Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 13 (всего у книги 25 страниц)
Пусть теперь в соотношении (7.37) мы положили 𝐹≈1. Тогда δ𝐹=0 и
-
𝑖
ℏ
╱
╲
∫
[𝑚𝑥̈
+𝑉'(𝑥)]
δ𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
╲
╱
=0.
(7.41)
Так как этот результат должен быть верен для любого выбора функций δ𝑥(𝑡), то в любой момент времени будет выполняться равенство
⟨
𝑚𝑥̈
⟩
=-
⟨
𝑉'(𝑥)
⟩.
(7.42)
Это выражение является квантовомеханическим аналогом закона Ньютона. Если для матричного элемента перехода воспользоваться классической аналогией, рассмотренной в § 1, то можно сказать, что в каждый момент времени произведение «средней взвешенной» массы на ускорение, «усреднённое» по всем траекториям с весом 𝑒𝑖𝑆/ℏ, равно «среднему» значению силы (т.е. градиенту потенциала, взятому с обратным знаком) в тот же самый момент времени.
В качестве другого примера рассмотрим случай, когда 𝐹 является произвольным (но не равным тождественно нулю) функционалом от всех пространственных переменных, исключая 𝑥𝑘. Тогда левая часть соотношения (7.40) обращается в нуль (поскольку 𝑎𝐹/𝑎𝑡𝑘=0) и мы имеем
╱
╲
𝐹(
𝑡
1
,𝑡
2
,
…,
𝑡
𝑘-1
,𝑡
𝑘+2
,
…,
𝑡
𝑁
)
×
×
⎡
⎢
⎣
𝑚
𝑥𝑘+1-2𝑥𝑘+𝑥𝑘-1
ε²
+
𝑉'(𝑥
𝑘
)
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=0.
(7.43)
Из этого соотношения видно, что усреднённый по всем тракториям матричный элемент выражения 𝑚𝑥̈+𝑉'(𝑥) обращается в нуль в момент 𝑡𝑘 даже в том случае, если усреднение проводится с произвольным весом, лишь бы весовой функционал не зависел от точки траектории, относящейся к моменту 𝑡𝑘.
Допустим теперь, что функционал зависит от этой точки; для простоты выберем его, например, равным 𝑥𝑘. Применив соотношение (7.40), получаем
⟨1⟩
=
𝑖ε
ℏ
╱
╲
𝑚
𝑥
𝑘
𝑥𝑘+1-2𝑥𝑘+𝑥𝑘-1
ε²
𝑥
𝑘
𝑉'(𝑥
𝑘
)
╲
╱
=
=
𝑖
ℏ
╱
╲
𝑚
𝑥
𝑘
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
–
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
ε𝑥
𝑘
𝑉'(𝑥
𝑘
)
╲
╱
.
Если предположить, что потенциал 𝑉—гладкая функция, то в пределе при ε→0 величина ε𝑥𝑘𝑉'(𝑥𝑘) станет пренебрежимо малой по сравнению с другими членами и выражение (7.44) принимает вид
╱
╲
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑥
𝑘
╲
╱
–
╱
╲
𝑚
𝑥
𝑘
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
╲
╱
=
𝑖
ℏ
⟨1⟩
.
(7.45)
Последнее соотношение содержит произведение пространственной переменной 𝑥 и импульса 𝑚𝑥̇. В первом члене импульс линейно усреднён для момента 𝑡𝑘+ε/2, а пространственная переменная относится к моменту 𝑡𝑘. Во втором члене её значение снова относится к моменту 𝑡𝑘 в то время как значение импульса соответствует моменту 𝑡𝑘-ε/2. Таким образом, из этого уравнения видно, что матричный элемент перехода произведения пространственной координаты и импульса зависит от порядка моментов времени, в которые определялись эти две величины.
Позднее, когда мы перейдём к более привычным операторным обозначениям, будет видно, что оба операторных уравнения, соответствующие уравнению (7.42), и правило коммутации операторов (7.45) получаются из одного и того же фундаментального соотношения (7.34).
Из выражения (7.45) можно сделать дальнейшие выводы, которые дадут нам лучшее представление о свойствах траектории, играющих важную роль в квантовой механике. Рассмотрим порознь
╱
╲
𝑥
𝑘
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
╲
╱
(7.46)
и
╱
╲
𝑥
𝑘+1
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
╲
╱
.
(7.47)
Эти члены отличаются один от другого на величину порядка ε, поскольку они представляют собой одну и ту же величину, вычисленную в два различных момента, отличающихся на ε. Поэтому можно подставить выражение (7.47) вместо второго члена соотношения (7.45). В результате получим
╱
╲
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
(𝑥
𝑘
–𝑥
𝑘+1
)
╲
╱
=
𝑖
ℏ
⟨1⟩
.
(7.48)
Можем записать это и по-другому:
╱
╲
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
=
𝑖
ℏ𝑚ε
⟨1⟩
.
(7.49)
Отсюда следует, что матричный элемент квадрата скорости имеет порядок 1/ε и неограниченно растёт, когда ε стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что основные траектории квантовомеханической частицы не имеют вида гладкой кривой с определённым наклоном (т.е. с определённой скоростью), а изображаются линией с очень мелкими хаотическими изломами, как показано на фиг. 7.1. На самом деле эта хаотичность такова, что если для определения «среднего» воспользоваться классическими понятиями, то «среднеквадратичной» скорости просто не будет существовать.
