Текст книги "Волшебный двурог"

Автор книги: Сергей Бобров

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 31 страниц)

– Прелестно! – отметил Радикс. – Ну, а если я на это место подвину одну из шашек того же столбца, то есть «десять» или «шесть», тогда что случится?

– Можно сосчитать! – сказал Илюша. – В первом случае мы перейдем к положению нижнего рисунка, то есть от ряда (по «змейке»)

1, 10, 15, 14, 12, 8, —, 3

к ряду

1, – , 15, 14, 12, 8, 10, 3.

Раньше «десять» образовывало инверсию с «восемью», а теперь этого не будет, но зато появятся инверсии «пятнадцати», «четырнадцати» и «двенадцати» с «десятью»; в общем, окажется на три инверсии больше и на одну меньше – в итоге на две инверсии больше. Если же передвинуть не «десять», а «шесть», то в средних строчках вместо ряда мы получим ряд

12, 8, —, 3, 11, 6, 7, 5

мы получим ряд

12, 8, 6, 3, 11, – , 7, 5;

значит, «шесть» перескочит через «три» и «одиннадцать» и будет теперь образовывать новую инверсию с «тремя», потеряв свою старую с «одиннадцатью», – число инверсий совсем не изменится.

– Вообще, – сказал Радикс, – где бы ты ни оставил пустышку, каждый раз, когда на ее место подвинешь соседнюю шашку сверху или снизу, число инверсий или вовсе не изменится, или изменится на четное число.

Большая стрелка показывает, как идет «змейка».

– 105 —

– Да-а, – протянул Илюша. – Из этих примеров выходит так. Но я не пойму: как надо рассуждать, чтобы убедиться в том, что всегда так будет выходить?

– Ну хорошо! – примирительно сказал Радикс. – Давай теперь соберем все наши наблюдения над Дразнилкой. И попробуем подытожить все вместе. Итак – шашка может обойти только четное число других шашек: две, четыре и шесть. Это и есть основа всей системы Дразнилки: если есть возможность, комбинируя друг с другом такие четные обходы, достигнуть желаемой позиции – задачка решается. Если нет, то и нет решения. Надо сравнить заданную позицию с желаемой: если между ними четное число инверсий – все в порядке! Если нечетное, ничего добиться нельзя. Вот и все! Любая позиция из круга иной четности переходит в обратный круг при перестановке с места на место одной-единственной (но не двух!) шашки. Если внимательно посмотреть на зеркальное отображение самого маленького трехшашечного Дразнилки, то ясно, что один круг переходит в другой как раз через зеркальное отображение. Но если это так, то всегда из задачи, которая «не выходит», можно сделать другую, которая «выходит». Это будет та же искомая позиция, но в зеркальном отображении. Конечно, как это в каждом случае сделать – уж вопрос другой (АЛ-1, VIII).

– Понимаю, – сказал Илюша. – Выходит верно, но как-то не очень складно. Ведь должна же быть какая-нибудь общая причина, благодаря которой число инверсий всегда меняется на четное число при скачке через четное число шашек…

– Ишь какой хитрец! – воскликнул, рассмеявшись, Радикс. – Причина-то как раз в том и заключается, что ты перескакиваешь через четное число шашек, а ведь всякое четное число состоит из двоек. А если взять две шашки, то уже мы с тобой установили… Впрочем, можно этого отдельно и не рассматривать. Будем рассуждать так. Пусть шашка перепрыгивает по «змейке» через четное число 2n шашек. Причем есть р шашек, с которыми у нее были инверсии, и q = 2n – р шашек, с которыми инверсий не было. Ясно, что 2n – четное число. Но если это так, то числа р и q, как говорится, одной четности, то есть либо они оба четные, либо оба нечетные, иначе их сумма не могла бы быть четной. Если же я теперь вычту эти два числа одной четности, р и q, друг из друга, то я обязательно получу четное число, так как разность двух четных, как и двух нечетных, чисел неизбежно четная. Можешь проверить, коли тебе не лень. Другими словами, разность двух чисел всегда одинаковой четности с их суммой. Иначе говоря, алгебраическая сумма некоторого числа единиц с любыми знаками всегда будет одной четности с чис-

– 106 —

лом этих единиц. Вот в чем тут сила! Ну, вернемся к нашей задаче. Изложи мне коротко и ясно: что же мы доказали этим рассуждением?

