Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 25 страниц)

где 𝑁(𝑅) – число возможных траекторий с 𝑅 точками поворота. Лучше всего вычислять четыре отдельные величины 𝐾, а именно: 𝐾₊₊(𝑏,𝑎)– амплитуду перехода из точки 𝑎, где скорость частицы была положительной (т.е. направленной вдоль оси 𝑥), в точку 𝑏, в которой её скорость также положительна; 𝐾_+-(𝑏,𝑎) – амплитуду перехода из точки 𝑎, где частица имела отрицательную скорость, в точку 𝑏, куда частица приходит с положительной скоростью; аналогично определены амплитуды 𝐾_-+ и 𝐾_–.

Предположим теперь, что время измеряется в единицах ℏ/𝑚𝑐². Покажите, что если интервал времени очень велик (𝑡_𝑏-𝑡_𝑎 ≫ ℏ/𝑚𝑐²), а средняя скорость мала [𝑥_𝑏-𝑥_𝑎 ≪ 𝑐(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)], то ядро [если не считать множителя exp (𝑖𝑚𝑐²/ℏ)(𝑡_𝑎-𝑡_𝑏)] совпадает с выражением для свободной частицы [см. (3.3)]. Приведённые здесь выражения амплитуды и ядра справедливы для одномерного движения свободной релятивистской частицы, и результат совпадает с решением уравнения Дирака для этого случая.

§ 5. Последовательные события

Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что 𝑡_𝑐 – некоторый момент времени в промежутке между 𝑡_𝑎 и 𝑡_𝑏. Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками 𝑎 и 𝑏, может быть записано как

𝑆[𝑏,𝑎]=

𝑆[𝑏,𝑐]+

𝑆[𝑐,𝑎].

(2.28)

Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа 𝐿, а также из того, что 𝐿 не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке 𝑐 определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆[𝑏,𝑐]+

𝑖

ℏ

𝑆[𝑐,𝑎]

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡).

(2.29)

Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.

Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку 𝑥_𝑐 в момент времени 𝑡_𝑐, и в последующем суммировании по точкам 𝑥_𝑐.

Для каждой траектории, выходящей из точки 𝑎 в точку 𝑏 через 𝑐, амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки 𝑎 в точку 𝑐 и 2) амплитуды перехода из точки 𝑐 в точку 𝑏. Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку 𝑐: полная амплитуда перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏 через 𝑐 равна 𝐾(𝑏,𝑐)𝐾(𝑐,𝑎). Поэтому полную амплитуду перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏, т.е. соотношение (2.31), мы получим путём суммирования по всем альтернативам (по всем значениям 𝑥_𝑐).

Точка 𝑐 разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут 𝑥_𝑎 и 𝑥_𝑐=𝑥(𝑡_𝑐), а концами второго – 𝑥_𝑐 и 𝑥_𝑏. Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками 𝑎 и 𝑐, а потом по всем траекториям между точками 𝑐 и 𝑏 и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям 𝑥_𝑐. При выполнении первого интегрирования 𝑆[𝑏,𝑐] является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝑥_𝑐

𝑏

∫

𝑐

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑐]}

𝐾(𝑐,𝑎)

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

_𝑐

.

(2.30)

Выполнив интегрирование по всем траекториям от 𝑐 до 𝑏, а затем по всем возможным значениям 𝑥_𝑐, получим окончательно

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝐾(𝑏,𝑐)

𝐾(𝑐,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

.

𝑥

_𝑐

(2.31)

Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени 𝑡_𝑘. Пусть 𝑡_𝑐=𝑡_𝑘 и 𝑥_𝑐=𝑥_𝑘. Сначала интегрируем по всем 𝑥_𝑖 для которых 𝑖<𝑘. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя 𝐾(𝑐,𝑎). Далее интегрируем по всем 𝑥_𝑖, для которых 𝑖>𝑘; так получается множитель 𝐾(𝑏,𝑐). После этого остаётся проинтегрировать по 𝑥_𝑐, и результат запишется в виде (2.31).

Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками 𝑎 и 𝑏 однозначно определяется выбором точки 𝑥_𝑐, которая отвечает моменту времени 𝑡_𝑐. В случае частицы, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:

1) ядро, соответствующее переходу из точки 𝑎 в точку 𝑏, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки 𝑎 в точку 𝑐 и далее в точку 𝑏 по всем возможным значениям величины 𝑥_𝑐;

2) амплитуда перехода из точки 𝑎 в точку 𝑐 и далее в точку 𝑏 равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки 𝑎 в точку 𝑐 и из точки 𝑐 в точку 𝑏.

Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.

Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: 𝑡_𝑐 и 𝑡_𝑑. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки 𝑎 в точку 𝑏, можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

∫

𝐾(𝑏,𝑐)

𝐾(𝑐,𝑑)

𝐾(𝑑,𝑎)

𝑑𝑥

_𝑐

𝑑𝑥

_𝑑

.

𝑥

_𝑐

𝑥

_𝑑

(2.32)

Это означает, что частица, которая движется из точки 𝑎 в точку 𝑏, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки 𝑎 в точку 𝑑, потом из точки 𝑑 в точку 𝑐 и, наконец, из точки 𝑐 в точку 𝑏. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки 𝑎 в точку 𝑏, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных 𝑥_𝑐 и 𝑥_𝑑.

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на 𝑁 участков. В результате получим

𝐾(𝑏,𝑎)=

∫

𝑥₁

∫

𝑥₂

…

∫

𝑥_𝑁-1

𝐾(𝑏,𝑁-1)

𝐾(𝑁-1,𝑁-2)

…

𝐾(𝑖+1,𝑖)

…

𝐾(1,𝑎)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

₂

…

𝑑𝑥

_𝑁-1

.

(2.33)

Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени ε, имеет вид

𝐾(𝑖+1,𝑖)=

1

𝐴

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖ε

ℏ

𝐿

⎧

⎪

⎩

𝑥_𝑖+1-𝑥_𝑖

ε

,

𝑥_𝑖+1+𝑥_𝑖

2

,

𝑡_𝑖+1+𝑡_𝑖

2

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

.

(2.34)

Последнее выражение является точным в первом приближении по ε. Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:

φ[𝑥(𝑡)]=

lim

ε→0

𝑁-1

∏

𝑖=0

𝐾(𝑖+1,𝑖).

(2.35)

Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра 𝐾(𝑏,𝑎). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22).

§ 6. Некоторые замечания

В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде 𝑒^𝑖𝑆/ℏ или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро 𝐾(𝑖+1,𝑖) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.

В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на ℏ. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.

Глава 3

ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ

В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.

Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.

Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.

§ 1. Свободная частица

Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен

𝐿=

𝑚𝑥̇²

2

,

(3.1)

поэтому, учитывая выражения (2.21) – (2.23), мы можем записать ядро в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

 

lim

^ε→0

∫∫

…

∫

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏε

_𝑁

∑

^𝑖=1

(𝑥

_𝑖

–𝑥

_𝑖-1

)²

⎤

⎥

⎦

×

×

𝑑𝑥

₁

…

𝑑𝑥

_𝑁-1

.

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫-𝑁/2

⎪

⎭

.

(3.2)

Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида

∫

[exp(-𝑎𝑥²)]𝑑𝑥

 или

∫

[exp(-𝑎𝑥²+𝑏𝑥)]𝑑𝑥.

Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим

𝐾(𝑏,𝑎)=

⎡

⎢

⎣

2π𝑖ℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

𝑚

⎤-½

⎥

⎦

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

2ℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

⎤

⎥

⎦

.

(3.3)

Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что

_∞

∫

^-∞

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

𝑚

2𝑖ℏε

[(𝑥

₂

–𝑥

₁

)²+(𝑥

₁

–𝑥

₀

)²]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

₁

=

=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ⋅2ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅2ε

(𝑥

₂

–𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

(3.4)

Умножим это выражение на функцию

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏε

(𝑥

₃

–𝑥

₂

)²

⎤

⎥

⎦

(3.5)

и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной 𝑥₂; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (𝑥₂-𝑥₀)² заменяется на (𝑥₃-𝑥₀)², а величина 2ε в двух местах заменяется на 3ε:

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ⋅3ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅3ε

(𝑥

₃

–𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (𝑛-1)-го шага даёт функцию

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑛ε

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑚

2𝑖ℏ⋅𝑛ε

(𝑥

_𝑛

–𝑥

₀

)²

⎤

⎥

⎦

.

Поскольку 𝑛ε=𝑡_𝑛-𝑡₀, то легко видеть, что результат (𝑁-1)-го шага совпадает с выражением (3.3).

Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным 𝑥_𝑖 с нечётным значением 𝑖 (в предположении, что 𝑁 чётное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделённые друг от друга интервалом 2ε. Следовательно, по крайней мере в случае, когда 𝑁 можно представить как 2^𝑘, выражение (3.3) получается после 𝑘 таких шагов.

