Текст книги "ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда"

Автор книги: Даглас Хофштадтер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 40 (всего у книги 64 страниц)

Более того, физики изучают не только трехмерное пространство, в котором мы обитаем. Объектом их изучения являются целые семьи «абстрактных пространств», в которых они производят свои расчеты Геометрические характеристики этих пространств весьма отличны от характеристик того пространства, в котором мы живем. Кто может утверждать, что «истинная» геометрия описывает именно то пространство, в котором Уран и Нептун кружатся вокруг солнца? Чем оно лучше «Гильбертова пространства», в котором зыблются волновые функции квантовой механики – «пространства момента», где обитают компоненты Фурье – «взаимного пространства», где резвятся волны-векторы, «фазового пространства», в котором бурлят конфигурации, состоящие из многих частиц, и так далее? Нет причины для того, чтобы все эти геометрии были одинаковыми, точнее, они никак не могут быть одинаковыми! Таким образом, для физиков очень важно существование различных «соперничающих» геометрий вариант.

Варианты теории чисел и банкиры

Довольно о геометрии – перейдем теперь к теории чисел. Так ли это важно и необходимо, чтобы существовали разные варианты теории чисел? Если бы вы спросили банковского работника, думаю, что он бы сначала не поверил, что вы говорите серьезно – а потом пришел в ужас. Как 2 + 2 может быть отлично от 4? Если бы 2 + 2 не было равно 4, разве не зашаталась бы мировая экономика от невыносимой неуверенности, не развалилась бы она от подобного удара? На самом деле, этого не произошло бы. Прежде всего, нестандартная теория чисел не угрожает старому доброму факту, что дважды два – четыре. Она отличается от привычной нам теории чисел только тем, как она обращается с понятием бесконечности. В конце концов, любая теорема ТТЧ остается теоремой в любой расширенной версии ТТЧ! Так что банкирам не надо волноваться о том что с приходом нестандартной теории чисел в финансовом мире воцарится хаос.

Боязнь что новые варианты математических теорий изменят старые, хорошо известные факты, отражает непонимание взаимоотношений математики с действительностью. Математика дает нам ответы на вопросы о реальном мире только после того, как мы выбрали, какой тип математики мы используем в данный момент. Даже если бы существовал соперничающий вариант теории чисел, использующий символы 2, 3 и +, в котором 2 + 2 = 3 было бы теоремой, у банкиров не было бы причин выбирать именно этот вариант! Эта теория не отражает того, как ведут себя деньги. Мы приспосабливаем математику к действительности, а не наоборот. Например, мы не используем теорию чисел, чтобы описывать облака поскольку там не подходит само понятие целых чисел. Одно облако может соединиться с другим, в результате чего получается не два, а одно облако! Это не доказывает, что 1 плюс 1 равняется 1, это доказывает лишь то, что наше понятие «один» не годится для «облачного исчисления».

Варианты теории чисел и метаматематики

 Итак, банковские работники, любители считать облака и все остальные не должны бояться нашествия супернатуральных чисел, так как они абсолютно не затронут нашу повседневную жизнь. Повод для беспокойства есть только у тех людей чья работа связана с бесконечными величинами. Таких людей не очень много но математические логики находятся в их числе. Как может их затронуть существование вариантов теории чисел? Теория чисел играет в логике две роли: (1) когда она аксиоматизирована, она становится объектом изучения, и (2) используемая неформально, она является необходимым орудием, при помощи которого могут изучаться формальные системы. Это напоминает уже знакомое нам различие между использованием и упоминанием, в роли (1) теория чисел упоминается, в роли (2) она используется.

Математики решили, что теория чисел, хотя она и не подходит для подсчета облаков, вполне годится для изучения формальных систем, так же как банковские работники решили, что арифметика действительных чисел годится для их операций. Подобные решения принимаются вне математики; они показывают, что мыслительные процессы, задействованные в изучении математики, так же, как и в других областях человеческой деятельности, включают «запутанные иерархии», где мысли на одном уровне могут влиять на мысли на другом уровне. При этом четкого разделения на уровни не существует, как могут думать последователи формалистского взгляда на математику.

Формалистская философия утверждает, что математики имеют дело с абстрактными символами и что им совершенно все равно, соответствуют ли эти символы окружающей их действительности. Однако это весьма искаженная картина, что становится особенно ясным в метаматематике. Используя саму теорию чисел для получения новых фактов о формальных системах, метаматематики показывают, что они считают эфирные создания, называемые «натуральными числами», частью реального мира, а не просто плодом воображения. Именно поэтому я упомянул ранее о том, что в некотором роде можно ответить на вопрос, какой из вариантов теории чисел является «истинным». Дело в том, что математическим логикам приходится выбирать, в какой из вариантов теории чисел «поверить». В частности, они не могут оставаться в стороне от принятия или не принятия супернатуральных чисел, поскольку эти варианты теории чисел дают разные ответы на вопросы метаматематики.

Возьмем, например, вопрос «Является ли ~G финитно выводимым в ТТЧ?» Ответа на этот вопрос не знает никто. Однако большинство специалистов по математической логике без колебаний ответят «нет». Этот ответ основывается на интуиции, говорящей, что если бы ~G было теоремой, ТТЧ была бы ω-противоречива. Если вы хотите придать смысл интерпретации ТТЧ, вам приходится признать существование супернатуральных чисел – невыносимая мысль для большинства людей. К конце концов, придумывая ТТЧ. мы не ожидали, что супернатуральные числа будут ее частью. Мы (по крайней мере большинство из нас) верим в то. что возможно придумать такую формализацию теории чисел, которая не заставит нас признать реальности супернатуральных чисел. Именно эта вера определяет решение метаматического витязя на распутьи разных теорий чисел. Но эта вера может оказаться ошибочной. Возможно, что любая непротиворечивая формализация теории чисел, которую люди способны изобрести, была бы ω-противоречива, и, следовательно, включала бы супернатуральные числа. Это странная мысль, но в принципе такое возможно.

Если бы это было верно (в чем я сомневаюсь, но доказательства обратного пока не существует), то G не должно бы оставаться неразрешимым. На самом деле, тогда в ТТЧ может вообще не остаться неразрешимых суждений. Это дало бы единственный и неделимый вариант теории чисел, который с необходимостью включал бы существование супернатуральных чисел. Это не то решение, которого ожидает большинство математических логиков, но тем не менее, оно не должно быть полностью отброшено. Обычно считается, что ТТЧ и подобные ей системы ω-непротиворечивы, и что Гёделева строчка, которая может быть выведена в данной системе, неразрешима внутри этой системы. Это значит, что возможно добавить либо эту строчку, либо ее отрицание в качестве аксиомы.

Десятая задача Гильберта и Черепаха

  Я хотел бы завершить эту главу упоминанием о расширенном варианте теоремы Геделя (Этот материал излагается подробнее в статье Davis and Hersh, «Hilbert's Tenth Problem», см. Библиографию) Для этого я сначала определю Диофантиново уравнение. Это такое уравнение, в котором многочлен с установленными интегральными коэффициентами и экспонентами приравнивается к 0. Например,

a=0

и

5x + 13y – 1 = 0

и

5р⁵ + 17q¹⁷ – 177 =0

и

a^123666111666 + b^123666111666 – c^123666111666 =0

являются Диофантовыми уравнениями. Обычно трудно узнать, имеет ли данное Диофантово уравнение решение в целых числах. В своей знаменитой лекции в начале века Гильберт предложил математикам найти общий алгоритм, который помог бы определить за конечное количество шагов, имеет ли данное Диофантово уравнение решение в целых числах. Тогда он и не подозревал, что подобного алгоритма не существует!

Обратимся теперь к упрощению G. Доказано, что в каждой достаточно мощной формальной системе с Гёделевой нумерацией существует Диофантово уравнение, эквивалентное G. Это происходит потому, что это уравнение, интерпретированное на метаматематическом уровне, утверждает о себе самом, что у него нет решений. Теперь перевернем это утверждение задом наперед: если бы вы нашли решение этого уравнения, вы смогли бы построить на его основе Гёделев номер доказательства того, что это уравнение не имеет решений! Именно это и проделала Черепаха в «Прелюдии», используя в качестве Диофантинбва уравнения уравнение Ферма. Приятно знать, что если вы сможете это сделать, вам удастся восстановить из молекул воздуха звуки игры самого Баха!