– Мы доказали, что при всякой перестановке шашки на пустое место число инверсий меняется на четное число. Значит, здесь, как и в маленьком Дразнилке, вернуться к исходному положению (то есть к такому, в котором нуль инверсий) можно только из расположения, в котором подсчет вдоль по «змейке» показывает четное число инверсий.

– Великолепно! – отвечал, вздохнувши, чтобы перевести дух, Радикс. – Вот теперь мы можем сказать, что установили необходимое условие того, чтобы Дразнилка вышел. А то, что это условие еще сверх того и достаточное, можно доказать совершенно строго, но мы этим заниматься не будем.

– Ну! – произнес огорченно Илюша. – Это мне не очень нравится. Ведь выходит, что мы только полдела сделали. И, наверно, это самое интересное и есть, потому что мы не получили правила, как приводить шашки в порядок.

– Конечно. Хотя одно общее доказательство вовсе и не должно указывать, как добиться цели скорей всего. Но только дело в том, что это доказательство не простое, и я не уверен, захочешь ли ты его слушать.

– Захочу, захочу! – обиженно сказал Илюша. – Мне очень нравится, когда я наконец начинаю разбираться в таких вещах, которые сперва кажутся такими уж хитрыми, что не знаешь, с какой стороны и подойти.

– Хорошо, – покорно отвечал Радикс. – Давай попробуем. Начнем вот с чего: убедимся в том, что с помощью перемещения шашек на пустое место мы всегда можем перепрыгнуть через любые две шашки по линии «змейки». Это совершенно ясно, если они обе стоят по соседству с пустышкой у того края, где «змейка» переходят из строки в строку. Но если они стоят где-нибудь рядом в одной строке, то мы можем поступить так: переместим их на край, не нарушая циклического расположения трех шашек (третья – та, которую надо перевести), так, чтобы они стали на краю друг под другом; затем, освободив место для переводимой шашки, перемещаем ее через них и вернемся, не нарушая

– 107 —

циклического расположения трех шашек, к исходному порядку, но с перемещенной уже шашкой. Приведем пример, и все станет ясно (верхний рисунок, стр. 107). Шашку «восемь» переведем через «девять» и «десять». Сперва мы передвинем шашки в двух нижних строках (нижний рисунок на стр. 107). Затем, как показывают три рисунка рядом^{9}, мы постепенно передвигаем шашки, потом перескакиваем и возвращаемся обратно. Как видишь, все осталось на месте, только шашка «восемь» перепрыгнула через двух своих соседок.

А теперь нам осталось доказать еще, что все шашки можно поставить на место такими скачками при любом исходном положении, содержащем четное число инверсий. Для этого давай поставим сначала шашку «единица» на первое место, если она еще на нем не стоит. Ясно, что, перескакивая через две шашки, мы ее доведем либо до второго, либо до первого места. Но если «единица» попадет не на первое, а на второе место, мы заставим шашку, которая стоит на первом месте, перепрыгнуть через две шашки направо. Тогда шашка «единица» очутится на первом месте.

Восьмерка перепрыгивает через две шашки («2» и «11»)

Поступим затем тем же порядком и с шашкой «двойка», то есть поместим ее на второе место, и так далее.

Но когда мы дойдем до предпоследнего места, то поставить на него шашку, которая стоит на последнем месте, не удастся, потому что ей ведь для этого надо перепрыгнуть через одну, а не через две шашки. В таком случае в самом конце «змейки», в четвертой строке, мы получим расположение 13-15-14 вместо 13-14-15, и если все остальные шашки уже стоят по местам, то получается только одна инверсия, между «четырнадцатью» и «пятнадцатью». Однако это может случиться только в тех расположениях, где уже с самого на-

– 108 —

чала было нечетное количество инверсий. Следовательно, при четном числе инверсий все шашки в конце концов неизбежно станут на свои места.

Восьмерка перепрыгивает через четыре шашки («14», «15», «11» и «2»)

Как видишь, мы попутно еще доказали, что когда Дразнилка «не выходит», то на свои места можно поставить все шашки, кроме двух последних, что ты, как я полагаю, и сам не раз замечал. Если ты пожелаешь разобрать это доказательство на примере, расставь все шашки для упрощения в одну шеренгу и перепрыгивай через две, как указано. Конечно, в квадратике Дразнилки ты можешь для ускорения дела иногда перепрыгивать и через четыре или шесть шашек, как мы выяснили раньше. Ну вот, а теперь поставь нашу «змейку» в ее натуральном порядке.

