Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 11 (всего у книги 25 страниц)
§ 5. Возмущения, зависящие от времени, и амплитуды переходов
Амплитуда перехода. Теория возмущений оказывается особенно полезной, когда потенциал 𝑈, соответствующий невозмущённой задаче, не зависит от времени. Из соотношения (4.59) видно, что ядро в этом случае может быть разложено в ряд по собственным функциям φ𝑛 и собственным значениям невозмущённой задачи
𝐾
𝑈
(2,1)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
для 𝑡
2
>𝑡
1
(6.66)
(для простоты ограничимся случаем одномерного движения).
Рассмотрим теперь полученные ранее разложения ядра 𝐾𝑉(2,1), подставив в них выражение для 𝐾𝑈. Если выписать только два первых члена, то
𝐾
𝑉
(2,1)
=
∑
𝑛
φ
𝑛
(𝑥
2
)φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
–
-
𝑖
ℏ
∑
𝑛
∑
𝑚
∫
φ
𝑚
(𝑥
2
)φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
,𝑡
3
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡3)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
×
×
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡3-𝑡1)
𝑑𝑥
3
𝑑𝑡
3
+… .
(6.67)
Ясно, что в каждом члене разложения переменная 𝑥1 входит лишь через волновую функцию φ*𝑚(𝑥1); аналогичным образом входит и переменная 𝑥2, поэтому ядро 𝐾𝑉 мы всегда можем записать в виде
𝐾
𝑉
(2,1)
=
∑
𝑛
∑
𝑚
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
,𝑡
1
)
φ
𝑚
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
,
(6.68)
где λ – коэффициенты, зависящие от 𝑡2 и 𝑡1. Будем называть эти коэффициенты амплитудами перехода. В нулевом порядке по 𝑉 ядро (6.68) должно совпадать с ядром 𝐾𝑈, так что в этом порядке λ𝑚𝑛=δ𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)]. Если коэффициенты λ разложить в ряд по возрастающим степеням потенциала 𝑉, то получим
λ
𝑚𝑛
=
δ
𝑚𝑛
𝑒
-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)
+λ
(1)
𝑚𝑛
+λ
(2)
𝑚𝑛
+… .
(6.69)
Сравнивая это выражение с формулой (6.67), получаем далее
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞
𝑡2
∫
𝑡1
φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
,𝑡
3
)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
×
×
𝑑𝑥
3
exp
⎧
⎨
⎩
𝑖
ℏ
[𝐸
𝑚
(𝑡
3
–𝑡
2
)
–𝐸
𝑛
(𝑡
3
–𝑡
1
)]
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
3
.
(6.70)
Задача 6.15. В задаче 5.4 мы определили некий интеграл как амплитуду перехода из состояния ψ(𝑥) в состояние χ(𝑥). Покажите, что функция λ𝑚𝑛 удовлетворяет этому определению, если начальное состояние описывается собственной функцией φ𝑛(𝑥), а конечное состояние – собственной функцией φ𝑚(𝑥).
Обозначим для краткости
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
3
)
=
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
(𝑥
3
)
𝑉(𝑥
3
,𝑡
3
)
φ
𝑛
(𝑥
3
)
𝑑𝑥
3
(6.71)
(эта величина иногда называется матричным элементом потенциала 𝑉, взятым между состояниями 𝑛 и 𝑚). Тогда формулу (6.70) можно записать в виде
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑚𝑡2
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
𝑡2
∫
𝑡1
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
3
)
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑡3
𝑑𝑡
3
.
(6.72)
Мы получили важный результат нестационарной теории возмущений. Коэффициент λ𝑚𝑛 представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡2 система будет обнаружена в состоянии 𝑚, если первоначально она находилась в состоянии 𝑛.
Предположим, что волновая функция в момент времени 𝑡1 была равна φ𝑛(𝑥1). Спрашивается, какой она станет в момент времени 𝑡2? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени 𝑡2 как
∞
∫
-∞
𝐾
𝑉
(2,1)
φ
𝑛
(𝑥
1
)
𝑑𝑡
1
=
=
∑
𝑘
∑
𝑙
λ
𝑘𝑙
φ
𝑘
(𝑥
2
)
∞
∫
-∞
φ
*
𝑙
(𝑥
1
)
φ
𝑛
(𝑥
1
)
𝑑𝑡
1
=
∑
𝑘
λ
𝑘𝑛
φ
𝑘
(𝑥
2
)
.
(6.73)
Это означает, что волновая функция в момент времени 𝑡2 имеет вид
∑
𝑚
𝐶
𝑚
φ
𝑚
(𝑥
2
)
.
Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным 𝐶𝑚, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях φ𝑚. В этом частном случае 𝐶𝑚 равно λ𝑚𝑛 и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡2 система будет находиться в состоянии φ𝑚, если в момент времени 𝑡1 она была в состоянии φ𝑛.
Если система находится в состоянии 𝑛 и на неё не действует потенциал, то она будет всегда находиться в этом состоянии с амплитудой, которая изменяется со временем. Таким образом, в нулевом порядке λ𝑚𝑛 = δ𝑚𝑛 exp [-(𝑖𝐸𝑛/ℏ)(𝑡2-𝑡1)]. Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг. 6.11): амплитуда вероятности рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за промежуток времени 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛𝑑𝑡.
Фиг. 6.11. На систему, находящуюся вначале на 𝑛-м энергетическом уровне, действует потенциал 𝑉, который «рассеивает» систему во все возможные для неё состояния.
При этом амплитуда рассеяния в 𝑘-е состояние будет пропорциональна 𝑉𝑘𝑛. В частности, амплитуда рассеяния из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 за время 𝑑𝑡 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛𝑑𝑡.
Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.
Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента λ во втором порядке теории возмущений:
λ
(2)
𝑚𝑛
=-
1
ℏ²
𝑡2
∫
𝑡1
⎧
⎨
⎩
𝑡4
∫
𝑡1
∑
𝑘
exp
⎡
⎢
⎣
–
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
–𝑡
4
)
⎤
⎥
⎦
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
4
)
×
×
exp
⎡
⎢
⎣
–
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑘
(𝑡
4
–𝑡
3
)
⎤
⎥
⎦
𝑉
𝑘𝑛
(𝑡
3
)
exp
⎡
⎢
⎣
–
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑛
(𝑡
3
–𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
3
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑡
4
.
(6.74)
Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
,𝑡
1
)
=
δ
𝑚𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
–
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
–𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
–
-
𝑖
ℏ
𝑡2
∫
𝑡1
exp
⎡
⎢
⎣
–
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝐸
𝑚
(𝑡
2
–𝑡
3
)
⎤
⎥
⎦
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
3
)
λ
𝑘𝑛
(𝑡
3
,𝑡
1
)
𝑑𝑡
3
.
(6.75)
Задача 6.19. Будем считать, что коэффициент λ𝑚𝑛(𝑡2) является функцией конечного момента времени 𝑡2. Покажите, используя уравнение (6.75) или ряд (6.69), что
𝑑
𝑑𝑡2
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
)
=-
𝑖
ℏ
∑
𝑘
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑚
–𝐸
𝑛
)𝑡
2
⎤
⎥
⎦
×
×
𝑉
𝑚𝑘
(𝑡
2
)
λ
𝑘𝑛
(𝑡
2
)
–
𝑖
ℏ
𝐸
𝑚
λ
𝑚𝑛
(𝑡
2
)
.
(6.76)
Дайте физическую интерпретацию этого результата. Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шрёдингера.
Замечание. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив её в уравнение Шрёдингера.
Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием λ𝑚𝑛(𝑡1)=δ𝑚𝑛 может быть использовано для непосредственного определения коэффициента λ.
Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии с правилом, которое гласит: выражение -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛(𝑡)𝑑𝑡 является амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 в течение промежутка времени 𝑑𝑡, вызванного потенциалом 𝑉. Переход из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 может произойти посредством 0, 1, 2, … и большего числа рассеяний. Прямой переход из одного состояния в другое без рассеяния может происходить только в случае, когда 𝑚=𝑛; именно поэтому первый член в разложении (6.69) пропорционален δ𝑚𝑛.
Второй член, определяемый формулой (6.72), представляет собой амплитуду вероятности перехода, обусловленного единичным рассеянием. Амплитуда вероятности обнаружения частицы в момент времени 𝑡3 в начальном состоянии 𝑛 равна exp [-𝑖𝐸𝑛(𝑡3-𝑡1)/ℏ]. (В этом случае выражение «вероятность обнаружить частицу в состоянии 𝑛» следует понимать как «возможность рассеяния частицы из состояния 𝑛 под действием потенциала 𝑉».) Амплитуда рассеяния частицы потенциалом 𝑉 из состояния 𝑛 в состояние 𝑚 равна -(𝑖/ℏ)𝑉𝑚𝑛. Наконец, амплитуда вероятности обнаружить частицу в момент времени 𝑡3 в состоянии 𝑚 (что в данном случае эквивалентно амплитуде вероятности перехода частицы в состояние 𝑚 за время, в течение которого происходил процесс рассеяния) пропорциональна exp [-𝑖𝐸𝑚(𝑡2-𝑡3)/ℏ]. Это рассеяние может иметь место в любой момент времени в интервале между 𝑡1 и 𝑡2, поэтому выполняется интегрирование по времени 𝑡3 между этими двумя конечными точками.
