Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 21 (всего у книги 25 страниц)

Закон Планка для излучения абсолютно чёрного тела. Легко получить функцию распределения для любой системы взаимодействующих осцилляторов. Такая система эквивалентна набору независимых осцилляторов с частотами ω_𝑖. Величина свободной энергии 𝐹 для совокупности независимых осцилляторов равна сумме свободных энергий каждого из этих осцилляторов. Последние, как это видно непосредственно из (10.69), равны

𝓀𝑇 ln

⎧

⎪

⎩

2 sh

ℏω

2𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

Поэтому свободная энергия всей системы запишется в виде

𝐹

=

𝓀𝑇

 

∑

^𝑖

ln

⎧

⎪

⎩

2 sh

ℏω_𝑖

2𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

=

𝓀𝑇

 

∑

^𝑖

ln

(1-𝑒

^{ℏω_𝑖/𝓀𝑇}

)

+

 

∑

^𝑖

ℏω_𝑖

2

.

(10.85)

Последний член в этом выражении представляет собой энергию основного состояния системы.

В случае электромагнитного поля, заключённого в объёме 𝑉, число мод равно удвоенному количеству значений волнового вектора 𝐊; нулевая энергия при этом не учитывается. Следовательно, свободная энергия электромагнитного поля, отнесённая к единице объёма, равна

𝐹

=

𝓀𝑇

∫

𝑑³𝐊

(2π)³

2 ln

(1-𝑒

^{-ℏ𝐾_𝑐/𝓀𝑇}

)

.

(10.86)

Внутренняя энергия 𝑈 представляет собой частную производную от β𝐹 по β, и после подстановки ω=𝐾_𝑐 принимает вид

𝑈

=

2

∫

𝑑³𝐊

(2π)³

ℏω

1

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

.

(10.87)

Элемент объёма в импульсном пространстве можно записать так:

𝑑³𝐊

=

4π𝐾

𝑑𝐾

=

4π

ω²

𝑐³

𝑑ω

.

(10.88)

Поэтому энергия электромагнитного поля, заключённая в области частот от ω до ω+𝑑ω, равна

2⋅4π

(2π𝑐)³

ℏω

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

.

(10.89)

Это и есть хорошо известный закон излучения абсолютно чёрного тела, открытый Планком. Он явился первым количественным результатом квантовой механики, который описывал наблюдаемое явление, и был первым шагом к открытию новых законов природы.

Другим триумфом на заре квантовой механики было объяснение Эйнштейном и Дебаем температурной зависимости теплоёмкости твёрдых тел. Эта зависимость тоже вытекает из соотношения (10.85), с той лишь разницей, что осцилляторами теперь должны быть нормальные моды кристалла, описанные в гл. 8. Подобно выражению (10.87), тепловая энергия в единице объёма такого кристалла (без учёта нулевой энергии) будет равна

𝑈

=

 

∑

^{3𝑝 мод}

∫

ℏω(𝐤)

exp[ℏω(𝐤)/𝓀𝑇]

𝑑³𝐤

(2π)³

,

(10.90)

где ω(𝐤) – частота фонона с волновым вектором 𝐤. Во всяком кристалле 𝑈 будет многозначной функцией (если в единичном объёме находится 𝑝 атомов, то существует 3𝑝ω значений для каждого 𝐤), и мы должны просуммировать по всем возможным ω. Интегрирование по 𝐤 распространяется только на конечную область, соответствующую данному кристаллу. Для фотонов каждому 𝐤 соответствуют две моды с одинаковыми частотами ω=𝑘𝑐, так что в сумме появляется множитель 2, и мы приходим к равенству (10.87), причём область интегрирования по 𝐤 становится теперь бесконечной.

Следствия из выражения (10.90), изученные в различных приближениях Эйнштейном и Дебаем, хорошо объяснили основные особенности температурной зависимости теплоёмкости и, в частности, её поведение при низких температурах, которое находилось в прямом противоречии с предсказаниями классической физики. Сегодня, подставив в выражение (10.90) более точный фононный спектр ω(𝐤), мы имеем вполне удовлетворительное описание той части теплоёмкости твёрдых тел, которая обязана колебаниям атомов.

§ 5. О формулировке основных законов теории

Все предыдущее изложение статистической механики оставляет желать много лучшего. Основной принцип, утверждающий, что вероятность найти систему в состоянии с энергией 𝐸 пропорциональна 𝑒^{-𝐸/𝓀𝑇}, обычно выводят из рассмотрения взаимодействия сложных систем в течение длительных промежутков времени. Однако при этом возникает связанный с нашим подходом один интересный вопрос.

