Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 7 (всего у книги 25 страниц)
Задача 4.8. Покажите, что когда оператор 𝐻 эрмитов, то собственное значение 𝐸 вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) 𝑓=𝑔=φ1].
Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор 𝐻 эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите 𝑓=φ2, 𝑔=φ1].
Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней 𝐸𝑛, не только ортогональны, но также и нормированы т.е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям 𝑥 равен единице:
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑥)
φ
𝑚
(𝑥)
𝑑𝑥
=
δ
𝑛𝑚
,
(4.47)
где δ𝑛𝑚 – символ Кронекера, определяемый равенствами δ𝑛𝑚=0, если 𝑛≠𝑚, и δ𝑛𝑛=1. Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шрёдингера:
𝑓(𝑥)=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
φ
𝑛
(𝑥).
(4.48)
Коэффициенты 𝑎𝑛 легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряжённые функции φ*2(𝑥) и интегрируя по 𝑥, получаем
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
∞
∫
-∞
φ
*
𝑚
φ
𝑛
𝑑𝑥
=
𝑎
𝑚
(4.49)
и, следовательно,
𝑎
𝑛
=
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑥)𝑓(𝑥)
𝑑𝑥.
(4.50)
Таким образом мы получили тождество
𝑓(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑦)𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
≡
∞
∫
-∞
⎡
⎢
⎣
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦)
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦.
(4.51)
Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения δ-функции:
δ(𝑥-𝑦)=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦).
(4.52)
Ядро 𝐾 можно выразить через функции φ𝑛 и значения энергии 𝐸𝑛. Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени 𝑡2, если она нам известна в момент времени 𝑡1. Так как она является решением уравнения Шрёдингера, то при любом 𝑡 её, как и всякое его решение, можно записать в виде
ψ(𝑥,𝑡)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡
φ
𝑛
(𝑥).
(4.53)
Но в момент времени 𝑡1
𝑓(𝑥)
=
ψ(𝑥,𝑡
1
)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
φ
𝑛
(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
(𝑥)
φ
𝑛
(𝑥)
,
(4.54)
поскольку мы всегда можем представить 𝑓(𝑥) в виде ряда (4.48). Отсюда следует, что
𝑐
𝑛
=
𝑎
𝑛
𝑒
+(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡1
.
(4.55)
Подставив это в выражение (4.53), будем иметь
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑐
𝑛
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐸𝑛𝑡2
φ
𝑛
(𝑥)
=
∞
∑
𝑛=1
𝑎
𝑛
exp
⎡
⎢
⎣
+
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
1
–𝑡
2
)
⎤
⎥
⎦
φ
𝑛
(𝑥).
(4.56)
Используя теперь для коэффициентов 𝑎𝑛 выражение (4.50), получаем
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
–𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
∞
∫
-∞
φ
*
𝑛
(𝑦)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
=
=
∞
∫
-∞
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥)
φ
*
𝑛
(𝑦)
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
–𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
.
(4.57)
Эта формула выражает волновую функцию в момент времени 𝑡2 через волновую функцию 𝑓(𝑥), относящуюся к моменту времени 𝑡1. Ранее мы выражали это соотношением
ψ(𝑥,𝑡
2
)
=
∞
∫
-∞
𝐾(𝑥,𝑡
2
;𝑦,𝑡
1
)
𝑓(𝑦)
𝑑𝑦
.
(4.58)
Сравнивая его с предыдущим, мы окончательно получаем искомое выражение для ядра 𝐾(2,1):
𝐾(𝑥
2
,𝑡
2
;𝑥
1
,𝑡
1
)
=
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∞
∑
𝑛=1
φ
𝑛
(𝑥
2
)
φ
*
𝑛
(𝑥
1
)
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
𝐸
𝑛
(𝑡
2
–𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
,
если 𝑡
2
> 𝑡
1
,
0,
если 𝑡
2
< 𝑡
1
.
(4.59)
Задача 4.10. Проверьте, что ядро 𝐾 определённое соотношением (4.59), удовлетворяет уравнению Шрёдингера.
Представление ядра 𝐾 в виде (4.59) оказывается очень полезным при переходе к более привычным изложениям квантовой механики. Ядро, определённое ранее как интеграл по траекториям, выражено здесь лишь через решения дифференциального уравнения (4.42).
Задача 4.11. Покажите, что в трёхмерном случае частные решения уравнения для свободных частиц
φ
𝑝
=
𝑒
(𝑖/ℏ)𝐩⋅𝐫
(4.60)
соответствуют энергии 𝐸𝑝=𝑝²/2𝑚. Докажите свойство ортогональности, рассматривая в качестве индекса 𝑛 вектор 𝐩, т.е. докажите, что для 𝐩≠𝐩'
𝐫
∫
φ
*
𝑝
φ
𝑝'
𝑑³𝐫=0
даже если 𝐸
𝑝
=𝐸
𝑝'
.
(4.61)
В этом случае ядром, описывающим движение свободной частицы, будет выражение
𝐾
0
(𝐫
2
,𝑡
2
;𝐫
1
,𝑡
1
)
=
∑
𝐩
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
𝐩⋅(𝐫
2
–𝐫
1
)
⎤
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖𝑝²(𝑡1-𝑡1)
2ℏ𝑚
⎤
⎥
⎦
.
(4.62)
Так как векторы 𝐩 составляют континуум, сумма по «индексам» 𝐩 фактически эквивалентна интегралу по всем значениям 𝐩, т.е.
∑
𝐩
( )
=
𝐩
∫
( )
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(4.63)
Ядро для случая свободной частицы запишется как
𝐾
0
(𝐫
2
,𝑡
2
;𝐫
1
,𝑡
1
)
=
𝐩
∫
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
𝐩⋅(𝐫
2
–𝐫
1
)
⎤
⎥
⎦
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖𝑝²(𝑡1-𝑡1)
2ℏ𝑚
⎤
⎥
⎦
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(4.64)
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т.е. представляет собой трёхмерное обобщение выражения (3.3)].
§ 3. Нормировка волновых функций свободной частицы
Вывод формулы для ядра в случае свободной частицы, приведённый в задаче 4.11, неудовлетворителен по двум причинам, которые связаны между собой. Во-первых, понятие суммы по различным состояниям 𝑛, использованной в выражении (4.62), не удовлетворительно, если состояния принадлежат непрерывному спектру, что имеет место в случае свободной частицы. Во-вторых, волновые функции для свободных частиц [плоские волны], хотя и являются ортогональными, однако не могут быть нормированы, так как
∞
∫
-∞
φ*φ
𝑑𝑥
=
∞
∫
-∞
1
𝑑𝑥
=∞
и не выполнено условие равенства (4.47), которое применялось при выводе выражения (4.62). Оба эти пункта можно одновременно исправить чисто математическим путём. Возвратимся к разложению произвольной функции по собственным функциям φ𝑛:
𝑓(𝑥)
=
∑
𝑛
𝑎
𝑛
φ
𝑛
(𝑥)
(4.65)
и учтём, что все или часть состояний могут принадлежать к непрерывному спектру, так что часть суммы по 𝑛 следует заменить интегралом. Можно математически строго получить корректное выражение для ядра 𝐾, аналогичное выражению (4.62), но применимое также и в том случае, когда состояния находятся в непрерывной части спектра.
Нормировка на конечный объём. Многие физики предпочитают другой, менее строгий подход. То, что они делают, заключается в некоторой модификации исходной задачи, причём результаты (в их физическом смысле) изменятся несущественно, однако все состояния оказываются дискретными по энергии и поэтому все разложения принимают вид простых сумм. В нашем примере этого можно достичь следующим образом. Мы рассматриваем амплитуду вероятности перехода из точки (𝑥1,𝑡1) в точку (𝑥2,𝑡2) за конечное время. Если эти две точки находятся на некотором конечном расстоянии друг от друга и разделяющий их промежуток времени не слишком велик, то в амплитуде заведомо не будет сколько-нибудь заметных различий от того, является ли электрон действительно свободным или предполагается помещённым в какой-то очень большой ящик объёмом 𝑉 со стенками, расположенными очень далеко от точек 𝑥1 и 𝑥2. Если бы частица могла достичь стенок и вернуться назад за время 𝑡2-𝑡1, это могло бы сказаться на амплитуде; но если стенки достаточно удалены, то они никак не повлияют на амплитуду.
Конечно, это предположение может стать неверным при некотором специальном выборе стенок; например, если точка 𝑥2 будет находиться в фокусе волн, вышедших из точки 𝑥1 и отражённых от стенок. Иногда по инерции допускают ошибку, заменяя систему, находящуюся в свободном пространстве, системой, расположенной в центре большой сферы. Тот факт, что система остаётся точно в центре идеальной сферы, может давать некий эффект (подобно появлению светлого пятна в центре тени от совершенно круглого предмета), который не исчезает, даже если радиус сферы стремится к бесконечности. Влияние поверхности было бы пренебрежимо малым в случае стенок другой формы или для системы, смещённой относительно центра этой сферы.
Рассмотрим сначала одномерный случай. Волновые функции, зависящие от координаты, имеют вид 𝑒𝑖𝑝𝑥, где 𝑥 принимает оба знака. Какой вид будут иметь функции φ, если область изменения 𝑥 ограничить произвольным интервалом от -𝐿/2 до 𝐿/2? Ответ зависит от граничных условий, определяющих значения φ в точках 𝑥=-𝐿/2 и 𝑥=𝐿/2. Простейшими с физической точки зрения являются граничные условия в случае стенок, создающих для частицы сильный отталкивающий потенциал, ограничивая тем самым область её движения (т.е. при идеальном отражении). В этом случае в точках 𝑥=-𝐿/2 и 𝑥=𝐿/2 φ(𝑥)=0. Решениями волнового уравнения
-
ℏ²
2𝑚
∂²φ
∂𝑥²
=
𝐸φ,
(4.66)
соответствующими энергии 𝐸=𝑝²/2𝑚=ℏ²𝑘²/2𝑚 в области |𝑥|<𝐿/2, будут экспоненты 𝑒𝑖𝑘𝑥 и 𝑒-𝑖𝑘𝑥 или любая их линейная комбинация. Как 𝑒𝑖𝑘𝑥, так и 𝑒-𝑖𝑘𝑥 не удовлетворяют выбранным граничным условиям, однако при 𝑘=𝑛π𝐿 (где 𝑛 – целое число) требуемыми свойствами обладает в случае нечётного 𝑛 их полусумма (т.е. cos 𝑘𝑥), а в случае чётного 𝑛 – делённая на 𝑖 их полуразность (т.е. sin 𝑘𝑥), как это схематически изображено на фиг. 4.1. Таким образом, волновые функции состояний имеют вид синусов и косинусов, а соответствующие им энергетические уровни дискретны и не составляют континуума.
Фиг. 4.1. Вид одномерных волновых функций, нормированных в ящике.
Показаны первые четыре из них. Энергии соответствующих уровней равны 𝐸1=ℏ²π²/2𝑚𝐿², 𝐸2=4𝐸1, 𝐸3=9𝐸1 и 𝐸4=16𝐸1. Абсолютное значение энергии, которое зависит от размеров нашего фиктивного ящика, несущественно для большинства реальных задач. То, что действительно имеет значение, – это соотношение между энергиями различных состояний.
Если решения записать в виде √2/𝐿 cos 𝑘𝑥 и √2/𝐿 sin 𝑘𝑥, то они будут нормированы, поскольку
𝐿/2
∫
𝐿/2
⎧
⎪
⎩
(2/𝐿)
½
cos 𝑘𝑥
⎫²
⎪
⎭
𝑑𝑥
=1.
(4,67)
Сумма по всем состояниям является суммой по 𝑛. Если мы рассмотрим, например, синусоидальные волновые функции (т.е. чётные значения 𝑛), то при небольших значениях 𝑥 и очень большой величине 𝐿 (стенки далеки от интересующей нас точки) соседние по номерам 𝑛 функции различаются весьма незначительно. Их разность
√
2/𝐿
⎡
⎢
⎣
sin 2π(𝑛+1)
𝑥
𝐿
–sin 2π𝑛
𝑥
𝐿
⎤
⎥
⎦
=
=2
√
2/𝐿
cos 2π
2𝑛+1
2
𝑥
𝐿
sin 2π
𝑥
2𝐿
≈
≈
√
2/𝐿
2π𝑥
𝐿
cos 2π
⎧
⎪
⎩
𝑛+
1
2
⎫
⎪
⎭
𝑥
𝐿
(4.68)
приблизительно пропорциональна малой величине 𝑥/𝐿. Поэтому сумму по 𝑛 можно заменить интегралом по 𝑘=2π𝑛/𝐿. Так как допустимые значения 𝑛 расположены последовательно с интервалом 2π/𝐿, в промежутке Δ𝑛 расположено 𝐿/2πΔ𝑛 состояний. Все это применимо также и к состояниям с косинусоидальной волновой функцией, поэтому во всех наших формулах мы можем заменить суммы интегралами
∞
∑
𝑛=0
( )→
∞
∫
0
( )
𝑑𝑛
2π
𝐿,
(4.69)
не забывая, что в конце нужно сложить результаты для обоих типов волновых функций, а именно √2/𝐿 cos 𝑘𝑥 и √2/𝐿 sin 𝑘𝑥.
Часто бывает неудобным использовать в качестве волновых функций sin 𝑘𝑥 и cos 𝑘𝑥, и более предпочтительными являются их линейные комбинации
𝑒
𝑖𝑘𝑥
=
cos 𝑘𝑥
+𝑖
sin 𝑘𝑥
и
𝑒
-𝑖𝑘𝑥
=
cos 𝑘𝑥
–𝑖
sin 𝑘𝑥
.
Однако, вводя ограниченный объём 𝑉, мы вынуждены использовать синусы и косинусы, а не их линейные комбинации, потому что при заданном значении 𝑘 решением будет лишь одна из этих функций, а не обе сразу. Но если пренебречь малыми погрешностями, являющимися следствием таких небольших различий в значениях 𝑘, то мы можем рассчитывать на получение правильных результатов и с этими новыми линейными комбинациями. После нормировки они принимают вид √1/𝐿𝑒𝑖𝑘𝑥 и √1/𝐿𝑒-𝑖𝑘𝑥. Поскольку волну 𝑒-𝑖𝑘𝑥 можно рассматривать как волну 𝑒𝑖𝑘𝑥, но с отрицательным значением 𝑘, наша новая процедура, включая объединение двух типов волновых функций, сводится к следующему практическому правилу: взять волновые функции свободной частицы 𝑒𝑖𝑘𝑥, нормировать их на отрезке длины 𝐿 изменения переменной (т.е. положить φ=√1/𝐿𝑒𝑖𝑘𝑥) и заменить суммы по состояниям интегралами по переменной 𝑘 таким образом, чтобы число состояний со значениями 𝑘, заключённых в интервале (𝑘,𝑘+𝑑𝑘), было равно 𝐿𝑑𝑘/2π, а само 𝑘 изменялось от -∞ до +∞.
Периодические граничные условия. Иногда подобный экскурс к косинусам и синусам, а затем обратно к экспонентам удаётся обойти с помощью следующего довода. Так как введение стенки является искусственным приёмом, то её конкретное положение и соответствующее граничное условие не должны иметь какого-нибудь физического значения, если только стенка достаточно удалена. Поэтому вместо физически простых условий φ=0 мы можем использовать другие, решениями для которых сразу окажутся экспоненты 𝑒𝑖𝑘𝑥. Таковыми условиями являются
φ
⎧
⎪
⎩
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
=φ
⎧
⎪
⎩
–
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
(4.70)
и
φ'
⎧
⎪
⎩
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
=φ'
⎧
⎪
⎩
–
𝐿
2
⎫
⎪
⎭
(4.71)
Их называют периодическими граничными условиями, потому что требование периодичности φ(𝑥) с периодом 𝐿 во всем пространстве привело бы к тем же самым условиям. Легко проверить, что функции √1/𝐿𝑒𝑖𝑘𝑥 являются нормированными на отрезке 𝐿 решениями при условии, что 𝑘=2π𝑛/𝐿, где 𝑛 – любое целое (положительное или отрицательное) число или нуль. Отсюда непосредственно следует правило, сформулированное выше.
Что происходит в случае трёх измерений, мы можем понять, если рассмотрим прямоугольный ящик со сторонами, равными 𝐿𝑥, 𝐿𝑦, 𝐿𝑧. Используем периодические граничные условия, т.е. потребуем, чтобы значения волновой функции и её первой производной на одной грани ящика были симметрично равны их значениям на противоположной грани. Нормированная волновая функция свободной частицы будет представлять собой произведение
√
1/𝐿
𝑥
𝑒
𝑖𝑘𝑥𝑥
√
1/𝐿
𝑦
𝑒
𝑖𝑘𝑦𝑦
√
1/𝐿
𝑧
𝑒
𝑖𝑘𝑧𝑧
=
1
𝑉½
𝑒
𝑖𝐤⋅𝐫
,
(4.72)
где 𝑉=𝐿𝑥𝐿𝑦𝐿𝑧 – объём ящика, и допустимыми значениями будут 𝑘𝑥=2π𝑛𝑥/𝐿𝑥, 𝑘𝑦=2π𝑛𝑦/𝐿𝑦 и 𝑘𝑧=2π𝑛𝑧/𝐿𝑧 (𝑛𝑥, 𝑛𝑦, 𝑛𝑧 – целые числа). Кроме того, число решений со значениями 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧, лежащими соответственно в интервалах 𝑑𝑘𝑥, 𝑑𝑘𝑦, 𝑑𝑘𝑧, равно произведению
𝑑𝑘𝑥
2π
𝐿
𝑥
𝑑𝑘𝑦
2π
𝐿
𝑦
𝑑𝑘𝑧
2π
𝐿
𝑧
=
𝑑³𝐤
(2π)³
𝑉.