Задача 3.1. Вероятность того, что частица попадёт в точку 𝑏, по определению пропорциональна квадрату модуля ядра 𝐾(𝑏,𝑎). В случае движения свободной частицы, для которого ядро определяется выражением (3.3), эта вероятность

𝑃(𝑏)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

𝑑𝑥.

(3.6)

Ясно, что это относительная вероятность, так как интеграл по всем значениям 𝑥 расходится. Что означает этот способ нормировки? Покажите, что он соответствует некоторому классическому движению, когда частица выходит из точки 𝑎 с импульсом, все значения которого равновероятны. Покажите, что соответствующая относительная вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале 𝑑𝑝, равна 𝑑𝑝/2πℏ.

Импульс и энергия. Выясним теперь смысл ядра, описывающего свободное движение частицы. Для удобства выберем в качестве начала отсчёта пространственных координат и времени точку 𝑎. Тогда амплитуда перехода в некоторую другую точку 𝑏(𝑥,𝑡) будет иметь вид

𝐾(𝑥,𝑡,0,0)=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑡

𝑚

𝑒

^{𝑖𝑚𝑥²/2ℏ𝑡}

⎫-½

⎪

⎭

.

Если момент фиксирован, то эта амплитуда изменяется с расстоянием так, как это показано на фиг. 3.1, где представлена действительная часть выражения (3.7).

Фиг. 3.1. Действительная часть амплитуды перехода в различные точки на расстоянии 𝑥 от начала координат спустя время 𝑡.

Мнимая часть (не показана) представляет собой аналогичную волну, смещённую по фазе на 90°, так что модуль квадрата амплитуды – постоянная величина. Длина волны мала при больших 𝑥 т.е. при таких значениях, которые классическая частица может достичь, лишь если она движется с большой скоростью. В общем случае длина волны и классический импульс обратно пропорциональны друг другу (см. формулу (3.10)].

Мы видим, что по мере удаления от начала координат осцилляции становятся все более и более частыми. Если 𝑥 настолько велико, что произошло уже много таких осцилляций, то расстояние между соседними узлами почти постоянно, по крайней мере для нескольких ближайших осцилляций. Другими словами, амплитуда ведёт себя как синусоида с медленно меняющейся длиной волны λ. Представляет интерес вычислить эту длину волны. При изменении 𝑥 на длину волны λ фаза амплитуды должна увеличиться на 2π. Отсюда следует, что

2π=

𝑚(𝑥+λ)²

2ℏ𝑡

–

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡

=

𝑚𝑥λ

ℏ𝑡

+

𝑚λ²

2ℏ𝑡

.

(3.8)

Пренебрегая величиной λ² по сравнению с 𝑥λ (т.е. предположив, что 𝑥≫λ, получаем

λ=

2πℏ

𝑚(𝑥/𝑡)

.

(3.9)

С точки зрения классической физики частица, переместившаяся из начала координат в точку 𝑥 за время 𝑡, имеет скорость 𝑥/𝑡 и импульс 𝑚𝑥/𝑡. Когда в квантовой механике движение частицы можно адекватно описать классическим импульсом 𝑝=𝑚𝑥/𝑡, соответствующая амплитуда вероятности изменяется в пространстве синусоидально и длина волны её колебаний равна

λ=

ℎ

𝑝

(3.10)

Это соотношение можно получить и в более общем случае. Предположим, что у нас есть некоторый прибор больших размеров, например магнитный анализатор, который собирает частицы с данным импульсом в заданную точку. Покажем, что если этот прибор достаточно велик и при работе с ним классическая физика является хорошим приближением, то амплитуда вероятности попадания частицы в наперёд заданную точку в пространстве осциллирует с длиной волны, равной ℎ/𝑝. Как мы уже видели, ядро в этом случае можно аппроксимировать выражением

𝐾~exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

(𝑏,𝑎)

⎤

⎥

⎦

.

(3.11)

Вариация положения конечной точки 𝑥_𝑏 вызывает изменение классического действия. Если это действие велико по сравнению с ℏ (квазиклассическое приближение), то при изменении координаты 𝑥_𝑏 ядро 𝐾 будет очень быстро осциллировать. Изменение фазы, приходящееся на единицу смещения конечной точки, составляет

𝑘=

1

ℏ

∂𝑆_кл

∂𝑥_𝑏

.