Обсуждение физики в этой книге мы начали с формулировки законов квантовой механики, применяя для этого метод интегрирования по траекториям (см. гл. 2). Проследим теперь, к чему приведёт точка зрения, согласно которой такая формулировка как раз и является фундаментальной. В этом случае оказывается, что статистические свойства системы, квантовое поведение которой описано интегралом по траекториям, выражаются функцией распределения 𝑍. В свою очередь эта функция также может быть выражена в виде некоторого интеграла по траекториям, очень схожего и тесно связанного с квантовомеханическим интегралом; подобная вещь проделана в соотношении (10.77). Однако для этого не требуется ни понятия волновой функции, ни существования стационарных состояний, ни вышеупомянутой гипотезы о длительном взаимодействии,– ничего из того, что было необходимо для вывода функции распределения в виде (10.1), зависящем от энергии уровней 𝐸_𝑖. В заключение вернёмся к формулировке 𝑍 с использованием исходного интеграла по траекториям. Существует ли какая-нибудь возможность получить для любой равновесной системы выражение 𝑍 прямо через интеграл по траекториям, описывая таким путём изменение её состояний во времени? Если да, то мы ещё це знаем, как это сделать.

Можно было бы спросить: а зачем это нужно? Это все равно что показывать своё умение плавать с заложенными за спину руками. В конце концов вы знаете, что энергетические уровни существуют. Единственным оправданием для такой попытки избавиться от их упоминания послужила бы возможность более глубокого понимания физических процессов или возможность привлечения более мощных статистических методов. Во всяком случае, разобраться в этом было бы интересно.

Отсюда и возникла идея – получить хорошо известный вариационный принцип, позволяющий вычислить наименьшую энергию системы непосредственно из исходной формулировки интеграла по траекториям, а не косвенно (из уравнения Шрёдингера). Результат излагается в гл. 11. Таким образом, плоды этих чисто академических размышлений оказались до некоторой степени и полезными, и интересными.

Однако (если так предпочтительнее) можно думать, что наша приверженность к определённому способу вычислений вызвана чисто академической заинтересованностью в методах классической физики. Пусть имеется система, подчиняющаяся принципу наименьшего действия, и её действие определено соотношением

𝑆

=

1

2

∫

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

+

𝑘

2

∫

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑎)

𝑑𝑡

,

(10.91)

так что уравнением её движения будет

𝑚𝑥̈

=

𝑘

2

[

𝑥(𝑡+𝑎)

+

𝑥(𝑡-𝑎)

].

Здесь возникает любопытная ситуация, когда на систему действует сила, зависящая от полусуммы её прошлого и будущего положений. Для уравнения (10.92) существуют экспоненциально растущие решения, но мы условимся считать допустимыми лишь те движения, при которых 𝑥 остаётся конечным и в далёком прошлом, и в отдалённом будущем. Заметим, что если закон действия сформулирован в виде δ𝑆=0, то отбрасываемые нами решения так или иначе исключаются, поскольку на все вариации траекторий накладывается условие δ𝑥→0 при 𝑡→±∞.

Для такой системы можно записать некоторое выражение, описывающее сохранение энергии, потому что уравнения движения не зависят от времени. (Ни один простой гамильтониан не даёт уравнений движения.) Возможно, что свойства системы позволяют ей подвергаться воздействию молекул газа и так достигать теплового равновесия. Зададимся вопросом: каковы средние значения параметров системы, которая подчиняется уравнению движения (10.92), удовлетворяющих граничным условиям на бесконечности, когда система находится в равновесии при температуре 𝑇? Возможно, что такая задача неразрешима или, быть может, её легко решить лишь в данном конкретном случае, когда уравнения движения линейны. Однако наша цель – выяснить, действительно ли для формулировки классической статистической механики необходимо существование гамильтониана и импульса или же можно изучать более широкий класс механических систем, для которых уравнения движения наиболее просто выводятся из принципа наименьшего действия, даже если функция действия содержит не только мгновенные положения и скорости частиц системы.

Этот вопрос представляет собой классический аналог нашего более интересного вопроса: каким образом в случае равновесного состояния системы мы переходим от описания её механических свойств, выраженного через интегралы по траекториям, к такому же описанию с точки зрения статистической механики.

Задача 10.9. Покажите, что выражение

𝐹(𝑡)

=

1

2

𝑚[𝑥̇(𝑡)]²

–

𝑘

2

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑎)

+

𝑘

2

_𝑡+𝑎

∫

^𝑡

𝑥(𝑡'-𝑎)

𝑥̇(𝑡')

𝑑𝑡'

(10.93)

является энергией для уравнения движения (10.92) и представляет собой сохраняющуюся величину.

Вообще для любого функционала действия 𝑆, не содержащего времени явным образом (т.е. инвариантный относительно преобразования 𝑡→𝑡+const) существует выражение для энергии 𝐸(𝑇) в момент 𝑇, которая будет сохраняющейся величиной. Это выражение можно найти, отыскивая в первом приближении изменение действия 𝑆 при замене всех траекторий 𝑥(𝑡) на 𝑥[𝑡+η(𝑡)], где η(𝑡)=+ε/2 для 𝑡>𝑇 и η(𝑡)=-ε/2 для 𝑡<𝑇 при постоянном ε. В случае бесконечно малого ε δ𝑆 равно ε𝐸(𝑇).

