Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 25 страниц)

ψ(𝑥)≈

const

(1+τℏ/2𝑚𝑏²)^½

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚𝑥²

2ℏτ

+

𝑚²(𝑥-τ𝑣₀)²

4ℏ²τ²(𝑖𝑚/2ℏτ-1/2𝑚²)

⎤

⎥

⎦

.

(3.37)

Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределённость импульса ℏ/𝑚 стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1/𝑚² можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде

ψ(𝑥)≈

const⋅exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚𝑣₀

ℏ

𝑥-

𝑖𝑚𝑣₀²

2ℏ

τ

⎫

⎪

⎭

.

(3.38)

Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен 𝑝, то амплитуда вероятности достижения ею точки 𝑥 в момент времени 𝑡

ψ(𝑥)≈

const⋅exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑝𝑥-

𝑖

ℏ

𝑝²

2𝑚

𝑡

⎫

⎪

⎭

.

(3.39)

Мы видим, что это волна с определённым волновым числом 𝑘=𝑝/ℏ. Кроме того, она имеет определённую частоту ω=𝑝²/2𝑚ℏ. Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом 𝑝 обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную ℏ, которая, так же как и в классической механике, равна 𝑝²/2𝑚.

Вероятность попадания в какую-либо точку 𝑝, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от 𝑝. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о её положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который даёт нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения её положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2𝑏, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о её скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это ещё одна иллюстрация принципа неопределённости.

§ 3. Результаты в случае щели с резкими краями

От предельного случая вернёмся теперь к случаю, когда ширина щели и квантовомеханическое уширение сравнимы по их величине, а времена и расстояния не слишком велики. Мы уже видели, что гауссова щель приводит к гауссову распределению. Если использовать более реальную щель с резкими краями и вычислить возникающие интегралы Френеля, то распределение вероятности спустя время τ после прохождения щели подобно кривым, изображённым на фиг. 3.6.

Фиг. 3.6. Распределение электронов после прохождения щелей с резкими краями и различной шириной.

В каждом случае вертикальной пунктирной линией показана предсказываемая классической теорией ширина распределения 𝑏₁=𝑏(1+τ/𝑇). Для отношения классической ширины распределения к квантовомеханическому уширению Δ𝑥₁ выбраны три различных значения: 𝑏₁/Δ𝑥₁ = 15 – кривая a; 𝑏₁/Δ𝑥₁ = 1 – кривая б; 𝑏₁/Δ𝑥₁ = ¹/₁₅ – кривая в. В каждом случае распределение простирается за границы классической ширины. Среднеквадратичная ширина распределения приблизительно пропорциональна величине Δ𝑥=[(Δ𝑥₁)²+(𝑏₁)²]^½.

Это распределение выражается формулой

𝑃(𝑥)𝑑𝑥=

𝑚

2πℏ(τ+𝑇)

⎧

⎨

⎩

½[𝐶(𝑢

₁

)-𝐶(𝑢

₂

)]²+

+½[𝑆(𝑢

₁

)-𝑆(𝑢

₂

)]²

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥,

(3.40)

где

𝑢

₁

=

𝑥-τ𝑣₀-𝑏(1+τ/𝑇)

(πℏτ/𝑚)(1+τ/𝑇)

, 𝑢

₂

=

𝑥-τ𝑣₀+𝑏(1+τ/𝑇)

(πℏτ/𝑚)(1+τ/𝑇)

(3.41)

а 𝐶(𝑢) и 𝑆(𝑢) – действительная и мнимая части интегралов Френеля. Первый множитель в этом распределении в точности совпадает с распределением вероятности для свободной частицы, задаваемым выражением (2.6). Остальная часть содержит некоторую комбинацию действительной и мнимой частей интегралов Френеля ¹). Именно эта часть ответственна за многообразие кривых, изображённых на фиг. 3.6.

¹) См. [3], стр. 125.– Прим. ред.

Таким образом, результаты для обеих щелей в общих чертах одинаковы. С наибольшей вероятностью частица находится внутри классической проекции щели. Всё, что вне её – результат квантовомеханического уширения.

Движение частицы сквозь щель рассматривалось нами так, как если бы оно состояло из двух отдельных движений: сначала частица движется к щели, а затем от щели до точки наблюдения. В области щели движение как бы расчленяется. Может возникнуть вопрос, как при таком «разделяющемся на части» движении частица «помнит» свою скорость и в основном сохраняет направление движения, предписываемое классической физикой? Или, другими словами, каким образом уменьшение ширины щели вызывает «потерю памяти», до тех пор пока в пределе все скорости частицы не станут равновероятными?

Чтобы понять это, исследуем амплитуду, описывающую движение к щели. Она в точности равна амплитуде вероятности для свободной частицы, определяемой выражением (3.3), где 𝑥_𝑎=𝑡_𝑎=0, 𝑥_𝑏=𝑥₀+𝑦 и 𝑡_𝑏=𝑇. При смещении поперёк щели (меняется 𝑦) обе части амплитуды, действительная и мнимая, изменяются синусоидально. Как мы уже видели, длина волны этих синусоидальных колебаний тесно связана с импульсом [см. формулу (3.10)]. Последующее движение частицы является, как и в оптике, результатом интерференции этих волн. Эта интерференция конструктивна (т.е. усиливает волны) в основном направлении, предписываемом классической механикой, и, вообще говоря, деструктивна (т.е. гасит их) в других направлениях.

Если на ширине щели укладывается большое число волн, т.е. щель очень широкая, то в результате интерференции возникает довольно острый пик и движение становится почти классическим. Предположим, однако, что щель сделана чрезвычайно узкой и на её ширине не укладывается даже одна волна. Тогда не будет никаких осцилляций, которые приводили бы к интерференции, и информация о скорости частицы теряется. Поэтому в пределе, когда ширина щели стремится к нулю, все скорости частицы становятся равновероятными.

§ 4. Волновая функция

Мы уже построили амплитуду вероятности того, что частица достигнет некоторой определённой точки пространства и времени, тщательно прослеживая её движение, в результате которого она попадает в эту точку. Однако часто бывает полезно рассматривать амплитуду перехода в точку пространства без всякого обсуждения предшествующего движения. Поэтому будем обозначать через ψ(𝑥,𝑡) полную амплитуду вероятности перехода в точку (𝑥,𝑡) из некоторого (возможно, неопределённого) прошлого. Такая амплитуда обладает теми же самыми вероятностными свойствами, что и изученные уже нами амплитуды, т.е. вероятность найти частицу в точке 𝑥 в момент времени 𝑡 равна |ψ(𝑥,𝑡)|² . Эту разновидность амплитуды будем называть волновой функцией. Различие между этой амплитудой и изученными ранее заключается лишь в способе обозначения. Каждому часто приходится слышать: система находится в «состоянии» ψ. Это лишь выражение другими словами того, что система описывается волновой функцией ψ.

Таким образом, ядро 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₁,𝑡₁) = ψ(𝑥₂𝑡₂) фактически представляет собой волновую функцию. Это ядро есть амплитуда вероятности попасть в точку (𝑥₂𝑡₂). Запись 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₁,𝑡₁) содержит больше информации, в частности, указывает, что эта амплитуда соответствует конкретному случаю, когда частица приходит из точки (𝑥₁,𝑡₁). Возможно, для некоторых задач такая информация не представляет интереса, так что сохранять её нет смысла. Тогда мы будем применять для волновой функции обозначение ψ(𝑥₂,𝑡₂).

Так как волновая функция является амплитудой, она удовлетворяет правилам, по которым складываются амплитуды последовательных во времени событий. Так, поскольку соотношение (2.31) справедливо для любых точек (𝑥₁,𝑡₁), волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению

ψ(𝑥

₂

,𝑡

₂

)=

_∞

∫

^-∞

𝐾(𝑥

₂

,𝑡

₂

;𝑥

₃

,𝑡

₃

)

ψ(𝑥

₃

,𝑡

₃

)

𝑑𝑥

₃

.

(3.42)

Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку (𝑥₂,𝑡₂) [т.е. ψ(𝑥₂,𝑡₂)] представляет собой сумму, или интеграл, по всем возможным значениям 𝑥₃ от произведения полной амплитуды перехода в точку (𝑥₃,𝑡₃)[т.е. ψ(𝑥₃,𝑡₃)] на амплитуду перехода из точки 3 в точку 2 [т.е. 𝐾(𝑥₂,𝑡₂;𝑥₃,𝑡₃)]. Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы может быть выражено всего лишь через одну функцию. Даже если бы мы забыли все, что знали о частице, кроме её волновой функции в некоторый определённый момент времени, тем не менее могли бы предсказать все, что будет происходить с этой частицей в дальнейшем. Влияние всей предыдущей истории на будущее Вселенной могло бы быть получено из одной всеобъемлющей волновой функции.

Задача 3.4. Пусть в момент времени 𝑡=0 свободная частица имеет некоторый определённый импульс [т.е. её волновая функция равна 𝐶 exp (𝑖𝑝𝑥/ℏ)]. Покажите с помощью соотношений (3.3) и (3.42), что в некоторый более поздний момент времени частица имеет тот же импульс [т.е. что волновая функция зависит от 𝑥 через экспоненту exp (𝑖𝑝𝑥/ℏ)] и изменяется в зависимости от времени как exp [(-𝑖𝑝²/2𝑚ℏ]. Это означает, что частица обладает определённой энергией 𝑝²/2𝑚.

Задача 3.5. Используя результаты решения задачи (3.2) и соотношение (3.42), покажите, что волновая функция удовлетворяет уравнению

-

ℏ

𝑖

∂ψ

∂𝑡

=-

ℏ²

2𝑚

∂²ψ

∂𝑥²

(3.43)

которое является уравнением Шрёдингера для случая свободной частицы.

§ 5. Интегралы Гаусса

Мы закончили физическую часть данной главы и перейдём теперь к математическим вопросам. Введём дополнительный математический аппарат, который в некоторых случаях поможет нам вычислить сумму по траектории.

Наиболее простыми являются те интегралы по траекториям, в которых показатель экспоненты содержит переменные в степени не выше второй. Мы будем называть такие интегралы гауссовыми. В квантовой механике это соответствует случаю, когда действие 𝑆 является квадратичной формой от траектории 𝑥(𝑡).

Чтобы проиллюстрировать, как действует в этом случае наш метод, рассмотрим частицу, лагранжиан которой имеет вид

𝐿=

𝑎(𝑡)𝑥̇²+

𝑏(𝑡)𝑥̇𝑥+

𝑐(𝑡)𝑥²+

𝑑(𝑡)𝑥̇+

𝑒(𝑡)𝑥+

𝑓(𝑡).

(3.44)

Действие представляет собой интеграл по времени от этой функции между двумя фиксированными конечными точками. Фактически лангранжиан в этой форме является несколько более общим, чем это необходимо. В тех членах, где множитель 𝑥̇ входит линейно, он может быть исключён интегрированием по частям, однако это обстоятельство сейчас для нас несущественно. Мы хотим определить

𝐾(𝑏,𝑎)=

_𝑏

∫

^𝑎

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝒟𝑥(𝑡)

(3.45)

– интеграл по всем траекториям, соединяющим точки (𝑥_𝑎,𝑡_𝑎) и (𝑥_𝑏,𝑡_𝑏).

Конечно, можно выполнить интегрирование по всем этим траекториям тем способом, который был описан вначале, т.е. путём разбиения области интегрирования на короткие временные интервалы и т. д. Пригодность этого способа для вычислений следует из того, что подынтегральное выражение представляет собой экспоненту от квадратичной формы переменных 𝑥̇ и 𝑥. Такие интегралы всегда могут быть вычислены. Однако мы не будем проводить эти утомительные вычисления, так как наиболее важные характеристики ядра 𝐾 можно определить следующим образом.

Пусть 𝑥(𝑡) – классическая траектория между некоторыми фиксированными конечными точками. Это – путь, вдоль которого действие 𝑆 экстремально. В обозначениях, которые мы применяли ранее,

𝑆

_кл

[𝑏,𝑎]

=

𝑆[

𝑥

(𝑡)].

(3.46)

Величину 𝑥 можно выразить через 𝑥 и новую переменную 𝑦

𝑥=

𝑥

+𝑦.

(3.47)

Это означает, что каждая точка на траектории определяется уже не её расстоянием 𝑥(𝑡) от произвольной координатной оси, а отклонением 𝑦(𝑡) от классической траектории, как это показано на фиг. 3.7.

Фиг. 3.7. Разность между классической траекторией 𝑥(𝑡) и одной из альтернативных траекторий 𝑥(𝑡), описываемая функцией 𝑦(𝑡).

Поскольку обе эти траектории должны совпадать в начальной и конечной точках, то 𝑦(𝑡_𝑎) = 𝑦(𝑡_𝑏) = 0. Между этими крайними точками функция 𝑦(𝑡) может иметь любой вид. Так как классическая траектория полностью фиксирована, то любое изменение альтернативной траектории 𝑥(𝑡) эквивалентно соответствующей вариации разностной функции 𝑦(𝑡). Поэтому в интеграле по траекториям дифференциал 𝒟𝑥(𝑡) можно заменить на 𝒟𝑦(𝑡), а траекторию 𝑥(𝑡) – на 𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡).

При интегрировании по траекториям величина 𝑥(𝑡) остаётся в этом случае постоянной. Кроме того, описывающая траекторию новая переменная 𝑦(𝑡) ограничена тем, что в крайних точках она равна нулю. Указанная подстановка приводит к интегралу по траекториям, не зависящему от положения крайних точек 𝑎 и 𝑏.

В каждый момент времени 𝑡 переменные 𝑥 и 𝑦 различаются на постоянную величину 𝑥 (конечно, для разных моментов времени эта постоянная различна). Поэтому 𝑑𝑥_𝑖=𝑑𝑦_𝑖 для каждой выделенной точки 𝑡_𝑖. В общем можно сказать, что 𝒟𝑥(𝑡)=𝒟𝑦(𝑡).

Интеграл действия можно записать в виде

𝑆[𝑥(𝑡)]=

𝑆[

𝑥

(𝑡)+𝑦(𝑡)]=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑎(𝑡)+(

𝑥

̇²+

2

𝑥

̇𝑦̇+

𝑦̇²)+…]𝑑𝑡.

(3.48)

Если сгруппировать все члены, не содержащие 𝑦, то в результате интегрирования получим 𝑆[𝑥(𝑡)]=𝑆_кл. Интеграл от суммы членов, пропорциональных первой степени 𝑦, равен нулю. Это может быть проверено непосредственным интегрированием (для этого требуется выполнить интегрирование по частям), однако такое вычисление не обязательно, так как мы уже знаем, что результат правилен. Действительно, функция 𝑥(𝑡) выбрана таким образом, что вариации траектории в первом порядке вблизи 𝑥(𝑡) не изменяют действие 𝑆. Все, что остаётся, имеет второй порядок по у и легко отделяется, так что можно написать

𝑆[𝑥(𝑡)]=

𝑆

_кл

[𝑏,𝑎]+

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑎(𝑡)𝑦̇²+

𝑏(𝑡)𝑦̇𝑦+

𝑐(𝑡)𝑦²]𝑑𝑡.

(3.49)

Интеграл по траекториям не зависит от вида классической траектории, поэтому ядро можно представить в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

[𝑏,𝑎]

⎫

⎪

⎭

×

×

₀

∫

⁰

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑎(𝑡)𝑦̇²+

𝑏(𝑡)𝑦̇𝑦+

𝑐(𝑡)𝑦²]𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑦(𝑡).

(3.50)

Так как в начальных и конечных точках всех траекторий 𝑦=0, то интеграл по траекториям может быть представлен функцией только от моментов времени в конечных точках. Это означает, что ядро можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)=

𝑒

^{(𝑖/ℏ)𝑆_кл[𝑏,𝑎]}

𝐹(𝑡

_𝑎

,𝑡

_𝑏

),

(3.51)

т.е. оно определяется с точностью до функции, зависящей от 𝑡_𝑎 и 𝑡_𝑏. В частности, его зависимость от пространственных переменных 𝑥_𝑎 и 𝑥_𝑏 оказывается полностью выясненной. Необходимо отметить, что зависимость ядра от коэффициентов при линейных членах 𝑑(𝑡) и 𝑒(𝑡) от свободного члена 𝑓(𝑡) также полностью известна.

Такое положение представляется характерным для различных методов вычисления интегралов по траекториям; при помощи общих приёмов могут быть получены многие результаты, однако оказывается, что часто не удаётся полностью определить экспоненциальный коэффициент. Он должен отыскиваться из других известных свойств решения, например посредством соотношения (2.31).

Интересно отметить, что приближённое выражение 𝐾~exp(𝑖𝑆_кл/ℏ) является точным в случае, когда 𝑆 представляет собой квадратичную форму.

Задача 3.6. Учитывая, что лагранжиан свободной частицы является квадратичной формой, покажите, что

𝐾(𝑏,𝑎)=

𝐹(𝑡

_𝑎

,𝑡

_𝑏

)

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑚(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

2ℏ(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎)

⎤

⎥

⎦

(3.52)

(см. задачу 2.1), и приведите соображения в пользу того, что функция 𝐹 может зависеть только от разности 𝐹=𝐹(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎).

Задача 3.7. Дальнейшая информация о функции 𝐹 может быть получена на основе свойства, выраженного равенством (2.31). Прежде всего заметим, что результаты решения задачи 3.6 позволяют записать функцию 𝐹(𝑡_𝑏-𝑡_𝑎) как 𝐹(𝑡), где 𝑡 – интервал времени (𝑡_𝑏-𝑡_𝑎). Используя это представление функции 𝐹 в выражении (3.52) и подставляя последнее в равенство (2.31), выразите функцию 𝐹(𝑡+𝑠) через 𝐹(𝑡) и 𝐹(𝑠), где 𝑡=𝑡_𝑏-𝑡_𝑐 и 𝑠=𝑡_𝑐-𝑡_𝑎. Покажите, что если функцию 𝐹 записать в виде

𝐹(𝑡)=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑡

⎫½

⎪

⎭

𝑓(𝑡),

(3.53)

то новая функция 𝑓(𝑡) должна удовлетворять уравнению

𝑓(𝑡+𝑠)

=

𝑓(𝑡)𝑓(𝑠).

(3.54)

Это означает, что 𝑓(𝑡) должна иметь вид

𝑓(𝑡)=𝑒

^𝑎𝑡

,

(3.55)

где 𝑎 может быть комплексной величиной, т.е. 𝑎=α+𝑖β. Из изложенных до сих пор принципов трудно получить большую информацию о функции 𝑓(𝑡). Однако специальный выбор нормировочной константы 𝐴, как это указано в (2.21), означает, что в первом приближении по ε функция 𝑓(ε)=1. Это соответствует тому, что величина 𝑎 в выражении (3.55) полагается равной нулю. Окончательный вид функции 𝐹(𝑡) согласуется с выражением (3.3).

Из этого примера ясно, каким образом можно установить важные свойства интегралов по траекториям, даже если подынтегральные выражения являются весьма сложными функциями. Во всех случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой экспоненциальную функцию, зависящую от траектории в степени не выше второго порядка, можно получить полное решение, исключая, может быть, лишь некоторые простые множители. Это остаётся верным независимо от числа переменных. Так, например, интеграл по траекториям вида

_𝑏

∫

^𝑎

_𝑑

∫

^𝑐

…

_𝑙

∫

^𝑘

exp{𝐸[𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),…,𝑧(𝑡)]}

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)…𝒟𝑧(𝑡)

(3.56)

содержит в качестве определяющего сомножителя экспоненту exp (𝐸_кл), где 𝐸_кл – экстремальное значение 𝐸, определяемое граничными условиями. Единственное ограничение состоит в том, что величина 𝐸 является функцией второго порядка от переменных 𝑥, 𝑥 и т.д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содержится в основном в экспоненциальном члене, а не в этом сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.

§ 6. Движение в потенциальном поле

Простое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ. Как мы уже подчёркивали, ядро 𝐾 в этом случае приблизительно пропорционально экспоненте exp (-𝑖𝑆_кл/ℏ). Мы можем теперь математически более строго рассмотреть обоснования такого приближения. Поскольку существенными являются лишь траектории, которые очень близки к классической траектории 𝑥, сделаем подстановку 𝑥=𝑥+𝑦. Тогда, если частица движется в потенциальном поле 𝑉(𝑥), мы можем записать

𝑉(𝑥)=

𝑉(

𝑥

+𝑦)=

𝑉(

𝑥

)+

𝑦𝑉'(

𝑥

)+

𝑦²

2

𝑉''(

𝑥

)+

𝑦³

6

𝑉'''(

𝑥

)+

…,

(3.57)

где штрих обозначает дифференцирование по 𝑥 и все производные вычисляются в точках классической траектории 𝑥. Так как важны лишь малые значения 𝑦, будем предполагать, что 𝑉 – достаточно гладкая функция, так что можно пренебречь членами порядка 𝑦³ и выше. Это означает, что член 𝑦³𝑉''' и все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с удержанными членами.

В этом предположении подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной формы от 𝑦. Действительно, так как вдоль траектории 𝑥 действие 𝑆 экстремально, то

𝑆=𝑆

_кл

+члены второго порядка по 𝑦.

Главный член в окончательном результате равен exp (𝑖𝑆_кл/ℏ) где 𝑆_кл теперь, очевидно, содержит потенциал 𝑉(𝑥) в точках классической траектории. Остающийся интеграл по 𝑦 берётся от точки 0 до точки 0 и имеет тот же вид, что и последний множитель в выражении (3.50). Этот множитель является гладкой функцией, стоящей перед экспонентой exp (𝑖𝑆_кл/ℏ).

Полученный результат справедлив не только в классическом пределе, но и в других случаях. Предположим, например, что потенциал 𝑉 – квадратичная функция 𝑥. Тогда решение является точным, поскольку разложение потенциала 𝑉 в ряд (3.57) не содержит степеней выше второй. Некоторые примеры такого типа даны в задачах. В качестве другого примера предположим, что потенциал 𝑉 – медленно меняющаяся функция. В частности, если третья и более высокие производные крайне малы, то приведённый выше результат является очень хорошим приближением. Этот частный случай в квантовой механике называется ВКБ-приближением ⁴).

⁴) По именам физиков Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна, исследовавших это приближение,– Прим. ред.

Существуют и другие случаи, когда рассматриваемое приближение оказывается хорошим. Предположим, что полное время движения очень мало. Если частица движется по траектории, сильно отличающейся от классической, то она должна иметь очень большую дополнительную скорость (чтобы за указанный интервал времени пройти расстояние от начальной до конечной точки). Добавочная кинетическая энергия пропорциональна квадрату этой большой скорости, а действие содержит член, грубо говоря, пропорциональный произведению кинетической энергии и интервала времени (т.е. пропорциональный квадрату скорости, умноженному на интервал времени). Действие вдоль таких траекторий будет очень большим, и фазы амплитуд вероятности для близлежащих траекторий будут сильно различаться. В этом случае в разложении потенциала 𝑉 снова целесообразно отбросить члены более высокого порядка.

Задача 3.8. Лагранжиан гармонического осциллятора

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²-

𝑚ω²

2

𝑥².

(3.58)

Покажите, что соответствующее ядро равно

𝐾=𝐹(𝑇)=

⎧

⎨

⎩

𝑖𝑚ω

2ℏ sin ω𝑇

[(𝑥

₂

^𝑎

+𝑥

₂

^𝑏

) cos ω𝑇-2𝑥

_𝑎

𝑥

_𝑏

]

⎫

⎬

⎭

,

(3.59)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎 (см. задачу 2.2). Отметим, что вид функции 𝐹(𝑇) полностью не определяется. Его можно найти, исходя из других соображений; в случае гармонического осциллятора он равен

𝐹(𝑇)=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2π𝑖ℏ sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(3.60)

Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле 𝑓, где её лагранжиан равен

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²+𝑓𝑥.

(3.61)

Результат имеет вид

𝐾=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

⎡

⎢

⎣

𝑚(𝑥_𝑏-𝑥_𝑎)²

2𝑇

+½𝑓𝑇(𝑥

_𝑎

+𝑥

_𝑏

)-

𝑓𝑇³

24

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

,

(3.62)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎.

Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом 𝑒 и массой 𝑚 в постоянном внешнем магнитном поле 𝐵, направленном по оси 𝑧,

𝐿=

𝑚

2

(𝑥̇²+𝑦̇²+𝑧̇²)+

𝑒𝐵

2𝑐

(𝑥𝑦̇-𝑦𝑥̇).

(3.63)

Покажите, что соответствующее ядро имеет вид

𝐾=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2π𝑖ℏ𝑇

⎫

⎪

⎭

³/₂

ω𝑇/2

sin ω𝑇/2

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑚ω

2ℏ

⎧

⎨

⎩

(𝑧_𝑏-𝑧_𝑎)²

𝑇

+

+

ω

2

ctg

ω𝑇

2

[(𝑥

_𝑏

–𝑥

_𝑎

)²+

(𝑦

_𝑏

–𝑦

_𝑎

)²]+

ω(𝑥

_𝑎

𝑦

_𝑏

–

𝑥

_𝑏

𝑦

_𝑎

)

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

,

(3.64)

где 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎 и ω=𝑒𝐵/𝑚𝑐.

Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой 𝑓(𝑡). Его лагранжиан

𝐿=

𝑚

2

𝑥̇²-

𝑚ω²

2

𝑥²+

𝑓(𝑡)𝑥.

(3.65)

Покажите, что ядро определяется выражением

𝐾=

⎧

⎪

⎩

𝑚ω

2π𝑖ℏ sin ω𝑇

⎫½

⎪

⎭

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_кл

⎫

⎪

⎭

,

где

𝑆

_кл

=

𝑚ω

2 sin ω𝑇

⎡

⎢

⎣

(cos ω𝑇)(𝑥

₂

^𝑏

+𝑥

₂

^𝑎

)-2𝑥

_𝑏

𝑥

_𝑎

+

+

2𝑥_𝑏

𝑚ω

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑓(𝑡) sin ω(𝑡-𝑡

_𝑎

)𝑑𝑡+

2𝑥_𝑎

𝑚ω

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑓(𝑡) sin ω(𝑡

_𝑏

–𝑡)𝑑𝑡-

-

2

𝑚²ω²

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑡

∫

𝑡_𝑎

𝑓(𝑡)𝑓(𝑠) sin ω

(𝑡

_𝑏

–𝑡) sin ω

(𝑠-𝑡

_𝑎

)

𝑑𝑠𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(3.66)

и 𝑇=𝑡_𝑏-𝑡_𝑎.

Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.

Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при 𝑡=0

ψ(𝑥,0)=exp

⎡

⎢

⎣

–

𝑚ω

2ℏ

(𝑥-𝑎)²

⎤

⎥

⎦

,

(3.67)

то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что

ψ(𝑥,𝑡)=exp

⎧

⎨

⎩

–

𝑖ω𝑇

2

–

𝑚ω

2ℏ

⎡

⎢

⎣

𝑥²-2𝑎𝑥𝑒

^-𝑖ω𝑇

+½𝑎²(1+𝑒

^-2𝑖ω𝑇

)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

(3.68)

и найдите распределение вероятности |ψ|².

§ 7. Системы с многими переменными ¹)

¹) См. работу[4].

Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ 𝑥(𝑡) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.

