Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 25 страниц)

В этом случае из точки 𝑎 в точку 𝑏 с заметной вероятностью могут прийти лишь те электроны, которые испытывают хотя бы одно рассеяние. Поэтому член нулевого порядка в разложении 𝐾_𝑉(𝑏,𝑎) в ряд теории возмущений будет вносить лишь пренебрежимо малый вклад и его можно отбросить. Вклад возникает за счёт члена первого порядка 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎).

Тогда вероятность обнаружения электрона в такой области, по крайней мере в первом порядке теории возмущений, определяется только квадратом модуля ядра 𝐾⁽¹⁾(𝑏,𝑎). Используя соотношения (6.38) и (6.39), запишем эту вероятность как

𝑃(𝑏)

ед. объёма

=

1

ℏ²

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ

⎫5

⎪

⎭

𝑢²

𝑇𝑅²_𝑎𝑅²_𝑏

|𝑣(𝐪)|²

.

(6.40)

Характерные особенности атомного потенциала и зависимость ядра от относительных направлений векторов 𝑅_𝑎 и 𝑅_𝑎 заключены в этой формуле в множителе 𝑣(𝐪). Этот множитель совершенно не зависит от размеров экспериментального устройства; их влияние учитывается остальной частью формулы (6.40). Например, множитель 1/𝑅²_𝑎, как легко видеть, обусловлен тем, что вероятность столкновения электрона с атомом убывает обратно пропорционально 𝑅²_𝑎. Может показаться, что в применении к рассматриваемому эксперименту это утверждение спорно из-за наличия коллиматоров. Однако эффект коллимации пренебрежимо мал на расстояниях порядка атомных размеров; по отношению к атому-мишени пучок налетающих электронов состоит из частиц, изотропно испускаемых некоторым точечным источником. Точно так же изотропно по всем направлениям от рассеивающего атома разлетаются и рассеянные электроны. Поэтому отнесённая к единице объёма вероятность регистрации электрона в точке 𝑏 изменяется обратно пропорционально 𝑅²_𝑏. Поскольку наиболее интересные свойства рассматриваемого эксперимента связаны с функцией 𝑣(𝐪) мы уделим этой функции особое внимание в следующем параграфе.

Фиг. 6.7. Сравнение точек 𝑏 и 𝑑.

Если точки 𝑏 и 𝑑 находятся на одинаковых расстояниях от точки 𝑂, равных 𝑅_𝑏 то различие в числе электронов, попадающих в эти точки, будет обусловленно лишь процессом рассеяния. Точка 𝑑 лежит на пути движения нерассеявшихся электронов. Отношение числа электронов, попавших в точку 𝑏, к числу электронов, которые достигли бы точки 𝑑 если бы на их пути не было рассеивающего центра, равно вероятности рассеяния в точку 𝑏.

Часть сомножителей в формуле (6.40) определяется выбором способа нормировки нашего ядра. Поэтому формулу (6.40) более удобно рассматривать и представлять в виде некоторого отношения вероятностей. Сравним вероятность обнаружения рассеянной частицы в точке 𝑏 с вероятностью её обнаружения в точке 𝑑, если точки 𝑏 и 𝑑 расположены за атомом на одинаковом расстоянии 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏 от источника (фиг. 6.7). Другими словами, рассчитаем отнесённую к единице объёма вероятность 𝑃(𝑑) так, как если бы на пути частицы не было ни одного атома. Это даст нам величину |𝐾₍₀₎(𝑑,𝑎)|², т.е.

𝑃(𝑑)

ед. объёма

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ

⎫3

⎪

⎭

𝑢²

𝑇(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²

,

(6.41)

так что

𝑃(𝑏)

𝑃(𝑑)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

|𝑣(𝐪)|²

(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)²

𝑅²_𝑎+𝑅²_𝑏

.

(6.42)

В § 5 мы дадим геометрическую интерпретацию этого отношения и более детально рассмотрим функцию 𝑉(𝐪).