Задача 10.10. Рассмотрите, каким образом можно выразить через интегралы по тракториям статистико-механическое описание частицы, которая находится в магнитном ноле, постоянном во времени.

Глава 11

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

В этой главе мы обсудим метод приближённого вычисления интегралов по траекториям, основанный на вариационном принципе. Сначала проиллюстрируем этот метод некоторыми примерами, а потом рассмотрим задачи, в которых он может оказаться полезным.

§ 1. Принцип минимума

Предположим, что мы хотим вычислить свободную энергию системы 𝐹. Эта задача может быть сформулирована на языке интегралов по траекториям с помощью функции распределения [см. выражение (10.4)]

𝑍

=

𝑒

^-β𝐹

(11.1)

В соотношении (10.30) функция распределения была представлена как интеграл от матрицы плотности ρ(𝑥,𝑥). Затем в § 2 гл. 10 было получено выражение матрицы ρ(𝑥,𝑥) в виде некоторого ядра. Это позволило нам записать

𝑍

=

_∞

∫

^-∞

_𝑥1

∫

^𝑥₁

𝑒

^𝑆/ℏ

𝒟𝑥(𝑢)

𝑑𝑥

₁

,

(11.2)

если переменную «времени» 𝑢 рассматривать как мнимую величину.

В § 3 гл. 10 мы развили формализм теории возмущений для вычисления интегралов по траекториям, определяющих функцию распределения в некоторых частных случаях. Теперь опишем другой метод, применимый в тех случаях, когда действие 𝑆 является действительной величиной, как это имеет место, например, в обычных задачах без магнитного поля (и без учёта спина).

Всюду в этой главе мы будем предполагать, что при нашем выборе единиц ℏ=1. Если возникнет необходимость ввести ℏ для того, чтобы подчеркнуть квантовомеханический характер результата, это можно сделать непосредственным анализом размерности.

Пусть нам известно, что некоторая функция 𝑆' удовлетворяет двум условиям: во-первых, 𝑆' – достаточно простое выражение, так что для простых функционалов 𝐺 можно вычислить интегралы вида ∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡) или ∫𝐺𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡); во-вторых, траектории, дающие существенный вклад в интегралы ∫𝑒^𝑆𝒟𝑥(𝑡) и ∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡), одинаковы, т.е. величины 𝑆' и 𝑆 близки в случае, когда они обе малы. Предположим далее, что 𝐹' – свободная энергия, соответствующая действию 𝑆'. Это означает, что

𝑒

^-β𝐹'

=

_∞

∫

^-∞

_𝑥1

∫

^𝑥₁

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑢)

𝑑𝑥

₁

,

(11.3)

и поэтому

∫∫𝑒^𝑆𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥₁

∫∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥₁

=

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.4)

Так как 𝑒^𝑆=𝑒^𝑆-𝑆'𝑒^𝑆', то соотношение (11.4) можно записать в виде

∬

𝑒

^𝑆-𝑆'

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

=

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.5)

Это выражение утверждает, что экспонента exp[-β(𝐹-𝐹')] представляет собой среднее значение от величины exp(𝑆-𝑆'); усреднение производится по всем траекториям, совпадающим в начальной и конечной точках, с весом 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡) для каждой траектории. При усреднении учитываются все возможные значения 𝑥₁.

Для дальнейших вычислений можно было бы предположить разности 𝑆-𝑆' и 𝐹-𝐹' малыми и соответствующие экспоненты в обеих частях равенства разложить с точностью до величин первого порядка малости. Справедливость такого шага представляется сомнительной, так как величина β(𝐹-𝐹') не мала, если β велико. Однако сравнение членов более высокого порядка показывает, что это тем не менее оказывается хорошим приближением к величине 𝐹-𝐹'.

К тому же выводу можно прийти весьма строгим и убедительным путём. В самом деле, среднее значение экспоненты 𝑑^𝑥, где 𝑥 – независимая переменная, всегда больше или равно, чем экспонента от среднего значения 𝑥, до тех пор, пока 𝑥 – действительная величина и используемые при усреднении веса положительны, т.е.

⟨𝑒

^𝑥

⟩

≥

𝑒

^⟨𝑥⟩

,

(11.6)

где ⟨𝑥⟩ – средневзвешенное значение 𝑥. Это следует из того, что кривая функции 𝑒^𝑥 вогнута вверх, как изображено на фиг. 11.1, так что если вдоль неё расположены массы, то центр тяжести этих масс лежит выше кривой. Ордината этого центра тяжести равна среднему значению ординат точек, т.е. ⟨𝑒^𝑥⟩. Эта величина, очевидно, превышает 𝑒^⟨𝑥⟩ – ординату кривой в точке, соответствующей абсциссе центра тяжести, которая равна среднему значению ⟨𝑥⟩.

Фиг. 11.1 Экспонента от среднего и среднее от экспоненты.