Праздничная Кантататата…

В один прекрасный майский день Черепаха и Ахилл встречаются, прогуливаясь по лесу. Ахилл, разодетый в пух и прах, пританцовывает под звуки мелодии, которую он сам себе напевает под нос. На его пиджаке прицеплен огромный круглый значок со словами «Сегодня – мой день рождения!»

Черепаха: Приветствую вас, Ахилл! Что это вы сияете, как начищенный пяпятак? У вас, случайно, не день рождения?

Ахилл: Да, да! Да, сегодня у меня день рождения!

Черепаха: Я так и думала, из-за значка на вашем пиджаке. Кроме того, вы напеваете тему Баховской «Праздничной кантаты», написанной в 1727 году на день рождения Саксонского короля Августа, которому тогда исполнилось 57 лет.

Ахилл: Вы правы. Мы с королем родились в один день, поэтому ЭТА «Праздничная кантата» имеет двойное значение. Однако я вам не скажу, сколько мне лет.

Черепаха: Хорошо, но мне бы хотелось узнать вот что: могу ли я заключить из того, что вы мне до сих пор сообщили, что сегодня ваш день рождения?

Ахилл: Конечно, можете. Сегодня ДЕЙСТВИТЕЛЬНО мой день рождения.

Черепаха: Прекрасно. Я так и подозревала. Так что теперь я заключу, что сегодня ваш день рождения, если только это не…

Ахилл: Если только это не – что?

Черепаха: Если только это не будет слишком поспешным заключением. Знаете ли, черепахи не любят делать поспешных заключений. (Мы вообще не любим спешить, и особенно в наших заключениях.) Так что позвольте мне вас спросить, зная вашу любовь к логическому мышлению, разумно ли заключить из ваших предыдущих высказываний, что сегодня ваш день рождения?

Ахилл: Мне кажется, я улавливаю некую схему в ваших вопросах, г-жа Черепаха. Но вместо того, чтобы делать поспешные заключения, я постараюсь понять ваш вопрос буквально и ответить на него прямо: ДА.

Черепаха: Чудно! Чудно! Мне нужно знать только еще одну вещь, чтобы быть вполне уверенной в том, что сегодня —

Ахилл: Да, да, да, да… Я уже представляю себе, что вы сейчас спросите. Я покажу вам, что я уже не так прост, как тогда, когда мы обсуждали Эвклидово доказательство.

Черепаха: Кто когда-либо считал вас простаком? Как раз наоборот – я считаю вас экспертом в логическом мышлении, знатоком науки верных заключений, кладезем знаний о правильных методах рассуждения… По правде говоря, Ахилл, по моему мнению вы – просто гигант мысли, титан искусства рациональных размышлений И только лишь поэтому я хочу вас спросить «Дают ли ваши предыдущие высказывания достаточно оснований для того, чтобы я без дальнейших колебаний могла заключить, что сегодня ваш день рождения?»

Ахилл: Вы меня совсем раздавили своей тяжеловесной похвалой – подавили, я имею в виду. Но я удивлен повторяющимся характером ваших вопросов – по-моему, вы и сами могли ответить «да» на каждый из них.

Черепаха: Разумеется, могла бы, Ахилл. Но это было бы Тыканием Пальцем В Небо – а Черепахи этого терпеть не могут. Черепахи допускают только Разумные Догадки. О, мощь Разумных Догадок! Вы не представляете себе, сколько людей забывает учитывать все Важные Факторы, когда они строят свои предположения.

Ахилл: Мне кажется, что во всей этой белиберде был только один Важный Фактор – мое первое утверждение.

Черепаха: Точнее, это по меньшей мере ОДИН из факторов, который мне необходимо учесть – но неужели вы хотите, чтобы я упускала из вида Логику, эту славную науку древних? Логика всегда являлась Важным Фактором при построении Разумных Догадок, и, поскольку я имею счастье находиться в компании известного эксперта по Логике, думаю, что будет только логично этим воспользоваться и подтвердить мою интуицию, прямо спросив у него, права ли я. Так что позвольте мне, наконец, обратиться к вам с прямым вопросом «Позволяют ли предыдущие суждения заключить, что сегодня ваш день рождения?»

Ахилл: И еще раз, ДА! Но честно говоря, у меня складывается впечатление, что вы сами могли ответить на этот вопрос, как и на все предыдущие.

Черепаха: О, что за удивительные слова! Желала бы я быть такой мудрой, как вы предполагаете. Но будучи только простой смертной Черепахой, глубоко невежественной и желающей принять во внимание все Важные Факторы, я нуждалась в ваших ответах на все эти вопросы.

Ахилл: В таком случае, позвольте мне прояснить ситуацию раз и навсегда ответом на этот и на все последующие подобные вопросы является ДА.

Черепаха: Великолепно! Одним ударом, со свойственным вам блеском, вам удалось разобраться во всей этой путанице. Надеюсь вы не возражаете, если я назову этот изобретательный трюк СХЕМОЙ ОТВЕТОВ. Она превращает положительные ответы на первый, второй, третий и так далее вопросы в один единственный положительный ответ. На самом деле, поскольку эта схема является завершающим аккордом наших рассуждений, она заслуживает называться Схемой Ответов Омега, поскольку «ω» – последняя буква греческого алфавита (Бог мой, кому я это объясняю!)

Ахилл: Мне не важно как вы это назовете, но какое облегчение, что вы наконец согласились с тем, что сегодня мой день рождения, и мы можем поговорить о чем-нибудь другом – например, о том что вы мне подарите.

Черепаха: Погодите – не так быстро! Я СОГЛАШУСЬ, что сегодня ваш день рождения – при одном условии.

Ахилл: Каком? Не просить подарка?

Черепаха: Вовсе нет. Наоборот, я собиралась пригласить вас на шикарный праздничный ужин, после того, как я буду убеждена, что одновременное знание всех этих положительных ответов (утверждаемое схемой ω) позволит мне прямо и без дальнейших экивоков заключить, что сегодня ваш день рождения. Так оно и есть, не правда ли?

Ахилл: Разумеется.

Черепаха: Хорошо. Предположим, что я получила ответ ω + 1. Вооруженная им, я могу приступить к принятию гипотезы, что сегодня ваш день рождения, если только это позволено сделать. Что вы мне посоветуете, Ахилл?

Ахилл: Что такое? Я-то думал, что мне удалось вырваться из ваших бесконечных сетей. Почему же вас не удовлетворяет ответ ω + 1? Ну, хорошо: я дам вам не только положительный ответ ω + 2, но и ω + 3, ω + 4, и так далее.

Черепаха: Как это щедро с вашей стороны, Ахилл. А ведь сегодня как раз ваш день рождения, когда это Я должна преподносить ВАМ подарки, а не наоборот. Скорее, я ПОДОЗРЕВАЮ, что сегодня ваш день рождения. Наверное, теперь, когда я вооружена новой Схемой Ответов, которую я назову «Схемой Ответов 2ω», я могу заключить, что сегодня ваш день рождения. Но скажите мне, пожалуйста, Ахилл: действительно ли Схема Ответов 2ω позволяет мне совершить этот огромный скачок, или же я что-то пропускаю?

Ахилл: Больше вы меня не проведете, г-жа Черепаха. Как я погляжу, этой глупой игре конца нет! Я решил покончить с этим раз и навсегда и дать вам такую Схему Ответов, которая одним ударом расправится со всеми предыдущими Схемами. Я дам вам одновременно Схему Ответов ω, 2ω, Зω, 5ω и т. д. С этой Мета-Схемой-Ответов мне уж наверняка удастся ВЫСКОЧИТЬ из системы, перехитрить эту глупую игру, в сети которой вы думали меня уловить – теперь-то вам ПРИДЕТСЯ в этом признаться!

