Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 25 страниц)

§ 4. Взаимодействие поля с веществом

С формальной точки зрения взаимодействие поля излучения с веществом рассмотреть совсем не трудно. Функция действия, представленная формулами (9.30), (9.31) и (9.33), очевидно, соответствует взаимодействию материальной системы с осцилляторами поля излучения, и в этом случае амплитуду следует искать с помощью такого соотношения:

амплитуда

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑆

_част

+𝑆

_взаим

+𝑆

_поле

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

 

∏

^𝑖,𝐤

×

×

𝒟𝐪

_𝑖

𝒟𝑎

_1𝐤

𝒟𝑎

_2𝐤

.

(9.44)

Интегрирование по координатам осцилляторов поля излучения может быть выполнено сразу же, так как все они входят в выражение (9.44) лишь квадратичным образом. Это интегрирование и будет проделано далее.

Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует 𝑆_взаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).

Если пренебречь функцией действия 𝑆_взаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями Ψ_𝑁(𝐪) имеют энергии 𝑒_𝑁, где 𝑁=0, 1, 2 …, а символом 𝐪 обозначены радиусы-векторы 𝐪_𝑖 всех частиц атома. Состояние поля излучения можно определить заданием всех целочисленных значений 𝑛_1𝑘 и 𝑛_2𝑘.

Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны

𝐸

=

𝑒

_𝑁

+

 

∑

^𝐤

(

𝑛

_1𝐤

+

𝑛

_2𝐤

)

ℏ𝑘𝑐

.

(9.45)

Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения

Ψ

=

ψ

_𝑁

(𝐪)

Φ(𝑛

_1𝐤

,𝑛

_2𝐤

)

,

(9.46)

где Φ(𝑛_1𝐤,𝑛_2𝐤) – волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).

Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне 𝑀, а внешних фотонов нет совсем (все числа 𝑛_1𝐤 и 𝑛_2𝐤 равны нулю). Соответствующая волновая функция равна

Ψ

_𝑖

=

ψ

_𝑀

(𝐪)

Φ

₀

,

(9.47)

где Φ₀ берётся в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне 𝑁 и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом 𝐥 и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид 𝑎*_1𝑙Φ₀, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть

Ψ

_𝑓

=

⎧

⎪

⎩

2𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

Ψ

_𝑁

(𝐪)

𝑎

_*

^1𝑙

Φ

₀

(9.48)

Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент 𝑉_𝑓𝑖 возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид

𝑉

=

√

4π

∑

(

𝑎

_*

^1𝐤

𝑗

_1𝐤

+

𝑎

_1𝐤

𝑗

_*

^1𝐤

),

^𝐤

(9.49)

где, как и в задаче 9.2, ток 𝑗_1𝐤 зависит от переменных, связанных с атомом. Этот матричный элемент равен

𝑉

_𝑓𝑖

=

∫

ψ

_*

^𝑁

Φ

*

0

⎧

⎪

⎩

2𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

𝑎

_1𝑙

×

×

∑

√

4π

(

𝑎

*

1𝐤

𝑗

_1𝐤

+

𝑎

_1𝐤

𝑗

*

1𝐤

)

ψ

_𝑀

Ψ

₀

𝑑𝑞

∏

𝑑𝑎

_1𝐤

,

^𝐤

^𝐤

(9.50)

или, в другом виде,

𝑉

_𝑓𝑖

=

 

∑

^𝐤

⎧

⎪

⎩

8π𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

∫

Φ

*

0

𝑎

_1𝑙

𝑎

*

1𝐤

Φ

₀

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

∫

ψ

_*

^𝑁

𝑗

_1𝐤

ψ

_𝑀

𝑑𝑞

+

+

 

∑

^𝐤

∫

⎧

⎪

⎩

8π𝑙𝑐

ℏ

⎫½

⎪

⎭

Φ

*

0

𝑎

_1𝑙

𝑎

_1𝐤

Φ

₀

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

∫

ψ

_*

^𝑁

𝑗

_*

^1𝐤

ψ

_𝑀

𝑑𝑞

,

(9.51)

так как от координат 𝑞 здесь зависит только ток 𝑗. Ожидаемые значения произведения величин 𝑎 для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл

∫

Φ

*

𝑎

𝑎

_1𝑙

𝑎

*

1𝐤

Φ

₀

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

=0

есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при 𝑘=𝑙, когда он равен ℏ/2𝑙𝑐. Обозначим матричный элемент ∫ψ*_𝑁𝐣ψ_𝑀𝑑𝑞 как (𝐣)_𝑁𝑀. Тогда матричный элемент – 𝑉_𝑓𝑖 запишется в виде √2πℏ/𝑙𝑐(𝑓_1𝑙)_𝑁𝑀. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]

⎧

⎪

⎩

2π

ℏ

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

2πℏ

𝑙𝑐

⎫

⎪

⎭

|𝑗

_1𝑙

|

2

𝑁𝑀

δ(

𝐸

_𝑀

–

𝐸

_𝑁

–

ℏ𝑙𝑐

).