Мы считаем, что весовые множители 𝑎_𝑖 положительны, и рассматриваем их как различные массы, размещённые вдоль кривой. Тогда вследствие вогнутости кривой 𝑒^𝑥 экспонента от среднего значения 𝑥 т.е. 𝑒^⟨𝑥⟩, должна лежать ниже, чем средневзвешенное от экспоненты. Величина 𝑒^⟨𝑥⟩ лежит на кривой, а ⟨𝑒^𝑥⟩ – центр тяжести указанных точек – должен быть расположен над кривой.

В левой части равенства (11.5) берём среднее значение величины 𝑒^𝑆-𝑆' по траекториям с положительными весами 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡), где 𝑆' и 𝑆 действительные величины. Следовательно, в соответствии с (11.6) эта величина превысит exp⟨𝑆-𝑆'⟩, где ⟨𝑆-𝑆'⟩ – среднее значение 𝑆-𝑆' при том же способе усреднения [т.е. с весом 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡). Это означает, что

⟨𝑆-𝑆'⟩

=

∬

(𝑆-𝑆')

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

(11.7)

и, следовательно,

𝑒

^{⟨𝑆-𝑆'⟩}

≤

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.8)

Отсюда

𝐹

₀

≤𝐹'

₀

–

1

β

⟨𝑆-𝑆'⟩

.

(11.9)

И окончательно

𝐹≤𝐹'-δ

,

(11.10)

где

δ=

1

β

∬

(𝑆-𝑆')

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

(11.11)

Именно здесь оказывается кстати принцип минимума. Он гласит, что если бы мы вычислили 𝐹'₀-δ для различных «действий» 𝑆' то результат, дающий наименьшее значение, был бы наиболее близок к правильному значению свободной энергии 𝐹 ²⁰). На самом деле энергия 𝐹 соответствует, конечно, случаю 𝑆'=𝑆, однако можно считать, что если 𝑆 и 𝑆' отличаются на некоторую величину первого порядка малости, то отличие 𝐹'-δ от 𝐹 не превышает величины второго порядка малости.

²⁰ Стоит снова подчеркнуть, что как 𝑆, так и 𝑆' не являются функционалами действия в собственно физическом значении этого понятия, так как оба они содержат мнимую переменную 𝑢 использованную в качестве «временной» переменной. Однако оперировать с интегралами по траекториям для этих функционалов можно так же, как для использованных выше физических функционалов действия.

Если бы удалось угадать общий вид функции 𝑆', пусть даже с точностью до каких-то неопределённых параметров, то можно было бы вычислить 𝐹'-δ, оставляя эти параметры неизвестными. Затем, минимизируя 𝐹'-δ, можно было бы подобрать лучшие значения этих параметров, «лучшие» в том смысле, что для них 𝐹'-δ наименее отличалось бы от истинного значения энергии 𝐹

Аналогичный принцип минимума можно использовать, чтобы определить приближённое значение энергии наинизшего состояния системы 𝐸₀. Напомним, что

𝑍

=

𝑒

^-β𝐹

=

_∞

∑

^𝑛

𝑒

^-β𝐸_𝑛

.

(11.12)

По мере того как температура системы убывает (т.е. с ростом величины β), члены этого ряда, содержащие более высокие значения энергии, становятся все менее и менее существенными. При определённых обстоятельствах в ряду 𝑍 будет преобладать член с наименьшей энергией 𝑒^-β𝐸₀, т.е.

lim

𝑍

=

𝑒

^-β𝐸₀

.

β→∞

(11.13)

Теперь, рассуждая подобно предыдущему случаю, можно просто заменить в формулах 𝐹 на 𝐸₀. Определим 𝐸'₀ как результат вычисления интеграла по траекториям с новым действием 𝑆 и запишем

𝐸

₀

≤𝐸'

₀

–δ

(11.14)

в качестве первого приближения в пределе больших значений β.

При отыскании 𝐸₀ с помощью этого приёма наша задача будет несколько проще, чем в случае свободной энергии 𝐹. В частности, можно пренебречь условием совпадения начальной и конечной точек траекторий. Чтобы понять это, вернёмся к выражению (10.28) и заметим, что с ростом β в матрице плотности ρ(𝑥',𝑥) доминирующим также становится член нулевого порядка и она стремится к величине 𝑒^-β𝐸₀(𝑥')φ*₀(𝑥). Поэтому точки 𝑥' и 𝑥 войдут только в предэкспоненциальный множитель, и их положение не повлияет на поведение экспоненты, в то время как оно является основным в таком вычислении 𝐸₀.

§ 2. Применение вариационного метода

В качестве примера вычисления функции распределения с использованием только что описанного вариационного принципа рассмотрим случай одномерного движения одной частицы. Используя приближение, развитое в гл. 10, действие для такой частицы можно записать в виде

𝑆

=-

_β

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

[𝑥̇(𝑡)]²

+

𝑉[𝑥(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

.