Илюша поставил (см. рис. на стр. 110).

– Погляди, как в зеркале отражается, и запиши.

Илюша глянул в зеркало и написал то, что видно на рисунке на следующей странице внизу.

– В первой строке «четыре» дает инверсии с «тройкой», «двойкой» и «единицей», «тройка» – с «двойкой» и «единицей», наконец, «двойка» – с «единицей».

Всего в первой строке одна плюс две плюс три – шесть инверсий. Во второй строке столько же. В третьей тоже столько же. Всего восемнадцать. А в последней строке только три инверсии. В конечном счете получается двадцать одна инверсия.

– То есть в итоге нечетное число. Значит, если зеркальное расположение «не выходит», его можно перевести в натуральное расположение с одной инверсией. Но раз так, значит, и расположение с одной инверсией можно перевести в зеркальное. А поэтому всякое расположение, которое «не выходит» (и которое, как мы доказали, можно свести к одной инверсии), ты можешь перевести в зеркальное. Так вот, когда у тебя «не выйдет» (возьми-ка поставь в большом Дразнилке пример с перестановкой только двух шашек – «единицы» и «пятнадцати»), то ты можешь для утешения стремиться не к натуральной расстановке шашек, а к зеркальной.

– Вот это так! – вскричал Илюша. – Беспроигрышный Дразнилка! Здорово! Знаешь, это мне напоминает то странное слово, которое язык тетушки написал в Схолии Четвертой.

– 109 —

Илюша попробовал прием и убедился в его доброкачественности.

– Мне потому нравится Дразнилка, – заявил Илюша, – что все у него выходит просто. Только торопиться не надо!

Радикс усмехнулся.

– Как сказать! – проворчал он. – Как сказать! Если ты уж так хорошо все понял, то возьми-ка переверни шашки. На них ведь сзади, как ты помнишь, написано «Тетушка Дразнилка».

Вынь одну шашку… Ну, для памяти вынем ту, на которой стоит буква «ша». Потом перепутай шашки и проверь на буквах, как получается насчет правила «выйдет-не-выйдет». А коли заметишь какие-нибудь особенности, не поленись дать исчерпывающее объяснение. Да, кстати, вот еще что. Скажи, пожалуйста: известно ли тебе, что бывают уравнения со многими неизвестными?

– Ну еще бы! – отвечал Илюша – Конечно, известно.

Так вот, представь себе, что Дразнилка имеет довольно близкое касательство к решению систем уравнений со многими и даже весьма многими неизвестными.

– Да что ты? – удивился мальчик.

– Дело в том, – продолжал Радикс, – что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно – подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

и найдем, чему равняется у.

– Это что-то трудновато, – неопределенно заметил Илюша.

– Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.

– 110 —

Илюша взял карандаш, задумался на минутку и написал следующее выражение для у:

y = (d₁ – a₁x – c₁z) / b₁

– Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?

– Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.

– Можно. А далее?

– А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.

Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.

– Так, – закончил Радикс, – верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.

Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.

Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:

a₁b₂c₃; a₁b₃c₂; a₂b₁c₃; a₂b₃c₁; a₃b₁c₂; a₃b₂c₁;

А что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа «один», «два» и «три» в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном – минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека – букву b, для зета – букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.

– 111 —

– Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!

– Кстати, – задумчиво произнес Радикс. – Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?

– Разумеется, – уверенно ответил Илюша.

– Как это мило!.. – еще более задумчиво произнес его приятель. – И ты уверен, что больше шести не может быть?

– Конечно, уверен!

– Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно. Ровно шесть, говоришь ты?.. Это приводит мне на память один престранный случай. В архиве одного нотариуса города Толедо, в Испании, была обнаружена следующая запись, относящаяся к началу восемнадцатого столетия:

«После кончины достопочтенного дона Диего дель Кастильо в его доме было найдено завещание, согласно которому три драгоценных ларчика – бронзовый, серебряный и золотой – были оставлены трем его друзьям юности: дону Альваро, дону Бенито и дону Висенте, причем условие завещания гласило:

«Означенные предметы переходят во владение моих друзей по их выбору, который должен происходить в следующем порядке:

1) тот, кто видел меня в зеленом плаще, не может выбирать раньше дона Альваро;

2) если дон Висенте не был в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году, то, значит, тот, кто будет выбирать первым, никогда не давал мне своей табакерки;

3) дон Альваро и дон Бенито могут выбирать во вторую очередь только в том случае, если дон Бенито будет выбирать раньше того, кто первый стал носить шпагу…»

Когда вышеупомянутые лица, как того требует закон, были вызваны в суд, то они показали, что завещание это было составлено лет пятнадцать назад и поэтому сейчас никто из них не может вспомнить, о каком зеленом плаще идет речь, какое имела табакерка отношение к городу Саламанке, и так далее. Однако им известно, что в то давнишнее время дон Диего не раз говорил о том, что он имеет намерение оставить каждому из них хороший подарок. Тогда судья прочел им заключительные строки этого удивительного завещания, где говорилось:

«Настоящим я, завещатель, торжественно утверждаю во всеобщее сведение, что три вышеприведенных условия, которые определяют, кто и в какую очередь должен выбирать ларчики, вполне достаточны для этой цели, и ни одно из них не является лишним».

– 112 —

Однако и это не помогло тропы наследникам, вслед за чем судья, дон Базилио, закрыл заседание суда, а через неделю он, призвав к себе наследников, объявил им порядок выбора, определенный доном Диего в его завещании, сообщив им одновременно, кто видел завещателя в зеленом плаще, кто давал ему свою табакерку, кто первым стал носить шпагу и был ли дон Висенте в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году».

– Так вот, – продолжал Радикс, – ты теперь знаешь об этом деле столько, сколько знал судья. Представь себе, что к тебе обратились за решением того же вопроса, и ответь, каков же назначенный доном Диего порядок выбора.

– Не знаю, – сказал Илюша.

– Ну, брат, это не решение! – ответил ему Радикс. – Вспомни своего друга младшего Дразнилку и все шесть его переодеваний, хорошенько подумай и давай-ка решать…

Говорят, Илюша впоследствии все-таки нашел это решение. И, как это ни удивительно, в дальнейшем выяснилось, что туманные речи Радикса насчет шести переодеваний младшего Дразнилки, волшебника Икса, оказались в высшей степени полезными для этого. Пришлось еще припомнить и знаменитую речь У. У. Уникурсальяна из Схолии Пятой, о которой забывать вообще не советую… Очень странная история! ..

– Ну хорошо, – пробурчал, немного помолчав, Радикс – А слышал ли ты, кстати, когда-нибудь знаменитую историю с девятью бутылями вина Атоса, Портоса и Арамиса?

– Трех мушкетеров? – изумленно спросил Илюша.

– 113 —

– Ну да. История эта заключается в следующем. Однажды, после путешествия в Пино-Гри, Медок, Барзак, Грав, Шато-Икем, Бургундию и прославленную Шампанью, трое друзей съехались вместе, и между ними произошел следующий великолепный разговор. «Пусть меня подведут к единственным воротам славного города Кагора, – вскричал Арамис, – и повесят на них три раза подряд! Пусть шесть шпаг и десять пистолетов разом будут направлены в мое неустрашимое сердце! Пусть меня разорвут на двести пятьдесят три куска бешеные гиены из проклятых ущелий! Пусть мне в глотку немедленно вобьют ровно двести семьдесят шесть каленых пушечных ядер! Клянусь Геркулесом, Вулканом и самим длиннохвостым Вельзевулом – я не паду духом и не отступлю! Даже если бы я сам был пушечным ядром и на меня напали сразу все мои соседи справа, слева, сзади и спереди, еще с двух сторон, а кроме того, сверху и снизу, то и тогда бы я не дрогнул, а доблестно сразился бы со всеми этими двенадцатью врагами!» Услыхав эту бесподобную клятву, Портос и Атос мигом вскочили со своих мест, выхватив свои шпаги, и грозно гаркнули: «Мы готовы немедленно вступить в бой с миллионом горилл и людоедов, если кто-либо из них усомнится в том, что то, что ты сейчас сказал, чистая правда!»

Но Арамис грустно посмотрел на своих друзей и тихо промолвил: «И все же есть одна чудная сила, перед которой я слабею и падаю ниц…» Портос и Атос так были удивлены этим признанием, что не могли вымолвить ни слова. «Да, дорогие соратники, – повторил Арамис, – такая сила существует, клянусь моей непобедимой шпагой, и эта сила – жажда». Тут Портос и Атос, подумав недолгое время над этой фразой, сообразили, что все это было очень веселой шуткой, и, повалившись на диваны, начали хохотать. «Клянусь жареной головой кабана, начиненной говорящими попугаями, – вскричал в восторге Портос, утирая радостные слезы, – этот кавалер может уложить одной шуткой целый эскадрон королевских кирасир! Но что же нам делать с этим чудовищем – жаждой? Как же нам одолеть его?» Тут друзья отправились втроем в погреб гостеприимного дома, и там судьба послала им девять бутылей с вином. В первой было девять кварт вина, во второй – восемь, в третьей – семь, и так далее до девятой, в которой была только одна кварта. Вино было во всех бутылях разное, и одно только утешало наших мудрецов: все эти девять сортов вина отличались одним общим удивительным качеством – все они превосходно утоляли жажду. Дело было только за тем, чтобы откупорить бутыли и выпить все это вино. Но тут начались очень шумные пререкания. Затруднение заключалось в том, что Атос уважал сладкие вина,

– 114 —

Портос отдавал предпочтение кисленьким, в то время как Арамис пил только такие вина, которые были до того крепки, что уже невозможно было разобрать, кислые они или сладкие, и ни о каких других слышать не хотел. Мало этого, никак нельзя было догадаться, как бы поделить это вино, не смешивая его. А так как всем было до смерти некогда и их мучила жажда, а никто не хотел пить то вино, которое он не любит, то ты можешь вообразить, какая там поднялась суматоха! Однако отважный Арамис вдруг хлопнул себя по лбу и воскликнул: «Да здесь не без черта! Мне даже кажется, что я слышу некий адский серный запах. Ясно, что в это дело запуталось какое-то ужасное колдовство. Но так как я прошел с большим успехом полный курс магии всех цветов, начиная с черной, то сейчас же я разрешу это дьявольское недоразумение при помощи таинственного заклинания, сообщенного мне под страшным секретом знаменитым волшебником Чу-Син-Чьеном, который подарил мне драгоценное «Зерцало Четырех Стихий». Вслед за этим Арамис быстро разрешил вопрос о том, как поделить безобидно эти девять бутылей, не смешивая вина, а при этом еще предложил друзьям несколько решений, чтобы бутылки не только можно было поделить поровну, но всякий мог отобрать себе те вина, которые ему больше нравятся. Вот что гласит эта замечательная история. Не скажешь ли ты мне теперь, как поделить эти бутылки и как получить несколько решений задачи?

Илюша быстро сложил все кварты вина и получил «сорок пять». Значит, каждый кавалер мог рассчитывать на пятнадцать кварт вина. Несомненно, этого было вполне достаточно, чтобы утолить их благородную жажду, принимая во внимание, что кварта – это литр с лишним. Но как поделить эти девять бутылей, чтобы в каждых трех было пятнадцать кварт?

– В этой задаче, – произнес Радикс, – тебе бы мог помочь средний Дразнилка. Поставь-ка в коробочку все девять шашек, а потом подбери их так, чтобы…

– Понял! – воскликнул Илюша. – Так, чтобы каждый столбец из трех цифр давал в итоге «пятнадцать».

При помощи шашек Илюша быстро нашел решение.

– Получаются сразу два решения, – заявил Илюша, – потому что и по столбцам сумма дает «пятнадцать» и по строкам тоже выходит «пятнадцать». Постой-ка! Эта штука, кажется, называется магическим квадратом? Я где-то читал о них. Вот, значит, почему Арамис вспоминал о магии! А что же это за волшебник?

– 115 —

– Был такой волшебник математик в тринадцатом веке, и книга его действительно носит такое странное название.

