Текст книги "Волшебный двурог"
Автор книги: Сергей Бобров
сообщить о нарушении
Текущая страница: 19 (всего у книги 31 страниц)
– Видишь, ты и сам замечаешь, что наши «прямые» этими своими свойствами, как, впрочем, и многими другими, не будут отличаться от обыкновенных евклидовых прямых, а на малом участке вдали от центров ты и по виду их от прямых не отличишь. Тебе будет казаться, что ты имеешь дело с обыкновенной геометрией Евклида. Там можно строить треугольники, восстанавливать и опускать перпендикуляры и так далее. Однако если спросить, сколько «прямых», не пересекающих данную, можно провести через точку вне этой прямой,
– 291 —
Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, «прямую».
Две «прямые» могут пересекаться только в одной точке.
то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится, что в действительности наши «прямые» подчиняются не законам Евклида, а законам геометрии Лобачевского.
– Как же это так получается? – спросил удивленный Илюша.
– Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом «бесконечно удаленных» точек нашей геометрии. Если дана «прямая» АВ, то есть полуокружность с центром в точке С «бесконечно удаленной» линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество «прямых», не пересекающихся с «прямой» АВ, слегка смещая центр из точки Спо горизонтали и соответственно изменяя радиус.
– Хорошо, – сказал Илюша, – это я теперь понимаю. А какие же «прямые», проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к «прямой» АВ?
– Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть «расходящиеся» с данной, «прямые» от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут «прямые», изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на «бесконечно удаленной» прямой.
То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь «прямой» АС, то легко убедишься, что они будут «расходящимися».
– 292 —
Прямоугольный треугольник ABC.
– Так, – сказал Илюша. – Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?
– Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.
Через точку М проведено несколько «прямых», не пересекающих «прямую» АВ.
– 293 —
«Прямая» А′В′ параллельна АВ, в сторону А; «прямая» А′′В′′ параллельна АВ в сторону В. «Прямые», проходящие внутри углов А′МА′′ и В′МВ′′, «расходятся» с АВ. «Прямые», проходящие внутри углов А′МВ′′ и В′МА′′, пересекают АВ.
– Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам! – воскликнул Илюша. – Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу…
Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.
Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.
Два перпендикуляра – АВи CD– к одной «прямой» «расходятся» – угол параллельности φ острый
– 294 —
– Ты только попробуй! – произнес Фавн шепотом. – Никогда никто не кушал ничего вкуснее!
– Может быть, это и стыдно, – сказал Илюша, отломив втихомолку добрый кусочек казанского сыра и делая вид, что он никакого Фавна и в глаза не видел, – но я должен сознаться, что я тоже до сих пор думал, что геометрия Евклида единственная.
– Стыдного тут ничего нет, – отвечал Асимптотос. – Ты просто не знал, вот и все. Но спорить с построенной системой – это уже совсем другое дело.
– Значит, я уже узнал здесь, кроме евклидовой, три новые геометрии: геометрию лабиринтов, потом геометрию Лобачевского и геометрию Птолемея…
Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам.
– То есть сферическую, – заметил Копикос. – Однако я могу тебе показать еще одну геометрию. Это будет геометрия теней. Ты увидишь сейчас удивительные тени. Слышал ли ты такой стишок:
Вот пройдут любые тени
По стене,
Странных очерки видений
При огне…
Неужели ты его не знаешь? Почитай, голубчик! Его написал прекрасный русский поэт Александр Блок. Это почти эти самые тени и есть.
– 295 —
В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов.
Асимптотос притащил откуда-то лампочку очень странной и красивой формы, немножко похожую на чайник, в носик которого был вставлен фитиль. Лампа горела не очень ярко, но все-таки светила. В ней было налито нечто вроде оливкового масла. Говорят, будто это была та самая лампа, из-за которой начались несчастья бедной Душеньки в той самой поэме Богдановича, которую так любил юный Пушкин, потому что Aпyлей (сочинивший книгу «Золотой осел», где изложена история Душеньки) ему нравился гораздо больше рассудительного Цицерона[20]20
О том, как Пушкин в юности
Читал охотно Апулея,а Цицерона не читал, ты можешь узнать из «Евгения Онегина». А поэма Богдановича так и называется «Душенька».
[Закрыть]. Масло для этой лампы Коникос зачерпнул из фонтана. Затем Коникос сделал какой-то странный жест, и в светлице стемнело. Только и было света, что от масляной лампы.
Асимптотос поставил ее на стол и вырезал круглый кусочек плоскости.
– Смотри теперь на тень этого кружка. Если я поставлю мой диск вертикально параллельно стене на одном уровне с источником света, то и тень на стене получится…
– Круглая, – отвечал Илюша.
– Справедливо. Теперь смотри, что будет с тенью, если я буду поворачивать кружок вокруг его вертикального диаметра. Если я поверну кружок на некоторый угол так, чтобы диск у меня стоял наклонно к плоскости стены, то тень будет…
– 296 —
– Эллипсом! -отвечал Илюша.
– А теперь, – продолжал Коникос, – смотри, какие тени будут получаться от кружка на столе. Если я опущу диск ниже пламени, то на столе получится… На-ка, возьми диск, попробуй сам!
Илюша взял диск, опустил его немного ниже пламени лампы и получил две тени: эллиптическую и круговую, которые он уже видел на стене.
– Теперь, – сказал Асимптотос, – слушай мою команду! Поставь диск вертикально так, чтобы самая высокая его точка находилась на уровне пламени.
Илюша поставил. Тень от кружка стала с одной стороны овальной, а с другой – уходила прямо по столу, и казалось, что две стороны тени уходят вдаль, стремясь сделаться все более и более параллельными.
– Эта тень похожа, – сказал Илюша, – пожалуй, опять на кривую квадратного уравнения.
– Справедливо, – отвечал Коникос. – Ты получил параболу. А теперь подними кружок еще немного повыше, так, чтобы его горизонтальный диаметр был на уровне пламени.
Илюша приподнял кружок. Теперь на стол падала тень только от нижней части кружка. С одной стороны она тоже была похожа на овал, но с другой стороны тень уходила до самого края стола. Однако ее стороны не стремились к параллельности, а шли почти прямо в разные стороны.
– А это что такое?
– Н-не знаю, – сказал Илюша. – Но так как мы видели все конические сечения, кроме гиперболы, это, наверное, она и есть?
– Она самая. А скажи, пожалуйста, не встречал ли ты гиперболу вечером на улице?
– На улице? – удивился Илюша. – Нет, кажется, не встречал.
– А видал ли ты вечером на улице такую картину: у подъезда дома стоит автомобиль с одной зажженной фарой, и свет от фары падает на мостовую?
– 297 —
–Это я, конечно, видал, – ответил Илюша.
– Так вот имей в виду, что освещенный кусок мостовой и рисует на асфальте самую настоящую гиперболу, то есть одну из ее ветвей. Почему? Потому что световой пучок выходит из фары конусом, а мостовая в данном случае является секущей плоскостью по отношению к этому конусу. Когда увидишь эту гиперболу в следующий раз, кланяйся ей от меня… Эта геометрия теней называется проективной геометрией. Вот тебе и пятая геометрия! Учи только, не ленись, у нас геометрий хватит!
– Хорошо, – сказал скромно Илюша, – постараюсь.
– Эта геометрия, – пояснил Радикс, – имеет самое непосредственное отношение к искусству живописи, ибо только она может научить нас, как нарисовать некий предмет на плоскости так, чтобы зрителю казалось, что он видит перед собой настоящий предмет в трехмерном пространстве. Во времена Возрождения эта наука развивалась в трудах крупнейших живописцев того времени: таковы были знаменитый Аьбрехт Дюрер, живший в начале шестнадцатого века, крупнейший архитектор-итальянец Альберти (конец пятнадцатого века) и один из величайших художников всех времен, разносторонний гений Леонардо да Винчи (родился в тысяча четыреста пятьдесят втором году, скончался в тысяча пятьсот девятнадцатом), тоже итальянец по происхождению, который недаром сказал, что глаз человеческий – это «князь математики». Далее ее разрабатывал Паскаль (о нем ты уже слышал), а также и другой француз, Понселе, который был офицером наполеоновской армии, участвовал в походе на Россию, был тяжело ранен в сражении под Красным и подобран русскими войсками на поле боя. После этого он попал в плен к русским и почти целый год прожил в Саратове: там-то он и написал свое знаменитое сочинение по геометрии. Кстати сказать, развитие этой ветви геометрии способствовало
– 298 —
правильному истолкованию математиками геометрии Лобачевского.
