Текст книги "Волшебный двурог"
Автор книги: Сергей Бобров
сообщить о нарушении
Текущая страница: 4 (всего у книги 31 страниц)
– 54 —
расшибут вдребезги, искренне удивляясь, как жестоко наказывает его судьба за то, что он забыл про квадратный трехчлен.
И вдруг…
И вдруг он почувствовал, что никто его не держит и он мчится по воздуху с быстротой пикирующего самолета.
«Центробежная сила! – подумал впопыхах Илюша, быстро перевертываясь в воздухе то вниз, то вверх головой и размахивая руками. – Оторвался и лечу по касательной. Вот так история!..»
Тут он почувствовал, что скорость его полета начинает понемногу ослабевать. Вдруг он перевернулся вверх головой и стал сразу на обе ноги.
– Наконец-то! – сказал ему с облегчением Радикс.
– А! – обрадовался Илюша. – Это ты! А я уж думал, что лечу прямо в тартарары. Фу! И как это я жив до сих пор?! Я видел совершенно удивительные вещи, только вот беда – мало что понял… Кое-что разобрал, да и то, по правде сказать, через пятое на десятое. А в общем… ужас что такое! Надоело ужасно – слушаю, гляжу и ничего не понимаю. Если бы ты мне рассказал…
– Это можно, – сказал Радикс. – Ну, выкладывай, чего ты не понял.
– Во-первых, – начал Илюша, – часы…
В это время какие-то часы звучно пробили четыре. Илюша обернулся и увидел странный циферблат.
– Что такое? Бьют четыре, а показывают десять!
Илюша внимательно поглядел на часы. Раз-два-три… десять?.. Снова – раз-два-три и опять новый десяток?
– Ох! – воскликнул Илюша, хлопнув себя по лбу. – Другой циферблат! Да это не десяток! Чепуха какая! Это просто другая система исчисления. Четверичная система. Первый класс – единицы, потом второй – четверки… а следующий класс будет четыре в квадрате, то есть шестнадцать. Как у нас на первом месте единицы, на втором – десятки, а третье место занимают сотни, а это ведь десять в квадрате. У нас число пишется так:
a100 + b101 + c102 + …,
а у них:
a140 + b141 + c142 + …,
причем а, b, с … могут принимать все значения от нуля до девяти, но a1, b1 c1 … могут принимать значения от нуля до трех. И так далее. Если, значит,
– 55 —
написать девятнадцать по этой системе, будет шестнадцать плюс три, то есть сто три. А если взять сто, то выйдет тысяча двести десять. Экая досада, что я не догадался!
– Штука нехитрая, – сказал Радикс.
– Вот то-то и обидно! – отвечал Илюша.
– Они тебя, – заметил Радикс, – все-таки немножко надули. То есть были приняты меры к тому, чтобы ты не догадался. Ведь перерыв-то у них сдвинут так, что прием кончается раньше перерыва.
– Экая досада! – возмущенно повторил Илюша. – А все-таки я должен был догадаться!
– Разумеется. Зевать не надо. Ну-с, далее?
– Дальше вот что. Часы что – это пустяк, шутка…
– Не всегда, – заметил Радикс, посмеиваясь.
– Ну все-таки. А вот этот невсис… Я о нем даже не слыхал. Прямо удивительно. Поставь на линейке две метки – в сразу готово!
– В том-то вся и сила, что просто. Узнаешь немного погодя.
– А потом все эти мои скитания по коридорам. Ведь это был настоящий лабиринт. Так или нет?
– Не совсем настоящий, но вроде этого.
– Я решил, что если все время буду держаться правой или левой рукой (это все равно, только не менять руку) за стену, то можно дойти до середины и выйти назад.
– Почему ты так решил?
Илюша постарался изложить своему другу все, что придумал о сходстве лабиринта с тупиком.
Радикс выслушал и процедил:
– Да-а… Но я берусь выстроить лабиринт, где твое правило правой руки ни к чему не приведет. В лабиринт надо войти, дойти до некоторой заранее определенной точки, которая будет центром этого лабиринта, и выйти обратно. Не так ли?
