Текст книги "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
Автор книги: Ричард Фейнман
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 3 (всего у книги 25 страниц)
Фиг. 1.10. Число отверстий стремится к бесконечности.
В экранах, расположенных на расстояниях 𝑦𝐷 и 𝑦𝐸 от экрана 𝐴, проделывается все большее и большее число отверстий. В конце концов экраны полностью заполняются отверстиями, и получается непрерывная область точек вверх и вниз от центров экранов, в которых электрон может пересекать линию экрана. В этом случае сумма альтернатив превращается в двойной интеграл по непрерывным параметрам 𝑥𝐷 и 𝑥𝐸 – альтернативным высотам, на которых электрон пересекает экраны.
Следующий шаг, очевидно, состоит в размещении между источником и отверстиями все большего и большего числа экранов, причём каждый из них должен сплошь покрываться отверстиями. Продолжая этот процесс, мы будем все более уточнять траекторию электрона, пока, наконец, не придём к вполне разумному выводу, что траектория является просто определённой функцией высоты от расстояния, т.е. 𝑥=𝑥(𝑦). При этом мы должны применять принцип суперпозиции до тех пор, пока не получим интеграл от амплитуды по всем траекториям.
Теперь можно дать значительно более точное описание движения. Мы можем не только представить себе определённую траекторию 𝑥=𝑥(𝑦) в пространстве, но и точно указать момент времени, в который проходится каждая пространственная точка. Следовательно, траектория (в нашем двумерном случае) будет задана, если известны две функции: 𝑥(𝑡) и 𝑦(𝑡). Таким образом, мы приходим к представлению об амплитуде, соответствующей определённой траектории 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡). Полная амплитуда вероятности попадания в конечную точку представляет собой сумму или интеграл от этой амплитуды по всем возможным траекториям.
Задаче более точного математического определения такого понятия суммы или интеграла по всем траекториям будет посвящена гл. 2.
Там же мы получим выражение амплитуды вероятности для любой заданной траектории. После того как это выражение найдено, законы нерелятивистской квантовой механики оказываются полностью установленными и останется лишь продемонстрировать их применение в ряде интересных специальных случаев.
§ 5. Над чем ещё следует подумать
Мы увидим, что в квантовой механике амплитуды φ являются решениями строго детерминистского уравнения, уравнения Шрёдингера в том смысле, что если амплитуда φ известна в момент времени 𝑡 = 0, то мы будем знать её и во все последующие моменты времени. Истолкование же |φ|² как вероятности события – индетерминистское. Оно означает, что нельзя точно предсказать результат эксперимента. Весьма примечательно, что такое истолкование не приводит к каким-либо внутренним противоречиям. Это было показано Гейзенбергом, Бором, Борном, Нейманом и многими другими физиками на примере огромного количества частных случаев. Однако, несмотря на все эти исследования, нельзя считать доказанным, что такие противоречия никогда не смогут возникнуть. По этой причине квантовая механика кажется новичку трудной и до некоторой степени таинственной дисциплиной. Тайна постепенно уменьшается по мере того, как разбирается все большее число примеров, но никогда не исчезает полностью ощущение, что у этого предмета есть что-то необычное.
Существует несколько проблем, связанных с интерпретацией, над которыми можно было бы ещё поработать. Эти проблемы трудно изложить, пока они ещё полностью не разработаны. Одна из них – это доказать, что вероятностная интерпретация функции φ является единственной последовательной интерпретацией этой величины. Мы и наши измерительные средства составляем часть природы и, следовательно, должны в принципе описываться функцией, удовлетворяющей детерминистскому уравнению. Почему же мы можем предсказать лишь вероятность того, что данный эксперимент приведёт к некоторому определённому результату? Откуда возникает неопределённость? Почти нет сомнения, что она возникает из необходимости усиливать эффекты одиночных атомных событий до уровня, доступного наблюдению с помощью больших систем. Детали же должны изучаться только на основе предположения, что |φ|² есть вероятность, а последовательность этой гипотезы уже доказана. Было бы интересно показать, что нельзя предложить никакого другого последовательного истолкования этой величины.
Другие вопросы, которые можно было бы изучать, связаны с теорией познания. На первый взгляд кажется, что в нашем описании мира нет симметрии по оси времени, и наше знание прошлого качественно отличается от знания будущего. Почему нам доступна только вероятность будущего события, в то время как достоверность прошедшего события часто может считаться очевидной? Эти вопросы следует проанализировать более тщательно. Впрочем, чтобы внести ясность, может быть, стоит сказать несколько больше. Видимо, здесь мы снова сталкиваемся с последствиями макроскопических размеров нас самих и наших приборов. На самом деле не должно быть обычного разделения на наблюдаемого и наблюдателя, применяемого нами сейчас при анализе измерений в квантовой механике; этот вопрос требует обстоятельного изучения. Что, по-видимому, действительно нужно,– это статистическая механика макроскопических приборов, усиливающих изучаемый эффект.
В сущности изучение таких вопросов представляет собой предмет философии; для дальнейшего развития физики в нем нет необходимости. Мы знаем, что у нас есть последовательная интерпретация функции φ и что она, почти несомненно, является единственной. Задачей сегодняшнего дня представляется открытие законов, описывающих поведение функции φ в случае явлений с участием мезонов и атомных ядер. Интерпретация функции φ представляет интерес, однако значительно более интригующим, является вопрос: какие изменения в наших представлениях потребуются для того, чтобы мы смогли изучать явления внутриядерных масштабов?
§ 6. Цель этой книги
Выше мы установили форму, в которой следует выражать законы квантовой механики, т.е. ввели амплитуду вероятности и в общих чертах наметили путь к её вычислению. Однако возможны и другие формулировки. При более привычном подходе к квантовой механике амплитуду вероятности вычисляют, решая волновое уравнение определённого типа. В случае частиц с малой скоростью оно называется уравнением Шрёдингера. Более точным уравнением, справедливым и для тех электронов, чья скорость сколь угодно близка к скорости света, является уравнение Дирака. В этом случае амплитуда вероятности представляет собой некоторое гиперкомплексное число. В нашей книге мы не будем рассматривать уравнение Дирака и не будем также исследовать эффекты, связанные со спином. Вместо этого ограничим своё внимание электронами низких энергий и немного продвинемся в направлении квантовой электродинамики путём изучения фотонов – частиц, поведение которых определяется уравнениями Максвелла.
Правила вычисления амплитуды вероятности для нерелятивистских задач мы выводим в этой книге несколько непривычным способом. Иногда, особенно при первом знакомстве с основами квантовой механики, этот способ может быть более предпочтителен; в других же случаях, например при выполнении расчётов в простых задачах и при изучении уже имеющейся литературы, он не даёт преимуществ.
Традиционному подходу, основанному на уравнении Шрёдингера, посвящено уже много книг; взгляды же, которые будут изложены ниже, представлены лишь в сокращённом виде в нескольких журнальных статьях [1]. Главная цель нашей книги – собрать работы, выполненные в этом направлении, в один том, где их можно изложить достаточно ясно и подробно. Такая книга оказалась бы полезной для студентов, интересующихся этими вопросами.
Чтобы остаться в разумных границах, мы не будем делать полного построения квантовой механики. Вместо этого всякий раз, когда дальнейшее разъяснение лучше всего было бы проводить с помощью обычных аргументов, имеющихся в других книгах, мы будем отсылать читателя к этим источникам. Вследствие такой неполноты наша книга не является замкнутым учебником по квантовой механике. Она может служить лишь введением в её основные понятия и должна использоваться совместно с другой книгой, где излагались бы уравнение Шрёдингера, матричная механика и различные приложения квантовой механики.
С другой стороны, освободившееся место мы используем для рассмотрения приложений применяемых в квантовой механике математических методов к другим областям физики.
