Квантовая механика и интегралы по траекториям

Текст добавлен: 23 марта 2017, 23:30

Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

Жанр:

Физика

сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 25 страниц)

Покажем ещё на одном примере, как выводятся характеристические функционалы. Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде 𝑢(𝑡), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется как 𝑎𝑢(𝑡). Можно также допустить, что вес 𝑎 может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени 𝑡_𝑗, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения 𝑎_𝑗. Тогда результирующая функция представляется выражением

𝑓(𝑡)

∑

^𝑗

𝑎

_𝑗

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

(12.27)

Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функционалу (12.16);

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∑

^𝑗

𝑎

_𝑗

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(12.28)

Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего 𝑗-му сигналу, в интервале 𝑑𝑎_𝑗 через 𝑝(𝑎_𝑗)𝑑𝑎_𝑗, то характеристический функционал будет иметь вид

∬

…

⎡

⎢

⎣

𝑖

∑

^𝑗

𝑎

_𝑗

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑝(𝑎

₁

)𝑑𝑎

₁

𝑝(𝑎

₂

)𝑑𝑎

₂

…

(12.29)

Конечно, каждая из вероятностных функций для величин 𝑎_𝑗 обладает соответствующей ей характеристической функцией (или производящей функцией для моментов). Назовём эту функцию 𝑊[ω] и определим её равенством

𝑊[ω]

∫

𝑒

^𝑖ω𝑎

𝑝(𝑎)𝑑𝑎

(12.30)

Тогда выражение для Φ можно записать в виде

∏

^𝑗

𝑊

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(12.31)

Далее мы можем действовать как при выводе выражения (12.17) и допустить, что моменты появления сигналов случайно распределены по интервалу 0≤𝑡≤𝑇. Если мы предположим, что в этом интервале имеется точно 𝑛 импульсов, то получим характеристический функционал

⎧

⎪

⎩

𝑇

⎫𝑛

⎪

⎭

(12.32)

где

∫

𝑊

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑠)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

(12.33)

Если теперь, как и при выводе (12.18), предположить, что распределение числа сигналов во времени описывается функцией Пуассона, то выражение (12.32) надо умножить на 𝑛^𝑛𝑒^-𝑛/𝑛!, где, как прежде, 𝑛=μ𝑇 – среднее число сигналов за время 𝑇. Суммируя по 𝑛, получаем

𝑒

^-μ(𝑇-γ)

exp

⎧

⎪

⎩

–μ

∫

⎧

⎨

⎩

𝑊

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡)

𝑢(𝑡-𝑠)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎭

(12.34)

В качестве конкретного примера использования полученного результата рассмотрим очень узкий сигнал. Более того, предположим, что его форму можно аппроксимировать δ-функцией, т.е. 𝑢(𝑡)=δ(𝑡). Тогда характеристический функционал

⎧

⎪

⎩

–μ

∫

{1-𝑊[𝑘(𝑠)]}

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎭

(12.35)

Предположим далее, что весовые множители имеют гауссово распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением, равным σ; другими словами, допустим, что эти множители имеют обычное нормальное распределение

𝑝(𝑎)𝑑𝑎

√2πσ

𝑒

^{-𝑎²/2σ²}

𝑑𝑎

(12.36)

В этом случае характеристическая функция

𝑊[ω]

𝑒

^-σ²ω²/2

(12.37)

приводит к следующему выражению для Φ:

Φ[𝑘(𝑡)]

exp

⎡

⎢

⎣

–μ

∫

(1-𝑒

^{-(σ²/2)[𝑘(𝑠)]²}

)

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

(12.38)

Итак, мы снова установили, что, выбирая исходные предположения, можно вывести соответствующий характеристический потенциал. На любой стадии вывода допустима обоснованная аппроксимация, сводящая функционал к квадратичному виду. Например, в только что описанном случае малая величина среднеквадратичного масштабного множителя σ соответствует слабым сигналам. Если к тому же среднее число сигналов, приходящихся на временной интервал, велико, то (12.38) достаточно хорошо аппроксимируется выражением

exp

⎧

⎨

⎩

–

μσ²

∫

[𝑘(𝑡)]²

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

(12.39)

Такое распределение называется белым шумом.

§ 4. Гауссовы шумы

Распределения с гауссовым характеристическим функционалом встречаются во многих ситуациях; эти распределения мы теперь и рассмотрим.

Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∫

𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

exp

⎡

⎢

⎣

–

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

(12.40)

Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта 𝑓(𝑡), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию 𝑓'=𝑓-𝐹(𝑡). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро 𝐴(𝑡,𝑡') должно иметь форму 𝐴(𝑡-𝑡').

В конкретных физических задачах вид функции 𝐴 можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом 𝐴(𝑡,𝑡')=μλ(𝑡-𝑡'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя 𝑖 отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.

Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид

𝑃[𝑓(𝑡)]

exp

⎧

⎨

⎩

–

∬

[𝑓(𝑡)-𝐹(𝑡)]

[𝑓(𝑡')-𝐹(𝑡')]

𝐵(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

(12.41)

где теперь функция 𝐵(𝑡,𝑡') представляет собой ядро, обратное ядру 𝐴(𝑡,𝑡'), т.е. функции 𝐴 и 𝐵 связаны равенством

∫

𝐴(𝑡,τ)

𝐵(τ,𝑠)

𝑑τ

δ(𝑡-𝑠)

(12.42)

Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.

Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом

exp

⎡

⎢

⎣

–

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

(12.43)

Функция 𝐴(τ) называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции 𝑓(𝑡) равна

𝑃[𝑓(𝑡)]

exp

⎡

⎢

⎣

–

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐵(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

(12.44)

В последнем выражении появилась функция 𝐵, обратная по отношению к корреляционной функции 𝐴. Это означает, что ∫𝐵(𝑡-𝑠)𝐴(𝑠)𝑑𝑠=δ(𝑡) или, если

𝒫(ω)

∫

𝐴(τ)

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑τ

(12.45)

является преобразованием Фурье от функции 𝐴(τ), то преобразование Фурье от функции 𝐵(τ) равно 1/𝒫(ω).

Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением

⟨𝑓(𝑎)⟩

–𝑖

δΦ

δ𝑘(𝑎)

(12.46)

В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна

δΦ

δ𝑘(𝑎)

⎡

⎢

⎣

–

∫

𝑘(𝑡)

𝐴(𝑡-𝑎)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(12.47)

и обращается в нуль, если 𝑘(𝑡)=0.

Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты 𝑎 и 𝑏. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем

⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩

δ²Φ

δ𝑘(𝑎)δ𝑘(𝑏)

𝐴(𝑏-𝑎)

–

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡)

𝐴(𝑡-𝑎)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡'-𝑎)

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

(12.48)

Вычислив это выражение для 𝑘=0, получим просто 𝐴(𝑏-𝑎). Отсюда ясно, почему 𝐴 называется корреляционной функцией.

§ 5. Спектр шума

Наиболее употребительная характеристика распределения шумов – это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от

φ(ω)

∫

𝑓(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

(12.49)

Используя наши предыдущие результаты, можно найти

⟨|φ(ω)|²⟩

╱

╲

∫

𝑓(𝑎)

𝑒

^𝑖ω𝑎

𝑑𝑎

∫

𝑓(𝑏)

𝑒

^𝑖ω𝑏

𝑑𝑏

╲

╱

∬

⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩

𝑒

^{𝑖ω(𝑎-𝑏)}

𝑑𝑎

𝑑𝑏

∬

𝐴(𝑏-𝑎)

𝑒

^{𝑖ω(𝑎-𝑏)}

𝑑𝑎

𝑑𝑏

𝒫(ω)

𝑑𝑎

(12.50)

Здесь мы использовали функцию 𝒫(ω), фурье-образ корреляционной функции 𝐴 [см. выражение (12.45)].

Если проинтегрировать в последнем из равенств (12.50), то получится бесконечный результат. Поэтому среднеквадратичную величину, которую мы хотим найти, можно определить лишь для некоторого конечного интервала времени. Если взять единичный интервал времени, то можно сказать, что средняя мощность в расчёте на 1 сек

𝒫(ω)

среднее значение |φ(ω)|²

(12.51)

Мы можем применить некоторые из этих общих результатов к нашему специальному примеру шума, вызванного множеством малых сигналов. Корреляционная функция в этом случае – это просто функция μλ(τ) из формулы (12.22), т.е.

𝐴(τ)

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑑τ

(12.52)

Это означает, что функция мощности, называемая обычно спектром мощности, так как она определяется частотой, равна

𝒫(ω)

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑τ

𝑑𝑡

μ|γ(ω)|²

(12.53)

где γ(ω) – фурье-образ функции сигнала 𝑔(𝑡). В нашем случае этот простой результат можно истолковать непосредственно. Если сигналы приходят в моменты 𝑡_𝑖 так что

𝑓(𝑡)

∑

^𝑖

𝑔(𝑡-𝑡

_𝑖

)

то фурье-образ 𝑓(𝑡) равен

φ(ω)

∑

^𝑖

γ(ω)

𝑒

^{𝑖ω𝑡_𝑖}

Таким образом, среднее значение квадрата φ(ω)

⟨|φ(ω)|²⟩

⎪

∑

^𝑖,𝑗

|γ(ω)|²

𝑒

^{𝑖ω(𝑡_𝑖-𝑡_𝑗)}

⎪

(12.54)

А так как моменты 𝑡_𝑖 случайны и независимы от 𝑡_𝑗 для 𝑗≠𝑖, то при усреднении ни один из членов с 𝑖≠𝑗 не даёт вклада, так как среднее значение exp[𝑖ω(𝑡_𝑖-𝑡_𝑗)] равно нулю: остаются только члены с 𝑖=𝑗. Каждый из них равен |γ(ω)|², а общее их число μ𝑇, так что средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек равна μ|γ(ω)|².

В частном случае, когда характеристическую функцию можно аппроксимировать функцией белого шума из (12.25), 𝐴(𝑡-𝑡')=const δ(𝑡-𝑡').. Это означает, что 𝑓(𝑡) не зависит от ω и при всех частотах на единичный интервал частоты приходится одинаковая «мощность» [средняя величина |φ(ω)|² в расчёте на 1 сек].

Рассматриваемые распределения очень удобно описывать, задавая распределение вероятности не для 𝑓(𝑡), а прямо для её фурье-образа φ(ω) и выражая характеристический функционал не через 𝑘(𝑡), а через его фурье-образ 𝐾(ω):

𝐾(ω)

∫

𝑘(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

(12.55)

Используя это представление, можно записать характеристический функционал для распределения шума, соответствующего равенству (12.43), в следующей форме:

𝑒

^{-½∫|𝐾(ω)|²𝒫(ω)𝑑ω/2π}

(12.56)

где выражение, обратное (12.55), подставлено непосредственно в (12.43). При этом функционалу (12.56) соответствует вероятностный функционал

𝑃

𝑒

^{-½∫|φ(ω)|²[1/𝒫(ω)]𝑑ω/2π}

(12.57)

Этот результат можно получить непосредственно из выражения 12.56). Для этого заметим, что

𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡}

𝑒

^{𝑖∫𝐾(ω)φ(ω)𝑑ω/2π}

(12.58)

Тогда в соответствии с определением (12.14) получим

𝑃

∫

𝑒

^{𝑖∫𝐾(ω)φ(ω)𝑑ω/2π}

𝒟𝐾(ω)

(12.59)

Если теперь допустить, что возможны лишь дискретные значения ω, разделённые бесконечно малыми интервалами Δ, то интегралы в показателе экспоненты (12.56) и (12.57) можно заменить суммами Римана. При этом наши интегралы по траекториям примут вид

𝑃

∏

^ω

∫

𝑒

^{-(Δ/2)|𝐾(ω)|²𝒫(ω)}

𝑒

^{𝑖Δ𝐾(ω)φ(ω)}

𝑑𝐾(ω)

(12.60)

Интеграл при каждом значении со вычисляется независимо (выделением полного квадрата). В результате имеем

∏

^ω

exp

⎧

⎪

⎩

-(Δ/2)|φ(ω)|²

𝒫(ω)

⎫

⎪

⎭

(12.61)

Объединив отдельные множители в этом произведении, получим функционал (12.57). Ясно, что все происходящее на одной частоте не зависит от происходящего на других частотах, а величина сигнала с частотой ω, φ(ω), распределяется по гауссову закону со средним квадратом, пропорциональным 𝒫(ω).

§ 6. Броуновское движение

Как правило, метод интегралов по траекториям на практике не облегчает решение задачи, если она не может быть решена другим способом. Тем не менее каждый, кто до сих пор следил за нашими рассуждениями и знаком с интегралами по траекториям, признает этот способ выражения очень простым, если дело касается вероятностных задач.