(9.52)

Обычно мы не задаёмся вопросом об излучении какого-либо определённого фотона, а хотим вместо этого найти вероятность излучения произвольного фотона (с поляризацией 1) в некоторый малый телесный угол 𝑑Ω. Для этого необходимо просуммировать 𝐥 по всем значениям, соответствующим этому направлению. Число значений 𝐥 в единице объёма есть 𝑑𝐥/(2π)³; если направление 𝐥 задано, то мы должны взять интеграл по 𝑑𝑙, записав 𝑑𝐥/(2π)³ в виде 𝑙²𝑑𝑙𝑑Ω/(2π)³. Таким образом, вероятность перехода за единицу времени (1 сек) получим в виде

𝑑𝑃

𝑑𝑡

=

∫

(2π)²

𝑙𝑐

|𝑗

_1𝑙

|

2

𝑁𝑀

δ(

𝐸

_𝑀

–

𝐸

_𝑁

–

ℏ𝑙𝑐

)

𝑙²

𝑑𝑙𝑑Ω

(2π)³

.

(9.53)

Интегрирование по 𝑙 даёт выражение

𝑑𝑃

𝑑𝑡

=

ω

2πℏ𝑐³

|𝑗

_1𝑙

|

2

𝑁𝑀

𝑑

Ω

,

(9.54)

характеризующее вероятность излучения света с поляризацией 1 по направлению 𝐥 в телесный угол 𝑑Ω. Частота излучаемого света

ω=𝑙𝑐=

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

ℏ

.

(9.55)

Задача 9.9. Для сложной системы в нерелятивистском случае имеем

(𝑗

_1𝐤

)

𝑁𝑀

=

 

∑

^𝑏

(

𝑒

_𝑏

𝐞⋅𝐪̇

_𝑏

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐪_𝑏}

)

𝑁𝑀

,

(9.56)

где 𝐞 – единичный вектор в направлении поляризации света, 𝑒_𝑏 и 𝐪_𝑏 – заряд и радиус-вектор частицы 𝑏. Допустим, что длина волны света много больше размеров атома, т.е. квадрат модуля волновой функции, описывающей положение электрона 𝑏, спадает до нуля на расстоянии, много меньшем чем 1/𝑘. Покажите, что при этом экспоненту exp (𝑖𝐤⋅𝐪_𝑏/ℏ) можно аппроксимировать единицей и записать матричный элемент как

𝑗

_{1𝐤,𝑁𝑀}

=

𝑖ω𝐞⋅

μ

_𝑁𝑀

,

(9.57)

где

μ

_𝑁𝑀

=

 

∑

^𝑏

(

𝑒

_𝑏

𝐪

_𝑏

)

_𝑁𝑀

.

(9.58)

Функция μ_𝑁𝑀 называется матричным элементом электрического дипольного момента атома, а приближение, использованное при выводе соотношения (9.57), называется дипольным приближением. Покажите, что полная вероятность излучения света в произвольном направлении за единицу времени равна

𝑑𝑃

𝑑𝑡

=

4ω³

3ℏ𝑐³

|

μ

_𝑁𝑀

|²

.

(9.59)

[Для этого нужно проинтегрировать выражение (9.54) по всем направлениям с учётом того, что векторы 𝐞 и 𝐤 перпендикулярны и что существуют два возможных направления поляризации.]

Исключение переменных электромагнитного поля. Поле излучения представляется квадратичным функционалом действия, поэтому возникает возможность провести интегрирование по всем переменным электромагнитного поля. Именно это мы здесь и проделаем. Нам нужно выполнить интегрирование по всем переменным 𝑎_1𝐤 и 𝑎_2𝐤 в выражении (9.44). Для этого нужно ещё задать начальное и конечное состояния поля излучения. Сначала выберем наиболее простой случай, считая, что в обоих случаях мы имеем состояние вакуума и все осцилляторы поля излучения переходят из состояний с нулевым числом фотонов в такие же состояния. Амплитуду перехода при этом можно записать как

амплитуда

=

∫

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_част}

𝑋[𝑞]

𝒟𝑞

,

(9.60)

где

𝑋[𝑞]

=

∫

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝑆_взаим+𝑆_поле)}

 

∏

^𝐤

𝑑𝑎

_1𝐤

𝑑𝑎

_2𝐤

(9.61)

—функционал от переменных 𝑞, которые входят в первую часть равенства через токи 𝑗. Так как действие представляется в виде суммы вкладов от каждой моды

∏

(𝑆

_1𝐤

+𝑆

_2𝐤

)

,

𝑘

где

𝑆

=

∫

⎡

⎢

⎣

√

4π

(𝑗𝑎*+𝑗*𝑎)

+

1

2

𝑎̇*𝑎̇

–

𝑘²𝑐²

2

𝑎*𝑎

–

ℏ𝑘𝑐

2

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

(9.62)

то ясно, что функционал 𝑋 представляет собой произведение соответствующих сомножителей. Интеграл для произвольной моды можно записать как

𝑋

_1𝐤

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

∫

⎧

⎪

⎩

√

4π

𝑗

*

1𝐤

𝑎

_1𝐤

+

√

4π

𝑗

_1𝐤

𝑎

*

1𝐤

+

+

1

2

𝑎̇

*

1𝐤

𝑎̇

_1𝐤

–

𝑘²𝑐²

2

𝑎

*

1𝐤

𝑎

_1𝐤

ℏ𝑘𝑐

2

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑎

_1𝐤

=

=

exp

⎡

⎢

⎣

–

4π

2ℏ

∫

𝑗

_1𝐤

(𝑡)

𝑗

*

1𝐤

(𝑠)

1

2𝑘𝑐

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

.