Фиг. 7.1. Типичные траектории квантовомеханической частицы.
Они имеют нерегулярные изломы, если рассматривать их с достаточным увеличением. Таким образом, хотя средняя скорость может быть вычислена, но среднего квадрата скорости не существует. Другими словами, траектории не дифференцируемы.
Если для малого промежутка времени Δ𝑡 среднюю скорость определить, например, как [𝑥(𝑡+Δ𝑡)-𝑥(𝑡)]/Δ𝑡, то «среднеквадратичная скорость» для малого интервала времени конечна, но величина её будет тем больше, чем меньше взятый интервал.
Итак, мы знаем, что квантовомеханические траектории весьма хаотичны. Однако, будучи усреднёнными по разумному отрезку времени, эти хаотичности приводят к разумной величине дрейфа, т.е. к «средней скорости», несмотря на то что для коротких временных интервалов такая «средняя» величина скорости очень велика.
Задача 7.6. Покажите, что для частицы, движущейся в трёхмерном пространстве (𝑥,𝑦𝑧), справедливы соотношения
⟨(𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)²⟩
=
⟨(𝑦
𝑘+1
–𝑦
𝑘
)²⟩
=
⟨(𝑧
𝑘+1
–𝑧
𝑘
)²⟩
=-
𝑖ε
ℏ𝑚
,
(7.50)
⟨(
𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)(
𝑦
𝑘+1
–𝑦
𝑘
)⟩=⟨(
𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)(
𝑧
𝑘+1
–𝑧
𝑘
)⟩=
=⟨(
𝑦
𝑘+1
–𝑦
𝑘
)(
𝑧
𝑘+1
–𝑧
𝑘
)⟩=0.
(7.51)
Отсюда видно, что матричный элемент кинетической энергии нельзя написать просто как
1
2
╱
╲
𝑚
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
(7.52)
поскольку эта величина неограниченно растёт при стремлении ε к нулю. Как же получить правильное выражение для кинетической энергии? Сделаем эвристическое предположение, что нам будет достаточно ограничиться рассмотрением тех функционалов 𝐹, которые исследуются методами теории возмущений. Тогда возникает вопрос: как ввести понятие возмущения в кинетическую энергию? Пусть за малый интервал времени Δ𝑡 масса частицы 𝑚 изменяется на величину η𝑚 (где η тоже очень мало); тогда изменение действия, пропорциональное кинетической энергии, будет равно величине ηΔ𝑡(𝑚/2)𝑥̇². Итак, мы пришли к вопросу: какой вид (в первом приближении по возмущениям) имеет выражение для ⟨σ⟩𝑆0, если на короткое время масса частицы 𝑚 принимает величину 𝑚(1+η)?
Для простоты интервал Δ𝑡 можно положить равным ε, как это было уже сделано нами в определении пространственных переменных 𝑥𝑘, и т.д.; тогда в разложении по возмущениям член первого порядка, поделённый на εη, будет равен кинетической энергии частицы. Ясно, что изменение действия 𝑆 будет равно εη(𝑚/2)(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²/ε² [если в выражении (7.38) в члене с индексом 𝑖=𝑘 массу 𝑚 заменить на 𝑚(1+η)]. Однако это не единственное изменение в интеграле по траекториям, вызываемое вариацией массы. Дело в том, что, кроме величины самого интеграла, изменяется также (на величину η/2) коэффициент нормировки 𝐴, пропорциональный 𝑚½. Следовательно, полное изменение интеграла по траекториям, обусловленное малой вариацией 𝑚, после деления на ηε запишется (с точностью до первого порядка) в виде
𝑖
ℏ
╱
╲
𝑚
2
(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²
ε²
+
ℏ
2𝑖ε
╲
╱
,
(7.53)
а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину 𝑖/ℏ.
Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при ε→0 с точностью до членов порядка 1/ε, в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остаётся конечным. Это выражение можно переписать иначе, если разложить квадратичный член. В уравнении (7.40) положим 𝐹 равным 𝑥𝑘+1-𝑥𝑘 Сохраняя члены низшего порядка по ε, получаем
╱
╲
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎫
⎪
⎭
╲
╱
=
╱
╲
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎫²
⎪
⎭
╲
╱
+
ℏ
2𝑖ε
⟨1⟩.
(7.54)
Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.
В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот же самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в § 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения нашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.
В качестве первого примера рассмотрим случай свободной частицы, которая переходит из точки 𝑥1 в точку 𝑥2 за время 𝑇. Найдём матричный элемент перехода для пространственной координаты в момент времени 𝑡, т.е. для 𝑥(𝑡). Конечно, он будет некоторой функцией от 𝑡, поэтому ясно, что
⟨𝑥(0)⟩
=
𝑥
1
⟨1⟩
,
⟨𝑥(𝑇)⟩
=
𝑥
2
⟨1⟩
.
(7.55)
Так как в рассматриваемом случае все потенциалы, действующие на частицу, постоянны в пространстве (поскольку отсутствуют силы), то вторая производная от матричного элемента перехода для пространственной координаты равна нулю в соответствии с уравнением (7.42) и, следовательно, результатом интегрирования будет
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
⎡
⎢
⎣
𝑥
1
+
𝑡
𝑇
(𝑥
2
–𝑥
1
)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩.
(7.56)
Заметим, что выражение в скобках есть как раз величина 𝑥(𝑡), взятая вдоль классической траектории 𝑥(𝑡).
Задача 7.7. Покажите, что для любой квадратичной функции действия
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
𝑥
(𝑡)
⟨1⟩.
(7.57)
В качестве несколько менее тривиального примера попытаемся вычислить матричный элемент перехода ⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩ для того же случая свободной частицы, что и выше. Поскольку этот матричный элемент есть уже функция двух моментов времени, можно записать его как 𝑓(𝑡,𝑠). Вторая производная по времени в этом случае равна
∂²𝑓(𝑡,𝑠)
∂𝑡²
=
⟨𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
.
(7.58)
Этот матричный элемент можно вычислить с помощью подстановки 𝐹=𝑥(𝑠) в уравнение (7.40). В случае 𝑠≠𝑡, используя те же соображения, которые приводят к уравнению (7.42), получаем -(1/𝑚)⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩, тогда как при 𝑠=𝑡, повторив соображения, приводившие нас к соотношению (7.44), найдём, что матричный элемент перехода (7.58) является величиной порядка 1/ε. Переходя к пределу при ε→0, имеем
𝑚
∂²𝑓
∂𝑡²
=
⟨𝑚𝑥̈(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
ℏ
𝑖
δ(𝑡-𝑠)
–
⟨𝑉'[𝑥(𝑡)]𝑥(𝑠)⟩
.
(7.59)
Поскольку в рассматриваемом случае свободной частицы потенциал не зависит от пространственных координат, то второй член в правой части выражения (7.59) равен нулю. Получившееся при этом уравнение можно решить, разбив область интересующих нас значений 𝑡 на две части. В области, где 𝑡<𝑠,
𝑓
=
𝑎(𝑠)𝑡
+
𝑏(𝑠)
,
(7.60)
а при 𝑡>𝑠
𝑓
=
𝐴(𝑠)𝑡
+
𝐵(𝑠)
.
(7.61)
Таким образом, в точке 𝑡=𝑠 первая производная функции 𝑓 по времени претерпевает скачок, равный 𝐴(𝑠)-𝑎(𝑠); в соответсвии с уравнением (7.59) 𝐴(𝑠)-𝑎(𝑠)=ℏ/𝑚𝑖. Кроме того, следствием граничных условий являются равенства
⟨𝑥(0)𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
1
⟨𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
1
𝑥
(𝑠)⟨1⟩
,
⟨𝑥(𝑇)𝑥(𝑠)⟩
=
𝑥
2
𝑥
(𝑠)⟨1⟩
.
(7.62)
Этого ещё недостаточно для определения всех четырёх функций 𝑎, 𝐴, 𝑏 и 𝐵, однако мы можем дополнительно использовать соотношение
∂²𝑓
∂𝑠²
=
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑚𝑖
⎫
⎪
⎭
δ(𝑡-𝑠)
,
(7.63)
полученное дифференцированием функции 𝑓 по переменной 𝑠, или учесть, что функция 𝑓(𝑡,𝑠) должна быть симметричной относительно переменных 𝑡 и 𝑠. Отсюда следует, что 𝑎, 𝐴, 𝑏 и 𝐵 должны быть линейными функциями переменной 𝑠. Теперь граничных условий уже достаточно для определения решения, и мы получаем
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
ℏ
𝑚𝑖𝑇
𝑠(𝑇-𝑡)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩ при 𝑠<𝑡,
⎡
⎢
⎣
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
ℏ
𝑚𝑖𝑇
𝑡(𝑇-𝑠)
⎤
⎥
⎦
⟨1⟩ при 𝑠>𝑡.
(7.64)
Легко видеть, что этот результат является правильным. Произведение двух классических траекторий 𝑥(𝑡) и 𝑥(𝑠), взятых в разные моменты времени, представляет собой решение, удовлетворяющее необходимым граничным условиям однородных уравнений, которые получаются, если приравнять нулю правые части (7.59) и (7.63). Последние члены в правой части соотношений (7.64) являются частными решениями неоднородных уравнений (7.59) и (7.63), обращающимися в нуль на концах интервала.
Матричный элемент перехода от произведения двух пространственных координат, взятых для двух различных моментов, является не просто выражением для произведения двух соответствующих положений на классической траектории. Он содержит малый добавочный член, который имеет чисто квантовую природу. Этот дополнительный член вполне совместим с нашей картиной квантовомеханического движения. Хотя частица, движущаяся между фиксированными точками на концах интервала, в среднем будет находиться на классической траектории, тем не менее она имеет определённую амплитуду вероятности для движений по каждой из возможных траекторий. Этот факт необходимо помнить, когда рассматривается матричный элемент перехода от произведения пространственных координат, взятых для двух различных моментов. В этом матричном элементе должны быть учтены все возможные положения частицы на альтернативных траекториях; это обстоятельство и даёт нам дополнительный член. Альтернативы совпадут лишь в фиксированных точках интервала.
Можно лучше понять смысл этого утверждения, если снова применить нашу классическую аналогию. Предположим, что траектория частицы проходит через некоторую точку с координатой 𝑥, абсолютное значение которой велико в момент времени 𝑠. Тогда «среднее» значение переменной 𝑥 для более позднего момента времени 𝑡 не является уже обычным средним значением траектории 𝑥(𝑡); в этом случае налицо корреляция с предыдущим большим отклонением. Поэтому «среднее» значение произведения не является просто произведением «средних».
Здесь и в других приложениях классической аналогии нужно помнить, что термин «среднее» относится к величине, определяемой с помощью весовой функции 𝑒𝑖𝑆/ℏ. Эта экспонента не будет строго положительна, а в общем случае является комплексной величиной. Таким образом, мы получим чисто квантовый результат, подобный соотношению (7.64), где дополнительный корреляционный член является чисто мнимым.
Задача 7.8. Найдите матричный элемент перехода от произведения 𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)=𝑓(𝑡,𝑠) в случае, когда потенциал не остаётся постоянным, а соответствует потенциалу сил, действующих на гармонический осциллятор. Получите дифференциальные уравнения для функции 𝑓 и попытайтесь найти решение
⟨𝑓(𝑡,𝑠)⟩
=
[
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
𝑔(𝑡,𝑠)
]⟨1⟩.
(7.65)
Получите уравнение для 𝑔(𝑡,𝑠), показав, что 𝑔 не зависит от значений координат конечных точек 𝑡1 и 𝑡2 и вида силы [производной от потенциала γ(𝑡)]. Покажите, что вообще при 𝑇=𝑡2-𝑡1.
𝑔(𝑡,𝑠)
=
ℏ
𝑚𝑖ω sin 𝑖𝑇
sin ω𝑠
sin ω(𝑇-𝑡)
при 𝑠<𝑡,
𝑔(𝑡,𝑠)
=
ℏ
𝑚𝑖ω sin 𝑖𝑇
sin ω𝑡
sin ω(𝑇-𝑠)
при 𝑡<𝑠.
(7.66)
§ 4. Общие соотношения для квадратичной функции действия
Если функция действия 𝑆 имеет квадратичную форму, то очевидно, что матричные элементы перехода для многих функционалов могут быть определены достаточно просто. Стало быть, можно попытаться обобщить наши исследования на некоторые функционалы более общего вида. Методика такого обобщения была уже описана в § 5 гл. 3. Заметим, например, что если действие 𝑆 квадратично, то матричный элемент перехода функционала можно представить в виде 𝑒𝑖/ℏ∫𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡, где 𝑓(𝑡) – произвольная функция времени. Его можно выразить интегралом
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
𝑏
∫
𝑎
exp
𝑖
ℏ
⎡
⎢
⎣
𝑆+
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
𝒟𝑥(𝑡)
.
(7.67)
Если исходное действие 𝑆 выражено функцией Гаусса, то новое действие
𝑆'
=
𝑆+
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
.
Теперь интеграл по траекториям в правой части выражения (7.67) может быть вычислен известными нам методами (§ 5 гл. 3). Обозначив через 𝑆'кл экстремум действия 𝑆', вынесем в (7.67) множитель exp(𝑖𝑆'кл/ℏ) за интеграл. Под интегралом остаётся функция, интегрируемая вдоль траектории 𝑦(𝑡) от точки 𝑦(0)=0 до точки 𝑦(𝑇)=0, т.е. от начала до конца интервала (здесь мы полагаем 𝑥=𝑥+𝑦, где 𝑥 – классическая траектория, соответствующая экстремуму действия).
Интеграл вдоль траектории 𝑦 не зависит от функции 𝑓(𝑡), поскольку она входит в действие 𝑆' как коэффициент перед линейным членом 𝑥(𝑡). Мы уже видели [см. выражение (3.49)], что в оставшуюся часть такого интеграла входят лишь квадратичные члены функции 𝑆', которые представляют собой не что иное, как квадратичную часть функции 𝑆. Поэтому интеграл по траектории в правой части соотношения (7.67) превращается в экспоненту, умноженную на матричный элемент перехода ⟨1⟩. В результате получаем
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑆'
кл
–𝑆
кл
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩.
(7.68)
Мы уже рассматривали экстремум функции 𝑆'кл. Отсюда можно получить экстремум функции 𝑆кл, если положить 𝑓(𝑡) тождественно равной нулю. Заметим, что действие для гармонического осциллятора, определяемое выражением (3.68), является частным случаем функции действия 𝑆'кл.
Задача 7.9. Используя полученный выше результат, покажите, что если функция 𝑆 соответствует гармоническому осциллятору, т.е.
𝑆
=
𝑚
2
∫
𝑥̇²
𝑑𝑡
–
𝑚ω²
2
∫
𝑥²
𝑑𝑡
,
то
╱
╲
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓(𝑡)𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
⟨1⟩
⎧
⎪
⎩
exp
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
𝑚ω
2sin ω(𝑡2-𝑡1)
⎤
⎥
⎦
×
×
⎡
⎢
⎣
2𝑥2
𝑚ω
𝑡2
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
sin ω(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
+
2𝑥1
𝑚ω
𝑡2
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
sin ω(𝑡
2
–𝑡)
𝑑𝑡
–
-
2
𝑚²ω²
𝑡2
∫
𝑡1
𝑡
∫
𝑡1
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑠)
sin ω(𝑡
2
–𝑡)
sin ω(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⎫
⎪
⎭
,
где 𝑥1, 𝑥2,– начальные и конечные координаты для осциллятора.
Из матричного элемента перехода, заданного выражением (7.68), можно получить элемент перехода для координаты 𝑥(𝑡). Продифференцируем для этого соотношение (7.68) по 𝑓(𝑡):
╱
╲
𝑥(𝑡)
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
∫
𝑓𝑥
𝑑𝑡
⎤
⎥
⎦
╲
╱
=
𝑖
ℏ
δ
δ𝑓(𝑡)
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
–𝑆
кл
)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩
=
=
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
⎧
⎨
⎩
exp
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
–𝑆
кл
)
⎫
⎬
⎭
⟨1⟩
.
(7.69)
Полагая в обеих частях этого равенства 𝑓(𝑡)≡0, получаем
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
⟨1⟩
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
.
(7.70)
Этот процесс можно продолжить до второй производной:
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫²
⎪
⎭
δ²
δ𝑓(𝑡)δ𝑓(𝑠)
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
(𝑆'
кл
–𝑆
кл
)
⎤
⎥
⎦
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
⟨1⟩
=
=
⟨1⟩
⎡
⎢
⎣
𝑖
ℏ
δ²𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)δ𝑓(𝑠)
+
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑡)
δ𝑆'кл
δ𝑓(𝑠)
⎤
⎥
⎦
⎪
⎪
⎪𝑓≡0
.
(7.71)
Действительно, поскольку функция 𝑆'кл квадратична только по переменной 𝑓 [ср. выражение (3.66)], то матричный элемент перехода для произведения любого числа координат 𝑥' можно выразить непосредственно через производную δ𝑆'кл/δ𝑓(𝑡) и величину δ²𝑆кл/δ𝑓(𝑡)δ𝑓(𝑠), не зависящую от 𝑓. Все это, очевидно, следует из соотношений (7.64) и (7.65) и позволяет нам записать матричный элемент перехода для произведения трёх координат, что и будет сделано ниже.
Задача 7.10. Покажите, что если
⟨𝑥(𝑡)⟩
=
𝑥
(𝑡)
⟨1⟩
и
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)⟩
=
[
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
+
𝑔(𝑡,𝑠)
]⟨1⟩
,
то для любого квадратичного функционала
⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑠)𝑥(𝑢)⟩
=
=
[
𝑥
(𝑡)
𝑥
(𝑠)
𝑥
(𝑢)
+
𝑥
(𝑡)
𝑔(𝑠,𝑢)
+
𝑥
(𝑠)
𝑔(𝑡,𝑢)
+
𝑥
(𝑢)
𝑔(𝑡,𝑠)
]⟨1⟩
.
Найдите матричный элемент перехода произведения четырёх координат 𝑥, допустив, что поскольку 𝑆'кл-𝑆кл квадратично по переменной 𝑓 и равно нулю при 𝑓=0, то это выражение должно иметь вид
𝑆'
кл
–𝑆
кл
=
1
2
∫∫
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑠)
𝑔(𝑡,𝑠)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
+
∫
𝑥
(𝑡)
𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
,
где 𝑔 и 𝑥 – некоторые функции.
§ 5. Матричные элементы перехода и операторные обозначения
В этом и следующем параграфах покажем, как матричные элементы перехода выражаются в обозначениях, общепринятых для волновых функций и операторов. Это поможет тому читателю, который ранее встречался с другой формой записи, выразить результаты вычислений интегралов по траекториям в более привычном для себя виде.
Если функция 𝐹 зависит только от переменной 𝑥 и одного момента времени 𝑡 [иными словами, если функция 𝐹 совпадает с функцией 𝑉(𝑥𝑘), взятой в момент времени 𝑡𝑘], то из соотношения (7.10) мы знаем, как в этом случае оценить элемент перехода. Подобным же образом [из выражения (7.15)] можно получить оценку для матричного элемента перехода, если функция 𝐹 зависит от одной координаты 𝑥(𝑡) и двух различных моментов.
Пусть функция 𝐹 является некоторым импульсом, рассматриваемым в момент времени 𝑡𝑘. Воспользуемся уже известным нам приближением и разобьём ось времени на отрезки длины ε; тогда
𝐹
=
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)
(7.72)
и, следовательно,
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱𝑆
=
𝑚
ε
(
⟨χ|𝑥
𝑘+1
|ψ⟩
𝑆
–
⟨χ|𝑥
𝑘
|ψ⟩
𝑆
).
(7.73)
Правую часть выражения (7.73) можно записать в виде
𝑚
ε
⎡
⎢
⎣
∫
χ*(𝑥,𝑡+ε)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡+ε)
𝑑𝑥
–
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
⎤
⎥
⎦
.