Илюша согласился.
– Так вот. Мой лабиринт будет представлять собой то, что ты называешь петлей. То есть тот же тупик, только вместо замыкающей стенки будет еще один кругообразный ход. В середине этого хода находится островок, в нем дверь, за ней коридор, который и кончается той точкой – центром. Далее я утверждаю, что какой бы рукой ты ни пользовался, правой или левой, ты обойдешь мой лабиринт, выйдешь обратно, но не попадешь в центр, и задача не будет решена. Что ты на это скажешь?
Илюша нарисовал чертеж и углубился в его рассмотрение.
Двойной лабиринт Радикса.
– Да, – сказал Илюша, – действительно, в центр не по-
– 56 —
паду. Тогда, мне кажется, можно поступить так. При обходе лабиринта по правилу правой руки я убеждаюсь, что в центр не могу попасть, и замечаю, что какой бы рукой я ни пользовался, всегда на противоположной от меня стене, то есть на той, которой я не касаюсь рукой, мне встречается дверь, и я в нее не попадаю. Если в лабиринте есть такая дверь, то я поставлю против нее крестик на моей стене, сменю руку и пойду кругом островка. Когда я попаду в эту дверь, то дойду до центра, выйду из него и, снова дойдя до моего крестика, сменю руку во второй раз. Мне кажется, что это получается лабиринт в лабиринте, и, по-моему, такой лабиринт надо называть двойным. Так можно и тройной построить!
– Можно, – спокойно ответствовал Радикс. – Во-первых, эта система внутренних петель и островков может быть довольно сложной, а во-вторых, именно на такого рода усложнениях и основана путаница лабиринта. Ну, что у тебя еще есть? Выкладывай. А к лабиринту мы вернемся еще.
– Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?
– Начнем с его рожицы, – отвечал Радикс. – Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурсальной. Вот почему его так зовут.
Правда, это слово – «уникурсальный» – иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится – одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево.
Попробуй начертить одним росчерком!
У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникурсальная.
– В чем же тут дело? – спросил
– 57 —
Илюша. – Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?
Четный узел
– Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное – нечетный. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от него по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают.
Нечетный узел.
В каждый из них ты можешь пройти. Другое дело – нечетный узел. Например, из него три пути…
– Ясно, – подхватил Илюша. – Раз приду и раз уйду – значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей – и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.
– Совершенно верно, – отвечал терпеливый Радикс. – Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?
– Допустим, что они будут тройные.
– Два нечетных узла?.. – повторил Илюша. – Я сейчас нарисую.
Илюша нарисовал два чертежа.
Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).
– Ну вот, – сказал он, – две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и H возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти…
– Так, – сказал Радикс. – Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура. Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя
– 58 —
фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.
– Как это? – спросил Илюша.
– Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты – линиями, соединяющими эти точки.
Илюша начертил фигуру, нарисованную внизу.
– Ну вот, – сказал Радикс. – Это и есть схема путей и перекрестков на ордене Уникурсала Уникурсалыча. Ясно, что вопрос о том, можно ли обойти все мосты, проходя через каждый только один раз, сводится к вопросу, можно ли вычертить эту фигуру непрерывным движением, то есть уникурсальна она или нет.
Илюша начал рассматривать схему, раза два сбился и наконец ответил:
– Тут выходит четыре нечетных узла – А, В, С и D.
– Ну, вот тебе и решение! -усмехнулся Радикс. – Мы с тобой сейчас установили, что в уникурсальной фигуре может быть любое число четных узлов и не более двух нечетных. Если в фигуре есть только четные узлы, то обход фигуры можно
– 59 —
начать с любой точки.
Если в фигуре есть два нечетных узла, то нужно начать обход именно с одного из них, а закончить в другом нечетном узле. А теперь представь, что тебе дана очень сложная фигура без нечетных узлов или с двумя нечетными узлами. Какие основания утверждать, что ты, выйдя из первого нечетного узла, сможешь обойти ее всю, не проходя ни одного пути дважды?
– Если она не состоит из нескольких несвязанных частей, то я, конечно, могу попасть в любую точку, а в четных узлах застрять не могу…
– Таким образом, раньше всего надо сказать, что фигура должна быть связной. А не может ли случиться, что ты, проходя через четные узлы, оставишь в стороне какую-нибудь часть фигуры так, что к ней уже больше нельзя будет добраться, а потом застрянешь во втором нечетном узле и не обойдешь всю фигуру?
– Как же это может случиться? – спросил Илюша.
– А вот, например, если на нашем первом чертеже, где два ромба соединены перемычкой, ты сначала пойдешь не по сторонам одного из ромбов, а по этой перемычке. Однако то же самое может случиться и как-нибудь иначе, если ты незаметно для себя разобщишь две части фигуры и она потеряет связность. Это значит, что свободных, то есть еще не пройденных путей, соединяющих две эти части, уже не останется.
Представь себе, что путь, по которому ты только что прошел, тем самым вычеркнут: ведь второй раз по нему идти нельзя, и, следовательно, он для тебя уже больше не существует.
Вот тебе фигура: если ты пойдешь по пути ABCDEA{4}, то вычеркнешь путь BCDE, а ромб CFDG окажется отрезанным.
– Значит, я шел неправильно. Мне надо было прежде из D попасть не в Е, а обойти сперва ромб DFCG, то есть идти в F или G.
– Это, конечно, верно, но только для данного случая. Вот ты говоришь, что шел неправильно. Но для того, чтобы идти правильно, надо показать, что возможно найти правильный способ обхода и при этом не для какой-нибудь определенной фигуры, а в самом общем виде, то есть для любой заданной фигуры, как бы она ни была сложна. Не забудь, что при этом ты должен будешь рассуждать, не зная ничего об этой фигуре,
– 60 —
кроме того, что это фигура связная и что в ней нечетных узлов или совсем нет, или только два. Именно так следует поставить задачу общего математического доказательства.
– Я буду рассуждать так. Раз это фигура связная, то, значит, я имею возможность так или иначе из первого узла попасть в тот, где должно закончиться мое путешествие, то есть либо во второй нечетный узел, либо, если это фигура только с одними четными узлами, вернуться обратно в начальный узел. Чтобы не путаться, я самый простой такой маршрут отмечу красной линией, а остальные оставлю черными. А затем пойду по этой красной линии, но в каждом узле буду останавливаться и проверять, нет ли из него еще черных путей, которые надо обойти раньше, чем отправиться дальше по красному маршруту. Вот это и значит «идти правильно».
– Нет, – ответил Радикс, – это еще не всё. Почему ты так уверен, что можешь обойти каждую из твоих черных фигур?
– Потому что все узлы у них четные. И если в точках, через которые проходят и красные пути, не считать этих красных путей, то для черных путей и эти узлы тоже будут четными…
– Справедливо! Но ведь таким образом мы приходим к той же самой задаче: снова надо доказать, что можно обойти эти фигуры. И вот мы подошли к самому важному пункту нашего рассуждения. Теперь будет не так трудно. Потому, что нам удалось привести задачу об обходе фигуры с некоторым данным числом путей к задаче об обходе фигуры с меньшим числом путей. Понимаешь?
– Понимаю! – воскликнул Илюша. – А эти новые, более простые задачи я опять сведу к таким же, но еще более простым… И так можно каждый раз уменьшать число путей, а ведь нам дано только некоторое определенное число путей…
– Будем говорить – конечное число путей.
– Хорошо. А так как нам дано конечное число путей, то в конце концов все они будут исчерпаны. А следовательно, я доказал, что всякую связную фигуру, у которой нечетных узлов или нет совсем, или их только два, можно обойти непрерывным движением, проходя по каждому пути только один раз, то есть, другими словами, что всякая такая фигура действительно уникурсальна. И при этом я нашел и общее правило такого обхода.
– Попробуй теперь изложить это правило коротко и ясно, то есть сформулировать его.
– Мы начинаем наше путешествие в одном из нечетных узлов, а если их нет, то в каком угодно. Потом наметим какой-
– 61 —
нибудь маршрут, который вернет нас в начальный узел или в случае двух нечетных узлов приведет во второй нечетный узел. Затем идем в обход, погашая в каждом узле тем же способом все те черные закоулки, которые не вошли в наш маршрут. Вот и всё.
– Хорошо, – отвечал Радикс. – А как ты полагаешь, надо ли заранее намечать маршрут или можно обойтись и без этого?
– Мне кажется, – начал Илюша, – что нельзя только упускать из виду того, что путь следует выбрать так, чтобы не нарушить связность фигуры. То есть я могу, например, при первой встрече с черным закоулком не обращать на него внимания, но надо обязательно обойти его из того узла, в котором я должен с ним расстаться. На чертеже (стр. 60) вот что получается: я могу пройти мимо черного закоулка – ромба CFGD, когда я дойду до узла С, но нельзя этого делать, когда я буду в узле D. Ну, разумеется, я говорю о том случае, когда мы двигаемся по направлению от В к Е.
– Так, – благосклонно отвечал Радикс, – все это верно. И, в общем, ты рассуждал довольно мило. Ну, а теперь уж тебе не так трудно будет доказать и еще один пункт, а именно: что всякое путешествие по уникурсальной фигуре, при котором ты, проходя через пути, не нарушаешь связности, приведет тебя к цели. Постарайся теперь это сформулировать?
– По-моему, это уже совсем просто. Мы идем вперед, не нарушая связности. Число путей у нас все время в силу этого уменьшается. Ясно, что в конце концов мы обойдем все пути.
– Точно, правильно, прекрасно! – задумчиво пробормотал Радикс. – А теперь вот что: дана фигура с несколькими нечетными узлами, и если их больше чем два, то она не уникурсальна.
Возникает вопрос: сколько надо сделать в таком случае обходов? Вот тебе фигура с четырьмя нечетными узлами.
Фигура с четырьмя нечетными узлами.
Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов имеется в фигуре. Это вполне естественно. Вот тебе еще задачка. Возьмем твой первый чертеж – два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом). Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетными узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить. Только с четными узлами или с двумя
– 62 —
Мост цел.
Мост разорван
нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.
Фигура Листинга.
– Так, значит, – сказал Илюша, – на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?
– Далеко не одна.
– А почему этот ваш командор еще и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?
– Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые.
– А почему он Магистр Деревьев?
– Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, система путей потеряет связность, будет опять два отдельных ромба – и все. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путем, а если путь имеет то свойство, что при удалении его система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов.
Такая система называется деревом. В ней ни одного пути, который можно
– 63 —
было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать лабиринтом с одним входом, потому что всякий лабиринт мы всегда можем «обнести» еще одним «забором».
– Уж не знаю, – вымолвил не сразу Илюша. – Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, а изображать линиями не стенки, а самые пути, как раз и получится такая фигура, которую нужно обойти или начертить…
– Постой, постой минуточку! – прервал Радикс его рассуждения. – А как ты полагаешь, нужно ли в таком случае вычерчивать точный план путей?
– Я должен быть точен в том смысле, чтобы на плане было то число перекрестков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути – это неважно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведет.
– Правильно, – резюмировал его собеседник. – Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься топологической схемой путей. Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрестках, то можешь как угодно деформировать, или видоизменять, «сетку путей» – топологическая схема останется не-
– 64 —
изменной. Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Ну, а как же все-таки начертить такую фигуру?
В фигуру вставлен еще один ромб.
А теперь ромб вставлен по-другому.
– А вот тут, – признался Илюша, – я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечетных перекрестков, то есть узлов… Как же с этим быть?
– Вот то-то и дело! – отвечал Радикс. – Это значит, что далеко не все лабиринты можно обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь это совсем не обязательно…
– Ну конечно! – радостно воскликнул Илюша. – Это как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечетные узлы станут четными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни четные узлы. А такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком.
Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя два раза по каждому из его коридоров. Вот это действительно замечательное доказательство!
– Нет сомнений, что это действительно доказательство, по только это еще не решение задачи лабиринта. И вот почему. Когда ты чертишь фигуру, тебе необходимо видеть ее всю, а иначе нельзя установить, правильно ли ты идешь и сохраняешь ли все время ее связ-
– 65 —
ность. В лабиринте совсем иное дело: там плана нет и ты не знаешь, каков он в целом, а значит, надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, каковы его нескончаемые коридоры.
– Да, это правда, – согласился Илюша. – Только как?
– Ты что-то толковал насчет правила правой руки? – услышал он в ответ. – А теперь что ты о нем скажешь?
– Когда мне пришло в голову это правило, я думал о тупике, у которого имеются разветвления, а они, в свою очередь, тоже тупики. Если лабиринт построен по этому правилу, то я, конечно, обойдя два раза каждый коридор, обойду весь лабиринт, если нет петель. А если есть петли, то все, что приходится внутри петли, я могу пропустить.
– А что такое «петля», как ее можно обнаружить на схеме путей лабиринта, о которой мы только что говорили?
– Это на схеме будет замкнутый путь, кольцо, то есть круговой маршрут внутри лабиринта. Если я попал на такой маршрут, то могу вернуться к тому месту, где вступил на него с другой уже стороны, причем я приду туда по еще нехоженому пути. В тупиковом лабиринте таких замкнутых маршрутов нет.
– Правильно. Мы можем даже это свойство – отсутствие петель – принять за определение того, что такое тупиковый лабиринт. Теперь от простого случая попробуем перейти к более сложному. Скажи-ка, нельзя ли превратить какой-нибудь лабиринт с петлями в тупиковый и как это сделать?
– Если бы я был строителем этого лабиринта, то отметил бы все петли и перегородил их, чтобы нельзя было больше пройти по ним кругом.
– Превосходно. Ну вот и расскажи мне подробно, как бы ты на месте строителя лабиринта все это сделал.
– Раньше всего, конечно, я бы достал план лабиринта и на нем начертил бы дорогу, начиная от входа и все дальше в глубь лабиринта. Каждый раз у кольцевого маршрута отмечал бы, что здесь ставлю перегородку… Ну, где бы ее поставить? Поставим в том конце кольцевого коридора, где он выводит опять к моим старым следам. Если так сделать, каждая петля станет тупиком, стало быть, я пройду ее всю, дойду до перегородки, поверну обратно, выйду из этого нового тупика и пойду дальше по основной дороге. Да буду посматривать, не набреду ли еще на петлю, которую надо перегородить. Когда я пройду таким образом на плане весь лабиринт…
– А уверен ты в том, что пройдешь таким образом действительно весь лабиринт?
– Кажется, уверен, – отвечал Илюша, размышляя. – Да,
– 66 —
разумеется, пройду весь лабиринт и даже дважды, потому что я ведь представляю себе лабиринт в виде хитро завинтившегося тупика с рядом петель. Но если лабиринт представляет собой тупик, то нет сомнений, что я его пройду дважды: один раз двигаясь в глубь тупиковых коридоров, а другой – возвращаясь из них обратно. Каждую петлю я превращаю перегородкой тоже в тупик, а следовательно, каждую петлю тоже обойду дважды. Так что у меня нет сомнении в том, что обойду весь лабиринт и пройду его два раза – туда и обратно.
Ошибиться можно только в том случае, если я пропущу какой-нибудь коридор, что может нарушить связность. Если этого не случится, то я обойду эту самую уникурсальную фигуру двойных путей.
– Молодец! – одобрительно пробурчал Радикс. – Теперь мы подошли к концу наших рассуждений. Подумай: нельзя ли обойтись без плана и ничего не замуровывать? Скажи, пожалуйста, знаешь ли ты древнегреческий миф о Тезее, Ариадне и страшном Минотавре?
– Как будто знаю.
– А ну-ка расскажи мне.
– В то древнее время на острове Крит царствовал жестокий царь Минос. И вот он обложил Афинское царство ужасной данью: афиняне должны были каждый год отправлять Миносу в дар семерых юношей и семерых девушек. А коварный Минос посылал их в лабиринт на съедение чудовищу Минотавру – получеловеку-полубыку. В Афинах тогда царствовал Эгей, и вот его сын Тезей, когда подрос, попросил отца отправить его на остров Крит, к Миносу, в числе семерых несчастных юношей, чтобы положить конец этой ужасной дани критскому царю. Эгей долго колебался, но потом решил исполнить просьбу своего воинственного сына. Тезей поехал на Крит, там его полюбила царевна Ариадна и дала ему путеводную нить. Тезей сразился с Минотавром, убил его своей булавой и вышел из лабиринта. А затем он уехал с острова Крит вместе с Ариадной.
– Верно, – сказал, усмехнувшись, Радикс. – Я вижу, что эта история с лабиринтом тебе понравилась. Ну, а как ты полагаешь, что он сделал с нитью Ариадны, когда пришел к лабиринту?
– Ну разумеется, он укрепил один конец у входа, а с клубочком пошел дальше, разматывая его.
– Значит, ничего не замуровывал и не перегораживал?
– Ясно. И плана у него не было. Он просто шел… Ведь нить Ариадны отмечала уже пройденный путь, так что если она попадалась ему поперек дороги – это значило, что он попал в петлю и пришел на то самое место, где уже был. И это,
– 67 —
Лабиринт УУУ.
План его путей
наверно, было сперва довольно жутко! Идешь, идешь и вдруг видишь – твоя нить лежит в новом коридоре. То есть это только так кажется, что он новый, а на самом-то деле ты уже в нем был (иначе откуда бы в нем взялась нить?). Что ж теперь делать?..
– 68 —
– Вот именно! – усмехнулся Радикс.
– Постой! – возразил мальчик. – Ты не торопись надо мной смеяться, это я просто рассуждаю вслух. Я хочу себе представить положение этого Тезея, которому казалось, что он идет вперед, а вдруг нить показывает, что он просто вернулся туда, где уже один раз был. Но ведь это как раз и означало бы, что он попал в петлю и находится в конце ее, там, где я ставил перегородку. Значит, чтобы правильно идти, он должен считать, что тот коридор, по которому он шел, перегорожен, то есть нужно вернуться, сдваивая нить. Тогда бы он шел точно так же, как я, когда превращал лабиринт в тупик. Значит, надо только следить за тем, чтобы идти ни разу не пересекать и не пропускать свободных коридоров, то есть идти как будто по тупиковому лабиринту.
– Отлично, юноша! – ответствовал Радикс. – Теперь ты, очевидно, сумеешь воспользоваться нитью Ариадны. Но у меня есть еще один маленький вопрос: нельзя ли эту нить из лабиринта вытащить обратно, чтобы вернуть ее с благодарностью царевне?
– Да очень просто: взять ее за конец и вытащить.
– Но ведь у тебя у выхода оба конца, то есть и начало и конец. Нельзя ли за оба конца взяться сразу?
– Из тупика можно, конечно, вытащить за оба конца…
Ах да, она и тут ведь лежит как в тупике! Ну разумеется, можно за оба конца тянуть.
– То-то и есть! А если бы ты бродил по лабиринту как попало, то за оба конца мог бы и не вытащить. Положим теперь, что ты уже дошел до центра лабиринта и надо идти назад. Не помогла бы тебе еще раз нить, то есть не смогла ли бы она указать, как сократить обратный путь?
– Если бы я, находясь в центре, натянул нить, прикрепленную у выхода, до отказа, наматывая ее на моток, то вытянул бы ее из всех лишних петель и тупиков и нашел бы самый короткий путь из центра к выходу.
– Самый короткий, ты полагаешь? Нет, братец, это неверно. Ты торопишься. Это не самый короткий, а только наибольшее сокращение того пути, по которому ты двигался и который был отмечен нитью. В центр от входа может вести несколько путей, и ты мог с самого начала попасть не на самый короткий из возможных маршрутов. Теперь мы все это разобрали, и остается только решить, как же обойти лабиринт, если нити Ариадны у нас нет.
– Тогда ничего другого не остается, как отмечать каким-нибудь способом на перекрестках те коридоры, по которым я прошел. Я бы ставил черточку на стенке того коридора, по которому пришел на перекресток, и на стенке того, по которому
– 69 —
Топологическая схема его путей.
Уникурсальная фигура обхода.
собираюсь уходить с этого перекрестка, и еще черточку, если я второй раз отправляюсь по уже пройденному, отмеченному коридору.
– Допустим, что ты ставишь эти черточки. Ну, а как же ими надо пользоваться?
– Основное правило такое: каждый раз, когда я прихожу на перекресток, где уже был, я должен возвращаться обратно,
–70—
если только это возможно. Так будет в том случае, если я пришел по новому коридору, в котором раньше не был (я бы это сразу заметил, потому что на стенке не было бы черточки). А если черточка уже есть, то я сейчас же ставлю вторую, которая запретит мне возвращаться на этот путь, потому что он обойден дважды. Тогда я должен идти по какому-нибудь – все равно по какому – из нехоженых коридоров, а если их больше нет, это означает, что я тут все исследовал и, следовательно, могу смело отправляться обратно по тому самому коридору, по которому пришел на этот перекресток в первый раз.
Этот коридор меня и поведет по правильному пути.
– Верно. Вот это и есть правило для двойного обхода всякого лабиринта. Но все ли случаи ты предусмотрел? Не может
Схема обхода лабиринта УУУ.
Придя в В по пути № 3, я вижу по отметкам, что уже был на перекрестке В, и поэтому возвращаюсь по тому же коридору путем № 4, чем погашается весь участок ВС по пути № 3-4. Так как в С я вижу теперь свободные коридоры, то выбираю один из них (№ 5), избегая пока коридора СВ, по которому я пришел в С первый раз. Из D я выбираю произвольный путь, например № 6, и, наткнувшись в С на свои отметки, возвращаюсь тем же коридором (путь № 7) в D, откуда одним из свободных коридоров (№ 8) попадаю в Е. Избрав путь № 9, я обязан вернуться тем же коридором (путь № 10) и теперь неизбежно попадаю в центр лабиринта (путь № 11 и 12), откуда возвращаюсь ко входу по единственной оставшейся дороге (№ 13, 14, 15, 16).
– 71 —
Схема превращения лабиринта УУУ в дерево.
ли случиться так, что тебе и обратно идти некуда будет и нехоженых коридоров больше нет, а отмеченных по одному разу – несколько, и ты не знаешь, какой выбрать?
– Нет, так случиться не может: ведь я пройти сквозь перекресток, придя по свободному коридору, не могу – в этом-то и заключается суть главного правила. Если я стою и размышляю, куда дальше идти, это значит, что я вернулся по тому самому коридору, который выбрал для того, чтобы уйти с перекрестка: теперь он отмечен уже двумя черточками. Значит, надо найти коридор с одной черточкой. Это будет первый коридор, по которому я пришел, и эта одна черточка указывает обратный путь. Если я очень устану прежде, чем обойду весь лабиринт, то могу по этому признаку в любой момент выбрать правильный путь для возвращения к выходу. С нитью это совсем просто: если натянуть ее, она пройдет через каждый перекресток, который мне необходимо пройти при возвращении по своим следам; один конец будет тянуться ко мне, а другой – к выходу.
– А теперь, – сказал Радикс, – рассмотрим еще раз наш способ двойного обхода в несколько иной форме. Ты помнишь, что мы с тобой говорили о дереве, когда толковали об уникурсальных кривых?
– Помню. Дерево – это такая связная фигура, которая состоит только из мостов и тупиков.
