Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 8 (всего у книги 25 страниц)
Последнее равенство следует из условия (4.28). То, что в это выражение входит дельта-функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю exp(-𝑖𝐸𝑡/ℏ), где 𝐸=𝑝²/2𝑚. Этот вывод, следующий из формулы (5.12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64).
Фиг. 5.3. Ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном и координатном пространствах.
В импульсном представлении существует единственная траектория, двигаясь по которой частица достигает значения импульса 𝑝2 в момент времени 𝑡2. Эта траектория должна начинаться со значения импульса 𝑡1=𝑡2 Все другие траектории не дают вклада в ядро.
Ядро (5.12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида. Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым.
Преобразование энергия – время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время → энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид
𝑘(𝐩
2
,𝐸
2
;𝐩
1
,𝐸
1
)
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
∞
∫
-∞
∞
∫
𝑡1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐸2𝑡2
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
×
×
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
𝑑𝑡
1
𝑑𝑡
2
.
(5.13)
Заметим, что энергия 𝐸 здесь не равна 𝑝²/2𝑚, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины 𝐸 для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.
В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным 𝐑1 и 𝐑2 были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остаётся выполнить интегрирование лишь по 𝑡1 и 𝑡2. Сделаем подстановку 𝑡2=𝑡1+τ. Тогда двойной интеграл можно записать как
∞
∫
-∞
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸2-𝐸1)𝑡1
𝑑𝑡
1
∞
∫
0
𝑒
-(𝑖/ℏ)(𝐸2-𝑝²/2𝑚)τ
𝑑τ
.
(5.14)
Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением δ-функции Дирака и равен 2πℏδ(𝐸2-𝐸1). Второй интеграл имеет вид
∞
∫
0
𝑒
𝑖ωτ
𝑑𝑡
.
(5.15)
Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном ω они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчёт, заменим ω комплексным числом ω+𝑖ε. Когда обе величины ω и ε – действительные числа, интеграл равен 𝑖/(ω+𝑖ε).
Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при ε, стремящемся к нулю, и принять за результат 𝑖/ω. Однако такой подход привёл бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,– это ядро, и в дальнейшем её следует– проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям ω или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить ε, то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении ω=0.
Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины ε.
Преобразовав выражение 𝑖/(ω+𝑖ε) к виду
𝑖(ω-𝑖ε)
ω²+ε²
=
𝑖ω
ω²+ε²
+
ε
ω²+ε²
,
(5.16)
можно первый член в правой части представить как 𝑖/ω и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при ε, стремящемся к нулю, становится равным πδ(ω), так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение 𝑖/(ω+𝑖ε) должно быть заменено на 𝙿𝙿[(𝑖/ω)+πδ(ω)]. Другими словами,
∞
∫
0
𝑒
𝑖ωτ
𝑑𝑡
=
lim
ε→0
𝑖
ω+𝑖ε
=
𝙿𝙿
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑖
ω
⎫
⎪
⎭
+πδ(ω)
⎤
⎥
⎦
.
(5.17)
В последующем во всех выражениях, содержащих ε, будет подразумеваться предельный переход при ε→0.
Возвращаясь к вычислению ядра, заменим ω на 𝐸2-(𝑝²/2𝑚), после чего получим
𝐸
0
(𝐩
2
,𝐸
2
;𝐩
1
,𝐸
1
)
=
(2πℏ)
4
δ³
(𝐩
2
–𝐩
1
)
δ(𝐸
2
–𝐸
1
)
×
×
⎧
⎪
⎩
𝐸
1
–
𝑝²1
2𝑚
+𝑖ε
⎫-1
⎪
⎭
.
(5.18)
Наличие δ-функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс 𝑝 не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.
Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией 𝐸 и импульсом 𝑝 из одной точки в другую пропорциональна 𝑖[𝐸-(𝑝²/2𝑚)+𝑖ε]-1.
В этой главе мы уже отмечали, что энергия 𝐸 здесь, вообще говоря, не равна 𝑝²/2𝑚, а является независимой переменной.
Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина 𝐸 является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времён 𝑇=𝑡2-𝑡1. Оно обращается в нуль при отрицательном 𝑇 и начинает осциллировать при значении 𝑇=0. Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при 𝑇=0, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна из частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии 𝐸0=𝑝²/2𝑚.
Фиг. 5.4. Действительная часть ядра 𝐾0 (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.
Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке 𝑡=0 она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.
Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель
𝑖
=𝙿𝙿
⎧
⎪
⎩
𝑖
⎫
⎪
⎭
+πδ
⎧
⎪
⎩
𝐸
2
1
–
𝑝²
2𝑚
⎫
⎪
⎭
.
𝐸
0
–𝑝
2
2𝑚+𝑖ε
𝐸
2
–𝑝²/2𝑚
1
1
(5.19)
Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при 𝑡=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное 𝑝²/2𝑚 однако вблизи точки 𝑡=0 энергия не определяется этой классической формулой.
Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае
𝑘(𝑥
2
,𝐸
2
;𝑥
1
,𝐸
1
)
=
∫∫
𝑒
(𝑖ℏ)𝐸2𝑡2
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸1𝑡1
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
1
.
(5.20)
Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом 𝐻
𝑘(𝑥
2
,𝐸
2
;𝑥
1
,𝐸
1
)
=
2πℏ𝑖δ
(𝐸
2
–𝐸
1
)
∑
𝑚
φ𝑚(𝑥2)φ*𝑚(𝑥1)
𝐸1-𝐸𝑚+𝑖ε
,
(5.21)
где φ𝑚 – собственные функции, а 𝐸𝑚 – собственные значения оператора 𝐻.
§ 2. Измерение квантовомеханических величин
Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен 𝐩. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.
Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы 𝐴 (например, 𝑥-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности 𝑃(𝑎); оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение 𝐴 будет найдено равным 𝑎.
В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет зависеть от других переменных, необходимых для её полного определения. Посмотрим, что повлечёт за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений. Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством 𝐺. Например, 𝐺 может означать утверждение: значение величины 𝐴 равно 𝑎. У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос.
Пусть некоторый прибор устроен таким образом, что если частица обладает свойством 𝐺, то она пройдёт через него и в определённом месте какого-то экрана или какой-то измерительной шкалы появится соответствующая отметка.
Вероятность такого события можно записать как
𝑃(𝐺)=
⎪
⎪
⎪
∫
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
,
(5.22)
если 𝑓(𝑥) – волновая функция измеряемой системы, 𝐾exp(ζ,𝑥) – ядро, описывающее прохождение частицы через данный экспериментальный прибор, а ζ – точка, в которую попадает частица, обладающая свойством 𝐺. Эту вероятность можно представить также и в ином виде:
𝑃(𝐺)=
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
,
(5.23)
где мы положили
𝑔*(𝑥)
=
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
.
(5.24)
(Задание этой функции в комплексно-сопряжённом виде принято, как мы увидим далее, только ради удобства.) Таким образом, мы можем сказать, что функция
ψ(𝐺)=
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
(5.25)
представляет собой амплитуду вероятности того, что система обладает свойством 𝐺. Это построение иллюстрируется фиг. 5.5.
Фиг. 5.5. Устройство, предназначенное для измерения свойства 𝐺, помещено между точкой входа налетающей частицы [волновая функция которой 𝑓(𝑥)] и точкой выхода 𝑥=ζ
Устройство преобразует ядро, описывающее движение (ср. фиг. 5.1 и 5.2) таким образом, что оно становится равным 𝑔(𝑥). Произведение 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), проинтегрированное по переменной 𝑥, представляет собой амплитуду вероятности достичь точки ζ после прохождения через устройство.
Само свойство 𝐺 определяется функцией 𝑔*(𝑥) благодаря следующим обстоятельствам. Предположим, что для измерения данного свойства мы проводим какой-либо другой эксперимент, пользуясь другими приборами, и, следовательно, в этом случае мы должны ввести новое ядро 𝐾exp'(η,𝑥). Пусть в этом новом эксперименте частица попадает в точку η. Тогда вероятность обнаружить, что система обладает свойством 𝐺, равна
⎪
⎪
⎪
∫
𝐾
exp
(η,𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
или
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔'*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
(5.26)
Так как мы изучаем одно и то же свойство, то должны получить, во всяком случае для 𝑃(𝐺), тот же самый результат, что и в предыдущем эксперименте. Таким образом, для произвольной функции 𝑓(𝑥) должно выполняться равенство
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔'*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎪
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
.
(5.27)
Это означает, что 𝑔*(𝑥)=𝑔*(𝑥) с точностью до несущественного фазового множителя 𝑒𝑖δ. Следовательно, всем методам, предназначенным для определения одного и того же свойства, соответствует (с точностью до фазы) одна и та же функция 𝑔*(𝑥). Поэтому мы назовём функцию 𝑔*(𝑥) характеристической функцией свойства 𝐺.
Можно задать другой вопрос: каким должно быть состояние 𝑓(𝑥), чтобы быть уверенным, что система определённо обладает свойством 𝐺? (Например, какова волновая функция частицы, имеющей заданный импульс?) Другими словами, мы хотим найти такую функцию 𝑓(𝑥), скажем 𝐹(𝑥), при которой частица, проходящая через прибор, будет попадать именно в точку ζ, а не в какую-либо другую точку ζ'. Амплитуда вероятности попасть в точку ζ' должна быть пропорциональна δ(ζ-ζ') (т.е. равна нулю во всех точках, за исключением ζ=ζ'). Следовательно,
∫
𝐾
exp
(ζ,𝑥)
𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(ζ-ζ')
.
(5.28)
Это уравнение можно решить, используя соотношение между комплексно-сопряжённым и обратным ядром, полученное в § 1 гл. 4. Из формулы (4.37) мы имеем
∫
𝐾
exp
(ζ',𝑥)
𝐾
*
exp
(ζ,𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(ζ-ζ')
,
(5.29)
так что
𝐹(𝑥)
=
𝐾
*
exp
(ζ,𝑥)
=
𝑔(𝑥)
.
(5.30)
Это означает, что функция 𝑔(𝑥) – волновая функция частицы, которая заведомо обладает свойством 𝐺. Итак, мы можем сказать, что частица обладает свойством 𝐺, т.е. находится в состоянии 𝑔(𝑥). Таким образом мы установили: если частица находится в состоянии 𝑓(𝑥), то амплитуда вероятности найти её в состоянии 𝑔(𝑥) есть
ψ(𝑥)
=
∫
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
Φ[𝑔(𝑥)]
.
(5.31)
Для большего числа степеней свободы 𝑥 берётся в пространстве нескольких измерений.
Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии 𝑔(𝑥), равна |∫𝑔*(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥|². Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии 𝑓(𝑥), а не в состоянии 𝑔(𝑥), но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она также находиться в состоянии 𝑔(𝑥), то вероятность получить утвердительный ответ равна:
𝑃(𝑥)
=
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
𝑔*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
=
𝓟[𝑔(𝑥)]
.
(5.32)
Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии 𝑔(𝑥) или нет, покажет, что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна 𝑔(𝑥). Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю 𝑃. Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики.
Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряжённой. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция 𝑔*(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺 (это утверждение можно записать математически, если вместо функции 𝑓(𝑥) в формулу (5.31) подставить δ-функцию); с другой стороны, 𝑔(𝑥) – амплитуда вероятности того, что система, обладающая свойством 𝐺, находится в точке 𝑥. (Это как раз и является способом определения волновой функции.) Одна из этих функций даёт амплитуду вероятности в таком случае: если имеется 𝐴, то имеется и 𝐵; другая определяет её для обратного случая: если имеется 𝐵, то имеется 𝐴. Переход осуществляется здесь простым комплексным сопряжением.
Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством 𝐺, представляет собой сумму по всем значениям 𝑥 произведений амплитуды 𝑔(𝑥), описывающей вероятность того, что система находится в положении 𝑥, и амплитуды 𝑓*(𝑥), определяющей вероятность того, что если система занимает положение 𝑥, то она обладает свойством 𝐺.
Задача 5.3. Пусть интеграл
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
,
который даёт полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией 𝑓(𝑥), нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние 𝑓(𝑥), в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством 𝐺, совпадает с 𝑔(𝑥).
Задача 5.4. Допустим, что ψ(𝑥1) – волновая функция системы в момент времени 𝑡1. Пусть при движении в интервале времени 𝑡2≥𝑡≥𝑡1 поведение системы описывается ядром 𝐾(𝑥2,𝑡2;𝑥1,𝑡1).
Покажите, что вероятность найти систему в состоянии χ(𝑥) в момент времени 𝑡2 даётся квадратом интеграла
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
χ*(𝑥
2
)
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
ψ(𝑥
1
)
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
.
Мы будем называть этот интеграл амплитудой перехода из состояния ψ(𝑥) в состояние χ(𝑥).
Измерение нескольких величин. В наших рассуждениях в гл. 4 мы предполагали идеальный эксперимент, когда одновременно с величиной 𝐴 нельзя измерить никакую другую величину. Иначе говоря, мы допускали, что существует не более одной функции 𝑔(𝑥), приводящей к данному результату, и утверждали тем самым, что при измерении величины 𝐴 мы получаем максимум информации о нашей системе.
Однако в действительности состояние системы в общем случае определяется несколькими переменными. Так, например, если в трёхмерном пространстве измеряется только 𝑥-компонента импульса, то мы не сможем однозначно определить функцию 𝑔(𝑥): волновые функции exp(𝑖𝑝𝑥𝑥/ℏ) и exp[(𝑖𝑝𝑥𝑥/ℏ) – (𝑖𝑝𝑦𝑦/ℏ)] – дадут одинаковое значение 𝑥-компоненты импульса 𝑝𝑥. Таким образом, если в трёхмерной системе координат измерять лишь значение компоненты 𝑝𝑥, то частицы в направлении оси 𝑦 могут двигаться с любым импульсом и это не скажется на результатах измерений. Не требуется даже, чтобы частица попадала в одну и ту же точку измерительного устройства. Все частицы, которые попадают на некоторую линию или совокупность точек, могут иметь одно и то же значение 𝑝𝑥.
Так что в общем случае волновая функция 𝑔(𝑥) определит свойство 𝐺 следующим образом: состояние, которое описывается волновой функцией 𝑔(𝑥), безусловно, обладает свойством 𝐺. Однако обратное утверждение не всегда верно. Поэтому совсем не обязательно, чтобы все состояния, обладающие свойством 𝐺, описывались одной и той же волновой функцией 𝑔(𝑥). Лишь в том случае, когда 𝐺 включает перечень всех величин, которые могут быть одновременно измерены, волновая функция полностью определяется самим свойством 𝐺. Но даже и тогда остаётся неопределённым постоянный фазовый множитель 𝑒𝑖δ (который не имеет, однако, существенного значения).
Легко получить необходимое обобщение характеристической функции 𝑔*(𝑥) для случая, когда наш мысленный эксперимент предполагает измерение более чем одной переменной. Пусть мы имеем некий набор величин (назовём их 𝐴, 𝐵, 𝐶, …), которые могут быть одновременно измерены в предполагаемом эксперименте; например, это будут 𝑥-компонента импульса, 𝑦-компонента и т.д. Предположим, что мы можем полностью описать состояние системы, определяя некоторые числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, …, соответствующие этим величинам. Таким образом, мы полностью описываем систему, утверждая, что она обладает или не обладает определённым свойством. В данном случае утверждение, что система имеет определённое свойство, означает, что величина 𝐴 равна 𝑎, величина 𝐵 равна 𝑏 и т.д. Кроме того, предположим, что одновременно с этим мы не можем получить никакой другой информации, которую нельзя было бы вывести, зная численные значения величин 𝐴, 𝐵, 𝐶… .
Пусть наша экспериментальная установка способна измерять все эти величины, т.е. позволяет нам выяснить, обладает ли данное состояние таким свойством, при котором значение величины 𝐴 равно 𝑎, и т.д. Мы назовём характеристической функцией такого свойства функцию
𝑔*(𝑥)
=
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
.
(5.33)
Эта функция зависит, конечно, от чисел 𝑎,𝑏,𝑐,…, для измерения которых ставится эксперимент, а также от координаты 𝑥.
Предположим, что система находится в состоянии 𝑓(𝑥). Тогда вероятность того, что эксперимент даёт для 𝐴 значение, равное 𝑎, для 𝐵 – значение, равное 𝑏, и т.д. (другими словами, вероятность того, что состояние обладает интересующим нас свойством), есть
𝑃(𝑎,𝑏,𝑐,…)
=
⎪
⎪
⎪
∫
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
⎪²
⎪
⎪
.
(5.34)
Преобразующие функции. Пусть система заведомо находится в состоянии χ𝑎',𝑏',𝑐',…, т.е. значение переменной 𝐴 равно 𝑎' и т.д. Тогда вероятность того, что в нашем эксперименте система будет обнаружена в состоянии, описываемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…, равна нулю, если не выполнены равенства 𝑎'=𝑎, 𝑏'=𝑏, 𝑐'=𝑐, …. Это значит, что с учётом соответствующих нормирующих множителей
∞
∫
-∞
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
χ
𝑎',𝑏',𝑐',…
(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ(𝑎-𝑎')
δ(𝑏-𝑏')
δ(𝑐-𝑐')
.
(5.35)
Функция χ𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥) представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы в положении 𝑥, если она находится в состоянии, описываемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…. Функция χ*𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥), которую мы назвали характеристической функцией, является амплитудой вероятности обнаружить систему в состоянии, определяемом величинами 𝑎,𝑏,𝑐,…, если известно, что она находится в положении 𝑥.
Пусть мы знаем, что состояние системы описывается функцией 𝑓(𝑥); тогда выражение
𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
=
∞
∫
-∞
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
(5.36)
есть не что иное, как амплитуда вероятности найти систему в состоянии, при котором величина 𝐴 имеет значение 𝑎, величина 𝐵 – значение 𝑏 и т.д.
Величины 𝐸𝑎,𝑏,𝑐,… могут применяться для описания состояний системы с тем же успехом, что и функция 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) Действительно, если мы знаем 𝐹𝑎,𝑏,𝑐,…, то с помощью обратного преобразования можем восстановить и функцию 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…).
Функция 𝐹𝑎,𝑏,𝑐,… называется 𝐴𝐵𝐶…– представлением данного состояния. Примером такого рода может служить импульсное представление, которое мы рассматривали в предыдущем параграфе. Функция 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) является обычным координатным или 𝑥𝑦𝑧…– представлением состояния. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью функций χ и χ*. В частности, χ*𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥,𝑦,𝑧,…)– преобразующая функция перехода от координатного представления к 𝐴𝐵𝐶…-представлению, тогда как χ𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥,𝑦,𝑧,…)– преобразующая функция обратного перехода. Таким образом, преобразование, обратное преобразованию (5.36), имеет вид
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…)
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…
𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥,𝑦,𝑧,…)
.
(5.37)
Это говорит о том, что амплитуда вероятности обнаружить систему в положении 𝑥 равна сумме по всем возможным значениям величин 𝑎,𝑏,𝑐,… произведений двух функций: 𝐸𝑎,𝑏,𝑐,…– амплитуды вероятности обнаружить систему с 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏, … и χ𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥)– амплитуды вероятности обнаружения системы в положении 𝑥 при условии, что 𝐴=𝑎, 𝐵=𝑏, ….
Задача 5.5. Предположим, что функцию 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…) можно записать в виде
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,…)
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…
𝐹'
𝑎,𝑏,𝑐,…
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥,𝑦,𝑧,…)
.
(5.38)
Подставляя это соотношение в формулу (5.36) и используя свойство ортогональности функций χ (5.35), покажите, что
𝐹'
𝑎,𝑏,𝑐,…
=
𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
Задача 5.6. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 – три декартовы компоненты импульса 𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑝𝑧. Каков вид функции χ𝑎,𝑏,𝑐(𝑥,𝑦,𝑧)? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.
Задача 5.7. Предположим, что 𝐴𝐵𝐶…-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам известна функция χ𝑎,𝑏,𝑐,…(𝑥,𝑦,𝑧,…), которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к 𝐴𝐵𝐶…-представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы между импульсным представлением и 𝐴𝐵𝐶…-представлением?
§ 3. Операторы
Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией 𝑓(𝑥), и мы измеряем величину 𝐴; какое среднее значение получится для величины 𝐴 при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом ⟨𝐴⟩.
Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, причём измерение величины 𝐴 даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел 𝑎, измерение величины 𝐴 – некоторое значение 𝑎, …. Вероятность получить определённый набор 𝑎, 𝑏, 𝑐, … равна |𝐹𝑎,𝑏,𝑐,…|², а вероятность получить для величины 𝐴 некоторое значение 𝑎 при любых 𝐵, 𝐶, … (например, вообще не измеряя последние) равна
𝑃(𝑎)
=
∑
𝑎
∑
𝑏
…
|𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
|²
.
(5.39)
Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин 𝑏, 𝑐, … .
Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины 𝐴 получается умножением вероятности (5.39) на величину 𝑎 и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого 𝑎. Таким образом,
⟨𝐴⟩
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…𝑎
|𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
|²
.
(5.40)
Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).
Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины 𝐴 непосредственно с помощью исходной волновой функции 𝑓(𝑥). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции 𝐹𝑎,𝑏,𝑐,… можно записать как
|𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
|²
=
𝐹
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
𝐹
𝑎,𝑏,𝑐,…
.
(5.41)
Используя формулу (5.36), получаем
⟨𝐴⟩
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…𝑎
∞
∫
-∞
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
𝑓*(𝑥)
𝑑𝑥
×
×
∞
∫
-∞
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥')
𝑓(𝑥')
𝑑𝑥'
=
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝑅(𝑥)
𝑑𝑥
.
(5.42)
Во второй строке этого равенства мы обозначили
𝑅(𝑥)
=
∞
∫
-∞
𝐺
𝐴
(𝑥,𝑥')
𝑓(𝑥')
𝑑𝑥'
,
(5.43)
где
𝐺
𝐴
(𝑥,𝑥')
=
∑
𝑎
∑
𝑏
∑
𝑐
…𝑎
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
χ
*
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥')
.
(5.44)
Соотношение (5.43) говорит о том, что функция 𝑅(𝑥) получается из функции 𝑓(𝑥) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине 𝐴 линейного интегрального оператора 𝐺𝐴(𝑥,𝑥'). Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде
𝑅
=
𝒜𝑓
,
(5.45)
где символом 𝒜 обозначен линейный оператор, действующий на функцию 𝑓. В данном случае 𝒜 означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т.е. умножение на функцию 𝐺𝐴 и интегрирование. Оператор 𝒜 сопоставлен физической величине 𝐴. Используя эти обозначения, можно написать
⟨𝐴⟩
=
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝒜𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
=
∞
∫
-∞
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
𝐺
𝐴
(𝑥,𝑥')
𝑓(𝑥')
𝑑𝑥
𝑑𝑥'
.
(5.46)
Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство 𝐺*𝐴(𝑥,𝑥') = 𝐺𝐴(𝑥',𝑥). Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций 𝑔(𝑥) и 𝑓(𝑥), каждая из которых стремится к нулю, когда 𝑥→±∞,
∞
∫
-∞
𝑔*(𝑥)
𝒜𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
[𝒜𝑔(𝑥)]*
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
.
(5.47)
Всякий оператор, подобный 𝒜, для которого имеет место равенство (5.47), называется эрмитовым [ср. равенство (4.30)].
Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид
χ
𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝐫)
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩⋅𝐫
(5.48)
(см. задачу 5.6). В качестве физической величины 𝐴 выберем 𝑥– компоненту импульса 𝑝𝑥. Покажите, что функция 𝐺𝐴 имеет вид
𝐺
𝑝𝑥
(𝑥,𝑥')
=
ℏ
𝑖
δ'(𝑥-𝑥')
δ(𝑦-𝑦')
δ(𝑧-𝑧')
,
(5.49)
где δ'(𝑥)=(𝑑/𝑑𝑥)δ(𝑥). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий 𝑥-компонете импульса, и покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как
⟨𝑝
𝑥
⟩
=
∞
∫
-∞
𝑓*(𝑥)
ℏ
𝑖
∂𝑓
∂𝑥
𝑑𝑥
.
(5.50)
Задача 5.10. Предположим, что величина 𝐴 является пространственной координатой 𝑥. Покажите, что правильная формула для среднего значения 𝑥 получается в том случае, если функция 𝐺𝑥(𝑥,𝑥') выбрана в виде
𝐺
𝑥
(𝑥,𝑥')
=
𝑥
δ(𝑥-𝑥')
δ(𝑦-𝑦')
δ(𝑧-𝑧')
,
(5.51)
а оператор, соответствующий координате 𝑥, представляет собой просто умножение на 𝑥, т.е.
𝓧
𝑓(𝑥)
=
𝑥
𝑓(𝑥)
.
(5.52)
Собственныефункции и собственные значения. Действие оператора 𝒜 на волновые функции χ𝑎,𝑏,𝑐,…, определённые в § 2 гл. 5, имеет очень простой вид:
𝒜
χ𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
=
𝑎
χ𝑎,𝑏,𝑐,…
(𝑥)
.
(5.53)
Задача 5.11. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция χ удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что χ является собственной функцией оператора 𝒜, соответствующей его собственному значению 𝑎.
Если две физические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например 𝒜 и ℬ, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно 𝒜(ℬ𝑓)=ℬ(𝒜𝑓). Это значит, что результат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. Тогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом:
𝒜ℬ
=
ℬ𝒜
Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины 𝐴 и 𝐵 являются измеримыми одновременно; они могут составлять часть набора измеримых величин 𝐴, 𝐵, 𝐶, …, соответствующих одной и той же характеристической функции 𝑎,𝑏,𝑐,…. Если в уравнении (5.53) оператор ℬ поместить перед оператором 𝒜, а величину 𝑏 поставить перед 𝑎, то равенство не нарушится, так что
𝒜(ℬχ)
=
𝒜(𝑏χ)
=
𝑏(𝒜χ)
=
𝑏𝑎χ
=
𝑎𝑏χ
.
(5.54)
Это справедливо, поскольку 𝑎 и 𝑏 – обычные числа, а не операторы. Точно так же
ℬ(𝒜χ)
=
ℬ(𝑎χ)
=
𝑎(ℬχ)
=
𝑎𝑏χ
.
(5.55)
Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов ℬ и 𝒜, когда они действуют на какую-либо из функций χ𝑎,𝑏,𝑐,…. Так как оба эти оператора линейны (т.е. не содержат операций, требующих учёта высших степеней функции χ), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций χ.
Если χ-функции образуют «полный набор» (что является для них типичным), то в общем случае любую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы 𝐴𝐵 и 𝐵𝐴 дают один и тот же результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы 𝐴 и 𝐵 коммутируют.
Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату 𝑥 и 𝑥-компоненту импульса 𝑝𝑥 нельзя измерить одновременно.
Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов 𝒜, ℬ, 𝒞, … уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т.е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений
𝒜χ=𝑎χ
,
ℬχ=𝑏χ
,
𝒞χ=𝑐χ
,
….
(5.56)
Предположим, например, что операторы 𝑥-й, 𝑦-й и 𝑧-й компонент импульса 𝑝𝑥, 𝑝𝑦 и 𝑝𝑧 определены соответственно как [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑥)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑦)], [(ℏ/𝑖)(∂/∂𝑧)]. Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором 𝑝𝑥 имеет значение 𝑎, 𝑝𝑦 – значение 𝑏, а 𝑝𝑧 – значение 𝑐?
(Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, … являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения
-
ℏ
𝑖
∂χ