(9.63)

С таким типом интегралов по траекториям мы уже неоднократно встречались, если не считать некоторого усложнения, обусловленного комплексным характером переменных, от которых сначала нужно перейти к действительным переменным. Интеграл точно такого же типа рассматривался в § 9 гл. 8 с той лишь разницей, что функция γ(𝑡) в формуле (8.136) теперь заменяется на γ=√4π𝑗_1𝐤 и ω равно 𝑘𝑐 тогда окончательное выражение (9.63) совпадёт с формулой (8.138). Произведение интегралов типа (9.63) для всех 𝑘 и обеих поляризаций даёт функционал 𝑋=exp(𝑖𝐼/ℏ), где

𝐼=

1

2

 

∑

^𝐤

∫

[

𝑗

_1𝐤

(𝑡)

𝑗

*

1𝐤

(𝑠)

+

𝑗

_2𝐤

(𝑡)

𝑗

*

2𝐤

(𝑠)

]

4π

2𝑘𝑐

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(9.64)

Таким образом, вопрос о переходе вакуума в вакуум полностью решается методом интегрирования лишь по траекториям переменных, относящихся к веществу:

амплитуда

=

∫

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝑆

_част

+𝐼)

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑞(𝑡)

.

(9.65)

Обсудим ряд следствий, вытекающих из этого результата (случай, когда начальное или конечное состояние отлично от вакуумного, разбирается в гл. 10 ).

Основной вывод имеет простой смысл: функцией действия для вещества является не 𝑆_част, а модифицированная функция 𝑆'_част=𝑆_част+𝐼. Это изменение обусловлено взаимодействием вещества с электромагнитным полем.

Такое толкование не является строго классическим, так как функция действия 𝐼 – комплексная. Можно показать, что законы классической физики, которые получаются из принципа наименьшего действия при использовании только действительной части 𝑆'_част в точности совпадают с комбинацией уравнений Максвелла и законов Ньютона. Однако при этом никак не учитывается то обстоятельство, что решения уравнений Максвелла берутся только в виде запаздывающих волн (в самом деле, условие выбора запаздывающих волн нельзя выразить с помощью принципа наименьшего действия, если действие выражается только через координаты частиц; такая функция действия соответствует полусумме опережающего и запаздывающего решений [6]).

Займёмся теперь исследованием нашего полного квантовомеханического комплексного выражения для 𝐼, в котором учитывается условие запаздывания.

Первое приближение теории возмущений. Точное вычисление интеграла по 𝑞 является слишком сложной задачей, поэтому воспользуемся тем, что в выражения для токов в действии 𝐼 входит электрический заряд частиц 𝑒. Действие 𝐼 пропорционально 𝑒² или в безразмерной форме – постоянной тонкой структуры

𝑒²

ℏ𝑐

=

1

137,039

– весьма малой величине, точное значение которой берётся из опыта. Можно ожидать, что эффекты, обусловленные действием 𝐼, малы. Мы уже знаем, что, например, значения атомных уровней теория Шрёдингера даёт вполне точно, поэтому здесь могут быть лишь малые ошибки, возникающие из-за пренебрежения действием 𝐼.

Рассмотрим эффекты, обусловленные действием 𝐼, в первом порядке по 𝑒², соответственно – во втором порядке по 𝑒, используя первоначальное выражение действия в виде (9.32). Введём λ_𝑀𝑀 – амплитуду вероятности перехода материальной системы из начального состояния 𝑀 в такое же конечное состояние подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 6. Если пренебречь вкладом от 𝐼, то в нулевом порядке будем иметь

λ

_𝑀𝑀⁰

=

𝑒

^{-(𝑖/ℏ)𝐸}

𝑀

^𝑡

.

(9.66)

Член первого порядка

λ

_𝑀𝑀¹

=

1

ℏ

_𝑡𝑓

∫

^𝑡_𝑖

ψ

*

𝑀

(𝑞

_𝑓

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_част}

𝐼ψ

_𝑀

(𝑞

_𝑖

)

𝒟𝑞(𝑡)

=

=-

1

2ℏ

 

∑

^𝐤

∫

ψ

*

𝑀

(𝑞

_𝑓

)

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_част}

∫

[

𝑗

*

1𝐤

(𝑡)

𝑗

_1𝐤

(𝑠)

+

+

𝑗

*

2𝐤

(𝑡)

𝑗

_2𝐤

(𝑠)

]

4π

2𝑘𝑐

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

ψ

_𝑀

(𝑞

_𝑖

)

𝒟𝑞(𝑡)

.

(9.67)

Будем считать, что 𝑡>𝑠 это даёт коэффициент, равный двум. Аналогичное выражение уже вычислялось в § 1 гл. 5. Для данного случая получаем

λ

_𝑀𝑀¹

=-

𝑖

ℏ

(

Δ

𝐸)

𝑇

𝑒

^-𝑖𝐸

𝑀

^𝑇/ℏ

,

где

Δ𝐸

=

𝑖

 

∑

^𝑁

 

∑

^𝐤

4π

2𝑘𝑐

[

(𝑗

*

1𝐤

)

_𝑀𝑁

(𝑗

_1𝐤

)

_𝑁𝑀

+

(𝑗

*

2𝐤

)

_𝑀𝑁

(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

]×

×

_∞

∫

⁰

𝑒

^{(𝑖/ℏ)(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)τ}

𝑑τ

=

 

∑

^𝑁

4πℏ

∫

[

|(𝑗

_𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

+

+

|(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

][

2𝑘𝑐

(𝐸

_𝑀

–𝐸

_𝑁

–𝑘ℏ𝑐+𝑖ε)]

^-1

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.68)

Выделив в этом выражении действительную и мнимую части, можно записать его в виде

Δ𝐸

=

δ𝐸

–

𝑖ℏγ

2

.

Действительная часть δ𝐸 соответствует малому сдвигу энергетических уровней, впервые экспериментально обнаруженному Лэмбом и Ризерфордом – так называемому лэмбовскому сдвигу. Этот сдвиг составляет

δ𝐸

=

 

∑

^𝑁

∫

[

|(𝑗

_1𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

+

+

|(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

]

𝐏.𝐏.

(𝐸

_𝑀

–𝐸

_𝑁

–ℏ𝑘𝑐)

^-1

4πℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.69)

Мнимая часть Δ𝐸 имеет вид

ℏγ

2

=

 

∑

^𝑁

∫

[

|(𝑗

_1𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

+

+

|(𝑗

_2𝐤

)

_𝑁𝑀

|²

]

πδ

(𝐸

_𝑀

–𝐸

_𝑁

–ℏ𝑘𝑐)

4πℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.70)

Амплитуда вероятности того, что атом остаётся в возбуждённом состоянии и не испускает фотонов, записывается теперь как exp [-𝑖(𝐸_𝑚+δ𝐸-𝑖γ/2)𝑇/ℏ] и соответствующая вероятность равна exp (-γ𝑇). Таким образом, вероятность того, что атом остаётся в состоянии 𝑀, экспоненциально уменьшается в зависимости от величины декремента затухания γ.

Физически это уменьшение вероятности объясняется тем, что атом в состоянии 𝑀 может испустить фотон и перейти в более низкое состояние 𝑁. Сравнивая выражения (9.53) и (9.70), мы убеждаемся, что γ действительно есть полная вероятность перехода за единицу времени из состояния 𝑀 во все нижележащие состояния 𝑁.

§ 5. Электрон в поле излучения

Поправка к энергии. Чтобы лучше понять смысл электромагнитной поправки к энергии, рассмотрим очень простой пример: систему, состоящую всего лишь из одного движущегося заряда, положение которого характеризуется вектором 𝐑 (например, атом водорода с бесконечно тяжёлым ядром или свободный электрон в пустом пространстве). Тогда ток 𝐣=𝑒𝐑̇ exp(𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ).

В данном случае ток 𝐣 содержит 𝐑̇, поэтому в соответствии с § 3 гл. 7 при рассмотрении членов второго порядка малости нам следует проявить некоторую осторожность. Поправка к энергии δ𝐸 содержит дополнительный член, связанный с квадратом скорости 𝑅̇². Выражая 𝐑̇ (подобно тому, как это делалось в § 5 гл. 7) через оператор импульса 𝐩, получаем

δ𝐸

₁

=

 

∑

^𝑁

∫

𝑑³𝐤

2𝑘𝑐 (2π)³

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

4π𝑒²ℏ

𝑚²(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

+

4π𝑒²

𝑚

∫

ℏ

2𝑘𝑐

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(9.71)

Задача 9.10. Почему нет необходимости точно вычислять в матричных элементах экспоненту ½[𝐩₁ exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ) + exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)𝐩₁]?

Рассмотрим теперь простейший случай покоящегося свободного электрона. В этом случае поправка к энергии, связанная с полем, в любом состоянии представляет собой поправку к энергии покоя, или, как это следует из теории относительности,– к массе δ𝑚=δ𝐸_𝑅/𝑐². Это и есть так называемая электромагнитная масса электрона. Состояния покоящейся свободной частицы описываются плоскими волнами. Если 𝑀 и 𝑁 – импульсы электрона соответственно в состояниях 𝐩_𝑀 и 𝐩_𝑁, то матричный элемент [𝐩₁ exp(-𝑖𝐤⋅𝐑/ℏ)_𝑁𝑀] всегда равен нулю, за исключением случая 𝐩_𝑁=𝐩_𝑀-𝐤 он равен 𝐩_1𝑁 Поэтому матричный элемент, соответствующий первоначально покоившемуся электрону, равен нулю, а поправка δ𝐸_𝑅 здесь есть не что иное, как последний расходящийся интеграл в выражении (9.71).

Затруднения с короткими волнами. Однако это ещё не все. Когда мы выделяли в 𝑆_𝑐 член, содержащий ρ_𝑘ρ_𝑘/2𝑘², уже указывалось, что этот член соответствует взаимодействию точечных зарядов

½

 

∑

^𝑖,𝑗

𝑒

_𝑖

𝑒

_𝑗

|𝑞

_𝑖

–𝑞

_𝑗

|

^-1

,

однако не было отмечено, что при этом в сумму должны включаться также и расходящиеся члены с 𝑖=𝑗. Действительно, для отдельной частицы ρ_𝑘=𝑒 exp(𝑖𝐤⋅𝐪), поэтому ½|ρ_𝑘|²/𝑘² = 4π𝑒²/2𝑘² и в выражение 𝑆_𝑐 войдёт интеграл 4π𝑒²∫(½𝑘²)𝑑³𝑘/(2π)³. Здесь и выше в δ𝐸_𝑅 расходимости не сокращаются, и мы встречаемся с серьёзной трудностью: интегралы по импульсу 𝑘 оказываются квадратично расходящимися, квантовая электродинамика даёт бессмысленный результат.

Правда, наше рассмотрение заряженной частицы было нерелятивистским. Однако релятивистское рассмотрение вещества (квантовая электродинамика при этом не изменяется) не избавляет нас от расходящихся результатов, хотя порядок расходимости может при этом измениться.

Для частицы с нулевым спином, подобной π-мезону, степень расходимости не изменяется и по-прежнему остаётся квадратичной. Здесь, однако, мы имеем возможность определить экспериментальное значение поправки к массе. Насколько известно, заряженный и нейтральный π-мезоны различаются только зарядом, т.е. по-разному взаимодействуют с электромагнитным полем, оставаясь неразличимыми при всех других взаимодействиях. Поэтому можно предполагать, что различие масс заряженного и нейтрального π-мезонов (их массы равны соответственно 𝑚_π = 273,2 и 264,2 электронных масс), составляющее 9,0 электронных масс, равно 0,034 𝑚_π = 4,6 Мэв, т.е. равно энергии, заключённой в электромагнитном поле.

Ограничим верхние пределы интегрирования в расходящихся интегралах некоторым импульсом 𝑘_макс (такая операция, к сожалению, релятивистски неинвариантна). Тогда последний член соотношения (9.71), который в случае ℏ𝑘_макс/𝑐≫𝑚_π значительно превосходит два других, даст значение энергии, равное 𝑒²(𝑘_макс)²/2π𝑚_π𝑐. Если это значение приравнять величине 𝑚_π±-𝑚_π0 = 0,034 𝑚_π𝑐², т.е. положить (𝑒²/2πℏ𝑐)(ℏ𝑘_макс/𝑚_π𝑐)² = 0,034, то для 𝑘_макс получим оценку

𝑘

_макс

≈

5,4𝑚_π𝑐

ℏ

≈

0,8𝑀𝑐

ℏ

,

где 𝑀 – масса протона. (Релятивистская теория даёт Δ𝐸 = 0,034𝑚_π при обрезании приблизительно на том же значении 𝑘_макс). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, большими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел. Эти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны λ которых меньше чем 10^-14 см.

Согласно теории Дирака, электрон, спин которого равен ½, должен обладать определённым магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию. Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмически. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнёра.

Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный момент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тяжелее протона. Если расходящиеся интегралы обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение разности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины Δ𝑀 = 782,71 ± 0,40 кэв [25]. Массовые различия между различными частицами – протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным Σ-гиперонами и т.д.– бросают серьёзный вызов современной физике ¹) и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления. Мы не знаем, что на самом деле ошибочно: квантовая электродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершённая полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).

¹) Разработанная недавно теория SU₃– и SU₆-симметрий позволяет вычислить разности масс сильно взаимодействующих частиц (мезонов и барионов) не только для заряженных и нейтральных партнёров, но и для таких, казалось бы, совершенно различных частиц, как нуклон и Σ-гиперон или π и 𝑘-мезоны. (Подробнее см., например, монографию: В. С. Барашенков, Сечения взаимодействия элементарных частиц, М., 1966.) – Прим. ред..

§ 6. Лэмбовский сдвиг

В соответствии с уравнением Шрёдингера второй уровень атома водорода является вырожденным. Энергии уровней 2𝑝 и 2𝑠 имеют одинаковое значение. Из уравнения Дирака также следует вырождение уровней 2𝑝_½ и 2𝑝_½. В 1946 г. Лэмб и Резерфорд обнаружили, что в действительности наблюдается небольшое дополнительное расщепление, относительная величина которого равна приблизительно 3⋅10⁶, вследствие чего уровень 2𝑝_½ оказывается сдвинутым вверх на 1057,1 Мгц. Теоретики предсказывали, что такая разность энергий может возникать из-за эффектов, обусловленных членом 𝐼, однако вплоть до работы Бете и Вайскопфа в 1947 г. бесконечности в расходящихся интегралах сводили на нет все попытки вычислить эту разность. Бете и Вайскопф рассуждали следующим образом.

