Текст книги "ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда"

Автор книги: Даглас Хофштадтер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 46 (всего у книги 64 страниц)

Суждения Хенкина и вирусы

Эти противоположные типы автореференции в молекулярной биологии имеют свою параллель в математической логике. Мы уже обсуждали математическую аналогию фагов-самоубийц – я имею в виду строчки Геделева типа, утверждающие собственную невозможность внутри определенных формальных систем. Однако, возможна и параллель с настоящим фагом, утверждающим собственную воспроизводимость в определенной клетке – суждение, утверждающее собственную воспроизводимость в определенной формальной системе. Суждения подобного типа называются суждениями Хенкина, по имени математического логика Леона Хенкина. Они строятся примерно так же, как Геделевы суждения – единственная разница заключается в отсутствии отрицания Мы начинаем, разумеется, с «дяди»:

Eа:Eа' <ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а,а'}Λ ARITHMOQUINE{а'',а'}

и затем проделываем стандартный трюк. Предположим, что Геделев номер приведенного выше «дяди» – h. Арифмоквайнируя дядю, мы получаем суждение Хенкина:

Eа:Eа' <ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{а,а'}Λ

ARITHMOQUINE{SSS…SSS/a'',a'}>

.                      |____|

S повторяется h раз

(Кстати, видите ли вы, в чем это суждение отличается от —G?) Я привожу его целиком, чтобы показать, что оно не дает «рецепта» собственной деривации; оно просто утверждает, что такая деривация существует. Вы можете спросить, верно ли это утверждение? Существуют ли деривации суждений Хенкина? Действительно ли эти суждения являются теоремами? Полезно вспомнить, что не обязательно верить политику, провозглашающему: «Я честный», – это может оказаться как правдой, так и враньем. Достойны ли суждения Хенкина большего доверия, чем политики?

Оказывается, что суждения Хенкина всегда истинны. Хотя пока нам не совсем понятно, почему это так, придется нам здесь принять этот интересный факт на веру.

Явные и неявные суждения Хенкина

Я упомянул о том, что суждения Хенкина ничего не говорят о собственной деривации; они лишь утверждают, что такая деривация существует. Возможно придумать вариацию на тему суждений Хенкина – а именно, суждения, явно описывающие собственную деривацию. Интерпретацией на высшем уровне подобного суждения было бы не «существует некая последовательность строчек, являющаяся моей деривацией», а «описанная ниже последовательность строчек … является моей деривацией». Давайте назовем первый тип суждений неявным суждением Хенкина. Новое суждение, соответственно, будет явным суждением Хенкина, поскольку в нем содержится явное описание собственной деривации. Заметьте, что в отличие от своих неявных собратьев, явные суждения Хенкина не обязательно должны являться теоремами. На самом деле, очень легко написать строчку, которая утверждает, что ее деривация состоит из единственной строчки 0=0, – ложное утверждение, поскольку 0=0 не является деривацией чего бы то ни было. Однако возможно также написать явное суждение Хенкина, являющееся теоремой, – то есть суждение, в действительности дающее рецепт собственной деривации.

Суждение Хенкина и самосборка

Я объяснил здесь разницу между явными и неявными суждениями Хенкина потому, что она соответствует важному различию между типами вирусов. Существует некие вирусы, например, такие, как вирусы табачной мозаики, которые называются самособирающимися, и такие вирусы, как наши знакомцы Т-фаги, не являющиеся самособирающимися. Что означает это различие? Оно аналогично различию между явными и неявными суждениями Хенкина.

В ДНК самособирающегося вируса закодированы только части нового вируса, но там нет кода энзимов. Как только эти части оказываются собраны, они присоединяются одна к другой без помощи энзимов. Этот процесс зависит от химического «влечения» частей друг к другу, когда они плавают в густом «химическом бульоне» клетки. Не только вирусы, но также некоторые органеллы – например, рибосомы – способны на самосборку. Иногда для этого бывают нужны энзимы – но в таких случаях они беззастенчиво набираются из клетки-хозяйки и используются для сборки «агрессора». Говоря о самосборке, я имею в виду весь этот процесс.