Эффективное сечение рассеяния. Характеристики атома в экспериментах с рассеянием удобно описывать с помощью понятия эффективного сечения рассеяния ¹). Привлекательность такого подхода обусловлена нашей привычкой к представлениям классической физики. Эффективное сечение а определяется как та эффективная площадь атома-мишени (в классическом смысле этого слова), которую должен иметь перед собой электрон, чтобы рассеяться в единичный телесный угол. Этот телесный угол измеряется относительно сферы, центр которой совпадает с центром атома. Эффективное сечение будет поэтому функцией угла рассеяния, т.е. функцией угла между векторами 𝐑_𝑎 и 𝐑_𝑏. С помощью такой классической модели мы можем выразить вероятность попадания электрона в заданную точку 𝑏.

¹) В литературе вместо термина «эффективное сечение» часто используются также термины «поперечное сечение» или «эффективное поперечное сечение». Все эти термины совершенно эквивалентны.– Прим. ред.

Фиг. 6.8. Частицы бомбардируют площадку 𝑑σ мишени и отклоняются на угол θ, попадая на площадку, измеряемую телесным углом 𝑑Ω.

Если бы не произошло ни одного соударения, все частицы попали бы в точку 𝑑. Вместо этого они попадают в точку 𝑏, разбрасываясь по площади 𝑅²_𝑏𝑑Ω. Вероятность обнаружить частицу в точке 𝑑 обратно пропорциональна площади, по которой распределится пучок в точке 𝑑.

Аналогично вероятность обнаружения частицы в точке 𝑏 обратно пропорциональна площади 𝑅²_𝑏𝑑Ω, по которой распределится пучок рассеявшихся частиц, когда они долетят до точки 𝑏. Если взять отношение этих площадей, то получим обратную величину отношения соответствующих вероятностей. С этой точки зрения мы говорим, что все частицы, которые попадают на мишень площадью 𝑑σ рассеиваются на угол θ. В действительности, конечно, только немногие из частиц, попадающих на мишень, вообще рассеиваются и только часть из них – на угол θ. Итак, элемент площади 𝑑σ, который мы использовали в наших расчётах, есть аффективное поперечное сечение рассеяния на угол θ, отнесённое к единице телесного угла 𝑑Ω, в которой рассеиваются частицы.

Если частицы, вылетающие из начала координат, сталкиваются на расстоянии 𝑅_𝑎 с мишенью площадью 𝑑σ то эти частицы уже не попадут в область 𝑑, где они имели бы разброс в круге с площадью [(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)/𝑅_𝑎]²𝑑σ. Вместо этого они полетят в телесном угле 𝑑Ω в направлении 𝑏 и будут, следовательно, иметь разброс по площади 𝑅²_𝑏𝑑Ω, как показано на фиг. 6.8. Поэтому отношение вероятности попадания частицы в точку 𝑏 к вероятности её попадания в точку 𝑑, на пути к которой не было соударений, равно обратному отношению этих площадей:

𝑃_𝑏

𝑃_𝑑

=

(𝑅_𝑎+𝑅_𝑏)² 𝑑σ /𝑅

₂

^𝑎

𝑅

₂

^𝑎 𝑑Ω

.

(6.43)

Сравнивая выражения (6.42) и (6.43), мы видим, что эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла есть

𝑑σ

𝑑Ω

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

|𝑣(𝐪)|²

.

(6.44)

Основное преимущество такого применения понятия эффективного сечения по сравнению с рассмотренным выше соотношением (6. 40) заключается в том, что выражение (6.44) не зависит от конкретных экспериментальных условий. Поэтому эффективные сечения, полученные из разных экспериментов, можно сравнивать непосредственно, тогда как для вероятностей, отнесённых к единице объёма, такое сравнение невозможно.