Прежде всего, поскольку

1

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

=

1

ℏ𝑘𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

–

1

ℏ𝑘𝑐

,

(9.72)

энергия (9.71) представляет собой сумму трёх членов:

δ𝐸

=

δ𝐸'

+

δ𝐸''

+

δ𝐸'''

,

(9.73)

где

δ𝐸'

=

2π𝑒²

𝑚²𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

 

∑

^𝑁

×

×

(𝐸

_𝑀

–𝐸

_𝑁

)

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

(𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐)

,

(9.74)

δ𝐸''

=

–

2π𝑒²

𝑚²𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

 

∑

^𝑁

(

|𝐩

₁

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

+

|𝐩

₂

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐑}

|

2

𝑁𝑀

)

,

(9.75)

δ𝐸'''

=

2π𝑒²ℏ

𝑚𝑐

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘

.

(9.76)

Член δ𝐸''' и бесконечность, связанная с кулоновским членом δ𝐸_𝑐, не зависят от состояния электрона. Они будут (мы надеемся на это) конечными в будущей теории. К массе покоя электронов эти члены дают поправку δ𝑚. Если 𝑚₀ – механическая масса (т.е. масса неэлектромагнитного происхождения), то реально наблюдаемая экспериментальная масса 𝑚=𝑚₀+δ𝑚, где δ𝑚𝑐²=δ𝐸'''+δ𝐸_𝑐.

Такую поправку к энергии покоя, составляющей часть полной энергии атома водорода, можно было, конечно, ожидать заранее, однако мы учитываем её автоматически, если все энергии связи измеряются относительно энергии полностью ионизованного состояния, когда все частицы свободны. Поправка δ𝑚 относится к покоящемуся электрону, и она совершенно не зависит от его движения или от каких-либо характеристик состояния, в котором находится этот электрон.

Выражение для δ𝐸''' можно вычислить из суммы по 𝑁 которая в соответствии с правилами матричного умножения даёт выражение (𝑝²₁+𝑝²₂)_𝑀𝑀. После интегрирования по всем направлениям вектора 𝐤 отсюда получается член ³/₂(𝐩⋅𝐩)_𝑀𝑀 и, следовательно,

δ𝐸''

=-

(𝐩⋅𝐩)_𝑀𝑀

2𝑚

8π𝑒²

3𝑚𝑐²

∫

𝑑³𝑘

(2π)³𝑘²

.

(9.77)

Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии 𝑝²/2𝑚₀ следовало бы заменить выражением

𝑝²

2𝑚

≈

𝑝²

2𝑚₀

⎧

⎪

⎩

1-

δ𝑚

𝑚₀

⎫

⎪

⎭

,

(9.78)

а член δ𝐸''' как раз должен соответствовать добавке -(𝑝²/2𝑚₀)δ𝑚. Однако мы уже учитывали этот член, когда с помощью уравнения Шрёдингера вычисляли значения энергетических уровней и использовали выражение 𝑝²/2𝑚 с экспериментально наблюдаемой массой 𝑚. Поправка δ𝐸''' однозначно отождествляется с добавкой к кинетической энергии, поскольку она является единственной поправкой для движущегося свободного электрона и пропорциональна кинетической энергии ¹). Наконец, если даже интерпретация этих поправок является неверной, то при вычислении разности энергий для состояний 2𝑠 и 2𝑝 эти поправки выпадают, так как значения δ𝐸''' и δ𝐸_𝑐 одинаковы для всех состояний; одинаковыми являются и значения δ𝐸'', поскольку для состояний 2𝑠 и 2𝑝 матричный элемент (𝑝²/2𝑚)_𝑀𝑀 один и тот же.

¹) Значение δ𝑚 которое следует из формулы (9.77), равно (8π𝑒²/3𝑐²)∫𝑑³𝑘/𝑘² и не совпадает со значением δ𝑚 из выражения δ𝐸/𝑐², соответствующего неподвижному электрону. Это происходит потому, что мы ограничиваемся нерелятивистским приближением. Если провести полностью релятивистское рассмотрение, то оба способа вычисления дают одно и то же значение δ𝑚.

При вычислении поправки δ𝐸' предполагалось вполне оправданным дипольное приближение. В этом случае матричные элементы не зависят от 𝐤, и, вычислив интеграл

∫

𝑑³𝐤

𝑘²

1

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁-ℏ𝑘𝑐

=

4π

ℏ𝑐

ln

ℏ𝑘_макс𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

,

(9.79)

мы получим

δ𝐸'

=

𝑒²

π𝑚²ℏ𝑐³

 

∑

^𝑀

⎡

⎢

⎣

ln

⎧

⎪

⎩

ℏ𝑘_макс𝑐

𝐸_𝑀-𝐸_𝑁

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

(𝐸

_𝑀

–𝐸

_𝑁

)

2

3

|𝐩

_𝑁𝑀

|²

.