Квадраты эти иногда называют «серебряными», так как в старину некоторые чудаки так их любили, что вырезали их на серебряных дощечках и были уверены, что эти квадраты прекрасное предохранительное средство против чумы. Европейцы узнали их из сочинения ученого византийца Мосхопулоса, который жил в четырнадцатом веке. Но на Востоке их знали много раньше, чем была написана книга Чу-Син-Чьена. Магические квадраты были найдены на стене развалин одного индийского храма, построенного в одиннадцатом веке. Арабы писали о них в девятом веке. А потом ими занимались многие, включая Ферма.

– А ну-ка, – воскликнул мальчик, – я попробую найти еще одно решение этой головоломки!

И довольно быстро Илюша получил его.

– Вот еще! – сказал он весело. Но, присмотревшись, добавил: – Впрочем, это тот же самый квадрат, который у меня получился в первый раз, только переставленный. Левый столбец, начиная снизу, стал третьей строчкой, средний столбец сделался второй строчкой, третий – первой.

Тут Илюша случайно взглянул в зеркало и увидел, что там его квадрат отражается еще по-иному[10]10
  Есть книга по этим вопросам: М. М. Постников. Магические квадраты. М., «Наука», 1964.


[Закрыть].

– А вон, – весело воскликнул Илюша, – в зеркале еще решение! Ну-ка, я попробую теперь с большим Дразнилкой.

Но с большим Дразнилкой Илюша застрял основательно. Он высчитал, что должна получиться сумма столбца или строки, равная 34. Однако задачка оказалась довольно головоломной. Все-таки наконец он одолел этот упрямый квадратик. Его столбцы или строки тоже можно было переставлять и ловить отражение в зеркале со всех четырех сторон. Кроме того, оказалось, что если магический квадрат вращать вокруг точки, находящейся между четырьмя средними шашками, то есть вокруг центра коробочки, поворачивая каждый раз на 90°, то можно получить еще несколько квадратов. При первом повороте магического квадрата на четверть круга в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, первая строка

– 116 —

превращалась в первый столбец, поворачиваясь так, что последняя ее шашка становилась верхней шашкой первого столбца, и так далее…

– Все-таки долго делать! – сказал Илюша. – А что будет, если взять квадрат побольше? Например, в двадцать пять клеток или в тридцать шесть. Совсем пропадешь!

– Как ты скоро пропадаешь! – отвечал Радикс. – Есть несколько способов составлять такие квадраты. Вот, например, как строится серебряный квадрат с нечетным числом клеток по старинному индийскому способу. Представь себе, что твой квадрат со всех сторон окружен такими же квадратами; их всего будет восемь, то есть к каждой стороне твоего квадрата приставлен такой же квадрат и к каждому его углу тоже. Начинаешь ты с того, что ставишь единицу в среднюю клеточку первой строки. Затем дальше ты всегда двигаешься по диагонали снизу вверх и, следовательно, слева направо. Если пойдешь по диагонали от единицы, ты попадаешь в тот приставной квадрат, который стоит сверху, и двойка попадает на его последнюю строку. Ты ее сейчас же переносишь в ту же самую клетку основного квадрата. Затем опять идешь по диагонали. Если ты снова попадешь в приставной квадрат, то опять переносишь цифру в соответствующую клеточку основного квадрата. Если же, когда ты двигаешься по диагонали или переносишь цифру из приставного квадрата в главный, попадаешь в клеточку, которая уже занята, то ты ставишь эту цифру как раз под той же клеточкой, которую только что заполнил. Для тройного квадрата ты получаешь то, что нарисовано на этой странице.

Илюша попробовал сделать по этому способу серебряный квадрат с двадцатью пятью клетками и убедился, что индийский способ очень прост[11]11
  АЛ-I, XI.


[Закрыть]. Он отодвинул бумажку с цифрами и сказал:

– А все-таки хорошая книжка про мушкетеров! Он был молодчина, этот Арамис! Двести семьдесят семь пушечных ядер!..

– Положим, – заметил Радикс, – не двести семьдесят семь, а двести семьдесят шесть.

– Хм… – задумчиво протянул Илюша. – Ну, пусть двести семьдесят шесть. Это не так важно. На единицу больше, на единицу меньше…

– 117 —

– Значит, в таком случае, ты но будешь спорить, когда тебе скажут, что одиннадцать равно двенадцати? Там ведь тоже на единицу разница.

– Ну, это совсем другое дело!.. Но я вот про что. А как он собирался быть пушечным ядром и сражаться сразу с двенадцатью врагами со всех сторон? Я что-то не пойму.

– Он был человек военный, – отвечал Радикс, – и, конечно, любил вспоминать о ядрах. Попробуй-ка сообразить: когда ядра уложены на земле в кучу, со сколькими ядрами соприкасается каждое ядро, лежащее внутри кучи?

– Я где-то видел такую кучу, – припомнил Илюша, – кажется, во фруктовом магазине… Значит, я – ядро и лежу внутри кучи ядер. А все соседи нападают на меня. И сверху, и снизу, и со всех сторон! Сколько же их будет?.. Постой-ка! Ведь наверху лежит только одно ядро?

– Одно.

– Хорошо. Мне кажется, что об этом очень трудно рассуждать…

– Постой! – перебил его Радикс. – А если я тебе предложу несколько превосходных ядер?

Илюша обернулся и увидел, что на полу уже лежит ровная треугольная куча ядер. Ему показалось, что теперь он уже не запутается.

– Значит, – сказал он, – наверху одно ядро. Так! Теперь я его снимаю. Сколько во втором слое? Куча ядер треугольная, следовательно, и каждый ее слой – треугольник. Так?

– Конечно.

– Следовательно, самый малый треугольник, на котором лежит верхнее ядро, составлен из трех ядер. В нем есть только одна-единственная лунка, и в ней-то и лежало верхнее ядро. Теперь следующий слой, третий. Сбоку у него с каждой стороны по три ядра. Конечно, этот второй ядерный треугольник тоже равносторонний, и сторона его равняется трем ядрам. В нем всего шесть ядер. Как он устроен? Очень просто. Взят второй слой из трех ядер, и к нему добавлено с одной стороны еще три ядра. В этом третьем слое есть четыре лупки, но из них идут в дело только три, потому что для четвертого ядра уже места нет. Теперь четвертый слой. Он получается из третьего путем добавления с одной из сторон еще четырех ядер. В нем всего десять ядер и девять лунок, по заняты только шесть – для остальных трех ядер нет места.

– Расскажи-ка мне подробно про эти лунки, – предложил Радикс.

– Дело вот в чем: если я на чертеже соединю центры ядер прямыми, то из каждых трех ядер получу равносторонний треугольник, сторона которого равна диаметру ядра.

– 118 —

Среднее черное ядро в четвертом слое – первое из тех, которые нельзя увидеть сбоку.

В четвертом ядерном слое всего десять ядер. Они образуют на чертеже (стр. 120) шесть заштрихованных («черных») треугольничков. Эти треугольнички соответствуют тем лункам, на которые можно положить ядра третьего слоя. Центры шаров (ядер) этого третьего слоя придутся как раз над средними точками этих треугольничков, и расстояния между ними опять будут теми же самыми.

Но есть еще треугольнички, которые не заштрихованы («белые»): их три. Они-то и дают еще три лунки, на которые нельзя положить ядра, потому что расстояния от их средних точек до средних точек заштрихованных треугольничков вдвое меньше, чем требуется. Но можно было бы, разумеется, поступать и наоборот, то есть пропускать «черные» лунки и класть ядра только на «белые».

– Хорошо, – отвечал Радикс, – пусть будет так. Но как же ты решил насчет двенадцати ядер, с которых начался наш разговор?

– Сейчас подумаю. Для этого я возьму тот же четвертый слой. В схеме треугольничков я оставляю без внимания три крайние точки – А, В, С. Тогда, если обвести жирной линией периметр оставшейся фигуры, получится шестиугольник, правильный, разумеется. В нем один шар (то есть одно ядро) посредине, а кругом шесть точек для ядер.

– Значит?

– Значит, кругом ядра, находящегося внутри кучи, лежат по сторонам шесть ядер.

– Ясно. А сколько лежит сверху его и снизу? Ну-ка, подсчитай!

– Так как мой шестиугольник состоит из трех «черных» треугольников, то, значит, он образует три лунки для ядер (остальные будут лишними), а следовательно, сверху можно положить т р и ядра. Снизу же седьмое, то есть центральное,

– 119 —

Шесть треугольников четвертого слоя.

ядро, о котором мы толкуем с тобой, тоже опирается на три ядра, что ясно из тех же самых соображений. Итого: шесть, да три, да еще три – выходит двенадцать. Так оно и есть. Вот так здорово вышло!