Текст книги "ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда"
Автор книги: Даглас Хофштадтер
Жанры:
Философия
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 11 (всего у книги 64 страниц)
СХЕМА АКСИОМ II: Если x является строчкой тире, то xp-rx будет аксиомой.
Ясно, что как –p-r–, так и –p-r– будут теоремами новой системы. Однако они интерпретируются, соответственно, как «2 плюс 1 равняется 2» и «2 плюс 2 равняется 3». Легко увидеть, что такая система будет содержать массу ложных высказываний (если считать строчку высказыванием). Таким образом, наша новая система противоречива по отношению к окружающему миру.
Как говорится, беда не приходит одна, в новой системе есть также и внутренние проблемы. Она содержит высказывания, противоречащие друг другу, такие как -p-r– (старая аксиома) и -p-r- (новая аксиома). Это означает, что наша система противоречива также и в другом смысле – внутренне.
Так что же, лучше совсем отказаться от новой системы?
Ни в коем случае! Я нарочно описал эти «противоречия» в «лапшевешательном» стиле, изложив довольно туманные аргументы с уверенностью, призванной запутать читателя. Вполне возможно, что вы уже заметили ошибки в моих рассуждениях. Основная ошибка состоит в том, что я безоговорочно принял для новой системы ту же интерпретацию, что была верна для прежней системы. Вспомните, что мы тогда остановились на словах «плюс» и «равняется» только потому, что в такой интерпретации символы действовали изоморфно понятиям, с которыми мы их сравнивали. Когда мы изменяем правила системы, этот изоморфизм неизбежно страдает. С этим ничего не поделаешь. Таким образом, проблемы, на которые я жаловался в предыдущих абзацах, могут рассеяться как дым, как только мы найдем подходящую интерпретацию для некоторых символов новой системы. Обратите внимание, что я сказал «некоторых» – совсем не обязательно в каждом случае менять интерпретацию всех символов. Некоторые из них могут сохранить прежнее значение, в то время как другие изменятся.
Снова непротиворечивость
Предположим, например, что мы интерпретируем по-новому лишь символ r, оставляя все остальные символы без изменения; в частности, символ r будет означать «больше или равно». Теперь наши «противоречивые» теоремы -p-r- и -p-r– звучат совершенно безобидно: «1 плюс 1 больше или равно 1» и «1 плюс 1 больше или равно 2». Мы одновременно избавились от противоречий (1) с окружающим миром и (2) внутри системы. К тому же, наша новая интерпретация значима, в то время как прежняя не имела смысла. Я имею в виду, что она не имела смысла в новой системе – в нашей первоначальной системе pr она работала превосходно. Пытаться же использовать ее в новой системе так же глупо, как использовать интерпретацию «лошадь-яблоко-счастливая» в старой системе pr.
История эвклидовой геометрии
Несмотря на мои попытки застать вас врасплох и сбить с толку, этот урок по интерпретации символов при помощи слов, возможно, не показался вам слишком трудным, как только вы поняли, в чем тут дело. Действительно, это несложно. Однако это было одним из глубочайших прозрений математики девятнадцатого века! Все началось с Эвклида, который около 300 года до нашей эры собрал и систематизировал все, что было известно о геометрии в то время. Получившийся труд оказался таким солидным, что в течение более чем двух тысячелетий он практически считался библией геометрии – одна из наиболее «долголетних» работ! Почему так получилось?
Основная причина в том, что Эвклид был основоположником строгости в математических рассуждениях. Его «Элементы» начинаются с простых понятий, определений и так далее; при этом постепенно накапливается множество результатов, организованных таким образом, что каждый данный результат строго основан на предыдущих. В результате, работа имела определенный план, архитектуру, делавшую ее мощной и прочной.
Однако эта архитектура весьма отличалась от, скажем, архитектуры небоскреба. (См. рис. 21.) В последнем случае, сам факт того, что небоскреб стоит и не падает, доказывает, что его структура «правильна». С другой стороны, в книге по геометрии, где предполагается, что каждое утверждение логически следует из предыдущих, одно ошибочное доказательство не вызовет видимого краха всей структуры. Перекладины и подпорки здесь не физические, а абстрактные. На самом деле, в Эвклидовых «Элементах» доказательства были построены из весьма капризного материала, полного скрытых ловушек. Этим материалом был человеческий язык. Как же в таком случае быть с архитектурной мощью «Элементов»? Верно ли, что они основаны на прочной структуре, или же в ней есть некие изъяны?
Рис. 21. М. К. Эшер «Вавилонская башня» (гравюра на дереве, 1928)
Каждое слово, которое мы произносим, имеет определенный смысл, диктующий нам, как это слово использовать. Чем обычнее слово, тем больше ассоциаций связано с ним и тем глубже укоренилось в нас его значение. Таким образом, когда кто-то пытается дать определение какому-либо употребительному слову, в надежде на то, что все мы с этим определением согласимся, обычно происходит следующее: вместо того, чтобы принять данное нам определение, мы, по большей части бессознательно, предпочитаем руководствоваться ассоциациями, хранящимися на «складе» нашего мозга. Я упоминаю об этом потому, что именно с такой проблемой столкнулся Эвклид, пытаясь дать определения таких обыденных слов как «точка», «прямая линия», «круг» и так далее. Как можно определить нечто, о чем у каждого уже есть вполне сформировавшаяся идея? Единственный способ заключается в том, чтобы указать, что ваше слово – технический термин, который не должно путать с обычным, повседневным словом. Необходимо подчеркнуть, что связь с обычным значением слова здесь лишь кажущаяся. Эвклид этого не сделал, так как он был убежден в том, что точки и прямые в его «Элементах» были, на самом деле, точками и прямыми реального мира. Эвклид не предостерег читателей от ложных ассоциаций, тем самым пригласив их к свободной игре воображения…
Это звучит почти анархично и, пожалуй, немного несправедливо по отношению к Эвклиду – ведь он установил аксиомы или постулаты, которые должны были использоваться при доказательстве утверждений. На самом деле, он считал, что доказательства должны были быть основаны исключительно на этих аксиомах и постулатах. К несчастью, именно здесь и случилась осечка! Неизбежным следствием использования ординарных слов явилось то, что некоторые вызванные этими словами ассоциации проникли и в Эвклидовы доказательства. Однако не думайте, что, читая «Элементы», вы найдете там зияющие «провалы» в рассуждениях. Напротив, ошибки там почти незаметны, поскольку Эвклид был слишком глубоким и проницательным мыслителем, чтобы допускать элементарные промахи. Тем не менее, в его рассуждениях все-таки есть «прорехи» – небольшие дефекты в классическом труде. Однако вместо того, чтобы жаловаться, мы можем выучить кое-что новое о разнице между абсолютной и относительной строгостью математических рассуждений. На самом деле, именно отсутствие абсолютной строгости в работе Эвклида явилось причиной многих плодотворных открытий в математике более чем через две тысячи лет после того, как он написал свой труд.
Эвклид привел пять постулатов, легших в фундамент бесконечного небоскреба геометрии (Эвклидовы «Элементы» составили лишь первые несколько сотен этажей этого небоскреба). Четыре первые постулата кратки и элегантны:
(1) Любые две точки могут быть соединены отрезком прямой;
(2) Любой отрезок прямой может быть продолжен бесконечно и превращен в прямую линию;
(3) На основе любого отрезка прямой можно нарисовать круг, принимая этот отрезок за радиус и один из его концов – за центр круга;
(4) Все прямые углы конгруэнтны.
Пятый постулат далеко не так грациозен:
(5) Если две прямые пересекают третью так, что сумма внутренних углов с одной стороны меньше двух прямых углов, то это прямые рано или неизбежно пересекутся на этой стороне.
Хотя Эвклид нигде не сказал об этом прямо, он считал свой пятый постулат в каком-то смысле хуже других, поскольку он нигде не использовал его в доказательстве первых двадцати восьми утверждений. Таким образом, мы можем сказать, что эти утверждения составляют так называемую «геометрию четырех постулатов» – ту часть геометрии, которая может быть выведена на основе первых четырех постулатов «Элементов», без помощи пятого. (Ее также часто называют абсолютной геометрией.) Безусловно, Эвклид предпочел бы найти доказательство этого «гадкого утенка», но за неимением такового, утенка пришлось принять на веру…
Ученики Эвклида также были не в восторге от пятого постулата. В течение многих лет несказанное количество математиков посвящало несказанное число лет своей жизни попыткам доказать, что сам пятый постулат – всего лишь часть геометрии четырех постулатов. К 1763 году были опубликованы по крайней мере двадцать восемь доказательств – и все ошибочные! (Они были раскритикованы в диссертации некоего Г. С. Клюгеля.) Во всех этих ошибочных доказательствах присутствовала путаница между повседневной интуицией и строго формальными свойствами. Пожалуй, можно сказать, что на сегодняшний день эти «доказательства» не представляют интереса ни для математиков, ни для историков; однако имеются и некоторые исключения.
Многоликий Неэвклид
Во времена Баха жил некий Джироламо Саккери 1667-1733), питавший надежду освободить труд Эвклида от всех его недостатков. Основываясь на своих работах в области логики, он решил подойти к доказательству пятого постулата по-новому: предположим, что мы принимаем за истинное утверждение, обратное данному постулату. Теперь попробуем работать с этим утверждением в качестве пятого постулата. Через некоторое время мы наверняка придем к противоречию. Поскольку никакая математическая система не может содержать противоречия, тем самым мы докажем несостоятельность нашего пятого постулата – а следовательно, состоятельность пятого постулата Эвклида. Необязательно вдаваться в подробности истории; достаточно сказать, что Саккери с большой изобретательностью начал работать над «Саккерианской геометрией», выводя одно утверждение за другим, пока ему не надоело. В один прекрасный день он решил, что очередное выведенное им утверждение «противно самому понятию прямой линии». Это, как ему показалось, было именно тем, чего он так долго искал – желанным противоречием! Сразу после этого, незадолго до смерти, Саккери опубликовал свой труд под названием «Эвклид, освобожденный от недостатков».
Этим он лишил себя большей доли посмертной славы, так как не подозревал, что открыл то, что стало позже известно под именем «гиперболической геометрии». Через пятьдесят лет после Саккери, Ж. Г. Ламберт повторил ту же попытку, на этот раз подойдя еще ближе к цели. Наконец, через сорок лет после Ламберта и через пятьдесят лет после Саккери, неэвклидова геометрия была признана как новая, полноправная область геометрии. На доселе прямой дороге математики появилась развилка. В 1928 году неэвклидова геометрия одновременно, по одному из необъяснимых совпадений, была открыта венгерским математиком Яношем (Иоганном) Больяйем, которому тогда был двадцать один год, и тридцатилетним русским, Николаем Лобачевским. По иронии судьбы, в том же году великий французский математик Адриен-Мари Лежандр решил, что он нашел доказательство пятого постулата Эвклида. Его рассуждения весьма напоминали рассуждения Саккери.
Кстати, отец Яноша, Фаркаш (или Волфганг) Больяй, близкий друг великого Гаусса, также вложил много сил в попытку доказать Пятый постулат. В письме к своему сыну он пытался отговорить того от подобных занятий:
Не пытайся пробовать этот подход к параллельным линиям. Я прошел этот путь до самого конца. Я пережил эту бездонную ночь, погасившую всякий свет и радость в моей жизни. Молю тебя, оставь науку о параллельных прямых в покое. Я думал, что жертвовал собой во имя истины. Я был готов стать мучеником, который освободил бы геометрию от ее недостатков и, очищенную, возвратил бы ее человечеству. Я предпринял огромный, чудовищный труд; мои создания – неизмеримо лучше, чем у моих предшественников. И все же я не смог добиться полного удовлетворения. Поистине, si paullum a summo discessit, vergit ad imum . Убедившись, что ни один смертный не может достичь дна этой темной бездны, я повернул обратно, безутешный, жалея себя и все человечество… Я проплыл мимо всех рифов этого дьявольского мертвого моря, всегда возвращаясь со сломанной мачтой и разодранными в клочья парусами. Именно в это время у меня испортился характер и в жизни моей началась осень. Я легкомысленно поставил на карту мое счастье и саму мою жизнь – aut Caesar aut nihil.[9]9
Herbert Meschkowski «Non Euclidean Geometry» стр. 31 2
[Закрыть]
Однако позже, убежденный, что его сын действительно чего-то достиг, Фаркаш настоятельно советовал ему опубликовать свои результаты, правильно предвидя такую частую в науке проблему одновременности:
Насколько верным это оказалось в случае с неэвклидовой геометрией! В Германии сам Гаусс и еще несколько человек одновременно набрели на неэвклидовы идеи. Среди них были адвокат Ф. К. Швайкарт, который в 1818 году послал Гауссу письмо с описанием новой «астральной» геометрии, племянник Швайкарта Ф. А. Тауринус, который занимался неэвклидовой тригонометрией и Ф. Л. Вахтер, студент Гаусса, который умер в 1817 году в возрасте двадцати пяти лет, успев получить несколько глубоких результатов в неэвклидовой геометрии.
Ключом к неэвклидовой геометрии являлось «принятие всерьез» постулатов, на которых основаны такие геометрии как геометрия Саккери или Ламберта. Постулаты Саккери кажутся «отвратительными самой природе понятия прямой линии» только в том случае, если вы не можете освободиться от предвзятого мнения о том, что называть «прямой линией». Однако если вы можете отказаться от подобных идей и считать, что «простая линия» – это то, что удовлетворяет новым постулатам, то ваша точка зрения радикально изменится.
Неопределяемые понятия
Эти рассуждения, вероятно, уже начинают звучать знакомо. В частности, они возвращают нас к теме системы pr и ее варианта, где символы приобретали пассивное значение, зависящее от их роли в теоремах. Особенно интересен был символ r, поскольку его «значение» изменилось, когда мы прибавили новую схему аксиом. Совершенно так же значения понятий «точка», «линия» и т. д. могут определяться множеством теорем (или постулатов), в которых они встречаются. Очень важно, что открыватели неэвклидовой геометрии это осознали. Они нашли различные неэвклидовы геометрии, по-разному отрицая пятый постулат Эвклида и изучая последствия этого. Строго говоря, они (как и Саккери) не отрицали пятого постулата прямо; вместо этого они отрицали эквивалентный, так называемый параллельный постулат:
Через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, не пересекающуюся с первой прямой, сколько бы мы их не продолжали.
В таком случае мы говорим, что вторая линия параллельна первой. Предполагая, что таких линий вообще не существует, вы входите в область эллиптической геометрии; утверждая же, что таких прямых существует по крайней мере две, вы оказываетесь в гиперболической геометрии. Говоря об этих вариантах, мы все еще используем термин «геометрия» поскольку в них присутствует основной элемент – абсолютная геометрия или геометрия четырех постулатов. Именно это «ядро» позволяет нам считать, что эти варианты – описания свойств некого геометрического пространства, хотя это пространство не так легко интуитивно представить, как обычное.
На самом деле, эллиптическую геометрию нетрудно представить зрительно. Все «точки», «линии» и т. д. должны быть частью поверхности обыкновенной сферы. Давайте условимся писать «ТОЧКА» когда имеется в виду технический термин, и «точка» – когда речь идет о повседневном значении. Мы можем сказать что ТОЧКА состоит из пары диаметрально противоположных точек на поверхности сферы. ЛИНИЯ – это большой круг на сфере (круг, центр которого, как и центр экватора, совпадает с центром самой сферы). В этой интерпретации утверждения эллиптической геометрии, хотя и содержат такие слова как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ», описывают происходящее на сфере, а не на плоскости. Обратите внимание, что две ЛИНИИ всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках – а значит, в одной ТОЧКЕ! И, точно так же как две ЛИНИИ определяют ТОЧКУ, две ТОЧКИ определяют ЛИНИЮ.
Считая, что значения таких слов как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ» полностью зависят от утверждений, в которых эти слова встречаются, мы делаем шаг к полной формализации геометрии. Эта полуформальная версия еще употребляет множество слов русского языка в их обыденном значении («и», «если», «имеет», «соединяет» и т. п.), однако такие слова как «ТОЧКА» и «ЛИНИЯ» своего обыденного значения здесь лишены – поэтому мы называем их неопределяемые понятия. Неопределяемые понятия, такие как p и r системы pr, в каком-то смысле определены косвенно, – совокупностью всех утверждений, в которых они встречаются, – скорее чем прямо, в некоем определении.
Можно было бы утверждать, что полное определение неопределяемых понятий находится только в постулатах, так как там уже содержатся все вытекающие из них утверждения. Подобная точка зрения означала бы, что постулаты являются косвенными определениями всех неопределяемых понятий, поскольку те получают определение через какие-либо другие понятия.
Возможность множественных интерпретаций
Полная формализация геометрии означала бы, что каждый термин превратился бы в неопределяемое понятие, то есть стал бы «бессмысленным» символом какой-либо формальной системы. Я заключил слово «бессмысленный» в кавычки, поскольку, как вы знаете, символы автоматически приобретают различные пассивные значения, зависящие от теорем, в которых эти символы встречаются. Однако обнаружат ли люди эти значения – это уже другой вопрос, так как для этого необходимо найти такое множество понятий, которое может быть связано изоморфизмом с символами данной формальной системы. По идее, желая формализовать геометрию, мы обычно уже имеем в виду определенную интерпретацию для каждого символа, так что пассивные значения оказываются уже встроенными в систему. Именно это я и сделал с символами p и r, когда придумывал систему pr.
Но ведь могут существовать и другие пассивные значения, которые, в принципе, возможно подметить – только до сих пор еще никто этого не сделал! Например, первоначальная система pr допускала довольно неожиданную интерпретацию r как «равняется» и p как «отнятое от». Хотя это довольно тривиальный пример, он неплохо передает суть идеи о том, что символы могут иметь множество значимых интерпретаций; искать их – дело наблюдателя!…
Все, что мы до сих сказали, может быть сведено к понятию «непротиворечивости». Мы начали с введения формальной системы, которая, на первый взгляд, не только находилась в противоречии с внешним миром, но и имела внутренние противоречия. Однако через несколько минут нам пришлось взять эти «обвинения» обратно и признать свою ошибку; оказывается, дело было в том, что мы выбрали неудачную интерпретацию для символов системы. Изменив интерпретацию, мы вернули системе ее непротиворечивость! Становится ясно, что непротиворечивость – не свойство формальных систем как таковых, но зависит от интерпретации, предложенной для данной системы. Совершенно так же не является свойством формальных систем как таковых и противоречивость.
Разные виды непротиворечивости
Все это время мы говорили о «непротиворечивости» и «противоречивости», не давая определений этим понятиям. При этом мы опирались на старый добрый здравый смысл. Давайте теперь точно определим, что имеется в виду под непротиворечивостью формальной системы (вместе с ее интерпретацией). Это означает, что каждая теорема, будучи интерпретирована, становится истинным утверждением. С другой стороны, если среди интерпретированных теорем найдется хоть одно ложное утверждение, мы говорим о противоречивости данной системы.
Это определение говорит нам о противоречивости по отношению к внешнему миру – а как насчет внутренних противоречий? По идее, система была бы внутренне противоречива, если бы она содержала по крайней мере две теоремы, чьи интерпретации были бы несовместимы друг с другом, и непротиворечива, если бы все теоремы были совместимы между собой. Рассмотрим, например, формальную систему, имеющую только следующие три теоремы: ЧвЗ, ЗвЭ и ЭвЧ. Если Ч интерпретируется как «Черепаха», З – как «Зенон», Э – как «Эгберт» и x в y – как x всегда выигрывает в шахматы у «y», то мы имеем следующие интерпретированные теоремы:
Черепаха всегда выигрывает в шахматы у Зенона.
Зенон всегда выигрывает в шахматы у Эгберта.
Эгберт всегда выигрывает в шахматы у Черепахи.
Эти утверждения нельзя назвать несовместимыми, хотя они и описывают довольно странную компанию шахматистов. Таким образом, в этой интерпретации формальная система, в которой эти три строчки являются теоремами, внутренне непротиворечива, хота на самом деле ни одна из ее теорем не является истинной! Внутренняя непротиворечивость требует от теорем не того, чтобы все они были истинными, а лишь того, чтобы все они были совместимы друг с другом.
А теперь давайте предположим, что x в y интерпретируется как «x был изобретен y». Тогда у нас было бы:
Черепаха была изобретена Зеноном
Зенон был изобретен Эгбертом
Эгберт был изобретен Черепахой
В этом случае неважно, какие из отдельных высказываний истинны – а может быть, вообще нельзя установить, какие из них истинны и какие ложны. Однако мы можем с уверенностью сказать, что все три высказывания не могут быть истинными одновременно. Таким образом, данная интерпретация делает систему внутренне противоречивой. Противоречие здесь зависит не от интерпретации заглавных букв, а от интерпретации в и от того, как заглавные буквы передвигаются по кругу вокруг в. Следовательно, можно говорить о внутренней противоречивости, не интерпретируя всех символов системы. (В данном случае хватило интерпретации одного-единственного символа) Возможно, что интерпретировав достаточное количество символов, мы уже ясно увидим, что никакая дальнейшая интерпретация не сделает все теоремы истинными. Дело здесь, однако, не только в истине, а в возможности. Все три теоремы оказались бы ложными, если бы мы интерпретировали заглавные буквы как имена реальных персонажей, однако мы называем систему внутренне противоречивой по другой причине. Мы основываем наше суждение на интерпретации буквы в в сочетании с кругообразностью (Еще кое-что об этом «авторском треугольнике» вы найдете в главе XX).