(3.12)

Но ∂𝑆_кл/∂𝑥_𝑏 есть не что иное, как классический импульс частицы в точке 𝑥_𝑏 (см. задачу 2.4) и, следовательно, 𝑝=ℏ𝑘. Эта величина 𝑘 представляет собой изменение фазы на единицу длины волны и называется волновым числом; ею очень удобно пользоваться. Поскольку на расстоянии, равном длине волны, фаза изменяется на 2π, то 𝑘=2π/λ. Формула (3.12) представляет собой соотношение. де Бройля, связывающее импульс частицы с его волновым числом.

Фиг.3.2. Амплитуда вероятности найти частицу в заданной точке изменяется со временем.

Здесь показана действительная часть амплитуды. Частота колебаний пропорциональна энергии, которую должна была бы иметь частица, чтобы достичь заданной точки за время 𝑡.

Рассмотрим теперь временну'ю зависимость ядра, описывающего свободное движение. Предположим, что расстояние фиксировано, а время переменно. Изменение действительной части ядра (3.7) показано на фиг. 3.2, где вдоль оси времени переменны как частота, так и амплитуда колебаний.

Пусть время 𝑡 так велико, что зависимостью амплитуды колебаний от 𝑡 можно пренебречь. По определению период колебаний 𝑇 равен времени, в течение которого фаза возрастает на 2π тогда

2π=

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡

–

𝑚𝑥²

2ℏ(𝑡+𝑇)

=

𝑚𝑥²

2ℏ𝑡²

⎧

⎪

⎩

𝑇

1+𝑇/𝑡

⎫

⎪

⎭

.

(3.13)

Введя угловую частоту ω=2π/𝑇 и предположив, что 𝑡≫𝑇, это выражение можно записать как

ω≈

𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑥

𝑡

⎫²

⎪

⎭

(3.14)

Так как величина 𝑚(𝑥/𝑡)²/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что

энергия=ℏω.

(3.15)

Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.

В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени 𝑡_𝑏 в конечной точке приведёт к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций

ω=

1

ℏ

∂𝑆_кл

∂𝑡

.

(3.16)

Величина ∂𝑆_кл/∂𝑡 в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия 𝐸 (см. задачу 2.5), и, следовательно,

ω=

𝐸

ℏ

.

(3.17)

Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:

1) если амплитуда вероятности изменяется как 𝑒^𝑖𝑘𝑥, то говорят, что частица имеет импульс ℏ𝑘;

2) если эта амплитуда имеет определённую частоту, изменяясь с течением времени как 𝑒^-𝑖ω𝑡, то говорят, что энергия равна ℏω.

Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.

Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только 𝑡_𝑏 превосходит 𝑡_𝑎, ядро 𝐾(𝑏,𝑎) удовлетворяет дифференциальному уравнению

-

ℏ

∂𝐾(𝑏,𝑎)

=-

ℏ²

∂²𝐾(𝑏,𝑎)

𝑡

∂𝑡

_𝑏

2𝑚

∂𝑥²

_𝑏

(3.18)

§ 2. Дифракция при прохождении через щель

Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени 𝑡₀ частица выходит из начала координат, а спустя время 𝑇 мы находим её в некоторой точке 𝑥₀. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью 𝑣₀=𝑥₀/𝑇. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время τ она пройдёт дополнительное расстояние 𝑣₀τ. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.

В момент времени 𝑡₀ частица выходит из начала координат 𝑥₀. Пусть нам известно, что спустя время 𝑇 она находится в окрестности 𝑥₀±𝑏 точки 𝑥₀. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время τ на расстоянии 𝑥 от точки 𝑥₀? Амплитуду перехода в точку 𝑥 в момент времени 𝑡+τ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени 𝑇 соответствующие траектории лежат в интервале 𝑥₀±𝑏.

Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±𝑏 от точки 𝑥₀? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени 𝑇 в интервале 𝑥₀±𝑏. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.

Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.

Известно, что частица, выходящая в момент времени 𝑡=0 из точки 𝑥=0, проходит между точками 𝑥₀-𝑏 и 𝑥₀+𝑏 в момент времени 𝑡=𝑇.

Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке 𝑥 спустя время τ, т.е. когда 𝑡=𝑇+τ. Согласно классическим законам, частица должна находиться между 𝑥₀(τ/𝑇)+𝑏(1+τ/𝑇) и 𝑥₀(τ/𝑇)-𝑏(1+τ/𝑇), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.

Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две – соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки 𝑥=0 при 𝑡=0 в точку 𝑥=𝑥₀+𝑦 при 𝑡=𝑇, где |𝑦|≤𝑏; во второй – движение из точки 𝑥₀+𝑦 при 𝑡=𝑇 в точку 𝑥 при 𝑡=𝑇+τ. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.