(9.80)

Поскольку для атома водорода известны состояния и матричные элементы, по которым проводится суммирование в (9.80), то сумма может быть вычислена и неясным остаётся лишь вопрос о выборе значения ℏ𝑘_макс𝑐. Бете обосновал свой выбор этого параметра тем, что нерелятивистское приближение становится несправедливым в области больших значений 𝑘, и если проделать последовательно релятивистские вычисления, то значение ℏ𝑘_макс𝑐 оказалось бы, по-видимому, порядка 𝑚𝑐². Выбор значения ℏ𝑘_макс𝑐=𝑚𝑐² дал для сдвига 2𝑠_½– и 2𝑝_½-уровней величину, равную приблизительно 1000 Мгц, так что Бете мог рассчитывать, что он находится на правильном пути.

Оставалось ещё сделать релятивистский расчёт, используя дираковские волновую функцию и состояния. Только на этом пути можно было дать точное определение величины 𝑘_макс. Однако это оказалось совсем не простым делом, так как возникали трудности с идентификацией различных расходящихся членов. Если применить к этим членам процедуру обрезания при некотором максимальном значении импульса и иметь дело с полученными таким образом конечными величинами, то и тогда ситуация не проясняется, так как такая процедура не является релятивистски-инвариантной вследствие того, что с импульсом и энергией мы обращаемся здесь по-разному. (Одно следствие этого обстоятельства уже отмечалось нами в примечании на стр. 280.) Метод, устраняющий эти затруднения, был развит Швингером, который показал , как можно в явном виде сохранить релятивистскую инвариантность на протяжении всего расчёта и одновременно идентифицировать все бесконечные члены. Другой метод, разработанный Фейнманом, сводился к релятивистски инвариантной процедуре обрезания бесконечных интегралов. Рассмотрим этот метод подробнее.

Полный эффект от действия электромагнитного поля, которой на этот раз включает в себя и кулоновское взаимодействие, учитывается дополнительным членом 𝐼+𝑆_𝑐 в функции действия. Релятивистская инвариантность функции 𝐼, представленной в форме, подобной (9.64), далеко не очевидна, так как в эту формулу входят переменные 𝐤 и 𝑡, а не 𝐑 и 𝑡 или 𝐤 и ω. Выразим функцию 𝐼, используя в качестве переменных частоту ω и волновое число 𝐤. Для этого прежде всего заметим, что интеграл

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{-𝑖𝑘𝑐|τ|}

𝑒

^-𝑖ωτ

𝑑τ

=

2𝑖𝑘𝑐

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

,

(9.81)

или

𝑒

^{-𝑖𝑘|𝑡-𝑠|𝑐}

=

∫

2𝑖𝑘𝑐 𝑑ω/2π

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

.

(9.82)

Если определить

𝑗(𝐤,ω)

=

∫

𝑗

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^+𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

=

∬

𝑗(𝐑,𝑡)

𝑒

^{-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)}

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

,

(9.83)

то функция 𝐼 запишется в виде

𝐼

=

–2π

∫

|𝑗₁(𝐤,ω)|²+|𝑗₂(𝐤,ω)|²

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

𝑑³𝐤 𝑑ω

(2π)⁴

.

(9.84)

Релятивистская симметрия этого выражения относительно переменных ω и 𝐤 вполне очевидна, так как выражение ω²-𝐤²𝑐² – инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Однако токи входят в выражение (9.84) релятивистски несимметрично.

Нам была бы нужна релятивистски-инвариантная комбинация типа 𝑐²ρ²-𝐣⋅𝐣, так как величины ρ𝑐 и 𝐣 образуют четырёхмерный вектор. Чтобы получить такую комбинацию, положим

ρ(𝐤,ω)

=

∫

ρ

_𝐤

(𝑡)

𝑒

^+𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

=

∬

ρ(𝐑,𝑡)

𝑒

^{-𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)}

𝑑³𝐑

𝑑𝑡

;

(9.85)

тогда часть функции действия, соответствующая кулоновскому взаимодействию, запишется в виде

𝑆

_𝑐

=

∫

|ρ(𝐤,ω)|²

𝑘²

𝑑ω

=

(ωρ/𝑘)²-ρ²𝑐²

ω²-𝑘²𝑐²

𝑑ω

,

(9.86)

причём последний интеграл образуется здесь умножением числителя и знаменателя предыдущей подынтегральной функции на ω²/𝑘²-𝑐². Закон сохранения тока

-

–∂ρ

∂𝑡

=

𝛁⋅𝐣

(9.87)

запишется теперь как

ωρ(𝑘,ω)

=

𝐤⋅𝐣(𝐤,ω)

.

(9.88)

С другой стороны, если обозначить через 𝑗₃ компоненту вектора 𝐣 в направлении 𝐤, то 𝑗₃=ωρ/𝑘 и

𝐼+𝑆

_𝑐

=

–2π

×

×

∫

|𝑗₁(𝐤,ω)|²+|𝑗₂(𝐤,ω)|²+|𝑗₃(𝐤,ω)|²-𝑐²|ρ(𝐤,ω)|²

ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε

×

×

𝑑³𝐤 𝑑ω

(2π)⁴

.

(9.89)

Сумма трёх токовых членов представляет собой не что иное, как скалярное произведение 𝐣(𝐤,ω)⋅𝐣(𝐤,ω); поэтому выражение (9.89) – скаляр и его релятивистская инвариантность очевидна.

Учитывая неполноту наших сегодняшних представлений о квантовых законах взаимодействия, предположим, что расходящиеся интегралы можно регуляризировать простым введением в подынтегральное выражение релятивистски-инвариантного множителя

⎧

⎪

⎩

Λ²

ω²-𝑘²𝑐²-Λ²+𝑖ε

⎫²

⎪

⎭

где величина Λ – некоторая достаточно большая частота. При малых значениях величин ω и 𝑘 этот множитель близок к единице, в то время как для высоких частот он обрезает подынтегральную функцию. Очевидно, что такая операция не нарушает релятивистской инвариантности интеграла. Теперь все физические величины должны вычисляться нами с учётом того, что действие 𝐼+𝑆_𝑐 содержит этот обрезающий множитель. Если, подобно лэмбовскому сдвигу они будут нечувствительны к выбору конкретного значения Λ (лишь бы это значение было достаточно велико), то теоретический результат можно считать достоверным. Если же результат расчёта существенно зависит от выбора Λ (как это имеет место, например, для разности масс нейтрального и заряженного пионов), то его количественную величину установить невозможно, поскольку обрезающая функция произвольна, а сам приём с её введением уже нельзя считать удовлетворительным.

Таково состояние квантовой электродинамики на сегодняшний день.

Задача 9.11. Покажите, что метод обрезающей функции действительно не является вполне удовлетворительным теоретически. Для этого покажите, что величина γ, вычислявшаяся в § 4 гл. 9, изменяется после введения обрезания, тогда как вероятность излучения реального фотона не должна изменяться (для него ω=𝑘𝑐 и функция обрезайия точно равна единице). Таким образом, нарушился бы баланс вероятностей и сумма их по всем возможным событиям (фотон излучился или не излучился) стала бы отличной от единицы.

Трудность, возникающая в связи с этой проблемой, до сих пор остаётся неразрешённой. Нам пока не известно никакой модификации квантовой электродинамики в области высоких частот, которая одновременно сделала бы все результаты конечными, не нарушала бы релятивистской инвариантности и сохраняла значение суммы вероятностей всех альтернатив равным единице.

Задача 9.12. Используя соотношение

∫

𝑒

^{𝑖(𝐤⋅𝐑-ω𝑡)}

𝑐𝑑³𝐤 𝑑ω/(2π)⁴

(2π)⁴(ω²-𝑘²𝑐²+𝑖ε)

=

𝑖

(𝑡²𝑐²-𝑅²+𝑖ε)(2π)²

=

=

1

4π

δ

₊

(𝑡²𝑐²-𝑅²)

.

(9.90)

перейдите в функции действия 𝐼+𝑆_𝑐 к пространственным координатам. [Замечание: функцию -π𝑖(𝑥-𝑖ε) часто записывают как δ₊(𝑥) мы тоже пользуемся этим обозначением.] В результате должно получиться

𝐼+𝑆

_𝑐

=

1

2𝑐

∫

[𝑐²

ρ(𝐑

₁

,𝑡

₁

)

ρ(𝐑

₂

,𝑡

₂

)

–

𝐣(𝐑

₁

,𝑡

₁

)

𝐣(𝐑

₂

,𝑡

₂

)

]×

×

δ

₊

[

(𝑡

₁

–𝑡

₂

)²

𝑐²

–

|𝐑

₁

–𝐑

₂

|²

]

𝑑³𝐑

₁

𝑑³𝐑

₂

𝑑𝑡

₁

𝑑𝑡

₂

.

(9.91)

§ 7. Излучение света

В § 4 гл. 9 мы нашли выражение для амплитуды вероятности того, что поведение материальной системы зависит от её взаимодействия с электромагнитным полем; это выражается формулой (9.60) и последующими выкладками. Однако наш вывод относился лишь к специальному случаю, когда начальное и конечное состояния поля являются вакуумными и не содержат фотонов. Мы видели, что при этом действие 𝑆_част в интегралах по траекториям следует заменять на эффективное действие 𝑆'_част=𝑆_част+𝐼.

В общем случае фотоны поля присутствуют как в начале, так и в конце процесса. Для примера рассмотрим случай, когда в начальном состоянии нет ни одного фотона, а в конечном участвует один фотон с импульсом ℏ𝐋 и поляризацией 1. Единственное изменение, которое при этом вносится в наши предыдущие расчёты, касается интеграла для действия 𝑆, т.е. выражения (9.61). Теперь мы должны пользоваться соотношением

𝑋'

=

π

𝑘

∫

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

(𝑆

_част

+𝑆

_поле

)

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑎

₁

𝑘

𝒟𝑎

₂

𝑘

,

(9.92)

где интегрирование по траекториям выполняется между начальным состоянием вакуума и конечным, содержащим то же состояние вакуума плюс один фотон. В этом случае каждый осциллятор, кроме осциллятора 1𝐋, переходит из начального состояния 𝑛=0 в такое же конечное состояние; поэтому интеграл 𝑋₁𝐤 для всех этих осцилляторов не изменяется. Изменится лишь вклад от осциллятора 1𝐋, который теперь становится равным