Рассмотрим влияние броуновского движения на некоторую линейную систему, например гармонический осциллятор с затуханием, возбуждаемый случайно изменяющейся силой 𝑓(𝑡). Допустим, что масса осциллятора равна единице. В этом случае необходимо решить уравнение

𝑥̈

–

γ𝑥̇

𝑥

𝑓(𝑡)

(12.62)

где 𝑥(𝑡) координата осциллятора. Если функция 𝑓(𝑡) определяется заданным распределением вероятности 𝑃_𝑓[𝑓(𝑡)], то каким окажется вероятностное распределение 𝑃_𝑥[𝑥(𝑡)] для различных возможных траекторий 𝑥(𝑡)? Уравнение (12.62) связывает координату 𝑥 и силу 𝑓, т.е. для каждого значения 𝑓(𝑡) существует 𝑥(𝑡). Следовательно, вероятность обнаружить заданную функцию 𝑥 такова же, что и вероятность соответствующей функции 𝑓, т.е.

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

𝒟𝑥(𝑡)

𝑃

_𝑓

[𝑓(𝑡)]

𝒟𝑓(𝑡)

(12.63)

где величина 𝑥 связана с 𝑓 уравнением (12.62). В общем случае нужно быть осторожным при переходе от 𝒟𝑥(𝑡) и 𝒟𝑓(𝑡), так как тут существует зависимость, аналогичная якобиану преобразования элементарных объёмов. Однако если 𝑓 и 𝑥 связаны линейно (как это имеет место в нашем случае), то этот якобиан равен константе. Таким образом, как и в обычном методе интегралов по траекториям, если имеется уверенность в возможности нормировать результат, то

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

const 𝑃

_𝑓

(

𝑥̈

–

γ𝑥̇

𝑥

(12.64)

что даёт формальное решение нашей задачи. Если 𝑃_𝑓 представляет собой гауссово распределение, то и 𝑃_𝑥 имеет такой же вид. В этом случае задача может быть решена многими способами, причём самый очевидный из них – разложение в ряд Фурье при условии, что ω²₀ и γ не зависят от времени.

Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину 𝑇, частица отклонится на расстояние 𝐷 от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом θ к ней, как это показано на фиг. 12.1?

Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы пердендикулярно пластинке вещества толщиной 𝑇.

Пройдя толщину 𝑡 в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние 𝑥. В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии 𝐷 от точки 𝑥=0, в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом θ к первоначальному направлению.

Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол θ всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых даёт малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины 𝑑𝑡 равно μ и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол Δ, определяемый распределением вероятности 𝑝(Δ)𝑑(Δ); пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение

_∞

∫

^-∞

Δ²

𝑝(

)𝑑(

)

σ²

(12.65)

(мы будем обозначать μσ² через 𝑅).

Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через 𝑡 глубину проникновения частицы в пластинку; пусть θ – угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а 𝑥 – отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением 𝑑𝑥=θ или 𝑥̇=θ.

Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол Δ происходят внезапно, так что θ̇=𝑓(𝑡), где функция 𝑓 представляется суммой δ-функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что 𝑥̈=𝑓(𝑡) и 𝑃_𝑓[𝑓(𝑡)] обладает характеристическим функционалом

exp

⎧

⎪

⎩

–μ

∫

{1-𝑊[𝑘(𝑠)]}

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎭

(12.66)

где

𝑊[ω]

∫

𝑝(

)

𝑒

^𝑖ωΔ

𝑑

(12.67)

Заметим, что среднее значение углового отклонения Δ считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить 𝐺(ω), так что

𝑊[ω]

∫

𝑝(

)

⎧

⎪

⎩

1+𝑖ω

–

ω²

+…

⎫

⎪

⎭

𝑑

(12.68)

и ограничиться только членами не выше второго порядка по Δ, т.е. положить 𝑊[ω]=1-ω²σ²/2, то функционал (12.66) будет иметь вид

exp

⎧

⎨

⎩

–

𝑅

∫

[𝑘(𝑠)]²

𝑑𝑠

⎫

⎬

⎭

(12.69)

А это в свою очередь означает, что

𝑃

_𝑓

[𝑓(𝑡)]

exp

⎧

⎨

⎩

–

2𝑅

∫

[𝑓(𝑡)]²

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

(12.70)

и, следовательно,

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

const⋅exp

⎧

⎨

⎩

–

2𝑅

_𝑇

∫

⁰

[𝑥̈(𝑡)]²

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

(12.71)

Мы должны вычислить распределение 𝑃(𝐷,θ), определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом θ и смещением 𝐷, если при входе в пластину она имела 𝑥(0)=0 и 𝑥̇(0)=0. Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода 𝑥(𝑇)=𝐷 и 𝑥̇(𝑇)=θ. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям:

𝑃(𝐷,θ)

∫

exp

⎧

⎪

⎩

–

2𝑅

_𝑇

∫

⁰

𝑥̈²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

(12.72)

где все траектории, по которым берётся интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в § 5 гл. 3. Он имеет экстремум для траектории

_....

𝑥

(𝑡)

(12.73)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид

𝑥(𝑡)

(3𝐷-θ𝑇)

⎧

⎪

⎩

𝑡

𝑇

⎫²

⎪

⎭

(θ𝑇-2𝐷)

⎧

⎪

⎩

𝑡

𝑇

⎫³

⎪

⎭

(12.74)

Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим

2𝑅

_𝑇

∫

⁰

𝑥̈²

𝑑𝑡

𝑅𝑇³

⎧

⎪

⎩

𝐷

–

θ𝑇

⎫²

⎪

⎭

θ²

2𝑅𝑇

(12.75)

Отсюда следует искомое распределение

𝑃(𝐷,θ)

const⋅exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑅𝑇³

⎧

⎪

⎩

𝐷

–

θ𝑇

⎫²

⎪

⎭

θ²

2𝑅𝑇

⎤

⎥

⎦

(12.76)

На практике в некоторых случаях для нас может представлять интерес не точное линейное смещение частицы от предполагаемой начальной точки, а угол θ, под которым частица вылетает из пластины. Обладая полной функцией распределения (12.76), легко вычислить функцию распределения углов, проинтегрировав по всем значениям 𝐷. Результат равен exp[-(θ²/2𝑅𝑇)]. Этого можно было ожидать, поскольку мы уже предположили, что среднеквадратичный угол отклонения при прохождении единичной толщины равен 𝑅, так что эта же величина для полной толщины 𝑇 должна быть 𝑅𝑇.

Предположим теперь, что мы наблюдаем только частицы, вылетающие под фиксированным углом θ, и рассмотрим для этих частиц функцию распределения по положениям точек вылета 𝐷. Найдём, что распределение вероятностей имеет максимум при 𝐷=θ𝑇/2. Этого можно было бы ожидать, если бы конечный угол отклонения θ нарастал пропорционально толщине пластины; тогда среднее значение угла во время пролёта через пластину было бы равным θ/2.

Задача 12.2. Покажите, что нормировочный коэффициент для функции распределения 𝑃(𝐷,θ) 𝑑𝐷 𝑑θ равен

⎧

⎪

⎩

π𝑅𝑇³

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

2π𝑅𝑇

⎫½

⎪

⎭

(12.77)

§ 7. Квантовая механика

В этом и следующих параграфах нам хотелось бы посмотреть, как формулируются статистические задачи в квантовой механике. Вероятности неотделимы от квантовой механики, так как даже объект, находящийся в известном состоянии, одновременно с некоторой вероятностью находится в других состояниях. Кроме того, неопределённость может вноситься извне. Например, исходное состояние объекта само может быть задано с какой-то вероятностью. Такая ситуация аналогична ситуации в классической механике, в которой неизвестны начальные условия, а задано лишь распределение вероятностей для таких условий. В классической механике мы уже сталкивались с подобной проблемой, но это был сугубо частный случай, когда состояние с энергией 𝐸 имеет соответствующую вероятность 𝑒^{-𝐸/𝓀𝑇}. Здесь мы рассмотрим более общую картину.

Пусть квантовомеханическая система находится под влиянием заданного внешнего потенциала 𝑉(𝑡). Что можно сказать, если потенциал описывается распределением вероятностей 𝑃[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉? Нужно ли нам в действительности решать задачу для каждого потенциала 𝑉(𝑡) и затем усреднять, или же имеется способ сформулировать задачу уже после усреднения по 𝑉(𝑡)? Хотелось бы надеяться, что это именно так, потому что часто оказывается намного легче решить статистическую задачу после предварительного усреднения, чем искать общее решение первоначальной задачи с очень большим числом условий. В этом параграфе покажем, что такая формулировка действительно возможна. После этого рассмотрим случай, когда квантовомеха-ническая система возмущается не классической, а некоторой другой статистически неопределённой квантовой системой.

Основная цель этой главы – показать, как можно сформулировать эти и другие подобные вопросы. Мы не будем заниматься детальным решением упомянутых частных задач; они нужны нам лишь для того, чтобы помочь понять способы постановки более общих проблем.

Прежде всего обсудим аналогию броуновского движения для квантовомеханической системы, т.е. предположим, что квантовая система, которой соответствует невозмущённое действие 𝑆(𝑞), испытывает влияние внешнего потенциала 𝑉(𝑡) и при этом действие 𝑆 становится равным *)

𝑆

_𝑣

(𝑞)

𝑆(𝑞)

∫

𝑞(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

(12.78)

*) Все операции мы проделаем так, как если бы аргументом была только одна координата 𝑞. Читатель может непосредственно получить обобщение на случай нескольких координат 𝑞_𝑖 (при этом 𝑉 заменяется набором потенциалов 𝑉_𝑖) и на случай, когда коэффициент при 𝑉(𝑡) в действии 𝑆_𝑉 не равен просто 𝑞, а является более сложным оператором.

Допустим, что нас интересует вопрос: какова вероятность того, что, отправившись в начальный момент времени 𝑡_𝑖 из точки 𝑞(𝑡_𝑖)=𝑞_𝑖, мы достигнем в конечный момент 𝑡_𝑓 положения 𝑞_𝑓? Эта вероятность определяется квадратом амплитуды |𝐾(𝑞_𝑓,𝑡_𝑓;𝑞_𝑖,𝑡_𝑖)|². Если начальное состояние системы задаётся волновой функцией φ(𝑞), а конечное – волновой функцией χ(𝑞), то вероятность перехода между этими состояниями

𝑃[χ(𝑞);φ(𝑞)]

⎪

∬

χ*(𝑞

_𝑓

)

𝐾(𝑞

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

φ(𝑞

_𝑖

)

𝑑𝑞

_𝑓

𝑑𝑞

_𝑖

⎪²

⎪

∬

χ*(𝑞

_𝑓

)

χ(𝑞'

_𝑓

)

𝐾(𝑞

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝐾*(𝑞'

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞'

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

φ(𝑞

_𝑖

)

φ*(𝑞'

_𝑖

)

𝑑𝑞

_𝑖

𝑑𝑞'

_𝑖

𝑑𝑞

_𝑓

𝑑𝑞'

_𝑓

(12.79)

Очевидно, что все подобные задачи могут быть решены, если вычислить произведение

𝐾(𝑞

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝐾*(𝑞'

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞'

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

(12.80)

Здесь первый множитель содержит интеграл по траекториям ∫exp{𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡), тогда как второй, комплексно-сопряженный *), включает ∫exp{-𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡). Каждый из интегралов взят по траекториям с заданными конечными точками. Во втором интеграле выражения (12.80) обозначим переменную интегрирования по траектории через 𝑞'(𝑡). При этом произведение (12.80) можно выразить как двойной интеграл по траекториям:

∬

𝑒

^{𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]-𝑖𝑆[𝑞'(𝑡)]}

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

(12.81)

*)Как и в гл. 11, предполагаем, что ℏ=1, a 𝑆[𝑞(𝑡)] – действительная величина.

Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность.

Если потенциал 𝑉 отличен от нуля, то мы должны 𝑆 в выражении (12.81) заменить на 𝑆_𝑉. При этом получим

∬

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

⎧

⎨

⎩

𝑆[𝑞(𝑡)]

–

𝑆[𝑞'(𝑡)]

∫

𝑞(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

–

∫

𝑞'(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

(12.82)

Предположим теперь, что потенциал известен только в вероятностном смысле, т.е. задана вероятность 𝑃_𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡) того, что потенциал равен 𝑉(𝑡). Тогда для того, чтобы получить вероятность перехода между состояниями φ и χ нужно взять выражение (12.79), рассчитанное для данного 𝑉(𝑡), и усреднить его по всем 𝑉(𝑡) с весом 𝑃_𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡). Это даст

вероятность (φ→χ)

∬

χ*(𝑞

_𝑓

)

χ(𝑞'

_𝑓

)

𝐽(𝑞

_𝑓

,𝑞'

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑞'

_𝑖

)

φ(𝑞

_𝑖

)

φ*(𝑞'

_𝑖

)

𝑑𝑞

_𝑖

𝑑𝑞'

_𝑖

𝑑𝑞

_𝑓

𝑑𝑞'

_𝑓

(12.83)

где 𝐽 – среднее от выражения (12.82) по всем 𝑉(𝑡) с весом 𝑃_𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡); таким образом,

𝐽

∭

exp(𝑖{

𝑆[𝑞(𝑡)]

–

𝑆[𝑞'(𝑡)]

})