С другой стороны, в ДНК более сложных вирусов, таких как четные Т– фаги, закодированы не только части, но и различные энзимы, играющие важную роль в сборке этих частей в одно целое. Поскольку процесс сборки здесь не спонтанный, а требующий определенной «техники», подобные вирусы не считаются самособирающимися. Таким образом, основная разница между самособирающимися и не-самособирающимися единицами заключается в том, что первым удается воспроизвестись не сообщая клетке никаких сведений о собственной сборке, в то время как последние должны давать инструкции о том, как их собирать.

Теперь читателю, вероятно, уже ясна параллель с явными и неявными суждениями Хенкина. Неявные суждения Хенкина самодоказательны, но ничего об этих доказательствах не говорят – они аналогичны самособирающимся вирусам. Явные суждения Хенкина управляют построением своего собственного доказательства – они аналогичны более сложным вирусам, дающим клетке-хозяйке команды по построению собственных копий.

Понятие самособирающихся биологических структур такой сложности как вирусы, поднимает вопрос о возможности создания сложных самособирающихся машин. Представьте себе набор частей, которые, если поместить их в благоприятное окружение, спонтанно группируются и собираются в сложную машину. Это звучит неправдоподобно, но, на самом деле, это весьма аккуратное описание процесса самовоспроизводства вируса табачной мозаики путем самосборки. Информация для сборки организма не сконцентрирована в какой-то одной его части, а распространена по всем частям.

Это идея может завести нас довольно далеко, как было показано в Диалоге «Благочестивые размышления курильщика». Мы видели, как Краб использовал идею о том что информация для самосборки может быть распространена по всем частям аппарата, вместо того, чтобы быть сконцентрированной в какой-то одной его части. Он надеялся, что это предохранит его новый патефон от Черепашьих атак. К несчастью, так же, как и в случае самых сложных схем аксиом, как только система построена и «упакована в ящик», эта определенность делает ее уязвимой для достаточно хитрого «Геделизатора»– это и было темой грустного рассказа Краба. Несмотря на кажущуюся бессмысленность, фантастический сценарий этого Диалога не так далек от реальности в странном, сюрреалистическом мире клетки.

Две выдающиеся проблемы: Дифференциация и Морфогенезис

 Допустим что посредством самосборки строятся организмы на уровне клеток и некоторых вирусов – но как насчет сложнейших макроскопических структур таких, как тела слона, паука или венериной мухоловки? Как встроены в мозг птицы инстинкт нахождения дома или в мозг собаки – охотничий инстинкт? Каким образом, всего лишь диктуя, какие белки должны производиться в клетке, ДНК осуществляет такой удивительно точный контроль над структурой и функциями макроскопических живых организмов? Здесь возникают две вопроса. Один касается клеточных различий каким образом разные клетки, имеющие абсолютно одинаковую ДНК, выполняют различные роли – скажем клеток почек костного мозга или головного мозга? Другой вопрос касается морфогенезиса («рождения формы») каким образом межклеточное сообщение на местном уровне ответственно за образование крупномасштабных, глобальных структур – таких как части тела, форма лица, разные области мозга? Хотя в  настоящий момент наше понимание клеточных различий и морфогенезиса ограниченно, мы предполагаем, что этот метод заключается в весьма тонком и точно отлаженном механизме прямой и обратной связи между клетками, говорящем им, когда они должны «включать» и «выключать» производство различных белков.

Прямая и обратная связи

Обратная связь происходит, когда в клетке наблюдается избыток или недостаток некоего необходимого материала. Тогда клетка должна каким-то образом отрегулировать «конвейер», на котором происходит сборка данной субстанции. Прямая связь также касается регулировки «конвейера», но при этом регулируется не количество конечного продукта, а количество его предшественника на конвейере. Существуют два основных механизма для достижения негативной прямой и обратной связи. Один способ заключается в том, чтобы «засорить» активные центры соответствующих энзимов, таким образом предотвращая их действие. Это называется торможением. Другой способ – прекращение самого производства соответствующих энзимов. Это называется подавлением. Торможение осуществить несложно: для этого надо лишь заблокировать активный центр первого энзима цепи и весь процесс синтеза замирает.

Белки-репрессоры и индукторы

Подавление – более сложный процесс. Каким образом клетка может остановить производство гена? Ответ заключается в том, что клетка предотвращает, в первую очередь, его транскрипцию. Это означает, что она должна остановить работу полимеразы РНК. Это может быть сделано путем возведения преграды на ее пути вдоль ДНК, именно перед тем геном, транскрипцию которого клетка хочет предотвратить. Такие препятствия существуют и называются репрессорами. Это белки, прикрепляющиеся к специальным местам «для препятствий» на ДНК, называющимся операторами. Таким образом, оператор – это контрольное место для гена (или генов), которые следуют сразу за ним; эти гены называются его оперонами. Поскольку несколько энзимов часто работают над длинными химическими превращениями вместе, они бывают закодированы последовательно; поэтому опероны часто содержат не один, а несколько генов. Результатом такого последовательного подавления оперона является то, что целой серии генов не удается протранскрибироваться – а это, в свою очередь, означает, что целый набор соответствующих энзимов не будет синтезирован.

Как насчет положительных прямой и обратной связей? Здесь снова имеются две возможности: (1) «прочистить» заблокированные энзимы или (2) прекратить подавление соответствующего оперона. (Заметьте, насколько природа любит двойное отрицание! Для этого, возможно, существует какая-то серьезная причина.) Механизм, подавляющий подавление, действует при помощи класса молекул, называемых индукторами. Роль индуктора проста: он соединяется с белком репрессора прежде, чем тот успевает присоединиться к оператору молекулы ДНК. Получающийся комплекс «индуктор-репрессор» не способен присоединиться к оператору, и, таким образом, соответствующий оперон может быть транскрибирован в мРНК и затем переведен в белок. Часто индуктором является конечный продукт или его предшественник.

Сравнение между обратной связью и Странными Петлями

Необходимо проводить различие между простыми типами обратной связи, возникающими в процессе торможения и подавления, и петлями, возникающими между различными уровнями информации, показанными на схеме Централизованной Догмы. Оба эти явления, в каком-то смысле, являются примерами обратной связи, но последнее намного глубже первого. Когда некая аминокислота, скажем, триптофан или изолеицин, действует как обратная связь (в форме индуктора) и присоединяется к своему репрессору, чтобы воспроизвестись в большем количестве, она не объясняет, как именно ее производить, а лишь приказывает энзимам увеличить ее производство. Это можно сравнить со звуками радио, которые, достигнув уха слушателя, могут вызвать у того желание увеличить или уменьшить громкость. Совсем другое дело – ситуация, в которой сам диктор велит слушателям изменить громкость, или настроиться на другую волну – или даже объясняет, как построить другое радио! Такая ситуация гораздо более похожа на коммуникацию между информационными уровнями, поскольку здесь информация, заключенная в радиосигнале, «расшифровывается» и переводится в мысленные структуры. Радиосигнал состоит из компонентов, чье символическое значение важно – это похоже более на пример использования, чем упоминания. С другой стороны, когда сигнал слишком громок, символы теряют свое значение и воспринимаются просто как громкие звуки – пример упоминания, скорее чем использования. Этот случай более походит на петли обратной связи, при помощи которых белки регулируют собственное воспроизводство.

Существует предположение, что разница между двумя соседними клетками имеющими совершенно одинаковый генотип, но разные функции, заключается в том, что, благодаря подавлению различных сегментов их геномов, у них оказываются различные наборы активных белков. Эта гипотеза объясняет феноменальные различия между клетками в разных органах человеческого тела.

Два простых примера различия

Процесс, при помощи которого одна первоначальная клетка воспроизводится снова и снова, порождая множество различных клеток со специальными функциями, можно сравнить с распространением некоего письма по цепочке, где каждый человек должен скопировать первоначальное послание, при этом добавив к нему нечто свое. Через некоторое время письма будут очень отличаться друг от друга.

Еще одним примером идеи дифференциации является простая компьютерная аналогия различающего авто-репа. Представьте себе коротенькую программу контролирующуюся при помощи переключателя с двумя позициями, А и В. Внутренний параметр программы – натуральное число N. Программа может работать в двух режимах А или В. Когда она работает в режиме А, она самовоспроизводится в соседнем районе компьютерной памяти – но при этом новый, «дочерний» параметр N возрастает на единицу. Работая в режиме В, программа не самовоспроизводится – вместо этого она вычисляет величину выражения:

(-1)/(2N+1)

и добавляет результат к накопленной общей сумме.

Предположим, что в начале в памяти имелась одна копия программы, N = 0, и программа находилась в режиме А. Результатом явится копия программы в соседнем районе памяти, N будет равняться 1. Повторив процесс, мы получим новую копию в соседнем районе памяти, с N = 2. И так далее, и тому подобное… Память при этом загружается большой программой. Когда память заполняется, процесс останавливается. Теперь мы можем считать, что память занята одной большой программой, составленной из множества похожих, но дифференцированных модулей – «клеток».

Теперь представьте, что мы переключаем эту большую программу на режим В. Что при этом получается? Первая «клетка» дает 1/2. Вторая «клетка» дает -1/3 и добавляет это к предыдущему результату. Третья «клетка» добавляет к общей сумме +1/5 …

В результате весь «организм» – большая программа – вычисляет сумму ряда:

1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +…

Число членов этого ряда равно количеству «клеток», умещающихся в памяти. И поскольку этот ряд сходится (хотя и медленно), стремясь к π/4, его можно назвать «фенотипом», чья функция – вычисление величины знаменитой математической постоянной.

Смешение уровней в клетке

Я надеюсь что описание таких процессов как «наклеивание ярлыков», самосборка, дифференциация, морфогенез, а также транскрипция и трансляция, помогли читателю глубже понять необычайно сложную систему клетки – систему обработки информации, обладающую некоторыми удивительными чертами. На схеме Централизованной Догмы мы видели, что хотя мы и можем попытаться провести четкую границу между программой и данными, это различие в каком-то смысле произвольно. Более того, переплетены между собой не только программа и данные – в этом переплетении участвуют также интерпретатор, физический процессор и даже язык программы. Таким образом, хотя в какой-то степени и возможно провести границы между уровнями и разделить их, важно также иметь в виду перекрещивание и смешение уровней. Примером этого является тот удивительный факт, что в биологических системах все подсистемы, необходимые для самовоспроизводства (язык, программа, данные, интерпретатор и процессор) так тесно сотрудничают, что все они воспроизводятся одновременно! Это показывает, насколько биологический авто-реп глубже всего, что пока удалось создать в этой области людям. Например, программа авто-репа, изложенная в начале этой главы, опирается на существование трех внешних факторов: язык, интерпретатор и процессор; ни один из этих факторов программой не воспроизводится.

Постараемся подвести итоги сказанному и посмотрим, как можно классифицировать различные подсистемы клетки в компьютерных терминах. Для начала возьмем ДНК. Поскольку в ней содержится вся информация для построения белков – активных действующих лиц клетки – ДНК можно сравнить с программой, написанной на языке высшего уровня, которая затем переводится (или интерпретируется) на «машинный язык» клетки (белки). С другой стороны, сама ДНК – пассивная молекула, которая претерпевает различные изменения под действием энзимов. В этом смысле ДНК напоминает набор вводных данных. Кроме того, ДНК содержит «эталоны», по которым строятся «карточки» тРНК, – это означает, что в ДНК есть также свой собственный язык высшего уровня.

Теперь перейдем к белкам. Это активные молекулы, отвечающие за функционирование клетки; следовательно, мы можем думать о них, как о программах на «машинном языке» клетки (сама клетка соответствует в нашей аналогии процессору). С другой стороны, поскольку белки относятся к аппаратуре, а большинство программ – к программному обеспечению, может быть, точнее было бы назвать белки процессорами. Кроме того, белки часто воздействуют друг на друга, что уподобляет их вводным данным. Белки можно также назвать интерпретаторами, если считать ДНК набором программ на языке высшего уровня; в этом случае, энзимы просто выполняли бы программы, написанные на коде ДНК – иными словами, белки работали бы как интерпретаторы.

Далее перейдем к рибосомам и молекулам тРНК. Они способствуют переводу из ДНК в белки, что можно сравнить с переводом программы, написанной на языке высшего уровня, на машинный язык. Таким образом, рибосомы действуют как интерпретаторы, а молекулы тРНК определяют язык высшего уровня. Существует, однако, другая точка зрения на трансляцию, утверждающая, что рибосомы – процессоры, в то время как тРНК – интерпретаторы.

Мы затронули анализ взаимоотношений между этими биомолекулами только поверхностно. При этом мы увидели, что природе нравится смешивать уровни, которые, с нашей точки зрения, кажутся весьма различными. В действительности, в теории вычислительной техники уже сейчас существует тенденция смешения этих, кажущихся такими разными, уровней системы обработки информации. Особенно это верно в области исследований по Искусственному Интеллекту, обычно идущих во главе разработки компьютерных языков.

Происхождение жизни

После знакомства с так сложно переплетенными подсистемами аппаратуры и программного обеспечения возникает естественный и важный вопрос: «Каким образом все это вообще началось?» Это на самом деле удивительно. Приходится предположить нечто вроде процесса поднятия самого себя за волосы, подобного тому процессу, который используется при создании новых компьютерных языков – однако подобный подъем от уровня молекул до уровня целой клетки почти невозможно вообразить. Существует несколько теорий о происхождении жизни, но ни одна из них не смогла пока дать ответа на главнейший из главных вопросов: «Как возник Генетический Код и механизмы для его трансляции – рибосомы и тРНК?» Пока нам придется вместо ответа удовольствоваться чувством удивления и восхищения, может быть, эти чувства более удовлетворительны, чем сам ответ – по крайней мере, на время.

Рис. 104. М.К. Эшер. «Кастровалва» (литография, 1930).

Магнификраб в пирожоре

Чудный весенний денек, воскресенье. Черепаха и Ахилл отправились погулять за город, они решили взобраться на гору, на вершине которой, как они слышали, есть замечательная чайная, где к чаю подаются отличные пирожные.

Ахилл: Маг, о маг! Этот краб —

Черепаха: Этот краб??

Ахилл: Я хочу сказать, наш общий знакомый, м-р Краб, кажется мне совершенно магическим созданием… Где вы еще найдете такого разумного краба? Он, может быть, раза в два умнее любого из своих собратьев. Даже в три. Или даже —

Черепаха: Боже мой! Как вы возвеличиваете Краба!

Ахилл: Я всего лишь восхищаюсь его —

Черепаха: О, не надо ничего объяснять – я тоже его поклонница. Кстати о поклонниках Краба – говорила ли я вам, какое занятное письмо один из них недавно послал Крабу?

Ахилл: Не помню. От кого было письмо?

Черепаха: На нем была наклеена индийская марка; имя отправителя – м-р Няунамар.

Ахилл: Интересно, почему человек, который никогда не видел Краба, решил послать ему письмо? И откуда он узнал его адрес?

Черепаха: Видимо, посчитал, что Краб – математик. В письме содержатся некие результаты, которые… О! Легок на помине! Вот и сам Краб, ползет вниз по холму!

Краб: Пока! Приятно было с вами поболтать. Что ж, мне пора. Так наелся – в меня уже ни кусочка не влезет! Я сам только что оттуда – отличное местечко! Вы никогда не были в чайной на горе? Как дела, Ахилл? О, да это же Ахилл! Привет, привет! Не г-жа ли это Черепаха?

Черепаха: Приветствую вас, м-р К Вы собрались сходить в чайную на горе?

Краб: Точно – как вы догадались? Я хочу отведать наполеонов – мое любимое лакомство! Впрочем, я так голоден, что мог бы слопать и лягушку. О, да это же Ахилл! Как дела, Ахилл?

Ахилл: Могло бы быть и хуже.

Краб: Вот и славно! Но умоляю, не давайте мне прерывать вашей ученой беседы. Позвольте мне к вам присоединиться – я постараюсь вам не мешать.

Черепаха: Напротив – я только что собиралась описать то странное письмо, которое вы получили несколько недель тому назад; но думаю, что Ахилл предпочтет получить эти сведения, так сказать, из первых клешней.

Краб: Дело было так. Этот Няунамар, по-видимому, никогда не обучался математике, вместо этого он придумал свои собственные методы для открытия новых математических истин. Некоторые его идеи меня просто поразили – я никогда не видел ничего подобного. Например, он прислал мне карту Индии, которую ему удалось раскрасить, по меньшей мере, в 1729 цветов!

Ахилл: 1729! Вы сказали «1729»?

Краб: Да, а почему вас это удивляет?

Ахилл: Знаете ли, 1729 – очень интересное число.

Краб: И правда, мне это как-то не пришло в голову.

Ахилл: В частности, 1729 – номер того такси, в котором я ехал сегодня утром к Черепахе!

Краб: Как интересно! А не могли бы вы мне сказать заодно и номер того троллейбуса, на котором вы поедете к г-же Черепахе завтра утром?

Ахилл (после минутного раздумья): Я точно не знаю, но мне кажется, что это будет очень большое число.

Черепаха: У Ахилла на эти дела особый нюх.

Краб: Да. Так вот, как я говорил, Няунамар в своем письме также доказал, что каждое четное простое число представляет собой сумму двух нечетных чисел и что не существует положительных целых решений уравнения:

а ⁿ + b ⁿ = с ⁿ, где n = 0

Ахилл: Что? Неужели ему удалось одним махом разрешить все эти классические задачки? Да он, кажется, настоящий гений!

Черепаха: Но постойте, Ахилл – неужели у вас не возникает ни тени сомнения?

Ахилл: Что? Ах да, тени сомнения. Разумеется, возникают. Надеюсь, вы не думаете, что я поверил в то, что Краб действительно получил подобное письмо? Меня не так-то просто обвести вокруг пальца, знаете ли. Наверное, это письмо, г-жа Черепаха, на самом деле получили Вы.

Черепаха: О, нет, Ахилл! То, что письмо было адресовано м-ру Крабу – чистая правда. Я имела в виду, не возникают ли у вас сомнения по поводу содержания самого письма, его странных утверждений?

Ахилл: Почему бы им возникнуть? Гм-м… Разумеется, возникают. Я вообще чрезвычайный скептик, как вы оба отлично знаете. Меня очень трудно в чем-либо убедить, неважно, истина это или ложь.

Черепаха: Отлично сказано, Ахилл. Поистине, вы знаток секретов собственного мозга.

Ахилл: У вас не возникало мысли, друзья, что утверждения Няунамара могут быть ошибочными?

Краб: Честно говоря, Ахилл, поскольку я такой консерватор, я сразу об этом подумал. На самом деле, мне сначала показалось, что это совершеннейшая утка. Но потом я решил, что мало кому удалось бы высосать из пальца такие странные и сложные результаты. В конце концов, все свелось к вопросу: «Что более вероятно: что письмо написано очень талантливым шарлатаном, или что его написал гениальный математик?» И вскоре я вычислил, что более вероятно первое.