(7.74)
Воспользуемся теперь волновым уравнением. Из задачи 4.3 (гамильтониан 𝐻 соответствует действию 𝑆) следует, что
ψ(𝑥,𝑡+ε)
=
ψ(𝑥,𝑡)
+ε
∂ψ
∂𝑡
=
ψ-
𝑖ε
ℏ
𝐻ψ
,
(7.75)
χ*(𝑥,𝑡+ε)
=
χ*(𝑥,𝑡)
+ε
∂χ*
∂𝑡
=
χ*+
𝑖ε
ℏ
(𝐻χ)*
.
(7.76)
Тогда в первом приближении по ε имеем
∫
χ*(𝑥,𝑡+ε)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡+ε)
𝑑𝑥
=
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
–
-
𝑖ε
ℏ
⎧
⎨
⎩
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
[𝐻ψ(𝑥,𝑡)]
𝑑𝑥
–
[𝐻*χ*(𝑥,𝑡)]
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
⎫
⎬
⎭
.
(7.77)
С помощью соотношения (4.30) последний интеграл можно записать как ∫χ*(𝑥,𝑡)[𝐻𝑥ψ(𝑥,𝑡)]𝑑𝑥; упрощая, запишем в операторном виде
⟨χ|𝑚𝑥̇|ψ⟩
=-
𝑖𝑚
ℏ
∫
χ*
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.78)
Это ничем не отличается от соотношения
-
𝑖
ℏ
𝑚
∫
χ*
ℏ²
𝑚
∂ψ
∂𝑥
𝑑𝑥
∫
χ*
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑥
𝑑𝑥
,
(7.79)
где мы применили результат задачи 4.4. Оператор (ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥) обычно называется оператором импульса, или, точнее, оператором, представляющим 𝑥-компоненту импульса. Структура матричного элемента перехода для величины 𝑚𝑥̇ соответствует постановке оператора (ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥) между функциями χ* и ψ; аналогично в матричном элементе перехода для величины 𝑥 мы помещаем 𝑥 между теми же функциями. Эти соотношения можно понять глубже, если перейти к импульсному представлению. Пусть
χ(𝑝)
=
∞
∫
-∞
χ(𝑥)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝑝𝑥
𝑑𝑥
,
ψ(𝑝)
=
∞
∫
-∞
ψ(𝑥)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝑝𝑥
𝑑𝑥
(7.80)
являются импульсным представлением функций χ и ψ; тогда можно показать, что
∞
∫
-∞
χ*(𝑥)
ℏ
𝑖
∂ψ(𝑥)
∂𝑥
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
χ*(𝑝)
𝑝ψ(𝑝)
𝑑𝑝
.
(7.81)
Задача 7.11. Докажите соотношение (7.81).
Есть и другой путь к пониманию этого соотношения. Рассмотрим амплитуду вероятности перехода, определяемую выражением
⟨χ|1|ψ⟩
=
∫∫
χ*(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
)
𝐾(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
;𝑥
1
,𝑡
1
)
ψ(𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑁
.
(7.82)
Предположим далее, что вся ось 𝑥1 смещена вправо на малый отрезок Δ. Обозначив новую координату 𝑥'1, имеем
𝑥
1
=
𝑥'
1
–
Δ
.
(7.83)
Заменив старые переменные 𝑥1 на новые, мы не изменим амплитуду перехода, определяемую соотношением (7.82):
⟨χ|1|ψ⟩
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
𝑥𝑁
∫
𝑥'1
χ(𝑥
𝑁
,𝑡
𝑁
)
exp
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑁-1
∑
𝑖=2
𝑆
[𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
]
+
+
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑆
[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥'
1
–
Δ
,𝑡]
⎤
⎥
⎦
ψ(𝑥'
1
–
Δ
,𝑡)
𝒟𝑥(𝑡)
𝑑𝑥'
1
𝑑𝑥
2
,
(7.84)
где интеграл по траекториям явно выражен при помощи методики, применявшейся ранее в соотношении (2.22).
Разложим теперь функции 𝑆[𝑥2,𝑡2;𝑥'1-Δ,𝑡] и ψ(𝑥'1-Δ,𝑡) в ряд Тейлора, где сохраним лишь члены первого порядка. Тогда подынтегральная экспонента сведётся к выражению
exp
⎧
⎨
⎩
𝑁-1
∑
𝑖=2
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑆
[𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
]
⎫
⎬
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
1-
⎧
⎪
⎩
𝑖
ℏ
⎫
⎪
⎭
Δ
∂
∂𝑥'1
𝑆[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥'
1
,𝑡
1
]
⎫
⎬
⎭
.
(7.85)
В интеграле, определяющем амплитуду перехода, можно опустить штрих, поскольку 𝑥'1 – переменная интегрирования. Тогда соотношение (7.84) примет вид
⟨𝑥|1|χ⟩
=
∫∫
χ*(2)
𝐾(2,1)
ψ(1)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
–
𝑖
ℏ
Δ
∫∫
χ*(2)
𝐾(2,1)
×
×
⎧
⎨
⎩
ψ
1
∂
∂𝑥1
𝑆[𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
]
+
ℏ
𝑖
∂
∂𝑥1
ψ(𝑥
1
,𝑡
1
)
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
,
(7.86)
где мы предположили, что точка 𝑥2 находится на траектории 𝑥(𝑡) и отстоит на интервал ε от точки 𝑥1 т.е. что 𝑡2=𝑡1+ε.
Первый член в правой части соотношения (7.86) совпадает с амплитудой вероятности перехода в левой части. Это значит, что второй член равен нулю; но он представляет собой комбинацию двух матричных элементов перехода. Поэтому
╱
╲
⎪
⎪
⎪
–
∂
∂𝑥1
𝑆[𝑥
2
,𝑡
1
+ε;𝑥
1
,𝑡
1
]
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
╱
╲
χ|1|
ℏ
𝑖
∂ψ(𝑥1,𝑡1)
∂𝑥1
╲
╱
.
(7.87)
В согласии с выражением (2.22) мы применили здесь классическое действие вдоль каждого участка траектории. Поэтому функция 𝑆[2,1], появляющаяся в соотношении (7.87), является классической функцией действия для начала траектории. Её производная по 𝑥1 (взятая с обратным знаком) равна классическому значению импульса от 𝑥1. Следовательно, можно написать
⟨χ|𝑝
1
|ψ⟩
=
╱
╲
χ|1|
ℏ
𝑖
∂ψ
∂𝑥1
╲
╱
.
(7.88)
что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).
В случае усложнения функции действия 𝑆, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал 𝑝(𝑡), соответствующий импульсу в момент времени 𝑡. В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода ⟨χ|1|ψ⟩ (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим моментам 𝑡, смещены на -Δ) равна произведению этого сдвига Δ на матричный элемент ⟨χ|𝑝(𝑡)|ψ⟩. Отсюда для сколь угодно сложной функции 𝑆 можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определён гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как это делалось в § 7 гл. 7.
Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция 𝑉 зависит только от пространственных координат, то
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑑𝑉
𝑑𝑡
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑉(𝑥𝑘+1)-𝑉(𝑥𝑘)
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞
χ*
(𝐻𝑉-𝑉𝐻)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.89)
Рассмотрите случай, когда 𝑉 является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной 𝑑𝑉/𝑑𝑡 совпадает с матричным элементом для оператора (𝑖/ℏ)(𝐻𝑉-𝑉𝐻)+∂𝑉/∂𝑡.
Задача 7.13. Покажите, что
⟨χ|𝑚𝑥̈|ψ⟩
=
𝑖
ℏ
∞
∫
-∞
χ*
(𝐻𝑝-𝑝𝐻)
ψ
𝑑𝑥
.
(7.90)
а также, что для любой величины 𝐴 (записанной через операторы или любым другим способом) производная ∂𝐴/∂𝑡 равна
∂𝐴
∂𝑡
+
𝑖
ℏ
(𝐻𝐴-𝐴𝐻)
.
Если рассмотреть выражение для функции 𝐹, зависящей от двух последовательных очень близких значений координат:
𝐹
=
𝑚(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)
ε
𝑥
𝑘
,
(7.91)
то, очевидно, получим
⟨χ|𝐹|ψ⟩
=
1
ε
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡+ε)
𝑚𝑥
𝐾(𝑥,𝑡+ε;𝑦,𝑡)
𝑦
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
–
1
ε
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑚𝑥²
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑥
,
(7.92)
где 𝑡=𝑡𝑘. Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили
∞
∫
-∞
𝐾(𝑥,𝑡+ε;𝑦,𝑡)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
=
𝑓(𝑥)
+
𝑖ε
ℏ
𝐻𝑓(𝑥)
.
(7.93)
Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен
1
ε
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡+ε)
𝑚𝑥
⎧
⎪
⎩
1+
𝑖ε
ℏ
𝐻
⎫
⎪
⎭
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
.
(7.94)
Выразив функцию χ* при помощи соотношения (7.76) и использовав эрмитовость гамильтониана 𝐻, преобразуем рассматриваемый интеграл к виду
1
ε
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡)
⎧
⎪
⎩
1-
𝑖ε𝐻
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑚𝑥
⎧
⎪
⎩
1+
𝑖ε
ℏ
𝐻
⎫
⎪
⎭
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
=
1
ε
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡)
𝑚𝑥²
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
+
1
ℏ
∞
∫
-∞
χ*
(𝑥;𝑡)
𝑚
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
.
(7.95)
Тогда окончательно имеем
╱
╲
χ|𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑥
𝑘
|ψ
╲
╱
=
𝑖
ℏ
∫
χ*(𝑥;𝑡)
𝑚
(𝑥𝐻-𝐻𝑥)
𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
=
=
∫
χ*(𝑥;𝑡)
𝑝𝑥
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
.
(7.96)
Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78).
Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода. Если интервал времени конечен и равен Δ𝑡, то в элемент перехода надо включить ядро 𝐾=exp [-(𝑖/ℏ)𝑆Δ𝑡], соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7.16). Когда расстояние е между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро 𝐾 приближается к δ-функции, откуда и следует указанное выше правило.
Задача 7.14. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины (𝑚/ε) (𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)𝑓(𝑥𝑘+1) совпадает с амплитудой для (𝑓⋅𝑝)
Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т.е.