(11.15)

Тогда при больших значениях β функция распределения равна

𝑒

^-β𝐸₀

≈

∫

_𝑥0

∫

^𝑥₀

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

_β

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑚

2

[𝑥̇(𝑡)]²

+

𝑉[𝑥(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₀

.

(11.16)

Этот интеграл взят по тем тракториям, которые возвращаются к исходным начальным точкам; после его вычисления проводится дальнейшее интегрирование по всем возможным начальным точкам.

В § 2 гл. 10 мы уже рассмотрели аналогичную задачу и выяснили, каким образом здесь можно получить классическое приближение. В классическом пределе при высоких температурах (когда 𝓀𝑇 велико по сравнению с ℏ) величина βℏ столь мала, что траектории, проходящие далеко от точки 𝑥₀, не дают заметного вклада. Поэтому потенциал можно заменить постоянной величиной 𝑉(𝑥₀), и вклад интеграла по траектории будет постоянной величиной, равной

(𝑒

^-β𝐸₀

)

_{классич}

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πβ

⎫½

⎪

⎭

∫

𝑒

^{-β𝑉(𝑥)}

𝑑𝑥

,

(11.17)

как показано в выражении (10.48).

В гл. 10 рассматривалось квантовомеханическое уточнение классического результата путём разложения потенциала в ряд около среднего положения траектории с точностью до членов второго порядка. Дальнейшее уточнение было достигнуто с помощью потенциала 𝑈, полученного специальным методом усреднения. Теперь мы видим, что такое приближение явилось частным случаем применения вариационного метода. Чтобы пояснить эту мысль, пересмотрим основные пункты рассуждений, используя обозначения и понятия этой главы.

Нашей задачей является вывести подходящую пробную функцию 𝑊(𝑥), где 𝑥 среднее положение траектории, определяемое выражением

𝑥

=

1

β

_β

∫

⁰

𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

.

(11.18)

Вдоль любой конкретной траектории эта подстановка фиксирует значение потенциала, так что действие принимает новый вид

𝑆'

=

–

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

–

β𝑊(

𝑥

)

.

(11.19)

С помощью этого более общего выражения можно вычислить как 𝐹', так и ⟨𝑆-𝑆'⟩.

Следуя тем же путём, используем выражение (11.14). После всех необходимых подстановок получим

δ=

1

∬

⎡

⎢

⎣ exp

⎧

⎪

⎩ -

_β

∫

⁰

𝑚

2 𝑥̇² 𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦ {exp[ – β𝑊(𝑥) ]} 𝒟𝑥(𝑡) 𝑑𝑥₀

×

×

⎧

⎪

⎩

–

∬

⎧

⎨

⎩

1

β

_β

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑡')]

𝑑𝑡'

–

𝑊(

𝑥

)

⎫

⎬

⎭

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

{exp[

–

β𝑊(

𝑥

)

]}

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₀

⎫

⎪

⎭

.

(11.20)

Имеет смысл напомнить, что траектории, используемые в выражении (11.20), таковы, что их начальные и конечные точки совпадают и, подобно тому, как это сделано в формуле (11.16), в заключение проводится интегрирование по всем конечным точкам 𝑥₀.

Отметим, что числитель выражения для δ очень похож на выражение для 𝐼(𝑥), введённое в (10.63), если ограничиться траекториями со средним значением 𝑥 и отложить интегрирование по всем возможным значениям 𝑥 на последний этап вычислений. Так же как и при нахождении величины 𝐼(𝑥), мы видим, что числитель в δ не зависит от 𝑡'. Интегралы по траекториям в числителе и знаменателе можно вычислить с помощью методов, применявшихся в гл. 10, и воспользоваться при этом результатом (10.65), заметив, что

𝑌

=

𝑥

₀

–

𝑥

.

(11.21)

Так как знаменатель является просто частным случаем выражения, стоящего в числителе, то

δ

=

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

[

𝑉(𝑥

₀

)

–

𝑊(

𝑥

)

]

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

6𝑚

β

(𝑥

₀

–

𝑥

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

{exp[

–

β𝑊(

𝑥

)

]}

𝑑𝑥

₀

𝑑

𝑥

×

⎧

⎪

⎩

_∞

∫

^-∞

_∞

∫

^-∞

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

6𝑚

β

(𝑥

₀

–

𝑥

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

×

×

{exp[

–

β𝑊(

𝑥

)

]}

𝑑𝑥

₀

𝑑

𝑥

⎫-1

⎪

⎭

.

(11.22)

Интеграл по 𝑥₀ в знаменателе выражения (11.22) легко вычисляется и даёт (βπ/6𝑚)^½. Кроме того, интеграл в числителе, содержащий 𝑊(𝑥), даёт в точности такой же сомножитель. Для последующего интегрирования в числителе и упрощения окончательного выражения удобно ввести функцию

𝑉(𝑥)

=

6𝑚

πβ

_∞

∫

^-∞

𝑉(𝑥

₀

)

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

6𝑚

β

(𝑥

₀

–

𝑥

)²

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

₀

.