(4.73)
Другими словами, мы использовали плоские волны, нормированные в объёме 𝑉. Число состояний в объёме 𝑑³𝐤 (дифференциальном объёме 𝐤-пространства) равно 𝑉𝑑³𝐤/(2π)³.
Применим это к задаче 4.11 и вспомним установленную в § 1 гл. 3 связь между импульсом и волновым числом 𝑝=ℏ𝑘. В выражении (4.64) мы должны сделать два изменения. Во-первых, поскольку волновыми функциями у нас были exp[(𝑖𝐩⋅𝐫)/ℏ], в то время как теперь мы должны использовать √1/𝑉exp[(𝑖𝐩⋅𝐫)/ℏ], нужно ввести добавочный множитель 1/𝑉. [Выражение (4.64) содержит произведение двух волновых функций.) Во-вторых, символ суммы
∑
𝐩
( )
надо заменить на интеграл 𝑉∫( )𝑑³𝐩/(2πℏ)³. Все это оправдывает то, что было проделано в § 2 гл. 4, а также результаты вывода в задаче 4.11.
Следует отметить, что множители 𝑉 сокращаются, как это и должно быть, так как при 𝑉→∞ ядро 𝐾 не должно зависеть от размера ящика.
Некоторые замечания о математической строгости. У читателя при виде того, как в конце вычислений объём 𝑉 сокращается, может возникнуть одна из двух реакций: либо удовлетворение от того, что он сокращается, как это и должно быть, поскольку стенки ни на что не влияют, либо недоумение, почему все делается так нестрого, «грязно» и запутанно, с помощью стенок, которые не имеют никакого реального смысла, и т. д., когда все это можно было бы выполнить намного изящнее и математически строже без всяких стенок и тому подобных вещей. Тип такой реакции зависит от того, мыслите ли вы физически или же математически. По поводу математической строгости в физике между математиками и физиками возникает много недоразумений, поэтому, быть может, уместно дать оценку каждому методу: рассуждениям с ящиком и математически строгому рассмотрению.
Здесь, конечно, содержится более тривиальный вопрос: какой метод для нас более привычен, т.е. требует минимума новых знаний? Прежде чем подсчитывать число различных состояний в ящике, большинство физиков думали прежде всего именно об этом.
Наряду с этим математически строгое решение может быть нестрогим с физической точки зрения; иначе говоря, возможно, что ящик существует на самом деле. Им может быть не обязательно прямоугольный ящик, ведь не часто оказывается, что эксперименты ставят под звёздами; чаще их проводят в комнате. Хотя физически представляется вполне разумным, что стенки не должны влиять на опыт, тем не менее такую постановку задачи надо рассматривать как идеализацию. Удаление стенок на бесконечность ничем не лучше, чем замена их достаточно далёкими идеальными зеркалами. В первом случае математическая строгость также нарушается, поскольку реальные стенки находятся не на бесконечности.
Подход с привлечением удалённых стенок справедлив и строг настолько же, насколько оправдан. Он обладает несколькими преимуществами. Например, когда объём в заключительных формулах сокращается, мы видим, что несуществен по крайней мере один из аспектов идеализации – насколько стенки удалены. Этот результат интуитивно ещё более убеждает нас в том, что истинное расположение реальной окружающей обстановки может быть несущественным. Наконец, полученная формула очень полезна, когда мы действительно имеем случай конечных размеров. Например, в гл. 8 мы воспользуемся ею, чтобы подсчитать число различных звуковых волн в большом блоке вещества прямоугольной формы.
С другой стороны, преимуществом математически строгого подхода является упразднение в сущности ненужной детали, которая не входит в результат. Хотя введение стенок позволяет кое-что узнать о том, почему же они все-таки ни на что не влияют, тем не менее можно убедиться в справедливости этого, не вникая при этом в детали.
Задача о нормировке волновых функций представляет собой довольно частный пример, но он иллюстрирует главное. Физик не может понять осторожности, проявляемой математиком при решении идеализированной физической задачи. Он знает, что реальная задача намного сложнее. Она уже упрощена с помощью интуиции, которая отбрасывает несущественное и аппроксимирует то, что остаётся.
Глава 5
ИЗМЕРЕНИЯ И ОПЕРАТОРЫ
До сих пор мы описывали квантовомеханические системы таким образом, как если бы собирались измерять лишь пространственные координаты и время. Все измерения в квантовомеханических системах можно действительно свести в сущности лишь к определению положений и моментов времени (например, к определению положения стрелки измерительного прибора или времени пролёта частицы). Поэтому теория, сформулированная на основе понятий, соответствующих пространственно-временным измерениям, будет в принципе достаточно полной для того, чтобы описывать все явления. Тем не менее имеет смысл попытаться непосредственно выяснить вопрос, касающийся, скажем, измерения импульса, не требуя при этом, чтобы окончательное показание прибора сводилось к измерению положений, и не рассматривая в деталях, какие именно части прибора измеряют импульс. Поэтому в данной главе мы не будем концентрировать наше внимание на амплитуде вероятности измерения пространственных координат, а вместо этого рассмотрим амплитуду вероятности найти определённое значение импульса, энергии или какой-либо другой физической величины.
В § 1 этой главы мы покажем, как можно описать квантовомеханическую систему, используя понятия импульса и энергии. Далее, в § 2 мы расширим рассмотрение, что позволит нам в общем случае исследовать квантовомеханическую систему в различных представлениях. Преобразующие функции, которые позволяют переходить от одного представления к другому, имеют много интересных свойств. Среди них понятие оператора, которое было введено в гл. 4 и будет обсуждаться далее в § 3.
§ 1. Импульсное представление
Амплитуда вероятности в импульсном пространстве. Выше мы пользовались понятием вероятности, имея в виду определение положения частицы; теперь допустим, что мы хотим измерить её импульс. Спрашивается, существует ли такая амплитуда вероятности φ(𝑝), квадрат модуля которой даёт вероятность 𝑃(𝑝) того, что импульс частицы при измерении окажется равным 𝑝
Такая амплитуда действительно есть, и мы легко можем её найти. Некоторые способы измерения импульса (или других физических величин) соответствуют измерениям пространственных координат, и, следовательно, они могут быть изучены, если мы знаем, как анализировать измерения координат. Так, например, ограничиваясь одномерным случаем, предположим, что частица при 𝑡=0 находится в области ±𝑏 около начала координат оси 𝑥. Неопределённость 𝑏 может быть сколь угодно большой, оставаясь, однако, конечной. Мы можем измерить импульс такой частицы, пользуясь измерением времени её пролёта, т.е. мы можем пронаблюдать, насколько переместилась частица за время 𝑡=𝑇 (предполагая отсутствие сил). Если новое положение частицы есть 𝑥, то её скорость равна 𝑥/𝑇, а импульс 𝑝=𝑚𝑥/𝑇. Ошибку такого измерения импульса ±𝑚𝑏/𝑇 можно сделать сколь угодно малой, если время 𝑇 выбрать соответственно достаточно большим.
Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность 𝑃(𝑝), определяемую в таком эксперименте. 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 – вероятность того, что значение импульса находится между 𝑝 и 𝑝+𝑑𝑝, равна вероятности 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени 𝑇 будет находиться между точками 𝑥+𝑑𝑥. Конечно, это обусловлено тем, что импульс 𝑝 связан с координатой 𝑥 равенством 𝑝=𝑚𝑥/𝑇. Допустим, что волновая функция частицы в момент времени 𝑡=0 имеет вид 𝑓(𝑦), и наша задача заключается в том, чтобы выразить вероятность 𝑃(𝑝) непосредственно через волновую функцию 𝑓(𝑦).
Амплитуда вероятности того, что частица придёт в точку 𝑥 в момент времени 𝑡=𝑇, равна
ψ(𝑥,𝑡)
=
∞
∫
-∞
𝐾
0
(𝑥,𝑇;𝑦,0)
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
.
(5.1)
После подстановки ядра 𝐾0, описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид
ψ(𝑥,𝑡)
=
⎧
⎪
⎩
𝑚
2π𝑖ℏ𝑇
⎫½
⎪
⎭
exp
𝑖𝑚𝑥²
2ℏ𝑇
∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
exp
–𝑖𝑚𝑥𝑦
ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
exp
𝑖𝑚𝑦²
2ℏ𝑇
⎫
⎪
⎭
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
.