Гипотетические миры и непротиворечивость
Мы привели два взгляда на непротиворечивость: первый утверждает, что система вместе с ее интерпретацией непротиворечива по отношению к внешнему миру, когда любая из ее интерпретированных теорем оказывается истинной. Другой говорит нам, что система вместе с ее интерпретацией внутренне непротиворечива, когда все ее теоремы, будучи интерпретированы, совместимы друг с другом. Эти два типа непротиворечивости тесно связаны. Чтобы определить совместимы ли друг с другом несколько высказываний, мы пытаемся представить себе такой мир, в котором все они могут быть истинными одновременно. Таким образом, внутренняя непротиворечивость зависит от непротиворечивости с внешним миром – только теперь «внешний мир» может быть любым воображаемым миром, вместо того, в котором мы живем. Однако это весьма неопределенное и неудовлетворительное заключение. Что составляет такой «воображаемый мир»? В конце концов, возможно вообразить и такой мир, в котором три героя изобретают друг друга по очереди. Или нет? Возможно ли вообразить мир, в котором есть квадратные круги? Или мир, в котором действительны законы Ньютона, а не законы относительности? Возможно ли вообразить такой мир, в котором что-то было бы одновременно зеленым и не зеленым? Или мир, в котором животные не сделаны из клеток? Мир, в котором Бах сымпровизировал восьмиголосную фугу на тему короля Фридриха Великого? В котором комары умнее людей? В котором Черепахи умеют играть в футбол и говорить? Разумеется, Черепаха, говорящая о футболе, была бы аномалией.
Некоторые из этих миров кажется легче вообразить, чем другие, так как некоторые из них включают логические противоречия – например, зеленый и не зеленый – в то время как другие кажутся, за неимением лучшего слова, возможными, сюда например, относятся Бах, импровизирующий восьмиголосную фугу, или животные, состоящие не из клеток. Или даже такие миры, в которых законы физики отличаются от наших… Пожалуй, можно сказать, что имеются разные типы непротиворечивости. Например, самым широким был бы «логически непротиворечивый» класс, так как для вхождения в него не существует никаких ограничений, кроме логических. Система является логически непротиворечивой, когда никакие из ее двух теорем, будучи интерпретированы как суждения, прямо не противоречат одна другой; математически непротиворечивой, когда интерпретированные теоремы не нарушают законов математики и физически непротиворечивой, когда интерпретированные теоремы совместимы с законами физики. За этим следует биологическая непротиворечивость и так далее. В биологически непротиворечивой системе может существовать теорема, интерпретация которой – суждение «Шекспир написал оперу», но не теорема, интерпретируемая как «Существуют неклеточные животные». Подобные причудливые типы противоречивости никто не изучает, так как их весьма сложно различить. Какая именно противоречивость заключена в задаче о трех героях, изобретающих друг друга по кругу? Логическая? Физическая? Биологическая? Литературная?
Обычно граница между интересным и неинтересным проводится между физической и математической непротиворечивостью. (Разумеется, эту линию проводят сами математики и физики – компания, которую вряд ли можно назвать беспристрастной!…) Это значит, что при рассмотрении формальных систем «учитываются» два типа противоречивости – математическая и логическая. В соответствии с этим критерием мы еще не нашли такой интерпретации, в которой тройка теорем ЧвЗ, ЗвЭ, ЭвЧ была бы противоречива. Для этого мы могли бы интерпретировать в как «больше чем». Как насчет Ч, 3, и Э? Они могут быть интерпретированы, например, как 0, 2 и 11, соответственно. Обратите внимание, что таким образом две теоремы оказываются истинными, и одна – ложной. Если бы мы интерпретировали З как 3, у нас получилось бы две ложных и одна истинная теорема. Однако в обоих случаях система была бы противоречива. На самом деле неважно, какое значение мы придаем Ч, З и Э, если мы не выходим за пределы натуральных чисел. Здесь мы опять сталкиваемся со случаем, когда, для того чтобы обнаружить внутреннюю противоречивость, необходима лишь частичная интерпретация символов системы.