Предположим, что в момент времени 𝑇 нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось 𝑥 за исключением интервала 𝑥₀±𝑏. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала 𝑥₀±𝑏, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала 𝑥₀±𝑏. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде

ψ(𝑥)=

_𝑏

∫

^-𝑏

𝐾(𝑥+𝑥

₀

,𝑇+τ;𝑥

₀

+𝑦,𝑇)

𝐾(𝑥

₀

+𝑦,𝑇;0,0)𝑑𝑦.

(3.19)

Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое – частица движется от начала координат до щели. Событие второе – дальнейшее движение частицы от щели до точки 𝑥. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид

ψ(𝑥)=

_𝑏

∫

^-𝑏

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏτ

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥-𝑦)²

2ℏτ

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏ𝑇

𝑚

⎫-½

⎪

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥₀+𝑦)²

2ℏ𝑇

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑦.

(3.20)

Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.

Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию 𝐺(𝑦). Если положить эту функцию равной единице в интервале -𝑏≤𝑦≤+𝑏 и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда

ψ(𝑥)=

_∞

∫

_-∞

𝑚𝐺(𝑦)

2π𝑖ℏ√τ𝑇

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖𝑚

2ℏ

⎡

⎢

⎣

(𝑥-𝑦)²

τ

+

(𝑥₀-𝑦)²

𝑇

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑦,

(3.21)

где

𝐺(𝑦)=

⎧

⎨

⎩

1 для -𝑏≤𝑦≤𝑏,

0 для |𝑦|>𝑏.

Допустим теперь, что в качестве 𝐺(𝑦) взята функция Гаусса

𝐺(𝑦)=𝑒

^{-𝑦²/2𝑏²}

.

(3.22)

Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром 𝑏. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -𝑏 и +𝑏.

Фиг.3.4. Вид гауссовой функции 𝐺(𝑦)=𝑒^{-𝑦²/2𝑏²}.

Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным 𝑏.

Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени 𝑇 частицы распределены вдоль оси 𝑥 с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции 𝐺(𝑦) (относительная вероятность пропорциональна [𝐺(𝑦)]²). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени 𝑇 они будут распределены вдоль оси 𝑥 так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии 𝑥₁ от точки 𝑥₀ и с большей шириной 𝑏₁ определяемыми равенствами

𝑥

₁

=

⎧

⎪

⎩

𝑥₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

τ, 𝑏

₁

=𝑏

⎧

⎪

⎩

1+

τ

𝑇

⎫

⎪

⎭

,

(3.23)

как показано на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.

Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени 𝑇+τ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени 𝑇. Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролёта частиц. Характеристическая ширина распределения (т.е. ширина на половине высоты пика. – Ред.) будет возрастать от значения 2𝑏 до 2𝑏₁, где 𝑏₁=𝑏(𝑇+τ)/𝑇. В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.

В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет

ψ(𝑥)=

_∞

∫

^-∞

𝑚

2π𝑖ℏ√τ𝑇

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑥²

τ

+

𝑥²₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

+

+

𝑖𝑚

ℏ

⎧

⎪

⎩

–

𝑥

τ

+

𝑥₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

𝑦+

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏτ

+

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

–

1

2𝑏²

⎫

⎪

⎭

𝑦²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑦.

(3.24)

Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(α𝑥²+β𝑥), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:

_∞

∫

^-∞

[exp(α𝑥²+β𝑥)]𝑑𝑥=

⎧

⎪

⎩

π

–α

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎪

⎩

–

β²

4α

⎫

⎪

⎭

для Re(α)≤0.

(3.25)

Таким образом, амплитуда становится равной

ψ(𝑥)=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫½

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

𝑇τ

⎧

⎪

⎩

1

𝑇

+

1

τ

+

ℏ𝑖

𝑏²𝑚

⎫

⎪

⎭

⎤-½

⎥

⎦

×

×exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑥²

τ

+

𝑥²₀

𝑇

⎫

⎪

⎭

–

(𝑖𝑚/ℏ)²(-𝑥/τ+𝑥₀/𝑇)²

4(𝑖𝑚/2ℏ)(1/τ+1/𝑇+ℏ𝑖/𝑏²𝑚)

⎤

⎥

⎦

.