Ахилл: Но вы все же проверили его утверждения?

Краб: К чему? Мой вероятностный аргумент намного лучше любого математического доказательства – он вполне убедителен. Однако г-жа Черепаха настояла на строгом доказательстве и мне пришлось проверить все результаты Няунамара. К моему удивлению, они оказались истинными! Я, однако, никогда не пойму, как ему удалось их получить. Наверное, при помощи удивительной и непостижимой восточной магии. Нам этого понять не дано. Это единственное объяснение, которое имеет хоть какой-то смысл.

Черепаха: М-р Краб всегда легко поддавался на удочку мистицизма и всяких странных идей – но мне трудно поверить в подобное объяснение. Я совершенно уверена, что всем вычислениям Няунамара можно найти соответствие в ортодоксальной математике. Я вообще думаю, что, занимаясь математикой, невозможно намного отклониться от традиционного курса.

Ахилл: Это интересное мнение. Думаю, что оно связано с Тезисом Черча-Тюринга и другими подобными темами.

Краб: О, давайте оставим в стороне все эти технические детали – в такой чудесный денек! – и насладимся лучше тишиной леса, пением птиц, и игрой солнечных зайчиков на почках и молодых листочках Хо!

Черепаха: Я – за! Как известно, все поколения Черепах испокон веков наслаждались красотой природы.

Краб: Как и все поколения Крабов.

Ахилл: Вы, часом, не захватили с собой вашу флейту, г-н Краб?

Краб: Разумеется захватил! Я ношу ее с собой везде. Хотите послушать мелодию-другую?

Ахилл: Это было бы прелестно, в таком пасторальном окружении. Вы играете по памяти?

Краб: К сожалению, это выше моих возможностей. Мне нужны ноты. Но это не проблема – у меня с собой есть несколько очень милых пьесок.

(Краб открывает тонкую папку и вытаскивает несколько листов бумаги. На первом листе – следующие символы:

Ea:~Sa=0

Он кладет этот лист на небольшой пюпитр, прикрепленный к флейте, и начинает играть. Мелодия оказывается очень короткой.)

Ахилл: Очень мило. (Заглядывает в ноты и лицо его принимает недоуменное выражение.) Но зачем вы прикрепили к флейте это высказывание теории чисел?

(Краб смотрит на свою флейту, на ноты, затем с удивлением оглядывается.)

Краб: Я вас не понимаю. Какое высказывание теории чисел?

Ахилл: «Ноль не следует ни за каким натуральным числом». Вон там в ваших нотах!

Краб: Это третий постулюд Пеано – у него их пять, и я переложил каждый из них для флейты. Это очень простые и легко запоминающиеся мелодии.

Ахилл: Не понимаю, как можно играть математическое суждение, как если бы оно было нотами!

Краб: Я же вам сказал это вовсе не математическое суждение, а постулюд Пеано! Хотите послушать еще один?

Ахилл: С удовольствием.

(Краб кладет на пюпитр другой лист бумаги, на этот раз Ахилл не спускает с него глаз.)

Я следил за вами, вы смотрели на эту ФОРМУЛУ на листе. Вы уверены, что это музыкальная нотация? Я мог бы поклясться, что это больше напоминает нотацию, которая используется в формализованной теории чисел!

Краб: Как странно. Насколько я могу судить, это ноты, а не математические формулы. Конечно, я весьма далек от математики… Хотите послушать еще какую-нибудь мелодию?

Ахилл: Прошу вас. У вас есть с собой и другие ноты?

Краб: У меня их целая куча.

(Он достает новый лист и кладет его на пюпитр. На листе написаны следующие символы:

~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSS0

Пока Краб играет, Ахилл не спускает глаз с бумаги.)

Правда, мило?

Ахилл: Да, премиленькая пьеска. Но должен признаться, что ваши ноты все более походят в моих глазах на теорию чисел.

Краб: Ах, боже мой! Это моя обычная музыкальная запись. Я просто не понимаю, где вы видите все эти внемузыкальные понятия в этой простенькой записи! Это же совершенно из другой оперы!

Ахилл: Не согласитесь ли вы сыграть пьесу моего собственного сочинения?

Краб: С превеликим удовольствием. Она у вас с собой?

Ахилл: Нет, но мне кажется, что я смогу запросто что-нибудь сочинить.

Черепаха: Должна вас предупредить, Ахилл, что Краб – строгий судья мелодий, написанных не им; так что не расстраивайтесь, если он не оценит ваших усилий по достоинству.

Ахилл: Благодарю вас за предупреждение, но я все же попробую…

(Он пишет:

((SSS0*SSS0)+(SSSS0*SSSS0))=(SSSSS0*SSSSS0)

Краб берет у него бумагу, смотрит на нее в раздумье, кладет ее на пюпитр и начинает играть.)

Краб: Что ж, это весьма неплохо, Ахилл. Мне нравится этот странный ритм.

Ахилл: Что же в нем странного?

Краб: Может быть вам, как композитору, он кажется естественным, но для меня переход с 3/3 на 4/4 и, затем, на 5/5 звучит экзотически. Если у вас есть для меня еще что-нибудь, я с удовольствием это сыграю.

Ахилл: Благодарю вас. Я никогда раньше не сочинял музыку и должен признаться, что я представлял себе это занятие не совсем так. Что же, попробую написать еще одну мелодию. (Набрасывает на листе следующую строчку.)

~Ea:Eb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSSS0

Краб: Гм-м… Мне кажется, что это точная копия моей предыдущей пьесы.

Ахилл: О, нет! Я добавил одно S. Теперь их стало четырнадцать.

Краб: Ах да, конечно. (Он начинает играть, и на лице его появляется гримаса недовольства.)

Ахилл: Я надеюсь, что мое сочинение не кажется вам неблагозвучным!

Краб: Вы написали эту мелодию по мотивам моей пьесы. Но боюсь, Ахилл, что вы не оценили всех ее тонкостей… Хотя как я могу требовать этого от вас после одного прослушивания? Иногда бывает трудно понять, на чем основана красота произведения. Ее легко спутать с поверхностными аспектами пьесы и имитировать их. Но сама красота лежит глубоко внутри; может быть, она вообще недоступна анализу.

Ахилл: Боюсь, что я немного запутался в вашем ученом комментарии. Я понял, что моя пьеса не удовлетворяет вашим высоким требованиям – но в чем именно заключается моя ошибка? Может быть, вы согласитесь мне растолковать?

Краб: Вашу композицию можно поправить, вставив в конце три – а, впрочем, можно и пять – S. Это создаст тонкий и неожиданный эффект.

Ахилл: Понятно.

Краб: Но пьесу можно изменить и по-другому. Мне, например, кажется, что лучше всего прибавить слева еще одну тильду. Это создаст приятный баланс между началом и концом. Две тильды подряд никогда не помешают – они придают мелодии этакий веселый изгиб, знаете ли.

Ахилл: А что, если я послушаюсь обоих советов сразу и напишу следующую пьеску?

~~EaEb:(SSa*SSb)=SSSSSSSSSSSSSSSSS0

Краб (с выражением болезненного неудовольствия): Ахилл, вам необходимо запомнить следующее: никогда не пытайтесь выразить слишком многое в одной и той же пьесе. Так можно достичь того порога, за которым пьесу уже ничто не спасет. Любые попытки исправить дело только все ухудшат. Как раз это произошло сейчас с вашей пьесой. Вы ухватились сразу за оба моих предложения, и вместо того, чтобы добавить пьесе красоты, это нарушило равновесие и лишило пьесу всякой привлекательности.