Отыскание строгого метода вычисления амплитуд вероятностей процессов с участием таких (представляющихся сейчас более сложными) частиц, как нуклоны и мезоны, является задачей будущего. Конечно, можно надеяться, что после открытия неизвестных нам ещё законов мы получим возможность вычислять амплитуды для любых процессов. Однако сегодняшняя ситуация, видимо, не аналогична той, которая предшествовала появлению квантовой механики.
В двадцатые годы многие предполагали, что неправильными являются фундаментальные теоремы и концепции классической механики, поскольку в то время существовало много парадоксов. Общие законы могли быть получены независимо от рассматривавшихся конкретных сил. Некоторые из этих законов оказались несправедливыми. Например, каждая спектральная линия указывала на наличие в атоме отдельной степени свободы; при температуре 𝑇 каждая такая степень свободы должна была бы иметь энергию 𝑘𝑇 и вносить вклад 𝑅 в общую удельную теплоёмкость. Однако столь высокая удельная теплоёмкость, которую можно было ожидать в соответствии с огромным числом известных спектральных линий, на опыте не проявлялась.
В настоящее время представляется правильной любая общая закономерность, которую (как, например, свойства углового момента) мы в состоянии вывести непосредственно из принципа суперпозиции амплитуд вероятности. В то же время детали взаимодействий все ещё ускользают от нас. Это наводит на мысль, что амплитуды вероятности будут существовать и в будущей теории, однако метод их вычисления может оказаться для нас весьма необычным.
Глава 2
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ
В этой главе мы намерены завершить построение нерелятивистской квантовой механики, начатое нами в гл. 1. Мы уже отметили, что для каждой траектории существует своя амплитуда вероятности; теперь мы установим вид этой амплитуды. Для простоты ограничимся пока случаем одномерного движения частицы. Пусть её положение в любой момент времени 𝑡 может быть определено координатой 𝑥; под траекторией будем понимать тогда функцию 𝑥(𝑡).
Если частица в начальный момент времени 𝑡𝑎 начинает движение из точки 𝑥𝑎 и приходит в конечную точку 𝑥𝑏 в момент времени 𝑡𝑏, то будем просто говорить, что частица движется из 𝑎 в 𝑏, а функция 𝑥(𝑡) обладает свойством 𝑥(𝑡𝑎) = 𝑥𝑎, 𝑥(𝑡𝑏) = 𝑥𝑏.
Тогда в квантовомеханическом описании получим амплитуду вероятности перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏, называемую обычно ядром, которую обозначим через 𝐾(𝑏,𝑎). Эта амплитуда будет суммой вкладов от всех возможных траекторий между точками 𝑎 и 𝑏 в противоположность классической механике, где две точки соединяет одна и только одна так называемая классическая траектория. Последнюю будем обозначать как 𝑥(𝑡). Прежде чем перейти к формулировке законов для квантовомеханического случая, вспомним ситуацию, которая имеет место в классической механике.
§ 1. Действие в классической механике
Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определённую траекторию 𝑥(𝑡), является принцип наименьшего действия. Допустим, что существует некоторая величина 𝑆, которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория 𝑥 – это та, для которой 𝑆 принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия; иными словами, значение 𝑆 в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории 𝑥(𝑡).
Величина 𝑆 задаётся выражением
𝑆=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐿
(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡
(2.1)
где 𝐿 – лагранжиан системы. Для частицы с массой 𝑚, движущейся в потенциальном поле 𝑉(𝑥,𝑡), которое является функцией координаты и времени, лагранжиан запишется как
𝐿=
𝑚
2
𝑥̇²-𝑉(𝑥,𝑡)
(2.2)
Вид экстремальной траектории 𝑥(𝑡) находится с помощью обычных вариационных методов. Допустим, например, что траектория отличается от 𝑥 на величину δ𝑥(𝑡). Условие того, что конечные точки траектории 𝑥 фиксированы, требует, чтобы
δ𝑥(𝑡
𝑎
)=
δ𝑥(𝑡
𝑏
)=0.
(2.3)
Условие экстремальности для 𝑆, соответствующего классической траектории 𝑥, означает, что
δ𝑆=𝑆[
𝑥
+δ𝑥]-
𝑆[
𝑥
]=0
(2.4)
с точностью до первого порядка малости по δ𝑥. Используя определение (2.1), мы можем далее написать
𝑆[𝑥+δ𝑥]
=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐿(𝑥̇+δ𝑥̇,𝑥+δ𝑥,𝑡)𝑑𝑡=
=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
⎡
⎢
⎣
𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)+δ𝑥̇
∂𝐿
∂𝑥̇
+δ𝑥
∂𝐿
∂𝑥
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡=
=
𝑆[𝑥]+
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
⎧
⎪
⎩
δ𝑥̇
∂𝐿
∂𝑥̇
+δ𝑥
∂𝐿
∂𝑥
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑡.
(2.5)
После интегрирования по частям вариация 𝑆 примет вид
δ𝑆=δ𝑥
∂𝐿
∂𝑥̇
⎢
⎢
⎢
𝑡𝑏
𝑡𝑎
–
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
δ𝑥
⎡
⎢
⎣
𝑑
𝑑𝑡
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
–
∂𝐿
∂𝑥
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑡.
(2.6)
Так как на концах траектории δ𝑥 = 0, то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках δ𝑥 может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значение 𝑆 отвечает той траектории, в каждой точке которой всегда выполнено равенство
𝑑
𝑑𝑡
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
–
∂𝐿
∂𝑥
=0.
(2.7)
Это и есть классическое уравнение движения в лагранжевой форме.
В классической механике важен вид интеграла 𝑆=∫𝐿𝑑𝑡, а не его экстремальное значение 𝑆кл. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие 𝑆 для всего семейства близколежащих траекторий.
В квантовой механике важны как сам вид интеграла 𝑆, так и его значение в точке экстремума. Вычислим экстремальное значение 𝑆 для нескольких случаев.
Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы,
𝑆
кл
=
𝑚
2
(𝑥𝑏-𝑥𝑎)²
𝑡𝑏-𝑡𝑎
(2.8)
Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора 𝐿=(𝑚/2)(𝑥̇²-ω𝑥²). Покажите, что классическое действие
𝑆
кл
=
𝑚ω
2sin ω𝑇
⎡
⎢
⎣
(𝑥
2
𝑎
+𝑥
2
𝑏
) cos ω𝑇-2𝑥
𝑎
𝑥
𝑏
⎤
⎥
⎦
(2.9)
где 𝑇=𝑡𝑏-𝑡𝑎.
Задача 2.3. Вычислите 𝑆кл для частицы, на которую действует постоянная сила 𝐹, т.е. когда лагранжиан 𝐿=𝑚𝑥̇²/2-𝐿𝑥.
Задача 2.4. В классической механике импульс
𝑝=
∂𝐿
∂𝑥̇
.
(2.10)
Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
𝑥=𝑥𝑎
=
∂𝑆кл
∂𝑥𝑎
.
(2.11)
Замечание. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках.
Задача 2.5. Энергия в классической механике определяется выражением
𝐸=𝐿-𝑥̇𝑝.
(2.12)
Покажите, что в конечной точке траектории энергия равна
𝐸(𝑥
𝑏
)-𝑥̇
𝑏
⎧
⎪
⎩
∂𝐿
∂𝑥̇
⎫
⎪
⎭
𝑥=𝑥𝑏
=
∂𝑆кл
∂𝑡𝑏
.
(2.13)
Замечание. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими.
§ 2. Квантовомеханическая амплитуда вероятности
Теперь мы можем сформулировать квантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности. Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию 𝑆 для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия ℏ. Таким образом, подводим итог: вероятность 𝑃(𝑏,𝑎) перехода частицы из точки 𝑥𝑎, где она находилась в момент времени 𝑡𝑎, в точку 𝑥𝑏, соответствующую моменту времени 𝑡𝑏, равна квадрату модуля амплитуды перехода 𝑃(𝑏,𝑎)=|𝐾(𝑏,𝑎)|². Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов φ[𝑥(𝑡)] от каждой траектории в отдельности, т.е.
𝐾(𝑏,𝑎)=
∑
φ[𝑥(𝑡)]
по всем
возможным
переходам
из 𝑎 в 𝑏
(2.14)
где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки 𝑎 и 𝑏. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию 𝑆:
φ[𝑥(𝑡)]=const⋅𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑥(𝑡)]
(2.15)
Действие 𝑆 здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выражение (2.1)]. Константу можно, выбрать из соображений удобства нормировки величины 𝐾; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, что понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2.14).
§ 3. Классический предел
Прежде чем перейти к более строгому рассмотрению, сравним наше квантовое правило с классическим. С первого взгляда остаётся совершенно неясным, каким образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лишь одна траектория, тогда как из выражения (2.15) следует, что все траектории вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя и с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, интервалы времени и другие параметры системы настолько велики, что действие 𝑆 во много раз превосходит постоянную ℏ= 1,05⋅10-27 эрг⋅сек. В этом случае фаза 𝑆/ℏ каждого парциального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (или мнимая) часть функции φ равна косинусу (или синусу) этого угла и в равной степени может оказаться как положительной, так и отрицательной. Если теперь, как показано на фиг. 2.1, мы сдвинем траекторию на малую величину δ𝑥 (малую в смысле классических масштабов), то изменение действия 𝑆 также будет небольшим в классическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной ℏ. Эти небольшие изменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что её косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория даёт положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), даёт такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.
Фиг.2.1. Классическая траектория 1 [𝑥=𝑥(𝑡)].
Это такая траектория, для которой интеграл действия 𝑆 принимает минимальное значение. Если эта траектория изменяется на величину δ𝑥(𝑡) (траектория 2), то в первом приближении по δ𝑥 интеграл не претерпевает никаких изменений. Это и определяет уравнение движения.
В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки 𝑎 в точку 𝑏 равна сумме амплитуд, соответствующих всем возможным траекториям. Амплитуда вероятности для заданной траектории, т.е. 𝑒𝑖𝑆/ℏ, имеет фазу, пропорциональную действию. Если действие очень велико по сравнению с постоянной Планка ℏ то для близлежащих траекторий, таких, как 3 и 4, оно лишь незначительно отличается по своей величине, однако вследствие малости постоянной ℏ различие в фазах в этих случаях будет очень большим. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаются. Только в непосредственной близости к классической траектории 𝑥(𝑡), где варьирование траекторий лишь незначительно изменяет действие 𝑆, близлежащие траектории, такие, как 1 и 2, дают вклады с одинаковыми фазами, которые вследствие интерференции усиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т.е. необходимость рассмотрения только одной траектории 𝑥(𝑡), справедливо, когда действие 𝑆 очень велико по сравнению с постоянной ℏ.
Поэтому данную траекторию можно фактически не учитывать, если соседние с ней имеют различное действие, поскольку их вклады взаимно уничтожаются. Однако у некоторой траектории 𝑥, для которой действие экстремально, небольшие изменения δ𝑥 (во всяком случае, в первом приближении) не меняют величины 𝑆. Все вклады от траекторий, находящихся в этой области, близки по фазе, которая равна здесь 𝑆кл/ℏ, и взаимно не уничтожаются. Следовательно, существенный вклад мы можем получить лишь в окрестности траектории 𝑥 и в классическом приближении должны рассматривать только эту траекторию как единственно важную. Именно так классические законы движения получаются из квантовых законов.
Можно здесь же отметить, что траектории, которые не совпадают с 𝑥, дают вклад лишь в той области, где действие 𝑆 отличается от 𝑆кл/ℏ на величину порядка ℏ. Классическая траектория в этой небольшой области остаётся неопределённой, что и ограничивает точность, с которой она выделяется.
Рассмотрим теперь зависимость фазы от положения конечной точки (𝑥𝑏,𝑡𝑏). Если мы немного сместим эту точку, то фаза изменится очень сильно, что приведёт к быстрым изменениям ядра 𝐾(𝑏,𝑎). Будем под «гладкой функцией» понимать функцию вида 𝑆кл/ℏ, которая заметно меняется лишь при значительных изменениях аргумента. В этом смысле амплитуде 𝐾(𝑎,𝑏) весьма далеко до гладкости. Однако приведённые соображения показывают, что в классическом приближении она имеет вид
𝐾(𝑏,𝑎)=«гладкая функция» • 𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆кл
.
(2.16)
Все эти нестрогие рассуждения допустимы лишь в тех случаях, для которых мы можем ожидать применимости классической физики (𝑆 ≫ ℏ). Однако на атомном уровне действие 𝑆 может быть сравнимо с величиной ℏ, и тогда в выражении (2.14) должны учитываться все траектории. В этом случае не существует какой-либо траектории, имеющей преимущественное значение, и, конечно, выражение (2.16) не обязательно является хорошим приближением. Для того чтобы рассматривать подобные случаи, необходимо найти способ вычисления сумм, аналогичных выражению (2.14).
§ 4. Сумма по траекториям
Аналогия с интегралом Римана. Хотя качественно идея суммирования вкладов от всех траекторий вполне ясна, необходимо все же дать математически более строгое определение этой суммы. Множество траекторий содержит бесконечное количество элементов и не ясно, какая мера может быть сопоставлена пространству траекторий. Математическое определение такой меры и является целью этого параграфа. Как окажется далее, это определение довольно неудобно для конкретных вычислений. В последующих главах будут описаны другие, более эффективные способы вычисления суммы по траекториям. Что касается данной главы, то можно надеяться, что математические трудности, или скорее отсутствие изящества в изложении, не отвлекут читателя от физического содержания излагаемых понятий.
Начнём с рассмотрения обычного интеграла Римана. Допустим (очень грубо), что площадь 𝐴 под кривой равна сумме всех её ординат; лучше было бы сказать, что она пропорциональна этой сумме. Чтобы уточнить приведённое утверждение, поступим следующим образом: выберем какое-нибудь подмножество ординат (например, ординаты в точках 𝑥𝑖 разделённых равными отрезками длины 𝘩). Складывая эти ординаты, получаем
𝐴∼
∑
ƒ(𝑥
𝑖
),
𝑖
(2.17)
где суммирование проводится по конечному числу точек 𝑥𝑖 как показано на фиг. 2.2.
Фиг. 2.2. Определение интеграла.
При построении обычного риманова интеграла набор ординат проводится от оси абсцисс до рассматриваемой кривой. Расстояние между ординатами равно 𝘩. Интеграл (площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс) аппроксимируется произведением величины 𝘩 на сумму ординат. Это приближённое выражение стремится к точному значению при 𝘩→0.
Аналогичное определение может быть использовано для интегралов по траекториям. Мера, устремляемая к нулю в предельном процессе, равна интервалу времени ε, разделяющему дискретные точки на траекториях.
Следующий шаг состоит в определении площади 𝐴 как предела этой суммы, когда подмножество точек 𝑥𝑖 (а следовательно, и выбранное подмножество ординат) становится более плотным или, точнее, когда подмножество становится более полным представлением плотного множества, поскольку конечное множество никогда не является какой-либо измеримой частью бесконечного континуума 1). Мы можем перейти к пределу обычным способом, непрерывно уменьшая величину 𝘩. Однако, поступая таким образом, мы получили бы различные суммы для разных значений 𝘩, и в этом процессе никакого предела не существовало бы. Чтобы получить искомый предел, необходимо выбрать некоторый нормирующий множитель, который должен зависеть от 𝘩. Для интеграла Римана, очевидно, таким множителем является сама величина 𝘩. В этом случае предел существует, и мы можем написать выражение
1) Это утверждение следует понимать в том смысле, что конечное множество всегда имеет меру нуль независимо от того, какую меру имеет содержащее его бесконечное, континуальное множество.– Прим. ред.
𝐴=
lim
𝘩→0
⎡
⎢
⎣
𝘩
∑
𝑖
ƒ(𝑥
𝑖
)
⎤
⎥
⎦
(2.18)
Построение суммы. При определении суммы по траекториям мы можем поступить аналогичным образом. Во-первых, выберем некоторое подмножество траекторий. Чтобы сделать это, разобьём область изменения независимой переменной (времени) на интервалы длиной ε. Это даст нам в интервале от 𝑡𝑎 до 𝑡𝑏 набор моментов 𝑡𝑖 (разделённых ε-отрезками), каждому из которых поставили в соответствие точку 𝑥𝑖. Соединяя все полученные точки отрезками прямых линий, мы получаем траекторию. Сумму по всем найденным таким образом траекториям можно определить, вычислив кратный интеграл по всем значениям 𝑥𝑖 (𝑖=1,2,… 𝑁-1):
𝑁
ε
=
𝑡
𝑏
–𝑡
𝑎
,
ε
=
𝑡
𝑖+1
–𝑡
𝑖
,
𝑡
0
=
𝑡
𝑎
, 𝑡
𝑁
=𝑡
𝑏
,
𝑥
0
=
𝑥
𝑎
, 𝑥
𝑁
=𝑥
𝑏
.
(2.19)
В результате получим выражение
𝐾(𝑏,𝑎)∼
∫∫
…
∫
φ[𝑥(𝑡)]𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
2
…𝑑𝑥
𝑁-1
.
(2.20)
Интегрирование не производится по 𝑥0 и 𝑥𝑁, так как эти переменные совпадают с фиксированными концами траекторий 𝑥𝑎 и 𝑥𝑏. Это выражение формально соответствует соотношению (2.17). Уменьшая ε, мы можем получить более полное представление множества всех возможных траекторий, соединяющих точки 𝑎 и 𝑏. Однако точно так же, как и в случае интеграла Римана, невозможно достичь предела этого процесса, так как такой предел не существует. Мы снова должны ввести некоторый нормирующий множитель, который, как и следует ожидать, будет зависеть от ε.
К сожалению, определение такого нормирующего множителя оказывается весьма трудной задачей, и неизвестно, как это делать в общем случае. Однако нам это удаётся сделать для всех задач, которые до сих пор имели практическое значение. Возьмём, например, случай, когда лагранжиан задаётся выражением (2.2). Нормирующий множитель в этом случае равен 𝐴-𝑁, где
𝐴=
⎧
⎪
⎩
2π𝑖ℏε
𝑚
⎫½
⎪
⎭
.
(2.21)
Как получен этот результат, мы увидим далее (см. § 1 гл. 4). С учётом множителя 𝐴 переход к пределу имеет смысл, и мы можем написать
𝐾(𝑏,𝑎)=
lim
ε→0
1
𝐴
∫∫
…
∫
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑎]
𝑑𝑥1
𝐴
𝑑𝑥2
𝐴
…
𝑑𝑥𝑁-1
𝐴
(2.22)
где
𝑆[𝑏,𝑎]=
𝑡𝑏
∫
𝑡𝑎
𝐿(𝑥̇,𝑥,𝑡)𝑑𝑡
(2.23)
представляет собой однократный интеграл вдоль траектории, проходящей, как это показано на фиг. 2.3, через все соединённые прямолинейными отрезками точки 𝑥𝑖.
Фиг. 2.3. Сумма по всем траекториям.
Она определяется как предел, в котором траектория первоначально задаётся лишь координатами 𝑥 для большого числа фиксированных моментов времени, разделённых очень малыми интервалами длины ε. Тогда сумма по траекториям равна интегралу по всем этим выбранным координатам. Наконец для определения меры берётся предел при ε→0.
Возможно и более изящное определение траектории. Для соединения точек 𝑥𝑖 и 𝑥𝑖+1 вместо отрезков прямых линий мы могли бы использовать отрезки классической траектории. Тогда можно было бы сказать, что 𝑆 – это наименьшее значение интеграла, взятого от лагранжиана по всем траекториям, которые проходят через выбранные точки (𝑥𝑖,𝑡𝑖). При таком определении нет необходимости прибегать к каким-то не имеющим физического смысла переходам по отрезкам прямых.