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

∫

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

𝑃

_𝑉

[𝑉(𝑡)]

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

𝒟𝑉(𝑡)

(12.84)

где интегралы берутся между заданными конечными точками 𝑞(𝑡_𝑖)=𝑞_𝑖, 𝑞'(𝑡_𝑖)=𝑞'_𝑖, 𝑞(𝑡_𝑓)=𝑞_𝑓, 𝑞'(𝑡_𝑓)=𝑞'_𝑓. Заметим, что выбор граничных точек и интегрирование по различным переменным с учётом распределения волновых функций, зависящего от вида задачи [как в выражении (12.83)], даёт только сумму 𝐽 для разных граничных условий. Здесь и дальше мы будем рассуждать таким образом, будто уже само 𝐽 даёт нам искомую вероятность, причём читателю не следует забывать, что эту работу ещё нужно выполнить. А теперь можно сконцентрироваться на главном – вычислении двойных интегралов по траекториям, необходимых для расчёта 𝐽.

Интеграл по 𝑉(𝑡) в формуле (12.84) можно получить явно. Видно, что для нахождения вероятностей после усреднения надо вычислить двойной интеграл:

𝐽

∬

exp(𝑖{

𝑆[𝑞(𝑡)]

–

𝑆[𝑞'(𝑡)]

})

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

(12.85)

где Φ[𝑘(𝑡)] – производящий функционал, принадлежащий распределению вероятностей 𝑃_𝑉, так что

Φ[𝑘(𝑡)]

∫

𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡)𝑉(𝑡)𝑑𝑡}

𝑃

_𝑉

[𝑉(𝑡)]

𝒟𝑉(𝑡)

(12.86)

Выражение (12.85) соответствует нашему стремлению выразить ответ в форме, справедливой и после усреднения. В него входит вычисление двойного интеграла по траекториям. Как его вычислить практически,– другой вопрос. В этих параграфах мы рассматриваем лишь возможную постановку различных задач; методы, обсуждаемые здесь, могут оказаться полезными в приложениях.

В качестве примера применения выражения (12.85) предположим, что 𝑉(𝑡) – гауссов шум с нулевым средним значением и характеристической функцией 𝐴(𝑡,𝑡'), как в выражении (12.46). Нужно вычислить двойной интеграл:

𝐽

∬

exp(𝑖{

𝑆[𝑞(𝑡)]

–

𝑆[𝑞'(𝑡)]

})

exp

⎧

⎨

⎩

–

∬

[𝑞(𝑡)-𝑞'(𝑡)]

[𝑞(𝑡')-𝑞'(𝑡')]

𝐴(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

(12.87)

Так как во всяком случае либо новый множитель содержит 𝑞, либо 𝑞' входят в новый экспоненциальный множитель только квадратично, то могут быть полезны некоторые методы, обсуждавшиеся ранее для квадратичных форм. Конечно, если действие 𝑆(𝑞) само квадратично, как в случае гармонического осциллятора, то интегралы по траекториям можно вычислить точно, используя методы § 5 гл. 3.

§ 8. Функционалы влияния

Рассмотрим теперь поведение квантовомеханической системы, обобщённую координату которой мы будем обозначать через 𝑞 во взаимодействии с другой системой, характеризуемой обобщённой координатой 𝑄 ¹). Допустим, что все предполагаемые измерения должны проводиться в системе 𝑞 и никакие прямые измерения не будут сделаны в системе 𝑄. Например, мы интересуемся переходами в атоме, который находится в электромагнитном поле и может излучать. Тогда исследуем только состояние атома и не будем непосредственно измерять его излучение; в этом случае 𝑞 – атомные координаты, a 𝑄 – координаты поля. Если же мы проводим исследование иначе, т.е. наблюдаем только излучение атома, испускаемое, поглощаемое или рассеиваемое, но не измеряем никаких величин, непосредственно описывающих атом, то можно опираться на наш предыдущий анализ, причём теперь 𝑄 – атомные координаты, a 𝑞 – координаты электромагнитного поля. Если, например, нам хочется рассмотреть теорию коэффициента преломления, то 𝑞 – снова переменные поля, а переменные 𝑄 описывают тело, через которое проходит свет. В качестве ещё одного примера предположим, что нужно исследовать поведение электрона в кристалле (или иона в жидкости), причём экспериментальные данные относятся только к положению заряда, но не к материалу кристалла. Например, можно было бы интересоваться током (или скоростью электронов), возникающим при определённых условиях, и не рассматривать его связи с числом индуцированных фононов. Тогда переменные 𝑞 будут описывать электрон, а переменные 𝑄 – все другие параметры вещества в кристалле.