(11.23)

Вид функции

𝑉(𝑥)

отражает учтённый нами квантовомеханический эффект. Эта функция является средневзвешенным потенциала 𝑉(𝑥₀) с гауссовой весовой функцией, подобно тому, как мы имели для функции 𝑈(𝑥₀), определённой соотношением (10.68); ширина гауссовой кривой равна снова (βℏ²/12𝑚)^½. Для атома гелия при температуре 2° К эта ширина порядка 0,7 Å, однако при комнатных температурах она составит не более 2% от 2,7 Å (диаметр атома гелия). Величину δ теперь можно записать в виде

δ

=

∫ [ 𝑊(𝑥) -

𝑉(𝑥) ] {exp[ – β𝑊(𝑥) ]} 𝑑𝑥

∫ {exp[ – β𝑊(𝑥) ]} 𝑑𝑥

(11.24)

Следующий шаг состоит в вычислении 𝑊(𝑥), исходя из того, что в соответствии с выражением (11.13) мы должны получить наименьшее значение величины 𝐹'-δ. Значение 𝐹' определено выражением

exp(-β𝐸

'

0

)

=

∫

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

=

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

–

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

–

β𝑊(

𝑥

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

=

=

∫

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

×

×

 

∫

^{𝑥 fixed}

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

–

_β

∫

⁰

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑

𝑥

.

(11.25)

Интеграл по траекториям здесь несложен и равен √𝑚/2πβ, так что получим

exp(-β𝐸

'

0

)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πβ

⎫½

⎪

⎭

∫

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

𝑑

𝑥

.

(11.26)

Следующий шаг – оптимальный выбор функции 𝑊(𝑥) – требует, чтобы мы определили влияние малых изменений функции 𝑊(𝑥) на значение величины 𝐹'-δ и приравняли его нулю. Поэтому, представив 𝑊 в виде

𝑊

→

𝑊(

𝑥

)

+

η(

𝑥

)

,

(11.27)

найдём из выражения (11.26) вариацию 𝐹':

∂𝐸

'

0

=

∫

η(

𝑥

)

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

𝑑

𝑥

∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥

,

(11.28)

а из выражения (11.24) определим вариацию δ:

∂δ=

∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} { βη(𝑥) [

𝑉(𝑥) – 𝑊(𝑥)] + η(𝑥) } 𝑑𝑥

∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥

+

+

1

( ∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥 )²

×

∫

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

×

×

[

𝑊(

𝑥

)

–

𝑉(𝑥)

]

𝑑

𝑥

∫

βη(

𝑥

)

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

𝑑

𝑥

.

(11.29)

Для нахождения экстремального значения правой части выражения (11.13) необходимо, чтобы

∂𝐸

'

0

–

∂δ

=0,

(11.30)

что имеет место, если выбрать

𝑊(

𝑥

)

=

𝑉(𝑥)

.

(11.31)

Это в свою очередь означает, что δ=0 и что функция 𝐹' имеет такой же вид, как и классическая свободная энергия, определённая выражением (11.17). Однако потенциал в выражении для 𝐹' был заменён на 𝑉(𝑥), поэтому

exp(-β𝐸

'

0

)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πβ

⎫½

⎪

⎭

∫

{exp[-β

𝑉(𝑥)

]}

𝑑

𝑥

,

(11.32)

где

𝑉(𝑥)

– эффективный классический потенциал, заданный выражением (11.24). При больших значениях β свободная энергия системы по существу совпадает с нижним уровнем энергии 𝐸₀ поэтому выражение (11.32) мы можем интерпретировать как аппроксимацию 𝐸₀. Это означает, что вариационный подход приводит к тому же результату, что и подход, изложенный в гл. 10 [см. выражения (10.67) и (10.68)].

§ 3. Стандартный вариационный принцип

В квантовой механике существует стандартный вариационный принцип, называемый методом Рэлея – Ритца. Он состоит в следующем: если 𝐻 – гамильтониан системы, у которой наименьшее значение энергии равно 𝐸₀, то для любой произвольной функции 𝑓 имеет место соотношение

𝐸

₀

≤

∫

𝑓*𝐻𝑓𝑑(объём)

⎡

⎢

⎣

𝑓*𝑓𝑑(объём)

⎤-1

⎥

⎦

.

(11.33)

Это соотношение довольно легко доказывается и имеет весьма широкое применение. Если функция 𝑓 разложена в ряд по собственным функциям гамильтониана φ_𝑛, т.е. если 𝑓=∑𝑎_𝑛φ_𝑛 то очевидно, что

∫

𝑓*𝐻𝑓𝑑(объём)

⎡

⎢

⎣

𝑓*𝑓𝑑(объём)

⎤-1

⎥

⎦

=

=

 

∑

^𝑛

|𝑎

_𝑛

|²

𝐸

_𝑛

⎡

⎢

⎣

 

∑

^𝑛

|𝑎

_𝑛

|²

⎤-1

⎥

⎦

.