В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) и 𝑧(𝑡). В частности, для свободной частицы действие равно

𝑚

2

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

[𝑥̇(𝑡)²+

𝑦̇(𝑡)²+

𝑧̇(𝑡)²]

𝑑𝑡.

Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (𝑥_𝑎, 𝑦_𝑎, 𝑧_𝑎) в момент времени 𝑡_𝑎 в конечную точку (𝑥_𝑏, 𝑦_𝑏, 𝑧_𝑏) и момент времени 𝑡_𝑎,

𝐾(

𝑥

_𝑏

, 𝑦

_𝑏

, 𝑧

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝑥

_𝑎

, 𝑦

_𝑎

, 𝑧

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

exp

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑚

2

(𝑥̇²+

𝑦̇²+

𝑧̇²)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)𝒟𝑧(𝑡).

(3.69)

Дифференциал здесь записан в виде 𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑦(𝑡)𝒟𝑧(𝑡). Если время разделено на промежутки ε, то положение частицы в момент времени 𝑡_𝑖 задаётся тремя переменными 𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖, 𝑧_𝑖 и интеграл по переменным 𝑑𝑥_𝑖, 𝑑𝑦_𝑖, 𝑑𝑧_𝑖 для каждого значения 𝑖 имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором 𝑟 в некотором 𝑠-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объёма 𝑑𝑣_𝑖 или 𝑑^𝑠𝑟_𝑖, и произведение дифференциалов для каждого 𝑖 мы можем записать в более общем виде 𝒟^𝑠𝑟_𝑖.

Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель 𝐴 [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на 𝑁 промежутков длительностью ε, то в интеграл должен быть включён множитель 𝐴^-3𝑁.

Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой 𝑚, координата которой 𝑥, а другая система – частицу массой 𝑀 и с координатой 𝑋. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала 𝑉(𝑥,𝑋). Действие в этом случае равно

𝑆[𝑥(𝑡),𝑋(𝑡)]=

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

⎡

⎢

⎣

𝑚

2

𝑥̇²+

𝑀

2

𝑋̇²-

𝑉(𝑥,𝑋)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡,

(3.70)

так что ядро имеет вид

𝐾(

𝑥

_𝑏

, 𝑋

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝑥

_𝑎

, 𝑋

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑆[𝑥(𝑡),𝑋(𝑡)]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑋(𝑡).

(3.71)

Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве 𝑥, 𝑋. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно 𝑥 и 𝑋. Тогда 𝐾 является ядром для перехода частицы массы 𝑚 из пространственно-временной точки (𝑥_𝑎,𝑡_𝑎) в точку (𝑥_𝑏,𝑡_𝑏) и частицы массы 𝑀 из точки (𝑋_𝑎,𝑡_𝑎) в точку (𝑋_𝑏,𝑡_𝑏). Ядро 𝐾 равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым 𝑥 и 𝑋), равна экспоненте 𝑒^𝑖𝑆/ℏ, где 𝑆 – действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных 𝑥 и 𝑋, и интеграл берётся по обеим этим функциям.

§ 8. Системы с разделяющимися переменными

Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор 𝐱 – совокупность координат одной частицы, а вектор 𝐗 – совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:

𝑆[𝐱,𝐗]=

𝑆

_𝑥

[𝐱]+

𝑆

_𝑋

[𝐗],

(3.72)

где в 𝑆_𝑥 входят только траектории 𝐱(𝑡), а в 𝑆_𝑋 – только траектории 𝐗(𝑡). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.

При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от 𝐱, и другого, зависящего только от 𝐗:

𝐾(

𝐱

_𝑏

, 𝐗

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝐱

_𝑎

, 𝐗

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

{𝑆

_𝑥

[𝐱]+𝑆

_𝑋

[𝐗]}

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟³𝐱(𝑡)𝒟³𝐗(𝑡)=

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_𝑥

[𝐱]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐱(𝑡)

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑆

_𝑋

[𝐗]

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝐗(𝑡)=

=

𝐾

_𝑥

(

𝐱

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝐱

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

)

𝐾

_𝑋

(

𝐗

_𝑏

, 𝑡

_𝑏

;

𝐗

_𝑎

, 𝑡

_𝑎

).

(3.73)

Ядро 𝐾_𝑥 здесь вычисляется так же, как если бы имелась только одна частица с координатой 𝐱, и аналогичным образом определяется ядро 𝐾_𝑋. Таким образом, в случае двух независимых невзаимодействующих систем амплитуда вероятности события с участием обеих систем представляет собой произведение двух не связанных друг с другом ядер. Они-то и являются теми ядрами, которые указывают на вклад этих частиц в полное событие.

В случае нескольких частиц волновая функция ψ(𝐱,𝐗,…,𝑡) определяется прямо по аналогии с соответствующим ядром и интерпретируется как амплитуда вероятности того, что в момент времени 𝑡 одна частица находится в точке 𝑥, другая – в точке 𝐗 и т.д. Квадрат модуля этой волновой функции представляет собой вероятность того, что одна частица находится в точке 𝐱, другая—в точке 𝐗 и т. д. Соотношение (3.42), справедливое в одномерном случае, можно сразу же обобщить:

ψ(𝐱,𝐗,…,𝑡)

=

∫∫

𝐾

(𝐱,𝐗,…,𝑡;𝐱',𝐗',…,𝑡')×

×

ψ(𝐱',𝐗',…,𝑡')

𝑑𝐱'

𝑑𝐗'

,

(3.74)

где 𝑑𝐱' – произведение стольких дифференциалов, сколько координат имеет пространство 𝐱'.

Как уже упоминалось выше, в случае двух независимых частиц, описываемых совокупностями координат 𝐱 и 𝐗, ядро 𝐾 является произведением двух функций, одна из которых зависит от 𝐱 и 𝑡, а другая же – от 𝐗 и 𝑡. Тем не менее это вовсе не означает, что волновая функция ψ вообще есть такое произведение. В частном случае, когда в некоторый определённый момент времени ψ является произведением функции от 𝐱 на функцию от 𝐗, т.е. ψ=𝑓(𝐱)𝑔(𝐗), то она останется таковой и всегда. Поскольку ядро 𝐾 описывает независимое движение двух частиц, то каждый сомножитель будет изменяться, как и в случае одной отдельной подсистемы. Однако это лишь особый случай. Независимость частиц в настоящий момент вовсе не означает, что они всегда должны быть таковыми. В прошлом могло иметь место какое-то взаимодействие, которое приводило бы к тому, что функция ψ уже не будет простым произведением.

Если даже в первоначальной системе координат действие 𝑆 и не оказывается простой суммой, то часто имеется некоторое преобразование (как, например, переход в систему центра масс и выделение внутренних координат), которое разделит переменные. Поскольку в квантовой механике действие используется в том же самом виде, что и в классической физике, то любое преобразование, разделяющее переменные в классической системе, разделит их и в соответствующей квантовомеханической системе. Таким образом, часть огромного аппарата классической физики можно непосредственно использовать и в квантовой механике. Такие преобразования очень важны, так как иметь дело с системой нескольких переменных трудно. Разделение переменных позволяет свести сложную задачу к ряду более простых.

§ 9. Интеграл по траекториям как функционал

Если задача описывается более чем одной переменной и если разделить эти переменные невозможно, то анализ обычно становится очень трудным. Ниже мы рассмотрим приближённые методы, применяемые в этом случае; сейчас же изложим один очень сильный метод, который иногда удаётся применить. Рассмотрим ядро, заданное выражением (3.71). Более подробно его можно записать как

𝐾(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

_𝑎

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡+

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑀

2

𝑋̇²

𝑑𝑡+

+

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑉(𝑥,𝑋,𝑡)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑥(𝑡)𝒟𝑋(𝑡).

(3.75)

Предположим, что мы сначала выполнили интегрирование по траекториям 𝑋(𝑡). Результат формально можно записать в виде

𝐾(𝑏,𝑎)

=

_𝑏

∫

_𝑎

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑚

2

𝑥̇²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝑇[𝑥(𝑡)]𝒟𝑥(𝑡),

(3.76)

где

𝑇[𝑥(𝑡)]

_𝑏

∫

_𝑎

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

ℏ

𝑡_𝑏

∫

𝑡_𝑎

𝑀

2

𝑋̇²+

𝑉(𝑥,𝑋,𝑡)

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑡𝒟𝑋(𝑡).

(3.77)

Полученные выражения интерпретируются следующим образом. Интегрирование по всем траекториям, возможным для частицы 𝑋, даёт функционал 𝑇. Функционал является числом и его величина зависит от вида всей функции. Например, ограниченная кривой площадь 𝐴=∫𝑓(𝑦)𝑑𝑦 является функционалом этой кривой. Для того чтобы найти эту площадь, необходимо задать функцию (кривую). Функционал мы записываем в виде 𝐴[𝑓(𝑦)], чтобы показать, что 𝐴 зависит от функции 𝑓(𝑦). Мы не пишем 𝐴(𝑓(𝑦)), поскольку под такой записью можно понимать функцию от функции, т.е. считать, что 𝐴 зависит только от того, какое значение принимает 𝑓 в некоторой определённой точке 𝑦. Это не тот случай. Величина 𝐴[𝑓(𝑦)] зависит от вида всей функции 𝑓(𝑦), но не зависит непосредственно от 𝑦.