Интеграл по траекториям. Имеется много способов выбрать некоторое подмножество из всех траекторий, проходящих через точки 𝑎 и 𝑏. Применявшийся нами способ, возможно, не является наилучшим с точки зрения математики. Предположим, например, что лагранжиан зависит от ускорения в точках 𝑥. В нашем способе построения траектории скорость имеет разрывы во всех точках (𝑥𝑖,𝑡𝑖), и, следовательно, ускорение в этих точках бесконечно велико. Это могло бы привести к затруднениям, но в тех немногих примерах, с которыми мы уже имели дело, вполне законной была замена
𝑥̈=
1
ε²
(𝑥
𝑖+1
–2𝑥
𝑖
+𝑥
𝑖-1
)
(2.24)
Могут быть случаи, когда такая замена непригодна или неточна и использовать наше определение суммы по траекториям становится весьма затруднительно. Такая ситуация возникает уже при обычном интегрировании, если некорректно определение интеграла по Риману, задаваемое равенством (2.18), и приходится обращаться к другим определениям, например к интегралу Лебега.
Необходимость уточнить способ интегрирования вовсе не дискредитирует саму идею. Просто речь идёт о том, что возможные неудобства, связанные с нашим определением суммы по траекториям [см. выражение (2.22)], в конечном счёте могут потребовать формулировки новых определений. Тем не менее сама идея суммирования по всем траекториям, подобно идее обычного интеграла, не зависит от специфики определения и сохраняет смысл, несмотря на недостатки некоторых частных построений. Поэтому, пользуясь менее связывающими обозначениями, мы будем записывать сумму по траекториям как
𝐾(𝑏,𝑎)=
𝑏
∫
𝑎
𝑒
(𝑖/ℏ)𝑆[𝑏,𝑎]
𝒟𝑥(𝑡)
(2.25)
и называть её интегралом по траекториям. Это обстоятельство отметим введением знака 𝒟 вместо оператора дифференциала 𝑑. Лишь изредка мы будем возвращаться к выражению типа (2.22).
Задача 2.6. Класс функционалов, на котором можно определить интегралы по траекториям, оказывается неожиданно широким. До сих пор мы рассматривали лишь функционалы типа (2.15). Теперь перейдём к рассмотрению совсем иного типа функционалов, возникающих в одномерной релятивистской задаче. Предположим, что движущаяся по прямой частица может перемещаться только вперёд и назад со скоростью света. Для удобства выберем такие масштабы измерений, чтобы скорость света, масса частицы и постоянная Планка равнялись единице. Тогда в плоскости (𝑥,𝑡) все траектории движения такого осциллятора имеют наклон ±π/4, как показано на фиг. 2.4. Амплитуду, соответствующую одной из таких траекторий, можно определить следующим образом: разделим время на малые интервалы длиной ε и предположим, что изменение направления движения может происходить только на границе этих интервалов, т.е. в моменты времени 𝑡=𝑡𝑎+𝑛ε, где 𝑛 – целое число. В такой релятивистской задаче амплитуда перехода вдоль рассматриваемой траектории отличается от амплитуды (2.15); правильным в данном случае будет выражение
φ=(𝑖ε)
𝑅
,
(2.26)
где 𝑅 – число точек поворота на траектории.
Фиг. 2.4. Траектория релятивистской частицы, движущейся в двух измерениях.
Это зигзагообразная линия с прямолинейными отрезками. Наклон прямых постоянен по величине и различается только знаком в обеих частях зигзага. Амплитуда вероятности для некоторой частной траектории, так же как и ядро, описывающее переход из точки 𝑎 в точку 𝑏, зависит от числа поворотов 𝑅 на траектории; это следует из выражений (2.26) и (2.27).
В качестве упражнения читатель может использовать это выражение для того, чтобы вычислить ядро 𝐾(𝑏,𝑎), суммируя вклады от траекторий с одной, двумя и т.д. точками поворота. Это даст
𝐾(𝑏,𝑎)=
∑
𝑁(𝑅)(𝑖ε)
𝑅
,
𝑅
(2.27)