(11.34)

Последнее выражение является усреднением по значениям энергии (с положительными весами |𝑎_𝑛|²) и больше (или равно) наименьшему значению энергии 𝐸₀. Смысл соотношения (11.33) совпадает с содержанием выражения (11.13); фактически это соотношение является частным случаем выражения (11.13) (чтобы быть более точными, ограничим этот вывод теми случаями, в которых гамильтониан 𝐻 не содержит зависимости от магнитного поля; тогда наше заключение является вполне точным). Для иллюстрации связи между этими двумя соотношениями рассмотрим следующий пример.

Предположим, что действие 𝑆 соответствует лагранжиану вида

𝐿

=

1

2

𝑚𝑥̇²

–

𝑉(𝑥)

,

(11.35)

где потенциал 𝑉(𝑥) не зависит от 𝑡 (в противном случае, конечно, не существует никаких стационарных уровней энергии). Ограничимся одной переменной 𝑥, но обобщение на любое количество их не составит труда. Здесь же отметим, что если лагранжиан содержит член 𝑥̇𝐴 (например, если лагранжиан описывает частицу в агнитном поле), то соотношение (11.33) все ещё остаётся в силе, хотя действие 𝑆 будет комплексным. Мы ожидаем, что в этом случае выражение (11.13) или же некоторые его простые модификации все ещё останутся справедливыми. Однако это не доказано, поэтому ограничимся случаем, когда никакого магнитного поля нет. Тогда в пределе при больших значениях β будем иметь

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

–

_β

∫

⁰

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

+

_β

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑡)]

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

∼

exp(-β𝐸

₀

)

.

(11.36)

Предположим теперь, что в качестве пробного мы используем действие

𝑆'

=

_β

∫

⁰

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

–

_β

∫

⁰

𝑉'[𝑥(𝑡)]

𝑑𝑡

,

(11.37)

которое содержит некоторый новый потенциал 𝑉'(𝑥). Это означает, что

𝑆-𝑆'

=

_β

∫

⁰

{

𝑉'[𝑥(𝑡)]

–

𝑉[𝑥(𝑡)]

}

𝑑𝑡

,

(11.38)

или

δ=-

∫

𝑒

^𝑆'

1

β

_β

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑡)]

–

𝑉'[𝑥(𝑡)]

}

𝑑𝑡

𝒟𝑥(𝑡)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

⎤-1

⎥

⎦

.

(11.39)

Если бы нам было нужно определить среднее значение любой функции, которая зависит от траектории 𝑥(𝑡) таким же образом, как и в данном случае усреднения, то мы обнаружили бы, что это среднее значение слабо зависит от 𝑡, пока 𝑡 не очень близко к нулю или к β. Поэтому с достаточной точностью можно написать

δ=-

∫

𝑒

^𝑆'

{

𝑉[𝑥(𝑡)]

–

𝑉'[𝑥(𝑡)]

}

𝒟𝑥(𝑡)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

⎤-1

⎥

⎦

=

=

⟨

𝑉[𝑥(𝑡)]

–

𝑉'[𝑥(𝑡)]

⟩

.

(11.40)

Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот интеграл по траекториям в предположении, что известны функции φ'_𝑛 и значения энергий 𝐸'_𝑛, соответствующие 𝑆'. Пусть, например, наша траектория проходит между точками 𝑥₁ и 𝑥₂ в этом случае

𝑓'[𝑥(𝑡)]

=

 

∑

^𝑛

{exp[-(β-𝑡)𝐸

'

𝑚

]}

×

×

[exp(-𝑡𝐸

'

𝑛

)]

φ

'

𝑛

(𝑥

₂

)

φ

'

𝑚

(𝑥

₁

)

𝑓

_𝑛𝑚

×

×

⎧

⎨

⎩

 

∑

^𝑛

[exp(-β𝐸

'

𝑛

)]

φ

'*

𝑛

(𝑥

₂

)

φ

'

𝑛

(𝑥

₁

)

⎫-1

⎬

⎭

(11.41)

где

𝑓

_𝑛𝑚

=

∫

φ

'*

𝑛

(𝑥)

𝑓(𝑥)

φ

'

𝑚

(𝑥)

𝑑𝑥

.

(11.42)

Если же β стремится к бесконечности и 𝑡 тоже велико (например, 𝑡=β/2), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии 𝐸'₀. Таким образом, в пределе

lim

⟨𝑓⟩

=

𝑓

₀₀

β→∞

(11.43)

Этот результат можно записать в виде

δ

=-

∫

φ

'*

0

𝑉(𝑥)

φ

'

0

𝑑𝑥

+

∫

φ

'*

0

𝑉'(𝑥)

φ

'

0

𝑑𝑥

(11.44)

Мы, конечно, должны вычесть эту величину из 𝐸'₀. Однако если 𝐻 – гамильтониан, соответствующий действию 𝑆', т.е. если

𝐻'

=

𝑝²

2𝑚

+

𝑉'(𝑥)

,

(11.45)