Черепаха: О, Боже мой! Какая честь для меня – оказаться обладательницей такой мощной Схемы Ответов! Мне кажется, что человеческая мысль редко изобретала что-либо подобное. Я восхищена ее гигантской мощью! Вы не возражаете, если я дам имя вашему подарку?

Ахилл: Конечно, нет.

Черепаха: Тогда я назову его «Схемой Ответов ω².» И мы сможем перейти к другим темам – как только вы скажете мне, что обладание Схемой Ответов ω² позволит мне заключить, что сегодня ваш день рождения.

Ахилл: Увы мне, увы!.. Кончатся ли когда-нибудь эти мученья? Что еще меня ожидает?

Черепаха: С удовольствием скажу вам. Дело в том, что после вашей Схемы Ответов ω² идет ответ ω² + 1, затем ω² + 2… Разумеется, вы можете собрать их в кучу под названием Схема Ответов ω² + ω, после чего могут последовать несколько других «куч», как, например, ω² + 2ω, ω² + Зω и так далее. Рано или поздно вы придете к Схеме Ответов 2ω², затем Зω², 4ω² и так далее. Существуют также дальнейшие Схемы Ответов, такие, как ω³, ω⁴, ω⁵ Так может продолжаться довольно долго.

Ахилл: Могу себе представить. Наверное, через некоторое время так можно дойти до Схемы Ответов ω^ω.

Черепаха: Разумеется.

Ахилл: А затем ω^ωω и так далее?

Черепаха: Вы довольно быстро ухватили мою идею. Если не возражаете, хочу вам кое-что предложить. Почему бы вам не соединить их все в одну-единственную Схему Ответов?

Ахилл: Хорошо, хотя я начинаю сомневаться, есть ли от этого какая-нибудь польза.

Черепаха: Мне кажется, что нам будет трудненько найти имя для этой Схемы. Может быть, нам придется просто назвать ее Схема Ответов ε_.

Ахилл: Черт побери! Каждый раз, когда вы даете очередной Схеме Ответов, имя это разбивает мои надежды на то, что мой ответ вас, наконец, удовлетворит. Почему бы нам просто не оставить Схему безымянной?

Черепаха: Никак невозможно, Ахилл. Как же мы будем говорить об этой схеме, если у нее не будет имени? Кроме того, именно в этой Схеме есть что-то особенно завершенное и прекрасное. Было бы некрасиво оставить ее безымянной! А вы не хотели бы совершать некрасивых поступков, особенно в день вашего рождения не правда ли? Неужели сегодня ваш день рождения? Кстати о днях рождения, сегодня мой день рождения!

Ахилл: Неужели?

Черепаха: Да. Вообще-то, на самом деле, сегодня день рождения моего дяди, но это почти одно и то же. Как насчет того, чтобы пригласить меня на шикарный праздничный ужин?

Ахилл: Подождите минутку г-жа Ч! Сегодня МОЙ день рождения, и это Вы должны меня приглашать!

Черепаха: Но вам так и не удалось убедить меня в том, что вы говорите правду! Вы развели страшную путаницу, выдумали какие-то Схемы Ответов… Я всего-навсего хотела узнать, не день рождения ли у вас сегодня, но вам удалось меня совершенно сбить с толку. Как вам только не стыдно? Так или иначе я была бы счастлива, если бы вы пригласили меня на ужин сегодня вечером.

Ахилл: Ну что ж. Я знаю одно местечко. Там готовят самые экзотические супы, и я точно знаю какого супчика мне бы сейчас хотелось!

ГЛАВА XV: Прыжок из системы

Более мощная формальная система

РАЗМЫШЛЯЯ над доказательством Гёделя, вдумчивый критик мог бы задаться вопросом, насколько оно обще. Он мог бы подумать, что Гёделю удалось найти недостаток лишь в одной формальной системе – в ТТЧ. Если бы это было так, то, возможно, удалось бы найти какую-нибудь лучшую систему, в которой Гёделев трюк был бы невозможен – и, таким образом, Теорема Гёделя потеряла бы значительную часть своей мощи. В этой главе мы подробно рассмотрим те характеристики ТТЧ, которые сделали ее уязвимой для аргументов, изложенных ранее.