(5.2)
Квадрат модуля амплитуды ψ(𝑥,𝑇) даёт вероятность нахождения частицы между точками 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥. В соответствии с нашим определением это совпадает (в пределе 𝑇→∞) с вероятностью того, что величина импульса частицы лежит между 𝑝 и 𝑝+𝑑𝑝:
𝑃(𝑥)𝑑𝑥
=
𝑚𝑑𝑥
2πℏ𝑇
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑚
2ℏ𝑇
(𝑦²-2𝑥𝑦)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
⎪²
⎪
⎪
=
𝑃(𝑝)𝑑𝑝
(5.3)
при 𝑇→∞. Подстановка 𝑝=𝑚𝑥𝑇 с учётом предельного перехода к большим 𝑇 приводит к выражению
𝑃(𝑝)𝑑𝑝
=
𝑑𝑝
2πℏ
⎪
⎪
⎪
∞
∫
-∞
⎡
⎢
⎣
exp
⎧
⎪
⎩
𝑖𝑚𝑦²
2ℏ𝑇
–
𝑖𝑝𝑦
ℏ
⎫
⎪
⎭
⎤
⎥
⎦
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
⎪²
⎪
⎪
.
(5.4)
Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области ±𝑏 – около начала координат. Это означает, что начальная волновая функция 𝑓(𝑦) спадает до нуля для значений 𝑦, больших по абсолютной величине, чем 𝑏. Далее, при возрастании 𝑇 величина 𝑖𝑚𝑏²/2ℏ𝑇 становится пренебрежимо малой. Так как значения 𝑦, большие по абсолютной величине, чем 𝑏, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 будет приближённо равна произведению 𝑑𝑝/2πℏ на квадрат модуля амплитуды 1)
φ(𝑝)
=
+∞
∫
-∞
exp
⎧
⎪
⎩
-𝑖𝑝𝑦
ℏ
⎫
⎪
⎭
𝑓(𝑦)𝑑𝑦
.
(5.5)
1) Многие авторы предпочитают включать множитель 1/2πℏ в определение амплитуды ψ(𝑝), куда он входит как 1/√2πℏ Однако, следуя изложенному в § 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при этом помнить, что элемент объёма в импульсном пространстве у нас всегда включает в себя множитель 1/2πℏ для каждой степени свободы. Например, элемент объёма в трёхмерном импульсном пространстве равен 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.
Несколько другая интерпретация этого результата даётся на фиг. 5.1 и 5.2.
Фиг. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно.
В точке 𝑥 в интервале времени 𝑇 она является произведением двух функций. Одна из них 𝑓(𝑦) – амплитуда вероятности того, что частица начинает движение из некоторой точки 𝑦 как это показано пунктирной линией. Вторая – ядро для свободной частицы 𝐾(𝑥,𝑇;𝑦,0) – является амплитудой перехода из точки 𝑦 в точку 𝑥; она представлена синусоидой с медленно изменяющейся длиной волны. Конечное положение 𝑥 мы рассматриваем здесь как начальную точку изменения этой функции, в то время как 𝑦 у нас – переменная величина. Если расстояние точки 𝑥 от начала координат значительно больше расстояния между точками -𝑏 и +𝑏, где функция 𝑓(𝑦) не равна нулю, то длина волны остаётся практически постоянной.
Приближённо её можно записать в виде exp[(-𝑖/ℏ)(𝑚𝑥/𝑇)𝑦] В окончательном выражении для амплитуды вероятности достижения частицей точки 𝑥 эти функции перемножаются и произведение их интегрируется по 𝑦. Так как все частицы проходят примерно одинаковое расстояние за одно и то же время 𝑇 (опять-таки в предположении 𝑥≫𝑏), это выражение совпадает с амплитудой вероятности того, что импульс частиц равен 𝑝=(𝑚𝑥/𝑇).
Фиг. 5.2. Случай периодической амплитуды.
Если приближённо амплитуду 𝑓(𝑦) считать периодической функцией с такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра 𝐾, как показано на фиг. а, то интеграл от произведения этих двух функций становится очень большим. Это означает, что с большой вероятностью импульс равен 𝑚𝑥/𝑇.
Если, с другой стороны, предположить, что длины волн различаются на некоторую новую функцию 𝑓'(𝑦) как показано на фиг. б, то после перемножения вклады в интеграл от различных значений 𝑦 будут взаимно уничтожаться. Вероятность того, что импульс равен 𝑚𝑥/𝑇, в этом случае мала.
Если выбрать, как это показано на фиг. в, другое конечное положение 𝑥' то в область (-𝑏,𝑏) попадёт совсем другая часть кривой 𝐾. При подходящем выборе 𝑥' длина волны, соответствующая этой части кривой 𝐾 совпадает с длиной волны для функции 𝑓'(𝑦) и величина вероятности в этом случае снова возрастает. Другими словами, частицы с большой вероятностью будут иметь новое значение импульса 𝑝=𝑚𝑥'/𝑇.
Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трёхмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде
φ(𝐩)
=
𝐫
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
(𝐩⋅𝐫)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
𝑓(𝐫)𝑑³𝐫
.
(5.6)
Здесь уже предполагается, что волновая функция 𝑓(𝐫) определена во всех точках трёхмерного координатного пространства. Амплитуда φ(𝐩) представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡=0. (Заметим, что эта амплитуда не определена для момента времени 𝑡=𝑇.) Временной интервал 𝑇 обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при этом величины амплитуды в импульсном пространстве. Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный на элемент объёма пространства импульсов, даёт вероятность нахождения импульса в трёхмерном интервале импульсного пространства 𝑑³𝐩/(2πℏ)³.
Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролёта. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов. Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины – импульса. Если они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправностью одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролёта является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса 𝑃(𝑝)𝑑𝑝 тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии 𝑓(𝑦). Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс 𝑝, одно и то же выражение φ(𝑝) с точностью до несущественной фазовой постоянной (т.е. с точностью до множителя 𝑒𝑖δ, где δ = const). Возьмём, например, следующую задачу.
Задача 5.1. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат.
Переход к импульсному представлению. Мы называли ψ(𝐑,𝑡) амплитудой вероятности того, что частица находится в точке 𝐑 в момент времени 𝑡. Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид
φ(𝐩,𝑡)
=
𝐑
∫
⎧
⎨
⎩
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖
ℏ
(𝐩⋅𝐑)
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
ψ(𝐑,𝑡)
𝑑³𝐑
.
(5.7)
Будем называть её амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс 𝐩 в момент времени 𝑡. Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием
ψ(𝐑,𝑡)
=
𝐩
∫
⎡
⎢
⎣
exp
𝑖
ℏ
(𝐩⋅𝐑)
⎤
⎥
⎦
φ(𝐩,𝑡)
𝑑³𝐩
(2πℏ)³
.
(5.8)
Эту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке 𝐑, представляется в виде суммы по всем возможным альтернативам. В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них – амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен 𝐩, т.е. амплитуда ψ(𝐩). Другой – экспонента exp(𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен 𝐩, то частица находится в точке 𝐑. Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3.
Заметим, что в преобразовании (5.7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом, как это делалось в § 3 гл. 4.
Следовательно, exp(-𝑖𝐩⋅𝐑/ℏ) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке 𝐑, то её импульс равен 𝐩.
Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. § 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени 𝑡2, если известна волновая функция для более раннего момента времени 𝑡1 а именно
ψ(𝐑
2
,𝑡
2
)
=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐑1
∫
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
ψ(𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑑³𝐑
1
𝑑𝑡
1
.
(5.9)
Существует также выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени 𝑡2 окажется выраженной через амплитуду, относящуюся к более раннему моменту времени 𝑡1:
φ(𝐩
2
,𝑡
2
)
=
𝑡2
∫
𝑡1
𝐩1
∫
𝒦(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
φ(𝐩
1
,𝑡
1
)
𝑑³𝐩1
(2πℏ)³
𝑑𝑡
1
.
(5.10)
Подставив в соотношение (5.9) значение ψ(𝐑1,𝑡1) из формулы (5.8) и выполнив, как это указано в (5.57), преобразование Фурье от функции ψ(𝐑2,𝑡2) к φ(𝐩2,𝑡2), мы выразим ядро в импульсном представлении через его значение в координатном представлении
𝒦(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
=
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝐾(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑒
+(𝑖/ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
.
(5.11)
Например, ядро, описывающее движение свободной частицы в импульсном пространстве, имеет вид
𝒦
0
(𝐩
2
,𝑡
2
;𝐩
1
,𝑡
1
)
=
=
𝐑1
∫
𝐑2
∫
𝑒
-(𝑖/ℏ)𝐩2⋅𝐑2
𝐾
0
(𝐑
2
,𝑡
2
;𝐑
1
,𝑡
1
)
𝑒
(𝑖ℏ)𝐩1⋅𝐑1
𝑑³𝐑
1
𝑑³𝐑
2
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(2πℏ)³δ³
(𝐩
1
–𝐩
2
)
exp
⎡
⎢
⎣
–
𝑖|𝐩1|²
2ℏ𝑚
(𝑡
2
–𝑡
1
)
⎤
⎥
⎦
при
𝑡
2
>𝑡
1
,
0
при
𝑡
2
<𝑡
1
.
(5.12)