– Конечно, – заметил Илюша, – эта проективная геометрия теней очень красива, но геометрия Лобачевского мне как-то больше нравится.
– С тобой можно согласиться, – ответил Радикс. – Открытие Лобачевского вызвало сначала полное непонимание…
И при этом не только со стороны людей, которые были заведомо невеждами, а даже со стороны тех, которые, казалось бы, могли разобраться… Но слишком для них все это было неожиданно и непонятно. У себя на родине Лобачевский подвергался жестоким издевательствам в продажной печати времени императора Николая Первого. В то время как великий Гаусс учился русскому языку, чтобы прочесть сочинения Лобачевского в подлиннике, русские журналы, руководимые известным гонителем Пушкина, царским шпионом – Булгариным, глумились над Лобачевским, уверяя, что такую геометрию может выдумать только человек, поставивший себе цель – издевательство над наукой. Даже угрюмый реакционер, тогдашний министр народного просвещения, Уваров пытался защитить Лобачевского, но безуспешно. Булгарин спрятал его возражения «под сукно». Все, что мог сделать Уваров для Лобачевского, который был все-таки ректором Казанского университета, – это напечатать в официальном ученом «Журнале министерства народного просвещения» в ежегодном списке трудов русских ученых против имени Лобачевского: «Ректор Казанского университета, занимался сочинением статьи для журнала Крелле». Это кое-что значило для людей понимающих, ибо в то время математический немецкий журнал, издаваемый Крелле, был самым авторитетным журналом в мире. В дальнейшем выяснилось, что Уваров рассчитал не так плохо, ибо статью Лобачевского в журнале Крелле заметил и похвалил сам Гаусс! А гордость родины, математик Лобачевский, так и умер, даже не удостоенный звания доктора наук за свои труды, ставшие краеугольным камнем для всей новой математики девятнадцатого века[21]21
У нас есть много хороших книг о Лобачевском. Вот некоторые из них: А. П. Норден. «Элементарное введение в геометрию Лобачевского». М., Гостехиздат, 1953; Б. Н. Делоне. «Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского». М., Гостехиздат, 1956; П. А. Широков и В. Ф. Кагап. «Строение не-евклидовой геометрии». М., Гостехиздат, 1950; А. П. Котельников и В. А. Фок. «Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике».
[Закрыть].
– Страшно слушать!.. Но мне все-таки хотелось бы узнать, в чем самая суть этих удивительных трудов Лобачевского?
– Видишь ли, – задумчиво произнес Радикс, – попросту
– 299 —
и коротко рассказать все это трудно. Но попробуем все-таки!
Древняя математика оставила нам замечательные достижения. Недаром некоторые историки науки говорили о «греческом чуде». Но кроме того, от древности нам в наследство осталось немало нерешенных вопросов, научных загадок. И некоторые из них были трудности непомерной. С квадратичными иррациональностями греки сами справились. Удивительные труды Архимеда и Аполлония затронули более сложные вопросы, которые дождались своего разрешения только уж в Европе в шестнадцатом и семнадцатом веках. Но вопросы, связанные с самыми основаниями евклидовой геометрии, смущавшие ученых еще в древности (как это видно из трудов Птолемея), получили свое разрешение только в девятнадцатом веке в работах Лобачевского. Когда это наконец было сделано, осознано и разработано, наша наука вступила в новую стадию. Это уже не было прямой разработкой творений Архимеда, а чем-то совершенно своеобразным, что дало науке новые великие силы. Ибо наука получила после Лобачевского возможность не только исследовать те или иные задачи, но научилась изучать и понимать свою собственную сущность и все свое своеобразие.
– Собственную сущность… – повторил Илюша неуверенно, – то есть самую суть? Так я говорю?
– Да, в общем так. Но самое главное заключается в том, что великая система не-евклидовой геометрии, построенная Лобачевским, постепенно привела людей к полной уверенности, что математика есть наука опытная.
– 300 —
Схолия Пяmнадцamая,
где продолжается беседа о судьбах древней математики, которая, как выясняется, долгое время жила на положении рабыни у жестоких восточных деспотов, выполняя под их свирепым надзором всякую черную работу, пока наконец хитроумный греческий мореход с железным копьем, на котором было высечено слово «ОТЧЕГО?» с громадным вопросительным знаком, не похитил ее и не привез под лазурное небо Эллады, где она и обрела наконец свою истинную родину. Затем Илюша постепенно узнаёт все более серьезные и удивительные вещи: о том, например, как греческий философ Демокрит придумал способ для определения объема конуса, и как этот способ стал развиваться в работах Архимеда, и как впоследствии из всех этих удивительных событий вырос тот самый Великий Змий, с грозной тенью которого Илюша имел честь встретиться в Схолии Второй.
Все уселись в кружок, и Коникос начал так:
– Математика пришла в Грецию от древних восточных цивилизаций – Шумера, Вавилона, Египта. Зародилась она очень давно. Уже к концу четвертого тысячелетия у шумеров – это было на землях теперешнего Ирака – были сделаны первые основательные шаги. У шумеров, а также у их преемников – вавилонян уже было накоплено довольно много знаний. Это было связано, во-первых, со взиманием налогов, во-вторых, с различного рода расчетами при постройках. Таким
– 301 —
образом, из дошедших до нас документов – преимущественно обожженных глиняных плиток-таблеток, на которых перед обжигом наносились знаки, – большинство относится к развитой государственной жизни, когда необходимо учитывать урожай, сбор шерсти, рассчитать, как построить плотину, мост, сколько потребуется народу, чтобы возвести то или иное сооружение, и так далее. Многие таблички представляли собой учебники для школ будущих чиновников, которые и должны были уметь делать все эти вычисления. Составлялись таблицы для облегчения расчетов. Важное значение имела и астрономия, в основном как служба календаря, определявшая сроки сельскохозяйственных работ.
– А как все это узнали? – спросил Илья.
– Глиняные таблетки, – продолжал Коникос, – которые находят археологи при раскопках, – материал прочный, под землей могут пролежать тысячи лет, огня не боятся. В восточных царствах было накоплено, по-видимому, много практических знаний. Существовала ли в то время теоретическая математика, сказать трудно, но что какие-то начатки теории уже были, в этом, по-видимому, нельзя сомневаться. Среди Вавилонских таблеток можно встретить чертежи правильных многоугольников, причем вычисляются их площади, встречаются приближенные определения квадратного корня из двух, находится приближенная квадратура круга, существуют способы определения довольно сложных объемов, решаются квадратные уравнения и многое другое. Трудно сказать, осмыслено ли все это было теоретически. Но все же приходишь к мысли, что кое-что делалось… Никакой хозяйственной необходимости, например, вычислять площадь круга в то время не было. Однако в учебниках есть задачи на вычисление: сколько семян надо, чтобы засеять круглое поле? Хотя круглых полей делать никто не станет. Греческие философы передают, что в египетских храмах в течение тысячелетий хранились записи всего нужного и интересного. Там имелись и астрономические наблюдения, и очень трудно допустить, чтобы при всем этом можно было бы обойтись совсем без научных работ. Практика больших сооружений в странах с искусственным орошением и с постоянными работами по усмирению больших рек могла поставить трудные задачи.
– Интересны эти задачи на вычисление насчет круглого поля! – заметил Илюша.
– Конечно, интересно! – откликнулся Асимптотос. – Крупные ученые-историки приходят к заключению, что у вавилонян неизбежно должно было возникнуть что-то вроде нашего доказательства, когда сложное решение вопроса опирается на целую цепь более простых соображений. Конечно, вряд ли им
– 302 —
приходило в голову интересоваться, как достигается тот или иной теоретический вывод, но им уже нельзя было обойтись без того, чтобы не пользоваться им.
– Когда все это было?
– У шумеров, – отвечал Коникос, – примерно в третьем тысячелетии до нашей эры, но там о теории, наверно, еще и слуху не было, а во втором и первом тысячелетиях до нашей эры процветал Вавилон, особенно в первой половине первого тысячелетия до нашей эры. Древняя Греция оказалась наследницей всего этого научного богатства.
– А как бы в общем сказать про эту древневосточную науку? – задумался Илюша.
– Пожалуй, – заметил Асимптотос, – верней всего было бы сказать, что это была наука писцов, чиновников, казенных канцелярий. Постепенно там родился интерес и к самому искусству вычисления, а из него мало-помалу выросла и алгебра в виде первых решений квадратных уравнений. Причем пока еще никто не мог найти ни одной практической задачи на Древнем Востоке, для которой было бы необходимо решение квадратного уравнения. Поэтому историки и считают, что это решение искали не для практики, а именно из чисто научного интереса. Наука Вавилона, видимо, была выше египетской. Одним из замечательных достижений шумеро-вавилонских ученых было построение позиционной системы счисления. Она, правда, была не такая, как наша общепринятая десятеричная, а была шестидесятеричная. Она еще и у нас осталась в делении окружности на триста шестьдесят градусов, час мы делим на шестьдесят минут, а минуту на шестьдесят секунд.
– Какая живучая система! – усмехнулся Радикс.
– Историки считают, – продолжал Коникос, – что изобретение позиционной, или поместной, системы настолько важно было для культурного развития человека, что это можно вполне сравнить с изобретением письменности. Вавилоняне знали теорему Пифагора – и не только для отдельных случаев, по и вообще. На одной вавилонской таблетке дано численное значение корня квадратного из двух, правильное до шестого десятичного знака[22]22
Снимок этой таблетки есть в книге Ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука», которую мы уже вспоминали. А таблетке этой примерно три или четыре тысячи лет.
[Закрыть]. Конечно, корень из двух, позволяющий увеличивать данную площадь вдвое, необходим в строительном деле. Но с такой точностью он ни одному столяру или каменотесу совсем не требуется. В деле строительства вполне можно было бы удовлетвориться двумя знаками, а впрочем, можно даже взять расчеты и погрубее.
– 303 —
– А помнишь ли ты, – спросил Радикс мальчика, – как с помощью корня из двух удваивается данная площадь?
– Еще бы! Если дан квадрат, а сторона равна единице, то диагональ по теореме Пифагора будет равна корню из двух. Вот и удвоение площади! Умножил сторону на этот корень и получил сторону квадрата с двойной площадью.
– Хорошо! Знаешь твердо. Учись, не отставай, и все будет в порядке. А мы всегда к твоим услугам.
Площадь квадрата, построенного на диагонали другого, вдвое больше площади последнего.
– Вот что еще мы можем рассказать тебе о Древнем Востоке, – добавил Коникос. – Примерно в начале первого тысячелетия нашей эры вокруг Средиземного моря происходят огромные перемены. К морским берегам из глубины континентов приходят новые люди. Бронзовые мечи и топоры заменяются железными, гораздо более удобными и дешевыми. Несколько столетий подряд на берегах Средиземного моря и его островах бушуют непрерывные битвы. Падает под ударами врага мощное Критское царство, которое было тоже центром культуры бронзового века. Впрочем, теперь археологи склоняются к мысли, что Критская островная культура могла погибнуть почтя внезапно из-за грандиозного извержения вулкана неподалеку, страшного землетрясения и всеразрушающих морских волн, которые называются цунами (они достигают огромной высоты и все уничтожают на своем пути, неожиданно обрушиваясь на сушу, а потом с той же силой стекая обратно в море). А затем под натиском «людей с моря» слабеет Египет. В Греции начинается новая культура, появляются мореплаватели, купцы, градостроители – люди, пользующиеся большой свободой по сравнению с вавилонянами и египтянами. Греческий город, а не дворец деспота становится хозяином нового мира. Восток пробует подчинить новую культуру – персидские полчища идут на греков и терпят неудачу. И вот в этом мире, где наука освободилась от религии, расцветает
– 304 —
новая мысль, жадно впитывающая все, что было создано на Востоке, и перерабатывающая все это древнейшее наследие.
Однако все же на территории Вавилона, несмотря на смены народов, научные труды и интересы сохраняются еще долгое время. Греческая культура была основана на труде рабов, которых приводили в страну в качестве военнопленных греческие воины. Тем не менее эта новая цивилизация создала нового любознательного человека, которого интересовали многие вопросы, особенно астрономия, а за ней математика, которая развивалась рядом с учением о правильном размышлении – логикой.
– Ну, разбираешься ли ты в том, что слышишь? – спросил Радикс.
– Кажется, разбираюсь. А если я в чем-нибудь запутаюсь, я потом спрошу тебя.
– Надо помнить, что новый мир Древней Греции, – взял слово Радикс, – породил людей, которые благодаря своему приволью и богатству занимались наукой не только по необходимости хозяйственной, а независимо от этого, ради желания проникнуть в суть научного рассуждения, в существо решения трудных задач. А затем греческие ученые постепенно стали переходить и к новым задачам, которых древневосточный мир либо не ставил, либо не придавал им особого значения.
– Вот мы вспоминали об удвоении площади, – добавил Коникос, – тут нужен корень из двух. В этом случае всего проще взять самое грубое приближение, то есть дробь 7/5, которая иначе 1,4, то есть корень из двух с точностью до первого десятичного знака. Если 7/5 возвести в квадрат, получается 49/25, или 1,96, то есть двойка с ошибкой на четыре сотых. Для плотника это отлично. Но греки на этом не хотели останавливаться и стали изучать теорему Пифагора (которую прекрасно знали и на Востоке) и вскоре открыли, что вся трудность не в вычислении, а в том, что корень из двух совсем необычное число, которое очень легко построить геометрически…
– А как его построить? – еще раз спросил Радикс, обращаясь к Илюше.
– Так это будет диагональ единичного квадрата, о котором мы только что говорили! – не задумываясь воскликнул Илья и посмотрел на Радикса.
– Молодец! – похвалил Асимптотос. – Признаться, не ожидал от тебя такой прыти!
– … очень легко построить, – продолжал Коникос, – но невозможно точно вычислить. Вот тогда открыли иррацио-
– 305 —
нальные числа, а затем придумали особенное построение, при помощи которого эту величину можно вычислить с любой степенью точности[23]23
Это построение называется диагональными числами. Об этом можно прочесть в АЛ-II, XV, 1, 2, 3; XXII, 5. Ныне все это связано с цепными дробями, о которых говорится в АЛ-II, XXII, ХХIII. Этими дробями занимался в XVI веке Рафаэль Бомбелли. Мы с ним еще встретимся.
[Закрыть]. Одно открытие привело к другому.
– Значит, это было замечательное открытие!
– Конечно! Наука стала объяснять законы счета, проникать во все своеобразие этих законов. Халдей говорил: «Делай так, потому что иначе ничего не выйдет!» А грек говорил:
«Рассудок учит, что, делая вот так, ты следуешь законам мира чисел, а поступая иначе, ты эти законы безрассудно нарушаешь, поэтому-то ты в последнем случае и расплачиваешься ошибкой!»
– Но ведь халдей даже не знал об этих законах? – спросил Илюша.
– Действительно, не знал, вернее, не догадывался. Да ведь и греки не сразу догадались…
– Но зачем же древневосточным ученым нужен был корень квадратный из двух с такой точностью, которая на практике была им не нужна? – спросил Илюша.
– Прямо ответить на этот вопрос невозможно, – сказал Коникос, – но уж раз мы знаем, что такие весьма точные вычисления существовали, мы убеждаемся в том, что либо это делалось просто из научной любознательности, либо это были упражнения для учеников. Но и в том и другом случае это все-таки очень похоже на то, что мы теперь называем наукой. Возможно, что некоторые вопросы, вроде теории квадратного уравнения, изучались преимущественно на числовых решениях. Может быть, это не самый лучший способ анализа, но и он давал некоторые результаты. Квадратное уравнение вавилоняне решали просто: находили два числа по их сумме и произведению… Что ты на это скажешь?
– На основании формул Виета как раз выходит квадратное уравнение:
х2 + рх + q = 0.
Сумма его корней равна р с обратным знаком, а их произведение = q.
– Вавилонянин решал задачу так: либо эти искомые величины (корни) равны между собой, либо нет. Если нет, то между ними есть некая разность z. Тогда можно написать, что
x1 = -p/2 + z; x2 = – p/2 – z, где z = 1/2(x1 – x2).
– 306 —
Затем во второе уравнение x1 · x2 = q подставляем эти значения корней и приходим к известной формуле квадратного уравнения, что нетрудно проверить.
AB = a; BD = 2a; CB = a√2
Илюша немного повозился с расчетами, выяснил, что получается, а затем сказал:
– Но ведь ученый халдеи не знал формул Виета?
– Формул, конечно, он не знал, но самый факт определенных взаимоотношений между исходными данными такой задачи и ее решением не мог быть для него тайной, потому что тогда он не сумел бы так решить задачу. Формулировать это еще не умели и не понимали, может быть, сколь это полезно, но факт был известен. Догадываешься, в чем тут разница?
– Как будто… то есть, как вы говорите, не знали, почему?
– Вот именно, – подтвердил Радикс. – Удвоить квадрат оказалось довольно просто, а основное правило решения выясняется при помощи теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна а, то мы узнаем х из пропорции:
Ты, наверно, помнишь, как геометрически производится построение средней пропорциональной?
– Конечно! – отвечал мальчик. – Это мы по геометрии проходили. Откладываешь на прямой отрезки, равные а и 2а, и на их сумме, то есть на 3а, строишь полуокружность, радиус которой равен 1,5а. А теперь, если АВ будет отрезок а и 2а отрезок BD, то из точки В ты восстанавливаешь перпендикуляр до пересечения с окружностью – это и будет искомая средняя пропорциональная. Доказать, что это так, нетрудно. Теорема Пифагора все тут объясняет.
– Хорошо. Таким образом, тебе, следовательно, ясно, что, применяя это несложное построение, для которого ты пользуешься двумя известными тебе по своим свойствам геометрическими местами, то есть прямой и окружностью – иначе сказать, линейкой и циркулем, – ты получишь совершенно точно искомую величину. Но затем стал вопрос об удвоении объема. Тут нужен не квадратный, а кубический корень из двух. Конечно, и для него не так уж трудно найти грубое приближение, вроде дроби 29/23, потому что, если эту дробь возвести в куб, получится 24389/12167 что равно 2,0045, то есть двойка с ошибкой
– 307 —
меньше пяти тысячных. Опять для целей строительства – прекрасное приближение! Но и в этом вопросе, который оброс в Древней Греции разными легендами и широко обсуждался, древнегреческий ученый действует по-особому. И для куба Гиппократ Хиосский вводит в пропорцию еще одну величину, у, причем он допускает, что между х и у соблюдается то же соотношение, что и между а и х. Строится пропорция
а : х = х : у = у : b,
откуда
x2 = ay; y2 = xb; x4 = a2y2 = a2xb;
Положив теперь b = 2а, мы и получаем искомое решение:
х3 = 2а3; 
– А тут я чего-то, наверно, не понимаю, – признался Илья. – Зачем же Гиппократу понадобились все эти сложности[24]24
См. Схолию Девятнадцатую.
[Закрыть] с его пропорцией? Ведь то, что ты называешь решением, то есть равенство х3 = 2а3, можно прямо написать из условий задачи. Для чего здесь нужна была эта длинная пропорция?
– Видишь ли, чтобы сообразить, зачем Гиппократу понадобилась эта сложная пропорция, надо вспомнить, что греки не располагали современной символикой. Это ты теперь можешь написать сразу:
а у греков пропорция была единственным способом для построения кратных соотношений между величинами. Следы этого громоздкого пропорционального подхода к подобным вопросам можно заметить вплоть до семнадцатого века вашей эры. Гиппократ придумал нужную пропорцию, и заслуга его в том, что он формулировал решение задачи, то есть он «составил уравнение», которое должен был далее решить геометрически, построением. Но Гиппократу это все-таки не удалось. Он только указал общий принцип решения. Решили эту задачу другие греческие математики, в том числе Менехм, ученый, который много занимался коническими сечениями (так что три эти сечения даже назывались в его честь «триа—
– 308 —
дой Менехма»). Это решение представляет собой нечто более сложное, нежели известное тебе построение средней пропорциональной. Искомый отрезок х строится при помощи двух пересекающихся парабол, поскольку парабола имеет близкое отношение к средним пропорциональным.
Параболы:
х2 = аy; y2 = аx;
Ищется средняя пропорциональная между a и 2a.
Впрочем, другие математики древности дали иные решения, не менее остроумные, и подошли впервые к решению кубического уравнения. Рассказ об этой задаче очень популярен среди ученых Возрождения, и для нас интереснее всего то, что принцип Гиппократа и всех, кто шел по его пути, представляет собой не только решение одной-единственной задачи, а является решением определенного типа задач на две средние пропорциональные. Этот вывод уже греческий.
– Это справедливо, – заметил Асимптотос, – но вот что еще можно отметить. Греческая разработка древневосточной науки привела постепенно греков к убеждению, что геометрия покоится на некоторых общих положениях, из которых путем ясного, простого и последовательного рассуждения можно вывести все важнейшие теоремы. Самые размышления стали глубже и проще: вместо того, чтобы покоряться неведомым силам природы, человек стал доискиваться их причин и мало-помалу пришел к заключению, что мировой порядок может быть изложен при помощи вычислений, то есть математически.