Включение одной формальной системы в другую
Предыдущий пример, в котором были интерпретированы только некоторые из символов, чем-то напоминает занятия геометрией на натуральном языке, когда мы используем некоторые слова как неопределяемые понятия. В таком случае слова делятся на два класса: те, чье значение неизменно и четко определено, и те, чье значение меняется до тех пор, пока система не станет непротиворечивой.(Последние и являются неопределяемыми понятиями). Такой подход к геометрии требует, чтобы слова первого класса уже имели определения, приобретенные вне геометрии. Эти слова формируют скелет системы, ее глубинную структуру, которая может быть затем наполнена различным материалом (эвклидова или неэвклидова геометрия).
Формальные системы часто строятся именно по такому последовательному или иерархическому типу. Например, можно придумать Формальную Систему I, с правилами и аксиомами, дающими некие пассивные значения ее символам. Эта Формальная Система I включается в более широкую систему с большим количеством символов – Формальную систему II. Поскольку правила и аксиомы Формальной Системы I являются частью Формальной Системы II, пассивные значения символов Формальной Системы I остаются в силе и формируют жесткий скелет, играющий важную роль в определении пассивных значений новых символов Формальной Системы II. Вторая система может, в свою очередь, являться скелетом для третьей системы, и так далее. Может также существовать система (например, абсолютная геометрия) которая частично дает пассивные значения своих неопределяемых понятий и которая может быть дополнена правилами и аксиомами, далее ограничивающими эти значения. Именно это и происходит в случае эвклидовой геометрии в сравнении с неэвклидовой.
Уровни стабильности в зрительном восприятии
Подобным иерархическим образом мы приобретаем новые знания, расширяем наш словарный запас или воспринимаем незнакомые предметы. Это особенно интересно, когда мы пытаемся понять картины Эшера, скажем, такие, как «Относительность» (рис. 22), где часто встречаются совершенно невозможные образы. Можно предположить, что в таком случае мы должны пытаться интерпретировать картину снова и снова, пока не найдем непротиворечивой интерпретации – однако мы поступаем совершенно иначе. Мы сидим перед картиной, заинтригованные лестницами, ведущими во всех воображаемых направлениях, и людьми, идущими по одной и той же лестнице в противоречащих друг другу направлениях. Лестницы являются тем «островком уверенности», на котором мы основываем нашу интерпретацию всей картины. Увидев в них знакомый предмет, мы пытаемся затем установить, как они связаны друг с другом. На этом этапе мы сталкиваемся с проблемой. Однако если бы мы попытались отказаться от своих взглядов и поставить под сомнение сами «островки уверенности», то столкнулись бы с трудностями иного рода. Мы никак не можем «перерешить» то, что лестницы – это лестницы. Не рыбы, кнуты или руки, а именно лестницы. (На самом деле, выход у нас все-таки есть: можно оставить все линии картины вообще без интерпретации, как «бессмысленные символы» формальной системы. Этот путь – пример «способа U», или отношения дзен-буддизма к символизму.)
Рис. 22. М. К. Эшер. «Относительность» (литография, 1953).
Таким образом, иерархическая природа нашего восприятия заставляет нас видеть либо сумасшедший мир, либо кучу бессмысленных линий. Так же можно проанализировать и многие другие картины Эшера, опирающиеся на какие-либо стандартные формы, соединенные нестандартным образом. Когда зритель видит парадокс на высшем уровне, уже поздно возвращаться и пытаться поменять исходные интерпретации объектов нижнего уровня. Разница между рисунками Эшера и неэвклидовой геометрией заключается в том, что в последней возможно найти значимые интерпретации для неопределяемых понятий таким образом, что система становится понятной, в то время как в первой конечный результат несовместим с нашей концепцией мира, как бы долго мы не рассматривали картину. Конечно, можно придумать такие гипотетические миры, в которых Эшеровские события могут произойти… но эти миры подчинялись бы законам биологии, физики, математики и даже логики на одном уровне, одновременно нарушая их на другом уровне. Что за странные миры! (Примером этого может служить «Водопад» (рис. 5), где вода подчиняется нормальным законам гравитации, в то время как природа пространства идет вразрез с законами физики.)