Следует подчеркнуть, что понятие эффективной мишени является чисто классическим и представляет собой лишь удобный способ рассмотрения вероятностей рассеяния. Между величиной эффективного сечения и размерами рассеивающего атома не существует прямой связи и нельзя представлять себе, что механизм рассеяния локализован в области именно таких размеров. Например, тень, которая при классическом рассмотрении должна появиться позади мишени, на самом деле вовсе не будет обладать свойствами классической тени с резкими границами; так как мы имеем дело с волновым процессом, то эта тень будет искажена дифракцией.

Различные выражения для атомного потенциала. На примере конкретных задач здесь показаны результаты, полученные при различных предположениях о виде атомного потенциала 𝑉(𝑟).

Задача 6.6. Пусть мы имеем потенциал, соответствующий центральным силам, т.е. 𝑉(𝐫)=𝑉(𝑟). Покажите, что функция 𝑣(𝐪) может быть записана в виде

𝑣(𝐪)

=

𝑣(𝑞)

=

4πℏ

𝑞

_∞

∫

⁰

𝑟

⎧

⎪

⎩

sin

𝑞𝑟

ℏ

⎫

⎪

⎭

𝑉(𝑟)

𝑑𝑟

.

(6.45)

Если допустить, что 𝑉(𝑟) является кулоновским потенциалом 𝑍𝑒²/𝑟, то интеграл в выражении для 𝑣(𝑞) оказывается осциллирующим вблизи верхнего предела, т.е. при 𝑟→∞. Тем не менее такой интеграл можно сделать сходящимся с помощью искусственного введения в подынтегральное выражение множителя 𝑒^-ε𝑟 и после вычисления интеграла перейти к пределу при ε→0. Используя этот приём, покажите, что в итоге получается сечение резерфордовского рассеяния

σ

_𝑅

=

4𝑍𝑒⁴𝑚²

𝑞⁴

=

𝑍𝑒⁴

16(𝑚𝑢²/2)[sin(θ/2)]⁴

,

(6.46)

где 𝑒 – заряд электрона,

𝑞

=

2𝑝 sin

θ

2

=

2𝑚𝑢 sin

θ

2

,

(6.47)

а θ – угол между векторами 𝐢_𝑎 и 𝐢_𝑏.

Результат, полученный в задаче 6.6, случайно оказывается точным в том смысле, что первое борновское приближение даёт точную величину вероятности рассеяния на кулоновском потенциале. Это не означает, что члены высшего порядка обратятся в нуль; дело в том, что они вносят вклад лишь в фазу амплитуды рассеяния. Поскольку вероятность равна квадрату модуля амплитуды, она не зависит от фазы. Таким образом, первое борновское приближение даёт правильное значение вероятности рассеяния, но не является точным выражением для амплитуды. Случай кулоновского рассеяния любопытен ещё и по ряду других причин. В частности, строго классическое (т.е. проделанное в предположении, что электрон ведёт себя как заряженная точечная масса) исследование этого рассеяния приводит к тому же самому результату.

Задача 6.7. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫) создаётся зарядом, распределённым с плотностью ρ(𝐫), так что

∇²𝑉(𝐫)

=

4π𝑒ρ(𝐫)

.

(6.48)

Пусть плотность ρ(𝐫) спадает до нуля при |𝐫|→∞. Умножая соотношение (6.48) на exp [𝑖𝐪⋅(𝐫/ℏ)] и дважды интегрируя по переменной 𝐫, покажите что функция 𝑣(𝐪) может быть следующим образом выражена через плотность ρ:

𝑣(𝐪)

=

4πℏ²𝑒²

𝑞²

_𝐫

∫

 

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)}

ρ(𝐫)

𝑑³𝐫

.

(6.49)

Атом можно описать, используя понятие плотности заряда. В области атомного ядра эта плотность заряда предполагается сингулярной, так что её можно представить в виде δ-функции от расстояния 𝑟 с коэффициентом 𝑍, равным заряду ядра. Если ρ_𝑒 – плотность атомных электронов, то функция 𝑣(𝐪) в этом случае запишется как

𝑣(𝐪)

=

4πℏ²𝑒²

𝑞²

⎡

⎢

⎣

𝑍-

_𝐫

∫

 

ρ

_𝑒

(𝐫)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐫)}

𝑑³𝐫

⎤

⎥

⎦

.

(6.50)

Величину в скобках принято называть атомным формфактором. (Заметим, что точно с таким же формфактором мы встречаемся при изучении рассеяния рентгеновских лучей. Действительно, в теории рассеяния рентгеновских лучей доказано, что в этом случае основную роль играют атомные электроны, а не ядро. Поэтому формфактор для рентгеновских лучей будет тем же самым, что и в случае рассеяния электронов на атоме, если не считать того, что для рентгеновских лучей не нужно учитывать фактор 𝑍.

В атоме потенциал изменяется по кулоновскому закону лишь при очень малых радиусах. С увеличением радиуса атомные электроны начинают постепенно экранировать (компенсировать) электрический заряд ядра до тех пор, пока при достаточно больших значениях 𝑟 потенциал не обратится в нуль. В очень грубом приближении эффект экранировки атомными электронами можно оценить с помощью формулы

𝑉(𝑟)

=

𝑍𝑑²

𝑟

𝑑

^(𝑟/𝑎)

.

(6.51)

Через 𝑎 в этой формуле обозначен радиус атома. Заметим, что это не тот внешний радиус атома, которым пользуются химики; здесь 𝑎=𝑎₀/𝑍^1/3, где 𝑎₀=ℏ²/𝑚𝑑²=0,528Å.

Задача 6.8. Покажите, что для потенциала (6.51)

𝑣(𝐪)

=

4π𝑍𝑒²ℏ²

𝑞²+(ℏ/𝑎)²

(6.52)

и, следовательно,

σ=𝑍

²

𝑒

⁴

⎧

⎨

⎩

𝑚𝑢²

2

⎡

⎢

⎣

4

⎧

⎪

⎩

sin

θ

2

⎫²

⎪

⎭

+

ℏ²

(𝑝𝑎)²

⎤

⎥

⎦

⎫-2

⎬

⎭

.

(6.53)

Полное эффективное сечение σ_𝑇 определится как интеграл от сечения σ по поверхности единичной сферы, т.е.

σ

_𝑇

=

4π

∫

⁰

σ𝑑

Ω

.

(6.54)

Покажите, что это сечение имеет вид

σ

_𝑇

=

π𝑎²

𝑍

²

𝑒

⁴

1

(2𝑢ℏ)

²

1+

ℏ²

(2𝑝𝑎)²

(6.55)

Задача 6.9. Пусть мы хотим учесть тот факт, что атомное ядро имеет конечный радиус

𝑟

=

1,2⋅10

^-13

×(массовое число)

^1/3

см

(6.56)

в предположении, что заряд ядра распределён приблизительно равномерно внутри сферы такого радиуса. Спрашивается, как это предположение повлияет на эффективное сечение рассеяния электронов на атоме в области больших передач импульса 𝑞?

Покажите, каким образом отсюда может быть определён радиус ядра. Насколько велика должна быть величина импульса налетающих электронов 𝑝, чтобы стало заметным влияние структуры атомного ядра? Какие углы, большие или малые, следует при этом измерять более точно и почему?

Замечание. В эксперименте такого рода требуются настолько большие импульсы электронов, что для нахождения энергии фактически нужно пользоваться релятивистской формулой 𝐸=(𝑚²𝑐⁴+𝑐²𝑝²)^½-𝑚𝑐², поэтому, строго говоря, для описания взаимодействия мы уже не имеем права применять нерелятивистские формулы. Однако соотношение между импульсом и длиной волны и между энергией и частотой не изменяются при переходе в релятивистскую область. Поскольку это именно та длина волны, которая определяет разрешающую силу такого «электронного микроскопа», то использование (без конкретного вычисления импульса) нерелятивистских формул является вполне законным.