Третий член формулы (6.74) является амплитудой перехода, происходящего вследствие двух актов рассеяния. Первое рассеяние переводит систему из начального состояния 𝑛 в промужуточное состояние 𝑘 в момент времени 𝑡3. Далее, система остаётся в этом состоянии вплоть до момента времени 𝑡4 т.е. до тех пор, пока её способность к рассеянию не будет снова определяться экспоненциальной функцией exp [-(𝑖/ℏ)𝐸𝑘(𝑡4-𝑡3)]. Следующее рассеяние происходит в момент времени 𝑡4 и переводит систему из состояния 𝑘 в состояние 𝑛. Мы интегрируем по всем возможным альтернативным временам рассеяния 𝑡4 и 𝑡3, требуя лишь, чтобы момент времени 𝑡3 предшествовал моменту 𝑡4. Далее мы суммируем по всем возможным промежуточным состояниям 𝑘, в которые может перейти наша система.
Члены ряда (6.69), для которых мы только что дали интерпретацию, представляют собой основной результат нестационарной теории возмущений. Этот результат применим в случае, когда невозмущённая система имеет постоянный гамильтониан и, следовательно, определённые значения энергии. Перейдём теперь к более подробному изучению некоторых частных случаев этой теории.
Переходы первого порядка. Рассмотрим прежде всего случай, когда конечное состояние системы 𝑚 отличается от её начального состояния 𝑛, и ограничимся только первым борновским приближением, т.е. вторым членом ряда (6.69). Такой подход оправдан для малых значений потенциала 𝑉. Амплитуда перехода из состояния 𝑚 в состояние 𝑛
λ
(1)
𝑚𝑛
=-
𝑖
ℏ
𝑡2
∫
𝑡1
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛-𝐸𝑚)𝑡
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡)
𝑑𝑡
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛𝑡2-𝐸𝑚𝑡1)
.
(6.77)
Это очень важный частный случай нестационарной теории возмущений. В качестве первого примера предположим, что 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥), т.е. что потенциал не содержит явной зависимости от времени. Если мы рассмотрим теперь интервал от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, то (поскольку матричный элемент 𝑉𝑚𝑛 не зависит от времени) получим
λ
(1)
𝑚𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑛
𝑡
2
–𝐸
𝑚
𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
=
=-
𝑖
ℏ
𝑉
𝑚𝑛
𝑇
∫
0
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝐸
𝑛
–𝐸
𝑚
)𝑡
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡
=
𝑉
𝑚𝑛
exp[(𝑖/ℏ)(𝐸𝑛-𝐸𝑚)]-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
.
(6.78)
Следовательно, вероятность перехода за интервал времени, равный 𝑇,
𝑃(𝑛→𝑚)
=
|λ
(1)
𝑚𝑛
|²
=
|𝑉
𝑚𝑛
|²
⎡
⎢
⎣
4sin²
(𝐸𝑛-𝐸𝑚)𝑇
2ℏ
⎤
⎥
⎦
(𝐸
𝑛
–𝐸
𝑚
)
-2
.
(6.79)
Мы видим, что по крайней мере для большого интервала 𝑇 эта вероятность является быстро осциллирующей функцией от разности энергий 𝐸𝑛-𝐸𝑚. Если значения энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 достаточно сильно отличаются друг от друга, т.е. если |𝑉𝑚𝑛|≪|𝐸𝑚-𝐸𝑛|, то вероятность 𝑃(𝑛→𝑚) будет очень мала. Это означает, что чрезвычайно мала вероятность найти значительное различие в энергиях начального и конечного состояний системы, подверженной действию очень слабого стационарного возмущения. Можно спросить, каким образом вообще малое возмущение 𝑉𝑚𝑛 может привести к значительному изменению энергии 𝐸𝑚-𝐸𝑛? Ответ таков: мы рассматриваем возмущение 𝑉, внезапно возникающее в некоторый момент времени 𝑡=0, поэтому точное указание этого момента уже само по себе в силу принципа неопределённости допускает большую неопределённость значения энергии [см. формулу (5.19) и связанное с ней обсуждение].
Задача 6.20. Предположим, что потенциал 𝑉 сначала плавно возрастает, а затем плавно уменьшается. Пусть, например, 𝑉(𝑥,𝑡)=𝑉(𝑥)𝑓(𝑡) – гладкая функция, определяемая условиями
𝑓(𝑡)
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2𝑒γ𝑡
, если 𝑡=0,
1-
1
2𝑒γ𝑡
, если 0 < 𝑡 <
𝑇
2
,
1-
1
2𝑒-γ(𝑇-1)
, если
𝑇
2
< 𝑡 < 𝑇,
1
2𝑒-γ(𝑡-𝑇)
, если 𝑡 > 𝑇
(6.80)
(фиг. 6.12). Допустим далее, что фактор 1/γ, определяющий временной рост функции 𝑓(𝑡), намного меньше величины 𝑇 (1/γ ≪ 𝑇).