Естественно подумать, что если проблема в том, что в ТТЧ есть «дырка» – иными словами, неразрешимое суждение G – то почему бы нам не заткнуть эту дырку? Почему бы не добавить G к ТТЧ в качестве шестой аксиомы? Конечно, по сравнению с остальными аксиомами, G – неуклюжий великан, и получившаяся система ТТЧ + G выглядела бы довольно комично из-за диспропорции ее аксиом. Тем не менее, это предложение имеет смысл. Представим себе, что перед нами ТТЧ + G – высшая формальная система. Мы надеемся, что она не только свободна от супернатуральных чисел, но и полна. Безусловно то, что ТТЧ + G лучше ТТЧ по крайней мере в одном, строчка G больше не является в ней неразрешимой, поскольку теперь она превратилась в теорему.

В чем же была причина недостатков ТТЧ? Ее уязвимость объяснялась тем, что она была способна говорить о себе самой. В частности, источником неприятностей было высказывание:

«Я не могу быть доказано в формальной системе ТТЧ»

или, более подробно,

«Не существует такого натурального числа, которое составляло бы пару доказательства ТТЧ с Гёделевым номером этой строчки.»

Есть ли у нас причина ожидать, что ТТЧ + G будет неуязвима для Гёделева доказательства? На самом деле, нет. Наша новая система может выразить ничуть не меньше, чем ТТЧ. Поскольку Гёделево доказательство основывается, прежде всего, на выразительной мощи формальной системы, будет неудивительно, если наша новая система окажется подверженной тому же недугу, как и ТТЧ. Для этого нужно будет найти строчку, выражающую высказывание:

«Я не могу быть доказано в формальной системе ТТЧ + G»

После того, как мы проделали подобное в ТТЧ, это совсем несложно. Принципы здесь те же самые, только контекст слегка изменен (Образно говоря, это все равно, что пропеть известную нам мелодию тоном выше.) Как и раньше, нужная нам строчка – назовем ее G' – строится при посредстве «дяди». Но теперь, вместо пары доказательства ТТЧ, она основывается на похожем, но немного более сложном понятии пары доказательства ТТЧ + G. Понятие пар доказательства ТТЧ + G – всего лишь небольшое расширение понятия пар доказательства ТТЧ.

Можно представить себе подобное расширение для системы MIU. Мы имели дело с неизмененной формой пар доказательства MIU. Если бы мы теперь добавили MU в качестве второй аксиомы, у нас получилась бы новая система – MIU + MU. Деривация в такой расширенной системе выглядела бы так:

MU аксиома

MUU правило 2

Существует пара доказательства MIU + MU, соответствующая этой деривации: m = ЗОЗОО, n = 300. Разумеется, эта пара чисел не является парой доказательства MIU, а всего лишь парой доказательства MIU + MU. Добавление дополнительной аксиомы ненамного усложнило арифметические свойства пар доказательства. Самое главное их свойство, примитивно-рекурсивность, сохраняется и в новой системе.

Метод Гёделя используется еще раз

Вернувшись к ТТЧ, мы находим похожую ситуацию. Пары доказательства ТТЧ + G, как и их предшественницы, примитивно рекурсивны. Они представимы в ТТЧ + G с помощью формулы, которую мы сократим следующим очевидным образом:

ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G){a,a'}

Теперь мы должны повторить знакомую процедуру. Чтобы сконструировать строчку, соответствующую G, начнем снова с «дяди»:

~Eа:Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G){a,a'}

ΛARITHMOQUINE {а'',а'}>

Предположим, что Гёделев номер этой строчки – d'. Теперь мы арифмоквайнируем самого дядю. Это даст нам G':

~Eа:Eа':<ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G){a,a'}

ΛARITHMOQUINE {SSS.... SSSO/a'',a'}>

.                        |______|

.                  S повторяется d' раз

Интерпретация этой строчки такова:

«Меня нельзя доказать в формальной системе ТТЧ + G».

Разветвление

После этого остаются лишь технические детали. G' в ТТЧ + G – то же самое, чем G была в ТТЧ. Оказывается, что либо G, либо G' может быть добавлена к ТТЧ + G, и что результатом этого является дальнейшее разветвление теории чисел. Если вы думаете, что подобное происходит только с «положительными типами», то вы ошибаетесь: точно такой же трюк можно сыграть с ТТЧ + ~G, то есть, с нестандартным вариантом теории чисел, полученным путем добавления к ТТЧ отрицания G. Из рис. 75 видно, что у ТТЧ могут быть самые разные разветвления:

Рис. 75. Разветвление ТТЧ. У каждого нового варианта ТТЧ – своя Гёделева строчка; эта строчка или ее отрицание могут быть добавлены к системе, так что из каждой системы могут родиться два новых варианта; этот процесс может продолжаться до бесконечности.

Разумеется, это только начало. Представьте себе, что мы движемся вниз по самой левой ветви этого дерева, всегда добавляя саму Гёделеву строчку (а не ее отрицание). Это большее, что мы можем сделать, чтобы избавиться от супернатуральных чисел. После добавления G мы добавляем G'; затем G'', G''' и так далее. Каждый раз, когда мы производим новый вариант ТТЧ, ее уязвимость против Черепашьего метода – простите, я имею в виду Гёделева метода – позволяет вывести новую строчку, интерпретируемую как:

«Я не могу быть доказана в формальной системе X».

Разумеется, через некоторое время весь этот процесс начинает казаться привычным и легко предсказуемым – ведь все эти «дырки» делаются при помощи одной и той же техники! Это означает, что, как типографские объекты, они все сделаны по одному и тому же эталону – что, в свою очередь, означает, что они могут быть представлены с помощью одной-единственной схемы аксиом. Так почему бы нам не попытаться заткнуть все дырки одним махом, чтобы раз и навсегда избавиться от этой противной неполноты? Вместо того, чтобы добавлять по одной аксиоме, мы можем добавить к ТТЧ схему аксиом. Эта схема аксиом будет тем эталоном, по которому будут изготовляться G, G', G'', G''' и так далее. Может быть, что путем добавления этой схемы аксиом (назовем ее «G_ω.») нам удастся перехитрить метод «Гёделизации». Действительно, кажется совершенно ясным, что добавление G_ω, к ТТЧ будет последним шагом, необходимым для полной аксиоматизации всех истин теории чисел.

Этот момент соответствует тому месту «Акростиконтрапунктуса», где Черепаха рассказывает о создании Крабом патефона «Омега». Однако читатели были оставлены в неизвестности по поводу судьбы этого аппарата, поскольку усталая Черепаха решила поползти домой спать (но прежде, чем уйти, хитрое животное сделало тонкий намек на Теорему Гёделя о неполноте). Теперь, наконец, у нас дошли руки до того, чтобы прояснить ту ситуацию… Возможно, что, прочтя Диалог «Праздничная Кантататата», вы уже подозреваете, каков будет ответ.

Непополнимость

Как вы, наверное, и подозревали, даже это фантастическое улучшение ТТЧ не может избежать той же судьбы. Странно, что происходит это по той же причине, что и раньше. Схема аксиом недостаточно мощна, и к ней снова приложимо Гёделево построение. Постараюсь это объяснить. (Существует более строгое объяснение, чем то, которое я приведу здесь.) Если бы удалось описать все строчки G, G', G'', G''', … при помощи одной-единственной типографской схемы, это означало бы, что существует способ описать Гёделевы номера этих строчек при помощи одной-единственной арифметической схемы. И этот арифметический портрет бесконечного класса чисел может быть представлен в ТТЧ + G' при помощи некоей формулы АКСИОМА-ОМЕГА{а}, которая интерпретируется следующим образом: «а – это Гёделев номер одной из аксиом, получающихся из G_ω». Когда a заменяется на какой-либо определенный символ числа, получившаяся формула будет теоремой ТТЧ + G_ω тогда и только тогда, когда этот символ представляет собой Гёделев номер аксиомы, принадлежащей этой схеме.