Задача 6.10. Рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из атомов 𝐴 и 𝐵, центры которых задаются векторами 𝑎 и 𝑏. Используя борновское приближение, покажите, что амплитуда рассеяния электрона на такой молекуле

𝐾

⁽¹⁾

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐚)}

𝑓

_𝐴

(𝐪)

+

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐪⋅𝐛)}

𝑓

_𝐵

(𝐪)

,

(6.57)

где 𝑓_𝐴 и 𝑓_𝐵 – амплитуды рассеяния электрона на отдельных атомах при допущении, что каждый из этих атомов располагался бы в начале системы координат. Межатомные связи слабо влияют на распределение заряда вокруг ядер (за исключением очень лёгких атомов, таких, как водород), так как силы этих связей действуют лишь на самые внешние электроны атомных оболочек.

Используя соотношение (6.57), покажите, что вероятность рассеяния при заданном значении передаваемого импульса 𝑝 пропорциональна сумме 𝑓²_𝐴 + 𝑓²_𝐵 + 2𝑓_𝐴𝑓_𝐴cos(𝐪⋅𝐝), где 𝐝=𝐚-𝐛.

Вычисленные в борновском приближении амплитуды 𝑓 являются действительными величинами и применимы для тех энергий электронов (порядка 1 кэв), которые обычно используются в дифракционных опытах с молекулами. Однако если молекула состоит из очень тяжёлых атомов, таких, как уран, то атомный потенциал 𝑉 становится настолько большим, что борновское приближение оказывается уже недостаточно точным для описания экспериментов. В этом случае необходимо внести небольшие поправки.

Задача 6.11. Предположим, что молекулы ориентированы совершенно случайным образом. Покажите, что эффективное сечение рассеяния электронов, усреднённое по совокупности таких молекул, пропорционально сумме 𝑓²_𝐴 + 𝑓²_𝐵 + 2𝑓_𝐴𝑓_𝐴 [sin (𝐪×𝐝)/(𝐪⋅𝐝)]. Как обобщить этот результат на случай многоатомных молекул?

Все эти результаты лежат в основе электронной дифракционной техники, позволяющей определять форму различных молекул.

Задача 6.12. В предположении о независимости потенциала 𝑉(𝑟) от времени покажите, что интегрирование по времени в выражении для ядра , описывающем рассеяние во втором порядке теории возмущений, приводит к формуле

𝐾

⁽²⁾

(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫2

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫3/2

⎪

⎭

_𝐫𝑐

∫

 

_𝐫𝑑

∫

 

𝑟_𝑐𝑑+𝑟_𝑎𝑐+𝑟_𝑑𝑏

𝑟_𝑐𝑑𝑟_𝑎𝑐𝑟_𝑑𝑏

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚

2ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

(𝑟

_𝑐𝑑

+𝑟

_𝑎𝑐

+𝑟

_𝑑𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑉(𝐫

_𝑑

)

𝑑³𝐫

_𝑐

𝑑³𝐫

_𝑑

,

(6.58)

где точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 расположены так, как это показано на фиг. 6.9; величина 𝑟_𝑐𝑑 равна расстоянию между точками 𝑐 и 𝑑 и т. д. Полагая, что потенциал 𝑉(𝐫) становится пренебрежимо малым на расстояниях, небольших по сравнению с 𝑅_𝑎, и 𝑅_𝑏, покажите, что эффективное сечение даётся формулой σ=|𝑓|², где 𝑓 – амплитуда рассеяния, содержащая лишь члены первого приближения:

𝑓

=

𝑚

2πℏ²

_𝐫

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩_𝑏⋅𝐫}

𝑉(𝐫)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑑³𝐫

+

+

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πℏ²

⎫²

⎪

⎭

_𝐫𝑐

∫

 

_𝐫𝑑

∫

 

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐩_𝑏⋅𝐫_𝑑}

𝑉(𝐫

_𝑑

)

⎧

⎪

⎩

1

𝑟_𝑐𝑑

⎫

⎪

⎭

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑟_𝑐𝑑}

×

×

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫_𝑐}

𝑑³𝐫

_𝑐

𝑑³𝐫

_𝑑

+члены более высокого порядка.