Фиг. 6.12. Зависимость от времени потенциала, обусловливающего переход из состояния 𝑚 в состояние 𝑛.
Как только зависимость от времени 𝑓(𝑡) становится более слабой, т.е. разрывы остаются лишь в производных существенно более высоких порядков, вероятность перехода уменьшается.
Кроме того, предположим, что γ ≪ (𝐸𝑚-𝐸𝑛). Покажите что величина вероятности (6.79) уменьшается в этом случае в ξ раз, где ξ={γ²/[γ²+(𝐸𝑚-𝐸𝑛)]}². При определении функции 𝑓(𝑡) в виде (6.80) мы имеем ещё разрывы второй производной по времени; более гладкие функции приводят к ещё большему уменьшению величины 𝑃(𝑛→𝑚).
Может случиться, что значения энергии 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 будут в точности равны друг другу; в этом случае вероятность перехода 𝑃(𝑛→𝑚) = |𝑉𝑚𝑛|² 𝑇²/ℏ² и возрастает пропорционально квадрату времени. Это означает, что понятие вероятности перехода на единицу времени в данном случае не имеет смысла. Указанная выше формула применима только для достаточно малых значений 𝑇, таких, что 𝑉𝑚𝑛𝑇 ≪ ℏ. Если у нас имеются только два состояния с одинаковой энергией, то оказывается, что вероятность обнаружить систему в первом из этих состояний равна cos²(|𝑉𝑚𝑛|𝑇/ℏ), а вероятность её обнаружения во втором состоянии равна sin²(|𝑉𝑚𝑛|𝑇/ℏ), так что наша формула является всего лишь первым приближением к этим выражениям.
Задача 6.21. Рассмотрим такой частный случай, когда возмущающий потенциал 𝑉 не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т.е. энергия 𝐸1=𝐸2. Пусть 𝑉12=𝑉21=𝑣, a 𝑉11, 𝑉22 и все другие матричные элементы 𝑉𝑚𝑛 равны нулю. Покажите, что
λ
11
=
1-
𝑣²𝑇²
2ℏ²
+
𝑣4𝑇4
24ℏ4
–…
=
cos
𝑣𝑇
ℏ
,
(6.81)
λ
12
=
–𝑖
𝑣𝑇
ℏ
+𝑖
𝑣3𝑇3
6ℏ3
–…
=
–𝑖 sin
𝑣𝑇
ℏ
.
(6.82)
Задача 6.22. В задаче 6.21 мы имели равенство 𝑉12=𝑉21, поэтому матричный элемент 𝑉12 является действительной величиной. Покажите, что и в том случае, когда 𝑉12 – комплексная величина, физические результаты остаются теми же самыми (при этом следует положить 𝑣=|𝑉12|).
Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно. Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайно длительное время, так что 𝑉𝑚𝑛𝑇/ℏ ≫ 1. Тогда, рассматривая систему в произвольный момент времени 𝑇 (который до некоторой степени является неопределённым), найдём, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу. Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полезен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики.
Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния 𝐸𝑚 не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу. Пусть ρ(𝐸)𝑑𝐸 – число уровней или состояний в интервале энергий от 𝐸 до 𝐸+𝑑𝐸. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий 𝐸𝑛-𝐸𝑚 велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблизи начальной энергии 𝐸𝑛 (в пределах ±𝑉𝑚𝑛). Полная вероятность перехода в некоторое состояние
∞
∑
𝑚=1
𝑃(𝑛→𝑚)
=
∑
𝑚=1
|𝑉
𝑚𝑛
|²
4 sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]
(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²
≈
≈
𝐸𝑚
∫
|𝑉
𝑚𝑛
|²
4 sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]
(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²
ρ(𝐸
𝑚
)
𝑑𝐸
𝑛
.
(6.83)
Величина {4 sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]/(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²} очень велика, если 𝐸𝑚≈𝐸𝑛 и имеет наибольшее значение, равное 𝑇²/ℏ². Эта величина значительно уменьшается, когда энергии 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 существенно различны (т.е. 𝐸𝑚-𝐸𝑛 ≥ ℏ/𝑇), как это показано на фиг. 6.13. Таким образом, интеграл по переменной 𝐸𝑚 почти целиком определяется значениями 𝐸𝑚, лежащими в окрестности точки 𝐸𝑛.
Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.
Разность энергий 𝐸𝑚-𝐸𝑛 выражена переменной 𝑥. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда 𝑥 очень мало), функция sin²𝑥/𝑥² достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 приблизительно равны друг другу.
Если матричный элемент 𝑉𝑚𝑛 изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней ρ(𝐸𝑚) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением
4|𝑉
𝑚𝑛
|²
ρ(𝐸
𝑛
)
𝐸𝑚
∫
sin²[(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/2ℏ]
(𝐸𝑚-𝐸𝑛)²
𝑑𝐸
𝑛
.
(6.84)
Так как
∞
∫
-∞
[(sin²𝑥)/𝑥²]𝑑𝑥
=π,
то интеграл (6.84) равен π𝑇/2ℏ и в результате получаем, что вероятность перехода в некоторое состояние непрерывного спектра выразится в виде
𝑃(𝑛→𝑚)
=
2π
|𝑉
𝑚𝑛
|²
ρ(𝐸𝑛)𝑇
ℏ
;
(6.85)
при этом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2π
ℏ
|𝑀
𝑛→𝑚
|²
ρ(𝐸)
,
(6.86)
где величина 𝑀𝑛→𝑚 называется матричным элементом перехода, а ρ(𝐸) – плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент 𝑀𝑛→𝑚 совпадает с 𝑉𝑚𝑛 если же перейти к более высоким порядкам разложения по λ𝑚𝑛, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.
Выражение (6.86) можно записать иначе, а именно как вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑛 в некоторое заданное состояние 𝑚.
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2πδ(𝐸𝑛-𝐸𝑚)|𝑀𝑛→𝑚|²
ℏ
(6.87)
Тогда, после того как мы просуммируем по всем состояниям 𝑚, останутся лишь те, для которых 𝐸𝑛=𝐸𝑚. Сделав замену
∑
𝑚
→
∫
𝑑𝐸
𝑚
ρ(𝐸
𝑚
)
,
получим в результате формулу (6.86).
Выражение (6.86) мы можем проиллюстрировать на примере (который ранее был рассмотрен с несколько другой точки зрения) рассеяния электрона в потенциальном поле (см. § 4). Предположим, что на свободную частицу действует центральная сила с потенциалом 𝑉(𝐫) и мы хотим изучить рассеяние этой частицы при переходе из некоторого начального состояния с определённым значением импульса в конечное состояние с другим значением импульса, имеющим новое направление. Будем считать, что начальное состояние 𝑛 описывается плоской волной с импульсом 𝐩1 так что волновая функция φ𝑛 имеет вид exp (𝑖𝐩1⋅𝐫/ℏ) (функция нормирована таким образом, чтобы интеграл от квадрата модуля |φ𝑛|² по единичному объёму был равен единице). Допустим, что конечное состояние также описывается плоской волной с импульсом 𝐩2 и, следовательно, его волновая функция φ𝑚 есть exp (𝑖𝐩2⋅𝐫/ℏ). Тогда для матричного элемента 𝑉𝑚𝑛 будем иметь
𝑉
𝑚𝑛
=
𝐫
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐫
𝑉(𝐫)
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐫
𝑑³𝐫
=
𝑣(𝐩)
,
(6.88)
где 𝐩=𝐩2-𝐩1. В процессе такого рассеяния энергия будет сохраняться, поэтому 𝐩²2/2𝑚=𝐩²1/2𝑚. Это означает, что абсолютные значения импульсов 𝐩1 и 𝐩2 равны. Положим их равными 𝑝, т.е.
|𝐩
1
|
=
|𝐩
2
|
=
𝑝.
В соответствии с принятым нами соглашением относительно записи элемента объёма в импульсном пространстве число состояний, имеющих импульсы в элементе объёма 𝑑³𝐩2, равно 𝑑³𝐩2/(2πℏ)³ = 𝑝² 𝑑𝑝 𝑑Ω/(2πℏ)³, где 𝑑Ω – элемент телесного угла, содержащий вектор импульса 𝐩2. Дифференциал энергии 𝑑𝐸 и элементарный объём в пространстве импульсов связаны соотношением
𝑑𝐸
=
𝑑
𝑝²
2𝑚
=
𝑝 𝑑𝑝
𝑚
.
(6.89)
Таким образом, плотность импульсных состояний частиц, вылетающих в телесный угол 𝑑Ω,
𝑑ρ(𝐸)
=
1
𝑑𝐸
𝑑³𝐩2
(2πℏ)³
=
𝑚𝑝 𝑑Ω
(2πℏ)³
=
ρ(𝐸) 𝑑
Ω
.
(6.90)
Подставив эти соотношения в формулу (6.86), определим вероятность перехода за 1 сек в элемент телесного угла 𝑑Ω:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
⎧
⎪
⎩
1
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
𝑚𝑝 𝑑
Ω
|𝑣(𝐪)|²
.
(6.91)
Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол 𝑑Ω) как 𝑑σ (ср. § 4 и 6 ). Так как в качестве исходных мы взяли волновые функции φ𝑛, нормированные на единичный объём (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объёме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь 𝑑σ в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц 𝑢1=𝑝1/𝑚. Поэтому
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑑
Ω
=
𝑢
1
𝑑σ
=
𝑝1
𝑚
𝑑σ
.
(6.92)
Для эффективного сечения отсюда следует выражение
𝑑σ
𝑑Ω
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2πℏ²
⎫²
⎪
⎭
|𝑣(𝐪)|²
,
(6.93)
которое в точности совпадает с ранее полученным выражением
Задача 6.23. Покажите, что для сечения 𝑑σ/𝑑Ω получится тот же самый результат и в том случае, если волновая функция φ𝑛 нормирована на единицу в некотором произвольном объёме 𝑉.
Задача 6.24. Пусть потенциал 𝑉 – периодическая функция времени. Например, положим 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)(𝑒𝑖ω𝑡+𝑒-𝑖ω𝑡). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним из следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого 𝐸кон=𝐸нач+ℏω (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где 𝐸кон=𝐸нач-ℏω (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний ρ(𝐸) должна вычисляться для этих новых значений 𝐸. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем
𝑑𝑃(𝑛→𝑚)
𝑑𝑡
=
2π
ℏ
|𝑀
𝑛→𝑚
|²
[δ(𝐸
𝑚
–𝐸
𝑛
–ℏω)
+δ(𝐸
𝑚
–𝐸
𝑛
+ℏω)]
.
(6.94)
Задача 6.25. Явление фотоэффекта показывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление заключается в том, что свет частоты ω, попадая на тонкий слой металла, с определённой вероятностью вызывает испускание электрона с энергией ℏω. Возможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волна? Какие соображения (используя результаты задачи 6.24) вы можете привести в пользу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики?
Задача 6.26. Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня 𝐸1 и 𝐸2 и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида 𝑉(𝑥,𝑡) = 𝑉(𝑥)𝑓(𝑡). Покажите, что вероятность перехода составит
𝑃(𝑛→𝑚)
=
|𝑉
12
|²
|φ(ω
0
)|²
,
(6.95)
если функцию 𝑓(𝑡) можно представить в виде интеграла Фурье
𝑓(𝑡)
=
∞
∫
-∞
φ(ω)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑑ω
2π
(6.96)
и положить ω0=(𝐸2-𝐸1)/ℏ. В случае, когда 𝑓(𝑡) – известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина φ(ω), определяемая обратным преобразованием
φ(ω)
=
𝑇
∫
-𝑇
𝑓(𝑡)
𝑒
𝑖ω𝑡
𝑒𝑡
,
(6.97)
оказывается зависящей от размеров 𝑇 области изменения переменной интегрирования 𝑡, 𝑇. Если 𝑇 очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины |φ(ω0)|² пропорционален 𝑇. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную произведению времени и «интенсивности» 𝑓 на единицу интервала частоты, взятую при значении ω0 («интенсивность», или «мощность», равна среднеквадратичному значению функции 𝑓 за время 1 сек). Таким образом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (𝐸2-𝐸1)/ℏ.
Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний 𝑚 и 𝑛 потенциал 𝑉𝑚𝑛. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния 𝑘≠𝑚 для которых 𝑉𝑘𝑚≠0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку 𝑛≠𝑚, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.
Предположим, что потенциал 𝑉 не зависит от времени 𝑡. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен λ²𝑚𝑛, и если 𝑇=𝑡2-𝑡1, то из соотношения (6.74) будет следовать, что
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚𝑡2-𝐸𝑛𝑡1)
λ
(2)
𝑚𝑛
=-
1
ℏ²
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝑇
∫
0
𝑑𝑡
4
𝑡3
∫
0
𝑑𝑡
3
×
×
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑡4
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑛)𝑡4
=
=
𝑖
ℏ
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝑇
∫
0
𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑡4
(𝑒
(𝑖/ℏ)(𝐸𝑘-𝐸𝑛)𝑡4
–1)
𝑑𝑡4
𝐸𝑘-𝐸𝑛
=
=
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
–
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑘
⎫
⎪
⎭
.
(6.98)
Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной 𝑇, описывает переход в состояния с энергией 𝐸𝑚=𝐸𝑛. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент 𝑀𝑛→𝑚 принимает вид
𝑀
𝑛→𝑚
=
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
.
(6.99)
Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.
Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние 𝑚, но и в любое состояние 𝑘, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае 𝑉𝑘𝑛=0 для всех состояний, у которых 𝐸𝑘=𝐸𝑛. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность 𝐸𝑛-𝐸𝑘 почти равна нулю, но при этом и величина 𝑉𝑘𝑛 в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по 𝑘 в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке 𝐸𝑘=𝐸𝑚, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении 𝐸𝑘, что и знаменатель.
С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ε→0 и даёт нам математически правильное выражение:
𝑀
𝑛→𝑚
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛-𝑖ε
(6.100)
(для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит.
Прежде всего следует заметить, что при больших значениях 𝑇 мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную 𝑇) лишь в том случае, когда энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 практически равны друг другу (с точностью до величин порядка ℏ/𝑇). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда 𝐸𝑘≈𝐸𝑚; если же энергия 𝐸𝑚 не слишком близка к 𝐸𝑛, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией 𝐸𝑘 для всех значений 𝐸𝑘, близких к 𝐸𝑚. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи 𝐸𝑘=𝐸𝑚, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор
𝑒(𝑖/ℏ)ε𝑇-1
ε
𝑑ε
,
где ε=(𝐸𝑚-𝐸𝑘). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от -δ до +δ. Имеем
δ
∫
-δ
𝑒(𝑖/ℏ)ε𝑇-1
ε
𝑑ε
=
δ𝑇/ℏ
∫
-δ𝑇/ℏ
𝑒𝑖𝑦-1
𝑦
𝑑𝑦
=
δ𝑇/ℏ
∫
-δ𝑇/ℏ
⎧
⎪
⎩
cos 𝑦-1
𝑦
+
𝑖 sin 𝑦
𝑦
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑦
.
(6.101)
Первый интеграл в этом выражении берётся от нечётной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда 𝑇→∞ (так как δ𝑇/ℏ→∞):
2𝑖
∞
∫
0
sin 𝑦
𝑦
𝑑𝑦
=
2π𝑖,
так что вероятность перехода невелика. Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии 𝐸𝑛 и 𝐸𝑚 практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (𝐸𝑘-𝐸𝑛)-1 и (𝐸𝑚-𝐸𝑘)-1 приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что 𝐸𝑚 и 𝐸𝑛 приблизительно равны.
Выбрав некоторое малое значение энергии Δ, разделим сумму по 𝑘 в выражении (6.98) на две части: часть 𝐴, для которой |𝐸𝑘-𝐸𝑛|≥Δ, и часть 𝐵, для которой |𝐸𝑘-𝐸𝑛|<Δ. Величину Δ мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент 𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛 был приблизительно постоянен, когда энергия 𝐸𝑘 будет принимать значения в интервале 2Δ вблизи точки 𝐸𝑛. Выбранная таким образом величина разности энергий Δ является конечной величиной, и 𝑇 можно взять настолько большим, чтобы выполнялось ℏ/𝑇 ≪ Δ, а это означает, что |𝐸𝑛-𝐸𝑚|≪Δ.
Итак, для части 𝐴 выполняется неравенство |𝐸𝑘-𝐸𝑛|≥Δ. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов. Вклад вносит только первый член, и он равен
𝑎
𝑒𝑖𝑥-1
𝑥
𝑇
ℏ
,
(6.102)
где 𝑥=(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇/ℏ и
𝑎
=
(𝐴)
∑
𝑘
𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛
𝐸𝑘-𝐸𝑛
.
Суммирование здесь выполняется по всем значениям 𝐸𝑘, за исключением тех, которые попадают в интервал ±Δ вблизи 𝐸𝑚. Эта сумма почти не зависит от Δ, и когда Δ→0, она определяет главное значение интеграла. Поэтому в пределе при Δ→0 мы можем написать
𝑎
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝐏𝐏
1
𝐸𝑘-𝐸𝑛
,
(6.103)
где выписан член первого порядка и символом 𝐏𝐏 отмечено, что он берётся в смысле главного значения.
В части 𝐵 мы будем считать фактор 𝑉𝑚𝑘𝑉𝑘𝑛 постоянным и равным его значению в точке 𝐸𝑘=𝐸𝑚. Другими словами, мы заменим
(𝐵)
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
𝐹(𝐸
𝑘
)
выражением
⎡
⎢
⎣
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
δ(𝐸
𝑘
–𝐸
𝑚
)
⎤
⎥
⎦
𝐸𝑚+Δ
∫
𝐸𝑚-Δ
𝐹(𝐸
𝑘
)
𝑑𝐸
𝑘
,
(6.104)
которое запишем как в 𝐼, где
𝑏
=
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
δ(𝐸
𝑘
–𝐸
𝑚
)
(6.105)
и
𝐼
=
𝐸𝑚+Δ
∫
𝐸𝑚-Δ
𝑑𝐸𝑘
𝐸𝑘-𝐸𝑛
⎧
⎪
⎩
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑛)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑛
–
𝑒(𝑖/ℏ)(𝐸𝑚-𝐸𝑘)𝑇-1
𝐸𝑚-𝐸𝑘
⎫
⎪
⎭
.
(6.106)
Положив далее (𝐸𝑚-𝐸𝑛)(𝑇/ℏ)=𝑥 и (𝐸𝑘-𝐸𝑛)(𝑇/ℏ)=𝑦, так что (𝐸𝑚-𝐸𝑘)(𝑇/ℏ)=𝑥-𝑦, получим
𝐼
=
𝑇
ℏ
Δ𝑇/ℏ
∫
-Δ𝑇/ℏ
𝑑𝑦
𝑦
⎧
⎪
⎩
𝑒𝑖𝑥-1
𝑥
–
𝑒𝑖(𝑥-𝑦)-1
𝑥-𝑦
⎫
⎪
⎭
.
(6.107)
Этот интеграл легче всего вычислить интегрированием по контуру, считая 𝑦 комплексной переменной и деформируя контур интегрирования. Вместо интегрирования по прямой от -Δ𝑇/ℏ до Δ𝑇/ℏ будем интегрировать по полуокружности радиуса Δ𝑇/ℏ ниже действительной оси. Поскольку отношение Δ𝑇/ℏ очень велико, а вклад второго члена пренебрежимо мал и поскольку
Δ𝑇/ℏ
∫
-Δ𝑇/ℏ
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑖π
,
мы получим 𝐼=𝑖π(𝑇/ℏ)(𝑒𝑖𝑥-1)/𝑥. Складывая части 𝐴 и 𝐵, получаем, наконец, выражение для амплитуды
(𝑎+𝑖π𝑏)
(𝑒𝑖𝑥-1)𝑇
𝑥ℏ
.
(6.108)
Соответствующая вероятность перехода имеет вид (6.86), где
𝑀
𝑛→𝑚
=
𝑎+𝑖π𝑏
=
𝑉
𝑚𝑛
+
∑
𝑘
𝑉
𝑚𝑘
𝑉
𝑘𝑛
⎡
⎢
⎣
𝐏𝐏
1
𝐸𝑘-𝐸𝑛
+
𝑖π
(𝐸
𝑘
–𝐸
𝑚
)
⎤
⎥
⎦
.
(6.109)
Подобно тому как это уже было сделано в соотношении (6.100), последнюю скобку можно записать как (𝐸𝑘-𝐸𝑚-𝑖ε)-1, где необходимо взять предел при ε→0.
Из формулы (6.100) мы видели, что даже в том случае, когда невозможен прямой переход 𝑛→𝑚 из состояния 𝑛 в состояние 𝑚, тем не менее можно допустить, что такой переход может осуществляться через некоторое так называемое промежуточное состояние.
Этот процесс можно себе представить следующим образом: система, которая находилась первоначально в состоянии 𝑛, переходит из этого состояния в некоторое промежуточное состояние 𝑘 и затем уже из состояния 𝑘 переходит в конечное состояние 𝑚. Амплитуда такого опосредствованного перехода определяется формулой (6.99). Однако физически неправильно было бы говорить, что рассматриваемый процесс действительно осуществляется через то или иное промежуточное состояние 𝑘; фактически это утверждение лишь отражает тот факт, что в характеристиках поведения квантовомеханической системы имеются определённые амплитуды вероятности переходов через различные промежуточные состояния 𝑘 и что вклады от этих амплитуд интерферируют друг с другом 1).
1) Иными словами, даже в случае, когда невозможен прямой переход 𝑛→𝑚, имеется конечная вероятность найти систему в состоянии 𝑚, находившуюся первоначально в состоянии 𝑛, что можно понимать как переход в состояние 𝑚 через некоторое промежуточное состояние.– Прим. ред.
Энергия промежуточных состояний не совпадает с энергией начального и конечного состояний; тем не менее закон сохранения энергии здесь не нарушается, поскольку система пребывает в промежуточном состоянии лишь кратковременно. Величина вклада в общую сумму в этом случае убывает обратно пропорционально разности энергий. Об этих промежуточных состояниях мало что можно сказать. Они возникают лишь при рассмотрении потенциала 𝑉 как возмущения системы с гамильтонианом 𝐻, когда реальные состояния системы с гамильтонианом 𝐻+𝑉 выражаются только лишь через состояния системы с гамильтонианом 𝐻. Если в задаче используется другое разбиение на «возмущённую» и «невозмущённую» системы, то в нашем описании появятся другие формулы и другие промежуточные состояния. Много интересных эффектов возникает в случае, когда потенциал зависит от времени (например, периодически). Большинство из них наблюдалось в микроволновых экспериментах, где в качестве возмущения 𝑉(𝑥,𝑡) применялось слабое и периодически изменяющееся во времени электрическое или магнитное поле.