С помощью этой новой формулы становится возможным представить даже такое сложное понятие как пара-доказательства-ТТЧ + G_ω внутри ТТЧ + G_ω:

ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + G_ω){a,a'}

Используя эту формулу, мы можем построить нового «дядю» и затем приступить к его арифмоквайнированию уже знакомым нам способом, производя таким образом еще одну неразрешимую строчку, которую мы назовем «ТТЧ + G_ω+1». Вы, наверное, спросите, почему ТТЧ + G_ω+1 не находится среди аксиом, порожденных нашей схемой аксиом ТТЧ + G_ω? Ответом является то, что ТТЧ + G_ω оказалась недостаточно хитра, чтобы предусмотреть возможность своего собственного включения в теорию чисел.

В «Акростиконтрапунктусе» Черепаха, чтобы создать «непроигрываемую запись», должна была достать чертежи того патефона, который она собиралась разрушить. Это было необходимо для того, чтобы вычислить, какой тип вибраций обладает разрушительной силой для данного патефона, и затем создать запись, в звуковых дорожках которой были бы закодированы именно такие звуки. Это довольно близкая аналогия с методом Гёделя, где собственные свойства системы отражаются в понятии пар доказательства и затем используются против нее самой. Любая система, как бы сложна она ни была, может быть подвергнута Гёделевой нумерации, после чего в ней может быть определено понятие пар доказательства – и это будет ружьем, которое выстрелит в самого охотника. Как только система определена, упакована в «коробку», она становится уязвимой.

Этот принцип прекрасно иллюстрирован в диагональном методе Кантора, который позволяет найти недостающее действительное число для каждого хорошо определенного списка действительных чисел между 0 и 1. Именно создание хорошо определенного списка действительных чисел является причиной неудачи. Давайте посмотрим, как Канторов метод может быть повторен снова и снова. Подумайте, что произойдет, если, начиная с некоего списка L, вы проделаете следующее:

(1а) Возьмете список L и построите его диагональное число d.

(1b) Добавите d к списку L, получая таким образом новый список L + d.

(2а) Возьмете список L + d и построите его диагональное число d'.

(2b) Добавите d' к списку L + d, получая таким образом новый список L + d'.

.

.

Этот процесс постепенного «залатывания дырок» в L кажется слишком медленным, поскольку, имея в распоряжении L, мы могли бы получить d, d', d'', d''' сразу. Но если вы думаете, что создавав такой список, получите полное описание всех действительных чисел, то вы ошибаетесь. Проблема возникает в тот момент, когда вы спрашиваете себя, в каком месте L нужно вставить список диагональных чисел. Какой бы хитроумной схемой вы при этом не пользовались, как только ваш новый список L будет закончен, он тут же окажется уязвимым. Как я уже сказал, именно создание хорошо определенного списка действительных чисел оказывается причиной неудачи.

В случае с формальными системами, неполнота возникает, когда мы определяем предполагаемый рецепт выражения теоретико-численной истины. Именно в этом заключалась проблема ТТЧ + G_ω. Как только вы вводите все хорошо определенные G в ТТЧ, там тут же появляется некое новое G, непредусмотренное вашей схемой аксиом. В случае сражения Черепахи с Крабом в «Акростиконтрапунктусе», как только «архитектура» патефона была определена, он становился уязвимым для разбивальной музыки.

 Так что же делать? Конца этому не предвидится. Кажется, что ТТЧ, даже если расширять ее до бесконечности, всегда будет оставаться неполной. Поэтому говорят, что ТТЧ непополнима, поскольку неполнота является неотъемлемой характеристикой ТТЧ: это одно из ее основных свойств и избавиться от него невозможно. Более того, эта проблема будет преследовать любой вариант теории чисел, будь это расширенная версия ТТЧ, измененная версия ТТЧ, или альтернативная версия ТТЧ. Дело в том, что в любой данной системе возможность построить неразрешимую строчку путем Гёделева метода автореференции зависит от трех основных условий: