Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 25 страниц)

Функционал, определённый выражением (3.77), представляет собой амплитуду вероятности того, что под воздействием потенциала 𝑉 из точки 𝑋_𝑎 в точку 𝑋_𝑏 переходит лишь одна частица 𝑋. При вычислении этот потенциал берётся в предположении, что 𝑥 фиксировано, в то время как 𝑋 изменяется. Таким образом, это потенциал для частицы 𝑋, когда частица 𝑥 движется вдоль некоторой определённой траектории. Ясно, что амплитуда 𝑇 зависит от выбора траектории 𝑥(𝑡), поэтому мы и записываем её в виде функционала от 𝑥(𝑡). Полную амплитуду мы получим, просуммировав функционал, состоящий из произведения амплитуды 𝑇 на ядро, отвечающее свободной частице, по всем траекториям 𝑥(𝑡).

Таким образом, амплитуда 𝐾, как и все другие, представляет собой сумму амплитуд по всем возможным альтернативам. В свою очередь каждая из этих амплитуд является произведением двух: одной – отвечающей движению частицы 𝑋 между заданными конечными точками, когда траектория 𝑥(𝑡) фиксирована, и другой – амплитуды вероятности того, что частица 𝑥 движется именно по этой фиксированной траектории. Конечная сумма по всем альтернативам становится суммой по всем траекториям 𝑥(𝑡). Важно чётко усвоить эту концепцию, так как она содержит в себе один из фундаментальных принципов квантовой электродинамики, изложение которой займёт одну из последующих глав.

Разумеется, применять этот метод бесполезно, если нельзя никак – ни точно, ни приближённо – вычислить интеграл 𝑇 для каждой из возможных траекторий 𝑥(𝑡). Как мы уже видели (см. задачу 3.11), в одном случае, а именно когда 𝑋 – гармонический осциллятор, он вычисляется точно. Это очень важный в практическом отношении случай. Например, когда поле, с которым взаимодействует частица, квантуется, то оно представляет собой осциллятор.

§ 10. Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором

Рассмотрим теперь более подробно взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором. Пусть 𝐱 – это координаты частицы, а 𝐗 – координаты осциллятора. Соответствующее действие может быть записано как

𝑆[𝐱,𝐗]=

𝑆

₀

[𝐱]

+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝐗(𝑡)𝑑𝑡

+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑀

2

(𝐗̇²+ω²𝐗²)

𝑑𝑡,

(3.78)

где 𝑆₀ – действие для частицы в отсутствие осциллятора. Ранее при обсуждении мы принимали, что это действие соответствует случаю свободной частицы. Однако такое предположение не является необходимым; движение частицы, описываемое координатами 𝐱, может усложняться благодаря наличию потенциала. Так, например, действие могло бы иметь вид

𝑆

₀

[𝐱]

=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝐱̇²-

𝑉(𝐱,𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡.

(3.79)

Второй член в выражении (3.78) отвечает взаимодействию частицы и осциллятора. Заметим, что этот член линеен относительно 𝐗. То, что мы пренебрегаем зависимостью от 𝐗̇, не означает какой-либо утраты общности рассмотрения, поскольку при наличии такого члена от него всегда можно избавиться интегрированием по частям. Коэффициент 𝑔 назовём коэффициентом связи. Мы уже указывали на его зависимость от 𝐱(𝑡), однако он может зависеть также и от других переменных, например от 𝐱̇(𝑡). Поскольку мы рассматриваем общий случай, точный вид этого коэффициента не существен. Последний член в выражении (3.78), очевидно, представляет собой действие для одного лишь осциллятора. Объединив его со вторым членом, мы можем записать функционал (3.77) как

𝑇[𝑥(𝑡)]

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎧

⎨

⎩

𝑀

2

(𝐗̇²+ω²𝐗²)

+

+

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝐗(𝑡)

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝐗(𝑡).

(3.80)

Поскольку речь теперь идёт об 𝐗, ситуация становится подобной случаю возмущаемого гармонического осциллятора. Возмущающая сила есть некоторая определённая функция времени. Таким образом, это тот же самый интеграл по траекториям, который рассмотрен в задаче 3.11, с той лишь разницей, что 𝑓(𝑡) заменено на 𝑔[𝑥(𝑡),𝑡], а начальные и конечные значения координат (𝑥_𝑏,𝑥_𝑑) – на (𝐗_𝑏,𝐗_𝑎).

Для иллюстрации мы возьмём (имея в виду упростить выражение) частный случай, когда начальное и конечное значения координат осциллятора равны нулю: 𝐗_𝑏=𝐗_𝑎=0 (такое рассмотрение легко обобщается). Тогда, согласно результату задачи 3.11, имеем

𝑇

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2πℏ𝑖 sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ𝑚ω sin ω𝑇

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝑔[𝐱(𝑠),𝑠]

×

×

sin ω(𝑡

_𝑏

–𝑡)

sin ω(𝑠-𝑡

_𝑎

)

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

.

(3.81)

Следовательно, ядро в данном случае может быть записано как

𝐾(𝑏,𝑎)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2πℏ𝑖 sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

𝑖

ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐱̇(𝑡)²

𝑑𝑡-

-

1

𝑚ω sin ω𝑇

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑔[𝐱(𝑡),𝑡]

𝑔[𝐱(𝑠),𝑠]

×

×

sin ω(𝑡

_𝑎

–𝑡)

sin ω(𝑠-𝑡

_𝑎

)

𝑑𝑠

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐱(𝑡).

(3.82)

В случае произвольных значений 𝐗_𝑎, 𝐗_𝑏 выражение для 𝐾 будет аналогичным, но более сложным.

Этот интеграл по траекториям сложнее любого из тех, с которыми мы до сих пор сталкивались, и продвинуться дальше в его вычислении невозможно до тех пор, пока мы не рассмотрим (в последующих главах) различные приближённые методы. Заметим лишь, что подынтегральное выражение по-прежнему можно записывать как exp[(𝑖/ℏ)/𝑆], однако действие 𝑆 теперь уже не является функцией только переменных 𝐱̇, 𝐱 и 𝑡, оно содержит произведение величин, определяемых в два различных момента времени: 𝑠 и 𝑡. Разделение на прошлое и будущее уже невозможно. Обусловлено это тем, что в некоторый предыдущий момент времени частица действует на осциллятор, который в дальнейшем сам воздействует на эту же частицу. Нельзя ввести никакую волновую функцию ψ(𝐱,𝑡), выражающую амплитуду вероятности того, что в момент времени 𝑡 частица находится в заданной точке 𝐱. Подобной амплитуды было бы недостаточно для предсказания будущего, поскольку для этого нужно знать также, что происходит с осциллятором в любой момент времени 𝑡.

§11. Вычисление интегралов по траекториям с помощью рядов Фурье

Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид

𝐾(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑚

2

(𝑥̇²-ω²𝑥²)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡).

(3.83)

С помощью методов, изложенных в § 5, этот интеграл по траекториям, как и в задаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее важная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, приведена в равенстве (3.60). Эту функцию можно записать как

𝐹(𝑇)

=

₀

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

_𝑇

∫

₀

𝑚

2

(𝑦̇²-ω²𝑦²)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑦(𝑡).

(3.84)

Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от ω, способом, который иллюстрирует ещё одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки 0 в момент времени 𝑡=0 и возвращаются в эту же точку в момент 𝑡=𝑇, функцию 𝑦(𝑡) можно разложить в ряд Фурье по синусам с основной гармоникой, равной 2π/𝑇:

𝑦(𝑡)=

 

∑

^𝑛

𝑎

_𝑛

sin

𝑛π𝑡

𝑇

.

(3.85)

Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени 𝑡 рассматривать траектории как функции от 𝑦, мы можем считать их функциями коэффициентов 𝑎_𝑛. Это есть линейное преобразование, якобиан которого 𝐽 является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от ω, 𝑚 и ℏ.

Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от ω (в том числе и 𝐽), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем её значение 𝐹(𝑇)=√𝑚/2π𝑖ℏ𝑇 для ω=0 (случай свободной частицы).

Интеграл для действия может быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической энергии, становится равным

_𝑇

∫

₀

𝑦̇²

𝑑𝑡

=

 

∑

^𝑛

 

∑

^𝑚

𝑛π

𝑇

𝑚π

𝑇

𝑎

_𝑛

𝑎

_𝑚

_𝑇

∫

₀

cos

𝑛π𝑡

𝑇

cos

𝑚π𝑡

𝑇

𝑑𝑡

=

=

𝑇⋅

1

2

 

∑

^𝑛

⎧

⎪

⎩

𝑛π

𝑇

⎫²

⎪

⎭

𝑎

²

^𝑛

(3.86)

и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным

_𝑇

∫

₀

𝑦²

𝑑𝑡

=

𝑇⋅

1

2

 

∑

^𝑛

𝑎

²

^𝑛

(3.87)

Если предположить, что время 𝑇 разделено на интервалы длины ε, как это указано в равенствах (2.19), так что имеется лишь конечное число 𝑁 коэффициентов 𝑎_𝑛, то интеграл по траекториям приобретает вид

𝐹(𝑇)

=

𝐽

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

…

_∞

∫

^-∞

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

_𝑁

∑

^𝑛=1

𝑖𝑚

2ℏ

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

𝑛π

𝑇

⎫²

⎪

⎭

–ω²

⎤

⎥

⎦

𝑎

²

^𝑛

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

×

×

𝑑𝑎₁

𝐴

𝑑𝑎₂

𝐴

…

𝑑𝑎_𝑁

𝐴

.

