Текст книги "ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда"
Автор книги: Даглас Хофштадтер
Жанры:
Философия
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 24 (всего у книги 64 страниц)
(4) MUI – правило III – 301
(5) MUIU – правило I – 3010
(6) MUIUUIU – правило II – 3010010
(7) MUIIU – правило IV – 30110
Левая колонка получается при помощи наших четырех формальных типографских правил. О правой колонке можно сказать, что она также получилась в результате применения подобных правил. Однако правая колонка – дуалистична. Сейчас я объясню, чти это означает.
Восприятие вещей одновременно с типографской и с арифметической точки зрения
О пятой строчке («3010») можно сказать, что она была сделана из четвертой добавлением «0» справа; с другой стороны, мы можем так же легко представить себе, что она была получена в результате арифметической операции – а именно, умножения на 10. Когда натуральные числа записаны в десятичной системе, умножение на 10 и добавление справа «0» неотличимы друг от друга. Мы можем воспользоваться этим и записать арифметическое правило, соответствующее типографскому правилу I:
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО Iа: Число, десятичное продолжение которого оканчивается справа на «1», может быть умножено на 10.
Мы можем избавиться от упоминания символов в десятичном продолжении, арифметически описав правую цифру:
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО Ib: Если при делении некоего числа на 10 в остатке получается «1», то это число может быть умножено на 10.
Можно было бы воспользоваться и чисто типографским правилом, как, например, следующее:
ТИПОГРАФСКОЕ ПРАВИЛО I: Из любой теоремы, которая кончается на «1», можно получить новую теорему, добавляя «0» справа от этой «1».
Все эти правила дают одинаковый эффект. Именно поэтому правая колонка дуалистична: ее можно рассматривать как серию типографских операций, превращающих одну схему символов в другую, или как серию арифметических операций, превращающих одну величину в другую. Существуют веские причины к тому, чтобы больше интересоваться арифметической версией. Переход из одной чисто типографской системы в другую, изоморфную типографскую систему – это не слишком занимательно; с другой стороны, переход из типографской области в изоморфную ей часть теории чисел предоставляет интересные, ранее неиспользованные возможности. Словно кто-то всю жизнь имел дело только с нотной записью, и вдруг ему показали соответствие между нотами и звуками. Какой удивительное богатство открылось перед ним! Или, возвращаясь к Ахиллу и Черепахе, играющим с цепочками, представьте себе человека, который хорошо знаком с фигурами из цепочек, и которому вдруг открылось соответствие между цепочками и рассказами. Какое откровение! Открытие Геделевой нумерации сравнивают с открытием Декарта, установившего изоморфизм между линиями на плоскости и уравнениями с двумя переменными. Это кажется невероятно просто – но это открывает дорогу в огромный новый мир.
Однако прежде чем придти к заключению, давайте рассмотрим подробнее этот высший уровень изоморфизма. Это очень хорошее упражнение. Наша цель – придумать арифметические правила, действующие точно так же, как типографские правила системы MIU.
Ниже приведено решение. В этих правилах m и k – произвольные натуральные числа, и n – любое натуральное число, меньшее 10m.
ПРАВИЛО 1: Если мы получили 10m + 1, то мы можем получить 10 * (10m + 1).
Пример: Переход от строчки 4 к строчке 5. Здесь m = 30
ПРАВИЛО 2: Если мы получили 3 * 10m + n, то мы можем получить 10m * (3 * 10m + n) + n
Пример: Переход от строчки 1 к строчке 2, где n и m равняются 2.
ПРАВИЛО 3: Если мы получили k *10m+3 + 111 * 10m + n, то мы можем получить k * 10 m+1 + n.
Пример: Переход от строчки 3 к строчке 4. Здесь m и n равняются 1 и k равняется 3.
ПРАВИЛО 4: Если мы получили k * 10m +2+ n, то мы можем получить k * 10 m + n.
Пример: Переход от строчки 6 к строчке 7. Здесь m=2, n=10 и k=301.
Не следует забывать нашу аксиому! Без нее мы как без рук, так что давайте запишем постулат.
Мы можем получить 31.
Теперь правую колонку можно рассматривать как арифметический процесс в новой арифметической системе, которую мы назовем системой 310:
(1) 31 аксиома
(2) 311 правило 2 (m = 1, n = 1)
(3) 31111 правило 2 (m = 2, n = 11)
(4) 301 правило 3 (m = 1, n = 1, k = 3)
(5) 3010 правило 1 (m = 30)
(6) 3010010 правило 2 (m = 3, n = 10)
(7) 30110 правило 4 (m = 2, n = 10, k = 301)
Обратите внимание на то, что удлиняющие и укорачивающие правила снова с нами и в системе 301; они просто переведены в область чисел таким образом, что Гёделевы номера в системе возрастают и уменьшаются. Если вы посмотрите внимательно на то, что происходит, то увидите, что правила основаны на простой идее, а именно: сдвиг цифр направо и налево в десятичной записи чисел имеет отношение к умножению на степени числа 10. Это простое наблюдение обобщено в следующем центральном предложении:
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ: Если у нас имеется некоторое правило, говорящее нам, как определенные цифры могут быть передвинуты, заменены, добавлены или опущены в в десятичной записи любого числа, то это правило также может быть представлено соответствующим арифметическим правилом при помощи арифметических операций со степенями числа 10, а также сложения, вычитания и так далее.
Или короче:
Типографские правила манипуляции с символами чисел эквивалентны арифметическим правилам операций с числами.
Это простое наблюдение находится в самом сердце Гёделева метода; оно будет иметь совершенно потрясающий эффект. Оно говорит нам, что если у нас есть Гёделева нумерация для любой формальной системы, мы можем тут же получить набор арифметических правил, дополняющих Гёделев изоморфизм. В результате оказывается возможным перевести изучение любой формальной системы – на самом деле, всех формальных систем – в область теории чисел.
Числа, выводимые в MIU
Подобно тому, как набор типографских правил порождает набор теорем, в результате повторного применения арифметических правил получается соответствующее множество натуральных чисел. Эти выводимые числа играют ту же роль в теории чисел, как теоремы – в любой формальной системе. Разумеется, набор выводимых чисел изменяется в зависимости от принятых правил. «Выводимые числа» выводимы только относительно данной системы арифметических правил. Например, такие числа как 31, 3010010, 31111 и так далее могут быть названы выводимыми в системе MIU. Это неуклюжее название можно сократить до чисел MIU; оно символизирует тот факт, что эти числа – результат перевода системы MIU в теорию чисел при помощи Гёделевой нумерации. Если бы мы захотели приложить Гёделеву нумерацию к системе pr и затем «арифметизировать» ее правила, мы могли бы называть полученные числа «числами pr» – и так далее.
Заметьте, что выводимые числа (в любой данной системе) определяются рекурсивным методом: нам даны числа, о которых мы знаем, что они выводимы, и набор правил, объясняющих, как получить другие выводимые числа. Таким образом, класс выводимых чисел постоянно расширяется, подобно списку чисел Фибоначчи или чисел Q. Множество выводимых чисел любой системы – это рекурсивно счетное множество. А как насчет его дополнения – множества невыводимых чисел? Имеют ли они какую-либо общую арифметическую черту?
Подобные вопросы возникают тогда, когда изучение формальных систем переносится в область теории множеств. О каждой арифметизированной системе можно спросить: «Возможно охарактеризовать выводимые числа каким-либо простым способом?» «Возможно ли охарактеризовать невыводимые числа рекурсивно счетным способом?» Эти вопросы теории чисел весьма непросты, и, в зависимости от арифметизированной системы, могут оказаться для нас слишком трудными. Если и есть надежда найти на них ответ, то она лежит в методических логических рассуждениях, подобных тем, что обычно используются для изучения натуральных чисел. Суть этих рассуждений была изложена в предыдущей главе. По всей видимости, в ТТЧ нам удалось полностью представить все математические рассуждения в одной единственной компактной системе.
ТТЧ помогает ответить на вопросы о выводимых числах
Значит ли это, что одна-единственная формальная система – ТТЧ – предоставляет нам способ ответить на любой вопрос о любой формальной системе? Возможно. Возьмем например, такой вопрос:
Является ли MU теоремой системы MIU?
Найти ответ на этот вопрос означало бы определить, является ли 30 числом MIU. Поскольку это утверждение – высказывание теории чисел, мы должны надеяться, что при достаточном усилии нам удастся перевести высказывание «30 – число MIU» в нотацию ТТЧ, точно так же, как нам удалось перевести на язык ТТЧ другие высказывания теории чисел. Должен сразу предупредить читателя, что, хотя подобный перевод существует, он невероятно сложен. Если вы помните, в главе VIII я говорил, что даже такой простой арифметический предикат как «b – степень 10» весьма непросто перевести в ТТЧ; предикат же «30 – число MIU» перевести еще гораздо сложнее! Все же этот, перевод можно найти, и число SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS0 может быть подставлено в него вместо любого b. Результатом явилась бы МОНструозная строчка ТТЧ, говорящая о головоломке MU. Сдается мне, что подходящим названием для этой строчки было бы МУМОН. С помощью МУМОНа и подобных строчек ТТЧ теперь способна говорить в закодированной форме о системе MIU.
Дуалистическая природа МУМОНа
Чтобы извлечь какую-либо пользу из этой странной трансформации нашего первоначального вопроса, нам необходимо ответить еще на один вопрос:
Является ли МУМОН теоремой ТТЧ?
До сих пор мы всего лишь заменили короткую строчку (MU) на другую (монструозный МУМОН) и простую формальную систему (MIU) – на более сложную (ТТЧ). Хотя мы перефразировали, вопрос, маловероятно, что это приблизило нас к ответу. Действительно, в ТТЧ есть такая куча укорачивающих и удлиняющих правил, что перифраз вопроса, скорее всего, окажется гораздо труднее оригинала. Некоторые читатели, пожалуй, могли бы сказать, что анализировать MU пои помощи МУМОНа – значит нарочно смотреть на вещи по-дурацки. Однако МУМОНа можно рассматривать более, чем на одном уровне.
Интересно то, что в МУМОНе есть два различных пассивных значения. Во-первых, приведенное выше:
30 – число MIU.
Во-вторых, мы знаем, что это высказывание изоморфно следующему:
MU – теорема системы MIU.
Следовательно, мы имеем право утверждать, что последнее высказывание – второе пассивное значение МУМОНа. Это может показаться странным, поскольку МУМОН состоит всего лишь из плюсов, скобок и тому подобных символов ТТЧ. Как же он может выражать что-либо, кроме арифметических высказываний?
На самом деле, это возможно. Так же, как одна единственная музыкальная строчка может заключать в себе гармонию и мелодию, как слово BACH может быть прочитано как имя и как мелодия, как одно и то же словосочетание может быть аккуратным описанием картины Эшера, структуры ДНК, произведения Баха или Диалога под тем же названием, МУМОН может быть понят, по крайней мере, двояко. Это происходит благодаря следующим фактам:
Факт 1. Высказывания типа «MU – теорема» могут быть закодированы в теории чисел при помощи Гёделевой нумерации.
Факт 2. Высказывания теории чисел могут быть переведены в ТТЧ.
Можно сказать, что (согласно Факту 1) МУМОН – это закодированное сообщение, в котором (согласно Факту 2) символы кода – не более, чем символы ТТЧ.
Коды и неявное значение
Вы можете возразить, что закодированное сообщение, в отличие от незакодированного, само по себе ничего не выражает – чтобы его понять, необходимо знать код. Однако на самом деле незакодированных сообщений не существует Просто одни сообщения написаны на более знакомых кодах, а другие – на менее знакомых. Чтобы раскрыть значение сообщения, его необходимо «извлечь» из кода при помощи некоего механизма, или изоморфизма Иногда открыть метод дешифровки бывает трудно, но, как только этот метод раскрыт, сообщение становится прозрачным, как стекло. Когда код становится достаточно знакомым, он перестает выглядеть как таковой, и мы забываем о существовании декодирующего .механизма. Сообщение сливается со значением.
Здесь мы сталкиваемся со случаем такого полного отождествления сообщения со значением, что мы с трудом можем вообразить, что данные символы могут иметь какое-то иное значение. Мы настолько привыкли считать, что символы ТТЧ придают строчкам этой системы теоретико-числовое значение (и только теоретико-числовое), что нам бывает трудно представить, что некоторые строчки ТТЧ могут быть интерпретированы, как высказывания о системе MIU. Однако Гёделев изоморфизм заставляет нас признать этот второй уровень значения у некоторых строчек ТТЧ.
МУМОН, декодированный в более знакомом нам виде, сообщает, что
30 – число МIU.
Это высказывание теории чисел, полученное при интерпретации каждого знака обычным путем.
Открыв Гёделеву нумерацию и построенный на ее основе изоморфизм, мы в каком-то смысле расшифровали код, на котором высказывания о системе MIU записаны при помощи строчек ТТЧ. Гёделев изоморфизм – это новый обнаружитель информации, в том же смысле, как дешифровки старинных текстов были обнаружителями заложенной в этих текстах информации.
Декодированное этим новым и менее знакомым нам способом, МУМОН сообщает, что
MU – теорема системы MIU.
Мораль этой истории мы уже слышали: любой узнанный нами изоморфизм автоматически порождает значение; следовательно, у МУМОНа есть по крайней мере два пассивных значения, а может быть, и больше!
Бумеранг – Гёделева нумерация ТТЧ
Разумеется, это еще не конец; мы только начали открывать возможности Гёделева изоморфизма. Естественным трюком было бы использовать возможность ТТЧ отображать другие формальные системы на себя саму, на манер того, как Черепаха повернула патефоны Краба против их самих, или как Бокал Г атаковал сам себя, разбившись. Чтобы это сделать, мы должны приложить Гёделеву нумерацию к самой ТТЧ, так же, как мы это сделали с системой MIU, и затем «арифметизировать» правила вывода. Это совсем нетрудно. Например, мы можем установить следующее соответствие:
Символ Кодон Мнемоническое обоснование
0 ....... 666 Число Зверя для Таинственного Нуля
S ....... 123 последовательность: 1, 2, З…
= ....... 111 зрительное сходство, в повернутом виде + ....... 112 1+1=2
* ....... 236 2*3=6
( ....... 362 кончается на 2
) ....... 323 кончается на 3 | эти
< ....... 212 кончается на 2 | три пары
> ....... 213 кончается на 3 | формируют
[ ....... 312 кончается на 2 | схему
] ....... 313 кончается на 3 /
а ....... 262 противоположно A (626)
' ....... 163 163-простое число
Λ ...... 161 «Λ»-«график» последовательности 1-6-1"
V ...... 616 «V»-«график» последовательности 6-1-6
э ...... 633 в некотором роде, из 6 следуют 3 и 3
~ ....... 223 2+2 не 3
E ....... 333 «E» выглядит как «3»
A ....... 626 противоположно «A»– также «график» 6-2-6
: ....... 636 две точки, две шестерки
пунк .... 611 особенное число (именно потому, что в нем нет ничего особенного)
Каждый символ ТТЧ соотнесен с трехзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 6 таким образом, чтобы его было легче запомнить. Каждое такое трехзначное число я буду называть Геделев кодоном, или, для краткости, кодоном. Заметьте, что для b. с, d или е кодонов не дано, поскольку мы используем здесь строгую версию ТТЧ. Для этого есть причина, которую вы узнаете в главе XVI. Последняя строчка, «пунктуация», будет объяснена в главе XIV.
Теперь мы можем представить любую строчку или правило ТТЧ в новом наряде. Вот, например, Аксиома 1 в двух нотациях, новая над старой:
626, 262, 636, 223, 123, 262, 111, 666
. A a : ~ S a = 0
Обычная условность – использование пунктуации после каждых трех цифр – очень кстати совпала с нашими кодонами, облегчая их чтение.
Вот Правило Отделения в новой записи:
ПРАВИЛО: Если x и 212x633y213 являются теоремами, то у – также теорема.
Наконец, вот целая деривация, взятая из предыдущей главы; она дана в строгой версии ТТЧ и записана в новой нотации:
626,262,636,626.262,163,636,362,262,112,123,262,163,323,111,123,362,262,112,262,163,323 аксиома 3
. A a : A a ' : ( a + S a ' ) = S ( a + a ' )
626,262,163,636,362,123,666,112,123,262,163,323,111,123,362,123,666,112,262,163,323 спецификация
. A a ' : ( S 0 + S a ' ) = S ( S 0 + a ' )
362,123,666,112,123,666,323,111,123,362,123,666,112,666,323 спецификация
. ( S 0 + S 0 ) = S ( S 0 + 0 )
626,262,636,362,262,112,666,323.111.262 аксиома 2
. A а : ( а + 0 ) = а
362,123,666,112,666,323,111,123,666 спецификация
. ( S 0 + 0 ) = S 0
123,362,123,666.112,666,323,111,123,123,666 добавить «123»
. S ( S 0 + 0 ) = S S 0
362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666 транзитивность
. ( S 0 + S 0 ) = S S 0
Обратите внимание, что я изменил название правила «добавить S» на «добавить 123», поскольку данное правило узаконивает именно эту типографскую операцию.
Новая нотация кажется весьма странной. Вы теряете всякое ощущение значения; однако, если потренироваться, вы сможете читать строчки в этой нотации так же легко, как вы читали строчки ТТЧ. Вы сможете отличать правильно сформированные формулы от неправильных с первого взгляда. Естественно, поскольку это настолько наглядно, вы будете думать об этом, как о типографской операции – но в то же время выбор правильно сформированных формул в этой нотации эквивалентен выбору определенного класса чисел, у которых есть также арифметическое определение.
А как же насчет «арифметизации» всех правил вывода? Они все еще остаются типографскими. Но погодите минутку! Согласно Центральному Предложению, типографское правило – все равно, что арифметическое правило. Ввод и перестановка цифр в числах десятичной записи – это арифметическая операция, которая может быть осуществлена типографским путем. Подобно тому, как добавление «О» справа от числа эквивалентно умножению этого числа на 10, каждое правило представляет собой компактное описание длинного и сложного арифметического действия. Таким образом, нам не придется искать эквивалентных арифметических правил, поскольку все правила уже арифметические!
Числа ТТЧ: рекурсивно счетное множество чисел
С такой точки зрения, приведенная выше деривация теоремы «362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666» представляет собой последовательность весьма сложных теоретико-численных трансформаций, каждая из которых действует на одно или более данных чисел. Результатом этих трансформаций является, как и ранее, выводимое число, или, более точно, число ТТЧ. Некоторые арифметические правила берут старое число ТТЧ и увеличивают его определенным образом, чтобы получить новое число ТТЧ, некоторые уменьшают старое число ТТЧ; другие правила берут два числа ТТЧ, воздействуют на них определенным образом и комбинируют результаты, получая новое число ТТЧ – и так далее, и тому подобное. Вместо того, чтобы начинать с одного известного числа ТТЧ, мы начинаем с пяти – одно для каждой аксиомы (в строгой нотации). На самом деле, арифметизированная ТТЧ очень похожа на арифметизированную систему MIU – только в ней больше аксиом и правил, и запись точных арифметических эквивалентов была бы титаническим и совершенно «непросветляющим» трудом. Если вы внимательно следили за тем, как это было сделано для системы MIU, у вас должно быть сомнений в том, что здесь это делается совершенно аналогично.
Эта «гёделизация» ТТЧ порождает новый теоретико-числовой предикат:
а – число ТТЧ.
Например, мы знаем из предыдущей деривации, что 362,123,666,112,123,666,323,111,123,123,666является числом ТТЧ, в то время как число 123,666,111,666 числом ТТЧ предположительно не является.
Оказывается, что этот новый теоретико-численный предикат можно выразить некоей строчкой ТТЧ с одной свободной переменной – скажем, а. Мы могли бы поставить тильду впереди, и эта строчка выражала бы дополняющее понятие:
а – не число ТТЧ.
Теперь давайте заменим все а в этой второй строчке на символ числа ТТЧ для 123,666,111,666 – символ, содержащий ровно 123,666,111,666 S и слишком длинный, чтобы его здесь записывать. У нас получится строчка ТТЧ, которая, подобно МУМОНу, может быть интерпретирована на двух уровнях. Во-первых, она будет означать
123,666,111,666 – не число ТТЧ.
Но, благодаря изоморфизму, связывающему числа, ТТЧ с теоремами ТТЧ, у этой строчки есть и второе значение:
S0=0 не теорема ТТЧ.
ТТЧ пытается проглотить саму себя
Это неожиданно двусмысленное толкование показывает, что ТТЧ содержит строчки, говорящие о других строчках ТТЧ. Иными словами, метаязык, на котором мы можем говорить о ТТЧ, берет начало, хотя бы частично, внутри самой ТТЧ. И это не случайность; дело в том, что архитектура любой формальной системы может быть отражена в Ч (теории чисел). Это такая же неизбежная черта ТТЧ, как колебания, вызываемые в патефоне, проигрываемой на нем пластинкой. Кажется, что колебания должны вызываться внешними причинами, – например, прыжками детей или ударами мяча; но побочный – и неизбежный – эффект произведения звуков заключается в том, что они заставляют колебаться сам механизм, их порождающий. Это не случайность, а закономерный и неизбежный побочный эффект. Он свойствен самой природе патефонов. И так же самой природе любой формализации теории чисел свойственно то, что ее метаязык содержится в ней самой.
Мы можем почтить это наблюдение, назвав его Центральной Догмой Математической Логики и изобразив его на двухступенчатой диаграмме.
ТТЧ ==> Ч ==> мета-ТТЧ
Иными словами, у строчки ТТЧ есть интерпретация в Ч, а у высказывания Ч может быть второе значение – оно может быть понято как высказывание о ТТЧ.
G: строчка, говорящая о себе самой на коде
Эти интересные факты – только половина истории. Другая половина – интенсификация автореференции. Мы сейчас находимся в положении Черепахи, когда она обнаружила, что можно создать пластинку, разбивающую проигрывающий ее патефон. Вопрос только в том, какую именно запись надо ставить на данный патефон. Выяснить это непросто.
Для этого нужно найти строчку ТТЧ – мы будем называть ее «G» – которая говорит о себе самой, в том смысле, что – одно из ее пассивных значений – это высказывание о G.
В частности, этим пассивным значением окажется
«G– не теорема ТТЧ»
Я должен добавить, что у G есть и другое пассивное значение, являющееся высказыванием теории чисел; подобно тому, как МУМОН мог быть интерпретирован двояко. Важно то, что каждое пассивное значение – действительно и полезно, и никоим образом не бросает тень сомнения на второе значение. (Тот факт, что играющий патефон может вызывать колебания в самом себе и в пластинке, не отрицает того, что эти колебания – музыкальные звуки!)
В неполноте ТТЧ виновато существование G
Об изобретательном методе создания G и о некоторых важных понятиях ТТЧ мы поговорим в главах XIII и XIV; пока же давайте заглянем вперед и постараемся увидеть, какие последствия будет иметь нахождение автореферентной часта ТТЧ. Кто знает – может быть, это будет подобно взрыву! В некотором роде, это так и есть. Как вы думаете,
Является ли G теоремой ТТЧ, или нет?
Постарайтесь сформировать собственное мнение по этому поводу, не опираясь на мнение G о себе самой. В конце концов, G может понимать себя не лучше, чем понимает себя какой-нибудь мастер дзен-буддизма. Подобно МУМОНу, G может быть ложным утверждением. Подобно MU, G может быть не-теоремой. Мы не обязаны верить в любую возможную строчку ТТЧ, а только в ее теоремы. Давайте используем наше умение рассуждать логически и постараемся разъяснить этот вопрос.
Предположим, как обычно, что ТТЧ включает правильные методы рассуждения и что, следовательно, ложные утверждения не могут являться ее теоремами. Иными словами, любая теорема ТТЧ выражает истину. Таким образом, если бы строчка G была теоремой, она выражала бы истину, а именно: «G – не теорема.» Вся сила ее автореферентности видна здесь в действии. Будучи теоремой, G должна быть ложна. Опираясь на наше предположение, что ТТЧ не имеет ложных теорем, мы должны теперь заключить, что G – не теорема. Это не так страшно, но оставляет нас с меньшей проблемой. Зная, что G – не теорема, мы должны согласиться с тем, что она выражает истину… В этой ситуации ТТЧ не оправдывает наших ожиданий – мы нашли строчку, выражающую истинное высказывание, которая в то же время не является теоремой! И, как бы мы не удивлялись, мы не должны упускать из виду тот факт, что у G есть также и арифметическая интерпретация. Это позволяет нам подвести итог нашим наблюдениям:
Найдена такая строчка ТТЧ, которая является недвусмысленным высказыванием о некоторых арифметических свойствах натуральных чисел; более того, рассуждая вне системы, мы можем определить не только то, что это высказывание истинно, но и то, что эта строчка не является теоремой ТТЧ. Таким образом, если мы спросим у ТТЧ, истинно ли это высказывание, она не сможет ответить ни да, ни нет.
Аналогична ли G Черепашья цепочка в «Приношении MU»? Не совсем. Аналогичней с Черепашьей цепочкой будет ~G. Почему это так? Давайте подумаем! Что говорит ~G? Она должна утверждать обратное строчке G. G говорит: «G – не теорема ТТЧ»; следовательно, ~G должно читаться «G – теорема ТТЧ». Мы можем перефразировать обе эти строчки следующим образом:
G: «Я не теорема (ТТЧ)»
~G: «Мое отрицание – теорема (ТТЧ)»
Именно ~G параллельна Черепашьей цепочке, так как она говорит не о себе самой, но о той цепочке, что Черепаха дала Ахиллу сначала – цепочке, на которой была завязана дополнительная неточка (или на одну неточку меньше, чем надо – это зависит от точки зрения).
Последнее слово – за Мумоном
В своем коротком стихотворении о MU Джошу, Мумон проник в Мистерию Ультранеразрешимости глубже всех:
Есть ли у собаки природа Будды?
Это самый серьезный вопрос из всех.
Если вы ответите да или нет,
Вы утратите собственную природу Будды.