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
∫
∞
∫
-∞
χ*(𝑦,𝑡)
𝑝𝑝
ψ(𝑥,𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
=
–ℏ²
∞
∫
-∞
χ*(𝑦,𝑡)
∂²
∂𝑥²
ψ(𝑦,𝑡)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(7.97)
Задача 7.16. Покажите, что
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑥
𝑙
𝑚𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
∫
χ*(𝑥,𝑡)
𝑥
𝐾(𝑥,𝑡;𝑦,𝑠)
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑖
∂
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
ψ(𝑦,𝑠)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
,
(7.98)
если 𝑦𝑙=𝑦 и 𝑦𝑘=𝑠 при 𝑦𝑙>𝑦𝑘. Что будет, если 𝑦𝑙<𝑦𝑘?
Заметим, что 𝑝² соответствует произведению 𝑝𝑝 (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7.15), что не равно простому квадрату импульса ⟨χ|𝑚²(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²/ε²|ψ⟩, взятого в один определённый момент времени. Последнее выражение при ε→0 неограниченно возрастает как 𝑚ℏ/𝑖ε что очевидно из соотношения (7.49). Разность между выражением 𝑚ℏ/𝑖ε и левой частью уравнения (7.97) в пределе составляет как раз 𝑝², т.е.
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚²(𝑥𝑘+1-𝑥𝑘)²
ε²
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
=
𝑚ℏ
𝑖ε
⟨χ|1|ψ⟩
+
+
╱
╲
χ
⎪
⎪
⎪
𝑚
𝑥𝑘+1-𝑥𝑘
ε
𝑚
𝑥𝑘-𝑥𝑘-1
ε
⎪
⎪
⎪
ψ
╲
╱
.
(7.99)
Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая
𝐹
=
𝑚
ε
(𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
).
§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала
Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:
𝐿
=
𝑚
2
|𝐫̇|²
+
𝑒𝑉(𝐱,𝑦)
–
𝑒
𝑐
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
.
(7.100)
Пусть потенциал 𝑉 равен нулю; мы учтём лишь векторный потенциал 𝐀, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив
𝑆
0
=
𝑚
2
∫
|𝐫̇|²
𝑑𝑦
,
σ=
–
𝑒
𝑐
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
𝑑𝑦
,
запишем разложение в ряд теории возмущений и введём соответствующие матричные элементы перехода:
⟨𝑒
𝑖σ/ℏ
⟩
𝑆0
=
⟨1⟩
𝑆0
+
𝑖
ℏ
⟨σ⟩
𝑆0
–
1
2ℏ²
⟨σ²⟩
𝑆0
+… .
(7.101)
Член первого порядка равен величине -𝑖𝑒/ℏ𝑐 умноженной на выражение
╱
╲
∫
𝐫̇
⋅
𝐀(𝐫,𝑦)
𝑑𝑦
╲
╱
.
(7.102)
Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения σ для дискретно заданной траектории (шаг определяется временны'м интервалом ε) можно было бы записать
σ=-
𝑒
𝑐
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
–𝐫
𝑘
)
⋅
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑦)
(7.103)
или же
σ=-
𝑒
𝑐
∑
𝑘
(𝐫
𝑘+1
–𝐫
𝑘
)
⋅
𝐀(𝐫
𝑘+1
,𝑦
𝑘+1
)
.
(7.104)
В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для σ. Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора 𝐀 (например, 𝐴𝑥), то обнаружим, что компонента 𝐴𝑥(𝐫𝑘+1,𝑦𝑘+1) отличается от 𝐴𝑥(𝐫𝑘,𝑦𝑘) приблизительно на величину
(𝐫
𝑘+1
–𝐫
𝑘
)
⋅∇𝐴
𝑥
+ε
∂𝐴𝑥
∂𝑡
(7.105)
которая после умножения снова на 𝐫𝑘+1-𝐫𝑘 должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения 𝑘, а после суммирования по всем 𝑘 – поправкой лишь порядка ε. Однако наши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности 𝑥𝑘+1-𝑥𝑘 будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6),
(𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)²
≈
–
ℏε
𝑚𝑖
,
(𝑥
𝑘+1
–𝑥
𝑘
)
(𝑦
𝑘+1
–𝑦
𝑘
)
≈
0,
(𝑦
𝑘+1
–𝑦
𝑘
)²
≈
–
ℏε
𝑚𝑖
и т.д.
с точностью до членов первого порядка по ε. Следовательно, выражения (7.103) и (7.104) различаются приблизительно на
∑
𝑘
ℏε
𝑚𝑖
∇⋅
𝐀(𝐫
𝑘
,𝑡
𝑘
)
=
ℏ
𝑚𝑖
∫
∇⋅
𝐀
𝑑𝑡
,
(7.106)
т.е. на величину нулевого порядка. Отсюда можно заключить, какая же форма выражения для σ будет правильной.
Общий ответ на подобный вопрос излагался в гл. 2, где было сформулировано правило для замены действия 𝑆 суммой вида
∑
𝑘
𝑆
кл
(𝑥
𝑘+1
,𝑡
𝑘+1
;𝑥
𝑘
,𝑡
𝑘
)
,
содержащей классическое действие 𝑆кл для перехода между двумя соседними точками. Нет необходимости вычислять действие 𝑆кл точно, для этого достаточно приближения, исключающего описанную выше двузначность. С этой точки зрения выражения (7.103) и (7.104) не вполне удовлетворительны, классическая же функция действия для короткого промежутка времени будет очень близка к