(3.26)

Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть 𝑣₀=𝑥₀𝑇. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:

ψ(𝑥)=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑇+τ+𝑇τ

ℏ𝑖

𝑚𝑏²

⎫-½

⎪

⎭

×

×exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑣

₂

⁰

𝑇+

𝑥²

τ

⎫

⎪

⎭

+

(𝑚²/2ℏ²τ²)(𝑥-𝑣₀)²

(𝑚/ℏ)(𝑖/𝑇+𝑖/τ)-1/𝑏²

⎤

⎥

⎦

.

(3.27)

Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси 𝑥. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем

𝑃(𝑥)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ𝑇

𝑏

Δ𝑥

exp

⎡

⎢

⎣

-(𝑥-𝑣₀τ)²

(Δ𝑥)²

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥.

(3.28)

Здесь применялась подстановка

(Δ𝑥)²=𝑏²

⎧

⎪

⎩

1+

τ

𝑇

⎫²

⎪

⎭

+

τ²ℏ²

𝑚²𝑏²

=𝑏

₂

¹

+

τ²ℏ²

𝑚²𝑏²

.

(3.29)

Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке 𝑥₁=𝑣₀τ, определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения Δ𝑥 больше той величины 𝑏₁ которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть 𝑎₁ и 𝑎₂ – две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно α₁ и α₂. Тогда если 𝑎₃=𝑎₁+𝑎₂, то среднеквадратичное отклонение величины 𝑎₃ от её среднего значения равно α₃=(α²₁+α²₂)^½. Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяжённости, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения exp(-𝑥²₁/2𝑏²) величина среднеквадратичного отклонения действительно равна 𝑏.

Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведёт себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной 𝑥₁, среднеквадратичное отклонение которой составляет

Δ𝑥

₁

=

ℏτ

𝑚𝑏

.

(3.30)

Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение Δ𝑥₁, а не сама переменная 𝑥₁. Поскольку в этом члене появляется константа ℏ, ясно, что по природе своей он – квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.

Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределённость в их последующем положении. Эта неопределённость Δ𝑥₁ пропорциональна интервалу времени τ между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением её положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создаёт в значении её скорости неопределённость, величина которой равна

δ𝑣=

ℏ

𝑚𝑏

.

(3.31)

Связанный с шириной щели параметр 2𝑏 мы могли бы рассматривать как меру неопределённости координаты частицы в момент её прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределённость через δ𝑥 и записать произведение 𝑚𝑣 как импульс 𝑝, то выражение (3.31) приобретает вид

δ𝑝δ𝑥=2ℏ.

(3.32)

Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределённости: хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последующее положение частицы приобретает такую дополнительную неопределённость, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины δ𝑥 получала случайный импульс δ𝑝. Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределённость в импульсе.

Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)? Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения 𝑥 от -∞ до +∞, то в результате получим

𝑃(для всех 𝑥)=

𝑚

2πℏ𝑇

𝑏√

π

.

(3.33)

Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь щель. Существует и другой способ получения этого результата. Предположим, что мы знаем квадрат модуля ядра 𝐾(𝑥₀+𝑦,𝑇;0,0), составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесённая к единице длины вероятность попадания частицы в точку щели 𝑥₀+𝑦

𝑃(𝑥

₀

+𝑦)𝑑𝑦=

𝑚

2πℏ𝑇

𝑑𝑦.

(3.34)

Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив её на ширину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель. Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна 𝑏√π. Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной 2𝑏.

Задача 3.3. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по 𝑥, покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель

𝑃(пройти сквозь щель)=

𝑚

2πℏ𝑇

2𝑏.

(3.35)

В ходе решения этой задачи появится интеграл

∞

∫

–∞

𝑒

^𝑖𝑎𝑥

𝑑𝑥,

(3.36)

который является интегральным представлением дираковской δ-функции δ(𝑎) ¹).

¹) См. таблицы интегралов в приложении к этой книге и в [2].

Таким образом, квантовомеханические результаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.

Импульс и энергия. Убедимся теперь ещё раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как 𝑒^𝑖𝑘𝑥. Для этого вернёмся к подробному изучению амплитуды, заданной выражением (3.26). На этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.

Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределённость скорости порядка 𝑏/𝑇. При любой заданной ширине щели, выбирая время 𝑇 очень большим, можно сделать эту неопределённость пренебрежимо малой. Координату 𝑥₀ можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость 𝑥₀/𝑇=𝑣₀ не обращалась в нуль. Считая 𝑣₀ и интервал времени τ постоянными, в пределе при 𝑇→∞ получаем следующее выражение для амплитуды: