Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 31 страниц)

(q² + q + 1) (q – 1) = ?

«Неполный квадрат суммы, – подумал Илюша, – если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?»

Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: «Сейчас узнаешь!» – и перед мальчиком появилось:

(q² + q + 1) (q – 1) = q³ – 1.

«Ну конечно!» – подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:

(q³ + q² + q + 1) (q – 1) = q⁴ – 1.

«Ишь ты! – подумал Илюша. – Как же так выходит?» Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. «Действительно, – подумал он, – когда я умножу q³ на q, то выйдет q⁴; когда умножу 1 на (– 1), то получится —1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов,

– 194 —

 кроме первого, я получу q³, q², q и все будут с плюсом, от умножения на (—1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q³, q², q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q⁴ и – 1. Все верно!»

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q – 1) = q⁵ – 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(q^n-1 + q^n-2 + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q – 1) = qⁿ – 1.

«Так, – подумал Илюша. – Тут начинается с q^n-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени».

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q – 1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q^n-1 + q^n-2 + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1 = (qⁿ – 1) / (q – 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^n-2+ q^n-1 = (qⁿ – 1) / (q – 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

«Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы».

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра «3». Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a₁ = 3.

«Так! – подумал Илюша. – Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке».

– 195 —

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого – к правой, и вышло:

a₁(1 + q + q²+ q³ + q⁴+…+ q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ – 1) / (q – 1).

«Обе части он умножил на первый член прогрессии, – подумал Илюша. – Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!»

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. «Сумма!» – подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

«Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!»

И получилось следующее равенство:

S = a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ – 1) / (q – 1),

с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a₁ (qⁿ – 1) / (q – 1)

– 196 —

Илюша громко и отчетливо произнес:

– Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a₁ [qⁿ / (q – 1) – 1 / (q – 1)]

а потом открыл скобки:

S = a₁qⁿ / (q – 1) – a₁ / (q – 1)

А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.

На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.

Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.

Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.

– Значит, ты число членов прогрессии?

– Угадал! – пискнул Мишка.

Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.

Плюшевый Мишка вдруг страшно оживился, прыгнул, точно кузнечик, и прямо

– 197 —

с пола перелетел ему на тулью цилиндра. Получилась снова уже известная Илюше формула:

S = a₁qⁿ / (q – 1) – a₁ / (q – 1)

Буква n, которую Мишка столкнул своей плюшевой лапкой с цилиндра человечка Знаменателя, кое-как приподнялась с пола и жалобно пропищала:

– Я буду больше единицы!

В ответ на это плюшевый Мишка, очень удобно примостившийся на краю цилиндра Знаменателя, начал пыхтеть и понемножку толстеть, а дама начала понемногу расти вверх.

Илюша подумал: «Эн увеличивается, и сумма растет. Ну да, так и должно быть, конечно! Чем больше будет число членов, тем и сумма будет больше. Ясно!»

А Мишка посмеивался и все толстел. Дама тоже все тянулась вверх. Мишка уже стал ростом с кошку, а дама выросла примерно вдвое. Самое странное при этом было то, что она не толстела, а только тянулась вверх и становилась все более тощей. Мишка вырос до размеров целого теленка, так что оставалось только удивляться, как он умещается на цилиндре, уцепившись за него задней лапой. Длинная дама уже даже начала как-то странно покачиваться, точно малейший ветерок мог ее свалить. А Мишка стал как настоящий Топтыгин.

Вдруг дама взвизгнула, ее головка дернулась вниз и вбок, вся она свернулась восьмеркой и упала на бок. А громадная задняя лапа Мишки тоже как-то завинтилась, вроде лежащей на боку восьмерки.

Илюша посмотрел на это и обернулся к Радиксу за помощью.

– Эта упавшая на бок восьмерка, – пояснил тот, – есть знак бесконечности. Если число членов растет безгранично, то

– 198 —

и сумма прогрессии растет так же безгранично. В таком случае говорят, что и число членов и сумма прогрессии являются бесконечно большими величинами.

Илюша глянул искоса на Радикса и спросил:

– Так это, значит, и будет бесконечность?

– Н-да… – отозвался Радикс таким недовольным голосом, будто из него кто-то силком вытянул это «н-да»…

Он, видимо, был сильно не в духе.

– Послушай, – сказал Илюша как только умел любезно, – мне ужасно неприятно, что ты так на меня сердишься, но я, честное слово, не хотел тебя сердить. Честное слово! И я буду очень стараться. Только уж ты, пожалуйста, расскажи. Значит, эта штука будет гораздо больше даже того поразительного архимедова числа, в котором восемьдесят квадриллионов нулей? Что же это за число такое?

Выслушав это, Радикс Нахмурился еще пуще. Видно было, что бедный Илюша, сам того не желая, задел беднягу за живое.

– Начнем с того, – заявил Радикс, – что это вовсе не число! Древний грек, замечательный философ древности Аристотель, который жил в четвертом веке до нашей эры, так говорил о бесконечности. «Она, – говорил Аристотель, – существует только в возможности». Он говорил еще, что это не такая величина, дальше которой ничего нет, а такая, дальше которой всегда есть еще что-то. Как это понимать? А вот как.

Когда мы говорим, что какая-нибудь величина является бесконечно большой, то, значит, мы говорим о величине, во-первых, переменной, а во-вторых, неограниченно возрастающей, вот как наш плюшевый Мишка или Сумма в то время, когда они растут и растут. Какие бы ты ни ставил вехи на пути такой переменной величины, она вce равно уйдет дальше их. Если ты перенесешь эти вехи затем еще дальше, она и за те уйдет, и так всегда будет, как бы ты далеко ни забирался.

Илюша посмотрел на формулу:

– Значит, когда ты говоришь, что наша сумма бесконечно большая, то нельзя понимать, что она стала «бесконечностью», а это только значит что она становится все больше и больше?

– Да. И это потому, что Мишка наш растет. Попробуй-ка назначь какую-нибудь границу для суммы, назови какое-нибудь число, самое большое, какое тебе придет в голову.

– 199 —

– Ну, например, децильон. Это, помнится, десять в тридцать третьей степени, – подсчитал Илюша.

– Это очень просто, – ответил Мишка. – Ты требуешь, чтобы сумма

S = 3 · (2ⁿ – 1) / (2 – 1) = 3 · (2ⁿ – 1)

стала больше 10³³. Но 2¹⁰ больше, чем 10³, значит, 2¹¹⁰ уж наверно больше, чем 10³³, а у нас там еще множитель «три» в запасе. Но на самом деле не успею я и до ста дорасти, как сумма станет больше твоего числа.

– Верно! А если взять децильон децпльонов (это уже больше девятого архимедова числа), тогда что ты будешь делать?

– Тогда мне придется еще подрасти, – отвечал Мишка. – Вот когда я еще вдвое вырасту, до двухсот, сумма станет больше твоего числа 10⁶⁶. Можешь проверить, коли не лень.

– И так будет, – сказал Радикс, – всегда, какое бы ты число ни назначил. У нас это для краткости выражают так: когда число членов прогрессии со знаменателем, большим единицы или даже равным единице, неограниченно возрастает, сумма стремится к пределу, равному бесконечности.

– Вот тут уж я не понимаю, – ответил Илюша. – Как это – стремится к пределу, когда она как раз возрастает беспредельно? И что это значит – равному бесконечности? Как может быть что-нибудь равно бесконечности?

– Ты совершенно прав, сказал Радикс – Гораздо было бы лучше говорить, что ни к какому пределу она не стремится, ни к чему не приближается, а, наоборот, от всего удаляется… Но, видишь ли, бывают очень важные случаи, когда при таком же поведении Мишки переменные величины взаправду приближаются к каким-то числам, то есть к своим пределам.

Вспомни синьориту Одну Энную: при неограни-

– 200 —

ченном возрастании «эн» она принимала все меньшие и меньшие значения; и про нее мы имеем право сказать, что она приближалась или стремилась к нулю, как к своему пределу.

Поэтому у нас и для бесконечно больших величин, возрастающих неограниченно, употребляют условно такой же способ выражения и говорят, что они «стремятся к бесконечности».

– Да… – задумчиво протянул Илюша. – Я понимаю, что синьорита Одна Энная не может стать равной нулю, а только стремится к нулю. Но ведь можно взять другой пример и выбрать именно такую величину, которая становится действительно равной нулю. Ну вот, скажем, беру я две прямые и буду одну поворачивать так, чтобы угол между прямыми уменьшался. Значит, когда я достигну того, что прямые мои станут параллельно, угол между ними будет просто равен нулю? Так я говорю или нет?

– Так, – ответил Радикс. – Но что же ты хочешь этим сказать?

– Не может ли и с бесконечностью так получиться, что какая-нибудь величина станет действительно равной бесконечности, а не только, как ты говоришь, будет стремиться к ней.

Вот, например, с этими прямыми. Я возьму какой-нибудь отрезок и к нему в одном конце перпендикуляр, а в другом – наклонную. Они пересекутся, скажем, на расстоянии х от основания перпендикуляра. Если поворачивать наклонную, чтобы сделать ее параллельной перпендикуляру, то х будет ведь стремиться к бесконечности в том самом смысле, как ты это говоришь, но когда отрезки станут параллельными, то ведь х и будет равным бесконечности…

Не успел Радикс ответить мальчику на это, как позади них раздалось такое сердитое пофыркивание, что Илюша невольно обернулся. Он увидел, что неподалеку от них стоит все тот же несносный Доктор Замысловатых Узлов и язвительным шепотом говорит следующее:

– О величайшая и пресветлая Лилавати, богиня волшебного мира! Кровь сохнет в жилах моих и уши увядают, когда я слышу эту беспросветную чепуху, что льется из уст этого непросвещенного отрока!

Засим грозный доктор Уникурсальян обратился к Илюшей возопил:

– Отвечай мне: во-первых, что же это будет за х? Стоит только достигнуть параллельности, и наклонная перестанет быть наклонной. И останутся два перпендикуляра, которые, как, может быть, и тебе известно, ни в какой точке пересекаться не умеют. А ведь, по-твоему, х, как это донеслось до слуха моего, есть именно расстояние от основания перпендикуляра до точки, которой нет?

– 201 —

– Ну хорошо, я скажу иначе, – возразил Илюша. – Просто возьму перпендикуляр и буду двигать по нему точку, начиная от какой-то начальной – той, которая была основанием перпендикуляра, – все дальше и дальше так, чтобы расстояние х от начальной точки стремилось к бесконечности. Так вот, когда я вместо отрезка перпендикуляра до удаляющейся точки возьму всю эту часть перпендикуляра, то есть весь луч, идущий в одном направлении от начальной точки, то тогда можно уж сказать, что этот луч имеет длину, равную бесконечности, то есть что расстояние х уже стало действительно бесконечностью.

– Сказать можно все, что угодно, – сердито отвечал командор, – а какой в этом будет смысл? Что вы разумеете под словом «длина», юноша? Если я вас правильно понял, то вы имели в виду длину отрезка, а ведь это не что иное, как число, которое можно получить, если этот отрезок измерять, откладывая на нем единицу длины. Но перед вами не отрезок, а луч, и откладывать на нем единицу можно сколько угодно раз, но от вашей цели вы при этом будете все так же далеки, как в самом начале, хотя бы вы и отложили единицу децильон децильонов раз. Ибо попробуйте, сделав это, удалиться на столь же почтенное расстояние от вашей работы и посмотреть издали: вам покажется, что вы еще с места не сдвинулись. Конечно, можно сказать, выражаясь, однако, совершенно условно, что «длина луча равна бесконечности», но и это опять будет иметь только тот смысл, что сколько бы раз ни откладывал ты единицу меры вдоль луча, этому не будет конца, то есть какое бы число ни назначить, единицу можно отложить еще большее число раз.

– А почему же, – спросил Илюша, – нельзя просто сказать, что единица отложится «бесконечное число раз»? Ведь мы говорим же, что число всех чисел бесконечно или что на отрезке умещается бесконечное число точек…

– И здесь эти выражения имеют тот же самый смысл, – отвечал Радикс (ибо Магистр Деревьев уже исчез). – Сосчитать все точки на отрезке невозможно. Когда ты говоришь, что число точек на отрезке бесконечно, то только признаешься в том, что сколько бы точек ты ни отметил, всегда можно найти на отрезке еще одну, не отмеченную, и так дальше, без конца. Недаром же мы произносим слово «бес-конечность». Вспомни Архимеда: ведь как раз его задачей и было доказать современникам, что какое бы большое число ни назвать, всегда можно построить еще большее.

– А все-таки непонятно: почему же мне не называть бесконечность числом? – спросил Илюша. – Ведь если говорить, что длина луча равна бесконечности или что число точек на

– 202 —

отрезке равно бесконечности, то ведь всякому будет ясно, что это значит…

– Ну что ж, – ответил Радикс, – если употреблять эти выражения в том смысле, в каком мы с тобой только что говорили, то в этом ничего плохого нет. Но когда ты говоришь: «Что-то превратилось в бесконечность», нельзя забывать, что это имеет определенный смысл, ибо то, что «превращается» во что-нибудь, перестает уж быть тем, чем оно было до этого: отрезок превращается в луч, множество чисел, каждое из которых ты можешь рассмотреть и назвать в отдельности, «превращается» в бесконечное множество всех чисел, в котором пересмотреть до конца элементы один за другим уже не удастся. Это «превращение» – очень хитрая штука. Ты можешь, конечно, вообразить, что тянул, тянул отрезок да и растянул его в луч, как делал с перпендикуляром, поворачивая наклонную до параллельности с ним. Но это ты только воображаешь себе. На самом деле бесконечный луч построить нельзя, а можно только представить себе бесконечный процесс удлинения отрезка. И то, что ты представляешь себе в качестве результата этого процесса, это уж совсем не отрезок, а нечто существенно отличное от отрезка.

– И затем, – сказал Илюша, – я вот еще что хотел спросить. Ты говоришь, что количество точек на отрезке прямой бесконечно, то есть эти точки нельзя исчерпать, перебирая их одну за другой. Ну хорошо, а если сказать, что бесконечность есть именно такое число, которое выражает количество точек на отрезке или вообще количество каких-либо вещей, процесс пересчитывания которых закончить невозможно?

– В некотором, строго определенном смысле можно и так говорить. Но как только ты скажешь, что бесконечность – число, то сейчас же возникает новая опасность. Числа ты можешь сравнивать по величине, складывать их, вычитать, а с бесконечностью в том смысле, как ты ее только что определил, нельзя обращаться, как с числами…

– Ты расскажи, отчего нельзя, – попросил Илюша.

– Вот отчего. Если луч удлинить на десять сантиметров, присоединив к нему в его начальной точке отрезок именно этой длины, то станет ли после этого длина нового луча действительно больше на десять сантиметров или останется прежней? Ведь если снова измерять новый луч, не зная, прибавляли ли к нему еще что-нибудь или нет, то обнаружить разницу по сравнению с тем, что было, ты не сможешь. И в том и в другом случае ты получишь бесконечную последовательность отложенных единичных отрезков и можешь даже их наложить друг на друга: первый на первый, второй на второй и так далее. Поэтому говорить, что второй луч на десять сантиметров

– 203 —

длиннее первого, – это значит произносить фразы, не имеющие никакого смысла. Вот что получается со сложением. А с вычитанием еще того хуже: накладывая два луча друг на друга, я могу сдвинуть при этом их начальные точки так, чтобы между ними образовался отрезок любой длины. А следовательно, если ты напишешь, что бесконечность минус бесконечность есть нуль, то и в этом не будет никакого смысла. Значит, такое равенство может привести к грубым ошибкам. Мало того, я из одного луча могу соорудить два точно таких же, так что и с делением и с умножением тоже получается неладно. Поэтому раз с бесконечностью нельзя обращаться, как с числом, то уж лучше совсем и не называть ее числом.

– Постой, как же так: из одного луча два? – спросил Илюша.

– А это тебе объяснит Мишка в следующей схолии, – ответил Радикс.

– 204 —

Схолия Двенадцатая,

где читатель снова встречает Мишеньку, который показывает талисман, замечательный своей полной неистребимостью, а Радикс рассказывает поучительную сказку об одном остроумном директоре гостиницы, а также о том, как Галилей подсчитал однажды, сколько всего есть на белом свете полных квадратов, и о том, как на школьном вечере все танцевали вальс. Тут наш герой проявляет необычайный интерес к прядильному делу, однако с этой проблемой приходится обождать, ибо в это время Илюша должен срочно разрезать одно яблоко на семнадцать миллионов частей. Далее идет очень сложное обсуждение вопроса о том, существует ли особая форма для кривых и какова она. А после того, когда все по этой части благополучно разрешается при помощи прямого угла, так что Илюше удается даже выяснить, какие у этих кривых корни, друзья наши отправляются в лес, где их встречают очень странные существа, наперерыв расхваливающие свой товар, сообщая, кстати, Илюше рецепт, с помощью которого жизнь человека удлиняется ровно вдвое. Наконец друзья приходят в прелестную столовую, где один подслеповатый повар принимает Илюшу в своем кулинарном рвении за гриб.

– Все это может быть и так, – начал снова Илюша, – но мне все-таки хотелось бы узнать у тебя еще кое-что об этой бесконечности. Как ни удивительны те числа, о которых мы говорили с тобой раньше, все-таки это ужасно странное число…

– 205 —

– Фф-у! – в величайшем негодовании воскликнул Радикс. – Я же тебе говорил, что это не число! Запомни это раз навсегда! Если ты не хочешь сейчас же и немедленно поссориться со мной, то лучше и не заикайся об этом.

– Хорошо, хорошо! – торопливо согласился Илюша. – Я только…

– Только что? – раздался тоненький голосок.

Илюша обернулся и увидел старого знакомого – плюшевого Мишку. Мишка хихикнул и сказал:

– Я страшный! Я удивительный! Я очень страшный! Это потому, что у меня есть талисман. Замечательная штучка!

Тут Мишка засунул лапку куда-то за спину, и Илюша увидел, что у этого смешного зверька в его плюшевой шубе сзади устроен еще карманчик. Мишка вытащил большую новенькую серебряную монету и с торжеством показал Илюше.

– На-ка! – важно провозгласил Мишка. – Это, по-твоему, что? Это, брат, неразменный рубль.

Илюша с удивлением взял в руки монету. На ней посреди узора из лежащих на боку восьмерок было выгравировано:

«НЕРАЗМЕННЫЙ РУБЛЬ. Отчеканен высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА и в силу оного имеет дивное хождение и чудное взлетание наравне с чудесами и дивами, каковые при его помощи очень легко приобрести. Беспрепятственно разменивается, нимало не размениваясь, на страх и удивление самым непослушным задачкам».

– Так… – нерешительно произнес Илюша, прочитав эту странную надпись и не зная, чему тут можно верить.

– А знаешь ли, как этот аппарат действует? В этом-то весь секрет! – С этими словами Мишка разломил рубль пополам.

И обе половинки вдруг стали целыми рублями! Самое странное было, однако, в том, что Илюша отлично видел, как Мишка разламывал рубль, но уследить, когда и как обе половинки снова стали целыми рублями, он не мог. Может быть, в этом и заключается секрет неразменного рубля?

Потом Мишка положил эти два рубля друг на друга, и они снова превратились в одну целую монету.

– Видал? – победоносно сказал Мишка. – Вот рублик! Вот так Мишкина монетка! Вот меня все и боятся! А почему? Потому что у меня есть неразменный рублик.

Илюша посмотрел с удивлением на равнодушную мину Радикса.

– Что это значит?

– Вот как? – с подчеркнутым удивлением сказал Радикс. – Значит, ты ничего не понял? Достойно сожаления, молодой человек! Ну, в таком случае я расскажу тебе другую

– 206 —

историю, не менее поучительную, но, быть может, более понятную… В некотором царстве случилось великое празднество, на каковое съехалось несметное число гостей. И накануне праздника они явились в столицу этого царства и все стали толпой около гостиницы. Выходит директор гостиницы. Спрашивает: «Скажите, пожалуйста, дорогие гости, сколько вас?»

Ему отвечают: «Нас бесчисленное множество. Вот наши делегатские билеты. На них стоят номера от единицы до бесконечности». Директор говорит: «Так как в моей гостинице бесконечное число номеров и как раз они перенумерованы от единицы до бесконечности, то я размещу вас всех. Прошу вас, входите!» И все разместились. Не прошло и часа, как снова на площади перед гостиницей собралась такая же толпа. Снова выходит директор. Снова спрашивает: «Сколько вас, дорогие гости?» И опять ему отвечают: «Столько же, сколько было и в первой партии!» Директор говорит: «Так как в моей гостинице как раз бесконечное число номеров, то я размещу вас всех. Пожалуйста, входите!» Они входят. И что же он делает? Он перемещает всю свою первую партию гостей. Гостя из номера первого он переводит в номер второй, из номера второго в четвертый, из номера третьего в шестой, из номера четвертого в восьмой, из номера пятого в десятый и так далее. Таким образом, у него все нечетные номера оказались свободными, и там-то он и разместил вторую партию гостей, которая, как и первая, заключала в себе несметное число приезжих. Понял?

– Ничего не понял! – воскликнул Илюша.

– Прекрасно! – отвечал Радикс. – Начнем сначала. Ты знаешь, что такое четные числа?

– Ну конечно. Это те, которые делятся на два.

– Верно. А нечетные?

– 207 —

– Ну, которые на два не делятся: три, пять, семь и так далее.

– Приятно слышать. Какой милый, догадливый мальчик! Так вот, Мишкина задачка, а также задачка с бесконечной гостиницей заключаются вот в чем. Если взять все числа, то есть четные и нечетные, ведь это будут все натуральные числа, не правда ли?

– Ну конечно, потому что, кроме четных и нечетных, больше никаких нет. Так они и идут одно за другим: нечетное, потом четное, потом опять нечетное и так далее без конца.

– Одно за другим, по очереди?

– Конечно! Что ты меня спрашиваешь о таких вещах? Уж это, кажется, до того просто, что малое дитя знает!

– Ах, так это просто, по-твоему? Ну посмотрим, что ты дальше скажешь! Так, значит, выходит, что четных и нечетных чисел одинаковое количество.

– Конечно, – ответил Илюша. – Если взять, например, до какого-нибудь четного числа, ну хоть до этого нонильона децильонов, то будет поровну и четных и нечетных.

– Так и запишем. Попробуем только взять еще немножко подальше, а то для Мишкиной задачки это крохотное числишко – нонильон децильонов – не подходит. Возьмем до бесконечности. Так вот, ответь мне, пожалуйста: если мы возьмем все числа, а потом выберем только одни четные и напишем в два ряда – в одном ряду будут все: и четные и нечетные, а в другом одни четные, – так в котором ряду будет чисел больше, в верхнем или в нижнем?

– Ну конечно, во втором ряду будет вдвое…

Но тут почему-то Илюша замолчал, и на его лице изобразилось полнейшее недоумение.

– Ну-с, – сказал Радикс, – я вас слушаю! В котором ряду будет больше, в верхнем или в нижнем?

Илюша грустно вздохнул и сказал:

– Должно быть во втором ряду вдвое меньше, а на самом деле…

– А на самом деле? – повторил вопросительно Радикс. – Да что тут долго думать! Вон они, посмотри-ка!

Илюша обернулся, посмотрел на стену и увидел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28…

Оба ряда тянулись вправо ужасно далеко, но как ни заглядывал Илюша вправо, как он ни напрягал зрение, оба они шли совершенно вровень, а конца им не было.

– Так как же? – опять спросил Радикс.

– 208 —

– Выходит, что их – и тех и других – одно и то же количество.

Илюша пожал плечами.

– Не понимаю! – сказал он. – Вижу, что одно и то же количество, и соображаю, что сколько ни тяни верхний ряд, нижний от него отставать не будет, потому что нижний – это тот же верхний, только умноженный на два, но понять не могу.

Не могу, потому что нижний в то же самое время есть часть верхнего. Но ведь часть меньше своего целого?

– Меньше, покуда речь идет о числах, о конечных величинах. А раз ты имеешь дело с бесконечностью, то, как ты сейчас сам видишь, это не так. Там вовсе не обязательно, чтобы часть была меньше своего целого. В данном случае часть совершенно такая же, как и ее целое. И это странное целое можно еще по-разному разбить на части, и опять получится то же самое. Великий Галилео Галилей в книге, которая называется «Беседа о двух новых науках» и которая вышла в свет в тысяча шестьсот тридцать восьмом году, задает примерно такой вопрос: «Верно ли будет, если я скажу, что количество правильных квадратов, как «четыре», «девять», «шестнадцать», «двадцать пять» и так далее, меньше количества всех чисел, поскольку число правильных квадратов непрерывно и очень скоро убывает по мере того, как мы двигаемся вперед по натуральному ряду чисел по направлению ко все большим и большим числам? Для примера укажу, что в первой сотне я насчитываю десять квадратов, что составляет одну десятую всех чисел до сотни включительно; затем до десяти тысяч их будет сто, то есть одна сотая, а до миллиона их будет одна тысячная и так далее». Поскольку это так, то несомненно правильно, что в любом конечном числе квадратов будет гораздо меньше, чем всех чисел, и чем оно будет больше, тем относительно их будет меньше. Однако, как только мы переходим к бесконечности, оказывается, что я могу все это рассмотреть совершенно с другой точки зрения. Напишем вот таких два ряда:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144…

Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. «Поэтому, – говорит далее Галилей, – нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество – и тех и других». Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.

– 209 —

Из этого луча можно сделать два луча.

– Все это так, – медленно произнес Илюша, – а понять все-таки очень трудно.

– Ничего удивительного здесь нет, – отвечал Радикс, – что тебе вся эта задача кажется такой трудной. Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.

– Хорошо бы… – отвечал наш герой.

– Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найти какой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества. И вот что тут можно предложить.  Представь себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое – попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет.

– 210 —

Но только математики говорят в таких случаях не «количество» элементов, а так: эти два множества имеют «одинаковую мощность»[16]16
  Наш дорогой читатель хорошо сделает, если постарается раздобыть книжку Н. Я. Виленкина «Рассказы о множествах», М., «Наука», 1965. Книжечка небольшая (128 стр.), не очень легкая, но одолеть ее вполне возможно. Там рассмотрены те же примеры, что и здесь приводятся, но есть и еще более интересные и сложные.


[Закрыть].

– А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность! – сказал Илюша. – Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.