¹) 𝑄 обозначает любое число координат. Эта система может быть и, вообще говоря, является очень сложной. Мы будем оперировать с одной переменной 𝑄, но это не ограничивает общности рассуждений.

Пусть 𝑆[𝑞(𝑡)] – действие для системы 𝑞, 𝑆₀[𝑄(𝑡)] – действие для окружающей среды, a 𝑆_взаим[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)] описывает взаимодействие между средой 𝑄 и системой 𝑞. Действие для всей системы равно сумме 𝑆[𝑞(𝑡)] + 𝑆₀[𝑄(𝑡)] + 𝑆_взаим[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)] а вероятность какого-либо события в такой сложной системе можно вычислить из двойного интеграла по траекториям, являющегося, очевидно, обобщением выражения (12.81), которое теперь запишется в виде

𝐽

∬

exp(𝑖{

𝑆[𝑞(𝑡)]

–

𝑆[𝑞'(𝑡)]

𝑆

_взаим

[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]

–

𝑆

_взаим

[𝑞'(𝑡),𝑄'(𝑡)]

𝑆

₀

[𝑄(𝑡)]

–

𝑆

₀

[𝑄'(𝑡)]

})

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

(12.88)

Однако если нам не нужно измерять 𝑄(𝑡), а достаточно исследовать лишь зависимость от 𝑞(𝑡), то ответ запишется в форме

𝐽

∬

exp(𝑖{

𝑆[𝑞(𝑡)]

–

𝑆[𝑞'(𝑡)]

})

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

(12.89)

где функционал 𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)] мы назовём функционалом влияния. Этот функционал зависит от двух функций 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) и для рассматриваемой частной задачи выражается в виде

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

∑

^𝑓

∬

exp(𝑖{

𝑆[𝑄(𝑡)]

–

𝑆[𝑄'(𝑡)]

𝑆

_взаим

[𝑞(𝑡),𝑄(𝑡)]

–

𝑆

_взаим

[𝑞'(𝑡),𝑄'(𝑡)]

})

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

(12.90)

Сумма по 𝑓 означает, что мы должны взять сумму по всем возможным конечным состояниям 𝑄. Это связано с тем, что не проводится никаких измерений координат 𝑄 и возможны все конечные состояния среды. Поэтому нужно сложить вероятности всех возможных процессов [т.е. все функции (12.88)]. Например, в координатном представлении

∑

^𝑓

как раз подразумевает, что, начиная с некоторого момента времени 𝑡_𝑓, взаимодействие для нас больше не представляет интереса; мы должны взять 𝑄(𝑡_𝑓) = 𝑄'(𝑡_𝑓) = 𝑄_𝑓 и проинтегрировать по всем 𝑄_𝑓

Резюмируя, скажем, что поведение системы в любой среде можно описать с помощью двойных интегралов по траекториям, аналогичных интегралу (12.89), где функционал 𝐹 отражает свойства среды – её влияние на систему – и учитывает все связанные с этим изменения 𝑞(𝑡). Две различные окружающие среды 𝐴 и 𝐵, совершенно различные по своему физическому строению, тем не менее могут оказаться неразличимы по поведению системы 𝑞, если с ними связан один и тот же функционал влияния 𝐹. Функционал 𝐹 – это нечто аналогичное внешним «силам», которые вводятся при классическом рассмотрении поведения одной из взаимодействующих систем. Мы можем изучать лишь движение системы 𝑞, при условии что знаем зависимость от времени сил, действующих на неё со стороны среды. Ньютоновские уравнения движения для 𝑞 представляют собой грубую аналогию выражения (12.89), тогда как выражение (12.90) соответствует учёту сил, обусловленных средой. Две различные среды эквивалентны, если они одинаково действуют на 𝑞. Естественно, это – очень грубая аналогия. Что касается функционалa 𝐹, то он описывает полное влияние среды, включая изменения в поведении самой среды из-за реакции со стороны 𝑞. Это аналогично тому, как если бы при классическом рассмотрении нам были бы известны не только сами силы, но и их изменение во времени при любом возможном движении исследуемой системы 𝑞(𝑡). Силы воздействия среды, вообще говоря, зависят от движения 𝑞(𝑡), так как сама среда подвергается влиянию со стороны интересующей нас системы 𝑞.

Назад к карточке книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"