то

𝐻'

φ

'

0

=

𝐸

'

0

φ

'

0

,

(11.46)

так что

𝐸

'

0

–δ

=

∫

φ

'*

0

𝐻'

φ

'

0

𝑑𝑥

+

∫

φ

'*

0

𝑉

φ

'

0

𝑑𝑥

–

∫

φ

'*

0

𝑉'

φ

'

0

𝑑𝑥

(11.47)

Но точный гамильтониан можно записать в виде

𝐻

=

𝑝²

2𝑚

+

𝑉

=

𝑝²

2𝑚

+

𝑉'

+

𝑉

–

𝑉'

=

𝐻'

+

𝑉

–

𝑉

,

(11.48)

а это означает, что

𝐸

₀

≤

∫

φ

'*

0

𝐻'

φ

'

0

𝑑𝑥

,

(11.49)

где φ'₀ – нормированная волновая функция, соответствующая низшему энергетическому состоянию системы с гамильтонианом (11.45). Отметим, что оценка наименьшей энергии (11.49) зависит от произвольного потенциала 𝑉'(𝑥) только лишь через волновую функцию φ'₀. В силу неопределённости потенциала произвольной является и функция φ'₀. Поэтому вместо того, чтобы подбирать потенциал 𝑉', находить по нему соответствующую волновую функцию и потом переходить к вычислению соотношения (11.49), мы могли бы подобрать волновую функцию и потом вычислить правую часть (11.49), совершенно не заботясь о потенциале, которому отвечает эта волновая функция. При таком подходе переменной является скорее волновая функция φ'₀, а не потенциал 𝑉'(𝑥). Отсюда видно, что полученный результат – просто другой способ толкования соотношения (11.33).

Если бы все задачи были такими, как в данном примере, когда оказывается применимым выражение (11.13), то не возникало бы оснований для столь длинных рассуждений. Однако существуют значительно более сложные интегралы, для которых выражение (11.13), по крайней мере в той степени, насколько мы можем сейчас об этом судить, не столь просто преобразуется к соотношению (11.33). Такой пример мы рассмотрим в следующем параграфе.

§ 4. Медленные электроны в ионном кристалле ²¹)

²¹ См. работу [8].

Пусть электрон движется в ионном кристалле, например в кристалле хлористого натрия. При этом он взаимодействует с ионами, которые не являются жёстко закреплёнными, и создаёт вокруг себя искажение кристаллической решётки. Если электрон движется, то область возмущения перемещается вместе с ним. Такой электрон вместе с возмущаемой им окрестностью был назван поляроном.

Вследствие возмущения решётки энергия электрона уменьшается. Кроме того, поскольку электрон перемещается и ионы должны двигаться согласованно с возмущением, то эффективная масса электрона (или, применяя общепринятый термин – масса полярона) превосходит значение массы, которое получилось бы, если решётка состояла бы из жёстко закреплённых точек. Точный квантовомеханический анализ движения такого полярона чрезвычайно сложен, и мы сделаем некоторые допущения, удовлетворить которым в реальном случае, вероятно, весьма трудно. Тем не менее мы вслед за рядом физиков будем рассматривать такую идеализированную задачу [9] не только потому, что она, возможно, отражает реальное поведение электрона в кристалле, но также и потому, что она является одним из простейших примеров взаимодействия частицы и поля. Вариационный метод вычисления интегралов по траекториям оказывается в этом случае весьма плодотворным.

Сначала отметим, что даже если бы ионы были жёстко закреплены в кристалле, тем не менее электрон двигался бы в очень сложном потенциальном поле. При этом можно показать, что существуют решения уравнения Шрёдингера для электрона с определёнными волновыми числами 𝐤. Энергетические уровни в этих решениях обычно являются весьма сложными функциями волнового числа. Тем не менее мы предположим, что связь между энергией 𝐸 и волновым числом 𝐤 квадратична:

𝐸

=

ℏ²𝑘²

2𝑚

,

(11.50)

где 𝑚 – постоянная величина, не обязательно равная массе электрона в вакууме. Далее заметим, что при воздействии электрона на решётку отрицательные ионы отталкиваются, а положительные притягиваются. Движение ионов можно исследовать, рассматривая их как набор гармонических осцилляторов и применяя методы гл. 8. Однако мы предположим, что возникают только такие высокочастотные гармоники, в которых ионы с разным зарядом движутся в противоположных направлениях. Частота гармоники ω_𝐤 зависит от волнового числа соответствующего собственного колебания, но мы пренебрежём этой зависимостью и будем считать, что ω – постоянная величина.

Наша задача заключается в том, чтобы найти электрическую силу, создаваемую возмущением, характеризуемым волновым числом 𝐤, и определить движение электрона под действием этой силы. Пренебрежём пока атомной структурой и будем рассматривать вещество нашего кристалла просто как непрерывный диэлектрик, в котором распространяются волны поляризации. Если 𝐏 – вектор поляризации, имеющий вид продольной волны