(6.59)

Здесь 𝐩_𝑏 – импульс электрона, вылетающего в направлении 𝐑_𝑏, а 𝐩_𝑎 —импульс электрона, движущегося в направлении – 𝐑_𝑎. Абсолютная величина импульса равна 𝑝, и она почти не меняется при упругом рассеянии электрона на относительно тяжёлом атоме.

Фиг. 6.9. Учёт членов второго порядка в разложении теории возмущений.

Как на фиг. 6.2 (случай 3), здесь изображено рассеяние электрона атомным потенциалом в двух различных точках. Электрон выходит из точки 𝑎 и движется как свободная частица до точки 𝑐, где он рассеивается; после этого электрон снова движется как свободная частица до точки 𝑑, где происходит ещё одно рассеяние, и далее снова продолжается свободное движение вплоть до точки 𝑏, где электрон попадает в счётчик. Точки 𝑐 и 𝑑 могут находиться в любом месте пространства. Атомный потенциал в этих точках зависит от длин радиусов-векторов 𝐫_𝑐 и 𝐫_𝑑, измеряемых от центра атома 𝑂.

Можно было бы ожидать, что, когда борновское приближение становится недостаточно точным, имеет смысл вычислять в качестве поправки члены второго порядка и т. д. Но на практике оказывается, что в выражениях типа (6.59) мы встречаемся с весьма медленно сходящимися рядами. Если второй член даёт сравнительно заметную поправку (например, ~ 10%), то каждый следующий член даст ненамного меньший вклад, так что получить существенное улучшение результата довольно нелегко. Конечно, в задачах, где погрешности борновского приближения сравнительно малы (скажем, меньше 1%), учёт второго члена является вполне хорошим способом вычисления поправок.

Описание рессеяния с помощью волновой функции. В рассмотренных выше экспериментах по рассеянию мы предполагали, что в начальном состоянии электрон был свободной частицей с импульсом 𝐩_𝑎. Предполагалось также, что величину этого импульса можно определить методом измерения времени пролёта (т.е. по полному времени 𝑇, необходимому для прохождения расстояния 𝑅_𝑎+𝑅_𝑏).

Конечно, не обязательно использовать именно этот способ; нас вполне удовлетворит любое устройство, которое позволит определять величину импульса. Поэтому обобщим рассмотренную картину процесса рассеяния, воспользовавшись понятием волновой функции.

Допустим, нам известно, что влетающий электрон имеет импульс 𝑝_𝑎 и энергию 𝐸_𝑎=𝑝²_𝑎/2𝑚. Следовательно, волновая функция налетающих электронов

φ

_𝑎

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡}

.

(6.60)

Использовав теперь два первых члена соотношения (6.25), мы можем в первом приближении теории возмущений записать следующее выражение для волновой функции вылетающих электронов:

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡_𝑏}

–

-

𝑖

ℏ

_𝑡𝑏

∫

⁰

_𝐫

∫

 

𝐾

₀

(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

;𝐫,𝑡)

𝑉(𝐫,𝑡)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫}

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸_𝑎𝑡}

𝑑³𝐫

𝑑𝑡

.

(6.61)

Первый член в этом выражении представляет собой дебройлевскую волну свободных частиц, которые проходят область действия потенциала, не рассеявшись. Второй член – амплитуда рассеянных электронов. Если обозначить его через φ_𝑠, то эта функция опишет рассеянную волну.