(3.88)

Поскольку экспонента может быть разбита на сомножители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов 𝑎_𝑛. В результате такого интегрирования получим

_∞

∫

_-∞

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚

2ℏ

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

–ω²

⎫

⎪

⎭

𝑎

²

^𝑛

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑎_𝑛

𝐴

=

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

–ω²

⎫-½

⎪

⎭

.

(3.89)

Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален произведению

_𝑁

∏

^𝑛=1

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

–ω²

⎫-½

⎪

⎭

=

_𝑁

∏

^𝑛=1

⎧

⎪

⎩

𝑛²π²

𝑇²

⎫-½

⎪

⎭

_𝑁

∏

^𝑛=1

⎧

⎪

⎩

1-

ω²𝑇²

𝑛²π²

⎫-½

⎪

⎭

.

(3.90)

Первое произведение справа не зависит от ω и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу [(sin ω𝑇)/ω𝑇]^-½, когда 𝑁→∞, т.е. когда ε→0. Поэтому

𝐹(𝑇)

=𝐶

⎧

⎪

⎩

sin ω𝑇

ω𝑇

⎫-½

⎪

⎭

,

(3.91)

где постоянная 𝐶 не зависит от ω. Но при ω=0 наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже нашли, что

𝐹(𝑇)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(3.92)

Следовательно, для гармонического осциллятора имеем

𝐹(𝑇)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2π𝑖ℏ sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(3.93)

Это нужно подставить в формулу (3.59), чтобы получить полное решение.

Задача 3.13. Следя за всеми постоянными, покажите, что якобиан удовлетворяет соотношению

𝐽√

𝑁

⎧

⎪

⎩

𝑇

π

⎫^𝑁

⎪

⎭

_𝑁

∏

^𝑛=𝑖

1

𝑛

→1,

(3.94)

когда 𝑁→∞ .

Глава 4

ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ ОПИСАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

В интегралах по траекториям, которые мы до сих пор рассматривали, всюду [за исключением выражения (3.82)] под знаком интеграла стояли экспоненты от действия, обладающего свойством

𝑆[2,1]=𝑆[2,3]+𝑆[3,1].

(4.1)

Такие интегралы можно исследовать с помощью интегральных уравнений, к которым они сводятся. Мы уже видели это в гл. 2 [см., например, выражение (2.31)] и в гл. 3 [выражение (3.42)].

Ещё более удобным методом, когда это возможно, является сведение интеграла по траекториям к дифференциальному уравнению. Такая возможность в квантовой механике существует и фактически представляет собой самый удобный способ изложения этой теории. Почти всегда бывает легче решить дифференциальное уравнение, чем непосредственно вычислять интеграл по траекториям. Обычное изложение квантовой механики основано именно на таком дифференциальном уравнении, известном как уравнение Шрёдингера. В данной главе мы выведем это уравнение на основе нашей формулировки квантовой механики, но не будем рассматривать его решение для большого числа примеров, поскольку такие решения достаточно подробно рассмотрены в других книгах ¹).

¹) См., например, [2]. (Большое число поучительных примеров, связанных с решением уравнения Шрёдингера, имеется в книгах советских авторов: Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, нерелятивистская теория, М., 1963; Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, М., 1962; А. А. Соколов, Ю. М., Лоскутов и И. М. Тернов, Квантовая механика, М., 1962, и многих других.– Прим. ред.)

Заметим, что эта глава преследует двойную цель.

1. По отношению к читателю, который интересуется главным образом квантовой механикой, наша задача состоит в том, чтобы связать формулировку, основанную на интегралах по траекториям, с другими изложениями, встречающимися в научной литературе и учебниках, с тем чтобы читатель мог продолжить самостоятельное изучение предмета, научившись переходить с одного языка на другой и обратно.

2. Читателя, который интересуется в основном методом интегралов по траекториям, глава познакомит с техникой сведения определённого класса этих интегралов к дифференциальным уравнениям; такое сведение лучше всего показать на одном квантовомеханическом примере, к которому мы теперь и переходим.

§ 1. Уравнение Шрёдингера

Дифференциальная форма соотношений. Причина того, что мы можем перейти к дифференциальному уравнению, заключена в том, что соотношение (4.1) справедливо для любых точек 1, 2 и 3. Например, момент 𝑡₂ может отличаться от момента 𝑡₃ всего лишь на бесконечно малый интервал ε. Это позволяет нам связать значение интеграла по траекториям, вычисленное для одного момента, с его значением в другой момент, бесконечно близкий к первому. Таким путём мы можем получить для интеграла некоторое дифференциальное уравнение.

Как было уже показано, понятие волновой функции можно ввести как следствие соотношения (4.1). Более того, мы знаем, что выражение

ψ(𝑥

₂

,𝑡

₂

)

=

_∞

∫

^-∞

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

ψ(𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑑𝑥

₁

(4.2)

описывает волновую функцию в момент времени 𝑡₂ через волновую функцию в момент времени 𝑡₁. Чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, применим это соотношение к специальному случаю, когда время 𝑡₂ отличается от времени 𝑡₁ всего лишь на бесконечно малую величину ε. Ядро 𝐾(2,1) пропорционально экспоненциальной функции от действия для интервала времени (𝑡₁𝑡₂), выраженного в единицах 𝑖/ℏ. Но для малого интервала ε действие приближённо равно произведению ε на значение лагранжиана в некоторой точке этого интервала. Следовательно, в том же приближении, что и для равенства (2.34), мы можем записать

ψ(𝑥,𝑡+ε)

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

exp

⎡

⎢

⎣

ε

𝑖

ℏ

𝐿

⎧

⎪

⎩

𝑥-𝑦

ε

,

𝑥+𝑦

2

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

ψ(𝑦,𝑡)

𝑑𝑦.

(4.3)

Применим теперь это выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала 𝑉(𝑥,𝑡), т.е. к случаю, когда 𝐿=(𝑚𝑥̇²/2)-𝑉(𝑥,𝑡). Соотношение (4.3) тогда запишется в виде

ψ(𝑥,𝑡+ε)

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑚(𝑥-𝑦)²

2ε

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑖

ℏ

ε𝑉

⎧

⎪

⎩

𝑥+𝑦

2

,𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

ψ(𝑦,𝑡)

𝑑𝑦.

(4.4)

В показателе первой экспоненты появляется величина (𝑥-𝑦)²/ε. Ясно, что если 𝑦 заметно отличается от 𝑥, то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении 𝑦 экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя даёт очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин). Существенный вклад дают лишь значения 𝑦, близкие к 𝑥, когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку 𝑦=𝑥+η, имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых η. После подстановки получаем

ψ(𝑥,𝑡+ε)

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚η²

2ℏε

⎫

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑖ε

ℏ

𝑉

⎧

⎪

⎩

𝑥+

η

2

,𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

ψ[(𝑥+η),𝑡]

𝑑η.

(4.5)

Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда η порядка √εℏ/𝑚, так что наибольший вклад в интеграл получится в области именно таких значений η.

Функцию ψ мы можем разложить в степенной ряд, причём необходимо удержать лишь члены порядка ε. Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по η. Величину ε𝑉[(𝑥+η/2),𝑡] можно заменить на ε𝑉(𝑥,𝑡), поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем ε. Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по ε, а в правой – первым порядком по ε и вторым по η, получаем

ψ(𝑥,𝑡)

+

ε

∂ψ

∂𝑡

=

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

⎡

⎢

⎣

1-

𝑖ε

ℏ

𝑉(𝑥,𝑡)

⎤

⎥

⎦

×

×

⎡

⎢

⎣

ψ(𝑥,𝑡)

+η

∂ψ

∂𝑥

+

1

2

η²

∂²ψ

∂𝑥²

⎤

⎥

⎦

𝑑η.

(4.6)

Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции ψ(𝑥,𝑡) на интеграл

1

𝐴

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

𝑑η

=

1

𝐴

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫½

⎪

⎭

;

(4.7)

в левой же части мы имеем только ψ(𝑥,𝑡). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при ε, стремящемся к нулю, необходимо выбрать 𝐴 таким образом, чтобы выражение (4.7) равнялось единице. Отсюда следует

𝐴=

⎧

⎪

⎩

2π𝑖ℏε

𝑚

⎫½

⎪

⎭

,

(4.8)

что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)]. Таким способом величину 𝐴 можно определять и в более сложных задачах. Значение 𝐴 должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по ε. В противном случае при ε→0 предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать.

Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла:

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

η

𝑑η

=0

(4.9)

и

_∞

∫

^-∞

1

𝐴

𝑒

^{𝑖𝑚η²/2ℏε}

η²

𝑑η

=

𝑖ℏε

𝑚

(4.10)

Подставив в формулу (4.6) значения этих интегралов, получим

ψ+ε

∂ψ

∂𝑡

=ψ-

𝑖ε

ℏ

𝑉ψ-

ℏε

2𝑖𝑚

∂²ψ

∂𝑥²

.

(4.11)

Последнее равенство будет выполняться с точностью до ε, если функция ψ удовлетворяет уравнению

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=-

ℏ²

2𝑚

∂²ψ

∂𝑥²

+

𝑉(𝑥,𝑡)ψ.

(4.12)

Это и есть уравнение Шрёдингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как это сделано в рассмотренных ниже задачах.

Задача 4.1. Покажите, что для трёхмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом 𝑉 уравнение Шрёдингера имеет вид

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=-

ℏ²

2𝑚

∇²ψ+𝑉ψ.

(4.13)

Это уравнение, впервые записанное Шрёдингером в 1925 г., определило центральное направление всего последующего развития квантовой механики.

Операторная форма уравнения Шрёдингера. Все уравнения, получаемые (соответственно различным видам лагранжиана) при решении, разных задач, можно для удобства записать в виде

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=

𝐻ψ.

(4.14)

Символ 𝐻 здесь не является числом, а указывает на операцию, которую необходимо совершить над функцией ψ. Этот символ называется оператором Гамильтона. Например, для уравнения (4.12)

𝐻=-

ℏ²

2𝑚

∂²

∂𝑥²

+𝑉.

(4.15)

Такое операторное соотношение означает, что если под каждый оператор в обеих частях равенства подставить одну и ту же (любую) функцию ƒ, то образуется полное уравнение для этой функции. Таким образом, соотношение (4.15) символически утверждает, что уравнение

𝐻ƒ=-

ℏ²

2𝑚

∂²

∂𝑥²

+𝑉ƒ

(4.16)

справедливо для любой функции ƒ.

Задача 4.2. Лагранжиан заряженной частицы в магнитном поле равен

𝐿=

𝑚𝑟̇²

2

+

𝑒

𝑐

𝐫̇⋅𝐀-𝑒φ,

(4.17)

где 𝐫̇ – вектор скорости, 𝑒 – заряд, 𝑐 – скорость света, 𝐀 и φ – векторный и скалярный потенциалы. Покажите, что соответствующее уравнение Шрёдингера имеет вид

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=

1

2𝑚

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

–

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

⋅

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

–

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

ψ+𝑒φψ.

(4.18)

Следовательно, в этом случае гамильтониан равен

𝐻=

1

2𝑚

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

–

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

⋅

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑖

𝛁

–

𝑒

𝑐

𝐀

⎫

⎪

⎭

+𝑒φ.

(4.19)

Задача 4.3. Покажите, что комплексно-сопряжённая функция ψ* (которая получается, если в функции ψ изменить знак всех 𝑐) удовлетворяет уравнению

ℏ

𝑖

∂ψ*

∂𝑡

=

(𝐻ψ)*.

(4.20)

Смысл понятия «оператор» станет яснее из следующих примеров. Например, оператор 𝑥 означает умножение на 𝑥, оператор 𝑥² – умножение на 𝑥², оператор 𝑉(𝑥) (некоторая функция от 𝑥) – умножение на 𝑉(𝑥), оператор ∂/∂𝑥 – частное дифференцирование по 𝑥 и т.д.

Если 𝐴 и 𝐵 являются операторами, то оператор 𝐴𝐵 означает, что мы должны сначала применить оператор 𝐵 и затем уже оператор 𝐴, т.е. 𝐴𝐵ψ=𝐴(𝐵ψ). Поэтому, например, оператор 𝑥(∂/∂𝑥) означает умножение 𝑥 на ∂ψ/∂𝑥. С другой стороны, (∂/∂𝑥)𝑥 означает частную производную по 𝑥 от функции 𝑥ψ, или (∂/∂𝑥)(𝑥ψ)=𝑥(∂ψ/∂𝑥)+ψ. Мы видим, что операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴, вообще говоря, не тождественны. Оператор 𝐴+𝐵 определим так, чтобы действие 𝐴+𝐵 на функцию ψ давало функцию 𝐴ψ+𝐵ψ. Например, предыдущее соотношение можно следующим образом записать в виде уравнения операторов:

∂

∂𝑥

𝑥

=

𝑥

∂

∂𝑥

+1.

(4.21)

Это означает, что соотношение (∂/∂𝑥)𝑥ƒ=𝑥(∂/∂𝑥)ƒ+ƒ выполняется для любой функции ƒ.

Задача 4.4. Покажите, что

∂²

∂𝑥²

𝑥

=

𝑥

∂²

∂𝑥²

+2

∂

∂𝑥

(4.22)

и, следовательно, определённый формулой (4.15) оператор 𝐻 будет удовлетворять соотношению

𝐻𝑥-𝑥𝐻

=-

ℏ²

2𝑚

∂

∂𝑥

.

(4.23)

Такая операторная запись очень широко применяется в общепринятых формулировках квантовой механики.

Уравнение Шрёдингера для ядра. Поскольку ядро 𝐾(2,1), рассматриваемое как функция координат точки 2, представляет собой частный вид волновой функции (а именно волновую функцию частицы, исходящей из точки 1), оно тоже должно удовлетворять уравнению Шрёдингера. Поэтому в случае, соответствующем равенству (4.15), получаем

-

ℏ

∂

𝐾(2,1)=-

ℏ²

∂²

𝐾(2,1)+𝑉(2)𝐾(2,1)

 (если 𝑡

₂

>𝑡

₁

),

𝑖

∂𝑡

₂

2𝑚

∂𝑥

²

²

(4.24)

а в общем случае имеем для 𝑡₂>𝑡₁

-

ℏ

𝑖

∂𝐾(2,1)

∂𝑥₂

–𝐻

₂

𝐾(2,1)=0,

(4.25)

где оператор 𝐻₂ действует только на координаты точки 2.

Задача 4.5. Используя соотношение

𝐾(2,1)=

_∞

∫

_-∞

𝐾(2,3)

𝐾(3,1)

𝑑𝑥

₃

(4.26)

(где 𝑡₃-𝑡₁=ε – бесконечно малая величина), покажите, что если 𝑡₂>𝑡₁ то ядро 𝐾 удовлетворяет уравнению

+

ℏ

𝑖

∂

∂𝑡₁

𝐾(2,1)-𝐻

_*

¹

𝐾(2,1)=0,

(4.27)

где оператор 𝐻₁ действует только на координаты точки 1.

Функция 𝐾(2,1), если её рассматривать как интеграл по траекториям, определена лишь для 𝑡₂>𝑡₁. Она остаётся неопределённой, если 𝑡₂<𝑡₁. Как мы увидим из дальнейшего, очень удобно положить 𝐾(2,1) для 𝑡₂<𝑡₁ равным нулю [в частности, соотношение (4.2) в этом случае будет справедливо только при 𝑡₂>𝑡₁. Если

𝐾(2,1)=0 для 𝑡

₂

<𝑡

₁

(4.28)

уравнение (4.25), очевидно, справедливо также и в области 𝑡₂<𝑡₁ (что является тривиальным, поскольку 𝐾=0). Однако это уравнение не удовлетворяется в точке 𝑡₂=𝑡₁, так как функция 𝐾(2,1) при 𝑡₂=𝑡₁ терпит разрыв.

Задача 4.6. Покажите, что 𝐾(2,1)→δ(𝑥₂-𝑥₁), когда 𝑡₂→𝑡₁+0.

Из результата задачи 4.6 мы видим, что дифференцирование ядра 𝐾 по переменной 𝑡₂ даёт δ-функцию времени, умноженную на δ(𝑥₂-𝑥₁) – производную от ступенчатой функции. Следовательно, ядро 𝐾 удовлетворяет уравнению

-

ℏ

𝑖

∂𝐾(2,1)

∂𝑡₂

–𝐻

₂

𝐾(2,1)

=-

ℏ

𝑖

δ(𝑥

₂

–𝑥

₁

)

δ(𝑡

₂

–𝑡

₁

).

(4.29)

Вместе с граничным условием (4.28) это уравнение могло бы служить определением функции 𝐾(2,1), если уравнение Шрёдингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина 𝐾(2,1), очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шрёдингера.

Сохранение вероятности. Определённый соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если 𝑓 и 𝑔 – две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то

_∞

∫

_-∞

(𝐻𝑔)*𝑓

𝑑𝑥

=

_∞

∫

_-∞

𝑔*(𝐻𝑓)

𝑑𝑥.

(4.30)

Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, взяв функцию 𝑔, подействовать на неё оператором 𝐻, получить 𝐻𝑔 и проделать комплексное сопряжение. Полученный результат умножается затем на 𝑓 и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину 𝐻𝑓, умножить её на функцию, комплексно-сопряжённую 𝑔, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение ∫(𝐻𝑔)*𝑓𝑑𝑥 (по частям, где это необходимо).

Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4.15), то получим

-

ℏ²

2𝑚

_∞

∫

_-∞

𝑑²𝑔*

𝑑𝑥²

𝑓𝑑𝑥

+

_∞

∫

_-∞

𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥

=

=-

ℏ²

2𝑚

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑔*

𝑑𝑥

𝑓-𝑔*

𝑑𝑓

𝑑𝑥

⎫

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

_∞

_-∞

–

ℏ²

2𝑚

_∞

∫

_-∞

𝑔*

𝑑²𝑓

𝑑𝑥²

𝑑𝑥

+

_∞

∫

_-∞

𝑉𝑔*𝑓𝑑𝑥

(4.31)

(здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции 𝑓 и 𝑔 на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы.

Положив функции 𝑓 и 𝑔 равными ψ(𝑥,𝑡), получим

∫

(𝐻ψ)*ψ

𝑑𝑥

=

∫

ψ*(𝐻ψ)

𝑑𝑥

,

(4.32)

и если функция ψ удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как

∫

∂ψ*

𝑑𝑡

ψ𝑑𝑥+

∫

ψ*

∂ψ

𝑑𝑡

𝑑𝑥

=

∂

𝑑𝑡

⎧

⎪

⎩

∫

ψ*ψ

𝑑𝑥

⎫

⎪

⎭

=0.

(4.33)

Отсюда видно, что величина ∫ψ*ψ𝑑𝑥 не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция ψ соответствующим образом нормирована, то ψ*ψ выражает вероятность найти систему в точке 𝑥, поэтому интеграл от ψ*ψ равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства. Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция ψ может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдёт в произведение ψ*ψ, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла.

В нашем толковании функции ψ как амплитуды вероятности равенство интеграла от ψ*ψ константе является совершенно фундаментальным. На языке функций 𝐾 это означает, что в момент времени 𝑡₂ интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени 𝑡₁ т.е. если

ψ(2)=

∫

𝐾(2,1)

𝑓(1)𝑑𝑥

₁

,

(4.34)

то

∫

ψ*(2)ψ(2)𝑑𝑥

₂

=

∫

𝑓*(1)𝑓(1)𝑑𝑥

₁

,

(4.35)

или

∫

∫

∫

𝐾*(2;𝑥

'

¹

,𝑡

₁

)

𝐾*(2;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑓*(𝑥

'

¹

)

𝑓(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

𝑑𝑥

'

¹

𝑑𝑥

₂

=

=

∫

𝑓*(𝑥

₁

)

𝑓(𝑥

₁

)

𝑑𝑥

₁

.

(4.36)

Так как это должно выполняться для любой функции 𝑓, то

∫

𝐾*(2;𝑥

'

¹

,𝑡

₁

)

𝐾*(2;𝑥

₁

,𝑡

₁

)

𝑑𝑥

₂

=

δ(𝑥

'

¹

–𝑥

₁

).

(4.37)

Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию ψ как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро 𝐾 удовлетворяло соотношению (4.37). Мы получили это, исходя из уравнения Шрёдингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие, как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра 𝐾 как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда 𝑡₁=𝑡₂-ε, оно непосредственно следует из выражения exp(𝑖ε𝐿/ℏ) Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряжённые величины, как ψ* или 𝐾*, не очевидны сами по себе.

Умножая обе части выражения (4.37) на функцию 𝐾(1,3) и интегрируя по переменной 𝑥₁ можно показать, что для 𝑡₂>𝑡₁>𝑡₃

∫

𝐾*(2,1)

𝐾(2,3)

𝑑𝑥

₂

=

𝐾(1,3).

(4.38)

Сравним это с равенством

∫

𝐾(1,2)

𝐾(2,3)

𝑑𝑥

₂

=

𝐾(1,3),

где 𝑡₁>𝑡₂>𝑡₃. Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка 𝑡₃, то 𝐾(2,3) даёт нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени 𝑡₂. Если мы хотим перейти к ещё более позднему моменту времени 𝑡₁ то это можно сделать, используя ядро 𝐾(1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени 𝑡₂, мы захотим вернуться назад, чтобы определить её в более ранний момент времени 𝑡₁<𝑡₂, то это можно сделать, используя ядро 𝐾*(2,1) в соответствии с равенством (4.38). Следовательно, можно сказать, что действие сопряжённого ядра 𝐾*(2,1) компенсирует действие ядра 𝐾(1,2).

Задача 4.7. Покажите, что если 𝑡₁<𝑡₃, то левая часть равенства (4.38) равна 𝐾*(3,1).

§ 2. Гамильтониан, не зависящий от времени

Стационарные состояния с определённой энергией. Специальный случай, когда гамильтониан 𝐻 оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие 𝑆, не зависящее явным образом от времени 𝑡 (например, когда потенциалы 𝐀 и 𝑉 не содержат время 𝑡). В таком случае ядро зависит не от переменной времени 𝑡, а будет функцией лишь интервала 𝑡₂-𝑡₁. Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.

Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шрёдингера (4.14) в виде ψ=𝑓(𝑡)φ(𝑥), т.е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) даёт соотношение

-

ℏ

𝑖

𝑓'(𝑡)φ(𝑥)

=

𝐻𝑓(𝑡)φ(𝑥)

=

𝑓(𝑡)𝐻φ(𝑥),

(4.39)

или

-

ℏ

𝑖

𝑓'

𝑓

=

1

φ

𝐻φ.

(4.40)

Левая часть этого уравнения не зависит от 𝑥, тогда как правая не содержит зависимости от 𝑡. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых 𝑥 и 𝑡, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т.е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через 𝐸. Тогда

𝑓'=

–

𝑖

ℏ

𝐸𝑓,

или

𝑓=

𝑒

^{-𝑖𝐸𝑡/ℏ}

с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

ψ(𝑥,𝑡)

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸𝑡}

φ(𝑥),

(4.41)

где функция φ удовлетворяет уравнению

𝐻φ

=

𝐸φ,

(4.42)

а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определённой частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определённой энергией 𝐸. Каждому значению энергии 𝐸 соответствует своя особая функция φ – частное решение уравнения (4.42).

Вероятность того, что частица находится в точке 𝑥, задаётся квадратом модуля волновой функции ψ, т.е. |ψ|². В силу равенства (4.41) эта вероятность равна |φ|² и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии – стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.

Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределённости, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна 𝐸, время должно быть полностью неопределённым. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определённом состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.

Пусть 𝐸₁ – значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение φ₁ и 𝐸₂ – другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению φ₂. Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шрёдингера, а именно:

φ

₁

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₁𝑡}

φ

₁

(𝑥)

 и

ψ

₂

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₂𝑡}

φ

₂

(𝑥);

(4.43)

так как уравнение Шрёдингера линейно, то ясно, что наряду с ψ его решением будет и 𝑐ψ. Кроме того, если ψ₁ и ψ₂ – два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция

ψ=

𝑐

₁

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₁𝑡}

φ

₁

(𝑥)

+

𝑐

₂

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸₂𝑡}

φ

₂

(𝑥)

(4.44)

тоже будет решением уравнения Шрёдингера.

Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии 𝐸 и найдены соответствующие им функции φ то любое решение ψ уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определённым значениям энергии.

Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях 𝑐₁ и 𝑐₂. Поэтому, используя для функции ψ выражение (4.44) получаем

∫

ψ*ψ

𝑑𝑥

=

𝑐

*

1

𝑐

₂

∫

|φ

₁

|²

𝑑𝑥

+

𝑐

*

1

𝑐

₂

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝐸

₁

–𝐸

₂

)𝑡

⎤

⎥

⎦

∫

φ

_*

¹

φ

₂

𝑑𝑥

+

+

𝑐

₁

𝑐

_*

²

exp-

𝑖

ℏ

(𝐸

₁

–𝐸

₂

)𝑡

∫

φ

₁

φ

_*

²

𝑑𝑥

+

𝑐

_*

²

𝑐

₂

∫

φ

_*

²

φ

₂

𝑑𝑥.

(4.45)

Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т.е. члены, содержащие экспоненты exp[±(𝑖/ℏ)(𝐸₁-𝐸₂)𝑡] должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов 𝑐₁ и 𝑐₂. Это означает, что

_∞

∫

^-∞

φ

_*

¹

φ

₂

𝑑𝑥

=

_∞

∫

^-∞

φ

₁

φ

_*

²

𝑑𝑥

=0.

(4.46)

Если две функции 𝑓 и 𝑔 удовлетворяют соотношению

∫

𝑓*𝑔

𝑑𝑥

=0,

то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.

Ниже будет дана интерпретация выражений типа ∫𝑓*𝑔𝑑𝑥, и мы увидим, что равенство (4.46) отражает тот факт, что если частица имеет энергию 𝐸 [и, следовательно, её волновая функция ψ₁=exp(𝑖𝐸₁𝑡/ℏ)φ₁], то вероятность обнаружить у неё другое значение энергии 𝐸₂ [т.е. волновую функцию exp(𝑖𝐸₂𝑡/ℏ)φ₂] должна равняться нулю.