электрон проходит только сквозь одно отверстие из двух, то в случае, когда открыты оба отверстия, мы должны были бы получить кривую d=b+с. Это существенно отличается от кривой a, которую мы получаем в действительности.

График этой вероятности (как функции от 𝑥) представляет собой сложную кривую, которую в общих чертах передаёт фиг. 1.2, а. Эта кривая имеет несколько максимумов и минимумов, причём вблизи центра экрана существуют участки, куда электроны почти никогда не попадают. Объяснить, почему эта кривая имеет такой вид, и является задачей физики.

Мы могли бы сначала предположить (поскольку электроны ведут себя как частицы), что:

а) каждый электрон, летящий из источника 𝑆 в точку 𝑥, должен проходить либо через отверстие 1, либо через отверстие 2; исходя из этого предположения, мы ожидали бы, что

б) вероятность 𝑃 попадания в точку 𝑥 является суммой двух слагаемых: вероятности 𝑃₁ попасть в эту точку через отверстие 1 и вероятности 𝑃₂ попасть в эту же точку через отверстие 2.

Так ли это, можно выяснить непосредственно на опыте. Каждая из слагаемых вероятностей легко определяется: просто закроем отверстие 2 и подсчитаем число попаданий в точку 𝑥, когда открыто только лишь отверстие 1. Это даст нам вероятность 𝑃₁ попадания в точку 𝑥 электронов, пролетевших через отверстие 1. Результат изображается кривой b на фиг. 1.2. Аналогично, закрывая отверстие 1, найдём вероятность 𝑃₂ попадания в точку 𝑥 через отверстие 2 (кривая с на фиг. 1.2).

Сумма этих вероятностей (кривая d), очевидно, не совпадает с кривой a. Следовательно, эксперимент ясно говорит нам о том, что 𝑃≠𝑃₁+𝑃₂, или что утверждение б) ошибочно.

Фиг. 1.3. Аналогичный эксперимент с интерференцией волн.

Сложная кривая a на фиг. 1.2. совпадает с распределением интенсивности 𝐼(𝑥) волн, которые, выйдя из источника 𝑆 и пройдя через оба отверстия, достигли бы точки 𝑥. В некоторых точках 𝑥 часть волн в результате интерференции взаимопогашается (например, гребень волны, вышедшей из отверстия 1, приходит в точку 𝑥 в тот же самый момент, что и впадина волны из отверстия 2 ); в других же точках интерференция усиливает волны. В целом на кривой интенсивности 𝐼(𝑥) возникают сложные максимумы и минимумы.

Амплитуда вероятности. Вероятность попадания электрона в точку 𝑥, если открыты оба отверстия, не равна сумме вероятностей попадания, когда открыты только первое или только второе отверстие. В действительности кривая 𝑃(𝑥) нам хорошо знакома, поскольку она точно совпадает с распределением интенсивности при интерференции волн, которые, распространяясь от источника 𝑆, проходят через оба отверстия и падают на экран 𝐶 (фиг. 1.3). Амплитуды волн удобнее всего изображать комплексными числами. Заметив это, мы можем сформулировать правило для определения 𝑃(𝑥) в строгой математической форме: 𝑃(𝑥) представляет собой квадрат модуля некоторой комплексной величины φ(𝑥), которую мы назовём амплитудой вероятности попасть в точку 𝑥 (если учитывается спин электрона, то это гиперкомплексная величина). Далее, φ(𝑥) равна сумме двух вкладов: амплитуды φ₁ попадания в точку 𝑥 через отверстие 1 и амплитуды φ₂ попадания в ту же точку через отверстие 2. Другими словами,

в) существуют комплексные числа φ₁ и φ₂, такие, что

𝑃=|φ²|,

(1.1)

φ=φ

₁

+φ

₂

(1.2)

и

𝑃

₁

=|φ

₁

|², 𝑃

₂

=|φ

₂

|²

(1.3)

В последующих главах мы подробно рассмотрим конкретное вычисление φ₁ и φ₂. Сейчас же мы только укажем, что, например, амплитуду φ₁ можно найти как решение волнового уравнения, описывающего распространение волн от источника 𝑆 до точки 1 и из точки 1 в точку 𝑥. В этом находят своё отражение волновые свойства электронов (или фотонов в случае света).

Подведём итог: мы вычисляем интенсивность (т.е. квадрат модуля амплитуды) волн, которые достигли бы прибора, расположенного в точке 𝑥, а затем интерпретируем эту интенсивность как вероятность того, что частица попадёт в точку 𝑥.

Логические затруднения. Характерно, что такое смешение понятий волны и частицы не ведёт к противоречиям. Однако так будет лишь при условии, что все утверждения относительно экспериментальной ситуации делаются с большой осторожностью.

Чтобы обсудить этот вопрос более подробно, рассмотрим сначала ситуацию, которая возникает из-за того, что в общем случае равенство 𝑃=𝑃₁+𝑃₂ несправедливо, как это подразумевает наше новое правило сложения вероятностей. Мы вынуждены признать: когда открыты оба отверстия, неправильно считать, что частица проходит только через одно или другое отверстие. В противном случае мы могли бы разбить все попадания частицы в точку 𝑥 на два различных класса: попадания через отверстие 1 и попадания через отверстие 2 но тогда частота попаданий 𝑃 в точку 𝑥 неизбежно была бы суммой 𝑃₁ (частоты попаданий через отверстие 1) и 𝑃₂ (частоты попаданий через отверстие 2).

Чтобы избавить себя от логических затруднений, которые вносит этот пугающий вывод, можно было бы прибегнуть к разным ухищрениям. Мы могли бы предположить, например, что электрон движется каким-то весьма запутанным образом по некоей сложной траектории, проходя через отверстие 1, возвращаясь потом назад через отверстие 2 и выходя снова через отверстие 1. Или, может быть, электрон как-то размазывается и проходит через оба отверстия по частям так, чтобы в конечном итоге получился интерференционный результат в). Возможно также, что вероятность 𝑃₁, была найдена неточно вследствие того, что закрытие отверстия 2 могло бы повлиять на движение вблизи отверстия 1. Чтобы объяснить полученную картину, предлагалось много подобных классических механизмов. Однако если поставить такой же опыт с фотонами (а результат при этом будет тот же), то две интерферирующие траектории можно расположить на расстоянии многих сантиметров друг от друга, так что движения по ним почти наверняка должны быть независимы. Реальная ситуация намного сложнее, чем это можно было бы предположить вначале; это показывает следующий эксперимент.

Влияние наблюдения. Мы сделали вполне логичный вывод: поскольку 𝑃≠𝑃₁+𝑃₂, никак нельзя предполагать, что электрон проходит либо только через первое отверстие, либо только через второе. Однако легко придумать опыт для прямой проверки нашего вывода. Просто мы должны поместить за отверстиями источник света и проследить, через какое отверстие пройдёт электрон (фиг. 1.4). Поскольку электроны рассеивают свет и если рассеяние происходит позади отверстия 1, то можно сделать вывод, что электрон прошёл именно через это отверстие; если же свет рассеивается за отверстием 2, то электрон прошёл через него.

Фиг. 1.4. Видоизменение эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.

За экраном 𝐵 мы помещаем осветитель 𝐿 и наблюдаем рассеяние света на электронах, проходящих через отверстие 1 или через отверстие 2. При сильном источнике света действительно оказывается, что каждый электрон проходит только через одно из двух отверстий. Однако вероятность попадания в точку 𝑥 при этом не описывается кривой a на фиг. 1.2, а имеет вид кривой d.

Результат этого эксперимента должен недвусмысленно показать, что электрон действительно проходит либо через первое, либо через второе отверстие, т.е. на каждом электроне, который попадает на экран 𝐶 (предполагается, что интенсивность света достаточна для того, чтобы мы не перестали видеть электрон), рассеяние света происходит либо позади отверстия 1, либо позади отверстия 2 и никогда не происходит (если источник 𝑆 очень слабый) в обоих местах сразу (более тонкий эксперимент мог бы даже показать, что заряд проходит либо только через одно отверстие, либо только через другое и что во всех случаях это полный заряд электрона, а не часть его).

А теперь возникает парадокс. Действительно, предположим, что мы объединяем два эксперимента. Будем следить, через какое отверстие проходит электрон, и в то же время определять вероятность того, что он попадёт в точку 𝑥. Тогда о каждом электроне, попадавшем в точку 𝑥, мы можем сказать, основываясь на эксперименте, пришёл он через отверстие 1 или через отверстие 2. Сперва мы можем проверить, что вероятность даётся кривой b. Если из всех попадающих в точку 𝑥 электронов отобрать только те, которые приходят через отверстие 1, то мы убедимся, что их распределение действительно очень близко к кривой b (этот результат получается независимо от того, открыто или закрыто отверстие 2, и нам ясно, что это обстоятельство никак не влияет на движение вблизи отверстия 1). Если же отобрать электроны, проходившие, как мы видели, сквозь отверстие 2, то получим кривую 𝑃₂, очень близкую к кривой 𝐶 на фиг. 1.2. Но тогда каждый электрон появляется только в одном из двух отверстий, и мы можем разделить все электроны на два различных класса. Следовательно, если объединить теперь оба эти класса, то мы должны получить распределение 𝑃=𝑃₁+𝑃₂ (кривая d на фиг. 1.2) и притом получить это экспериментально. Теперь интерференционные эффекты в эксперименте почему-то не проявляются.

Что же изменилось? Когда мы следим за электронами, чтобы установить, через какое отверстие они проходят, то получаем результат 𝑃=𝑃₁+𝑃₂. Если же не следим за ними, получаем другой результат:

𝑃=|φ

₁

+φ

₂

|²≠𝑃

₁

+𝑃

₂

.

Как видно, следя за движением электронов, мы изменили вероятность того, что они попадут в точку 𝑥. Как это могло произойти? Впрочем, для наблюдения за электронами мы использовали свет; видимо, он при столкновении с электронами изменяет их движение, или, точнее, изменяет вероятность их попадания в точку 𝑥.