Задача 6.13. Предположим, что потенциал 𝑉(𝐫,𝑡) в действительности не зависит от времени 𝑡. Подставив в формулу (6.61) выражение ядра 𝐾₀, соответствующее движению свободных частиц, и проинтегрировав полученный результат по переменной 𝑡, покажите, что

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑏𝑡_𝑏}

+[

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

+

+

𝑚

2πℏ²

_𝐫𝑐

∫

 

1

𝑟_𝑏𝑐

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑟_𝑏𝑐}

𝑉(𝐫

_𝑐

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐫_𝑐}

𝑑³𝐫

_𝑐

,

(6.62)

где 𝑟_𝑏𝑐 – расстояние от конечной точки 𝑏 до переменной точки интегрирования 𝑐, а 𝑝 – абсолютная величина импульса электрона.

Предположив снова, что на небольших по сравнению с 𝑆_𝑎 и 𝑆_𝑏 расстояниях потенциал спадает до нуля, покажите, что выражение (6.62) может быть записано как

ψ(𝐑

_𝑏

,𝑡

_𝑏

)

=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐸_𝑏𝑡_𝑏}

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏}

+

𝑓

𝑒^{(𝑖/ℏ)𝑝𝑅_𝑏}

𝑅_𝑏

,

(6.63)

где амплитуда рассеяния 𝑓 следующим образом выражается через функцию 𝑣(𝑞):

𝑓

=

𝑚

2πℏ²

𝑣(𝐪)

(6.64)

[см. соотношение (6.35)].

Последний член формулы (6.63), функцию (𝑓/𝑅_𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅_𝑏/ℏ), можно рассматривать как пространственную часть волновой функции рассеянных частиц. Она имеет вид сферической волны, расходящейся из центра рассеивающего атома. Для каждого определённого угла рассеяния амплитуда этой волны зависит от угла через функцию 𝑓, которая, как видно из формулы (6.64), изменяется в зависимости от величины передаваемого импульса 𝑞. Таким образом, полная волновая функция электронов после рассеяния может рассматриваться как сумма двух членов. Первый член представляет собой плоскую волну нерассеянных электронов exp (𝑖𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏/ℏ), второй член – сферическую волну рассеянных электронов, как показано на фиг. 6.10. Используя такой подход, выведите формулу для эффективного сечения σ.

Фиг. 6.10. Рассеяние электронного пучка на атомном ядре.

Пучок электронов можно представить в виде эквивалентной ему плоской волны, движущейся по направлению к атомному ядру, расположенному в точке 𝑅=𝑂. Правее этой точки большая часть пучка будет по-прежнему двигаться как невозмущённая плоская волна с импульсом 𝑝_𝑎 Меньшая часть пучка рассеивается на ядре и расходится от точки 𝑂 в виде сферической волны. Поэтому суммарная интенсивность (т.е. число электронов) в некоторой точке 𝑏, определяемой радиусом-вектором 𝐑_𝑏, состоит из двух частей. Одна из них представляет собой нерассеянный пучок, описываемый плоской волной exp (𝑖𝐩_𝑎⋅𝐑_𝑏/ℏ). Вторая – это рассеянная сферическая волна (1/𝑅_𝑏) exp (𝑖𝑝𝑅_𝑏/ℏ) с зависящей от углов амплитудой 𝑓. Комбинация этих двух волн определяет пространственную часть волновой функции пучка электронов после рассеяния.

Задача 6.14. С помощью метода, основанного на использовании волновых функций, рассмотрите рассеяние электрона на синусоидально осциллирующем поле, потенциал которого имеет вид

𝑉(𝑟𝑡)

=

𝑈(𝑟) const ω𝑡

.

(6.65)

Покажите, что в первом борновском приближении энергия расходящейся волны изменяется на величину, равную ±ω. Что дадут члены высших порядков?